初中数学圆的真题汇编及答案解析

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初中数学圆的经典测试题及解析

初中数学圆的经典测试题及解析
【详解】
解:如图所示,正六边形的边长为2cm,OG⊥BC,
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴∠BOC=360°÷6=60°,
∵OB=OC,OG⊥BC,
∴∠BOG=∠COG= ∠BOC =30°,
∵OG⊥BC,OB=OC,BC=2cm,
∴BG= BC= ×2=1cm,
∴OB= =2cm,
∴OG= ,
∴圆形纸片的半径为 cm,
【详解】
解:如图所示,
∵等腰三角形的底边和高线长均为10cm,
∴等腰三角形的斜边长= =5 ,即圆锥的母线长为5 cm,圆锥底面圆半径为5,
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
连接 ,如图,利用切线的性质得 ,在 中利用勾股定理得 ,利用面积法求得 ,然后利用圆锥的侧面展开图为扇形和扇形的面积公式计算圆锥形纸帽的表面.
【详解】
解:连接 ,作 于 ,如图,
圆锥的母线 与 相切于点 ,

在 中, , ,



圆锥形纸帽的底面圆的半径为 ,母线长为12,
【详解】
设P(x,y),
∵PA2=(x+1)2+y2,PB2=(x﹣1)2+y2,
∴PA2+PB2=2x2+2y2+2=2(x2+y2)+2,
∵OP2=x2+y2,
∴PA2+PB2=2OP2+2,
当点P处于OC与圆的交点上时,OP取得最值,
∴OP的最小值为CO﹣CP=3﹣1=2,
∴PA2+PB2最小值为2×22+2=10.
A. B. C. D.
【答案】A

初三数学圆试题答案及解析

初三数学圆试题答案及解析

初三数学圆试题答案及解析1.已知⊙O的周长为9π,当PO= 时,点P在⊙O上.【答案】4.5【解析】根据圆上点,圆内点和圆外点到圆心的距离与圆的半径的大小关系,可以确定点P的位置.解:∵⊙O的周长为9π,∴⊙O的半径为4.5,∵圆上点到圆心的距离等于半径,所以当PO=4.5时,P点在圆上.故答案为:4.5.点评:本题考查的是点与圆的位置关系,把点到圆心的距离与圆的半径进行大小比较,得到点与圆的位置关系.2.如图所示:在平面直角坐标系中,△OCB的外接圆与y轴交于A(0,),∠OCB=60°,∠COB=45°,则OC= .【答案】1+【解析】连接AB,由圆周角定理知AB必过圆心M,Rt△ABO中,易知∠BAO=∠OCB=60°,已知了OA=,即可求得OB的长;过B作BD⊥OC,通过解直角三角形即可求得OD、BD、CD的长,进而由OC=OD+CD求出OC的长.解:连接AB,则AB为⊙M的直径.Rt△ABO中,∠BAO=∠OCB=60°,∴OB=OA=×=.过B作BD⊥OC于D.Rt△OBD中,∠COB=45°,则OD=BD=OB=.Rt△BCD中,∠OCB=60°,则CD=BD=1.∴OC=CD+OD=1+.故答案为:1+.点评:此题主要考查了圆周角定理及解直角三角形的综合应用能力,能够正确的构建出与已知和所求相关的直角三角形是解答此题的关键.3.△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=8,以C为圆心,r为半径作圆,使点A在圆内,点B在圆外,则半径r的取值范围为.【答案】5<r<8【解析】当点A在圆内时点A到点C的距离小于圆的半径,点B在圆外时点B到圆心的距离应该大于圆的半径,据此可以得到半径的取值范围.解:当点A在圆内时点A到点C的距离小于圆的半径,即:r>5;点B在圆外时点B到圆心的距离应该大于圆的半径,即:r<8;故答案为:5<r<8点评:本题考查了点与圆的位置关系,解题的关键是明确半径的大小与位置关系的关系.4.在△ABC中,∠ACB=90°.AC=2cm,BC=4cm,CM是斜边中线,以C为圆心以cm长为半径画圆,则A、B、M三点在圆的外是,在圆上的是.【答案】点B,点M【解析】先求出AB的长,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求得CM的长;再由点与圆的位置关系,确定出点三点与⊙C的位置关系.解:∵∠ACB=90°,AC=2cm,BC=4cm,∴AB==2,∵CM是中线,∴CM=AB=,∵2<<4∴在圆外的是点B,在圆上的是点M.故答案为:点B,点M.点评:本题考查了点与圆的位置关系:①点P在⊙O上;②点P在⊙O内;③点P在⊙O外,及勾股定理的运用.5.一点到圆周上点的最大距离为18,最短距离为2,则这个圆的半径为.【答案】10或8【解析】分点在圆内和圆外两种情况,当点在圆内时,最大距离与最小距离的和等于直径,然后求出半径;当点在圆外时,最大距离与最小距离的差等于直径,然后求出半径.解:当点在圆内时,圆的直径为18+2=20,所以半径为10.当点在圆外时,圆的直径为18﹣2=16,所以半径为8.故答案是:10或8.点评:本题考查的是点与圆的位置关系,根据点到圆的最大距离和最小距离,求出圆的直径,然后得到圆的半径.6.两个圆的直径比是2:5,这两个圆的周长之比是,面积比是.【答案】2:5;4:25【解析】利用所有的圆都相似得到直径比为2:5的两圆的相似比为2:5,据相似多边形的性质可以求得其周长之比和面积之比.解:∵直径比是2:5的两个圆相似,∴相似比为2:5,∵相似多边形周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方,∴两圆的周长之比为2:5,面积的比等于4:25,故答案为2:5;4:25.点评:本题考查了圆的认识,解题的关键是判定两圆相似并利用相似多边形的性质得到面积之比和周长之比.7.一副斜边相等的直角三角板(∠DAC=45°,∠BAC=30°),按如图所示的方式在平面内拼成一个四边形.A,B,C,D四点在同一个圆上吗?请说明理由.【答案】A、B、C、D能在同一个圆上【解析】取AC的中点O,连接OB,OD,根据直角三角形斜边上中线性质得出OB=OD=AC=OA=OC,根据对圆的认识得出答案.解:A、B、C、D能在同一个圆上,理由是:取AC的中点O,连接OB,OD,∵∠B=∠D=90°,∴OD=AC=OA=OC,BO=AC=OA=OC,∴OA=OB=OC=OD,∴A、B、C、D在以O为圆心,以OA为半径的圆上,即A、B、C、D能在同一个圆上.点评:本题考查了直角三角形斜边上中线性质和对圆的认识的应用,注意:直角三角形斜边上中线等于斜边的一半.8.如何在操场上画出一个很大的圆?说一说你的方法.作图说明:已知点AB=4cm,到点A的距离小于2cm,到点B的距离小于3cm的所有点组成的图形.【答案】【解析】根据圆的定义解答即可.解:在操场上用一根很长的绳子,固定一头,拉紧后另一头旋转一周即可得到一个很大的圆.阴影部分就是到点A的距离小于2cm,到点B的距离小于3cm的所有点组成的图形点评:本题考查了圆的认识,关键是了解圆的定义.9.如图,△ABC和△ABD都为直角三角形,且∠C=∠D=90゜.求证:A、B、C、D四点在同一个圆上.【答案】见解析【解析】取弦AB的中点O,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得OA=OB=OC=OD后即可求证A、B、C、D四点在同一个圆上.证明:取弦AB的中点O,连接OC,OD,∵△ABC和△ABD都为直角三角形,且∠C=∠D=90゜∴DO,CO分别为Rt△ABD和Rt△BCD斜边上的中线,∴OA=OB=OC=OD.∴A、B、C、D四点在同一个圆上.点评:本题考查了圆的认识,求证几个点在同一个圆上就是证明这几个点到一个点的距离相等.10.如图所示,在△ABC中,AB=AC,任意延长CA到P,再延长AB到Q,使AP=BQ,求证:△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆.【答案】见解析【解析】先作△ABC的外接圆⊙O,并作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,连接OP、OQ、OB、OA,证出BE=AF,OE=OF,再证Rt△OPF≌Rt△OQE,得到∠P=∠Q即可得到答案.证明:作△ABC的外接圆⊙O,并作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,连接OP、OQ、OB、OA,∵O是△ABC的外心,∴OE=OF,OB=OA,由勾股定理得:BE2=OB2﹣OE2,AF2=OA2﹣OF2,∴BE=AF,∵AP=BQ,∴PF=QE,∵OE⊥AB,OF⊥AC∴∠OFP=∠OEQ=90°,∴Rt△OPF≌Rt△OQE,∴∠P=∠Q,∴O、A、P、Q四点共圆.即:△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆.点评:本题主要考查了四点共圆,勾股定理,全等三角形的性质和判定,确定圆的条件等知识点,作辅助线构造全等三角形证∠P=∠Q是解此题的关键.11.(2009•武汉模拟)如图,已知△ABC的外接圆⊙O的半径为1,D,E分别为AB,AC的中点,则sin∠BAC的值等于线段()A.BC的长B.DE的长C.AD的长D.AE的长【答案】B【解析】本题需将∠BAC构建到直角三角形中求解,过B作⊙O的直径,交⊙O于点F,由圆周角定理,知∠F=∠A;在Rt△BCF中,易求得sin∠F==,而DE是△ABC的中位线,即DE=,由此得解.解:过B作⊙O的直径BF,交⊙O于F,连接FC,则∠BCF=90°,Rt△BCF中,sin∠F==,∵D、E分别是AB、AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,即DE=,∴sin∠A=sin∠F==DE.故选B.点评:本题主要考查的是三角形中位线定理、圆周角定理等知识点.12.下列命题中,真命题的个数是()①经过三点一定可以作圆;②任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形;③任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆;④三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等.A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】C【解析】在同一直线上三点不能作圆,即可判定①;一个圆可以作无数个圆,判断②即可;每个三角形都有一个外接圆,外接圆的圆心是三角形三边的垂直平分线的交点,该点到三角形的三个顶点距离相等,即可判断③④.解:经过不在同一条直线上三点可以作一个圆,∴①错误;任意一个圆一定有内接三角形,并且有多个内接三角形,∴②错误;任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆,∴③正确;三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点,到三角形的三个顶点距离相等,∴④正确.故选C.点评:本题考查了确定圆的条件和三角形的外接圆与外心的应用,主要考查学生运用性质进行说理的能力,题目比较好,但是一道比较容易出错的题目.13.已知点P到⊙O的最长距离是3,最短距离是2,则⊙O的半径是()A.2.5B.0.5C.2.5或0.5D.无法确定【答案】C【解析】分两种情况进行讨论:①点P在圆内;②点P在圆外,进行计算即可.解:①点P在圆内;如图,∵AP=2,BP=3,∴AB=5,∴OA=2.5;②点P在圆外;如图,∵AP=3,BP=2,∴AB=1,∴OA=0.5.故选C.点评:本题考查了点和圆的位置关系,分类讨论是解此题的关键.14.已知⊙O的圆心在坐标原点,半径为5,点P的坐标为(﹣2,﹣4),则点P与⊙O的位置关系是()A.点P在⊙O内B.点P在⊙O外C.点P在⊙O上D.不能确定【答案】A【解析】根据两点间的距离公式求出OP的长,再与半径比较确定点A的位置.解:OP==2<5,所以点P在⊙O内.故选A.点评:本题考查的是点与圆的位置关系,知道O,P的坐标,求出OP的长,与圆的半径进行比较,确定点P的位置.15.⊙O的半径R=5cm,点P与圆心O的距离OP=3cm,则点P与⊙O的位置关系是()A.点P在⊙O外B.点P在⊙O上C.点P在⊙O内D.不确定【答案】C【解析】已知圆的半径是r,点到圆心的距离是d,点和圆的位置关系有三种:当r=d时,点在圆上,当r>d时,点在圆内,当r<d时,点在圆外,根据进行判断即可.解:∵⊙O的半径R=5cm,点P与圆心O的距离OP=3cm,5>3,∴点P与⊙O的位置关系是点P在圆内,故选C.点评:本题考查了点与圆的位置关系的应用,注意:当圆的半径是r,点到圆心的距离是d时,点和圆的位置关系有三种:①当r=d时,点在圆上,②当r>d时,点在圆内,③当r<d时,点在圆外.16.直角三角形两直角边长分别是,,那么它的外接圆的直径是()A.B.4C.2D.【答案】D【解析】首先根据勾股定理求得该直角三角形的斜边是2,再根据其外接圆直径就是斜边的长度进行计算即可.解:∵直角三角形两直角边长分别是,,∴该直角三角形的斜边长是:=2,∴该直角三角形的外接圆的直径是2.故选D.点评:本题综合考查了勾股定理、三角形外接圆圆心.解决此题的关键在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心,斜边长是圆的直径.17.已知⊙O的半径为4cm,A为线段OP的中点,当OP=6cm时,点A与⊙O的位置关系是()A.A在⊙O内B.A在⊙O上C.A在⊙O外D.不能确定【答案】A【解析】知道OP的长,点A是OP的中点,得到OA的长与半径的关系,求出点A与圆的位置关系.解:因为OP=6cm,A是线段OP的中点,所以OA=3cm,小于圆的半径,因此点A在圆内.故选A.点评:本题考查的是点与圆的位置关系,根据OP的长和点A是OP的中点,得到OA=3cm,与圆的半径相等,可以确定点A的位置.18.已知点A的坐标为A(3,4),⊙A的半径为5,则原点O与⊙A的位置关系是()A.点O在⊙A内B.点O在⊙A上C.点O在⊙A外D.不能确定【答案】B【解析】本题可先由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d,再根据点与圆心的距离与半径的大小关系,即当d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上;点在圆外;当d<r时,点在圆内;来确定点与圆的位置关系.解:∵点A的坐标为A(3,4),∴OA==5,∴根据点到圆心的距离等于半径,则知点在圆上.故选B.点评:本题考查了点与圆的位置关系及坐标与图形性质,能够根据勾股定理求得点到圆心的距离,根据数量关系判断点和圆的位置关系.19.①直径是弦;②过三点一定可以作圆;③三角形的外心到三个顶点的距离相等;④半径相等的两个半圆是等弧.以上四种叙述正确的有()个.A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】根据直径、弦的定义即可判断①,根据不在同一直线上的三点一定可以作圆即可判断②,根据三角形外接圆的定义即可判断③;根据等弧的定义即可判断④.解:直径是弦,①正确;过不在同一直线上的三点一定可以作圆,②错误;三角形的外心到三个顶点的距离相等,③正确;半径相等的两个半圆是等弧,④正确;即正确的有3个,故选C.点评:本题考查了三角形的外接圆,圆的有关概念,确定圆的条件的应用,主要考查学生的理解能力和辨析能力,题目比较典型,但是比较容易出错.20.已知AB为⊙O的直径P为⊙O上任意一点,则点关于AB的对称点P′与⊙O的位置为()A.在⊙O内B.在⊙O外C.在⊙O上D.不能确定【答案】C【解析】圆是轴对称图形,直径所在的直线就是对称轴,从而得到圆上的点关于对称轴对称的点都在圆上求解.解:∵圆是轴对称图形,直径所在的直线就是对称轴,∴点P关于AB的对称点P′与⊙O的位置为:在⊙O上,故选C.点评:本题考查了点与圆的位置关系,利用了圆的对称性求解.。

初中数学圆的难题汇编附答案解析

初中数学圆的难题汇编附答案解析
初中数学圆的难题汇编附答案解析
一、选择题
1.如图,在 中, .将 绕点 按顺时针方向旋转 度后得到 ,此时点 在 边上,斜边 交 边于点 ,则 的大小和图中阴影部分的面积分别为()
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析:∵△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,
∴∠B=60°,AC=BC×cot∠A=2× =2 ,AB=2BC=4,
A.50°B.60°C.80°D.90°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆内接四边形的性质得:∠GBC=∠ADC=50°,由垂径定理得: ,则∠DBC=2∠EAD=80°.
【详解】
如图,∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形,∴∠GBC=∠ADC=50°.
∵AE⊥CD,∴∠AED=90°,∴∠EAD=90°﹣50°=40°,延长AE交⊙O于点M.
∴S阴影=S扇形−S△ODC= − ×3×3= − .
故答案选B.
【点睛】
本题考查的知识点是扇形面积的计算,解题的关键是熟练的掌握扇形面积的计算.
5.如图, 是 的直径, 是 上一点( 、 除外), ,则 的度数是()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平角得出 的度数,进而利用圆周角定理得出 的度数即可.
故选C.
考点:1.旋转的性质2.含30度角的直角三角形.
2.在Rt△ABC中,∠ACB=90°.AC=8,BC=3,点D是BC边上动点,连接AD交以CD为直径的圆于点E,则线段BE长度的最小值为( )
A.1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直径所对的圆周角为直角可知∠CED=90°,则∠AEC=90°,设以AC为直径的圆的圆心为O,若BE最短,则OB最短,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE= AC=4,在Rt△OBC中,根据勾股定理可求得OB=5,即可得解.

初三数学圆试题答案及解析

初三数学圆试题答案及解析

初三数学圆试题答案及解析1.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC.(1)求证:∠AEC=90°;(2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由;(3)若DC=2,求DH的长.【答案】(1)证明见解析;(2)四边形AOCD为菱形;(3)DH=2.【解析】(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出∠AEC=90°;(2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形);(3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长.试题解析:(1)连接OC,∵EC与⊙O切点C,∴OC⊥EC,∴∠OCE=90°,∵点CD是半圆O的三等分点,∴,∴∠DAC=∠CAB,∵OA=OC,∴∠CAB=∠OCA,∴∠DAC=∠OCA,∴AE∥OC(内错角相等,两直线平行)∴∠AEC+∠OCE=180°,∴∠AEC=90°;(2)四边形AOCD为菱形.理由是:∵,∴∠DCA=∠CAB,∴CD∥OA,又∵AE∥OC,∴四边形AOCD是平行四边形,∵OA=OC,∴平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形);(3)连接OD.∵四边形AOCD为菱形,∴OA=AD=DC=2,∵OA=OD,∴OA=OD=AD=2,∴△OAD是等边三角形,∴∠AOD=60°,∵DH⊥AB于点F,AB为直径,∴DH=2DF,在Rt△OFD中,sin∠AOD=,∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=,∴DH=2DF=2.【考点】1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形.2.如图,AB是⊙O的直径,点C是圆上一点,,则 °.【答案】20.【解析】∵AB是⊙O的直径,∴.∵OA=OC,,∴.∴.【考点】1.圆周角定理;2.等腰三角形的性质.3.已知一个圆锥的底面半径为3 cm,母线长为10 cm,则这个圆锥的侧面积为 ()A.15π cm2B.30π cm2C.60π cm2D.3cm2【答案】B【解析】圆锥的侧面积=π×3×10=30π cm2.故选B.4.如图,⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,OM:OC=3:5,则AB的长是A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm【答案】C.【解析】连接OB;∵CD=10cm,∴OC=5cm;∵OM:OC=3:5,∴OM=3cm;Rt△OCP中,OC=OA=5cm,OM=3cm;由勾股定理,得:所以AB=2AM=8cm,故选C.考点: 1.垂径定理;2.勾股定理.5.如图,点A是半圆上一个三等分点,点B是的中点,点P是直径MN上一动点,若⊙O的半径为1,则AP+BP的最小值是.【答案】.【解析】本题是要在MN上找一点P,使PA+PB的值最小,设A′是A关于MN的对称点,连接A′B,与MN的交点即为点P.此时PA+PB=A′B是最小值,可证△OA′B是等腰直角三角形,从而得出结果.试题解析:作点A关于MN的对称点A′,连接A′B,交MN于点P,则PA+PB最小,连接OA′,AA′.∵点A与A′关于MN对称,点A是半圆上的一个三等分点,∴∠A′ON=∠AON=60°,PA=PA′,∵点B是弧AN^的中点,∴∠BON=30°,∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°,又∵OA=OA′=1,∴A′B=.∴PA+PB=PA′+PB=A′B=.考点: 1.垂径定理;2.勾股定理;3.圆心角、弧、弦的关系;4.轴对称-最短路线问题.6.如图,AB是⊙O的直径,弦BC=2cm,F是弦BC的中点,∠ABC=60°.若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动,设运动时间为t(秒)(0≤t<3),连结EF,当t值为________秒时,△BEF是直角三角形.【答案】t=1或或.【解析】∵AB是⊙O的直径,∴∠C=90°.∵∠ABC=60°,∴∠A=30°.又BC=3cm,∴AB=6cm.则当0≤t<3时,即点E从A到B再到O(此时和O不重合).若△BEF是直角三角形,则当∠BFE=90°时,根据垂径定理,知点E与点O重合,即t=1;当∠BEF=90°时,则BE=BF=,此时点E走过的路程是或,则运动时间是s或s.故答案是t=1或或.【考点】圆周角定理.7.如图,边长为1的小正方形构成的网格中,⊙O的半径为1,则图中阴影部分两个小扇形的面积之和为(结果保留π)【答案】.【解析】如图,根据正方形和圆的对称性,上方的小扇形与下方的红色小扇形面积相等,所以图中阴影部分两个小扇形的面积之和为四分之一半径为1的圆的面积,即.【考点】1.网格问题;2. 正方形和圆的对称性;3. 扇形的面积;4.转换思想的应用.8.如图,从A地到B地有两条路可走,一条路是大半圆,另一条路是4个小半圆.有一天,一只猫和一只老鼠同时从A地到B地.老鼠见猫沿着大半圆行走,它不敢与猫同行(怕被猫吃掉),就沿着4个小半圆行走.假设猫和老鼠行走的速度相同,那么下列结论正确的是A.猫先到达B地;B.老鼠先到达B地;C.猫和老鼠同时到达B地;D.无法确定.【答案】C.【解析】以AB为直径的半圆的长是:•AB;设四个小半圆的直径分别是a,b,c,d,则a+b+c+d=AB.则老鼠行走的路径长是:a+b+c+d=(a+b+c+d)=•AB.故猫和老鼠行走的路径长相同.故选C.【考点】弧长公式.9.如图,已知在⊙O中,弦AB的长为8cm,半径为5 ㎝,过O作OC AB求点O与AB的距离.【答案】3cm.【解析】连接OA.根据垂径定理求得AC的长,再进一步根据勾股定理即可求得OC的长.试题解析:连接OA.如图:∵OC⊥AB,弦AB长为8cm,∴AC=4(cm).根据勾股定理,得OC=考点: 1.垂径定理;2.勾股定理.10.如图所示,内接于,,,则______.【答案】.【解析】由圆周角定理知:,由于,得到,所以:.故答案是.【考点】圆周角定理.11.如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D.(1)求证:CD为⊙O的切线;(2)若DC+DA=6,⊙O的直径为10,求AB的长度.【答案】(1)详见解析;(2)6【解析】(1)连接OC,根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°,再根据角平分线的性质,得∠DCO=90°,则CD为⊙O的切线;(2)过O作OF⊥AB,则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°,得四边形OCDF为矩形,设AD=x,在Rt△AOF中,由勾股定理得(5-x)2+(6-x)2=25,从而求得x的值,由勾股定理得出AB的长.试题解析:(1)连接OC,∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC,∵AC平分∠PAE,∴∠DAC=∠CAO,∴∠DAC=∠OCA,∴PB∥OC,∵CD⊥PA,∴CD⊥OC,CO为⊙O半径,∴CD为⊙O的切线;(2)过O作OF⊥AB,垂足为F,∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°,∴四边形DCOF为矩形,∴OC=FD,OF=CD.∵DC+DA=6,设AD=x,则OF=CD=6-x,∵⊙O的直径为10,∴DF=OC=5,∴AF=5-x,在Rt△AOF中,由勾股定理得AF2+OF2=OA2.即(5-x)2+(6-x)2=25,化简得x2-11x+18=0,解得x1=2,x2=9.∵CD=6-x大于0,故x=9舍去,∴x=2,从而AD=2,AF=5-2=3,∵OF⊥AB,由垂径定理知,F为AB的中点,∴AB=2AF=6.【考点】1.切线的判定和性质;2.勾股定理;3.矩形的判定和性质4.垂径定理12.如图MN=10是⊙O的直径,AE⊥MN于E,CF⊥MN于F,AE=4,CF=3,(1)在MN上找一点P,使PA+PC最短;(2)求出PA+PC最短的距离。

初中数学圆形专题训练50题含(参考答案)

初中数学圆形专题训练50题含(参考答案)

