平凉市2019年中考数学试题及答案
甘肃省2019年中考[数学]考试真题与答案解析
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甘肃省2019年中考[数学]考试真题与答案解析一、选择题本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1．下列实数是无理数的是（ ）A．﹣2 B．C．D．【知识考点】算术平方根；无理数．【思路分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可．【解题过程】解：＝3，则由无理数的定义可知，属于无理数的是．故选：D．2．若α＝70°，则α的补角的度数是（ ）A．130° B．110° C．30° D．20°【知识考点】余角和补角．【思路分析】根据补角的定义，两个角的和是180°即可求解．【解题过程】解：α的补角是：180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°．故选：B．3．若一个正方形的面积是12，则它的边长是（ ）A．2B．3 C．3D．4【知识考点】算术平方根．【思路分析】根据算术平方根的定义解答．【解题过程】解：∵正方形的面积是12，∴它的边长是＝2．故选：A．【总结归纳】本题考查了算术平方根，解题的关键是利用了正方形的性质和算术平方根的定义．4．下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ）A．B．C．D．【知识考点】简单几何体的三视图．【思路分析】根据圆锥、圆柱、正方体、三棱柱的主视图、俯视图矩形判断即可．【解题过程】解：圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，因此A不符合题意；圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，因此B不符合题意；正方体的主视图、俯视图都是正方形，因此选项C符合题意；三棱柱的主视图是矩形，俯视图是三角形，因此D不符合题意；故选：C．5．下列各式中计算结果为x6的是（ ）A．x2+x4B．x8﹣x2C．x2•x4D．x12÷x2【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；同底数幂的除法．【思路分析】根据合并同类项、同底数幂乘除法的性质进行计算即可．【解题过程】解：x2与x4不是同类项，不能合并计算，它是一个多项式，因此A 选项不符合题意；同理选项B不符合题意；x2•x4＝x2+4＝x6，因此选项C符合题意；x12÷x2＝x12﹣2＝x10，因此选项D不符合题意；故选：C．6．生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（ ）A．1.24米B．1.38米C．1.42米D．1.62米【知识考点】黄金分割．【思路分析】根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，因为图中b为2米，即可求出a的值．【解题过程】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，∴≈0.618，∵b为2米，∴a约为1.24米．故选：A．7．已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（ ）A．﹣1或2 B．﹣1 C．2 D．0【知识考点】一元二次方程的定义；一元二次方程的解．【思路分析】首先把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0解方程可得m1＝2，m2＝﹣1，再结合一元二次方程定义可得m的值．【解题过程】解：把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0得：m﹣2+4﹣m2＝0，﹣m2+m+2＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1，∵（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0是一元二次方程，∴m﹣2≠0，∴m≠2，∴m＝﹣1，故选：B．8．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离．若AE间的距离调节到60cm，菱形的边长AB＝20cm，则∠DAB的度数是（ ）A．90° B．100° C．120° D．150°【知识考点】全等图形；菱形的性质；解直角三角形的应用．【思路分析】连结AE，根据全等的性质可得AC＝20cm，根据菱形的性质和等边三角形的判定可得△ACB是等边三角形，再根据等边三角形和菱形的性质即可求解．【解题过程】解：连结AE，∵AE间的距离调节到60cm，木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，∴AC＝20cm，∵菱形的边长AB＝20cm，∴AB＝BC＝20cm，∴AC＝AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠DAB＝120°．故选：C．9．如图，A是⊙O上一点，BC是直径，AC＝2，AB＝4，点D在⊙O上且平分，则DC的长为（ ）A．2B．C．2D．【知识考点】圆周角定理．【思路分析】先根据圆周角得：∠BAC＝∠D＝90°，根据勾股定理即可得结论．【解题过程】解：∵点D在⊙O上且平分，∴，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠D＝90°，∵AC＝2，AB＝4，∴BC＝＝＝2，∵点D在⊙O上，且平分，∴DC＝BD．Rt△BDC中，DC2+BD2＝BC2，∴2DC2＝20，∴DC＝，故选：D．10．如图①，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OD的中点．动点P 从点E出发，沿着E→O→B→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则AB的长为（ ）A．4B．4 C．3D．2【知识考点】动点问题的函数图象．【思路分析】连接AE，由题意DE＝OE，设DE＝OE＝x，则OA＝OD＝2x，AE ＝2，在Rt△AEO中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解题过程】解：如图，连接AE．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝OD＝OB，由题意DE＝OE，设DE＝OE＝x，则OA＝OD＝2x，∵AE＝2，∴x2+（2x）2＝（2）2，解得x＝2或﹣2（不合题意舍弃），∴OA＝OD＝4，∴AB＝AD＝4，故选：A．二、填空题11．如果盈利100元记作+100元，那么亏损50元记作 元．【知识考点】正数和负数．【思路分析】根据盈利为正，亏损为负，可以将亏损50元表示出来，本题得以解决．【解题过程】解：∵盈利100元记作+100元，∴亏损50元记作﹣50元，故答案为：﹣50．12．分解因式：a2+a＝ ．【知识考点】因式分解﹣提公因式法．【思路分析】直接提取公因式分解因式得出即可．【解题过程】解：a2+a＝a（a+1）．故答案为：a（a+1）．【总结归纳】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．