高等数学函数的微分
高等数学-函数全微分
d z e2 d x 2e2 d y
(2,1)
9
例3. 设
解: f (x,0,0) x 3 cos x
注意: x , y , z 具有 轮换对称性
f
x
(0,0,0)
3
x cos
x
x
0
1 4
利用轮换对称性 , 可得
f y (0,0,0)
f z (0,0,0)
1 4
d f (0,0,0) f y (0,0,0) d x f y (0,0,0) d y f z (0,0,0) d z
z x
z u z v u x v x
f11
f21
z
uv
z z u z v y u y v y
f12 f2 2
x yx y
3、 中间变量只有一个的情形
例如: z f u u x, y
z dz u x du x
z dz u y du y
z u xy
注: 由于 z f u 是一元函数,则它对u 的导数应该
fv
f2
2z u 2
fuu (u, v)
fuu
f11
2z v2
fvv (u, v)
fvv
f22
2z uv 2z vu
fuv (u, v) fvu (u, v)
f
fuv f12 vu f21
称为混合偏导数
当 f12 和 f21 均连续时有 f12 f21
在计算时注意合并同类项!
推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
求
解
2z x y
2z yx
2y x2
f2
2y( x
y2 x2
f22 )
高等数学全微分
z A x B y o( ) ,
其中 A B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关
则称函数 f x y ) 在点( x, y) 可微 Ax By
称为函数 f ( x, y) 在点 x y) 的全微分, 记作：
dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微 则称此函数在D 内可微.
δa
S b
δb
S c
δc
1 b sin C 2
a 12.5, b 8.3, C
故绝对误差约为
δ
a
1 2
30,
a sin C δ a δ
δ
b
b 0.1201a, bδcCosC18δ0C0
又
1 12.5 8.3 sin 30 25.94
2
所以 S 的相对误差约为
例6.在直流电路中 测得电压 U = 24 伏 相对误差为 0.3; 测得电流 I = 6安 相对误差为 0.5 , 求用欧姆 定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差 .
f x (0,0,0)
3
x cos
x
x
0
1 4
利用轮换对称性 可得
f y (0,0,0)
f z (0,0,0)
1 4
d f (0,0,0) f y (0,0,0) d x f y (0,0,0) d y f z (0,0,0) d z
1 (d x d y d z) 4
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偏导数存在
2) 偏导数连续
函数可微
定理1必要条件) 若函数 z = f x y) 在点(x, y) 可微
则该函数在该点偏导数
必存在且有
d z z x z y x y
高等数学微分方程总结
二阶变 y f ( x, y) 令y p( x)
系数
y f ( y, y) 令y p[ y(x)]
1.r1 r2 y c1er1x c2er2x
2.r1 r2 y er1x (c1 c2 x)
3.r1,2 i y ex (c1 cos x c2 sin x) 二阶
一阶
y py qy 0 齐次
[
Q( x)e P( x)dxdx C ]
Bernoulli y P( x) y Q( x) yn (n 0,1) 令 z y1n
全微分方程 P(xy)dx Q(xy)dy 0 dU (xy) P Q y x
1.折线积分 2.凑全微分 3.定积分
二阶线性方程 a0(x) y a1(x) y a2(x) y 0 y a1(x) y a2 (x) y f (x)
于是
F(x) e2x e2x
二、两类二阶微分方程的解法
1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法
•
d2 y dx2
f
(x)
逐次积分求解
•
d2y dx2
f
(x, dy) dx
令
p (x) dy dx
•
d2y dx2
f
(y, dy) dx
令
p(y) dy dx
d p f (x, p) dx
2. 二阶线性微分方程的解法
• 常系数情形
齐次 非齐次
代数法
y py qy 0,
y py qy f ( x)
求解二阶常系数线性方程 二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程
r 2 pr q 0;
(2) 求出特征方程的两个根
r1 与 r2；
高等数学函数的微分
1
1 x
2
d (log a x)
1 x ln a
dx
d (ln x ) 1 dx x
d (arcsin x) 1 dx 1 x2
d (arccos x) 1 dx 1 x2
d
(arctan
x)Leabharlann 11 x2
dx
d
(arccot
x)
1
1 x
2
dx
2.函数和、差、积、商的微分法则
函数的微分
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分公式及运算法则 四、微分在近似计算中的应用
一、微分的概念
1、案例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
x0
x0x
x (x)2
x
正方形面积 y x2 ,
y (x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
dy / 记作
x x0 即 dy / xx0 f (x0 )x.