初中数学圆形专题训练50题含参考答案一、单选题1.如图,A ,B ,C 是⊙O 上的三点,且⊙ACB =35°,则⊙AOB 的度数是( )A .35°B .65°C .70°D .90°【答案】C 【分析】根据圆周角定理即可得.【详解】解:由圆周角定理得:223570AOB ACB ∠=∠=⨯︒=︒,故选:C .【点睛】本题考查了圆周角定理,熟练掌握圆周角定理是解题关键.2.如图,在半径为R 的圆内作一个内接正方形,⊙然后作这个正方形的内切圆,又在这个内切圆中作内接正方形,依此作到第n 个内切圆,它的半径是( )A .RB .(12)RC .(12)n -1RD .n R3.如图,在ABC中,以A为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB、AC于点M、N;再分别以M、N为圆心,大于12MN的长为半径画弧,两弧交于点P;连结AP并延长交BC于点D.则下列说法正确的是()A.AD BD AB+<B.AD一定经过ABC的重心C.BAD CAD∠=∠D.AD一定经过ABC的外心【答案】C【分析】根据题意易得AD平分⊙BAC,然后根据三角形的重心、外心及三边关系可排除选项.【详解】解:⊙AD平分⊙BAC,⊙BAD CAD∠=∠,故C正确;在⊙ABD中,由三角形三边关系可得AD BD AB+>,故A错误;由三角形的重心可知是由三角形三条中线的交点,所以AD不一定经过ABC的重心,故B选项错误;由三角形的外心可知是由三角形三条边的中垂线的交点,所以AD不一定经过ABC的外心,故D选项错误;故选C.【点睛】本题主要考查三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图,熟练掌握三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图是解题的关键.4.如图,过⊙O上一点C作⊙O的切线,交⊙O直径AB的延长线于点D.若⊙D=40°,则⊙A的度数为()A.20°B.25°C.30°D.40°【点睛】此题主要考查了切线的性质,正确得出⊙DOC =50°是解题关键.5.如图,点A ,B ,C 在圆O 上,65∠=︒ABO ,则ACB ∠的度数是( )A .50︒B .25︒C .35︒D .20︒6.如图4,在Rt ABC △中,90C =∠,3AC =.将其绕B 点顺时针旋转一周,则分别以BA ,BC 为半径的圆形成一圆环.该圆环的面积为( )AB .3πC .3πD .3π 【答案】C 【分析】根据勾股定理,得两圆的半径的平方差即是AC 的平方.再根据圆环的面积计算方法:大圆的面积减去小圆的面积,即9π.【详解】解:圆环的面积为πAB 2-πBC 2,=π(AB 2-BC 2),=πAC 2,=32π,=9π.故选C.7.已知水平放置半径为6cm的球形容器中装有溶液,容器内液面的面积为27πcm2,如图,是该球体的一个最大纵截面,则该截面O中阴影部分的弧长为()A.2πcm B.4πcm C.6πcm D.8πcm意,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.8.如图,点A,B,C都在圆O上,若⊙C=34°,则⊙AOB为()A.34⊙B.56⊙C.60⊙D.68⊙【答案】D【分析】由题意直接根据圆周角定理中同圆同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半进行分析即可求解.【详解】解:⊙⊙C=34°,⊙⊙AOB=2⊙C=68°.故选:D.【点睛】本题考查圆周角定理,注意掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.9.下列命题中,真命题的个数是()⊙同位角相等⊙经过一点有且只有一条直线与这条直线平行⊙长度相等的弧是等弧⊙顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【详解】解:两直线平行,同位角相等,⊙错误;经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行,⊙错误;在同圆或等圆中,长度相等的弧是等弧,⊙错误;顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形,⊙正确.故选A.【点睛】本题考查命题与定理.10.AB是⊙O的直径,PB、PC分别切⊙O于点B、C,弦CD AB∥,若PB=AB=10,则CD的长为()A .6B C .D .3 OCF CPE ,四边形12BE OF OF ==,【详解】解:过点⊙OCF CPE , OF OC CE PC =, PB 、PC 分别切⊙O PB PC =,10PB AB ==,11.如图,AB 是O 的直径,ACD 是O 的内接三角形,若6AB =,105ADC ∠=︒,则BC 的长为( )A .8πB .4πC .2πD .π【答案】C【分析】连接OC 、BC ,根据四边形ABCD 是圆的内接四边形和⊙D 的度数,即可求出303602π=,【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理以及弧长公式等知识,根据圆12.将一把直尺、一个含60°角的直角三角板和一个光盘按如图所示摆放,直角三角板的直角边AD 与直尺的一边重合,光盘与直尺相切于点B ,与直角三角板相切于点C ,且3AB =,则光盘的直径是( )A .6B .C .3D .【答案】D13.如图,正五边形ABCDE,则⊙DAC的度数为()A.30°B.36°C.60°D.72°【答案】B【分析】根据正五边形和等腰三角形的性质即可得到结论.【详解】⊙在正五边形ABCDE中,AE=DE=AB=BC,⊙E=⊙B=⊙EAB=108°,⊙⊙EAD=⊙BAC=36°,⊙⊙DAC=108°﹣36°﹣36°=36°,故选:B.【点睛】此题考查正多边形和圆,等腰三角形的性质,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.14.菱形对角线的交点为O,以O为圆心,以O到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为()A.相交B.相切C.相离D.不能确定【答案】B【分析】首先根据菱形的性质可知:菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形,故四个三角形面积相等且斜边相等,然后根据等面积法得出斜边的高相等,这样问题就容易解决了.【详解】如图:⊙菱形对角线互相垂直平分,⊙AO=CO,BO=DO,AB=BC=CD=DA.⊙⊙ABO⊙⊙BCO⊙⊙CDO⊙⊙DAO.⊙⊙ABO、△BCO、△CDO、△DAO的面积相等.又⊙AB=BC=CD=DA,⊙⊙ABO、△BCO、△CDO、△DAO斜边上的高相等.即O到AB、BC、CD、DA的距离相等.⊙O到菱形一边的距离为半径的圆与另三边的位置关系是相切.故选B..【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,解题的关键是画出图形进行分析.15.如图,已知AB是⊙O的直径,弦CD⊙AB于点E,G是弧AB的中点,连接AD,AG ,CD ,则下列结论不一定成立的是( )A .CE =DEB .⊙ADG =⊙GABC .⊙AGD =⊙ADC D .⊙GDC =⊙BAD 【答案】D 【详解】⊙AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊙AB ,⊙CE =DE ,A 成立;⊙G 是AB 的中点,⊙AG BG =,⊙⊙ADG =⊙GAB ,B 成立;⊙AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊙AB ,⊙AC AD =,⊙⊙AGD =⊙ADC ,C 成立;⊙GDC =⊙BAD 不成立,D 不成立,故选D .16.如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板,该展板的部分示意图如图2所示,它是以O 为圆心,OA ,OB 长分别为半径,圆心角120O ∠=︒形成的扇面,若3m OA =, 1.5m OB =,则阴影部分的面积为( )A .24.25m πB .23.25m πC .23m πD .22.25m π【答案】D 【分析】根据S 阴影=S 扇形AOD -S 扇形BOC 求解即可.17.下列命题为真命题的是( )A .同旁内角互补B .三角形的外心是三条内角平分线的交点C .平行于同一条直线的两条直线平行D .若甲、乙两组数据中,20.8S =甲,2 1.4S =乙,则乙组数据较稳定【答案】C【分析】根据平行线的性质和判定,三角形的外心性质,方差一一判断即可.【详解】解:A 、两平行线被第三直线所截,同旁内角互补,原命题是假命题,不符合题意;B 、三角形的外心是三条边垂直平分线的交点,原命题是假命题,不符合题意;C 、平行于同一条直线的两条直线平行,是真命题,符合题意;D 、若甲、乙两组数据的平均数都是3,S 甲2=0.8,S 乙2=1.4,则甲组数据较稳定,原命题是假命题,不符合题意;故选:C .【点睛】考查了命题与定理的知识,解题的关键是根据平行线的性质和判定,三角形的外心性质,方差解答.18.如图,C 为⊙O 直径AB 上一动点,过点C 的直线交⊙O 于D ,E 两点,且⊙ACD=45°,DF⊙AB 于点F ,EG⊙AB 于点G ,当点C 在AB 上运动时,设AF=x ,DE=y ,下列中图象中,能表示y 与x 的函数关系式的图象大致是( )A.B.C.D.19.如图,AB为⊙O的直径,AB=AC,AC交⊙O于点E,BC交⊙O于点D,F为CE 的中点,连接DF.给出以下四个结论:⊙BD=DC;⊙AD=2DF;⊙BD DE;⊙DF是⊙O的切线.其中正确结论的个数是:()A.4B.3C.2D.1【答案】B【详解】连接AD,OD,⊙AB是直径,⊙⊙ADB=⊙AEB=90°,又⊙AB=AC,⊙BD=DC,故⊙正确;⊙F是CE中点,BD=CD,⊙BE//DF,BE=2DF,但没有办法证明AD与BE相等,故⊙错误;⊙AB=AC,BD=CD,⊙⊙BAD=⊙CAD,⊙BD=DE,⊙BD=DE,故⊙正确;⊙⊙AEB=90°,⊙⊙BEC=180°-⊙AEB=90°,⊙BE//DF,⊙⊙DFC=⊙BEC=90°,⊙O为AB的中点,D为BC的中点,⊙OD//AC,⊙⊙ODF=⊙DFC=90°,⊙OD是半径,⊙DF是⊙O的切线,故⊙正确,所以正确的结论有3个,故选B.【点睛】本题主要考查了圆周角定理,切线的判定,等腰三角形的性质、三角形的中位线等,能根据具体的图形选择和灵活运用相关性质解题是关键.二、填空题20.如图,若正五边形和正六边形有一边重合,则⊙BAC=_____.【答案】132°##132度【详解】解:⊙正五边形的内角=180°-360°÷5=108°,正六边形的内角=180°-360°÷6=120°,⊙⊙BAC=360°-108°-120°=132°.故答案为132°.21.已知直角⊙ABC中,⊙C=90°,BC=3,AC=4,那么它的内切圆半径为_______.【答案】1【分析】O分别与BC、AC、AB切于点D、E、F,连接OD、OE、OF,由切线的性质可得:⊙ODC=⊙OEC=90°,设OD=OE=r根据正方形的判定即可证出四边形OECD是正方形,从而得出:EC=CD=OD=OE=r,再根据切线长定理可得:BF=BD =3-r,AF=AE =4-r,再根据勾股定理求出AB,利用AB的长列方程即可.【详解】解:如图所示,O分别与BC、AC、AB切于点D、E、F,连接OD、OE、OF⊙⊙ODC=⊙OEC=90°22.如图,AB ,BC ,CD 分别与⊙O 相切于E ,F ,G ,BE =4,CG =6,则BC =_______.【答案】10【分析】从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,据此分析解答.【详解】⊙AB ,BC ,CD 分别与⊙O 相切于E ,F ,G ,BE =4,CG =6,⊙BF =BE =4,CF =CG =6,⊙BC =BF +FC =10,故填:10.【点睛】此题主要是综合运用了切线长定理和切线的性质定理.23.若一个扇形的圆心角为60︒,面积为26cm π,则这个扇形的弧长为__________ cm(结果保留π)24.如图,在O 中,弦AC =B 是圆上一点,且=45ABC ∠︒,则O 的半径R =_____.25.如图,⊙O 的内接四边形ABCD 中,⊙A =45°,则⊙C 的度数 _____________ .【答案】135°【分析】根据圆内接四边形的对角互补可得结论.【详解】∵⊙O的内接四边形ABCD中,⊙A=45°,⊙⊙C=135°.故答案为135°.【点睛】本题考查了圆内接四边形,关键是掌握圆内接四边形的性质:①圆内接四边形的对角互补.②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角).26.如图,四边形ABCD内接于⊙O,E是BC延长线上一点,若⊙BAD=105°,则⊙DCE的度数是________°.【答案】105【详解】⊙四边形ABCD是圆内接四边形,⊙⊙DAB+⊙DCB=180°,⊙⊙BAD=105°,⊙⊙DCB=180°﹣⊙DAB=180°﹣105°=75°,⊙⊙DCB+⊙DCE=180°,⊙⊙DCE=⊙DAB=105°.故答案为10527.如图,圆O的半径OA=5cm,弦AB=8cm,点P为弦AB上一动点,则点P到圆心O的最短距离是____cm.【答案】3【分析】由当OP⊙AB时,OP最短,根据垂径定理,可求得AP的长,然后由勾股定28.如图,在矩形ABCD 中,AB a ,BC b =,点P 是BC 上的一个动点,连接AP ,把PAB 沿着AP 翻折到⊙PB C '(点B '在矩形的内部),连接B C ',B D '.点P 在整个运动过程中,若存在唯一的位置使得⊙B CD 为直角三角形,则a ,b 之间的数量关系是 __.为直径作O ,当点为直角三角形且唯一,在Rt ADO 中,根据22OD OA ,可得,计算可得答案. 为直径作O ,当点到O 的最小距离等于得B CD '为直角三角形且唯一,Rt ADO 中,2AD OD +22211())22b a a +=+,整理得22b =,a>,∴=2b29.尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中,传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣:⊙将半径2的⊙O六等分,依次得到A,B,C,D,E,F六个分点;⊙分别以点A,D为圆心,AC长为半径画弧,G是两弧的一个交点;⊙连结OG.问:OG的长是多少?大臣给出的正确答案是_________2222OA,(23)222.【点睛】本题考查了圆周角定理,等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理解直角三30.半径为O是锐角三角形ABC的外接圆,AB=AC,连接OB、OC,延长CO交弦AB于点D.若⊙OBD是直角三角形,则弦BC的长为_______________.31.如图,P A,PB是⊙O的切线,A,B是切点,点C是⊙O上异于A、B的一点,若⊙P=40°,则⊙ACB的度数为_________________.【答案】110°【分析】连接OA,OB,在优弧AB上任取一点D(不与A、B重合),连接BD,AD,如图所示,由PA与PB都为圆O的切线,利用切线的性质得到OA与AP垂直,OB与BP垂直,在四边形APBO中,根据四边形的内角和求出⊙AOB的度数,再利用同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半求出⊙ADB的度数,再根据圆内接四边形的对角互补即可求出⊙ACB的度数.【详解】连接OA,OB,在优弧AB上任取一点D(不与A、B重合),连接BD,AD,如图所示:⊙PA、PB是⊙O的切线,⊙OA⊙AP,OB⊙BP,⊙⊙OAP=⊙OBP=90°,又⊙⊙P=40°,⊙⊙AOB=360°-(⊙OAP+⊙OBP+⊙P)=140°,32.如图,矩形ABCD 中,6AB =,9BC =.将矩形沿EF 折叠,使点A 落在CD 边中点M 处,点B 落在N 处.连接EM ,以矩形对称中心O 为圆心的圆与EM 相切于点P ,则圆的半径为________.33.如图,正方形ABCD内接于⊙O,线段MN在对角线BD上运动,若⊙O的面积为2π,MN=1,则AMN周长的最小值为________.34.如图所示,在⊙O 中,AB 是⊙O 的直径,⊙ACB 的角平分线CD 交⊙O 于D ,则⊙ABD=_________ 度.【答案】45.【详解】试题解析:⊙CD 平分⊙ACB⊙⊙ACD=⊙BCD=45°⊙⊙ABD=⊙ACD=45°.考点:圆周角定理.35.如图,在平面直接坐标系xOy 中,()40A ,,()03B ,,()43C ,,I 是ABC ∆的内心,将ABC ∆绕原点逆时针旋转90°后,I 的对应点'I 的坐标为________.【答案】(-2,3)【分析】直接利用直角三角形的性质得出其内切圆半径,进而得出I点坐标,再利用旋转的性质得出对应点坐标.【详解】解:过点作IF⊙AC于点F,IE⊙OA于点E,⊙A(4,0),B(0,3),C(4,3),⊙BC=4,AC=3,则AB=5,⊙I是⊙ABC的内心,⊙I到⊙ABC各边距离相等,等于其内切圆的半径,⊙IF=1,故I到BC的距离也为1,则AE=1,故IE=3-1=2,OE=4-1=3,则I(3,2),⊙⊙ABC绕原点逆时针旋转90°,⊙I的对应点I'的坐标为:(-2,3).故答案为:(-2,3).【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质,得出其内切圆半径是解题关键.36.一个半径为4cm的圆内接正六边形的面积等于_______cm2.S=ABC⊙内接正六边形的面积是故答案是:37.圆心角为40°,半径为2的扇形面积为________.38.如图,在半圆O中,直径AE=10,四边形ABCD是平行四边形,且顶点A、B、C在半圆上,点D在直径AE上,连接CE,若AD=8,则CE长为_____【答案】【详解】连接OC,过O点作BC垂线,设垂足为F,根据垂径定理、勾股定理可以得到OC=5,CF=4,OF=3,在等腰三角形CDE中,高=OF=3,底边长DE=10-8=2,根据勾股定理即可求出CE.解:连接OC,过O点作OF⊙BC,垂足为F,交半圆与点H,⊙OC=5,BC=8,⊙根据垂径定理CF=4,点H为弧BC的中点,且为半圆AE的中点,⊙由勾股定理得OF=3,且弧AB=弧CE⊙AB=CE,又⊙ABCD为平行四边形,⊙AB=CD,⊙CE=CD,⊙⊙CDE为等腰三角形,在等腰三角形CDE中,DE边上的高CM=OF=3,⊙DE=10-8=2,⊙由勾股定理得,CE2=OF2+(DE)2,⊙CE=,故答案为.本题考查了勾股定理和垂径定理以及平行四边形的性质,是基础知识要熟练掌握.39.如图,⊙O是⊙ABC的外接圆,连接OB、OC,若OB=BC,则⊙BAC的度数是_____.三、解答题40.如图,AB是⊙O的直径,C是半圆上的一点,CD是⊙O的切线,AD⊙CD于点D,交⊙O于点E.(1)求证:AC平分⊙DAB;(2)若点E为弧AC的中点,⊙O的半径为1,求图中阴影部分的面积.41.如图,AB是⊙O的直径,点C、E位于⊙O上AB两侧.在BA的延长线上取点D,使⊙ACD=⊙B.(1)求证:DC是⊙O的切线;(2)当BC=EC时,求证:AC2=AE•AD;(3)在(2)的条件下,若BC=AD:AE=5:9,求⊙O的半径.【点睛】本题考查了切线的判定,圆周角定理,相似三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题,属于中考常考题型.42.如图,已知、是⊙的切线,、为切点.直径的延长线与的延长线交于点.(1)求证:;(2)若,.求图中阴影部分的面积(结果保留根号与).【答案】(1)证明见解析;(2).【详解】试题分析:(1)连接,根据是⊙的切线,由切线长定理得到AP=BP,OP平分⊙APB,根据等腰三角形的性质三线合一得到OP⊙AB,再根据AC是⊙O的直径,得到⊙ABC=90°,即AB⊙BC,BC⊙OB,得到内错角相等,由等量代换得到结果.(2)根据切线长定理和三角形全等,S△OPA=S△OPB,通过解直角三角形得到OB,PB,再根据三角形的面积和扇形的面积推出结论.试题解析:(1)证明:连接. 1分⊙是⊙的切线,⊙平分. 2分.⊙是⊙的直径,⊙, 即:. 3分⊙.⊙. 4分,⊙. 5分(2) 连接.⊙,⊙⊙、是⊙的切线,⊙,,又⊙⊙⊙⊙.⊙. 6分在中,,. 7分在中,,⊙. 8分⊙.⊙,.⊙. 9分⊙所求的阴影面积:. 10分考点:1.切线的性质;2.扇形面积的计算.43.数学课上,王老师画好图后并出示如下内容:“已知AB为O的直径,O过AC 的中点D.DE为O的切线.(1)求证:DE BC ⊥(2)王老师说:如果添加条件“1DE =,1tan 2C =”,则能求出O 的直径.请你写出求解过程.DE 为O 的切线,OD DE ∴⊥,即∠AB 为O 的直径,OA OB ∴=,即点点D 为AC 的中点,OD BC ∴∥,CED ODE ∴∠=∠=BC .DE BC ⊥1tan DE CE ∴=O∴的直径为【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、三角形中位线定理、解直角三角形等知识点,熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题关键.44.如图,点A、B、C分别是⊙O上的点,⊙B=60°,AC=3,CD是⊙O的直径,P是CD延长线上的一点,且AP=AC.(1)求证:AP是⊙O的切线;(2)求PD的长.45.如图,在O 中,弦AB 与CD 相交于点E ,AB CD =,连接AD BC ,,25ADC ∠=︒.(1)求证:AD BC =;(2)求证:AE CE =;(3)若弦BD 经过点O ,求BEC ∠的度数. 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)65︒【分析】(1)由AB CD =,推出AB CD =,推出BC AD =;(2)证明AED CEB ≌可得结论;(3)先求出90BCD ︒∠=,再求出25CBE,即可得答案. 【详解】(1)解:AB CD =,C ABD ∴=, AB AC CD AC ∴-=-,BC AD ∴=;(2)BC AD ,BC AD ∴=,ADE ∠和CBE ∠都是AC 的圆周角,ADE CBE ∴∠=∠,AED CEB ,AED CEB ∴≌,AE CE ∴=;(3)25ADC ,25CBE ,弦BD 经过点O ,BD ∴是O 的直径,90BCD ︒∴∠=,⊙在CEB 中,18065BEC BCD CBE .【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系,全等三角形的判定和性质,直径所对的圆周角是90︒,三角形的内角和,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. 46.如图,在ABC 中,90ABC ∠=,O 是AB 上一点,以O 为圆心OB 为半径的圆与AB 交于点E ,与AC 交于点D ,连接DE 、DE 、OC ,且//DE OC .()1求证:AC 是O 的切线;()2若8DE OC ⋅=,求O 的半径.【答案】(1)证明见解析;(2)2. 【分析】(1)先由OD=OE ,利用等边对等角可得⊙2=⊙3,再利用DE⊙OC ;进而利用平行线的性质,可得⊙3=⊙4,⊙1=⊙2,等量代换可得⊙1=⊙4;再结合OB=OD ,OC=OC ,利用SAS 可证△DOC⊙⊙BOC ,那么⊙CDO=⊙CBO ,而⊙ABC=90°,于是⊙CDO=90°,即CD 是 O 的切线;(2)由(1)可知⊙2=⊙4,而⊙CDO=⊙BDE=90°,易证△CDO⊙⊙BDE ,可得比例线段,OD :DE=OC :BE ,又BE=2OD ,可求OD .【详解】()1证明:连接OD ,⊙OE OD =,⊙23∠=∠,又⊙//DE OC ,⊙12∠=∠,34∠=∠,⊙14∠=∠;在DOC 和BOC 中,OD OB =,14∠=∠,OC OC =,⊙DOC BOC ≅,⊙CDO CBO ∠=∠;⊙90ABC ∠=,⊙90CDO ∠=,⊙CD 是O 的切线;()2⊙BE 是直径,⊙90BDE ∠=,在COD 和BED 中,24∠=∠,90EDB ODC ∠=∠=,⊙COD BED ∽,⊙::OD DE OC BE =;又⊙2BE OD =,⊙22OD DE OC =⋅,⊙2OD =.【点睛】考查了等边对等角,平行线的性质,全等三角形的判定与性质,切线的判定,直径所对的圆周角是直角,相似三角形的判定与性质.综合性比较强,难度较大. 47.已知:对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和O ,O 的半径为4,交x 轴于点A ,B ,对于点P 给出如下定义:过点C 的直线与O 交于点M ,N ,点P 为线段MN 的中点,我们把这样的点P 叫做关于MN 的“折弦点”.(1)若()2,0C -⊙点()10,0P ,()21,1P -,()32,2P中是关于MN 的“折弦点”的是______;⊙若直线y kx =0k ≠)上只存在一个关于MN 的“折弦点”,求k 的值;(2)点C 在线段AB 上,直线y x b =+上存在关于MN 的“折弦点”,直接写出b 的取值范围.与D相交或相切,分两种情况利用勾股定理求出【详解】(1))与D相切,与D相交或相切,=+垂直直线y xy轴交于点重合时,b有最大值,此时48.如图1,AB 为O 的直径,C 为O 上一点,连接CB ,过C 作CD AB ⊥于点D ,过点C 作BCE ∠,使BCE BCD ∠=∠,其中CE 交AB 的延长线于点E .(1)求证:CE 是O 的切线.(2)如图2,点F 在O 上,且满足2FCE ABC ∠=∠,连接AF 并延长交EC 的延长线于点G .若4CD =,3BD =,求线段FG 的长.CD OB ⊥DCB ∴∠+∠BCE ∠=∠OC OB=OCB∴∠=OCB∴∠+即:OC⊥CE∴是O的切线.(2)过点O作OHFCE∠=FCE∴∠=FCE∠=FCO∴∠OC CE⊥DCO∴∠+DCO∴∠=DCO∴∠=CDO∠=OCH∴∆≅CH CD∴=8CF∴=设OB OC=2OC OD=2(x x∴=解得:256 x.256OB OC∴==.CDB中,OC CG ⊥GCF ∴∠GCF ∴∠AFCB 是圆的内接四边形,GFC ∴∠GFC∴∆∽∴GF CF BC OC=GF =49.问题探究:(1)如图⊙,已知在⊙ABC 中,BC =4,⊙BAC =45°,则AB 的最大值是 . (2)如图⊙,已知在Rt ⊙ABC 中,⊙ABC =90°,AB =BC ,D 为⊙ABC 内一点,且AD=BD =2.,CD =6,请求出⊙ADB 的度数.问题解决:(3)如图⊙,某户外拓展基地计划在一处空地上修建一个新的拓展游戏区⊙ABC ,且AB =A C .⊙BAC =120°,点A 、B 、C 分别是三个任务点,点P 是⊙ABC 内一个打卡点.按照设计要求,CP =30米,打卡点P 对任务点A 、B 的张角为120°,即⊙APB =120°.为保证游戏效果,需要A 、P 的距离与B 、P 的距离和尽可能大,试求出AP +BP 的最大值.的外接圆O,连接)如图⊙,作⊙的外接圆O,连接BAC=90°,OB是等腰直角三角形的外接圆O,连接AKC=⊙APB 是等边三角形。

初中数学圆的基础测试题含答案解析

初中数学圆的基础测试题含答案解析

初中数学圆的基础测试题含答案解析一、选择题1.下列命题中正确的个数是( )①过三点可以确定一个圆②直角三角形的两条直角边长分别是5和12,那么它的外接圆半径为6.5③如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切,那么圆心距为5厘米④三角形的重心到三角形三边的距离相等.A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】A【解析】【分析】①根据圆的作法即可判断;②先利用勾股定理求出斜边的长度,然后根据外接圆半径等于斜边的一半即可判断;③根据圆与圆的位置关系即可得出答案;④根据重心的概念即可得出答案.【详解】①过不在同一条直线上的三点可以确定一个圆,故错误;②∵直角三角形的两条直角边长分别是5和12,13= , ∴它的外接圆半径为.113652⨯=,故正确; ③如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切,那么圆心距为5厘米或1厘米,故错误; ④三角形的内心到三角形三边的距离相等,故错误;所以正确的只有1个,故选:A .【点睛】本题主要考查直角三角形外接圆半径,圆与圆的位置关系,三角形内心,重心的概念,掌握直角三角形外接圆半径的求法,圆与圆的位置关系,三角形内心,重心的概念是解题的关键.2.如图,在矩形ABCD 中,6,4AB BC ==,以A 为圆心,AD 长为半径画弧交AB 于点E ,以C 为圆心,CD 长为半径画弧交CB 的延长线于点F ,则图中阴影部分的面积是( )A .13πB .1324π+C .1324π-D .524π+【答案】C【解析】【分析】 先分别求出扇形FCD 和扇形EAD 的面积以及矩形ABCD 的面积,再根据阴影面积=扇形FCD 的面积﹣(矩形ABCD 的面积﹣扇形EAD 的面积)即可得解.【详解】解:∵S 扇形FCD 29036096ππ==⨯⨯,S 扇形EAD 24036094ππ==⨯⨯,S 矩形ABCD 6424=⨯=, ∴S 阴影=S 扇形FCD ﹣(S 矩形ABCD ﹣S 扇形EAD )=9π﹣(24﹣4π)=9π﹣24+4π=13π﹣24故选:C .【点睛】本题考查扇形面积的计算,根据阴影面积=扇形FCD 的面积﹣(矩形ABCD 的面积﹣扇形EAD 的面积)是解答本题的关键.3.如图,在平面直角坐标系中,点P 是以C (﹣2,7)为圆心,1为半径的⊙C 上的一个动点,已知A (﹣1,0),B (1,0),连接PA ,PB ,则PA 2+PB 2的最小值是( )A .6B .8C .10D .12【答案】C【解析】【分析】 设点P (x ,y ),表示出PA 2+PB 2的值,从而转化为求OP 的最值,画出图形后可直观得出OP 的最值,代入求解即可.【详解】设P(x,y),∵PA2=(x+1)2+y2,PB2=(x﹣1)2+y2,∴PA2+PB2=2x2+2y2+2=2(x2+y2)+2,∵OP2=x2+y2,∴PA2+PB2=2OP2+2,当点P处于OC与圆的交点上时,OP取得最值,∴OP的最小值为CO﹣CP=3﹣1=2,∴PA2+PB2最小值为2×22+2=10.故选:C.【点睛】本题考查了圆的综合,解答本题的关键是设出点P坐标,将所求代数式的值转化为求解OP 的最小值,难度较大.4.如图,点I为△ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将∠ACB平移使其顶点与I重合,则图中阴影部分的周长为()A.4.5 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】连接AI、BI,因为三角形的内心是角平分线的交点,所以AI是∠CAB的平分线,由平行的性质和等角对等边可得:AD=DI,同理BE=EI,所以图中阴影部分的周长就是边AB 的长.【详解】连接AI、BI,∵点I为△ABC的内心,∴AI平分∠CAB,∴∠CAI=∠BAI,由平移得:AC∥DI,∴∠CAI=∠AID,∴∠BAI=∠AID,∴AD=DI,同理可得:BE=EI,∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4,即图中阴影部分的周长为4,故选B.【点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识,熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键.5.已知某圆锥的底面半径为3 cm ,母线长5 cm ,则它的侧面展开图的面积为( ) A .30 cm 2B .15 cm 2C .30π cm 2D .15π cm 2【答案】D【解析】试题解析:根据圆锥的侧面展开图的面积计算公式得:S =RL π=15π故选D.6.如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,30A ∠=︒,2BC =.将ABC V 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后得到EDC △,此时点D 在AB 边上,斜边DE 交AC 边于点F ,则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为( )A .302,B .602,C .360,D .603, 【答案】C【解析】试题分析:∵△ABC 是直角三角形,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,∴∠B=60°,AC=BC×cot ∠33AB=2BC=4,∵△EDC 是△ABC 旋转而成,∴BC=CD=BD=12AB=2,∵∠B=60°,∴△BCD是等边三角形,∴∠BCD=60°,∴∠DCF=30°,∠DFC=90°,即DE⊥AC,∴DE∥BC,∵BD=12AB=2,∴DF是△ABC的中位线,∴DF=12BC=12×2=1,CF=12AC=12×23=3,∴S阴影=12DF×CF=12×3=32.故选C.考点:1.旋转的性质2.含30度角的直角三角形.7.如图,将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C′,已知AC=6,BC=4,则线段AB扫过的图形面积为()A.32πB.83πC.6πD.以上答案都不对【答案】D【解析】【分析】从图中可以看出,线段AB扫过的图形面积为一个环形,环形中的大圆半径是AC,小圆半径是BC,圆心角是60度,所以阴影面积=大扇形面积-小扇形面积.【详解】阴影面积=() 603616103603π⨯-=π.故选D.【点睛】本题的关键是理解出,线段AB扫过的图形面积为一个环形.8.如图,在矩形ABCD 中,6AB =,对角线10AC =,O e 内切于ABC ∆,则图中阴影部分的面积是( )A .24π-B .242π-C .243π-D .244π-【答案】D【解析】【分析】 先根据勾股定理求出BC ,连接OA 、OB 、OC 、过点O 作OH ⊥AB ,OE ⊥BC ,OF ⊥AC ,设O e 的半径为r ,利用面积法求出r=2,再利用三角形ABC 的面积减去圆O 的面积得到阴影的面积.【详解】∵四边形ABCD 是矩形,∴∠B=90°,∵6AB =,10AC =,∴BC=8,连接OA 、OB 、OC 、过点O 作OH ⊥AB ,OE ⊥BC ,OF ⊥AC ,设O e 的半径为r ,∵O e 内切于ABC ∆,∴OH=OE=OF=r , ∵11()22ABC S AB BC AB AC BC r =⋅=++⋅V , ∴1168(6108)22r ⨯⨯=++⋅, 解得r=2,∴O e 的半径为2,∴2168-2224-4ABC O S S S ππ=-=⨯⨯⨯=V e 阴影, 故选:D .【点睛】此题考查矩形的性质,勾股定理,三角形内切圆的定义,阴影面积的求法,添加合适的辅助线是解题的关键.9.如图,⊙O 中,弦BC 与半径OA 相交于点D ,连接AB ,OC ,若∠A=60°,∠ADC=85°,则∠C 的度数是( )A .25°B .27.5°C .30°D .35°【答案】D【解析】 分析:直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B 以及∠ODC 度数,再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案.详解:∵∠A=60°,∠ADC=85°,∴∠B=85°-60°=25°,∠CDO=95°,∴∠AOC=2∠B=50°,∴∠C=180°-95°-50°=35°故选D .点睛:此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识,正确得出∠AOC 度数是解题关键.10.如图,在边长为8的菱形ABCD 中,∠DAB =60°,以点D 为圆心,菱形的高DF 为半径画弧,交AD 于点E ,交CD 于点G ,则图中阴影部分的面积是 ( )A .183π-B .183πC .32316πD .1839π-【答案】C【解析】【分析】 由菱形的性质得出AD=AB=8,∠ADC=120°,由三角函数求出菱形的高DF ,图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积,根据面积公式计算即可.【详解】解:∵四边形ABCD 是菱形,∠DAB=60°,∴AD=AB=8,∠ADC=180°-60°=120°,∵DF是菱形的高,∴DF⊥AB,∴DF=AD•sin60°=38432⨯=,∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积=2120(43)84332316ππ⨯⨯-=-.故选:C.【点睛】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算;由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键.11.如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,连接OC交⊙O于点D,连接BD,∠C=40°.则∠ABD的度数是()A.30°B.25°C.20°D.15°【答案】B【解析】试题分析:∵AC为切线∴∠OAC=90°∵∠C=40°∴∠AOC=50°∵OB=OD ∴∠ABD=∠ODB ∵∠ABD+∠ODB=∠AOC=50°∴∠ABD=∠ODB=25°.考点:圆的基本性质.12.如图,已知某圆锥轴截面等腰三角形的底边和高线长均为10cm,则这个圆锥的侧面积为()A.50cm2B.50πcm2C.52D.5cm2【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理求出圆锥的母线长,求出底面圆周长,根据扇形面积公式计算即可.【详解】解:如图所示,∵等腰三角形的底边和高线长均为10cm,∴等腰三角形的斜边长=22105+=55,即圆锥的母线长为55cm,圆锥底面圆半径为5,∴这个圆锥的底面圆周长=2×π×5=10π,即为侧面展开扇形的弧长,圆锥的侧面积=12×10π×55=255πcm2,故选:D.【点睛】本题考查了圆锥的计算,解题的关键是弄清楚圆锥的侧面积的计算方法,特别是圆锥的轴截面是等腰三角形,勾股定理的应用,以及圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长.13.如图,点A、B、C、D、E、F等分⊙O,分别以点B、D、F为圆心,AF的长为半径画弧,形成美丽的“三叶轮”图案.已知⊙O的半径为1,那么“三叶轮”图案的面积为()A.π33B.π33C33π+D33π-【答案】B【解析】【分析】连接OA、OB、AB,作OH⊥AB于H,根据正多边形的中心角的求法求出∠AOB,根据扇形面积公式计算.【详解】连接OA、OB、AB,作OH⊥AB于H,∵点A 、B 、C 、D 、E 、F 是⊙O 的等分点,∴∠AOB=60°,又OA=OB ,∴△AOB 是等边三角形,∴AB=OB=1,∠ABO=60°,∴OH=2211()2-=3, ∴“三叶轮”图案的面积=(2601360π⨯⨯-12×1×3)×6=π-33, 故选B .【点睛】 本题考查的是正多边形和圆、扇形面积的计算,掌握正多边形的中心角的求法、扇形面积公式是解题的关键.14.如图,有一圆锥形粮堆,其侧面展开图是半径为6m 的半圆,粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食,此时,小猫正在B 处,它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠,则小猫所经过的最短路程长为( )A .3mB .33C .35D .4m【答案】C【解析】【分析】【详解】 如图,由题意得:AP =3,AB =6,90.BAP ∠=o ∴在圆锥侧面展开图中223635.BP m =+=故小猫经过的最短距离是35.m故选C.15.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若∠BOD=86°,则∠BCD的度数是()A.86°B.94°C.107°D.137°【答案】D【解析】【分析】【详解】解:∵∠BOD=86°,∴∠BAD=86°÷2=43°,∵∠BAD+∠BCD=180°,∴∠BCD=180°-43°=137°,即∠BCD的度数是137°.故选D.【点睛】本题考查圆内接四边形的对角互补.②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角).16.如图,在圆O中,直径AB平分弦CD于点E,且CD=43,连接AC,OD,若∠A与∠DOB互余,则EB的长是()A.3B.4 C3D.2【答案】D【解析】连接CO,由直径AB平分弦CD及垂径定理知∠COB=∠DOB,则∠A与∠COB互余,由圆周角定理知∠A=30°,∠COE=60°,则∠OCE=30°,设OE=x,则CO=2x,利用勾股定理即可求出x,再求出BE即可.【详解】连接CO,∵AB平分CD,∴∠COB=∠DOB,AB⊥CD,CE=DE=23∵∠A与∠DOB互余,∴∠A+∠COB=90°,又∠COB=2∠A,∴∠A=30°,∠COE=60°,∴∠OCE=30°,设OE=x,则CO=2x,∴CO2=OE2+CE2即(2x)2=x2+(23)2解得x=2,∴BO=CO=4,∴BE=CO-OE=2.故选D.【点睛】此题主要考查圆内的综合问题,解题的关键是熟知垂径定理、圆周角定理及勾股定理.17.如图,若干个全等的正五边形排成环状,图中所示的是前3个正五边形,要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A.10 B.9 C.8 D.7【解析】分析:先根据多边形的内角和公式(n﹣2)•180°求出正五边形的每一个内角的度数,再延长五边形的两边相交于一点,并根据四边形的内角和求出这个角的度数,然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数,然后减去3即可得解.详解:∵五边形的内角和为(5﹣2)•180°=540°,∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°,如图,延长正五边形的两边相交于点O,则∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°,360°÷36°=10.∵已经有3个五边形,∴10﹣3=7,即完成这一圆环还需7个五边形.故选D.点睛:本题考查了多边形的内角和公式,延长正五边形的两边相交于一点,并求出这个角的度数是解题的关键,注意需要减去已有的3个正五边形.18.如图在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,⊙O是△ABC的内切圆,连接AO,BO,则图中阴影部分的面积之和为()A.10﹣32πB.14﹣52πC.12 D.14【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理求出AB,求出△ABC的内切圆的半径,根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算,得到答案.【详解】解:设⊙O与△ABC的三边AC、BC、AB的切点分别为D、E、F,连接OD、OE、OF,在Rt△ABC中,AB22AC BC+10,∴△ABC的内切圆的半径=68102+-=2,∵⊙O是△ABC的内切圆,∴∠OAB=12∠CAB,∠OBA=12∠CBA,∴∠AOB=180°﹣(∠OAB+∠OBA)=180°﹣12(∠CAB+∠CBA)=135°,则图中阴影部分的面积之和=222902113525 21021436023602πππ⨯⨯-+⨯⨯-=-,故选B.【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心、扇形面积计算、勾股定理,掌握扇形面积公式是解题的关键.19.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点M,若CD=8 cm,MB=2 cm,则直径AB的长为()A.9 cm B.10 cm C.11 cm D.12 cm【答案】B【解析】【分析】由CD⊥AB,可得DM=4.设半径OD=Rcm,则可求得OM的长,连接OD,在直角三角形DMO中,由勾股定理可求得OD的长,继而求得答案.【详解】解:连接OD,设⊙O半径OD为R,∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点M,∴DM=12CD=4cm,OM=R-2,在RT△OMD中,OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,解得:R=5,∴直径AB的长为:2×5=10cm.故选B.【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理.注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用.20.如图,3个正方形在⊙O直径的同侧,顶点B、C、G、H都在⊙O的直径上,正方形ABCD的顶点A在⊙O上,顶点D在PC上,正方形EFGH的顶点E在⊙O上、顶点F在QG 上,正方形PCGQ的顶点P也在⊙O上.若BC=1,GH=2,则CG的长为()A.125B.6C.21+D.22【答案】B【解析】【分析】【详解】解:连接AO、PO、EO,设⊙O的半径为r,OC=x,OG=y,由勾股定理可知:22222222211{22r xr x x yr y=++=++=++()①()②()③,②﹣③得到:x2+(x+y)2﹣(y+2)2﹣22=0,∴(x+y)2﹣22=(y+2)2﹣x2,∴(x+y+2)(x+y﹣2)=(y+2+x)(y+2﹣x).∵x+y+2≠0,∴x+y﹣2=y+2﹣x,∴x=2,代入①得到r2=10,代入②得到:10=4+(x+y)2,∴(x+y)2=6.∵x+y>0,∴x+y=6,∴CG=x+y=6.故选B.点睛:本题考查了正方形的性质、圆、勾股定理等知识,解题的关键是设未知数列方程组解决问题,难点是解方程组,利用因式分解法巧妙求出x的值,学会把问题转化为方程组,用方程组的思想去思考问题.。

