大一高等数学函数

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无限区间
(,) {x| x}R, (,b]{x| xb}. (,b) {x| xb}. [a,) {x| ax}. (a,) {x| ax}. 记号""与""分别表"示 负无穷"大 与"正无穷"大 .
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设x0是一个给定的 ,是实某数一正 ,称数 数:集
{x| x0 xx0 }
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二.区间与邻域
设a和b都是实数，将满足不等式a<x<b的所有实数组 成的数集称为开区间，记作(a,b)即
(a,b) ={x|a<x<b}, a和b称为开区间(a,b)的端点,这里a (a,b)且b (a,b). 数集 [a,b]={x|a≤x≤b}为闭区间,a和b也称为闭区间[a,b] 的端点 , a∈[a,b]且b∈[a,b]. 数集[a,b)={x|a≤x<b}和(a,b]={x|a<x≤b}为半开半闭间. 以上这些区间都称为有限区间,数b-a称为区间长度.
对于函 yf数 (x),xD,其反函数x表 f1(示 y),为 yf(D)由 . 于习惯上x表 常示 用自 字变 y母 表量 示， 因变量，故 yf约 （ 1 x)定 ,x用 f(D)表示 f的反.函数
由于 y f(x)和x f（ -1 y)表示 x与y之间的相互对应 关系，故在同一内坐它标们系是同一图若形将，但 x f 1(y)的变x量 和y对换y成 f 1(x),则在同一坐标系 内y f(x)的图形y与 f 1(x)图形关于y直 x线 对称 .
第四，理清脉络。对所学的知识要有一个整体的把 握，及时总结知识体系，这样不仅可以加深对知识的 理解，还会对进一步的学习有所帮助。
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微积分是近代数学发展的里程碑
微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一， 一部微积分发展史，是人类一步一步顽强地认 识客观事物的历史，是人类理性思维的结晶。 它给出的一整套科学方法，开创了科学的新纪 元，并因此加强与加深了数学的作用。 恩格斯说:“在一切理论成就中，未必再有什么像 17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的 最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精 神的纯粹的和惟一的功绩，那就正是在这里。”
i 1
n A iA 1 A 2 A n
i 1
A iA 1 A 2 A n
i 1
A iA 1 A 2 A n
i 1
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集合运算的基本规律：
(1) A∪B =B∪ A ， A∩B = B∩A ； (交换律)
(2) (A∪B)∪C= A∪(B∪C)，
(A∩B)∩C= A∩(B∩C)；
为点 x0的邻域 ,记作 U(x0,),称点 x0为这邻域
的中,心 为这邻域的半径。
0
(
)
x0
x0
x0
x
0
称 U(x0,){x0}为 x0的去 邻 心 ,记 域U 作 (x0,)即 ,
0
U(x0,){x|0|xx0|} 0
当不需要指出径 邻时 ,域 用U的 (x0)半 ,U(x0)
返回分上别 页 下表 页x0的 示某邻x域 0的和 某去心 . 邻域
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第三,在弄懂例题的基础上做适量的习题。要特别提醒 的是，课本上的例题都是很典型的，有助于理解概念和掌 握定理，要注意不同例题的特点和解法，在理解例题的基 础上做适量的习题。做题时要善于总结 ---- 不仅总结方法，也要总结错误。这样，做完之后才会 有所收获，才能举一反三。
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于是，有
x
1 y,2 , 0 y 1
y 1,1 y 5
．
交换x,y的位置，得反函数
y
1 x2 ,0 x 1
x 1,1 定义: 设函数 y f (u)的定义域 D f , 而函数 u ( x) 的值域为 Z , 若 Df Z , 则称函
大一高等数学函数
初等数学与高等数学（广义）的区别
初等数学研究的是常量，高等数学研究的是变量。 高等数学有其固有的特点：高度的抽象性、严密的逻辑 性和广泛的应用性。 抽象性是数学最基本、最显著的特点—有了高度抽象和 统一，我们才能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更 广泛的应用。 严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中，无论是 概念和表述，还是判断和推理，都要运用逻辑的规则， 遵循思维的规律。
所 以yf1(u) 1 , 1u
因 此f1(x1) 1 1,x0 1(x1) x
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1 x2 ,1 x<0
例2
求下列函数的反函 数 f(x)=
x2 1,0 x 2
解 当1≤x＜0时，由y= 1 x 2 得 x = 1 y 2，０≤y＜1．
当 0x2时，由y=x2+1得x= y 1 ,1y5
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要想学好高等数学，至少要做到以下四点:
首先，理解概念。数学中有很多概念。概念反映的 是事物的本质,弄清楚了它是如何定义的、有什么性 质，才能真正地理解一个概念。
其次，掌握定理。定理是一个正确的命题，分为条 件和结论两部分。对于定理除了要掌握它的条件和结 论以外，还要搞清它的适用范围，做到有的放矢。
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反函数 yf1x
y
Q(b,a)
直接函 yf数 (x)
P(a,b)
o
x
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例1 设函数 f(x1) x (x1) ,求f -1(x+1).