3、定义 函数y = f (x)在任意点x的微分，称为函 数的微分，记为dy或df (x)。即
dy f (x) x
若y = x，则 dy dx (x) x x
dy f (x)dx 微分公式
(1)
(2)
y x02 x0x x0
(1) : x的线性函数,且为y的主要部分;
(2) :x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
因此△y≈2x0△x。
由于y x2 f (x0 ) 2x0 所以y f (x0 )x
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
高等数学第二章：函数的微分
dx
26
注： 由导数的“微商”及一阶微分形式不变性,
(3) 通常把自变量x的增量x 称为自变量的 微分,记作 dx, 即 dx x. 什么意思？
例如： 已知 y x , 求 d y.
解 d y (x)x 1 x x, 由于 y x, 故得 d y d x x.
11
上例表明:
自变量的增量就是自变量的微分：x d x
y A x o(x),
lim y x0 x
lim A o(x)
x0
x
A.
即函数 f ( x)在点 x0可导,且A f ( x0 ).
7
定理 函数 f ( x)在点x0可微 函数 f ( x)
在点 x0处可导,且 A f ( x0 ),即有 dy f ( x0 )x.
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
y lim
x0 x
f ( x0 ),
即 y x
f ( x0 ) , ( x 0,
0)
从而 y f ( x0 ) x (x),
f ( x0 ) x o(x),
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
d(u v) du dv
d(uv) vdu udv
d
u v
vdu udv v2
18
例 设 y ln( x e x2 ), 求dy.
解
y
1
x
2
xe ex
x
2
2
,
dy
1
x
高等数学上册第五节函数的微分及其应用
线性主部 (f(x0)0时 )
©
说明: y f( x 0 ) x o ( x ) dyf(x0) x
当 f(x0)0时 , lim y lim y x 0 d y x0 f(x0)x 1 limy 1 f(x0)x0x
所以 x 0时 y 与 d y 是等价无穷小, 故当 x
导数也叫作微商
©
例1 设 y x3, 求当 x 0 1, x0.1及 x0.01
时，函数的增量和微分的值 . 解: 当 x 0 1 时，函数的增量
y f( 1 x ) f( 1 ) ( 1 x )3 1 3
3x3(x)2(x)3 dy 3x
得增量x 时, 面积的增量为
A (x0 x)2x2 2x0x(x)2
关于△x 的 x0时为
线性主部 高阶无穷小
x x0x
x 0 A x02
(x)2 x0x
故 A2x0x 称为函数在 x 0 的微分
©
定义: 若函数 yf(x)在点 x 0 的增量可表示为 y f( x 0 x ) f( x 0 )A xo ( x)
第五节
函数的微分
第二章
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的运算法则 四、微分在近似计算中的应用
©
一、微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由x 0 变到 x0x,问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x2, 当 x 在 x 0 取
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意: 数学中的反问题往往出现多值性.