备战中考数学圆的综合-经典压轴题含答案解析

备战中考数学圆的综合-经典压轴题含答案解析

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C ,D 在⊙O 上,BC=6cm,AC=8cm,∠BAD=45°.点E 在⊙O 外,做直线AE ,且∠EAC=∠D .(1)求证:直线AE 是⊙O 的切线.(2)求图中阴影部分的面积.【答案】(1)见解析;(2)25-504π. 【解析】 分析:(1)根据圆周角定理及推论证得∠BAE=90°,即可得到AE 是⊙O 的切线; (2)连接OD ,用扇形ODA 的面积减去△AOD 的面积即可.详解:证明:(1) ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,即∠BAC+∠ABC=90°,∵∠EAC=∠ADC ,∠ADC=∠ABC ,∴∠EAC=∠ABC∴∠BAC+∠EAC =90°,即∠BAE= 90°∴直线AE 是⊙O 的切线;(2)连接OD∵ BC=6 AC=8∴ 226810AB =+=∴ OA = 5又∵ OD = OA∴∠ADO =∠BAD = 45°∴∠AOD = 90°∴AOD ODA S S S ∆-阴影扇形= =90155553602π⨯⨯-⨯⨯ 25504π-= (2cm )点睛:此题主要考查了圆周角定理和圆的切线的判定与性质,关键是利用圆周角定理和切线的判定与性质,结合勾股定理的和弓形的面积的求法求解,注意数形结合思想的应用.2.已知,如图:O1为x轴上一点,以O1为圆心作⊙O1交x轴于C、D两点,交y轴于M、N两点,∠CMD的外角平分线交⊙O1于点E,AB是弦,且AB∥CD,直线DM的解析式为y=3x+3.(1)如图1,求⊙O1半径及点E的坐标.(2)如图2,过E作EF⊥BC于F,若A、B为弧CND上两动点且弦AB∥CD,试问:BF+CF 与AC之间是否存在某种等量关系?请写出你的结论,并证明.(3)在(2)的条件下,EF交⊙O1于点G,问弦BG的长度是否变化?若不变直接写出BG 的长(不写过程),若变化自画图说明理由.【答案】(1)r=5 E(4,5)(2)BF+CF=AC (3)弦BG的长度不变,等于2【解析】分析:(1)连接ED、EC、EO1、MO1,如图1,可以证到∠ECD=∠SME=∠EMC=∠EDC,从而可以证到∠EO1D=∠EO1C=90°.由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=1,OM=3.设⊙O1的半径为r.在Rt△MOO1中利用勾股定理就可解决问题.(2)过点O1作O1P⊥EG于P,过点O1作O1Q⊥BC于Q,连接EO1、DB,如图2.由AB∥DC可证到BD=AC,易证四边形O1PFQ是矩形,从而有O1P=FQ,∠PO1Q=90°,进而有∠EO1P=∠CO1Q,从而可以证到△EPO1≌△CQO1,则有PO1=QO1.根据三角形中位线定理可得FQ=12BD.从而可以得到BF+CF=2FQ=AC.(3)连接EO1,ED,EB,BG,如图3.易证EF∥BD,则有∠GEB=∠EBD,从而有BG=ED,也就有BG=DE.在Rt△EO1D中运用勾股定理求出ED,就可解决问题.详解:(1)连接ED、EC、EO1、MO1,如图1.∵ME平分∠SMC,∴∠SME=∠EMC.∵∠SME=∠ECD,∠EMC=∠EDC,∴∠ECD=∠EDC,∴∠EO1D=∠EO1C.∵∠EO1D+∠EO1C=180°,∴∠EO1D=∠EO1C=90°.∵直线DM的解析式为y=3x+3,∴点M的坐标为(0,3),点D的坐标为(﹣1,0),∴OD=1,OM=3.设⊙O1的半径为r,则MO1=DO1=r.在Rt△MOO1中,(r﹣1)2+32=r2.解得:r=5,∴OO1=4,EO1=5,∴⊙O1半径为5,点E的坐标为(4,5).(2)BF+CF=AC.理由如下:过点O1作O1P⊥EG于P,过点O1作O1Q⊥BC于Q,连接EO1、DB,如图2.∵AB∥DC,∴∠DCA=∠BAC,∴AD=BC BD∴,=AC,∴BD=AC.∵O1P⊥EG,O1Q⊥BC,EF⊥BF,∴∠O1PF=∠PFQ=∠O1QF=90°,∴四边形O1PFQ是矩形,∴O1P=FQ,∠PO1Q=90°,∴∠EO1P=90°﹣∠PO1C=∠CO1Q.在△EPO1和△CQO1中,111111EO P CO QEPO CQOO E O C∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△EPO1≌△CQO1,∴PO1=QO1,∴FQ=QO1.∵QO1⊥BC,∴BQ=CQ.∵CO1=DO1,∴O1Q=12 BD,∴FQ=12BD.∵BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ,∴BF+CF=BD=AC.(3)连接EO1,ED,EB,BG,如图3.∵DC是⊙O1的直径,∴∠DBC=90°,∴∠DBC+∠EFB=180°,∴EF∥BD,∴∠GEB=∠EBD,∴BG=ED,∴BG=DE.∵DO1=EO1=5,EO1⊥DO1,∴DE=52,∴BG=52,∴弦BG的长度不变,等于52.点睛:本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识,综合性比较强,有一定的难度.而由AB∥DC证到AC=BD是解决第(2)小题的关键,由EG ∥DB 证到BG =DE 是解决第(3)小题的关键.3.如图,⊙M 与菱形ABCD 在平面直角坐标系中,点M 的坐标为(3,﹣1),点A 的坐标为(﹣2,3),点B 的坐标为(﹣3,0),点C 在x 轴上,且点D 在点A 的左侧. (1)求菱形ABCD 的周长;(2)若⊙M 沿x 轴向右以每秒2个单位长度的速度平移,同时菱形ABCD 沿x 轴向右以每秒3个单位长度的速度平移,设菱形移动的时间为t (秒),当⊙M 与BC 相切,且切点为BC 的中点时,连接BD ,求:①t 的值;②∠MBD 的度数;(3)在(2)的条件下,当点M 与BD 所在的直线的距离为1时,求t 的值.【答案】(1)8;(2)①7;②105°;(3)t=633 【解析】 分析:(1)根据勾股定理求菱形的边长为2,所以可得周长为8;(2)①如图2,先根据坐标求EF 的长,由EE '﹣FE '=EF =7,列式得:3t ﹣2t =7,可得t 的值;②先求∠EBA =60°,则∠FBA =120°,再得∠MBF =45°,相加可得:∠MBD =∠MBF +∠FBD =45°+60°=105°;(3)分两种情况讨论:作出距离MN 和ME ,第一种情况:如图5由距离为1可知:BD 为⊙M 的切线,由BC 是⊙M 的切线,得∠MBE =30°,列式为3t 3=2t +6,解出即可; 第二种情况:如图6,同理可得t 的值.详解:(1)如图1,过A 作AE ⊥BC 于E .∵点A 的坐标为(﹣23),点B 的坐标为(﹣3,0),∴AE 3,BE =3﹣2=1,∴AB 22AE BE +2231+()=2. ∵四边形ABCD 是菱形,∴AB =BC =CD =AD =2,∴菱形ABCD 的周长=2×4=8;(2)①如图2,⊙M 与x 轴的切点为F ,BC 的中点为E .∵M (3,﹣1),∴F (3,0).∵BC =2,且E 为BC 的中点,∴E (﹣4,0),∴EF =7,即EE '﹣FE '=EF ,∴3t ﹣2t =7,t =7;②由(1)可知:BE =1,AE 3∴tan∠EBA=AEBE =31=3,∴∠EBA=60°,如图4,∴∠FBA=120°.∵四边形ABCD是菱形,∴∠FBD=12∠FBA=11202⨯︒=60°.∵BC是⊙M的切线,∴MF⊥BC.∵F是BC的中点,∴BF=MF=1,∴△BFM是等腰直角三角形,∴∠MBF=45°,∴∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°+60°=105°;(3)连接BM,过M作MN⊥BD,垂足为N,作ME⊥BC于E,分两种情况:第一种情况:如图5.∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,∴∠CBD=60°,∴∠NBE=60°.∵点M与BD所在的直线的距离为1,∴MN=1,∴BD为⊙M的切线.∵BC是⊙M的切线,∴∠MBE=30°.∵ME=1,∴EB=3,∴3t+3=2t+6,t=6﹣3;第二种情况:如图6.∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,∴∠DBC=60°,∴∠NBE=120°.∵点M与BD所在的直线的距离为1,∴MN=1,∴BD为⊙M的切线.∵BC是⊙M的切线,∴∠MBE=60°.∵ME=MN=1,∴Rt△BEM中,tan60°=MEBE,EB=160tan︒=3,∴3t=2t+6+3,t=6+3;综上所述:当点M与BD所在的直线的距离为1时,t=6﹣3或6+33.点睛:本题是四边形和圆的综合题,考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题,此类问题比较复杂,弄清动点运动方向、速度、时间和路程的关系,并与方程相结合,找等量关系,求出时间t的值.4.在平面直角坐标系xOy中,点M的坐标为(x1,y1),点N的坐标为(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,以MN为边构造菱形,若该菱形的两条对角线分别平行于x轴,y轴,则称该菱形为边的“坐标菱形”.(1)已知点A(2,0),B(0,23),则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为;(2)若点C(1,2),点D在直线y=5上,以CD为边的“坐标菱形”为正方形,求直线CD 表达式;(3)⊙O的半径为2,点P的坐标为(3,m).若在⊙O上存在一点Q,使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形,求m的取值范围.【答案】(1)60°;(2)y=x+1或y=﹣x+3;(3)1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1【解析】分析:(1)根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”,由勾股定理求边长AB=4,可得30度角,从而得最小内角为60°;(2)先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°,得D(4,5)或(﹣2,5),易得直线CD的表达式为:y=x+1或y=﹣x+3;(3)分两种情况:①先作直线y=x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=x,如图3,根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1,PB=5,写出对应P的坐标;②先作直线y=﹣x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=﹣x,如图4,同理可得结论.详解:(1)∵点A(2,0),B(0,23),∴OA=2,OB=23.在Rt△AOB中,由勾股定理得:AB=22()=4,∴∠ABO=30°.223∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABC=2∠ABO=60°.∵AB∥CD,∴∠DCB=180°﹣60°=120°,∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°.故答案为:60°;(2)如图2.∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形,∴直线CD与直线y=5的夹角是45°.过点C作CE⊥DE于E,∴D(4,5)或(﹣2,5),∴直线CD的表达式为:y=x+1或y=﹣x+3;(3)分两种情况:①先作直线y=x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=x,如图3.∵⊙O的半径为2,且△OQ'D是等腰直角三角形,∴OD=2OQ'=2,∴P'D=3﹣2=1.∵△P'DB是等腰直角三角形,∴P'B=BD=1,∴P'(0,1),同理可得:OA=2,∴AB=3+2=5.∵△ABP是等腰直角三角形,∴PB=5,∴P(0,5),∴当1≤m≤5时,以QP为边的“坐标菱形”为正方形;②先作直线y=﹣x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=﹣x,如图4.∵⊙O的半径为2,且△OQ'D是等腰直角三角形,∴OD=2OQ'=2,∴BD=3﹣2=1.∵△P'DB是等腰直角三角形,∴P'B=BD=1,∴P'(0,﹣1),同理可得:OA=2,∴AB=3+2=5.∵△ABP是等腰直角三角形,∴PB=5,∴P(0,﹣5),∴当﹣5≤m≤﹣1时,以QP为边的“坐标菱形”为正方形;综上所述:m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1.点睛:本题是一次函数和圆的综合题,考查了菱形的性质、正方形的性质、点P,Q的“坐标菱形”的定义等知识,解题的关键是理解题意,学会利用图象解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,注意一题多解,属于中考创新题目.5.如图,AB是⊙O的直径,D、D为⊙O上两点,CF⊥AB于点F,CE⊥AD交AD的延长线于点E,且CE=CF.(1)求证:CE是⊙O的切线;(2)连接CD、CB,若AD=CD=a,求四边形ABCD面积.【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】【分析】(1)连接OC,AC,可先证明AC平分∠BAE,结合圆的性质可证明OC∥AE,可得∠OCB=90°,可证得结论;(2)可先证得四边形AOCD为平行四边形,再证明△OCB为等边三角形,可求得CF、AB,利用梯形的面积公式可求得答案.【详解】(1)证明:连接OC,AC.∵CF⊥AB,CE⊥AD,且CE=CF.∴∠CAE=∠CAB.∵OC=OA,∴∠CAB=∠OCA.∴∠CAE=∠OCA.∴OC∥AE.∴∠OCE+∠AEC=180°,∵∠AEC=90°,∴∠OCE=90°即OC⊥CE,∵OC是⊙O的半径,点C为半径外端,∴CE是⊙O的切线.(2)解:∵AD=CD,∴∠DAC=∠DCA=∠CAB,∴DC∥AB,∵∠CAE=∠OCA,∴OC∥AD,∴四边形AOCD是平行四边形,∴OC=AD=a,AB=2a,∵∠CAE=∠CAB,∴CD=CB=a,∴CB=OC=OB,∴△OCB是等边三角形,在Rt△CFB中,CF=,∴S四边形ABCD=(DC+AB)•CF=【点睛】本题主要考查切线的判定,掌握切线的两种判定方法是解题的关键,即有切点时连接圆心和切点,然后证明垂直,没有切点时,过圆心作垂直,证明圆心到直线的距离等于半径.6.如图,在直角坐标系中,⊙M经过原点O(0,0),点A(6,0)与点B(0,-2),点D 在劣弧OA上,连结BD交x轴于点C,且∠COD=∠CBO.(1)求⊙M的半径;(2)求证:BD平分∠ABO;(3)在线段BD的延长线上找一点E,使得直线AE恰为⊙M的切线,求此时点E的坐标.【答案】(1)M的半径r2;(2)证明见解析;(3)点E的坐标为262).【解析】试题分析:根据点A 和点B 的坐标得出OA 和OB 的长度,根据Rt △AOB 的勾股定理得出AB 的长度,然后得出半径;根据同弧所对的圆周角得出∠ABD=∠COD ,然后结合已知条件得出角平分线;根据角平分线得出△ABE ≌△HBE ,从而得出BH=BA=22,从而求出OH 的长度,即点E 的纵坐标,根据Rt △AOB 的三角函数得出∠ABO 的度数,从而得出∠CBO 的度数,然后根据Rt △HBE 得出HE 的长度,即点E 的横坐标.试题解析:(1)∵点A 为(6,0),点B 为(0,-2) ∴OA=6OB=2 ∴根据Rt △AOB 的勾股定理可得:AB=22∴M 的半径r=12AB=2. (2)根据同弧所对的圆周角相等可得:∠ABD=∠COD ∵∠COD=∠CBO ∴∠ABD=∠CBO ∴BD 平分∠ABO(3)如图,由(2)中的角平分线可得△ABE ≌△HBE ∴BH=BA=22∴OH=22-2=2在Rt △AOB 中,3OA OB=∴∠ABO=60° ∴∠CBO=30° 在Rt △HBE 中,HE=2633BH =∴点E 的坐标为(263,2)考点:勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.7.如图, Rt △ABC 中,∠B=90°,它的内切圆分别与边BC 、CA 、AB 相切于点D 、E 、F , (1)设AB=c, BC=a, AC=b, 求证: 内切圆半径r =12(a+b-c). (2) 若AD 交圆于P , PC 交圆于H, FH//BC, 求∠CPD; (3)若r=310, PD =18, PC=272. 求△ABC 各边长.【答案】(1)证明见解析(2)45°(3)1010,1510,12【解析】【分析】(1)根据切线长定理,有AE=AF,BD=BF,CD=CE.易证四边形BDOF为正方形,BD=BF=r,用r表示AF、AE、CD、CE,利用AE+CE=AC为等量关系列式.(2)∠CPD为弧DH所对的圆周角,连接OD,易得弧DH所对的圆心角∠DOH=90°,所以∠CPD=45°.(3)由PD=18和r=310,联想到垂径定理基本图形,故过圆心O作PD的垂线OM,求得弦心距OM=3,进而得到∠MOD的正切值.延长DO得直径DG,易证PG∥OM,得到同位角∠G=∠MOD.又利用圆周角定理可证∠ADB=∠G,即得到∠ADB的正切值,进而求得AB.再设CE=CD=x,用x表示BC、AC,利用勾股定理列方程即求出x.【详解】解:(1)证明:设圆心为O,连接OD、OE、OF,∵⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F∴OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,AE=AF,BD=BF,CD=CE∴∠B=∠ODB=∠OFB=90°∴四边形BDOF是矩形∵OD=OF=r∴矩形BDOF是正方形∴BD=BF=r∴AE=AF=AB-BF=c-r,CE=CD=BC-BD=a-r∵AE+CE=AC∴c-r+a-r=b整理得:r=12(a+b-c)(2)取FH中点O,连接OD ∵FH∥BC∴∠AFH=∠B=90°∵AB与圆相切于点F,∴FH为圆的直径,即O为圆心∵FH∥BC∴∠DOH=∠ODB=90°∴∠CPD=12∠DOH=45°(3)设圆心为O ,连接DO 并延长交⊙O 于点G ,连接PG ,过O 作OM ⊥PD 于M ∴∠OMD=90°∵PD=18∴DM=12PD=9 ∵10∴22OD DM -22(310)9-9081-3∴tan ∠MOD=DM OM =3 ∵DG 为直径∴∠DPG=90°∴OM ∥PG ,∠G+∠ODM=90°∴∠G=∠MOD∵∠ODB=∠ADB+∠ODM=90°∴∠ADB=∠G∴∠ADB=∠MOD∴tan ∠ADB=AB BD=tan ∠MOD=3 ∴10∴10−10=10设CE=CD=x ,则10+x ,10+x∵AB 2+BC 2=AC 2∴10)2.10+x)2=10+x)2解得:10∴10,10∴△ABC 各边长10,10,10【点睛】本题考查切线的性质,切线长定理,正方形的判定,圆周角定理,垂径定理,勾股定理.切线长定理的运用是解决本题的关键,而在不能直接求得线段长的情况下,利用勾股定理作为等量关系列方程解决是常用做法.8.已知:如图,四边形ABCD为菱形,△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D,交AC于点E.(1)判断⊙O与BC的位置关系,并说明理由;(2)若CE=2,求⊙O的半径r.【答案】(1)相切,理由见解析;(2)2.【解析】试题分析:(1)根据切线的性质,可得∠ODC的度数,根据菱形的性质,可得CD与BC 的关系,根据SSS,可得三角形全等,根据全等三角形的性质,可得∠OBC的度数,根据切线的判定,可得答案;(2)根据等腰三角形的性质,可得∠ACD=∠CAD,根据三角形外角的性质,∠COD=∠OAD+∠AOD,根据直角三角形的性质,可得OC与OD的关系,根据等量代换,可得答案.(1)⊙O与BC相切,理由如下连接OD、OB,如图所示:∵⊙O与CD相切于点D,∴OD⊥CD,∠ODC=90°.∵四边形ABCD为菱形,∴AC垂直平分BD,AD=CD=CB.∴△ABD的外接圆⊙O的圆心O在AC上,∵OD=OB,OC=OC,CB=CD,∴△OBC≌△ODC.∴∠OBC=∠ODC=90°,又∵OB为半径,∴⊙O与BC相切;(2)∵AD=CD,∴∠ACD=∠CAD.∵AO=OD,∴∠OAD=∠ODA.∵∠COD=∠OAD+∠AOD,∠COD=2∠CAD.∴∠COD=2∠ACD又∵∠COD+∠ACD=90°,∴∠ACD=30°.∴OD=12OC,即r=12(r+2).∴r=2.【点睛】运用了切线的判定与性质,利用了切线的判定与性质,菱形的性质,直角三角形的性质.9.如图,AB是⊙O的直径,∠ACB的平分线交AB于点D,交⊙O于点E,过点C作⊙O 的切线CP交BA的延长线于点P,连接AE.(1)求证:PC=PD;(2)若AC=5cm,BC=12cm,求线段AE,CE的长.【答案】(1)见解析172132【解析】试题分析:(1)如图1中,连接OC 、OE .利用等角的余角相等,证明∠PCD =∠PDC 即可;(2)如图2中.作EH ⊥BC 于H ,EF ⊥CA 于F .首先证明Rt △AEF ≌Rt △BEH ,推出AF =BH ,设AF =BH =x ,再证明四边形CFEH 是正方形,推出CF =CH ,可得5+x =12﹣x ,推出x =72,延长即可解决问题; 试题解析:(1)证明:如图1中,连接OC 、OE .∵AB 直径,∴∠ACB =90°,∴CE 平分∠ACB ,∴∠ECA =∠ECB =45°,∴AE =BE ,∴OE ⊥AB ,∴∠DOE =90°.∵PC 是切线,∴OC ⊥PC ,∴∠PCO =90°.∵OC =OE ,∴∠OCE =∠OEC .∵∠PCD +∠OCE =90°,∠ODE +∠OEC =90°,∠PDC =∠ODE ,∴∠PCD =∠PDC ,∴PC =PD .(2)如图2中.作EH ⊥BC 于H ,EF ⊥CA 于F .∵CE 平分∠ACB ,EH ⊥BC 于H ,EF ⊥CA 于F ,∴EH =EF ,∠EFA =∠EHB =90°.∵AE =BE ,∴AE =BE ,∴Rt △AEF ≌Rt △BEH ,∴AF =BH ,设AF =BH =x .∵∠F =∠FCH =∠CHE =90°,∴四边形CFEH 是矩形.∵EH =EF ,∴四边形CFEH 是正方形,∴CF =CH ,∴5+x =12﹣x ,∴x =72,∴CF =FE =172,∴EC 2CF 172,AE 22EF AF +2217722()()+132 点睛:本题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、垂径定理、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.10.如图,AB 为⊙O 的直径,DA 、DC 分别切⊙O 于点A ,C ,且AB =AD .(1)求tan ∠AOD 的值.(2)AC,OD交于点E,连结BE.①求∠AEB的度数;②连结BD交⊙O于点H,若BC=1,求CH的长.【答案】(1)2;(2)①∠AEB=135°;②2 CH=【解析】【分析】(1)根据切线的性质可得∠BAD=90°,由题意可得AD=2AO,即可求tan∠AOD的值;(2)①根据切线长定理可得AD=CD,OD平分∠ADC,根据等腰三角形的性质可得DO⊥AC,AE=CE,根据圆周角定理可求∠ACB=90°,即可证∠ABC=∠CAD,根据“AAS”可证△ABC≌△DAE,可得AE=BC=EC,可求∠BEC=45°,即可求∠AEB的度数;②由BC=1,可求AE=EC=1,BE2=,根据等腰直角三角形的性质可求∠ABE=∠HBC,可证△ABE∽△HBC,可求CH的长.【详解】(1)∵DA是⊙O切线,∴∠BAD=90°.∵AB=AD,AB=2AO,∴AD=2AO,∴tan∠AODADAO==2;(2)①∵DA、DC分别切⊙O于点A,C,∴AD=CD,OD平分∠ADC,∴DO⊥AC,AE=CE.∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠BAC+∠ABC=90°,且∠BAC+∠CAD=90°,∴∠ABC=∠CAD,且AB=AD,∠ACB=∠AED=90°,∴△ABC≌△DAE(AAS),∴CB=AE,∴CE=CB,且∠ACB=90°,∴∠BEC=45°=∠EBC,∴∠AEB=135°.②如图,∵BC=1,且BC=AE=CE,∴AE=EC=BC=1,∴BE2=.∵AD=AB,∠BAD=90°,∴∠ABD=45°,且∠EBC=45°,∴∠ABE=∠HBC,且∠BAC=∠CHB,∴△ABE∽△HBC,∴BC CHEB AE=,即12CH=,∴CH22=.【点睛】本题考查了切线的性质,圆周角定理,锐角三角函数,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质等知识,灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.。

初中数学圆的经典测试题含答案解析

初中数学圆的经典测试题含答案解析

初中数学圆的经典测试题含答案解析一、选择题1.如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,OC交⊙O于点D,若∠ABD=24°,则∠C 的度数是()A.48°B.42°C.34°D.24°【答案】B【解析】【分析】根据切线的性质求出∠OAC,结合∠C=42°求出∠AOC,根据等腰三角形性质求出∠B=∠BDO,根据三角形外角性质求出即可.【详解】解:∵∠ABD=24°,∴∠AOC=48°,∵AC是⊙O的切线,∴∠OAC=90°,∴∠AOC+∠C=90°,∴∠C=90°﹣48°=42°,故选:B.【点睛】考查了切线的性质,圆周角定理,三角形内角和定理,解此题的关键是求出∠AOC的度数,题目比较好,难度适中.2.如图,已知AB是⊙O的直径,CD是弦,且CD⊥AB,BC=3,AC=4,则sin∠ABD的值是()A.43B.34C.35D.45【答案】D【解析】【分析】由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD=∠ABC,再根据勾股定理求得AB=5,即可求sin∠ABD 的值.【详解】∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,∴弧AC=弧AD,∴∠ABD=∠ABC.根据勾股定理求得AB=5,∴sin∠ABD=sin∠ABC=45.故选D.【点睛】此题综合考查了垂径定理以及圆周角定理的推论,熟悉锐角三角函数的概念.3.如图,正方形ABCD内接于⊙O,AB=22,则»AB的长是()A.πB.32πC.2πD.12π【答案】A【解析】【分析】连接OA、OB,求出∠AOB=90°,根据勾股定理求出AO,根据弧长公式求出即可.【详解】连接OA、OB,∵正方形ABCD内接于⊙O,∴AB=BC=DC=AD,∴»»»»AB BC CD DA===,∴∠AOB=14×360°=90°,在Rt△AOB中,由勾股定理得:2AO2=(2)2,解得:AO=2,∴»AB的长为902 180´=π,故选A.【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质,求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键.4.将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放,A为60°角与直尺的交点,B为光盘与直尺的交点,AB=4,则光盘表示的圆的直径是()A.4 B.83C.6 D.43【答案】B【解析】【分析】设三角板与圆的切点为C,连接OA、OB,根据切线长定理可得AB=AC=3,∠OAB=60°,然后根据三角函数,即可得出答案.【详解】设三角板与圆的切点为C,连接OA、OB,由切线长定理知,AB=AC=3,AO平分∠BAC,∴∠OAB=60°,在Rt△ABO中,OB=AB tan∠OAB3∴光盘的直径为3故选:B.【点睛】本题主要考查了切线的性质,解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.5.已知下列命题:①若a>b,则ac>bc;②若a=1a;③内错角相等;④90°的圆周角所对的弦是直径.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【解析】【分析】先对原命题进行判断,再判断出逆命题的真假即可.【详解】解:①若a>b,则ac>bc是假命题,逆命题是假命题;②若a=1,则a=a是真命题,逆命题是假命题;③内错角相等是假命题,逆命题是假命题;④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题,逆命题是真命题;其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个;故选A.点评:主要考查命题与定理,用到的知识点是互逆命题的知识,两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题,判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.6.如图,△ABC的外接圆是⊙O,半径AO=5,sinB=25,则线段AC的长为()A.1 B.2 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】首先连接CO并延长交⊙O于点D,连接AD,由CD是⊙O的直径,可得∠CAD=90°,又由⊙O的半径是5,sinB=25,即可求得答案.【详解】解:连接CO并延长交⊙O于点D,连接AD,由CD 是⊙O 的直径,可得∠CAD=90°,∵∠B 和∠D 所对的弧都为弧AC ,∴∠B=∠D ,即sinB=sinD=25, ∵半径AO=5,∴CD=10, ∴2sin 105AC AC D CD ===, ∴AC=4,故选:C.【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等,以及三角函数的内容,注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键.7.如图,AC BC ⊥,8AC BC ==,以BC 为直径作半圆,圆心为点O ;以点C 为圆心,BC 为半径作»AB ,过点O 作AC 的平行线交两弧于点D 、E ,则图中阴影部分的面积是( )A .20833π- B .20833π+C .20833π D .20433π 【答案】A【解析】【分析】 如图,连接CE .图中S 阴影=S 扇形BCE −S 扇形BOD −S △OCE .根据已知条件易求得OB =OC =OD =4,BC =CE =8,∠ECB =60°,OE =3,所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可.【详解】解:如图,连接CE .∵AC⊥BC,AC=BC=8,以BC为直径作半圆,圆心为点O;以点C为圆心,BC为半径作弧AB,∴∠ACB=90°,OB=OC=OD=4,BC=CE=8.又∵OE∥AC,∴∠ACB=∠COE=90°.∴在Rt△OEC中,OC=4,CE=8,∴∠CEO=30°,∠ECB=60°,OE=43,∴S阴影=S扇形BCE−S扇形BOD−S△OCE=2260811-4-443 36042ππ⨯⨯⨯⨯=20-83 3π故选:A.【点睛】本题考查了扇形面积的计算.不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算.8.如图,在⊙O,点A、B、C在⊙O上,若∠OAB=54°,则∠C()A.54°B.27°C.36°D.46°【答案】C【解析】【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数,然后利用圆周角解答即可.【详解】解:∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=54°,∴∠AOB=180°﹣54°﹣54°=72°,∴∠ACB=12∠AOB=36°.故答案为C.【点睛】本题考查了三角形内角和和圆周角定理,其中发现并正确利用圆周角定理是解题的关键.9.木杆AB斜靠在墙壁上,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动.下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线,其中正确的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】解:如右图,连接OP,由于OP是Rt△AOB斜边上的中线,所以OP=12AB,不管木杆如何滑动,它的长度不变,也就是OP是一个定值,点P就在以O为圆心的圆弧上,那么中点P下落的路线是一段弧线.故选D.10.如图,抛物线y=ax2﹣6ax+5a(a>0)与x轴交于A、B两点,顶点为C点.以C点为圆心,半径为2画圆,点P 在⊙C 上,连接OP ,若OP 的最小值为3,则C 点坐标是( )A .522(,22-B .(4,﹣5)C .(3,﹣5)D .(3,﹣4)【答案】D【解析】【分析】首先根据二次函数的解析式求出点A 、B 、C 三点的坐标,再由当点O 、P 、C 三点共线时,OP 取最小值为3,列出关于a 的方程,即可求解.【详解】∵2650y ax ax a a +-=(>) 与x 轴交于A 、B 两点, ∴A (1,0)、B (5,0),∵226534y ax ax a a x a =+=---() , ∴顶点34C a (,-), 当点O 、P 、C 三点共线时,OP 取最小值为3,∴OC =OP+2=5, 29165(0)a a +=> ,∴1a = ,∴C (3,﹣4),故选:D .【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质,解题的关键是明确圆外一点到圆上的最短距离即该点与圆心的距离减去半径长.11.如图,O e 中,若66OA BC AOB ⊥∠=o 、,则ADC ∠的度数为( )A .33°B .56°C .57°D .66°【答案】A【解析】【分析】 根据垂径定理可得»»ACAB =,根据圆周角定理即可得答案. 【详解】∵OA ⊥BC ,∴»»ACAB =, ∵∠AOB=66°,∠AOB 和∠ADC 分别是»AB和»AC 所对的圆心角和圆周角, ∴∠ADC=12∠AOB=33°, 故选:A .【点睛】 本题考查垂径定理及圆周角定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分这条弦所对的两条弧;在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半;熟练掌握相关定理是解题关键.12.如图,ABC V 是O e 的内接三角形,且AB AC =,56ABC ∠=︒,O e 的直径CD 交AB 于点E ,则AED ∠的度数为( )A .99︒B .100︒C .101°D .102︒【答案】D【解析】【分析】 连接OB ,根据等腰三角形的性质得到∠A ,从而根据圆周角定理得出∠BOC ,再根据OB=OC 得出∠OBC ,即可得到∠OBE ,再结合外角性质和对顶角即可得到∠AED 的度数.【详解】解:连接OB,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=56°,∴∠A=180°-56°-56°=68°=12∠BOC,∴∠BOC=68°×2=136°,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=(180°-136°)÷2=22°,∴∠OBE=∠EBC-∠OBC=56°-22°=34°,∴∠AED=∠BEC=∠BOC-∠OBE=136°-34°=102°.故选D.【点睛】本题考查了圆周角定理,等腰三角形的性质,外角的性质,解题的关键是作出辅助线OB,得到∠BOC的度数.13.如图,圆O是△ABC的外接圆,∠A=68°,则∠OBC的大小是( )A.22°B.26°C.32°D.68°【答案】A【解析】试题分析:根据同弧所对的圆心角等于圆周角度数的两倍,则∠BOC=2∠A=136°,则根据三角形内角和定理可得:∠OBC+∠OCB=44°,根据OB=OC可得:∠OBC=∠OCB=22°.考点:圆周角的计算14.如图,在边长为8的菱形ABCD中,∠DAB=60°,以点D为圆心,菱形的高DF为半径画弧,交AD 于点E ,交CD 于点G ,则图中阴影部分的面积是 ( )A .183π-B .183πC .32316πD .1839π-【答案】C【解析】【分析】 由菱形的性质得出AD=AB=8,∠ADC=120°,由三角函数求出菱形的高DF ,图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积,根据面积公式计算即可.【详解】解:∵四边形ABCD 是菱形,∠DAB=60°,∴AD=AB=8,∠ADC=180°-60°=120°,∵DF 是菱形的高,∴DF ⊥AB ,∴DF=AD •sin60°=383= ∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积 =2120(43)84332316ππ⨯⨯=. 故选:C.【点睛】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算;由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键.15.下列命题中正确的个数是( )①过三点可以确定一个圆②直角三角形的两条直角边长分别是5和12,那么它的外接圆半径为6.5③如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切,那么圆心距为5厘米④三角形的重心到三角形三边的距离相等.A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】A【解析】【分析】①根据圆的作法即可判断;②先利用勾股定理求出斜边的长度,然后根据外接圆半径等于斜边的一半即可判断;③根据圆与圆的位置关系即可得出答案;④根据重心的概念即可得出答案.【详解】①过不在同一条直线上的三点可以确定一个圆,故错误;②∵直角三角形的两条直角边长分别是5和12, ∴斜边为2251213+= ,∴它的外接圆半径为.113652⨯=,故正确; ③如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切,那么圆心距为5厘米或1厘米,故错误; ④三角形的内心到三角形三边的距离相等,故错误;所以正确的只有1个,故选:A .【点睛】本题主要考查直角三角形外接圆半径,圆与圆的位置关系,三角形内心,重心的概念,掌握直角三角形外接圆半径的求法,圆与圆的位置关系,三角形内心,重心的概念是解题的关键.16.若正六边形的半径长为4,则它的边长等于( )A .4B .2C .23D .43【答案】A【解析】试题分析:正六边形的中心角为360°÷6=60°,那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形,故正六边形的半径等于4,则正六边形的边长是4.故选A . 考点:正多边形和圆.17.如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,若∠BOD=86°,则∠BCD 的度数是( )A .86°B .94°C .107°D .137° 【答案】D【解析】【分析】【详解】解:∵∠BOD=86°,∴∠BAD=86°÷2=43°,∵∠BAD+∠BCD=180°,∴∠BCD=180°-43°=137°,即∠BCD的度数是137°.故选D.【点睛】本题考查圆内接四边形的对角互补.②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角).18.我们研究过的图形中,圆的任何一对平行切线的距离总是相等的,所以圆是“等宽曲线”.除了圆以外,还有一些几何图形也是“等宽曲线”,如勒洛三角形(如图1),它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间画一段圆弧,三段圆弧围成的曲边三角形. 图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图.图1图2有如下四个结论:①勒洛三角形是中心对称图形②图1中,点A到BC上任意一点的距离都相等③图2中,勒洛三角形的周长与圆的周长相等④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西,会发生上下抖动上述结论中,所有正确结论的序号是()A.①②B.②③C.②④D.③④【答案】B【解析】【分析】逐一对选项进行分析即可.【详解】①勒洛三角形不是中心对称图形,故①错误;②图1中,点A到BC上任意一点的距离都相等,故②正确;③图2中,设圆的半径为r∴勒洛三角形的周长=12032180rrππ⨯=g g圆的周长为2rπ∴勒洛三角形的周长与圆的周长相等,故③正确;④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西,不会发生上下抖动,故④错误故选B【点睛】本题主要考查中心对称图形,弧长公式等,掌握中心对称图形和弧长公式是解题的关键.19.一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆,则该圆锥的底面半径是( )A .13B .12C .34D .1【答案】B【解析】 【分析】根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长,即可求得底面周长,进而即可求得底面的半径长. 【详解】圆锥的底面周长是:π;设圆锥的底面半径是r ,则2πr=π.解得:r=12. 故选B .【点睛】本题考查了圆锥的计算,正确理解理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键,理解圆锥的母线长是扇形的半径,圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.20.在平面直角坐标系内,以原点O 为圆心,1为半径作圆,点P 在直线323y x =+上运动,过点P 作该圆的一条切线,切点为A ,则PA 的最小值为( )A .3B .2C 3D 2 【答案】D【解析】【分析】先根据题意,画出图形,令直线3x+ 23x 轴交于点C ,与y 轴交于点D ,作OH ⊥CD 于H ,作OH ⊥CD 于H ;然后根据坐标轴上点的坐标特点,由一次函数解析式,求得C 、D 两点的坐标值; 再在Rt △POC 中,利用勾股定理可计算出CD 的长,并利用面积法可计算出OH 的值; 最后连接OA ,利用切线的性质得OA ⊥PA ,在Rt △POH 中,利用勾股定理,得到21PA OP =-PA 的最小值即可.【详解】如图,令直线3x+23x轴交于点C,与y轴交于点D,作OH⊥CD于H,当x=0时,y=3D(0,3当y=033,解得x=-2,则C(-2,0),∴222(23)4CD=+=,∵12OH•CD=12OC•OD,∴OH=233 4⨯=连接OA,如图,∵PA为⊙O的切线,∴OA⊥PA,∴2221PA OP OA OP=-=-当OP的值最小时,PA的值最小,而OP的最小值为OH的长,∴PA22(3)12-=故选D.【点睛】本题考查了切线的性质,解题关键是熟记切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.。