x1
解 令 u=x+l 则 f (u ) u 1 ,u 0, u
即 y u 1 ,u 0, u
从而 u(y-1)-1,u 1 . 1-y
{y y B, y f (x), x A}
称为映射f的值域，记作Rf (或f (A)).
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对 A 到 B 于 的f,映 若 f(A ) 射 B ,则 f为 A 称 到 B 的满射
若 x 1 ,x 2 A （ x 1 x 2 ) 都 f(x 1 )有 f(x 2 )则 , f为 A 到 称 B 的单射 若 f既是满射又是 称 f单 为射 双， 射则 ，双射 映也 射 . 叫一一 例 1设 A （ { x ,y ) y x 2 ,x R } ,B { 0 ,y ) ( y R ,且 y 0 }
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五. 函数 定义设D为非空实 ，数 则 D到 集 R的一个映射
f :DR 称为定D义 上在 的函 数集数D叫，做这个函数的定义域 当 x 0 D 时 ,称 f(x 0)为函 x 0 处 数的 在 . 函 点 函数值全体组成的数集
W{yyf(x),xD}称为函数的 . 值域
为演算方便起函 见数 ，记 y常 为 f将 (x),xD. 称x为自变量 y为，因变. 量
将平面上y抛 x2物 上线 的每一点 y轴 投上 影就 到建立了 A到B的一个.这 映个 射映射是满 是射 单.， 射但不
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四 逆映射
定义 设f：x|y是A到B的一个双射，称映射 g: y|x(f (x)y)
为f 的逆映射，f 记 1. 为 这D 时 f 1Rf,Rf 1D f.
例2设f :x|yx2是A{x|x0,xR}到 B{y| y0,yR}的一个双f的 射逆 ，映 则f射 1:y|为 x y
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微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。
函数是微积分研究的 对象,所以我们的讨论将从函数开 始。
极限的思想是微积分的基础，学习微积分学，首要的
一步就是要理解到“极限”引入的必要性： 极限思想贯穿整个微积分的始终，极限思想的把握关系
到对微积分思想的确立，微积分理论的掌握和运用，以及 数学思维的建立 。
若AB ，且B A，则称A与B相等,记作A=B.
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并集
由属于A或属于B的所有元素组成的集合 A B 称为A与B的并集记作A∪ B ，即
交集 A∪B ={x|x∈A或x∈B}
由同时属于A与B的元素组成的集称为A与B的交集，记
作A∩B ，即A∩B ={x|x∈A且x∈B} 差集
AB
由属于A但不属于B的元素组成的集称 为A与B的差集，记作A–B 或A\ B 即
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第一节 函数的概念及其基本性质 第二节 初等函数 第三节 经济学中常见的函数
第一节 函数的概念及其基本性质
一.集合及其运算
集合：具有某种确定性质的对象的全体，简称集。 集合的元素：组成集合的各个对象。
用大写的英文字母A、B、C……表示集合，用小写的 英文字母a、b、c……表示集合的元素。
若a属于集合A的元素，则称a属于A，记作 aA ;否则 称a不属于A ,记作 aA（或aA ）。
含有限元素的集合称为有限集，不含任何元素的集合称 为空集；用表示空集。 不是有限集也不是空集的集合 称为无限集。
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表示集合的方法: (1)列举法 将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内； (2)描述法 在花括号内指明集合元素所具有的性质。
A B {x |x A 但 x B }
AB
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全集 :又所研究的全 成部 的事 集物 合构 称 . 为
积为 I或U. 若研究某一问题 考时 虑将 对所 象的全体 集看 ，作全
记为 I,则对于任意 A集I,I合 A(即I \ A)称为 A的补集，
_
记为 A或Ac.
n
定A 义 i A 1 A 2 A n
一般，用N表示自然数集，用Z表示整数集，用Q表示 有理数集，用R表示实数集．
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子集
设A，B是两个集合，若A的每个元素都是B的元素，
则称A是B的子集，记作A B(或B A ),读作A包
含于B包含（或B包含A ）.