©
四、 微分在近似计算中的应用 （一）函数值的近似计算
高等数学——函数的微分
函数的微分在理论研究和实际应用中，常常会遇到这样的问题：当自变量x 有微小变化时，求函数)(x f y =的微小改变量)()(x f x x f y -∆+=∆这个问题初看起来似乎只要做减法运算就可以了，然而，对于较复杂的函数)(x f ，差值)()(x f x x f -∆+却是一个更复杂的表达式，不易求出其值。
一个想法是：我们设法将y∆表示成x ∆的线性函数，即线性化，从而把复杂问题化为简单问题。
微分就是实现这种线性化的一种数学模型。
一、 微分的定义定义 设函数)(x f y =在点x 的某邻域内有定义，若相对于自变量x 的微小增量x ∆，相应的函数增量)()(x f x x f y -∆+=∆可表示为)(x o x A y ∆+∆⋅=∆ （1）其中A 是与x ∆无关的量，则称函数)(x f y =（在点x 处）可微，并且称x A ∆⋅为函数)(x f y =（在点x 处）的微分, 记作dy , 即x A dy ∆⋅= （2）【例1】求函数3x y =在x ∀点处的微分。
解：若自变量x 在点x 处有增量x ∆，则对应的函数增量为2233)()3(3)(x x x x x x x x y ∆⋅∆++∆=-∆+=∆其中23x 显然与x ∆无关，而当0→∆x 时，)()()3(2x o x x x ∆=∆⋅∆+，由微分定义得x x dy ∆=23二、函数可微的条件在微分定义中，虽然知道A 是与x ∆无关的量，但A 到底是怎样的量？我们尚不知晓，并且若每次求微分都用其定义，显然较麻烦，因此需要寻找微分定义中的A 是什么。
从【例1】结果不难猜测“)(x f A '=”，事实上，关于微分有如下定理。
定理 函数)(x f 可微的充分必要条件是)(x f 可导，且函数的微分等于函数的导数与自变量的增量的乘积，即x x f dy ∆'=)( （3）证明：先证必要性。
设)(x f 可微，由微分定义，有)(x o x A y ∆+∆⋅=∆其中A 与x ∆无关。
《函数的微分》教学设计-文档资料
《函数的微分》教学设计本节课是《高等数学》中比较难理解的一节概念课。
本节主要介绍微分的概念。
这节课前承一元函数导数，后接微分的应用，在教材中起着承前启后的作用，又可以用微分来计算函数的增量，这部分内容不仅有着非常广泛的实际应用，同时它还是培养学生数学能力的良好题材。
所以说函数的微分是《高等数学》的重要内容之一。
如何调动学生学习这节课的积极性呢？怎样更好地把本节课讲透能让学生更好地理解呢？本文在这节课的教学设计上给出了新的尝试。
1教学目标1.1知识目标（1）要求学生正确理解微分的概念；（2）能够用微分的定义式去求微分；（3）会解决简单的微分应用题。
1.2能力目标培养学生观察分析、独立思考、猜想归纳以及解决实际问题的能力。
1.3情感目标培养学生主动探索、实事求是、科学严谨的学习和工作作风。
2教学重、难点2.1教学重点微分的概念、微分的求法。
2.2教学难点微分的实际应用。
3教学方法运用引导式、启发式、对比式等多种教学法。
4教学设计4.1课题引入函数的微分是一个抽象的概念，为了使其更加形象化，便于学生理解接受，可先从一个简单的物理问题入手。
例如可以让一个小球从某一点处开始做自由落体运动，其路程函数为，点对应的是小球在时刻的位置，当时间经过后，小球到达点，求这段时间内的路程的改变量。
通过对问题的求解分析，得到函数微分的初步模型。
但是这只是从这个具体的物理问题得出的分析结果，它是否具有一般性呢？接下来就可以进行一般性分析了，从而得出微分的定义。
从这个实际物理问题入手，而不是先从微分定义讲起，更容易激起学生对本节课的学习兴趣。
从问题的提出、解决到最后微分概念的提炼，让学生体会到数学源于实践，并且实际问题的牵引容易激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性。
4.2概念分析微分的定义给出后，教师先让学生回忆什么是线性主部，然后帮助学生自己总结出微分的实质。
教师不但从代数角度给出微分定义，为了更好地让学生理解微分这个抽象定义，可以再从几何角度来研究一下微分的几何意义。
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2、定义 设函数 y = f (x) 在点 x0 处可导，则
称 f ( x0 )x 为函数 f (x) 在点 x0 的微分,
dy / 记作
xx0 即 dy /xx0 f (x0 )x.
3、定义 函数y = f (x)在任意点x的微分，称为函 数的微分，记为dy或df (x)。即
四、微分的应用
例 [金属立体受热后体积的改变量] 某一正方体金属的边长为2cm，当金属受热 边长增加0.01cm时，体积大约改变了是多少？ 解 设边长为xcm的正方体的体积为V立方厘米
d
(arcቤተ መጻሕፍቲ ባይዱan
x)
1
1 x2
dx
d
(arccot
x)
1
1 x
2
dx
2.函数和、差、积、商的微分法则
设 u、v 都是可导函数，c 为常数，则
d(u v) = du dv. d(uv) = vdu + udv. d(cu) = cdu.
d
v u
udv vdu u2
(u 0).