中考数学复习《圆》专题训练-带有参考答案

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中考数学复习《圆》专题训练-带有参考答案一、选择题1.已知⊙O 的半径是3cm ,则⊙O 中最长的弦长是( )A .3cmB .6cmC .1.5cmD .√3cm2.如图,AB 是⊙O 的直径,C 、D 在⊙O 上∠CAB =20°,则∠ADC 等于( )A .70°B .110°C .140°D .160°3.如图,AB 是⊙O 的直径,过点A 作⊙O 的切线AC ,连接BC ,与⊙O 交于点D ,E 是⊙O 上一点,连接AE ,DE .若∠C =48°,则∠AED 的度数为( )A .42°B .48°C .32°D .38°4.如图,线段AB 经过⊙O 的圆心,AC ,BD 分别与⊙O 相切于点C ,D .若AC =BD =2√3,∠A =30°,则CD⌢的长度为( )A .πB .23πC .√23πD .2π5.如图,⊙O 的半径为9,PA 、PB 分别切⊙O 于点A ,B 若P =60∘,则AB⌢的长为( )A .133πB .136πC .6πD .52π⌢的中点,点E是BC⌢上的一点,若∠ADC=110°,则∠DEC 6.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,点D是AC的度数是()A.35°B.45°C.50°D.55°7.如图,正六边形ABCDEF内接于00,若0 O的周长等于6π,则正六边形的边长为()A.√3B.3 C.2√3D.√68.如图,AB是⊙O的直径,将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD,此时点C的对应点D落在AB上,延长CD,交⊙O于点E,若CE=4,则图中阴影部分的面积为()A.2πB.2√2C.2π−4D.2π−2√2二、填空题9.如图,AB为△ADC的外接圆⊙O的直径,若∠BAD=50°,则∠ACD= °.10.如图,等边三角形ABC内接于⊙O,BD为内接正十二边形的一边,CD=5√2cm,则⊙O的半径R为11.如图,秋千拉绳长3m,静止时踩板离地面(CD)0.5m.一名小朋友荡秋千时,秋千在最高处时踩板离地面(BE)2m(左右对称),则该秋千从B荡到A经过的圆弧长为m.12.如图,已知⊙O上三点A,B,C,切线PA交OC延长线于点P,若OP=2OC,则∠ABC=.13.如图,一个扇形纸片的圆心角为90°,半径为6,将这张扇形纸片折叠,使点A与点O恰好重合,折痕为CD,则阴影部分的面积为.三、解答题14.如图.为的直径,连接,点E在上,AB=BE.求证:(1)平分;(2).15.如图,P为⊙O外一点,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,点C在⊙O上,连接OA,OC,AC.(1)求证:∠AOC=2∠PAC;(2)连接OB,若AC//OB,⊙O的半径为5,AC=6,求AP的长.16.如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,AE⊥OC于点D,交BC于F,与过点B的直线交于点E,且BE=EF.(1)求证:BE是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为10,OD=6求BE的长.17.如图,⊙O是△ABC的外接圆,直径BD与AC交于点E,过点D作⊙O的切线,与BC的延长线交于点F.(1)求证:∠F=∠BAC;(2)若DF∥AC,若AB=8,CF=2求AC的长.18.如图,在中,AB=AC以为直径的分别与、相交于点D、E,连接过点作,垂足为点(1)求证:是的切线;(2)若的半径为4,求图中阴影部分的面积.参考答案1.B2.B3.A4.B5.C6.A7.B8.C9.4010.511.2π12.30°13.9√3−3π14.(1)证明:∵∴∴∴平分(2)证明:∵∠BAD=∠DAC∴∴由(1)知∴∴∠ABC=∠ECB∴AB∥CE.15.(1)证明:过O作OH⊥AC于H∴∠OHA=90°∴∠AOH+∠OAC=90°∵PA是⊙O的切线∴∠OAP=90°∴∠OAC+∠PAC=90°∴∠AOH=PAC∵OA=OC∴∠AOC=2∠AOH∴∠AOC=2∠PAC;(2)解:连接OB,延长AC交PB于E∵PA,PB是⊙O的切线∴OB⊥PB,PA=PB∵AC//OB∴AC⊥PB∴四边形OBEH是矩形∴OH=BE,HE=OB=5∵OH⊥AC,OA=OC∴AH=CH=12AC=3∴OH=√OC2−CH2=4∴BE=OH=4,AE=AH+HE=8∵PA2=AE2+PE2∴PA2=82+(PA−4)2∴PA=10.16.(1)证明:∵BE=EF∴∠EBF=∠EFB∵∠CFD=∠EFB∴∠EBF=∠CFD∵OC=OB∴∠OCB=∠OBC∵AE⊥OC∴∠OCB+∠CFD=90°∴∠OBC+∠EBF=90°=∠ABE∴AB⊥BE∵AB是⊙O的直径∴BE是⊙O的切线;(2)解:∵⊙O的半径为10∴OA=OB=OC=10∴AB=20∵AE⊥OC∴∠ADO=90°∴在Rt△ADO中AD=√AO2−DO2∵OD=6∴AD=√AO2−DO2=√102−62=8∵结合(1),可知∠ABE=∠ADO=90°,∠BAE=∠DAO ∴△ADO∽△ABE∴BEAB =DOAD,即BE=DOAD×AB∵AD=8,AB=20,DO=6∴BE=DOAD ×AB=68×20=15即所求的值为15.17.(1)证明:∵DF是⊙O的切线∴OD⊥DF∴∠ODF=90°∴∠F+∠DBC=90°∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°∴∠BAC+∠DAC=90°∵∠DBC=∠DAC∴∠F=∠BAC;(2)解:连接CD∵DF∥AC,∠ODF=90°∴∠BEC=∠ODF=90°∴直径BD⊥AC于E∴AE=CE=12AC∴AB=BC=8∵BD是⊙O的直径∴∠BCD=90°∴∠DBC+∠BDC=90°∵∠DBC+∠F=90°∴∠BDC=∠F∵∠BCD=∠FCD=90°∴△BCD∽△DCF∴BCDC =DCCF,即8DC=DC2∴DC=4∴BD=√BC2+CD2=√82+42=4√5∵在△BCD中SΔBCD=12BC⋅CD=12BD⋅CE∴12×8×4=12×4√5⋅CE∴CE=85√5∴AC=2CE=165√5.18.(1)证明:连接.是的直径.又AB=AC∴D是BC的中点.连接;由中位线定理,知又.是的切线;(2)解:连接的半径为。

全国各地中考数学分类:圆的综合综合题汇编及答案

全国各地中考数学分类:圆的综合综合题汇编及答案

全国各地中考数学分类:圆的综合综合题汇编及答案一、圆的综合1.如图,点A、B、C分别是⊙O上的点, CD是⊙O的直径,P是CD延长线上的一点,AP=AC.(1)若∠B=60°,求证:AP是⊙O的切线;(2)若点B是弧CD的中点,AB交CD于点E,CD=4,求BE·AB的值.【答案】(1)证明见解析;(2)8.【解析】(1)求出∠ADC的度数,求出∠P、∠ACO、∠OAC度数,求出∠OAP=90°,根据切线判定推出即可;(2)求出BD长,求出△DBE和△ABD相似,得出比例式,代入即可求出答案.试题解析:连接AD,OA,∵∠ADC=∠B,∠B=60°,∴∠ADC=60°,∵CD是直径,∴∠DAC=90°,∴∠ACO=180°-90°-60°=30°,∵AP=AC,OA=OC,∴∠OAC=∠ACD=30°,∠P=∠ACD=30°,∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°,即OA⊥AP,∵OA为半径,∴AP是⊙O切线.(2)连接AD,BD,∵CD 是直径,∴∠DBC=90°,∵CD=4,B 为弧CD 中点,∴BD=BC=,∴∠BDC=∠BCD=45°,∴∠DAB=∠DCB=45°,即∠BDE=∠DAB ,∵∠DBE=∠DBA ,∴△DBE ∽△ABD , ∴,∴BE•AB=BD•BD=. 考点:1.切线的判定;2.相似三角形的判定与性质.2.如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,点D 在BC uuu r 上,点E 在弦AB 上(E 不与A 重合),且四边形BDCE 为菱形.(1)求证:AC=CE ;(2)求证:BC 2﹣AC 2=AB•AC ;(3)已知⊙O 的半径为3.①若AB AC =53,求BC 的长; ②当AB AC为何值时,AB•AC 的值最大?【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)2;②32【解析】分析:(1)由菱形知∠D=∠BEC,由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC,据此得证;(2)以点C为圆心,CE长为半径作⊙C,与BC交于点F,于BC延长线交于点G,则CF=CG=AC=CE=CD,证△BEF∽△BGA得BE BGBF BA=,即BF•BG=BE•AB,将BF=BC-CF=BC-AC、BG=BC+CG=BC+AC代入可得;(3)①设AB=5k、AC=3k,由BC2-AC2=AB•AC知BC=26k,连接ED交BC于点M,Rt△DMC中由DC=AC=3k、MC=12BC=6k求得DM=22CD CM-=3k,可知OM=OD-DM=3-3k,在Rt△COM中,由OM2+MC2=OC2可得答案.②设OM=d,则MD=3-d,MC2=OC2-OM2=9-d2,继而知BC2=(2MC)2=36-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=(3-d)2+9-d2,由(2)得AB•AC=BC2-AC2,据此得出关于d的二次函数,利用二次函数的性质可得答案.详解:(1)∵四边形EBDC为菱形,∴∠D=∠BEC,∵四边形ABDC是圆的内接四边形,∴∠A+∠D=180°,又∠BEC+∠AEC=180°,∴∠A=∠AEC,∴AC=CE;(2)以点C为圆心,CE长为半径作⊙C,与BC交于点F,于BC延长线交于点G,则CF=CG,由(1)知AC=CE=CD,∴CF=CG=AC,∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形,∴∠G+∠AEF=180°,又∵∠AEF+∠BEF=180°,∴∠G=∠BEF,∵∠EBF=∠GBA,∴△BEF∽△BGA,∴BE BGBF BA=,即BF•BG=BE•AB,∵BF=BC ﹣CF=BC ﹣AC 、BG=BC+CG=BC+AC ,BE=CE=AC ,∴(BC ﹣AC )(BC+AC )=AB•AC ,即BC 2﹣AC 2=AB•AC ;(3)设AB=5k 、AC=3k ,∵BC 2﹣AC 2=AB•AC ,∴k ,连接ED 交BC 于点M ,∵四边形BDCE 是菱形,∴DE 垂直平分BC ,则点E 、O 、M 、D 共线,在Rt △DMC 中,DC=AC=3k ,MC=12k , ∴=,∴OM=OD﹣DM=3k ,在Rt △COM 中,由OM 2+MC 2=OC 2得(3)2+k )2=32,解得:k=0(舍), ∴;②设OM=d ,则MD=3﹣d ,MC 2=OC 2﹣OM 2=9﹣d 2,∴BC 2=(2MC )2=36﹣4d 2,AC 2=DC 2=DM 2+CM 2=(3﹣d )2+9﹣d 2,由(2)得AB•AC=BC 2﹣AC 2=﹣4d 2+6d+18=﹣4(d ﹣34)2+814, ∴当d=34,即OM=34时,AB•AC 最大,最大值为814, ∴DC 2=272,∴,∴AB=4,此时32AB AC =. 点睛:本题主要考查圆的综合问题,解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点.3.如图,AB 为⊙O 的直径,点E 在⊙O 上,过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ,连接BE ,过点O 作BE 的平行线,交⊙O 于点F ,交切线于点C ,连接AC(1)求证:AC 是⊙O 的切线;(2)连接EF ,当∠D= °时,四边形FOBE 是菱形.【答案】(1)见解析;(2)30.【解析】【分析】(1)由等角的转换证明出OCA OCE ∆∆≌,根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. (2)根据四边形FOBE 是菱形,得到OF=OB=BF=EF ,得证OBE ∆为等边三角形,而得出60BOE ∠=︒,根据三角形内角和即可求出答案.【详解】(1)证明:∵CD 与⊙O 相切于点E ,∴OE CD ⊥,∴90CEO ∠=︒,又∵OC BE P ,∴COE OEB ∠=∠,∠OBE=∠COA∵OE=OB ,∴OEB OBE ∠=∠,∴COE COA ∠=∠,又∵OC=OC ,OA=OE ,∴OCA OCE SAS ∆∆≌(), ∴90CAO CEO ∠=∠=︒,又∵AB 为⊙O 的直径,∴AC 为⊙O 的切线;(2)解:∵四边形FOBE 是菱形,∴OF=OB=BF=EF ,∴OE=OB=BE ,∴OBE ∆为等边三角形,∴60BOE ∠=︒,而OE CD ⊥,∴30D ∠=︒.故答案为30.【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题,熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.4.如图,在ABC ∆中,90,BAC ∠=︒2,AB AC ==AD BC ⊥,垂足为D ,过,A D 的⊙O 分别与,AB AC 交于点,E F ,连接,,EF DE DF .(1)求证:ADE ∆≌CDF ∆;(2)当BC 与⊙O 相切时,求⊙O 的面积.【答案】(1)见解析;(2)24π.【解析】 分析:(1)由等腰直角三角形的性质知AD =CD 、∠1=∠C =45°,由∠EAF =90°知EF 是⊙O 的直径,据此知∠2+∠4=∠3+∠4=90°,得∠2=∠3,利用“ASA”证明即可得;(2)当BC 与⊙O 相切时,AD 是直径,根据∠C =45°、AC =2可得AD =1,利用圆的面积公式可得答案.详解:(1)如图,∵AB =AC ,∠BAC =90°,∴∠C =45°.又∵AD ⊥BC ,AB =AC ,∴∠1=12∠BAC =45°,BD =CD ,∠ADC =90°. 又∵∠BAC =90°,BD =CD ,∴AD =CD . 又∵∠EAF =90°,∴EF 是⊙O 的直径,∴∠EDF =90°,∴∠2+∠4=90°.又∵∠3+∠4=90°,∴∠2=∠3.在△ADE 和△CDF 中.∵123C AD CD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△ADE ≌△CDF (ASA ).(2)当BC 与⊙O 相切时,AD 是直径.在Rt △ADC 中,∠C =45°,AC 2,∴sin ∠C =AD AC ,∴AD =AC sin ∠C =1,∴⊙O 的半径为12,∴⊙O 的面积为24π. 点睛:本题主要考查圆的综合问题,解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、与圆有关的位置关系等知识点.5.如图,在RtΔABC中,∠ABC=90°,AB=CB,以AB为直径的⊙O交AC于点D,点E是AB边上一点(点E不与点A、B重合),DE的延长线交⊙O于点G,DF⊥DG,且交BC于点F.(1)求证:AE=BF;(2)连接EF,求证:∠FEB=∠GDA;(3)连接GF,若AE=2,EB=4,求ΔGFD的面积.【答案】(1)(2)见解析;(3)9【解析】分析:(1)连接BD,由三角形ABC为等腰直角三角形,求出∠A与∠C的度数,根据AB 为圆的直径,利用圆周角定理得到∠ADB为直角,即BD垂直于AC,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得到AD=DC=BD=12AC,进而确定出∠A=∠FBD,再利用同角的余角相等得到一对角相等,利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等,利用全等三角形对应边相等即可得证;(2)连接EF,BG,由三角形AED与三角形BFD全等,得到ED=FD,进而得到三角形DEF为等腰直角三角形,利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等,利用同位角相等两直线平行,再根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等,即可得出结论;(3)由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1,在直角三角形BEF中,利用勾股定理求出EF的长,利用锐角三角形函数定义求出DE的长,利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似,由相似得比例,求出GE的长,由GE+ED求出GD的长,根据三角形的面积公式计算即可.详解:(1)连接BD.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,∴∠A=∠C=45°.∵AB为圆O的直径,∴∠ADB=90°,即BD⊥AC,∴AD=DC=BD=12AC,∠CBD=∠C=45°,∴∠A=∠FBD.∵DF⊥DG,∴∠FDG=90°,∴∠FDB+∠BDG=90°.∵∠EDA+∠BDG=90°,∴∠EDA=∠FDB.在△AED和△BFD中,A FBDAD BDEDA FDB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△AED ≌△BFD (ASA ),∴AE =BF ;(2)连接EF ,BG .∵△AED ≌△BFD ,∴DE =DF .∵∠EDF =90°,∴△EDF 是等腰直角三角形,∴∠DEF =45°.∵∠G =∠A =45°,∴∠G =∠DEF ,∴GB ∥EF ,∴∠FEB =∠GBA .∵∠GBA =∠GDA ,∴∠FEB =∠GDA ;(3)∵AE =BF ,AE =2,∴BF =2.在Rt △EBF 中,∠EBF =90°,∴根据勾股定理得:EF 2=EB 2+BF 2.∵EB =4,BF =2,∴EF =2242+=25. ∵△DEF 为等腰直角三角形,∠EDF =90°,∴cos ∠DEF =DE EF . ∵EF =25,∴DE =25×22=10. ∵∠G =∠A ,∠GEB =∠AED ,∴△GEB ∽△AED ,∴GE AE =EB ED ,即GE •ED =AE •EB ,∴10•GE =8,即GE =410,则GD =GE +ED =910. ∴119101109222S GD DF GD DE =⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=.点睛:本题属于圆综合题,涉及的知识有:全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理,圆周角定理,以及平行线的判定与性质,熟练掌握判定与性质是解答本题的关键.6.如图,已知AB 为⊙O 直径,D 是»BC的中点,DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ,⊙O 的切线交AD 的延长线于F .(1)求证:直线DE 与⊙O 相切;(2)已知DG ⊥AB 且DE =4,⊙O 的半径为5,求tan ∠F 的值.【答案】(1)证明见解析;(2)2.【解析】试题分析:(1)连接BC、OD,由D是弧BC的中点,可知:OD⊥BC;由OB为⊙O的直径,可得:BC⊥AC,根据DE⊥AC,可证OD⊥DE,从而可证DE是⊙O的切线;(2)直接利用勾股定理得出GO的长,再利用锐角三角函数关系得出tan∠F的值.试题解析:解:(1)证明:连接OD,BC,∵D是弧BC的中点,∴OD垂直平分BC,∵AB 为⊙O的直径,∴AC⊥BC,∴OD∥AE.∵DE⊥AC,∴OD⊥DE,∵OD为⊙O的半径,∴DE 是⊙O的切线;(2)解:∵D是弧BC的中点,∴»»DC DB,∴∠EAD=∠BAD,∵DE⊥AC,DG⊥AB且DE=4,∴DE=DG=4,∵DO=5,∴GO=3,∴AG=8,∴tan∠ADG=84=2,∵BF是⊙O的切线,∴∠ABF=90°,∴DG∥BF,∴tan∠F=tan∠ADG=2.点睛:此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识,正确得出AG,DG的长是解题关键.7.函数是描述客观世界运动变化的重要模型,理解函数的本质是重要的任务。

初中数学圆形专题训练50题含参考答案

初中数学圆形专题训练50题含参考答案

初中数学圆形专题训练50题含参考答案一、单选题1.下列说法错误的是()A.等弧所对的圆心角相等B.弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数C.经过三点可以作一个圆D.三角形的外心到三角形各顶点距离相等【答案】C【分析】根据三角形的外心的性质,确定圆的条件,圆心角、弧、弦的关系判定即可.【详解】解:A等弧所对的圆心角相等,故不符合题意;B、弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数,故不符合题意;C、经过不在同一条直线上的三点可以作一个圆,故符合题意;D、三角形的外心到三角形各顶点距离相等,故不符合题意;故选:C.【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心,确定圆的条件,圆心角、弧、弦的关系,正确的理解题意是解题的关键.2.已知O的半径是5cm,线段OP的长为4cm,则点P()A.在O外B.在O上C.在O内D.不能确定【答案】C【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系,即可判断点和圆的位置关系.点到圆心的距离小于圆的半径,则点在圆内;点到圆心的距离等于圆的半径,则点在圆上;点到圆心的距离大于圆的半径,则点在圆外.OP=<【详解】解:45∴点P在O内,故选:C.【点睛】本题考查了点和圆的位置关系,熟悉点和圆的位置关系的判断是关键.3.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形,根据图所表示的情形,四个工件哪一个肯定是半圆环形?()A.B.C .D . 【答案】B【详解】试题分析:根据直径所对的圆周角为直角可得:B 为正确答案.4.已知⊙O 的半径是一元二次方程2340x x --=的一个根,点A 与圆心O 的距离为6,则下列说法正确在是( )A .点A 在⊙O 外B .点A 在⊙O 上C .点A 在⊙O 内D .无法判断 【答案】A【分析】先求方程的根,可得r 的值,由点与圆的位置关系的判断方法可求解.【详解】解:⊙2340x x --=,⊙1x =﹣1,2x =4,⊙⊙O 的半径为一元二次方程2340x x --=的根,⊙r =4,⊙6>4,⊙点A 在⊙O 外,故选:A .【点睛】本题考查了解一元二次方程,点与圆的位置关系,解决此类问题可通过比较点到圆心的距离d 与圆半径大小关系完成判定.5.如图,AB 是半圆O 的直径,28BAC ∠=︒,则D ∠的度数是( )A .62︒B .118︒C .152︒D .138︒【答案】B 【分析】连接BC ,则直径所对的圆周角是直角可求得B ∠的度数,再由圆内接四边形的性质即可求得结果的度数.【详解】连接BC ,如图所示,AB 是直径,90ACB ∴∠=︒, 90902862B BAC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒,180********D B ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒;故选:B .【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角,圆内接四边形的性质等知识,掌握这两条性质是关键.6.如图,AB 是O 的直径,CD 是O 的弦.若=21BAD ∠︒,则ACD ∠的大小为( )A .21°B .59°C .69°D .79°【答案】C 【分析】先求出ABD ∠的度数,然后再根据圆周角定理的推论解答即可.【详解】解:⊙AB 是O 的直径⊙=90BDA ∠︒,⊙=21BAD ∠︒,⊙=1809021=69ABD ∠--︒︒︒︒,又⊙=AD AD ,⊙==69ACD ABD ∠∠︒,故答案为:C .【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论,解题的关键是熟练掌握在同圆或等圆中同弧或等弧所对圆周角相等;直径所对圆周角等于90°.7.如图,圆与圆的位置关系没有( )A .相交B .相切C .内含D .外离 【答案】A 【分析】根据圆与圆的位置关系,寻找交点个数即可解题.【详解】解:圆与圆相交有两个交点,但是图像中没有两个交点的情况,所以圆与圆的位置关系没有相交,故选A.【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系,属于简单题,熟悉位置关系的辨析方法是解题关键.8.已知在Rt ABC 中, 9034ACB AC BC ∠=︒==,,, 则Rt ABC 的外接圆的半径为( ) A .4B .2.4C .5D .2.5 Rt ABC 中,根据勾股定理得,223BC =直角三角形的外心为斜边中点,Rt ABC 的外接圆的半径为故选:D .【点睛】本题考查了直角三角形的外心的性质,勾股定理的运用,关键是明确直角三角形的斜边为三角形外接圆的直径.9.如图,12∠=∠,则AB CD =的是( ).A .B .C .D .【答案】C【分析】根据圆周角与弧的关系即可求解.【详解】解:根据同圆或等圆,相等的弧所对的圆周角相等,只有C 选项符合题意;⊙12∠=∠,⊙AB CD =.故选:C .【点睛】本题考查了圆周角与弧的关系,掌握同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等是解题的关键.10.ABC ∆中,10AB AC cm ==,12BC cm =,若要剪一张圆形纸片盖住这个三角形,则圆形纸片的最小半径为( )cm .A .5B .6C .152D .254 AB AC =BD DC ∴=连接OB ,在Rt⊙ABD 设圆形纸片的半径为【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质,掌握等腰三角形的三线合一、三角形外接圆的性质及勾股定理是解题的关键. 11.如图所示,MN 是半圆O 的直径,MP 与半圆0相切于点M ,R 是半圆上一动点,RE MP ⊥于E ,连接MR .设MR x =,MR RE y -=,则下列函数图象能反映y 与x 之间关系的是( )A .B .C .D .,可得~EMR RNM ,设半圆2)r ,根据函数的解析式即可判断函数图象⊙~EMR RNM , ER MR MR MN=, 设半圆O 的半径为值2(02x y x x r=-+<<可得到y 是x 的二次函数,开口方向向下,对称轴12.如图,在平面直角坐标系中有一正方形AOBC ,反比例函数y=k x经过正方形AOBC 对角线的交点,半径为4-⊙ABC ,则k 的值为( ).A B .2 C .4 D .=4,⊙DN×NO=4,即:xy=k=4.故选C .考点:反比例函数图象上点的坐标特征;正方形的性质;三角形的内切圆与内心. 13.若5cm AB =,作半径为4cm 的圆,使它经过A 、B 两点,这样的圆能作( ) A .0个B .1个C .2个D .无数个【答案】C【分析】先作AB 的垂直平分线l ,再以点A 为圆心,4cm 为半径作圆交l 于O 1和O 2,然后分别以O 1和O 2为圆心,以4cm 为半径作圆即可;【详解】解:这样的圆能画2个.如图:作AB 的垂直平分线l ,再以点A 为圆心,4cm 为半径作圆交l 于O 1和O 2,然后分别以O 1和O 2为圆心,以4cm 为半径作圆,则⊙O 1和⊙O 2为所求【点睛】本题考查了点与圆的位置关系:设⊙O 的半径为r ,点P 到圆心的距离OP =d ,则有点P 在圆外⇔d >r ;点P 在圆上⇔d =r ;点P 在圆内⇔d <r . 14.如图,在ABC 中,3AB =,6BC =,60ABC ∠=︒,以点B 为圆心,AB 长为半径画弧,交BC 于点D ,则图中阴影部分的面积是( )A .3πB 2π-C πD 32πAB BD =ABD ∴是等边三角形,AD AB ∴=6BC =,3CD ∴=,AD CD ∴=C CAD ∴∠=∠C CAD ∠+∠30C ∴∠=BAC ∴∠=AC ∴=∴图中阴影部分的面积15.如图,已知AB 是O 的直径,弦CD AB ⊥,垂足为E ,且30BCD ∠=︒,CD = )A .24π-B .83π-C .43π-D .348π-故选:B .【点睛】本题考查了扇形的面积计算,勾股定理,含30︒角的直角三角形的性质,等边三角形的性质和判定等知识点,能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键.16.已知扇形的圆心角为120°,半径为6,则扇形的弧长是( ).A .3πB .4πC .5πD .6π17.如图,四边形ABCD 内接于O ,:2:1,2ABC ADC AB ∠∠== ,点C 为BD 的中点,延长AB 、DC 交于点E ,且60E ∠=,则O 的面积是( )A .πB .2πC .3πD .4π 【答案】D 【分析】连接BD ,根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D =∠CBE =60°,根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE =60°,可得∠A =60°,点C 为BD 的中点,可得出∠BDC =∠CBD =30°,进而得出⊙ABD =90°,AD 为直径,可得出AD =2AB =4,再根据面积公式计算得出结论;【详解】解:连接BD ,∵ABCD 是⊙O 的内接四边形,∴∠CBE =∠ADC ,∠BCE =∠A⊙:2:1ABC ADC ∠∠=∴:2:1ABC CBE ∠∠=∴∠CBE =∠ADC=60°,∠CBA =120°⊙60E ∠=⊙⊙CBE 为等边三角形⊙∠BCE =∠A=60°,⊙点C 为BD 的中点,⊙∠CDB =∠DBC=30°⊙⊙ABD =90°,⊙ADB =30°⊙AD 为直径⊙AB =2⊙AD =2AB =4 ⊙O 的面积是=224ππ⨯=故答案选:D【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质,圆周角定理,等边三角形的判定与性质,三角形内角和定理,掌握相关性质及公式是解题的关键.18.一个圆锥的侧面展开图是半径为8,圆心角为120°的扇形,则这个圆锥的高为( )A cmB .163 cmC cmD .83cm19.⊙O 的半径为10cm, A 是⊙O 上一点, B 是OA 中点, C 点和B 点的距离等于5cm, 则C 点和⊙O 的位置关系是 ( )A .C 在⊙O 内B .C 在⊙O 上 C .C 在⊙O 外D .C 在⊙O 上或C 在⊙O 内【答案】D【详解】试题解析:因为⊙O 的半径是10cm ,A 是圆上一点,所以OA=10cm , 又B 是OA 的中点,所以BA=5cm .而BC=5cm ,所以点C 应在以B 为圆心,5cm 为半径的⊙B 上.⊙B 上的点除点A 在⊙O 上外,其它的点都在⊙O 内.故选D .20.如图,在ABC 中,90ACB ∠=︒.AC BC =,4cm AB =.CD 是中线,点E 、F 同时从点D 出发,以相同的速度分别沿DC 、DB 方向移动,当点E 到达点C时,运动停止,直线AE 分别与CF 、BC 相交于G 、H ,则在点E 、F 移动过程中,点G 移动路线的长度为( ).A .2B .πC .2πD .π2【答案】D 【详解】试题解析:如图,,90CA CB ACB AD DB =∠==,,⊙CD ⊙AB ,⊙⊙ADE =⊙CDF =90,CD =AD =DB ,在⊙ADE 和⊙CDF 中,AD CD ADE CDF DE DF ,=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊙⊙ADE ⊙⊙CDF (SAS),⊙⊙DAE =⊙DCF ,⊙⊙AED =⊙CEG ,90,四点共圆,的运动轨迹为弧CD90,的运动轨迹的长为二、填空题21.如图,点C为半圆的中点,AB是直径,点D是半圆上一点,AC、BD交于点BD=,则AC=________.E,若1AD=,722.如图,将长为8cm 的铁丝首尾相接围成半径为2cm 的扇形.则S =扇形________2cm .23.如图,ABC ∆中,90,6,4,ACB BC AC D ∠=︒==是AC 边上的一个动点,过点C 作,CE BD ⊥垂足为,E 则AE 长的最小值为_______________________.【答案】2【分析】取BC 中点F ,连接AE 、EF .易得点E 在以BC 长为直径的圆周上上运动,24.如图,⊙O内接正五边形ABCDE与等边三角形AFG,则⊙FBC=__________.【分析】连接OA,OB,OF,OC,分别求出正五边形ABCDE和正三角形AFG的中心角,结合图形计算即可.【详解】解:连接OA,OB,OF,OC.25.如图,点A、B在半径为3的⊙O上,劣弧AB长为π2,则⊙AOB=____.26.如图,Rt⊙ABC中,⊙ACB=90°,⊙A=30°,BC=6,D,E分别是AB,AC边的中点,将⊙ABC绕点B顺时针旋转60°到⊙A′BC′的位置,则整个旋转过程中线段DE所扫过部分的面积(即图中阴影部分面积)为_____.【详解】27.四边形ABCD 是O 的内接四边形,2C A ∠=∠,则C ∠的度数为___.【答案】120°##120度【分析】根据圆内接四边形对角互补,再结合已知条件求解即可.【详解】解:四边形ABCD 是O 的内接四边形,180C A∴∠+∠=︒2C A∠=∠,120C∴∠=︒.故答案为:120︒.【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质,掌握圆内接四边形对角互补是解答本题的关键.28.如图,在Rt⊙ABC中,⊙C=90°,AB=13,AC=5,以点C为圆心r为半径作圆,如果⊙C与AB相切,则半径r的值是_______.【答案】6013##8413来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.也考查了勾股定理.29.如图,在⊙O中,点C在优弧ACB上,将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D,若⊙O AB=4,则BC的长是_____.30.如图,AB 与⊙O 相切于点B ,线段OA 与弦BC 垂直,垂足为,2D AB BC ==,则AOB ∠=_________.31.如图,在正方形网格中建立平面直角坐标系,一条圆弧经过点()()()0,4,4,4,6,2A B C --.(1)若该圆弧所在圆的圆心为D ,则AD 的长为__________.(2)该圆弧的长为___________.90255180π=【详解】解:(1)如图,易知点2425+=即D 的半径为AD CD ==2AD DC +ACD ∆为直角三角形,根据题意得90255180π=即该圆弧的长为5π.【点睛】本题主要考查圆,扇形等知识的综合应用,掌握确定圆心的方法,即确定出的坐标是解题的关键.OD BC,OD与32.如图,已知AB是半圆O的直径,C、D是半圆O上的两点,且//∠=______.AC交于点E,若E是OD中点,,则CAD【答案】30°【分析】先判定AC垂直平分OD,进而可判定⊙OAD是等边三角形,再由三线合一即可求出⊙CAD的度数.【详解】⊙AB是半圆O的直径,⊙⊙ACB=90°.OD BC,⊙//⊙⊙AED=90°.⊙E是OD中点,⊙AC垂直平分OD,⊙AD=OA,⊙OA=OD,⊙⊙OAD是等边三角形,⊙⊙OAD=60°,⊙⊙CAD=30°.故答案为:30°.【点睛】本题考查了圆周角定理,平行线的性质,线段垂直平分线的判定与性质,以及等边三角形的判定与性质,熟练掌握圆周角定理、线段垂直平分线的判定与性质是解答本题的关键.33.如图,在半径为2cm的扇形纸片AOB中,⊙AOB=90°,将其折叠使点B落在点O 处,折痕为DE,则图中阴影部分的面积为________cm2334.若点O 是等腰ABC 的外心,且60,BOC ∠=︒底边4,BC =则ABC 的边BC 上的高为 ____________________.E,如果点F是弧EC的中点,联结FB,那么tan⊙FBC的值为.关系;解直角三角形.【答案】【详解】试题分析:连接CE交BF于H,连接BE,根据矩形的性质求出AB=CD=3,AD=BC=5=BE,⊙A=⊙D=90°,根据勾股定理求出AE=4,求出DE=1,根据勾股定理求出CE,求出CH,解直角三角形求出即可.解:连接CE交BF于H,连接BE,⊙四边形ABCD是矩形,AB=3,BC=5,⊙AB=CD=3,AD=BC=5=BE,⊙A=⊙D=90°,由勾股定理得:AE==4,DE=5﹣4=1,由勾股定理得:CE==,由垂径定理得:CH=EH=CE=,在Rt⊙BFC中,由勾股定理得:BH==,所以tan⊙FBC===.故答案为.36.O是ABC的外心,且140∠=________;若I是ABC的内心,∠=,则ABOC且140∠=________.BIC∠=,则A70100是ABC的外心,且140,如图所示:是ABC的内心,且140,如图所示:⊙I 是⊙ABC 的内心,⊙⊙A=180°-(⊙ABC+⊙ACB)= 180°-2(⊙IBC+⊙ICB)=180°-2(180°-140°)=100°. 故答案为70°;100°.【点睛】本题考查了三角形内外心的性质,熟知三角形内外心的性质是解题的关键. 37.冬天的雪是我们的乐园,一次下雪后,小伙伴们堆了一大雪人,准备给雪人制作一个底面半径为9cm ,母线长为30cm 的圆锥形礼帽,则这个圆锥形礼帽的侧面积为____________cm 2 .(结果保留π)【答案】270π.【详解】试题分析:S=πrl=9×30π=270π(2cm ).考点:圆锥的侧面积计算.38.已知O 的直径10AB =cm ,CD 是O 的弦,AE CD ⊥,垂足为点E ,BF CD ⊥,垂足为点F ,且8CD =cm ,则BF AE -的长为________cm .39.如图,I 是直角ABC 的内切圆,切点为D 、E 、F ,若10AF ,3BE =,则ABC 的面积为_____.的值,再利用三角形的面积公式求得ABC 的面积即可.【详解】解:I 是直角ABC 的内切圆,且10AF ,BE =3,10AF AD ==,CE 13=,x ,则3BC x ,AC 中,222AC BC AB +=,即)22313x +=,(不符题意,舍去)ABC ∴的面积为故答案为:【点睛】本题考查了切线长定理、勾股定理、一元二次方程的应用,熟记切线长定理是解题的关键.40.如图,正六边形ABCDEF内接于半径为1cm的⊙O,则图中阴影部分的面积为_____cm2(结果保留π).三、解答题41.如图,在边长为4的正方形ABCD中,以AD为直径作⊙O,以C为圆心,CD长为半径作⊙C,两圆交于正方形内一点E,连CE并延长交AB于F.(1)求证:CF 与⊙O 相切;(2)求△BCF 和直角梯形ADCF 的周长之比. 【答案】(1)证明见详解;(2)6:7.【分析】(1)连接OE 、DE ,根据等腰三角形性质推出⊙ODE =⊙OED ,⊙CDE =⊙CED ,推出⊙OED +⊙CED =90°,根据切线的判定推出即可;(2)过F 作FM⊙DC 于M ,得出四边形ADMF 是矩形,推出AD =FM =4,AF =DM ,求出AF =EF ,设AF =EF =x ,DM =x ,在Rt △FMC 中,由勾股定理得出方程()()222444x x +-=+,求出x 的值,即可求出△BCF 的周长和直角梯形ADCF 的周长.【详解】(1)证明:连接OE ,DE ,⊙OD =OE ,CE =CD ,⊙⊙ODE =⊙OED ,⊙CDE =⊙CED ,⊙四边形ABCD 是正方形,⊙⊙ADC =90°,⊙⊙ADC =⊙ODE +⊙CDE =90°,⊙⊙OED +⊙CED =90°,即OE⊙CF ,⊙OE 为半径,⊙CF 与⊙O 相切.(2)解:如图:过F 作FM⊙DC 于M ,⊙四边形ABCD 是正方形,⊙AD =DC =BC =AB =CE =4,⊙FAD =⊙ADM =⊙FMD =⊙FMC =90°,⊙四边形ADMF 是矩形,⊙AD =FM =4,AF =DM⊙⊙OAF =90°,OA 为半径,⊙AF 切⊙O 于A ,CF 切⊙O 于E ,⊙AF =EF ,设AF =EF =x ,DM =x ,在Rt △FMC 中,由勾股定理得:222FM MC CF +=,()()222444x x +-=+, 解得:x =1,⊙AF =EF =DM =1,⊙CF =4+1=5,⊙⊙BCF 的周长是BC +CF +BF =4+5+4−1=12,直角梯形ADCF 的周长是AD +DC +CF +AF =4+4+5+1=14,⊙⊙BCF 和直角梯形ADCF 的周长之比是12:14=6:7.【点睛】本题考查了正方形性质,切线的性质和判定,矩形的性质和判定,勾股定理的应用,主要考查学生综合运用定理进行推理的能力.42.已知ABC 内接于O ,BAC ∠的平分线交O 于点D ,连接DB ,DC . (1)如图⊙,当120BAC ∠=时,请直接写出线段AB ,AC ,AD 之间满足的等量关系式: ;(2)如图⊙,当90BAC ∠=时,试探究线段AB ,AC ,AD 之间满足的等量关系,并证明你的结论;(3)如图⊙,若BC=5,BD=4,求AD AB AC+ 的值.43.如图,在Rt⊙ABC中,⊙C=90°,BE平分⊙ABC交AC于点E,点D在AB边上且DE⊙BE.(1)判断直线AC与⊙DBE外接圆的位置关系,并说明理由;(2)若AD=6,BC的长.【答案】(1)直线AC与⊙DBE外接圆相切.(2)BC=4.【分析】(1)取BD的中点O,连接OE,证明⊙OEB=⊙CBE后可得OE⊙AC;(2)设OD=OE=OB=x,利用勾股定理求出x的值,再证明△AOE⊙⊙ABC,利用线段比求解.【详解】(1)直线AC与⊙DBE外接圆相切.理由:⊙DE⊙BE⊙BD为⊙DBE外接圆的直径取BD的中点O(即⊙DBE外接圆的圆心),连接OE⊙OE=OB⊙⊙OEB=⊙OBE⊙BE平分⊙ABC⊙⊙OBE=⊙CBE⊙⊙OEB=⊙CBE⊙⊙CBE+⊙CEB=90°⊙⊙OEB+⊙CEB=90°,即OE⊙AC44.如图,已知AB是⊙O的直径,⊙O交⊙ABE边AE于点D,点P在BA的延长线上,PD交BE于点C.现有3个选项:⊙AB=BE,⊙PC⊙BE,⊙PD是⊙O的切线.(1)请从3个选项中选择两个作为条件,余下一个作为结论,得到一个真命题,并证明;你选择的两个条件是,结论是(只要填写序号);(2)在(1)的条件下,连接OC,如果P A=2,sin⊙ABC=45,求OC的长.=AB BE∴∠=BAE∴∥OD BE∴∠=ODP∴PD是⊙4CP =2,PA OD∴=OD OA45.如图,BD是⊙O的直径,过点D的切线交⊙O的弦BC的延长线于点E,弦AC⊙DE交BD于点G(1)求证:BD平分弦AC;(2)若弦AD=5㎝,AC=8㎝,求⊙O的半径.46.如图,⊙ABC 为⊙O 的内接三角形,其中AB 为⊙O 的直径,过点A 作⊙O 的切线P A .(1)求证:⊙P AC =⊙ABC ;(2)若⊙P AC =30°,AC =3,求劣弧AC 的长.603180π=π.【点睛】本题考查了切线的性质,圆周角定理的推论,弧长公式,熟练掌握相关知识是解题的关键.47.如图,在⊙ABC中,AB=AC,以AB为直径的半圆分别交AC,BC边于点D,E,连结BD,(1)求证:DE BE=;(2)当AB=10,BD=8,求CD和BE的长.48.在复习菱形的判定方法时,某同学进行了画图探究,其作法和图形如下:⊙画线段AB;⊙分别以点A,B为圆心,大于AB长的一半为半径作弧,两弧相交于M、N两点,作直线MN交AB于点O;⊙在直线MN上取一点C(不与点O重合),连接AC、BC;⊙过点A作平行于BC的直线AD,交直线MN于点D,连接B D.(2)该同学在图形上继续探究,他以点O为圆心作四边形ADBC的内切圆,构成如图所示的阴影部分,若AB=⊙BAD=30°,求图中阴影部分的面积.1149.如图,AB是⊙O的直径,CD与⊙O相切于点C,且与AB的延长线交于点D,连接AC.作CE⊙AB于点E.(1)求证:⊙BCE=⊙BCD;(2)若AD=8,12BCAC=,求CD的长.【答案】(1)见解析;(2)CD=4【分析】(1)连接OC,如图,利用圆周角定理得到⊙ACB=90°,利用切线的性质得到⊙DCO=90°,则根据等角的余角相等得到⊙ACO=⊙BCD,同样方法证明⊙A=⊙BCE,从而得到⊙BCE=⊙BCD;(2)证明⊙ACD⊙⊙CBD,然后利用相似比求CD的长.【详解】(1)证明:连接OC,如图,⊙AB是⊙O的直径,⊙⊙ACB=90°,即⊙ACO+⊙OCB=90°,⊙CD与⊙O的相切于点C,⊙⊙DCO=90°,即⊙BCD+⊙OCB=90°,⊙⊙ACO=⊙BCD,⊙OC=OA,⊙⊙A=⊙ACO,50.如图,ABC 中,90ACB ∠=︒,30A ∠=︒,2AB =,点P 从点A 出发,以每秒12个单位长度的速度沿AB 向点B 运动,到点B 停止.同时点Q 从点A 出发,沿AC CB -的线路向点B 运动,在边AC BC 上的速度为每秒2个单位长度,到B 停止,以PQ 为边向右或右下方构造等边PQR ,设P 的运动时间为t 秒,解答下列问题:(1)填空:BC =__________,AC =__________.(2)当Q 在AC 上,R 落在BC 边上时,求t 的值.(3)连结BR .⊙当Q 在边AC 上,BR 与ABC 的一边垂直时,求PQR 的边长.⊙当Q 在边BC 上且R 不与点B 重合时,判断BR 的方向是否变化,若不变化,说明理由.理由见解析⊙ABC中,90,30∠,ABA=,3作QD⊙AB59⊙⊙QPR是等边三角形,⊙⊙QRP=60°,⊙⊙ABC=90°-⊙A=60°,⊙⊙QBP=⊙QRP=60°,⊙Q、P、B、R四点共圆,⊙⊙QBR=⊙QPR=60°,⊙BR的方向不变.【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质,含30度角的直角三角形的性质,四点共圆等等,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.。

2024年中考数学真题汇编专题22 圆的相关性质+答案详解

2024年中考数学真题汇编专题22 圆的相关性质+答案详解

2024年中考数学真题汇编专题22 圆的相关性质+答案详解(试题部分)一、单选题1.(2024·湖南·中考真题)如图,AB ,AC 为O 的两条弦,连接OB ,OC ,若45A ∠=︒,则BOC ∠的度数为( )A .60︒B .75︒C .90︒D .135︒2.(2024·甘肃临夏·中考真题)如图,AB 是O 的直径,35E ∠=︒,则BOD ∠=( )A .80︒B .100︒C .120︒D .110︒3.(2024·江苏连云港·中考真题)如图,将一根木棒的一端固定在O 点,另一端绑一重物.将此重物拉到A 点后放开,让此重物由A 点摆动到B 点.则此重物移动路径的形状为( )A .倾斜直线B .抛物线C .圆弧D .水平直线4.(2024·四川凉山·中考真题)数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径,小明的解决方案是:在工件圆弧上任取两点,A B ,连接AB ,作AB 的垂直平分线CD 交AB 于点D ,交AB 于点C ,测出40cm 10cm AB CD ==,,则圆形工件的半径为( )A .50cmB .35cmC .25cmD .20cm5.(2024·内蒙古赤峰·中考真题)如图,AD 是O 的直径,AB 是O 的弦,半径OC AB ⊥,连接CD ,交OB 于点E ,42BOC ∠=︒,则OED ∠的度数是( )A .61︒B .63︒C .65︒D .67︒6.(2024·湖北·中考真题)AB 为半圆O 的直径,点C 为半圆上一点,且50CAB ∠=︒.①以点B 为圆心,适当长为半径作弧,交,AB BC 于,D E ;②分别以DE 为圆心,大于12DE 为半径作弧,两弧交于点P ;③作射线BP ,则ABP ∠=( )A .40︒B .25︒C .20︒D .15︒7.(2024·四川宜宾·中考真题)如图,AB 是O 的直径,若60CDB ∠=︒,则ABC ∠的度数等于( )A .30︒B .45︒C .60︒D .90︒8.(2024·四川广元·中考真题)如图,已知四边形ABCD 是O 的内接四边形,E 为AD 延长线上一点,128AOC ∠=︒,则CDE ∠等于( )A .64︒B .60︒C .54︒D .52︒9.(2024·云南·中考真题)如图,CD 是O 的直径,点A 、B 在O 上.若AC BC =,36AOC ∠=,则D ∠=( )A .9B .18C .36oD .4510.(2024·黑龙江绥化·中考真题)下列叙述正确的是( )A .顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形B .平分弦的直径垂直于弦CD .相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等11.(2024·广东广州·中考真题)如图,O 中,弦AB 的长为点C 在O 上,OC AB ⊥,30ABC ∠=︒.O 所在的平面内有一点P ,若5OP =,则点P 与O 的位置关系是( )A .点P 在O 上B .点P 在O 内C .点P 在O 外D .无法确定12.(2024·黑龙江牡丹江·中考真题)如图,四边形ABCD 是O 的内接四边形,AB 是O 的直径,若20BEC ∠=︒,则ADC ∠的度数为( )A .100︒B .110︒C .120︒D .130︒13.(2024·湖北武汉·中考真题)如图,四边形ABCD 内接于O ,60ABC ∠=︒,45BAC CAD ∠=∠=︒,2AB AD +=,则O 的半径是( )A B C D二、填空题14.(2024·四川南充·中考真题)如图,AB 是O 的直径,位于AB 两侧的点C ,D 均在O 上,30BOC ∠=︒,则ADC ∠= 度.15.(2024·北京·中考真题)如图,O 的直径AB 平分弦CD (不是直径).若35D ∠=︒,则C ∠= ︒16.(2024·江苏苏州·中考真题)如图,ABC 是O 的内接三角形,若28OBC ∠=︒,则A ∠= .17.(2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题)如图,ABC 内接于O ,AD 是直径,若25B ∠=︒,则CAD ∠ ︒.18.(2024·四川眉山·中考真题)如图,ABC 内接于O ,点O 在AB 上,AD 平分BAC ∠交O 于D ,连接BD .若10AB =,BD =BC 的长为 .19.(2024·陕西·中考真题)如图,BC 是O 的弦,连接OB ,OC ,A ∠是BC 所对的圆周角,则A ∠与OBC ∠的和的度数是 .20.(2024·黑龙江牡丹江·中考真题)如图,在O 中,直径AB CD ⊥于点E ,6,1CD BE ==,则弦AC 的长为 .21.(2024·江西·中考真题)如图,AB 是O 的直径,2AB =,点C 在线段AB 上运动,过点C 的弦DE AB ⊥,将DBE 沿DE 翻折交直线AB 于点F ,当DE 的长为正整数时,线段FB 的长为 .22.(2024·河南·中考真题)如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,3CA CB ==,线段CD 绕点C 在平面内旋转,过点B 作AD 的垂线,交射线AD 于点E .若1CD =,则AE 的最大值为 ,最小值为 .三、解答题23.(2024·四川甘孜·中考真题)如图,AB 为⊙O 的弦,C 为AB 的中点,过点C 作CD AB ∥,交OB 的延长线于点D .连接OA OC ,.(1)求证:CD 是⊙O 的切线;(2)若32OA BD ==,,求OCD 的面积.24.(2024·内蒙古包头·中考真题)如图,AB 是O 的直径,,BC BD 是O 的两条弦,点C 与点D 在AB 的两侧,E 是OB 上一点(OE BE >),连接,OC CE ,且2BOC BCE ∠=∠.(1)如图1,若1BE =,CE =O 的半径;(2)如图2,若2BD OE =,求证:BD OC ∥.(请用两种证法解答)25.(2024·安徽·中考真题)如图,O 是ABC 的外接圆,D 是直径AB 上一点,ACD ∠的平分线交AB 于点E ,交O 于另一点F ,FA FE =.(1)求证:CD AB ⊥;(2)设FM AB ⊥,垂足为M ,若1OM OE ==,求AC 的长.26.(2024·四川眉山·中考真题)如图,BE 是O 的直径,点A 在O 上,点C 在BE 的延长线上,EAC ABC ∠=∠,AD 平分BAE ∠交O 于点D ,连结DE .(1)求证:CA 是O 的切线;(2)当8,4AC CE ==时,求DE27.(2024·江苏扬州·中考真题)如图,已知PAQ ∠及AP 边上一点C .(1)用无刻度直尺和圆规在射线AQ 上求作点O ,使得2COQ CAQ ∠=∠;(保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)的条件下,以点O 为圆心,以OA 为半径的圆交射线AQ 于点B ,用无刻度直尺和圆规在射线CP 上求作点M ,使点M 到点C 的距离与点M 到射线AQ 的距离相等;(保留作图痕迹,不写作法)(3)在(1)、(2)的条件下,若3sin 5A =,12CM =,求BM 的长. 28.(2024·河南·中考真题)如图1,塑像AB 在底座BC 上,点D 是人眼所在的位置.当点B 高于人的水平视线DE 时,由远及近看塑像,会在某处感觉看到的塑像最大,此时视角最大.数学家研究发现:当经过A ,B 两点的圆与水平视线DE 相切时(如图2),在切点P 处感觉看到的塑像最大,此时APB ∠为最大视角.(1)请仅就图2的情形证明APB ADB ∠>∠.(2)经测量,最大视角APB ∠为30︒,在点P 处看塑像顶部点A 的仰角APE ∠为60︒,点P 到塑像的水平距离PH 为6m .求塑像AB 的高(结果精确到0.1m 1.73≈).29.(2024·江西·中考真题)如图,AB 是半圆O 的直径,点D 是弦AC 延长线上一点,连接BD BC ,,60D ABC ∠=∠=︒.(1)求证:BD 是半圆O 的切线;(2)当3BC =时,求AC 的长.30.(2024·广东深圳·中考真题)如图,在ABD △中,AB BD =,O 为ABD △的外接圆,BE 为O 的切线,AC 为O 的直径,连接DC 并延长交BE 于点E .(1)求证:DE BE ⊥;(2)若AB =5BE =,求O 的半径.31.(2024·四川广元·中考真题)如图,在ABC 中,AC BC =,90ACB ∠=︒,O 经过A 、C 两点,交AB 于点D ,CO 的延长线交AB 于点F ,DE CF ∥交BC 于点E .(1)求证:DE 为O 的切线;(2)若4AC =,tan 2CFD ∠=,求O 的半径.32.(2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题)如图,在ABC 中,以AB 为直径的O 交BC 于点,D DE AC ⊥,垂足为E . O 的两条弦,FB FD 相交于点,F DAE BFD ∠∠=.(1)求证:DE 是O 的切线;(2)若30,C CD ∠=︒=OBD 的面积.33.(2024·江苏扬州·中考真题)在综合实践活动中,“特殊到一般”是一种常用方法,我们可以先研究特殊情况,猜想结论,然后再研究一般情况,证明结论.如图,已知ABC ,CA CB =, O 是ABC 的外接圆,点D 在O 上(AD BD >),连接AD 、BD 、CD .【特殊化感知】(1)如图1,若60ACB ∠=︒,点D 在AO 延长线上,则AD BD −与CD 的数量关系为________;【一般化探究】(2)如图2,若60ACB ∠=︒,点C 、D 在AB 同侧,判断AD BD −与CD 的数量关系并说明理由;【拓展性延伸】(3)若ACB α∠=,直接写出AD 、BD 、CD 满足的数量关系.(用含α的式子表示)34.(2024·浙江·中考真题)如图,在圆内接四边形ABCD 中,AD AC ADC BAD <∠<∠,,延长AD 至点E ,使AE AC =,延长BA 至点F ,连结EF ,使AFE ADC ∠=∠.(1)若60AFE ∠=︒,CD 为直径,求ABD ∠的度数.(2)求证:①EF BC ∥;②EF BD =.2024年中考数学真题汇编专题22 圆的相关性质+答案详解(答案详解)一、单选题1.(2024·湖南·中考真题)如图,AB ,AC 为O 的两条弦,连接OB ,OC ,若45A ∠=︒,则BOC ∠的度数为( )A .60︒B .75︒C .90︒D .135︒ 45A ∠=BOC ∴∠故选:C .2.(2024·甘肃临夏·中考真题)如图,AB 是O 的直径,35E ∠=︒,则BOD ∠=( )A .80︒B .100︒C .120︒D .110︒【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理,关键是由圆周角定理推出2AOD E ∠=∠.由圆周角定理得到270AOD E ∠=∠=︒,由邻补角的性质求出18070110BOD ∠=︒−︒=°.【详解】解:35E ∠=︒,270AOD E ∴∠=∠=︒,18070110BOD ︒∴∠=−︒=︒.故选:D .3.(2024·江苏连云港·中考真题)如图,将一根木棒的一端固定在O 点,另一端绑一重物.将此重物拉到A 点后放开,让此重物由A 点摆动到B 点.则此重物移动路径的形状为( )A .倾斜直线B .抛物线C .圆弧D .水平直线【答案】C 【分析】本题考查动点的移动轨迹,根据题意,易得重物移动的路径为一段圆弧.【详解】解:在移动的过程中木棒的长度始终不变,故点A 的运动轨迹是以O 为圆心,OA 为半径的一段圆弧,故选:C .4.(2024·四川凉山·中考真题)数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径,小明的解决方案是:在工件圆弧上任取两点,A B ,连接AB ,作AB 的垂直平分线CD 交AB 于点D ,交AB 于点C ,测出40cm 10cm AB CD ==,,则圆形工件的半径为( )A .50cmB .35cmC .25cmD .20cm【答案】C 【分析】本题考查垂径定理,勾股定理等知识.由垂径定理,可得出BD 的长;设圆心为O ,连接OB ,在Rt OBD △中,可用半径OB 表示出OD 的长,进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径,即可得出轮子的直径长.【详解】解:∵CD 是线段AB 的垂直平分线,∴直线CD 经过圆心,设圆心为O ,连接OB .Rt 根据勾股定理得:222OD BD OB +=,即:)2221020OB OB −+=,解得:25OB =;5.(2024·内蒙古赤峰·中考真题)如图,AD 是O 的直径,AB 是O 的弦,半径OC AB ⊥,连接CD ,交OB 于点E ,42BOC ∠=︒,则OED ∠的度数是( )A .61︒B .63︒C .65︒D .67︒6.(2024·湖北·中考真题)AB 为半圆O 的直径,点C 为半圆上一点,且50CAB ∠=︒.①以点B 为圆心,适当长为半径作弧,交,AB BC 于,D E ;②分别以DE 为圆心,大于12DE 为半径作弧,两弧交于点P ;③作射线BP ,则ABP ∠=( )A .40︒B .25︒C .20︒D .15︒7.(2024·四川宜宾·中考真题)如图,AB 是O 的直径,若60CDB ∠=︒,则ABC ∠的度数等于( )A .30︒B .45︒C .60︒D .90︒【答案】A 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角,同弧或等弧所对的圆周角相等.根据直径所对的圆周角为直角得到90ACB ∠=︒,同弧或等弧所对的圆周角相等得到60CDB A ∠=∠=︒,进一步计算即可解答.【详解】解:AB 是O 的直径,90ACB ∴∠=︒,60CDB ∠=︒,60A CDB ∴∠=∠=︒,9030ABC A ∴∠=︒−∠=︒,故选:A .8.(2024·四川广元·中考真题)如图,已知四边形ABCD 是O 的内接四边形,E 为AD 延长线上一点,128AOC ∠=︒,则CDE ∠等于( )A .64︒B .60︒C .54︒D .52︒ 【详解】解:ABC ∠是圆周角,与圆心角12AOC ∠=又四边形ABCD 是O 的内接四边形,180ADC =︒,又180CDE ADC ∠+∠=︒,64CDE ∴∠=∠︒,故选:A .9.(2024·云南·中考真题)如图,CD 是O 的直径,点A 、B 在O 上.若AC BC =,36AOC ∠=,则D ∠=( )A .9B .18C .36oD .4510.(2024·黑龙江绥化·中考真题)下列叙述正确的是( )A .顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形B .平分弦的直径垂直于弦C .物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影D .相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等【答案】C【分析】本题考查了矩形的判定,垂径定理,中心投影,弧、弦与圆心角的关系,根据相关定理逐项分析判断,即可求解.【详解】A. 顺次连接平行四边形各边中点不一定能得到一个矩形,故该选项不正确,不符合题意;B. 平分弦(非直径)的直径垂直于弦,故该选项不正确,不符合题意;C. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影,故该选项正确,符合题意;D. 在同圆或等圆 中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等,故该选项不正确,不符合题意;故选:C .11.(2024·广东广州·中考真题)如图,O 中,弦AB 的长为点C 在O 上,OC AB ⊥,30ABC ∠=︒.O 所在的平面内有一点P ,若5OP =,则点P 与O 的位置关系是( )A .点P 在O 上B .点P 在O 内C .点P 在O 外D .无法确定 ,再结合特殊角的正弦值,求出O 的OC 为半径,12AD ∴=ABC =∠AOC ∴∠=在ADO △sin AOD ∠sin AD OA ∴=,即O 的半径为5OP =>∴点P 在O 外,故选:C .12.(2024·黑龙江牡丹江·中考真题)如图,四边形ABCD 是O 的内接四边形,AB 是O 的直径,若20BEC ∠=︒,则ADC ∠的度数为( )A .100︒B .110︒C .120︒D .130︒ 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质,连接AC ,由AB 是O 的直径得到90ACB ∠=︒,根据圆周角定理得到20CAB BEC ∠=∠=︒,得到9070ABC BAC ∠=︒−∠=︒,再由圆内接四边形对角互补得到答案.【详解】解:如图,连接AC ,∵AB 是O 的直径,∴90ACB ∠=︒,∵20BEC ∠=︒,∴20CAB BEC ∠=∠=︒∴9070ABC BAC ∠=︒−∠=︒∵四边形ABCD 是O 的内接四边形,∴180110ADC ABC ∠=︒−∠=︒,故选:B13.(2024·湖北武汉·中考真题)如图,四边形ABCD 内接于O ,60ABC ∠=︒,45BAC CAD ∠=∠=︒,2AB AD +=,则O 的半径是( )A B C 2 D 并延长交O 于点F ()SAS ADC EBC ≌,再利用圆周角定理得到函数即可求解.【详解】解:延长AB 并延长交O 于点F∵四边形ABCD 内接于O ,∴ADC ABC ABC CBE ∠+∠=∠+∠∴ADC CBE ∠=∠∵45BAC CAD ∠=∠=︒︒,DAB ∠是O 的直径,90DCB =︒DCB 是等腰直角三角形,BCAD∴()SAS ADC EBC ≌ACD ECB ∠=∠,AC 2AB AD +=2AB BE AE +==又∵90DCB ∠=︒二、填空题14.(2024·四川南充·中考真题)如图,AB是O的直径,位于AB两侧的点C,D均在O上,30∠=︒,BOC ∠=度.则ADC是O的直径,位于均在O上,∠BOC=︒,15075︒;15.(2024·北京·中考真题)如图,O的直径AB平分弦CD(不是直径).若35∠=︒,则C∠=D︒【答案】55【分析】本题考查了垂径定理的推论,圆周角定理,直角三角形的性质,熟练掌握知识点是解题的关键.先由垂径定理得到AB CD ⊥,由BC BC =得到35A D ∠=∠=︒,故903555C ︒︒∠=−=︒.【详解】解:∵直径AB 平分弦CD ,∴AB CD ⊥,∵BC BC =,∴35A D ∠=∠=︒,∴903555C ︒︒∠=−=︒,故答案为:55.16.(2024·江苏苏州·中考真题)如图,ABC 是O 的内接三角形,若28OBC ∠=︒,则A ∠= .∵OB OC =,OBC ∠∴OCB OBC ∠=∠∴180BOC ∠=︒−∠117.(2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题)如图,ABC 内接于O ,AD 是直径,若25B ∠=︒,则CAD ∠ ︒.【答案】65【分析】本题考查了圆周角定理,直角三角形的两个锐角互余,连接CD ,根据直径所对的圆周角是直角得出=90ACD ∠︒,根据同弧所对的圆周角相等得出25D B ∠=∠=︒,进而根据直角三角形的两个锐角互余,即可求解.【详解】解:如图所示,连接CD ,∵ABC 内接于O ,AD 是直径,∴=90ACD ∠︒,∵AC AC =,25B ∠=︒,∴25D B ∠=∠=︒∴902565CAD ∠=︒−︒=︒,故答案为:65.18.(2024·四川眉山·中考真题)如图,ABC 内接于O ,点O 在AB 上,AD 平分BAC ∠交O 于D ,连接BD .若10AB =,BD =BC 的长为 .可证明(ASA ABD AED ≌BCE ∽△,得到BE AB 【详解】解:延长AC ,BD AB 是O 的直径,90ADB ADE ∴∠=∠=︒,∠AD 平分BAD ∴∠=又∵AD =∴(ASA ABD AED ≌25BD DE ∴==,45BE =,10AB =,25BD =,AD ∴=DAC ∠=又∵BAD ∠∴BAD ∠ADB ∠=ABD BEC ∴∽,BE BC AB AD∴=, 451045BC ∴=, 8BC ∴=,19.(2024·陕西·中考真题)如图,BC 是O 的弦,连接OB ,OC ,A ∠是BC 所对的圆周角,则A ∠与OBC ∠的和的度数是 .【答案】90︒/90度【分析】本题考查了圆周角定理,等腰三角形的性质,三角形内角和定理,熟练掌握圆周角定理是解题的关键.根据圆周角定理可得2BOC A ∠=∠,结合三角形内角和定理,可证明2180A OBC OCB ∠+∠+∠=︒,再根据等腰三角形的性质可知OBC OCB ∠=∠,由此即得答案.【详解】A ∠是BC 所对的圆周角,BOC ∠是BC 所对的圆心角,2BOC A ∴∠=∠,180BOC OBC OCB ∠+∠+∠=︒,2180A OBC OCB ∴∠+∠+∠=︒,OB OC =,OBC OCB ∴∠=∠,2180A OBC OBC ∴∠+∠+∠=︒,22180A OBC ∴∠+∠=︒,90A OBC ∴∠+∠=︒.故答案为:90︒.20.(2024·黑龙江牡丹江·中考真题)如图,在O 中,直径AB CD ⊥于点E ,6,1CD BE ==,则弦AC 的长为 .,设O 的半径为Rt OED 中,由勾股定9=,在Rt AEC 中,由勾股定理即可求解.设O的半径为Rt OED中,由勾股定理得:r,解得:=5==5,OA OE=+AE OA OERt AEC中,由勾股定理得:故答案为:321.(2024·江西·中考真题)如图,AB是O的直径,2⊥,AB=,点C在线段AB上运动,过点C的弦DE AB 将DBE沿DE翻折交直线AB于点F,当DE的长为正整数时,线段FB的长为.【详解】解:AB为直径,的长为正整数时,时,即DE为直径,∵22.(2024·河南·中考真题)如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,3CA CB ==,线段CD 绕点C 在平面内旋转,过点B 作AD 的垂线,交射线AD 于点E .若1CD =,则AE 的最大值为 ,最小值为 .与C在ABC 内部时,与C 相切于点在ABC AE 最小,分别画出图形,求出结果即可.90=︒,CA 9045︒=︒,在平面内旋转,与C 相切于点在ABC 内部时,则CD AE ⊥,∴90ADC CDE ∠=∠=︒,∴22231AD AC CD =−=−∵AC AC =,∴45CED ABC ==︒∠∠,∵90CDE ∠=︒,∴CDE 为等腰直角三角形,DE CD =AE AD =AE 的最大值为AE 与C 相切于点在ABC 外部时,则CD AE ⊥,∴90CDE ∠=︒,∴222231AD AC CD =−=−=∵四边形ABCE 为圆内接四边形,∴180135CEA ABC =︒−=︒∠∠∴18045CED CEA =︒−=︒∠∠,∵90CDE ∠=︒,∴CDE 为等腰直角三角形,DE CD =AE AD =AE 的最小值为故答案为:三、解答题23.(2024·四川甘孜·中考真题)如图,AB 为⊙O 的弦,C 为AB 的中点,过点C 作CD AB ∥,交OB 的延长线于点D .连接OA OC ,.(1)求证:CD 是⊙O 的切线;(2)若32OA BD ==,,求OCD 的面积.24.(2024·内蒙古包头·中考真题)如图,AB 是O 的直径,,BC BD 是O 的两条弦,点C 与点D 在AB 的两侧,E 是OB 上一点(OE BE >),连接,OC CE ,且2BOC BCE ∠=∠.(1)如图1,若1BE =,CE =O 的半径;(2)如图2,若2BD OE =,求证:BD OC ∥.(请用两种证法解答) Rt OCE 中,利用勾股定理求解即可;,利用垂径定理等可得出BF =Rt Rt CEO OFB ≌,得出,然后利用平行线的判定即可得证;法二:连接AD ,证明CEO ADB ∽,得出ABD ∠,然后利用平行线的判定即可得证【详解】(1)解∶∵OC OB =,()11802OBC OCB BOC ∠=∠=︒−∠, 2BOC BCE ∠=∠,)90BCE BCE ∠=︒−∠即O 的半径为2)证明:法一:过∴12BF BD =, ∵2BD OE =∴OE BF =,又OC OB =,OEC ∠=∠()Rt Rt HL CEO OFB ≌,COE OBF =∠,BD OC ∥;法二:连接AD , ∵AB 是直径,∴90ADB ∠=︒,∴22AD AB BD =−=∴1OC CE OE ===,∴CEO ADB ∽,COE ABD ∠=∠,BD OC ∥.【点睛】本题考查了垂径定理,相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,三角形的内角和定理,全等三角形的判定与性质等知识,明确题意,灵活运用所学知识解题是解题的关键.25.(2024·安徽·中考真题)如图,O 是ABC 的外接圆,D 是直径AB 上一点,ACD ∠的平分线交AB 于点E ,交O 于另一点F ,FA FE =.(1)求证:CD AB ⊥;(2)设FM AB ⊥,垂足为M ,若1OM OE ==,求AC 的长.在ABC中.AB OA==2=AC ABAC的长为26.(2024·四川眉山·中考真题)如图,BE是O的直径,点A在O上,点C在BE的延长线上,EAC ABC ∠=∠,AD 平分BAE ∠交O 于点D ,连结DE .(1)求证:CA 是O 的切线;(2)当8,4AC CE ==时,求DE 的长. BE 是O 的直径,OA OB =ABC ∴∠EAC ∠=CAE ∴∠=CAE ∴∠+OAC ∴∠OA 是O 的半径,是O 的切线;)解:EAC ∠=ABC EAC ∽△,CE AC, 4, ,AD 平分BAD \?∴BD DE =BD DE ∴=BE 是O 的直径,90BDE ∴∠=︒,22DE BD ∴==27.(2024·江苏扬州·中考真题)如图,已知PAQ ∠及AP 边上一点C .(1)用无刻度直尺和圆规在射线AQ 上求作点O ,使得2COQ CAQ ∠=∠;(保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)的条件下,以点O 为圆心,以OA 为半径的圆交射线AQ 于点B ,用无刻度直尺和圆规在射线CP 上求作点M ,使点M 到点C 的距离与点M 到射线AQ 的距离相等;(保留作图痕迹,不写作法)(3)在(1)、(2)的条件下,若3sin 5A =,12CM =,求BM 的长. 【答案】(1)作图见详解的值,在直角BCM 中运用勾股定理即可求解.()1Rt BCM Rt BB M HL ≌,1CM B M =,Rt AMW 中,53WM ==AM CM =−是直径,90ACB =︒,Rt ABC 中,2x =(负值舍去)36x ==,Rt BCM 中,【点睛】本题主要考查尺规作角等于已知角,掌握以上知识的综合运用是解题的关键.28.(2024·河南·中考真题)如图1,塑像AB 在底座BC 上,点D 是人眼所在的位置.当点B 高于人的水平视线DE 时,由远及近看塑像,会在某处感觉看到的塑像最大,此时视角最大.数学家研究发现:当经过A ,B 两点的圆与水平视线DE 相切时(如图2),在切点P 处感觉看到的塑像最大,此时APB ∠为最大视角.(1)请仅就图2的情形证明APB ADB ∠>∠.(2)经测量,最大视角APB ∠为30︒,在点P 处看塑像顶部点A 的仰角APE ∠为60︒,点P 到塑像的水平距离PH 为6m .求塑像AB 的高(结果精确到0.1m 1.73≈). Rt AHP 中,利用正切的定义求出1)证明:如图,连接Rt AHP 中,AH PH, tan606︒=⨯,APH APB −∠29.(2024·江西·中考真题)如图,AB 是半圆O 的直径,点D 是弦AC 延长线上一点,连接BD BC ,,60D ABC ∠=∠=︒.(1)求证:BD 是半圆O 的切线;(2)当3BC =时,求AC 的长. 【答案】(1)见解析(2)2π【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角,等边三角形的判定和性质,弧长公式,熟知相关性质和计算公式是解题的关键.(1)根据直径所对的圆周角为直角结合已知条件,可得30CAB ∠=︒,即可得90ABD??,进而可证得结论;(2)连接OC ,证明OBC △为等边三角形,求得120AOC ∠=︒,利用弧长公式即可解答.【详解】(1)证明:AB 是半圆O 的直径,90ACB ∴∠=︒, 60D ABC ∠=∠=︒,9030CAB ABC ∴∠=︒−∠=︒,18090ABD CAB D ∴∠=︒−∠−∠=︒,BD ∴是半圆O 的切线;(2)解:如图,连接OC ,,60OC OB CBA =∠=︒,OCB ∴为等边三角形,COB ∴∠=180AOC ∴∠=120360AC l ∴=30.(2024·广东深圳·中考真题)如图,在ABD △中,AB BD =,O 为ABD △的外接圆,BE 为O 的切线,AC 为O 的直径,连接DC 并延长交BE 于点E .(1)求证:DE BE ⊥;(2)若AB =5BE =,求O 的半径. 的长,设O 的半径为OD ,∵AB BD =,OA OD =,∴BO 垂直平分AD ,为O 的切线,BE ,为O 的直径,90ADC =︒,∴四边形BHDE 为矩形,BE ; )由(1)知四边形设O 的半径为Rt AOH △解得:3r =即:O 的半径为31.(2024·四川广元·中考真题)如图,在ABC 中,AC BC =,90ACB ∠=︒,O 经过A 、C 两点,交AB 于点D ,CO 的延长线交AB 于点F ,DE CF ∥交BC 于点E .(1)求证:DE 为O 的切线;(2)若4AC =,tan 2CFD ∠=,求O 的半径.DE CFDE CF为O的切线.)过点C作CHACB为等腰直角三角形,42,AH=22【点睛】本题考查了切线的判定,圆周角定理,正切,勾股定理等知识以及等腰三角形的性质等知识,问题难度不大,正确作出合理的辅助线,是解答本题的关键.32.(2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题)如图,在ABC 中,以AB 为直径的O 交BC 于点,D DE AC ⊥,垂足为E . O 的两条弦,FB FD 相交于点,F DAE BFD ∠∠=.(1)求证:DE 是O 的切线;(2)若30,C CD ∠=︒=OBD 的面积.是O 的半径;是O 的切线;)解:∵C ∠=132CD =DE ,180BDO =︒−∠33.(2024·江苏扬州·中考真题)在综合实践活动中,“特殊到一般”是一种常用方法,我们可以先研究特殊情况,猜想结论,然后再研究一般情况,证明结论.如图,已知ABC ,CA CB =, O 是ABC 的外接圆,点D 在O 上(AD BD >),连接AD 、BD 、CD .【特殊化感知】(1)如图1,若60ACB ∠=︒,点D 在AO 延长线上,则AD BD −与CD 的数量关系为________;【一般化探究】(2)如图2,若60ACB ∠=︒,点C 、D 在AB 同侧,判断AD BD −与CD 的数量关系并说明理由;【拓展性延伸】(3)若ACB α∠=,直接写出AD 、BD 、CD 满足的数量关系.(用含α的式子表示) )根据题意得出ABC 是等边三角形,则CE =,设BD ,证明(AAS AFB CDB ≌①当D 在BC 上时,在AD 上截取证明CAB DEB ∽,ABE V AB ⊥于点F ,得出2AB BC =进而即可得出结论;②当D AG ,证明CAB DAG ∽,CAD BAG ∽,同①可得AB =∴ABC 是等边三角形,则∵O 是ABC 的外接圆,AD 是BAC ∠的角平分线,则AD BC ⊥∵四边形ACDB 是圆内接四边形,120CDB ∠=︒DBC =∠=在Rt BDE △中,∴cos30BE BD =︒⋅=∴3BC =,∵AD 是直径,则ABD ?∵AB AB =∴60ADB ACB ∠=∠=∴DBF 是等边三角形,∴BF BD =,则BFD ∠∴120AFB ∠=︒∵四边形ACDB CDB ∠=∴ABC 是等边三角形,则在,AFB CDB 中AFB CDB BAF BCD AB CB ∠=∠∠=∠= ∴(AAS AFB CDB ≌AF CD =,AD BD AD DF −=−AD BD CD −=;3)解:①如图所示,当在AD 上截取DE BD =∵AB AB =∴ACB ADB ??又∵,CA CB DE DB ==∴CAB DEB ∽,则∠AB BC EB BD =即AB BC =又∵ABC EBD ∠=∠ABE CBD ∠=∠ABE CBD V V ∽Rt BCF 中,sin 2BC α⋅=∴2sin2AB BC α=⋅ ∴2sin 2AD BD CD α−=,即②当D 在AB 上时,如图所示,延长∵四边形ACDB 是圆内接四边形,∴180GDA ACB ∠=∠=又∵,CA CB DG DA ==∴CAB DAG ∽,则∴AC AB AD AG =即AC AB =又∵CAB DAG ∠=∠CAD BAG ∠=∠∴CAD BAG ∽CD AC BG AB=, BG BD DG BD =+=同①可得2sin AB AC =⋅CD AC ==34.(2024·浙江·中考真题)如图,在圆内接四边形ABCD 中,AD AC ADC BAD <∠<∠,,延长AD 至点E ,使AE AC =,延长BA 至点F ,连结EF ,使AFE ADC ∠=∠.(1)若60AFE ∠=︒,CD 为直径,求ABD ∠的度数.(2)求证:①EF BC ∥;②EF BD =. 可证明ADG AEF ∽,CDA △60AFE =︒,∽,,ADG AEF,=∠,ABD ACDBGD,∽,∵ADG AEFAD GD=,AE EFAD AE=,GD EFAC AE=,BD EF=,AE AC。