例 5 设函数 y = e1-3x cosx，求 dy . 解 dy = d(e1-3x cosx)
(sec x)sec x tan x d(sec x)sec x tan xdx
(csc x)csc x cot x d(csc x)csc x cot xdx
(a x )a x ln a
d(ax)ax ln adx
(e x)e x
d(ex)exdx
(log
a
x)
1 x ln
a
(ln x ) 1 x
= e1-3x d(cos x) + cosxd(e1-3x ) = e1-3x (- sin x)dx + cosx e1-3x (-3)dx = - e1-3x (sin x + 3cos x)dx .
3、微分形式的不变性
设函数 y f ( x)有导数 f ( x),
(1) 若x是自变量时, dy f ( x)dx;
(不考虑f ( x0 ) 0的特殊情况）
即
y lim x0 x
f (x0 ) 0
y x
f (x0 ) a
其中a是△x→0时的无穷小。
于是
y f (x0) x a x
(1)
(2)
(1)是x的线性函数f (x0)x，
(2)x 是比x高阶无穷小（x 0),
因此，当△x很小时， y f (x0 ) x
dy = [sin(1 - 2x)]dx = cos(1 - 2x) (1 - 2x)dx = - 2cos(1 - 2x)dx.
方法2 把 (1 - 2x) 看成中间变量 u ,则有 dy = d(sinu) = cosudu = cos(1 - 2x)d(1 - 2x) = - 2cos(1 - 2x)dx.
(2) 若x是中间变量时, x (t), 对于复合函数y f ((t)) 有
dy f ( x)(t)dt (t)dt dx, dy f ( x)dx.
结论：无论 x是自变量还是中间变量, 函数 y f ( x)的微分形式总是 dy f ( x)dx
微分形式的不变性
例 7 设函数 y = sin(1 - 2x)，求dy . 解 方法1 利用微分公式 dy = y dx计算, 有
函数的微分
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分公式及运算法则 四、微分在近似计算中的应用
一、微分的概念
1、案例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
x0
x (x)2
x0x
x
正方形面积 y x2,
y (x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
(1)
(arcsin x) 1 1 x2
(arccos x) 1 1 x2
(arctan
x)
1 1 x2
(arccot
x)
1
1 x2
d
(log a x)
1 x ln a
dx
d (ln x ) 1 dx x
d (arcsin x) 1 dx 1 x2
d (arccos x) 1 dx 1 x2
解 因为 dy = ( x2 )′dx = 2xdx = 2xx,
所以
dy x3 23 0.01 0.06, x0.01
而 y (x x)2 – x2 = 2xx + (x)2
= 0.06+ (0.01)2 = 0.0601.
例 2 求函数 y = lnsinx 的微分. 解 dy = (lnsinx)′dx = cot xdx .
(2)
y x02 x0x x0
(1) : x的线性函数,且为y的主要部分;
(2) :x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
因此△y≈2x0△x。
由于y x2 f (x0) 2x0 所以y f (x0 )x
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
设f ( x)在x0处可导, 且f ( x0 ) 0,
dy f (x) x
若y = x，则 dy dx (x) x x
dy f (x)dx 微分公式
说明（1）x 很小时，y dy
(2)dy f (x)dx
dy f ( x).
dx
导数也叫作微商
(3)可导 可微
例 1 求函数 y = x2 在 x = 3, x = 0.01 时的
dy 和 y.
前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是
微分学的一个重要概念。在工程技术中，还会遇 到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变 量有一个微小的增量时，要求计算函数的相应的 增量。一般来说，计算函数增量的准确值是比较 繁难的，所以需要考虑用简便的计算方法来计算 它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概 念——微分。
二、微分的几何意义
如图所示， PN = dx，NM = y，f (x)= tan dy= f (x)dx = tan PN = NT，
即函数 y = f (x) 的微分 dy y
就是曲线 y = f (x) 在点 x 处的切线纵坐标增量，
y=f (x)
M
P
T dy
N
O
x x + x x
三、微分公式与微分运算法则
1．基本初等函数的微分公式
(x m)m x m1
d(x m)mx m1dx
(sin x)cos x
d(sin x)cos xdx
(cos x)sin x
d(cos x)sin xdx
(tan x)sec 2 x
d(tan x)sec 2xdx
(cot x)csc 2x
d(cot x)csc 2xdx