初中数学圆的难题汇编及答案解析

初中数学圆的难题汇编及答案解析

初中数学圆的难题汇编及答案解析一、选择题1.下列命题错误的是()A.平分弦的直径垂直于弦B.三角形一定有外接圆和内切圆C.等弧对等弦D.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【答案】C【解析】【分析】根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概念判断即可.【详解】A、平分弦的直径一定垂直于弦,是真命题;B、三角形一定有外接圆和内切圆,是真命题;C、在同圆或等圆中,等弧对等弦,是假命题;D、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心,是真命题;故选C.【点睛】本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概念等知识解答,难度不大.2.在Rt△ABC中,∠ACB=90°.AC=8,BC=3,点D是BC边上动点,连接AD交以CD为直径的圆于点E,则线段BE长度的最小值为( )A.1 B.32C.3D.52【答案】A【解析】【分析】根据直径所对的圆周角为直角可知∠CED=90°,则∠AEC=90°,设以AC为直径的圆的圆心为O,若BE最短,则OB最短,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=12AC=4,在Rt△OBC中,根据勾股定理可求得OB=5,即可得解.【详解】解:连接CE,∵E点在以CD为直径的圆上,∴∠CED=90°,∴∠AEC=180°-∠CED=90°,∴E点也在以AC为直径的圆上,设以AC为直径的圆的圆心为O,若BE最短,则OB最短,∵AC=8,∴OC=12AC=4,∵BC=3,∠ACB=90°,∴OB=22OC BC=5,∵OE=OC=4,∴BE=OB-OE=5-4=1.故选A.【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角,直角三角形的性质和勾股定理.3.如图,在平面直角坐标系中,点P是以C(﹣2,7)为圆心,1为半径的⊙C上的一个动点,已知A(﹣1,0),B(1,0),连接PA,PB,则PA2+PB2的最小值是()A.6 B.8 C.10 D.12【答案】C【解析】【分析】设点P(x,y),表示出PA2+PB2的值,从而转化为求OP的最值,画出图形后可直观得出OP 的最值,代入求解即可.【详解】设P (x ,y ),∵PA 2=(x +1)2+y 2,PB 2=(x ﹣1)2+y 2,∴PA 2+PB 2=2x 2+2y 2+2=2(x 2+y 2)+2,∵OP 2=x 2+y 2,∴PA 2+PB 2=2OP 2+2,当点P 处于OC 与圆的交点上时,OP 取得最值,∴OP 的最小值为CO ﹣CP =3﹣1=2,∴PA 2+PB 2最小值为2×22+2=10.故选:C .【点睛】本题考查了圆的综合,解答本题的关键是设出点P 坐标,将所求代数式的值转化为求解OP 的最小值,难度较大.4.下列命题中,是假命题的是( )A .任意多边形的外角和为360oB .在ABC V 和'''A B C V 中,若''AB A B =,''BC B C =,'90C C ∠=∠=o ,则ABC V ≌'''A B C VC .在一个三角形中,任意两边之差小于第三边D .同弧所对的圆周角和圆心角相等【答案】D【解析】【分析】根据相关的知识点逐个分析.【详解】解:A. 任意多边形的外角和为360o ,是真命题;B. 在ABC V 和'''A B C V 中,若''AB A B =,''BC B C =,'90C C ∠=∠=o ,则ABC V ≌'''A B C V ,根据HL ,是真命题;C. 在一个三角形中,任意两边之差小于第三边,是真命题;D. 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,本选项是假命题.故选D .【点睛】本题考核知识点:判断命题的真假. 解题关键点:熟记相关性质或定义.5.如图,△ABC 的外接圆是⊙O ,半径AO=5,sinB=25,则线段AC 的长为( )A .1B .2C .4D .5【答案】C【解析】【分析】 首先连接CO 并延长交⊙O 于点D ,连接AD ,由CD 是⊙O 的直径,可得∠CAD=90°,又由⊙O 的半径是5,sinB=25,即可求得答案. 【详解】解:连接CO 并延长交⊙O 于点D ,连接AD ,由CD 是⊙O 的直径,可得∠CAD=90°,∵∠B 和∠D 所对的弧都为弧AC ,∴∠B=∠D ,即sinB=sinD=25, ∵半径AO=5,∴CD=10,∴2sin 105AC AC D CD ===, ∴AC=4,故选:C.【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等,以及三角函数的内容,注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键.6.如图,AC BC ⊥,8AC BC ==,以BC 为直径作半圆,圆心为点O ;以点C 为圆心,BC 为半径作»AB ,过点O 作AC 的平行线交两弧于点D 、E ,则图中阴影部分的面积是( )A.20833π-B.20833π+C.20833π-D.20433π+【答案】A【解析】【分析】如图,连接CE.图中S阴影=S扇形BCE−S扇形BOD−S△OCE.根据已知条件易求得OB=OC=OD=4,BC=CE=8,∠ECB=60°,OE=43,所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可.【详解】解:如图,连接CE.∵AC⊥BC,AC=BC=8,以BC为直径作半圆,圆心为点O;以点C为圆心,BC为半径作弧AB,∴∠ACB=90°,OB=OC=OD=4,BC=CE=8.又∵OE∥AC,∴∠ACB=∠COE=90°.∴在Rt△OEC中,OC=4,CE=8,∴∠CEO=30°,∠ECB=60°,OE=3∴S阴影=S扇形BCE−S扇形BOD−S△OCE=2260811-4-443 36042ππ⨯⨯⨯⨯=20-83 3π故选:A.【点睛】本题考查了扇形面积的计算.不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算.7.如图,ABC ∆是O e 的内接三角形,45A ∠=︒,1BC =,把ABC ∆绕圆心O 按逆时针方向旋转90︒得到DEB ∆,点A 的对应点为点D ,则点A ,D 之间的距离是()A .1B .2 C .3 D .2【答案】A【解析】【分析】 连接AD ,构造△ADB ,由同弧所对应的圆周角相等和旋转的性质,证△ADB 和△DBE 全等,从而得到AD=BE=BC=1.【详解】如图,连接AD ,AO ,DO∵ABC ∆绕圆心O 按逆时针方向旋转90︒得到DEB ∆,∴AB=DE ,90AOD ∠=︒,45CAB BDE ∠=∠=︒∴1452ABD AOD ∠=∠=︒(同弧所对应的圆周角等于圆心角的一半), 即45ABD EDB ∠=∠=︒,又∵DB=BD ,∴DAB BED ∠=∠(同弧所对应的圆周角相等),在△ADB 和△DBE 中 ABD EDB AB EDDAB BED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADB ≌△EBD (ASA ),∴AD=EB=BC=1.故答案为A.【点睛】本题主要考查圆周角、圆中的计算问题以及勾股定理的运用;顶点在圆上,两边都与圆相交的角角圆周角;掌握三角形全等的判定是解题的关键.8.如图,在扇形OAB中,120AOB∠=︒,点P是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合),C、D分别是弦AP,BP的中点.若33CD=,则扇形AOB的面积为()A.12πB.2πC.4πD.24π【答案】A【解析】【分析】如图,作OH⊥AB于H.利用三角形中位线定理求出AB的长,解直角三角形求出OB即可解决问题.【详解】解:如图作OH⊥AB于H.∵C、D分别是弦AP、BP的中点.∴CD是△APB的中位线,∴AB=2CD=63∵OH⊥AB,∴BH=AH=33∵OA=OB,∠AOB=120°,∴∠AOH=∠BOH=60°,在Rt△AOH中,sin∠AOH=AHAO,∴AO=336sin3AHAOH==∠,∴扇形AOB的面积为:2120612360ππ=g g,故选:A.【点睛】本题考查扇形面积公式,三角形的中位线定理,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.9.如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的切线与AB的延长线交于点P,连接AC,若∠A=30°,PC=3,则⊙O的半径为()A.3B.23C.32D.233【答案】A【解析】连接OC,∵OA=OC,∠A=30°,∴∠OCA=∠A=30°,∴∠COB=∠A+∠ACO=60°,∵PC是⊙O切线,∴∠PCO=90°,∠P=30°,∵PC=3,∴OC=PC•tan30°=3,故选A10.如图,用半径为12cm,面积272cmπ的扇形无重叠地围成一个圆锥,则这个圆锥的高为()A.12cm B.6cm C.6√2 cm D.3【解析】【分析】先根据扇形的面积公式计算出扇形的圆心角,再利用周长公式计算出底面圆的周长,得出半径.再构建直角三角形,解直角三角形即可.【详解】 72π=212360n π⨯ 解得n=180°,∴扇形的弧长=18012180π⨯=12πcm . 围成一个圆锥后如图所示:因为扇形弧长=圆锥底面周长即12π=2πr解得r=6cm ,即OB=6cm根据勾股定理得22126=63-,故选D .【点睛】本题综合考查了弧长公式,扇形弧长=用它围成的圆锥底面周长,及勾股定理等知识,所以学生学过的知识一定要结合起来.11.一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆,则该圆锥的底面半径是( )A .13B .12C .34D .1【答案】B【解析】【分析】根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长,即可求得底面周长,进而即可求得底面的半径长.【详解】圆锥的底面周长是:π;设圆锥的底面半径是r ,则2πr=π.解得:r=12.【点睛】本题考查了圆锥的计算,正确理解理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键,理解圆锥的母线长是扇形的半径,圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.12.“直角”在几何学中无处不在,下列作图作出的AOB ∠不一定...是直角的是( ) A . B .C .D .【答案】C【解析】【分析】根据作图痕迹,分别探究各选项所做的几何图形问题可解.【详解】解:选项A 中,做出了点A 关于直线BC 的对称点,则AOB ∠是直角.选项B 中,AO 为BC 边上的高,则AOB ∠是直角.选项D 中,AOB ∠是直径AB 作对的圆周角,故AOB ∠是直角.故应选C【点睛】本题考查了尺规作图的相关知识,根据基本作图得到的结论,应用于几何证明是解题关键.13.如图,点E 为ABC ∆的内心,过点E 作MN BC P 交AB 于点M ,交AC 于点N ,若7AB =,5AC =,6BC =,则MN 的长为( )A .3.5B .4C .5D .5.5【答案】B【解析】【分析】连接EB 、EC ,如图,利用三角形内心的性质得到∠1=∠2,利用平行线的性质得∠2=∠3,所以∠1=∠3,则BM=ME ,同理可得NC=NE ,接着证明△AMN ∽△ABC ,所以767MN BM -=,则BM=7-76MN①,同理可得CN=5-56MN②,把两式相加得到MN 的方程,然后解方程即可.【详解】连接EB 、EC ,如图,∵点E 为△ABC 的内心,∴EB 平分∠ABC ,EC 平分∠ACB ,∴∠1=∠2,∵MN ∥BC ,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴BM=ME ,同理可得NC=NE ,∵MN ∥BC ,∴△AMN ∽△ABC ,∴MN AM BC AB = ,即767MN BM -=,则BM=7-76MN①, 同理可得CN=5-56MN②, ①+②得MN=12-2MN ,∴MN=4.故选:B .【点睛】此题考查三角形的内切圆与内心,相似三角形的判定与性质,解题关键在于掌握与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.14.下列命题中哪一个是假命题( )A .8的立方根是2B .在函数y =3x 的图象中,y 随x 增大而增大C .菱形的对角线相等且平分D .在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等【答案】C【解析】【分析】利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项.【详解】A 、8的立方根是2,正确,是真命题;B 、在函数3y x =的图象中,y 随x 增大而增大,正确,是真命题;C 、菱形的对角线垂直且平分,故错误,是假命题;D 、在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,正确,是真命题,故选C .【点睛】考查了命题与定理的知识,能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键.15.如图,抛物线y =ax 2﹣6ax+5a (a >0)与x 轴交于A 、B 两点,顶点为C 点.以C 点为圆心,半径为2画圆,点P 在⊙C 上,连接OP ,若OP 的最小值为3,则C 点坐标是( )A .522(,22-B .(4,﹣5)C .(3,﹣5)D .(3,﹣4)【答案】D【解析】【分析】首先根据二次函数的解析式求出点A 、B 、C 三点的坐标,再由当点O 、P 、C 三点共线时,OP 取最小值为3,列出关于a 的方程,即可求解.【详解】∵2650y ax ax a a +-=(>) 与x 轴交于A 、B 两点,∴A (1,0)、B (5,0),∵226534y ax ax a a x a =+=---() , ∴顶点34C a (,-), 当点O 、P 、C 三点共线时,OP 取最小值为3,∴OC =OP+2=5,∴29165(0)a a +=> ,∴1a = ,∴C (3,﹣4),故选:D .【点睛】 本题考查了二次函数的图象和性质,解题的关键是明确圆外一点到圆上的最短距离即该点与圆心的距离减去半径长.16.如图,3个正方形在⊙O 直径的同侧,顶点B 、C 、G 、H 都在⊙O 的直径上,正方形ABCD 的顶点A 在⊙O 上,顶点D 在PC 上,正方形EFGH 的顶点E 在⊙O 上、顶点F 在QG 上,正方形PCGQ 的顶点P 也在⊙O 上.若BC =1,GH =2,则CG 的长为( )A .125B 6C 21D .22【答案】B【解析】【分析】【详解】解:连接AO 、PO 、EO ,设⊙O 的半径为r ,OC =x ,OG =y ,由勾股定理可知:22222222211{22r x r x x y r y =++=++=++()①()②()③,②﹣③得到:x 2+(x +y )2﹣(y +2)2﹣22=0,∴(x +y )2﹣22=(y +2)2﹣x 2,∴(x +y +2)(x +y ﹣2)=(y +2+x )(y +2﹣x ).∵x +y +2≠0,∴x +y ﹣2=y +2﹣x ,∴x =2,代入①得到r 2=10,代入②得到:10=4+(x +y )2,∴(x +y )2=6.∵x +y >0,∴x +y 6,∴CG =x +y 6.故选B .点睛:本题考查了正方形的性质、圆、勾股定理等知识,解题的关键是设未知数列方程组解决问题,难点是解方程组,利用因式分解法巧妙求出x的值,学会把问题转化为方程组,用方程组的思想去思考问题.17.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若∠BOD=86°,则∠BCD的度数是()A.86°B.94°C.107°D.137°【答案】D【解析】【分析】【详解】解:∵∠BOD=86°,∴∠BAD=86°÷2=43°,∵∠BAD+∠BCD=180°,∴∠BCD=180°-43°=137°,即∠BCD的度数是137°.故选D.【点睛】本题考查圆内接四边形的对角互补.②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角).18.如图,在⊙O中,OC⊥AB,∠ADC=26°,则∠COB的度数是()A.52°B.64°C.48°D.42°【答案】A【解析】【分析】由OC⊥AB,利用垂径定理可得出,再结合圆周角定理及同弧对应的圆心角等于圆周角的2倍,即可求出∠COB的度数.【详解】解:∵OC⊥AB,∴,∴∠COB=2∠ADC=52°.故选:A.【点睛】考查了圆周角定理、垂径定理以及圆心角、弧、弦的关系,利用垂径定理找出是解题的关键.19.如图所示,AB是⊙O的直径,点C为⊙O外一点,CA,CD是⊙O的切线,A,D为切点,连接BD,AD.若∠ACD=30°,则∠DBA的大小是()A.15°B.30°C.60°D.75°【答案】D【解析】【分析】【详解】连接OD,∵CA,CD是⊙O的切线,∴OA⊥AC,OD⊥CD,∴∠OAC=∠ODC=90°,∵∠ACD=30°,∴∠AOD=360°﹣∠C﹣∠OAC﹣∠ODC=150°,∵OB=OD,∴∠DBA=∠ODB=12∠AOD=75°.故选D.考点:切线的性质;圆周角定理.20.如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1,边B1C1与CD 交于点O ,则图中阴影部分的面积是( )A .224π--B .224π-+ C .142π+ D .142π- 【答案】B【解析】【分析】先根据正方形的边长,求得CB 1=OB 1=AC-AB 1=2-1,进而得到211(21)2OB C S =-V ,再根据S △AB1C1=12,以及扇形的面积公式即可得出图中阴影部分的面积. 【详解】连结DC 1,∵∠CAC 1=∠DCA =∠COB 1=∠DOC 1=45°,∴∠AC 1B 1=45°,∵∠ADC =90°,∴A ,D ,C 1在一条直线上,∵四边形ABCD 是正方形,∴AC 2OCB 1=45°,∴CB 1=OB 1∵AB 1=1,∴CB 1=OB 1=AC ﹣AB 12﹣1,∴211111(21)22OB C S OB CB ∆=⋅⋅=, ∵1111111111222AB C S AB B C =⋅=⨯⨯=V , ∴图中阴影部分的面积=2245(2)11(21)22360224ππ⨯⨯--=-+故选B.【点睛】本题考查了旋转的性质,正方形性质、勾股定理以及扇形面积的计算等知识点的综合应用,主要考查学生运用性质进行计算的能力.解题时注意:旋转前、后的图形全等.。

必考圆中考试题集锦附答案

必考圆中考试题集锦附答案

圆中考试题集锦一、哈尔滨市已知⊙O 的半径为35厘米,⊙O '的半径为5厘米.⊙O 与⊙O '相交于点D 、E .若两圆的公共弦DE 的长是6厘米圆心O 、O '在公共弦DE 的两侧,则两圆的圆心距O O '的长为A2厘米 B10厘米 C2厘米或10厘米 D4厘米13.陕西省如图,两个等圆⊙O 和⊙O '的两条切线OA 、OB ,A 、B 是切点,则∠AOB 等于 A 30 B 45 C 60 D 9014.甘肃省如图,AB 是⊙O 的直径,∠C = 30,则∠ABD =A 30B 40C 50D 6015.甘肃省弧长为6π的弧所对的圆心角为 60,则弧所在的圆的半径为A6 B62 C12 D1816.甘肃省如图,在△ABC 中,∠BAC = 90,AB =AC =2,以AB 为直径的圆交BC 于D ,则图中阴影部分的面积为A1 B2 C1+4π D2-4π 17.宁夏回族自治区已知圆的内接正六边形的周长为18,那么圆的面积为A18π B9π C6π D3π18.山东省如图,点P 是半径为5的⊙O 内一点,且OP =3,在过点P 的所有弦中,长度为整数的弦一共有A2条 B3条 C4条 D5条19.南京市如图,正六边形ABCDEF 的边长的上a,分别以C 、F 为圆心,a 为半径画弧,则图中阴影部分的面积是A 261a π B 231a π C 232a π D 234a π20.杭州市过⊙O内一点M的最长的弦长为6厘米,最短的弦长为4厘米,则OM的长为A3厘米B5厘米C2厘米D5厘米21.安徽省已知圆锥的底面半径是3,高是4,则这个圆锥侧面展开图的面积是A12πB15πC30πD24π22.安微省已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30,过C点的切线PC与AB延长线交P.PC=5,则⊙O的半径为A335B635C10 D523.福州市如图:PA切⊙O于点A,PBC是⊙O的一条割线,有PA=32,PB=BC,那么BC的长是A3 B32C3D3224.河南省如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离,它们的半径都是1,顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE,则图中五个扇形阴影部分的面积之和是AπB1.5πC2πD2.5π25.四川省正六边形的半径为2厘米,那么它的周长为A6厘米B12厘米C24厘米D122厘米26.四川省一个圆柱形油桶的底面直径为0.6米,高为1米,那么这个油桶的侧面积为A0.09π平方米B0.3π平方米C0.6平方米D0.6π平方米27.贵阳市一个形如圆锥的冰淇淋纸筒,其底面直径为6厘米,母线长为5厘米,围成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面积是A66π平方厘米B30π平方厘米C28π平方厘米D15π平方厘米28.新疆乌鲁木齐在半径为2的⊙O中,圆心O到弦AB的距离为1,则弦AB所对的圆心角的度数可以是A 60B 90C 120D 15029.新疆乌鲁木齐将一张长80厘米、宽40厘米的矩形铁皮卷成一个高为40厘米的圆柱形水桶的侧面,接口损耗不计,则桶底的面积为A π1600平方厘米 B1600π平方厘米 C π6400平方厘米 D6400π平方厘米 30.成都市如图,已知AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点P ,CD=10厘米,AP ∶PB =1∶5,那么⊙O 的半径是A6厘米 B 53厘米 C8厘米 D 35厘米31.成都市在Rt △ABC 中,已知AB =6,AC =8,∠A = 90.如果把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥,其表面积为S 1;把Rt △ABC 绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥,其表面积为S 2,那么S 1∶S 2等于A2∶3 B3∶4 C4∶9 D5∶1232.苏州市如图,⊙O 的弦AB =8厘米,弦CD 平分AB 于点E .若CE =2厘米.ED 长为A8厘米 B6厘米 C4厘米 D2厘米33.苏州市如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,若∠BOD = 160,则∠BCD = A 160 B 100 C 80 D 2034.镇江市如图,正方形ABCD 内接于⊙O ,E 为DC 的中点,直线BE交⊙O 于点F .若⊙O 的半径为2,则BF 的长为A 23B 22C 556D 554 35.扬州市如图,AB 是⊙O 的直径,∠ACD = 15,则∠BAD 的度数为A 75B 72C 70D 6536.扬州市已知:点P 直线l 的距离为3,以点P 为圆心,r 为半径画圆,如果圆上有且只有两点到直线l 的距离均为2,则半径r 的取值范围是A r >1B r >2 C2<r <3 D1<r <537.绍兴市边长为a 的正方边形的边心距为Aa B 23a C 3a D2a 38.绍兴市如图,以圆柱的下底面为底面,上底面圆心为顶点的圆锥的母线长为4,高线长为3,则圆柱的侧面积为A30π B 76π C20π D 74π39.昆明市如图,扇形的半径OA =20厘米,∠AOB = 135,用它做成一个圆锥的侧面,则此圆锥底面的半径为A3.75厘米 B7.5厘米 C15厘米 D30厘米40.昆明市如图,正六边形ABCDEF 中.阴影部分面积为123平方厘米,则此正六边形的边长为A2厘米 B4厘米 C6厘米 D8厘米41.温州市已知扇形的弧长是2π厘米,半径为12厘米,则这个扇形的圆心角是A 60B 45C 30D 20 42.温州市圆锥的高线长是厘米,底面直径为12厘米,则这个圆锥的侧面积是 A48π厘米 B24π13平方厘米C48π13平方厘米 D60π平方厘米43.温州市如图,AB 是⊙O 的直径,点P 在BA 的延长线上,PC 是⊙O 的切线,C 为切点,PC =26,PA =4,则⊙O 的半径等于A1 B2 C 23 D 26 44.常州市已知圆柱的母线长为5厘米,表面积为28π平方厘米,则这个圆柱的底面半径是A5厘米 B4厘米 C2厘米 D3厘米45.常州市半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 A1∶2∶3 B 3∶2∶1C3∶2∶1 D1∶2∶346.广东省如图,若四边形ABCD 是半径为1和⊙O 的内接正方形,则图中四个弓形即四个阴影部分的面积和为A2π-2厘米 B2π-1厘米C π-2厘米D π-1厘米48.武汉市半径为5厘米的圆中,有一条长为6厘米的弦,则圆心到此弦的距离为 A3厘米 B4厘米 C5厘米 D6厘米49.已知:Rt △ABC 中,∠C = 90,O 为斜边AB 上的一点,以O 为圆心的圆与边AC 、BC 分别相切于点E 、F ,若AC =1,BC =3,则⊙O 的半径为A 21B 32C 43D 5450.武汉市已知:如图,E 是相交两圆⊙M 和⊙O 的一个交点,且ME ⊥NE ,AB 为外公切线,切点分别为A 、B ,连结AE 、BE .则∠AEB 的度数为A145° B140° C135° D130°二、填空题1.北京市东城区如图,AB 、AC 是⊙O 的两条切线,切点分别为B 、C ,D 是优弧上的一点,已知∠BAC = 80,那么∠BDC =__________度.2.北京市东城区在Rt △ABC 中,∠C = 90,A B=3,BC =1,以AC 所在直线为轴旋转一周,所得圆锥的侧面展开图的面积是__________.3.北京市海淀区如果圆锥母线长为6厘米,那么这个圆锥的侧面积是_______平方厘米4.北京市海淀区一种圆状包装的保鲜膜,如图所示,其规格为“20厘米×60米”,经测厘量这筒保鲜膜的内径1ϕ、外径2ϕ的长分别为3.2厘米、4.0米,则该种保鲜膜的厚度约为_________厘米π取 3.14,结果保留两位有效数字.5.上海市两个点O 为圆心的同心圆中,大圆的弦AB 与小圆相切,如果AB 的长为24,大圆的半径OA 为13,那么小圆的半径为___________.12.沈阳市圆内两条弦AB 和CD 相交于P 点,AB 长为7,AB 把CD 分成两部分的线段长分别为2和6,那么=__________.13.沈阳市△ABC 是半径为2厘米的圆内接三角形,若BC =23厘米,则∠A 的度数为________.14.沈阳市如图,已知OA 、OB 是⊙O 的半径,且OA =5,∠AOB =15 ,AC ⊥OB 于C ,则图中阴影部分的面积结果保留πS =_________.15.哈尔滨市如图,圆内接正六边形ABCDEF 中,AC 、BF 交于点M .则ABM S △∶AFM S △=_________.16.哈尔滨市两圆外离,圆心距为25厘米,两圆周长分别为15π厘米和10π厘米.则其内公切线和连心线所夹的锐角等于__________度.17.哈尔滨市将两边长分别为4厘米和6厘米的矩形以其一边所在直线为轴旋转一周,所得圆柱体的表面积为_________平方厘米.18.陕西省如图,在⊙O 的内接四边形ABCD 中,∠BCD =130 ,则∠BOD 的度数是________.19.陕西省已知⊙O 的半径为4厘米,以O 为圆心的小圆与⊙O 组成的圆环的面积等于小圆的面积,则这个小圆的半径是______厘米.的一 20.陕西省如图,⊙O 1的半径O 1A 是⊙O 2的直径,C 是⊙O 1上点,O 1C 交⊙O 2于点B .若⊙O 1的半径等于5厘米,的长等于⊙O 1周长的101,则的长是_________.21.甘肃省正三角形的内切圆与外接圆面积之比为_________.22.甘肃省如图,AB =8,AC =6,以AC 和BC 为直径作半圆,两圆的公切线MN 与AB 的延长线交于D ,则BD 的长为_________. 23.宁夏回族自治区圆锥的母线长为5厘米,高为3厘米,在它的侧面展开图中,扇形的圆心角是_________度.24.南京市如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ,垂足是G ,F 是CG 的中点,延长AF 交⊙O 于E ,CF =2,AF =3,则EF 的长是_________.25.福州市在⊙O 中,直径AB =4厘米,弦CD ⊥AB 于E ,OE =3,则弦CD 的长为__________厘米.26.福州市若圆锥底面的直径为厘米,线线长为5厘米,则它的侧面积为__________平方厘米结果保留π.27.河南省如图,AB 为⊙O 的直径,P 点在AB 的延长线上,PM 切⊙O 于M 点.若OA =a,PM =3a,那么△PMB的周长的__________.28.长沙市在半径9厘米的圆中, 60的圆心角所对的弧长为__________厘米.29.四川省扇形的圆心角为120 ,弧长为6π厘米,那么这个扇形的面积为_________.30.贵阳市如果圆O 的直径为10厘米,弦AB 的长为6厘米,那么弦AB 的弦心距等于________厘米.31.贵阳市某种商品的商标图案如图所求阴影部分,已知菱形ABCD的边长为4,∠A=60,是以A为圆心,AB长为半径的弧,是以B为圆心,BC长为半径的弧,则该商标图案的面积为_________.32.云南省已知,一个直角三角形的两条直角边的长分别为3厘米、4厘米、以它的直角边所在直角线为轴旋转一周,所得圆锥的表面积是__________.33.新疆乌鲁木齐正六边形的边心距与半径的比值为_________.34.新疆乌鲁木齐如图,已知扇形AOB的半径为12,OA⊥OB,C为OA 上一点,以AC为直径的半圆O和以OB为直径的半圆2O相切,则半圆1O的半径为1__________.35.成都市如图,PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B,AC是⊙O的直径,PC交⊙O于点D.已知∠APB=60,AC=2,那么CD的长为________.36.苏州市底面半径为2厘米,高为3厘米的圆柱的体积为_________立方厘米结果保留π.37.扬州市边长为2厘米的正六边形的外接圆半径是________厘米,内切圆半径是________厘米结果保留根号.38.绍兴市如图,PT是⊙O的切线,T为切点,PB是⊙O的割线交⊙O于A、B两点,交弦CD于点M,已知:CM=10,MD=2,PA=MB=4,则PT的长等于__________.39.温州市如图,扇形OAB中,∠AOB=90,半径OA=1,C是线段AB 的中点,CD∥OA,交于点D,则CD=________.40.常州市已知扇形的圆心角为150 ,它所对的弧长为20π厘米,则扇形的半径是________厘米,扇形的面积是__________平方厘米.41.常州市如图,AB 是⊙O 直径,CE 切⊙O 于点C ,CD ⊥AB ,D 为垂足,AB =12厘米,∠B =30 ,则∠ECB =__________ ;CD =_________厘米.42.常州市如图,DE 是⊙O 直径,弦AB ⊥DE ,垂足为C ,若AB =6,CE=1,则CD =________,OC =_________.43.常州市如果把人的头顶和脚底分别看作一个点,把地球赤道作一个圆,那么身高压2米的汤姆沿着地球赤道环道环行一周,他的头顶比脚底多行________米.44.海南省已知:⊙O 的半径为1,M 为⊙O 外的一点,MA 切⊙O 于点A ,MA =1.若AB 是⊙O 的弦,且AB =2,则MB 的长度为_________. 45.武汉市如果圆的半径为4厘米,那么它的周长为__________厘米.参考答案一、选择题1.B 2.B 3.D 4.D 5.C 6.C 7.A 8.C 9.D 10.B 11.A 12.B 13.C14.D 15.D 16.A 17.B 18.C 19.C 20.B 21.C 22.A 23.A 24.B 25.B26.D 27.D 28.C 29.A 30.B 31.A 32.A 33.B 34.C 35.A 36.D 37.B38.B 39.B 40.B 41.C 42.D 43.A 44.C 45.B 46.C 47.A 48.B 49.C50.C二、填空题1.50 2.2π 3.18π 4.4105.7-⨯ 5.5 6.5 7.30° 8.9 9.25 10.h =r 11.42 12.3或4 13.60°或120° 14.8252425-π 15.1:2 16.30 17.80π或120π 18.100° 19.22 20.π 21.1:4 22.1 23.288 24.4 25.2 26.15π 27.()a 23+ 28.3π 29.27π平方厘米 30.4 31.34 32.24π平方厘米或36π平方厘米 33.23 34.4 35.774 36.12π 37.2,3 38.132 39.213-40.24,240π 41.60°,33 42.9,4 43.4π 44.1或5 45.8π三、解答题:1.1∵ BE 切⊙O 于点B ,∴ ∠ABE =∠C . ∵ ∠EBC =2∠C ,即 ∠ABE +∠ABC =2∠C , ∴ ∠C +∠ABC =2∠C ,∴ ∠ABC =∠C ,∴ AB =AC .2①连结AO ,交BC 于点F ,∵ AB =AC ,∴ =,∴ AO ⊥BC 且BF =FC .在Rt △ABF 中,BFAF =tan ∠ABF , 又 tan ∠ABF =tan C =tan ∠ABE =21,∴ BF AF =21, ∴ AF =21BF . ∴ AB =22BF AF +=2221BF BF +⎪⎭⎫ ⎝⎛=25BF . ∴ 452==BF AB BC AB . ②在△EBA 与△ECB 中,∵ ∠E =∠E ,∠EBA =∠ECB ,∴ △EBA ∽△ECB .∴ ⎪⎩⎪⎨⎧⋅==EC EA BE BC AB EB EA 2,解之,得516EA 2=EA ·EA +AC ,又EA ≠0, ∴ 511EA =AC ,EA =115×2=1110. 2.设⊙的半径为r ,由切割线定理,得PA 2=PB ·PC ,∴ 82=44+2r ,解得r =6cm .即⊙O 的半径为6cm .3.由已知AD ︰DB =2︰3,可设AD =2k ,DB =3kk >0.∵ AC 切⊙O 于点C ,线段ADB 为⊙O 的割线,∴ AC 2=AD ·AB ,∵ AB =AD +DB =2k +3k =5k ,∴ 102=2k ×5k ,∴ k 2=10,∵ k >0,∴ k =10. ∴ AB =5k =510.∵ AC 切⊙O 于C ,BC 为⊙O 的直径,∴ AC ⊥BC .在Rt △ACB 中,sin B =51010510==AB AC . 4.解法一:连结AC .∵ AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,∴ ∠ACB =90°.CD ⊥AB 于点D ,∴ ∠ADC =∠BDC =90°,∠2=90°-∠BAC =∠B .∵ tan B =21,∴ tan ∠2=21.∴ CB AC DB CD CD AD ===21. 设AD =xx >0,CD =2x ,DB =4x ,AB =5x .∵ PC 切⊙O 于点C ,点B 在⊙O 上,∴ ∠1=∠B .∵ ∠P =∠P ,∴ △PAC ∽△PCB ,∴ 21==CB AC PC PA . ∵ PC =10,∴ PA =5,∵ PC 切⊙O 于点C ,PAB 是⊙O 的割线,∵ PC 2=PA ·PB ,∴ 102=55+5 x .解得x =3.∴ AD =3,CD =6,DB =12.∴ S △BCD =21CD ·DB =21×6×12=36.即三角形BCD 的面积36cm 2.解法二:同解法一,由△PAC ∽△PCB ,得21==CB AC PC PA . ∵ PA =10,∴ PB =20.由切割线定理,得PC 2=PA ·PB .∴ PA =201022-PB PC =5,∴ AB =PB -PA =15, ∵ AD +DB =x +4x =15,解得x =3,∴ CD =2x =6,DB =4x =12.∴ S △BCD =21CD ·DB =21×6×12=36.即三角形BCD 的面积36cm 2.5.解:如图取MN 的中点E ,连结OE ,∴ OE ⊥MN ,EN =21MN =21a .在四边形EOCD 中,∵ CO ⊥DE ,OE ⊥DE ,DE ∥CO ,∴ 四边形EOCD 为矩形.∴ OE =CD ,在Rt △NOE 中,NO 2-OE 2=EN 2=22⎪⎭⎫ ⎝⎛a . ∴ S 阴影=21πNO 2-OE 2=21π·22⎪⎭⎫ ⎝⎛a =28πa . 6.解:∵ ∠CDE =∠CBA ,∠DCE =∠BCA ,∴ △CDE ∽△ABC .∴ 2⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆AB DE S S ABC CDE ∴AB DE =ABC CDE S S ∆∆=41=21, 即215=AB ,解得 AB =10cm , 作OM ⊥FG ,垂足为M ,则FM =21FG =21×8=4cm ,连结OF ,∵ OA =21AB =21×10=5cm .∴ OF =OA =5cm .在Rt △OMF 中,由勾股定理,得OM =22FM OF -=2245-=3cm .∴ 梯形AFGB 的面积=2FG AB +·OM =2810⨯×3=27cm 2. 7.⎭⎬⎫的割线⊙是的切线⊙是O PBC O PA )1(⇒PA 2=PB ·PC ⇒PC =20⇒半径为7.5⇒圆面积为π4225或56.25π平方单位.⎭⎬⎫∠=∠∠=∠P P BAP C )2(⇒△ACP ∽△BAP ⇒PB PA AB AC =⇒12=AB AC . 解法一:设AB =x ,AC =2x ,BC 为⊙O 的直径⇒∠CAB =90°,则 BC =5x .∵ ∠BAP =∠C ,∴ cos ∠BAP =cos ∠C =55252==x x BC AC 解法二:设AB =x ,在Rt △ABC 中,AC 2+AB 2=BC 2,即 x 2+2x 2=152,解之得 x =35,∴ AC =65,∵ ∠BAP =∠C ,∴ ∴ cos ∠BAP =cos ∠C =5521556==BC AC。

初中数学圆的难题汇编及答案解析

初中数学圆的难题汇编及答案解析

初中数学圆的难题汇编及答案解析一、选择题1 .下列命题错误的是( )A. 平分弦的直径垂直于弦B. 三角形一定有外接圆和内切圆C. 等弧对等弦D. 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概念判断即可. 【详解】A 、 平分弦的直径一定垂直于弦,是真命题;B 、 三角形一定有外接圆和内切圆,是真命题;C 、 在同圆或等圆中,等弧对等弦,是假命题;D 、 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心,是真命题; 故选C.【点睛】本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概 念等知识解答,难度不大.【答案】A 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角为直角可知/0,若BE 最短,则0B 最短,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得10E=?AC=4,在Rt A 0BC 中,根据勾股定理可求得 0B=5,即可得解•【详解】2.在 RtMBC 中,/ ACB=90°.AC=8, BC=3, (点D 是BC 边上动点,连接 AD 交以CD 为直径)CED=90,则/ AEC=90,设以AC 为直径的圆的圆心为解:连接CE••• E 点在以CD 为直径的圆上, •••/ CED=90,•••/ AEC=180-/ CED=90,• E 点也在以AC 为直径的圆上,设以AC 为直径的圆的圆心为 0,若BE 最短,则0B 最短,•/ AC=8, 1 --0C = — AC=4,2•/ BC=3,Z ACB=90 ,•°B=,OC 2BC 2=5,•••0E=0C=4,• • BE=OB-OE=5-4=1.故选A. 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角,直角三角形的性质和勾股定理【答案】C 【解析】 【分析】设点P ( x , y ),表示出PA^+P B^的值,从而转化为求 0P 的最值,画出图形后可直观得出3.如图,在平面直角坐标系中,点0), B P 是以C (-2, .7 )为圆心,1为半径的O C 上的(1 , 0),连接PA PB,则P^+PB 2的最小值是(C. 10 D . 12A85.如图, △ABC的外接圆是O O,半径AO=5,2sinB=2,则线段AC的长为(OP的最值,代入求解即可.【详解】设P (X, y),•/ PA2=(X+1) 2+y2, PB2=( x- 1)2+y2,•••PA2+P B F= 2«+2y2+2= 2 (x2+y2) +2 ,•/ OP2= x2+y2,PA2+PB2= 20^+2,当点P处于OC与圆的交点上时,OP取得最值,•••OP 的最小值为CO- CP= 3 - 1 = 2,• PA2+P B F最小值为2x2+2= 10.故选:C.【点睛】本题考查了圆的综合,解答本题的关键是设出点P坐标,将所求代数式的值转化为求解OP 的最小值,难度较大.4.下列命题中,是假命题的是()A. 任意多边形的外角和为360°B. 在VABC和VA'B'C'中,若AB A'B' , BC B'C' , C C' 90°,贝卩VABC也VA'B'C'C. 在一个三角形中,任意两边之差小于第三边D. 同弧所对的圆周角和圆心角相等【答案】D【解析】【分析】根据相关的知识点逐个分析.【详解】解:A.任意多边形的外角和为360°,是真命题;B. 在VABC和VA'B'C'中,若AB A'B', BC B'C' , C C' 90°,则VABC也VA'B'C',根据HL,是真命题;C. 在一个三角形中,任意两边之差小于第三边,是真命题;D•同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,本选项是假命题.故选D.【点睛】本题考核知识点:判断命题的真假•解题关键点:熟记相关性质或定义.5A. 1B. 2C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】首先连接CO并延长交O O于点D,连接AD,由CD是O O的直径,可得/ CAD=90,又由2O O的半径是5,sinB=—,即可求得答案.5【详解】解:连接CO并延长交O O于点D,连接AD,9由CD是O O的直径,可得/ CAD=90 ,•••/ B和/ D所对的弧都为弧AC,2B=Z D,即卩sinB=sinD=—,5•••半径AO=5,••• CD=10,AC AC 2•sin DCD 10 5•AC=4,故选:C.【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等,以及三角函数的内容,注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键•6 •如图,AC BC , AC BC 8,以BC为直径作半圆,圆心为点O ;以点C为圆心,BC为半径作A B,过点O作AC的平行线交两弧于点D、E,则图中阴影部分的面积是()20 20 20 20A. 8.3B. 8.3C. 8,3D. 4,3 -3 3 3 3【答案】A【解析】【分析】如图,连接CE图中S阴影=S扇形BCE-S扇形BOD-S A OCE根据已知条件易求得OB= OC= OD= 4,BC= CE= 8,Z ECB= 60 ° OE= 4丽,所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可.【详解】解:如图,连接CE••• AC丄BC, AC= BC= 8,以BC为直径作半圆,圆心为点O;以点C为圆心,BC为半径作弧AB,•••/ ACB= 90° OB= OC= OD= 4, BC= CE^ 8.又••• OE// AC,•••/ ACB=Z COB 90°•••在Rt A OEC中,OC= 4, CE= 8,•••/ CEO= 30° / ECB= 60° OE= 4 爲,• S阴影=S扇形BCE- S扇形BOD- S AO CE60 821 o 1 , -= 42 4 4、3360 4 2=红&33故选:A.【点睛】本题考查了扇形面积的计算•不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算.7•如图, ABC 是eO 的内接三角形, A 45 , BC 1,把 ABC 绕圆心O 按逆时针方向旋转90得到 DEB ,点A 的对应点为点D ,则点A , D 之间的距离是()ABC 绕圆心O 按逆时针方向旋转 90得到 DEB ,AB=DE, AOD 90 , CAB BDE 451.ABD — AOD 45 (同弧所对应的圆周角等于圆心角的2即 ABD EDB 45 ,又••• DB=BD, ••• DAB BED (同弧所对应的圆周角相等), 在 A ADB 和 ADBE 中ABD EDB AB ED DAB BED•••△ ADB ^A EBD (ASA ) • AD=EB=BC=1.故答案为A. 【点睛】C. 、3 D . 2【答案】A 【解析】 【分析】连接AD ,构造△ADB,由同弧所对应的圆周角相等和旋转的性质,证 从而得到AD=BE=BC=1.【详解】△ADB 和A DBE 全等,A . 1B .2如图,连接AD , AO, DO2本题主要考查圆周角、圆中的计算问题以及勾股定理的运用;顶点在圆上,两边都与圆相 交的角角圆周角;掌握三角形全等的判定是解题的关键&如图,在扇形 OAB 中, AOB 120,点P 是弧AB 上的一个动点(不与点 A 、B 重 合),C 、D 分别是弦AP , BP 的中点•若CD 3_:3,则扇形AOB 的面积为()A. 12B . 2【答案】A 【解析】【分析】 如图,作0H 丄AB 于H .利用三角形中位线定理求出 AB 的长,解直角三角形求出 0B 即可 解决问题. 【详解】•••C 、D 分别是弦AP 、BP 的中点. ••• CD 是 A APB 的中位线, AB = 2CD = 6/3 ,•/ OH 丄 AB ,• BH = AH = 3 . 3 ,•/ 0A = OB,/ AOB = 120° •••/ AOH =/ BOH= 60°AH在 Rt A AOH 中,sin / AOH =-,AOAH 3、3 厂-------------- 6•AO= sin AOH 3,C. 4D . 24尸解:如图作0H 丄AB 于H .12cm ,面积72 cm 2的扇形无重叠地围成一个圆锥,则这个圆锥的B . 6cmC. 6 V 2 cm D . 6、一 3 cm2•••扇形AOB 的面积为:120g g6 12 ,360故选:A . 【点睛】本题考查扇形面积公式,三角形的中位线定理,解直角三角形等知识,解题的关键是学会 添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.9.如图,已知 AB 是O O 的直径,点 C 在O O 上,过点C 的切线与 AB 的延长线交于点 P,连接AC,若/ A=30°, PC=3则O O 的半径为()•••/ OCA=Z A=30° , •••/ COB=Z A+Z ACO=60 ,••• PC 是O O 切线,• Z PCO=90 , Z P=30°, •/ PC=3, • OC=PC?tan30 ° . 3 ,故选 A3 C.-2D .2、3 3【答案】A 【解析】10.如图,用半径为A . 12cm2【解析】【分析】 先根据扇形的面积公式计算出扇形的圆心角,再利用周长公式计算出底面圆的周长,得出 半径•再构建直角三角形,解直角三角形即可. 【详解】360解得 n=180° ,180 12• •扇形的弧长==12 n cm180围成一个圆锥后如图所示:因为扇形弧长=圆锥底面周长 即 12n =2 nr解得 r=6cm ,即 OB=6cm根据勾股定理得 OC=... 122 62 =6 3 cm , 故选D . 【点睛】本题综合考查了弧长公式,扇形弧长 =用它围成的圆锥底面周长,及勾股定理等知识,所以学生学过的知识一定要结合起来.【解析】【分析】 根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长,即可求得底面周长,进而即可求得底面的半 径长. 【详解】圆锥的底面周长是:n设圆锥的底面半径是 r ,则2 n r= n1解得:r=—.72 n =12 11 • 一个圆锥的侧面展开图是半径为 11A . —B . —3 2【答案】B1的半圆,则该圆锥的底面半径是()3【点睛】本题考查了圆锥的计算,正确理解理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键,理解圆锥的母线长是扇形的半径,圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.12. 直角”在几何学中无处不在,下列作图作出的AOB不一定是直角的是【解析】【分析】根据作图痕迹,分别探究各选项所做的几何图形问题可解【详解】解:选项A中,做出了点A关于直线BC的对称点,贝U AOB是直角•选项B中,AO为BC边上的高,则AOB是直角•选项D中,AOB是直径AB作对的圆周角,故AOB是直角•故应选C【点睛】本题考查了尺规作图的相关知识,根据基本作图得到的结论,应用于几何证明是解题关键.13. 如图,点E为ABC的内心,过点E作MN P BC交AB于点M,交AC于点N ,6,贝U MN的长为(B. 4C. 5D. 5. 5A. 3. 5【答案】B 【解析】【分析】连接EB EC,如图,利用三角形内心的性质得到/ 仁/2,利用平行线的性质得/所以/仁/3,则BM=ME,同理可得•/ MN // BC,•••/ 2=Z 3,•••/ 仁/3,•BM=ME, 同理可得NC=NE•/ MN // BC,• △ AMN ABC,CN=5-5 MN© ,6① +② 得MN=12-2MN ,••• MN=4 .故选:B.【点睛】此题考查三角形的内切圆与内心,相似三角形的判定与性质,解题关键在于掌握与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.14. 下列命题中哪一个是假命题(A. 8的立方根是22=7 3,NC=NE接着证明△AMN s\ ABC,所以MN 7 BM 7,贝V BM=7——MND6 7 6 方程,然后解方程即可.【详解】连接EB EC,如图,•••点E为△ABC的内心,• EB平分/ ABC, EC平分/ •••/ 仁/2,,同理可得CN=5-5 MN②,把两式相加得到6 MN的ACB,MN BC MN67 BM7,贝U BM=7-- MND ,6同理可得B. 在函数y = 3x 的图象中,y 随x 增大而增大C. 菱形的对角线相等且平分D. 在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等【答案】C 【解析】 【分析】利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确 的选项. 【详解】A 、 8的立方根是2,正确,是真命题;B 、 在函数y 3x 的图象中,y 随x 增大而增大,正确,是真命题;C 、 菱形的对角线垂直且平分,故错误,是假命题;D 、 在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,正确,是真命题,故选C. 【点睛】考查了命题与定理的知识,能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周 角定理等知识是解题关键.15. 如图,抛物线y = ax 2 - 6ax+5a (a >0)与x 轴交于A 、B 两点, 圆心,半径为2画圆,点P 在O C 上,顶点为C 点.以C 点为3,贝U C 点坐标是连接0P ,若0P 的最小值为A 。

初中数学圆的难题汇编及解析

初中数学圆的难题汇编及解析
【详解】
解:连接OB,
∵AB=AC,
∴∠∠BOC,
∴∠BOC=68°×2=136°,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB=(180°-136°)÷2=22°,
∴∠OBE=∠EBC-∠OBC=56°-22°=34°,
∴∠AED=∠BEC=∠BOC-∠OBE=136°-34°=102°.
【详解】
解:连接OE、OC,如图,
∵DE=OB=OE,
∴∠D=∠EOD=20°,
∴∠CEO=∠D+∠EOD=40°,
∵OE=OC,
∴∠C=∠CEO=40°,
∴∠BOC=∠C+∠D=60°,
∴ 的长度= = π,
故选A.
【点睛】
本题考查了弧长公式:l= (弧长为l,圆心角度数为n,圆的半径为R),还考查了圆的认识及等腰三角形的性质及三角形外角的性质,熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出圆锥侧面母线长,再根据圆锥的全面积=底面积+侧面积求出答案.
【详解】
∵圆锥的底面半径是5,高为12,
∴侧面母线长为 ,
∵圆锥的侧面积= ,
圆锥的底面积= ,
∴圆锥的全面积= ,
故选:D.
【点睛】
此题考查圆锥的全面积,圆锥侧面母线长与底面圆的半径、圆锥的高的关系,熟记计算公式是解题的关键.
【答案】C
【解析】
【分析】
易得AD长,利用相应的三角函数可求得∠ABD的度数,进而求得∠EOD的度数,那么一个阴影部分的面积=S△ABD-S扇形DOE-S△BOE,算出后乘2即可.
【详解】
连接OE,OF.

(专题精选)初中数学圆的真题汇编及答案解析

(专题精选)初中数学圆的真题汇编及答案解析

(专题精选)初中数学圆的真题汇编及答案解析一、选择题1.如图,ABC V 中,90ACB ∠=︒,O 为AB 中点,且4AB =,CD ,AD 分别平分ACB ∠和CAB ∠,交于D 点,则OD 的最小值为( ).A .1B 2C 21D .222【答案】D【解析】【分析】 根据三角形角平分线的交点是三角形的内心,得到DO 最小时,DO 为三角形ABC 内切圆的半径,结合切线长定理得到三角形为等腰直角三角形,从而得到答案.【详解】解:Q CD ,AD 分别平分ACB ∠和CAB ∠,交于D 点,D ∴为ABC ∆的内心,OD ∴最小时,OD 为ABC ∆的内切圆的半径,,DO AB ∴⊥过D 作,,DE AC DF BC ⊥⊥ 垂足分别为,,E F,DE DF DO ∴==∴ 四边形DFCE 为正方形,O Q 为AB 的中点,4,AB =2,AO BO ∴==由切线长定理得:2,2,,AO AE BO BF CE CF r ======sin 4522,AC BC AB ∴==•︒=222,CE AC AE ∴=-=Q 四边形DFCE 为正方形,,CE DE ∴=222,OD CE ∴==故选D .【点睛】本题考查的动态问题中的线段的最小值,三角形的内心的性质,等腰直角三角形的性质,锐角三角函数的计算,掌握相关知识点是解题关键.2.如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的切线与AB的延长线交于点P,连接AC,若∠A=30°,PC=3,则⊙O的半径为()A.3B.23C.32D.23【答案】A【解析】连接OC,∵OA=OC,∠A=30°,∴∠OCA=∠A=30°,∴∠COB=∠A+∠ACO=60°,∵PC是⊙O切线,∴∠PCO=90°,∠P=30°,∵PC=3,∴OC=PC•tan30°3故选A3.如图,在平行四边形ABCD中,BD⊥AD,以BD为直径作圆,交于AB于E,交CD于F,若BD=12,AD:AB=1:2,则图中阴影部分的面积为()A .123B .1536π-πC .30312π-D .48336π-π【答案】C【解析】【分析】 易得AD 长,利用相应的三角函数可求得∠ABD 的度数,进而求得∠EOD 的度数,那么一个阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形DOE -S △BOE ,算出后乘2即可.【详解】连接OE ,OF .∵BD=12,AD :AB=1:2,∴AD=43 ,AB=83,∠ABD=30°,∴S △ABD =×43×12=243,S 扇形=603616,633933602OEB S ππ⨯==⨯⨯=V ∵两个阴影的面积相等,∴阴影面积=()224369330312ππ⨯--=- .故选:C【点睛】本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积.4.如图,在矩形ABCD 中,6,4AB BC ==,以A 为圆心,AD 长为半径画弧交AB 于点E ,以C 为圆心,CD 长为半径画弧交CB 的延长线于点F ,则图中阴影部分的面积是( )A .13πB .1324π+C .1324π-D .524π+【答案】C【解析】【分析】先分别求出扇形FCD 和扇形EAD 的面积以及矩形ABCD 的面积,再根据阴影面积=扇形FCD 的面积﹣(矩形ABCD 的面积﹣扇形EAD 的面积)即可得解.【详解】解:∵S 扇形FCD 29036096ππ==⨯⨯,S 扇形EAD 24036094ππ==⨯⨯,S 矩形ABCD 6424=⨯=, ∴S 阴影=S 扇形FCD ﹣(S 矩形ABCD ﹣S 扇形EAD )=9π﹣(24﹣4π)=9π﹣24+4π=13π﹣24故选:C .【点睛】本题考查扇形面积的计算,根据阴影面积=扇形FCD 的面积﹣(矩形ABCD 的面积﹣扇形EAD 的面积)是解答本题的关键.5.下列命题中,是假命题的是( )A .任意多边形的外角和为360oB .在ABC V 和'''A B C V 中,若''AB A B =,''BC B C =,'90C C ∠=∠=o ,则ABC V ≌'''A B C VC .在一个三角形中,任意两边之差小于第三边D .同弧所对的圆周角和圆心角相等【答案】D【解析】【分析】根据相关的知识点逐个分析.【详解】解:A. 任意多边形的外角和为360o ,是真命题;B. 在ABC V 和'''A B C V 中,若''AB A B =,''BC B C =,'90C C ∠=∠=o ,则ABC V ≌'''A B C V ,根据HL ,是真命题;C. 在一个三角形中,任意两边之差小于第三边,是真命题;D. 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,本选项是假命题.故选D .【点睛】本题考核知识点:判断命题的真假. 解题关键点:熟记相关性质或定义.6.已知下列命题:①若a>b,则ac>bc;②若a=1,则a=a;③内错角相等;④90°的圆周角所对的弦是直径.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【解析】【分析】先对原命题进行判断,再判断出逆命题的真假即可.【详解】解:①若a>b,则ac>bc是假命题,逆命题是假命题;②若a=1,则a=a是真命题,逆命题是假命题;③内错角相等是假命题,逆命题是假命题;④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题,逆命题是真命题;其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个;故选A.点评:主要考查命题与定理,用到的知识点是互逆命题的知识,两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题,判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.7.如图,在扇形OAB中,120∠=︒,点P是弧AB上的一个动点(不与点A、B重AOBCD=,则扇形AOB的面积为()合),C、D分别是弦AP,BP的中点.若33A.12πB.2πC.4πD.24π【答案】A【解析】【分析】如图,作OH⊥AB于H.利用三角形中位线定理求出AB的长,解直角三角形求出OB即可解决问题.【详解】解:如图作OH⊥AB于H.∵C、D分别是弦AP、BP的中点.∴CD是△APB的中位线,∴AB=2CD=63∵OH⊥AB,∴BH=AH=33∵OA=OB,∠AOB=120°,∴∠AOH=∠BOH=60°,在Rt△AOH中,sin∠AOH=AH AO,∴AO=336 sin3AHAOH==∠,∴扇形AOB的面积为:2120612360ππ=g g,故选:A.【点睛】本题考查扇形面积公式,三角形的中位线定理,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.8.已知锐角∠AOB如图,(1)在射线OA上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径作»PQ,交射线OB于点D,连接CD;(2)分别以点C,D为圆心,CD长为半径作弧,交»PQ于点M,N;(3)连接OM,MN.根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是()A.∠COM=∠COD B.若OM=MN,则∠AOB=20°C.MN∥CD D.MN=3CD【答案】D【解析】【分析】由作图知CM=CD=DN,再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得.【详解】解:由作图知CM=CD=DN,∴∠COM=∠COD,故A选项正确;∵OM=ON=MN,∴△OMN是等边三角形,∴∠MON=60°,∵CM=CD=DN,∴∠MOA=∠AOB=∠BON=13∠MON=20°,故B选项正确;∵∠MOA=∠AOB=∠BON=20°,∴∠OCD=∠OCM=80°,∴∠MCD=160°,又∠CMN=12∠AON=20°,∴∠MCD+∠CMN=180°,∴MN∥CD,故C选项正确;∵MC+CD+DN >MN ,且CM=CD=DN ,∴3CD >MN ,故D 选项错误;故选:D .【点睛】本题主要考查作图-复杂作图,解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点.9.如图,⊙O 中,弦BC 与半径OA 相交于点D ,连接AB ,OC ,若∠A=60°,∠ADC=85°,则∠C 的度数是( )A .25°B .27.5°C .30°D .35°【答案】D【解析】 分析:直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B 以及∠ODC 度数,再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案.详解:∵∠A=60°,∠ADC=85°,∴∠B=85°-60°=25°,∠CDO=95°,∴∠AOC=2∠B=50°,∴∠C=180°-95°-50°=35°故选D .点睛:此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识,正确得出∠AOC 度数是解题关键.10.如图,弧 AB 等于弧CD ,OE AB ⊥于点E ,OF CD ⊥于点F ,下列结论中错误..的是( )A .OE=OFB .AB=CDC .∠AOB =∠COD D .OE >OF【答案】D【解析】【分析】 根据圆心角、弧、弦的关系可得B 、C 正确,根据垂径定理和勾股定理可得A 正确,D 错误.【详解】解:∵»»AB CD =,∴AB =CD ,∠AOB =∠COD ,∵OE AB ⊥,OF CD ⊥,∴BE =12AB ,DF =12CD , ∴BE =DF ,又∵OB =OD , ∴由勾股定理可知OE =OF ,即A 、B 、C 正确,D 错误,故选:D .【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,垂径定理,勾股定理,熟练掌握基本性质定理是解题的关键.11.如图,在平面直角坐标系中,已知C (3,4),以点C 为圆心的圆与y 轴相切.点A 、B 在x 轴上,且OA =OB .点P 为⊙C 上的动点,∠APB =90°,则AB 长度的最小值为( )A .4B .3C .7D .8【答案】A【解析】【分析】 连接OC ,交⊙C 上一点P ,以O 为圆心,以OP 为半径作⊙O ,交x 轴于A 、B ,此时AB 的长度最小,根据勾股定理和题意求得OP =2,则AB 的最小长度为4.【详解】解:如图,连接OC ,交⊙C 上一点P ,以O 为圆心,以OP 为半径作⊙O ,交x 轴于A 、B ,此时AB 的长度最小,∵C(3,4),∴OC=22=5,34∵以点C为圆心的圆与y轴相切.∴⊙C的半径为3,∴OP=OC﹣3=2,∴OP=OA=OB=2,∵AB是直径,∴∠APB=90°,∴AB长度的最小值为4,故选:A.【点睛】本题考查了圆切线的性质、坐标和图形的性质、圆周角定理、勾股定理,找到OP的最小值是解题的关键.12.如图所示,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,且OC⊥AB,过点C的弦CD与线段OB 相交于点E,满足∠AEC=65°,连接AD,则∠BAD等于()A.20°B.25°C.30°D.32.5°【答案】A【解析】【分析】连接OD,根据三角形内角和定理和等边对等角求出∠DOB=40°,再根据圆周角定理即可求出∠BAD的度数.【详解】解:连接OD,∵OC⊥AB,∴∠COB =90°,∵∠AEC =65°,∴∠OCE =180°﹣90°﹣65°=25°,∵OD =OC ,∴∠ODC =∠OCD =25°,∴∠DOC =180°﹣25°﹣25°=130°,∴∠DOB =∠DOC ﹣∠BOC =130°﹣90°=40°,∴由圆周角定理得:∠BAD =12∠DOB =20°, 故选:A .【点睛】本题考查了圆和三角形的问题,掌握三角形内角和定理、等边对等角、圆周角定理是解题的关键.13.如图,有一个边长为2cm 的正六边形纸片,若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片,则这个圆形纸片的半径是( )A 3cmB .2cmC .23cmD .4cm【答案】A【解析】【分析】 根据题意画出图形,再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB 的度数,最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可.【详解】 解:如图所示,正六边形的边长为2cm ,OG ⊥BC ,∵六边形ABCDEF 是正六边形,∴∠BOC=360°÷6=60°,∵OB=OC ,OG ⊥BC ,∴∠BOG=∠COG=12∠BOC =30°, ∵OG ⊥BC ,OB=OC ,BC=2cm , ∴BG=12BC=12×2=1cm , ∴OB=sin 30BG o =2cm ,∴OG=2222-=-=,OB BG213∴圆形纸片的半径为3cm,故选:A.【点睛】本题考查的是正多边形和圆,根据题意画出图形,利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键.14.如图,7×5的网格中的小正方形的边长都为1,小正方形的顶点叫格点,△ABC的三个顶点都在格点上,过点C作△ABC外接圆的切线,则该切线经过的格点个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】作△ABC的外接圆,作出过点C的切线,两条图象法即可解决问题.【详解】如图⊙O即为所求,观察图象可知,过点C作△ABC外接圆的切线,则该切线经过的格点个数是3个,选:C.【点睛】考查三角形的外接圆与外心,切线的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意.15.如图,已知ABC ∆和ABD ∆都O e 是的内接三角形,AC 和BD 相交于点E ,则与ADE ∆的相似的三角形是( )A .BCE ∆B .ABC ∆ C .ABD ∆ D .ABE ∆【答案】A【解析】【分析】 根据同弧和等弧所对的圆周角相等, 则AB 弧所对的圆周角BCE BDA ∠=∠,CEB ∠和DEA ∠是对顶角,所以ADE BCE ∆∆∽.【详解】解:BCE BDA ∠=∠Q ,CEB DEA ∠=∠ADE BCE ∴∆∆∽,故选:A .【点睛】考查相似三角形的判定定理: 两角对应相等的两个三角形相似,关键就是牢记同弧所对的圆周角相等.16.如图,已知⊙O 的半径是4,点A,B,C 在⊙O 上,若四边形OABC 为菱形,则图中阴影部分面积为( )A .8833π-B .16833π-C .16433π-D .8433π-【答案】B【解析】【分析】 连接OB 和AC 交于点D ,根据菱形及直角三角形的性质先求出AC 的长及∠AOC 的度数,然后求出菱形ABCO 及扇形AOC 的面积,则由S 扇形AOC -S 菱形ABCO 可得答案.【详解】连接OB和AC交于点D,如图所示:∵圆的半径为4,OB=OA=OC=4,又四边形OABC是菱形,∴OB⊥AC,OD=12OB=2,在Rt△COD中利用勾股定理可知:CD=224223,243AC CD-===,∵sin∠COD=3,2 CDOC=∴∠COD=60°,∠AOC=2∠COD=120°,∴S菱形ABCO=1144383 22OB AC⨯=⨯⨯=,∴S扇形=2 1204163603ππ⨯⨯=,则图中阴影部分面积为S扇形AOC-S菱形ABCO=1683 3π-.故选B.【点睛】考查扇形面积的计算及菱形的性质,解题关键是熟练掌握菱形的面积=12a•b(a、b是两条对角线的长度);扇形的面积=2 360 n r π.17.如图,在圆O中,直径AB平分弦CD于点E,且CD=43,连接AC,OD,若∠A与∠DOB互余,则EB的长是()A.23B.4 C.3D.2【答案】D【解析】【分析】连接CO,由直径AB平分弦CD及垂径定理知∠COB=∠DOB,则∠A与∠COB互余,由圆周角定理知∠A=30°,∠COE=60°,则∠OCE=30°,设OE=x,则CO=2x,利用勾股定理即可求出x,再求出BE即可.【详解】连接CO,∵AB平分CD,∴∠COB=∠DOB,AB⊥CD,CE=DE=23∵∠A与∠DOB互余,∴∠A+∠COB=90°,又∠COB=2∠A,∴∠A=30°,∠COE=60°,∴∠OCE=30°,设OE=x,则CO=2x,∴CO2=OE2+CE2即(2x)2=x2+(23)2解得x=2,∴BO=CO=4,∴BE=CO-OE=2.故选D.【点睛】此题主要考查圆内的综合问题,解题的关键是熟知垂径定理、圆周角定理及勾股定理.18.如图,若干个全等的正五边形排成环状,图中所示的是前3个正五边形,要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A.10 B.9 C.8 D.7【答案】D【解析】分析:先根据多边形的内角和公式(n﹣2)•180°求出正五边形的每一个内角的度数,再延长五边形的两边相交于一点,并根据四边形的内角和求出这个角的度数,然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数,然后减去3即可得解.详解:∵五边形的内角和为(5﹣2)•180°=540°,∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°,如图,延长正五边形的两边相交于点O,则∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°,360°÷36°=10.∵已经有3个五边形,∴10﹣3=7,即完成这一圆环还需7个五边形.故选D.点睛:本题考查了多边形的内角和公式,延长正五边形的两边相交于一点,并求出这个角的度数是解题的关键,注意需要减去已有的3个正五边形.19.如图,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,点P是劣弧弧AB上任意一点(与点B不重合),则∠BPC的度数为()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】B【解析】分析:接OB,OC,根据四边形ABCD是正方形可知∠BOC=90°,再由圆周角定理即可得出结论.详解:连接OB,OC,∵四边形ABCD 是正方形,∴∠BOC=90°,∴∠BPC=12∠BOC=45°. 故选B . 点睛:本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.20.如图,边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°后得到正方形AB 1C 1D 1,边B 1C 1与CD 交于点O ,则图中阴影部分的面积是( )A .224π-- B .224π-+ C .142π+ D .142π- 【答案】B【解析】【分析】先根据正方形的边长,求得CB 1=OB 1=AC-AB 1=2-1,进而得到211(21)2OB C S =-V ,再根据S △AB1C1=12,以及扇形的面积公式即可得出图中阴影部分的面积. 【详解】连结DC 1,∵∠CAC 1=∠DCA =∠COB 1=∠DOC 1=45°,∴∠AC 1B 1=45°,∵∠ADC =90°,∴A ,D ,C 1在一条直线上,∵四边形ABCD 是正方形,∴AC OCB 1=45°,∴CB 1=OB 1∵AB 1=1,∴CB 1=OB 1=AC ﹣AB 1﹣1,∴2111111)22OB C S OB CB ∆=⋅⋅=, ∵1111111111222AB C S AB B C =⋅=⨯⨯=V ,2111)2224π--=-+ 故选B .【点睛】本题考查了旋转的性质,正方形性质、勾股定理以及扇形面积的计算等知识点的综合应用,主要考查学生运用性质进行计算的能力.解题时注意:旋转前、后的图形全等.。

初三圆经典真题及答案详解

初三圆经典真题及答案详解

圆经典重难点真题一.选择题(共10小题)1.(2015•安顺)如右图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠A=22.5°,OC=4,CD的长为()A.2 B.4 C.4D.82.(2015•酒泉)△ABC为⊙O的内接三角形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是()A.80°B.160°C.100°D.80°或100°3.(2015•兰州)如右图,已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点,点C是劣弧OB上一点,则∠ACB=()A.80°B.90°C.100°D.无法确定4.(2015•包头)如右图,在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=4,将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE,点B经过的路径为,则图中阴影部分的面积为()A.πB.πC.πD.π5.(2015•黄冈中学自主招生)如右图,直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0),B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC的正弦值为()A.B.C.D.6.(2015•黄冈中学自主招生)将沿弦BC折叠,交直径AB于点D,若AD=4,DB=5,则BC的长是()A.3 B.8 C. D.27.(2015•齐齐哈尔)如图,两个同心圆,大圆的半径为5,小圆的半径为3,若大圆的弦AB与小圆有公共点,则弦AB的取值范围是()A.8≤AB≤10 B.8<AB≤10 C.4≤AB≤5 D.4<AB≤58.(2015•衢州)如右图,已知△ABC,AB=BC,以AB为直径的圆交AC于点D,过点D的⊙O的切线交BC于点E.若CD=5,CE=4,则⊙O的半径是()A.3 B.4 C.D.9.(2014•舟山)如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE=8,则AB的长为()A.2 B.4 C.6 D.810.(2015•海南)如右图,将⊙O沿弦AB折叠,圆弧恰好经过圆心O,点P是优弧上一点,则∠APB的度数为()A.45°B.30°C.75°D.60°二.填空题(共5小题)11.(2015•黔西南州)如右图,AB是⊙O的直径,CD为⊙O的一条弦,CD⊥AB于点E,已知CD=4,AE=1,则⊙O的半径为.12.(2015•宿迁)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若∠C=130°,则∠BOD=°.13.(2015•南昌)如图,点A,B,C在⊙O上,CO的延长线交AB于点D,∠A=50°,∠B=30°,则∠ADC的度数为.14.(2015•青岛)如图,圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E,F,且∠A=55°,∠E=30°,则∠F=.15.(2015•甘南州)如图,AB为⊙O的弦,⊙O的半径为5,OC⊥AB于点D,交⊙O于点C,且CD=1,则弦AB的长是.三.解答题(共5小题)16.(2015•永州)如图,已知△ABC内接于⊙O,且AB=AC,直径AD交BC于点E,F是OE上的一点,使CF∥BD.(1)求证:BE=CE;(2)试判断四边形BFCD的形状,并说明理由;(3)若BC=8,AD=10,求CD的长.17.(2015•安徽)在⊙O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在⊙O上,且OP⊥PQ.(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长度;(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.18.(2015•滨州)如图,⊙O的直径AB的长为10,弦AC的长为5,∠ACB的平分线交⊙O于点D.(1)求的长.(2)求弦BD的长.19.(2015•丹东)如图,AB是⊙O的直径,=,连接ED、BD,延长AE交BD的延长线于点M,过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C.(1)若OA=CD=2,求阴影部分的面积;(2)求证:DE=DM.20.(2014•湖州)已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图).(1)求证:AC=BD;(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆O到直线AB的距离为6,求AC的长.参考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1.(2015•安顺)如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠A=22.5°,OC=4,CD 的长为()A.2 B.4 C.4D.8【考点】垂径定理;等腰直角三角形;圆周角定理.【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°,由于⊙O的直径AB垂直于弦CD,根据垂径定理得CE=DE,且可判断△OCE为等腰直角三角形,所以CE=OC=2,然后利用CD=2CE进行计算.【解答】解:∵∠A=22.5°,∴∠BOC=2∠A=45°,∵⊙O的直径AB垂直于弦CD,∴CE=DE,△OCE为等腰直角三角形,∴CE=OC=2,∴CD=2CE=4.故选:C.【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理.2.(2015•酒泉)△ABC为⊙O的内接三角形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是()A.80°B.160°C.100°D.80°或100°【考点】圆周角定理.【分析】首先根据题意画出图形,由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数,又由圆的内接四边形的性质,即可求得∠ABC的度数.【解答】解:如图,∵∠AOC=160°,∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°,∵∠ABC+∠AB′C=180°,∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°.∴∠ABC的度数是:80°或100°.故选D.【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质.此题难度不大,注意数形结合思想与分类讨论思想的应用,注意别漏解.3.(2015•兰州)如图,已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点,点C是劣弧OB上一点,则∠ACB=()A.80°B.90°C.100°D.无法确定【考点】圆周角定理;坐标与图形性质.【分析】由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角,根据圆周角定理,即可求得∠ACB=∠AOB=90°.【解答】解:∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角,∴∠AOB=∠ACB,∵∠AOB=90°,∴∠ACB=90°.故选B.【点评】此题考查了圆周角定理.此题比较简单,解题的关键是观察图形,得到∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角.4.(2015•包头)如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=4,将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE,点B经过的路径为,则图中阴影部分的面积为()A.πB.πC.πD.π【考点】扇形面积的计算;勾股定理的逆定理;旋转的性质.【分析】根据AB=5,AC=3,BC=4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状,根据旋转的性质得到△AED的面积=△ABC的面积,得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积,根据扇形面积公式计算即可.【解答】解:∵AB=5,AC=3,BC=4,∴△ABC为直角三角形,由题意得,△AED的面积=△ABC的面积,由图形可知,阴影部分的面积=△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积,∴阴影部分的面积=扇形ADB的面积==,故选:A.【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理,根据图形得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积是解题的关键.5.(2015•黄冈中学自主招生)如图,直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0),B 是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC的正弦值为()A.B.C.D.【考点】圆周角定理;坐标与图形性质;锐角三角函数的定义.【分析】首先连接AC,OA,由直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0),可得△OAC 是等边三角形,继而可求得∠OAC的度数,又由圆周角定理,即可求得∠OBC的度数,则可求得答案.【解答】解:连接AC,OA,∵点C(0,5)和点O(0,0),∴OC=5,∵直径为10,∴AC=OA=5,∴AC=OA=OC,∴△OAC是等边三角形,∴∠OAC=60°,∴∠OBC=∠OAC=30°,∴∠OBC的正弦值为:sin30°=.故选A.【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数的知识.此题难度不大,解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法.6.(2015•黄冈中学自主招生)将沿弦BC折叠,交直径AB于点D,若AD=4,DB=5,则BC的长是()A.3 B.8 C. D.2【考点】圆周角定理;翻折变换(折叠问题);射影定理.【专题】计算题.【分析】若连接CD、AC,则根据同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弦相等,求得AC=CD;过C作AB的垂线,设垂足为E,则DE=AD,由此可求出BE的长,进而可在Rt△ABC中,根据射影定理求出BC的长.【解答】解:连接CA、CD;根据折叠的性质,知所对的圆周角等于∠CBD,又∵所对的圆周角是∠CBA,∵∠CBD=∠CBA,∴AC=CD(相等的圆周角所对的弦相等);∴△CAD是等腰三角形;过C作CE⊥AB于E.∵AD=4,则AE=DE=2;∴BE=BD+DE=7;在Rt△ACB中,CE⊥AB,根据射影定理,得:BC2=BE•AB=7×9=63;故BC=3.故选A.【点评】此题考查的是折叠的性质、圆周角定理、以及射影定理;能够根据圆周角定理来判断出△ACD是等腰三角形,是解答此题的关键.7.(2015•齐齐哈尔)如图,两个同心圆,大圆的半径为5,小圆的半径为3,若大圆的弦AB与小圆有公共点,则弦AB的取值范围是()A.8≤AB≤10 B.8<AB≤10 C.4≤AB≤5 D.4<AB≤5【考点】直线与圆的位置关系;勾股定理;垂径定理.【分析】此题可以首先计算出当AB与小圆相切的时候的弦长.连接过切点的半径和大圆的一条半径,根据勾股定理和垂径定理,得AB=8.若大圆的弦AB与小圆有公共点,即相切或相交,此时AB≥8;又因为大圆最长的弦是直径10,则8≤AB≤10.【解答】解:当AB与小圆相切,∵大圆半径为5,小圆的半径为3,∴AB=2=8.∵大圆的弦AB与小圆有公共点,即相切或相交,∴8≤AB≤10.故选:A.【点评】本题综合考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理.此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长,再进一步分析有公共点时的弦长.8.(2015•衢州)如图,已知△ABC,AB=BC,以AB为直径的圆交AC于点D,过点D的⊙O的切线交BC于点E.若CD=5,CE=4,则⊙O的半径是()A.3 B.4 C.D.【考点】切线的性质.【专题】压轴题.【分析】首先连接OD、BD,判断出OD∥BC,再根据DE是⊙O的切线,推得DE⊥OD,所以DE⊥BC;然后根据DE⊥BC,CD=5,CE=4,求出DE的长度是多少;最后判断出BD、AC的关系,根据勾股定理,求出BC的值是多少,再根据AB=BC,求出AB的值是多少,即可求出⊙O的半径是多少.【解答】解:如图1,连接OD、BD,,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴BD⊥AC,又∵AB=BC,∴AD=CD,又∵AO=OB,∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥BC,∵DE是⊙O的切线,∴DE⊥OD,∴DE⊥BC,∵CD=5,CE=4,∴DE=,∵S△BCD=BD•CD÷2=BC•DE÷2,∴5BD=3BC,∴,∵BD2+CD2=BC2,∴,解得BC=,∵AB=BC,∴AB=,∴⊙O的半径是;.故选:D.【点评】此题主要考查了切线的性质,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①圆的切线垂直于经过切点的半径.②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.9.(2014•舟山)如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE=8,则AB的长为()A.2 B.4 C.6 D.8【考点】垂径定理;勾股定理.【专题】计算题.【分析】根据CE=2,DE=8,得出半径为5,在直角三角形OBE中,由勾股定理得BE,根据垂径定理得出AB的长.【解答】解:∵CE=2,DE=8,∴OB=5,∴OE=3,∵AB⊥CD,∴在△OBE中,得BE=4,∴AB=2BE=8.故选:D.【点评】本题考查了勾股定理以及垂径定理,是基础知识要熟练掌握.10.(2015•海南)如图,将⊙O沿弦AB折叠,圆弧恰好经过圆心O,点P是优弧上一点,则∠APB的度数为()A.45°B.30°C.75°D.60°【考点】圆周角定理;含30度角的直角三角形;翻折变换(折叠问题).【专题】计算题;压轴题.【分析】作半径OC⊥AB于D,连结OA、OB,如图,根据折叠的性质得OD=CD,则OD=OA,根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OAD=30°,接着根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°,然后根据圆周角定理计算∠APB的度数.【解答】解:作半径OC⊥AB于D,连结OA、OB,如图,∵将⊙O沿弦AB折叠,圆弧恰好经过圆心O,∴OD=CD,∴OD=OC=OA,∴∠OAD=30°,而OA=OB,∴∠CBA=30°,∴∠AOB=120°,∴∠APB=∠AOB=60°.故选D.【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质.二.填空题(共5小题)11.(2015•黔西南州)如图,AB是⊙O的直径,CD为⊙O的一条弦,CD⊥AB于点E,已知CD=4,AE=1,则⊙O的半径为.【考点】垂径定理;勾股定理.【分析】连接OC,由垂径定理得出CE=CD=2,设OC=OA=x,则OE=x﹣1,由勾股定理得出CE2+OE2=OC2,得出方程,解方程即可.【解答】解:连接OC,如图所示:∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,∴CE=CD=2,∠OEC=90°,设OC=OA=x,则OE=x﹣1,根据勾股定理得:CE2+OE2=OC2,即22+(x﹣1)2=x2,解得:x=;故答案为:.【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、解方程;熟练掌握垂径定理,并能进行推理计算是解决问题的关键.12.(2015•宿迁)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若∠C=130°,则∠BOD=100°.【考点】圆周角定理;圆内接四边形的性质.【专题】计算题.【分析】先根据圆内接四边形的性质得到∠A=180°﹣∠C=50°,然后根据圆周角定理求∠BOD.【解答】解:∵∠A+∠C=180°,∴∠A=180°﹣130°=50°,∴∠BOD=2∠A=100°.故答案为100.【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了圆内接四边形的性质.13.(2015•南昌)如图,点A,B,C在⊙O上,CO的延长线交AB于点D,∠A=50°,∠B=30°,则∠ADC的度数为110°.【考点】圆周角定理.【分析】根据圆周角定理求得∠BOC=100°,进而根据三角形的外角的性质求得∠BDC=70°,然后根据邻补角求得∠ADC的度数.【解答】解:∵∠A=50°,∴∠BOC=2∠A=100°,∵∠B=30°,∠BOC=∠B+⊂BDC,∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100°﹣30°=70°,∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°,故答案为110°.【点评】本题考查了圆心角和圆周角的关系及三角形外角的性质,圆心角和圆周角的关系是解题的关键.14.(2015•青岛)如图,圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E,F,且∠A=55°,∠E=30°,则∠F=40°.【考点】圆内接四边形的性质;三角形内角和定理.【专题】计算题.【分析】先根据三角形外角性质计算出∠EBF=∠A+∠E=85°,再根据圆内接四边形的性质计算出∠BCD=180°﹣∠A=125°,然后再根据三角形外角性质求∠F.【解答】解:∵∠A=55°,∠E=30°,∴∠EBF=∠A+∠E=85°,∵∠A+∠BCD=180°,∴∠BCD=180°﹣55°=125°,∵∠BCD=∠F+∠CBF,∴∠F=125°﹣85°=40°.故答案为40°.【点评】本题考查了圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补;圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.也考查了三角形外角性质.15.(2015•甘南州)如图,AB为⊙O的弦,⊙O的半径为5,OC⊥AB于点D,交⊙O于点C,且CD=1,则弦AB的长是6.【考点】垂径定理;勾股定理.【专题】压轴题.【分析】连接AO,得到直角三角形,再求出OD的长,就可以利用勾股定理求解.【解答】解:连接AO,∵半径是5,CD=1,∴OD=5﹣1=4,根据勾股定理,AD===3,∴AB=3×2=6,因此弦AB的长是6.【点评】解答此题不仅要用到垂径定理,还要作出辅助线AO,这是解题的关键.三.解答题(共5小题)16.(2015•永州)如图,已知△ABC内接于⊙O,且AB=AC,直径AD交BC于点E,F是OE上的一点,使CF∥BD.(1)求证:BE=CE;(2)试判断四边形BFCD的形状,并说明理由;(3)若BC=8,AD=10,求CD的长.【考点】垂径定理;勾股定理;菱形的判定.【分析】(1)证明△ABD≌△ACD,得到∠BAD=∠CAD,根据等腰三角形的性质即可证明;(2)菱形,证明△BFE≌△CDE,得到BF=DC,可知四边形BFCD是平行四边形,易证BD=CD,可证明结论;(3)设DE=x,则根据CE2=DE•AE列方程求出DE,再用勾股定理求出CD.【解答】(1)证明:∵AD是直径,∴∠ABD=∠ACD=90°,在Rt△ABD和Rt△ACD中,,∴Rt△ABD≌Rt△ACD,∴∠BAD=∠CAD,∵AB=AC,∴BE=CE;(2)四边形BFCD是菱形.证明:∵AD是直径,AB=AC,∴AD⊥BC,BE=CE,∵CF∥BD,∴∠FCE=∠DBE,在△BED和△CEF中,∴△BED≌△CEF,∴CF=BD,∴四边形BFCD是平行四边形,∵∠BAD=∠CAD,∴BD=CD,∴四边形BFCD是菱形;(3)解:∵AD是直径,AD⊥BC,BE=CE,∴CE2=DE•AE,设DE=x,∵BC=8,AD=10,∴42=x(10﹣x),解得:x=2或x=8(舍去)在Rt△CED中,CD===2.【点评】本题主要考查了圆的有关性质:垂径定理、圆周角定理,三角形全等的判定与性质,菱形的判定与性质,勾股定理,三角形相似的判定与性质,熟悉圆的有关性质是解决问题的关键.17.(2015•安徽)在⊙O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在⊙O上,且OP⊥PQ.(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长度;(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.【考点】圆周角定理;勾股定理;解直角三角形.【专题】计算题.【分析】(1)连结OQ,如图1,由PQ∥AB,OP⊥PQ得到OP⊥AB,在Rt△OBP中,利用正切定义可计算出OP=3tan30°=,然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ=;(2)连结OQ,如图2,在Rt△OPQ中,根据勾股定理得到PQ=,则当OP的长最小时,PQ的长最大,根据垂线段最短得到OP⊥BC,则OP=OB=,所以PQ长的最大值=.【解答】解:(1)连结OQ,如图1,∵PQ∥AB,OP⊥PQ,∴OP⊥AB,在Rt△OBP中,∵tan∠B=,∴OP=3tan30°=,在Rt△OPQ中,∵OP=,OQ=3,∴PQ==;(2)连结OQ,如图2,在Rt△OPQ中,PQ==,当OP的长最小时,PQ的长最大,此时OP⊥BC,则OP=OB=,∴PQ长的最大值为=.【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了勾股定理和解直角三角形.18.(2015•滨州)如图,⊙O的直径AB的长为10,弦AC的长为5,∠ACB的平分线交⊙O于点D.(1)求的长.(2)求弦BD的长.【考点】圆周角定理;含30度角的直角三角形;等腰直角三角形;弧长的计算.【分析】(1)首先根据AB是⊙O的直径,可得∠ACB=∠ADB=90°,然后在Rt△ABC中,求出∠BAC的度数,即可求出∠BOC的度数;最后根据弧长公式,求出的长即可.(2)首先根据CD平分∠ACB,可得∠ACD=∠BCD;然后根据圆周角定理,可得∠AOD=∠BOD,所以AD=BD,∠ABD=∠BAD=45°;最后在Rt△ABD中,求出弦BD的长是多少即可.【解答】解:(1)如图,连接OC,OD,,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°,在Rt△ABC中,∵,∴∠BAC=60°,∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°,∴的长=.(2)∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD,∴∠AOD=∠BOD,∴AD=BD,∴∠ABD=∠BAD=45°,在Rt△ABD中,BD=AB×sin45°=10×.【点评】(1)此题主要考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半,要熟练掌握.(2)此题还考查了含30度角的直角三角形,以及等腰直角三角形的性质和应用,要熟练掌握.(3)此题还考查了弧长的求法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①弧长公式:l=(弧长为l,圆心角度数为n,圆的半径为R).②在弧长的计算公式中,n是表示1°的圆心角的倍数,n和180都不要带单位.19.(2015•丹东)如图,AB是⊙O的直径,=,连接ED、BD,延长AE交BD的延长线于点M,过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C.(1)若OA=CD=2,求阴影部分的面积;(2)求证:DE=DM.【考点】切线的性质;扇形面积的计算.【专题】证明题.【分析】(1)连接OD,根据已知和切线的性质证明△OCD为等腰直角三角形,得到∠DOC=45°,根据S阴影=S△OCD﹣S扇OBD计算即可;(2)连接AD,根据弦、弧之间的关系证明DB=DE,证明△AMD≌△ABD,得到DM=BD,得到答案.【解答】(1)解:如图,连接OD,∵CD是⊙O切线,∴OD⊥CD,∵OA=CD=2,OA=OD,∴OD=CD=2,∴△OCD为等腰直角三角形,∴∠DOC=∠C=45°,∴S阴影=S△OCD﹣S扇OBD=﹣=4﹣π;(2)证明:如图,连接AD,∵AB是⊙O直径,∴∠ADB=∠ADM=90°,又∵=,∴ED=BD,∠MAD=∠BAD,在△AMD和△ABD中,,∴△AMD≌△ABD,∴DM=BD,∴DE=DM.【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算,掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键,注意辅助线的作法.20.(2014•湖州)已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图).(1)求证:AC=BD;(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆O到直线AB的距离为6,求AC的长.【考点】垂径定理;勾股定理.【专题】几何综合题.【分析】(1)过O作OE⊥AB,根据垂径定理得到AE=BE,CE=DE,从而得到AC=BD;(2)由(1)可知,OE⊥AB且OE⊥CD,连接OC,OA,再根据勾股定理求出CE及AE 的长,根据AC=AE﹣CE即可得出结论.【解答】(1)证明:过O作OE⊥AB于点E,则CE=DE,AE=BE,∴BE﹣DE=AE﹣CE,即AC=BD;(2)解:由(1)可知,OE⊥AB且OE⊥CD,连接OC,OA,∴OE=6,∴CE===2,AE===8,∴AC=AE﹣CE=8﹣2.【点评】本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.学习好资料欢迎下载。

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∵BD=1,
∴BC=1,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
由勾股定理得:AB= ,
∴sin∠ABD=sin∠ABC=
故选:C.
【点睛】
本题考查了垂径定理、直径对应圆周角为90°、勾股定理和三角函数,解题关键是找出图形中的直角三角形,然后按照三角函数的定义求解
4.用一个直径为 的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽制作一个不倒翁玩具,不倒翁轴截面如图所示,圆锥的母线 与 相切于点 ,不倒翁的顶点 到桌面 的最大距离是 .若将圆锥形纸帽表面全涂上颜色,则涂色部分的面积为()
2.如图,在平行四边形ABCD中,BD⊥AD,以BD为直径作圆,交于AB于E,交CD于F,若BD=12,AD:AB=1:2,则图中阴影部分的面积为( )
A.12 B. πC. D. π
【答案】C
【解析】
【分析】
易得AD长,利用相应的三角函数可求得∠ABD的度数,进而求得∠EOD的度数,那么一个阴影部分的面积=S△ABD-S扇形DOE-S△BOE,算出后乘2即可.
13.如图,以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O,过点C作直线切半圆于点E,交AD边于点F,则 =()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OE、OF、OC,利用切线长定理和切线的性质求出∠OCF=∠FOE,证明△EOF∽△ECO,利用相似三角形的性质即可解答.
【详解】
解:连接OE、OF、OC.
下列说法中错误的是( )
A.勒洛三角形是轴对称图形
B.图1中,点A到 上任意一点的距离都相等
C.图2中,勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF的中心 的距离都相等
D.图2中,勒洛三角形的周长与圆的周长相等
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称形的定义,可以找到一条直线是的图像左右对着完全重合,则为轴对称图形.鲁列斯曲边三角形有三条对称轴.鲁列斯曲边三角形可以看成是3个圆心角为60°,半径为DE的扇形的重叠,根据其特点可以进行判断选项的正误.
故选: .
【点睛】
概率 相应的面积与总面积之比,本题实质是确定圆的内接正方形和外切正方形的边长比.设较小吧边长为单位1是在选择填空题中求比的常见方法.
6.如图,弧AB等于弧CD, 于点 , 于点 ,下列结论中错误的是()
A.OE=OFB.AB=CDC.∠AOB=∠CODD.OE>OF
【答案】D
【解析】
【答案】C
【解析】
【分析】
算出阴影部分的面积及大正方形的面积,这个比值就是所求的概率.
【详解】
解:设小正方形的边长为1,则其面积为1.
圆的直径正好是大正方形边长,
根据勾股定理,其小正方形对角线为 ,即圆的直径为 ,
大正方形的边长为 ,
则大正方形的面积为 ,则小球停在小正方形内部(阴影)区域的概率为 .
【详解】
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,
∵ , ,
∴BC=8,
连接OA、OB、OC、过点O作OH⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,
设 的半径为r,
∵ 内切于 ,
∴OH=OE=OF=r,
∵ ,
∴ ,
解得r=2,
∴ 的半径为2,
∴ ,
故选:D.
【点睛】
此题考查矩形的性质,勾股定理,三角形内切圆的定义,阴影面积的求法,添加合适的辅助线是解题的关键.
A.2 B. C. D.3
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据垂径定理,可得BC的长,再利用直径对应圆周角为90°得到△ABC是直角三角形,利用勾股定理求得AB的长,得到sin∠ABC的大小,最终得到sin∠ABD
【详解】
解:∵弦CD⊥AB,AB过O,
∴AB平分CD,
∴BC=BD,
∴∠ABC=∠ABD,
【解析】
【分析】
根据切线的性质求出∠OAC,结合∠C=42°求出∠AOC,根据等腰三角形性质求出∠B=∠BDO,根据三角形外角性质求出即可.
【详解】
解:∵∠ABD=24°,
∴∠AOC=48°,
∵AC是⊙O的切线,
∴∠OAC=90°,
∴∠AOC+∠C=90°,
∴∠C=90°﹣48°=42°,
故选:B.
∴∠B=85°-60°=25°,∠CDO=95°,
∴∠AOC=2∠B=50°,
∴∠C=180°-95°-50°=35°
故选D.
点睛:此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识,正确得出∠AOC度数是解题关键.
10.如图,已知 和 都 是的内接三角形, 和 相交于点 ,则与 的相似的三角形是()
形纸帽的表面 .
故选: .
【点睛】
本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.也考查了圆锥的计算.
5.如图,小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小豆子,则小豆子落在小正方形内部及边界(阴影)区域的概率为()
A. B. C. D.
【详解】
解:连接OB,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=56°,
∴∠A=180°-56°-56°=68°= ∠BOC,
∴∠BOC=68°×2=136°,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB=(180°-136°)÷2=22°,
∴∠OBE=∠EBC-∠OBC=56°-22°=34°,
∴∠AED=∠BEC=∠BOC-∠OBE=136°-34°=102°.
【点睛】
考查了切线的性质,圆周角定理,三角形内角和定理,解此题的关键是求出∠AOC的度数,题目比较好,难度适中.
15.如图, 是 的内接三角形,且 , , 的直径 交 于点 ,则 的度数为()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
连接OB,根据等腰三角形的性质得到∠A,从而根据圆周角定理得出∠BOC,再根据OB=OC得出∠OBC,即可得到∠OBE,再结合外角性质和对顶角即可得到∠AED的度数.
7.中国科学技术馆有“圆与非圆”展品,涉及了“等宽曲线”的知识.因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的,所以圆是“等宽曲线”.除了例以外,还有一些几何图形也是“等宽曲线”,如勒洛只角形(图1),它是分别以等边三角形的征个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间画一段圆弧.三段圆弧围成的曲边三角形.图2是等宽的勒洛三角形和圆.
故选D.
【点睛】
本题考查了圆周角定理,等腰三角形的性质,外角的性质,解题的关键是作出辅助线OB,得到∠BOC的度数.
16.下列命题中正确的个数是()
①过三点可以确定一个圆
②直角三角形的两条直角边长分别是5和12,那么它的外接圆半径为6.5
③如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切,那么圆心距为5厘米
④三角形的重心到三角形三边的距离相等.
A. B. C. D.
【答案】A
【解,则 弧所对的圆周角 , 和 是对顶角,所以 .
【详解】
解: ,

故选: .
【点睛】
考查相似三角形的判定定理:两角对应相等的两个三角形相似,关键就是牢记同弧所对的圆周角相等.
11.如图,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,点P是劣弧弧AB上任意一点(与点B不重合),则∠BPC的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
连接 ,如图,利用切线的性质得 ,在 中利用勾股定理得 ,利用面积法求得 ,然后利用圆锥的侧面展开图为扇形和扇形的面积公式计算圆锥形纸帽的表面.
【详解】
解:连接 ,作 于 ,如图,
圆锥的母线 与 相切于点 ,

在 中, , ,



圆锥形纸帽的底面圆的半径为 ,母线长为12,
9.如图,⊙O中,弦BC与半径OA相交于点D,连接AB,OC,若∠A=60°,∠ADC=85°,则∠C的度数是( )
A.25°B.27.5°C.30°D.35°
【答案】D
【解析】
分析:直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数,再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案.
详解:∵∠A=60°,∠ADC=85°,
∴斜边为 ,
∴它的外接圆半径为 ,故正确;
∴EF= a.
∴ = .
故选:C.
【点睛】
本题考查切线的性质、切线长定理、相似三角形的判定与性质,其中通过作辅助线构造相似三角形是解答本题的关键..
14.如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,OC交⊙O于点D,若∠ABD=24°,则∠C的度数是( )
A.48°B.42°C.34°D.24°
【答案】B
A.30°B.45°C.60°D.90°
【答案】B
【解析】
分析:接OB,OC,根据四边形ABCD是正方形可知∠BOC=90°,再由圆周角定理即可得出结论.
详解:连接OB,OC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BOC=90°,
∴∠BPC= ∠BOC=45°.
故选B.
点睛:本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.
【详解】
鲁列斯曲边三角形有三条对称轴,就是等边三角形的各边中线所在的直线,故正确;
点A到 上任意一点的距离都是DE,故正确;
勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF的中心 的距离都不相等, 到顶点的距离是到边的中点的距离的2倍,故错误;
鲁列斯曲边三角形的周长=3× ,圆的周长= ,故说法正确.
故选C.
12.如图,在矩形 中, ,对角线 , 内切于 ,则图中阴影部分的面积是()
A. B. C. D.
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