13．暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动．某款式眼镜的广告如下，请你为广告牌填上原价．原价： 元暑假八折优惠，现价：160元【知识考点】一元一次方程的应用．【思路分析】设广告牌上的原价为x元，根据现价＝原价×折扣率，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解题过程】解：设广告牌上的原价为x元，依题意，得：0.8x＝160，解得：x＝200．故答案为：200．【总结归纳】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．14．要使分式有意义，x需满足的条件是 ．【知识考点】分式有意义的条件．【思路分析】当分式的分母不为零时，分式有意义，即x﹣1≠0．【解题过程】解：当x﹣1≠0时，分式有意义，∴x≠1，故答案为x≠1．15．在一个不透明的袋中装有若干个材质、大小完全相同的红球，小明在袋中放入3个黑球（每个黑球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，估计袋中红球有 个．【知识考点】利用频率估计概率．【思路分析】根据口袋中有3个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．【解题过程】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，口袋中有3个黑球，∵假设有x个红球，∴＝0.85，解得：x＝17，经检验x＝17是分式方程的解，∴口袋中红球约有17个．故答案为：17．16．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为（3，），（4，0）．把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果点D的坐标为（6，），则点E的坐标为 ．【知识考点】坐标与图形变化﹣平移．【思路分析】利用平移的性质解决问题即可．【解题过程】解：∵A（3，），D（6，），∴点A向右平移3个单位得到D，∵B（4，0），∴点B向右平移3个单位得到E（7，0），故答案为（7，0）．17．若一个扇形的圆心角为60°，面积为cm2，则这个扇形的弧长为 cm （结果保留π）．【知识考点】弧长的计算；扇形面积的计算．【思路分析】首先根据扇形的面积公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积＝lR，即可得出弧长．【解题过程】解：设扇形的半径为R，弧长为l，根据扇形面积公式得；＝，解得：R＝1，∵扇形的面积＝lR＝，解得：l＝π．故答案为：．18．已知y＝﹣x+5，当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应y值的总和是 ．【知识考点】规律型：数字的变化类；二次根式的性质与化简．【思路分析】直接把已知数据代入进而得出变化规律即可得出答案．【解题过程】解：当x＜4时，原式＝4﹣x﹣x+5＝﹣2x+9，当x＝1时，原式＝7；当x＝2时，原式＝5；当x＝3时，原式＝3；当x≥4时，原式＝x﹣4﹣x+5＝1，∴当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应y值的总和是：7+5+3+1+1+…+1＝15+1×2017＝2032．故答案为：2032．三、解答题（一）19．计算：（2﹣）（2+）+tan60°﹣（π﹣2）0．【知识考点】平方差公式；零指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．【思路分析】直接利用乘法公式以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简得出答案．【解题过程】解：原式＝4﹣3+﹣1＝．【总结归纳】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．20．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．【知识考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．【思路分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解，确定不等式组的解集．【解题过程】解：解不等式3x﹣5＜x+1，得：x＜3，解不等式2（2x﹣1）≥3x﹣4，得：x≥﹣2，则不等式组的解集为﹣2≤x＜3，将不等式组的解集表示在数轴上如下：21．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝BA．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作∠ABC的角平分线交AD于点E；②作线段DC的垂直平分线交DC于点F．（2）连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．【知识考点】线段垂直平分线的性质；作图—复杂作图．【思路分析】（1）根据尺规作基本图形的方法：①作∠ABC的角平分线交AD于点E即可；②作线段DC的垂直平分线交DC于点F即可．（2）连接EF，根据等腰三角形的性质和三角形中位线定理，即可写出线段EF 和AC的数量关系及位置关系．【解题过程】解：（1）如图，①BE即为所求；②如图，线段DC的垂直平分线交DC于点F．（2）∵BD＝BA，BE平分∠ABD，∴点E是AD的中点，∵点F是CD的中点，∴EF是△ADC的中位线，∴线段EF和AC的数量关系为：EF＝AC，位置关系为：EF∥AC．22．图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝﹣﹣铜奔马，又称“马踏飞燕”，于1969年10月出土于武威市的雷台汉墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志．在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑．某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：课题测量“马踏飞燕“雕塑最高点离地面的高度测量示意图如图，雕塑的最高点B 到地面的高度为BA ，在测点C 用仪器测得点B 的仰角为α，前进一段距离到达测点E ，再用该仪器测得点B 的仰角为β，且点A ，B ，C ，D ，E ，F 均在同一竖直平面内，点A ，C ，E 在同一条直线上．α的度数β的度数CE 的长度仪器CD （EF ）的高度测量数据31°42°5米 1.5米请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小数）．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）【知识考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【思路分析】在两个直角三角形中，用BG 表示DG 、FG ，进而用 DG ﹣FG ＝DF ＝5列方程求出BG 即可．【解题过程】解：如图，延长DF 与AB 交于点G ，设BG ＝x 米，在Rt △BFG 中，FG ＝＝，在Rt△BDG中，DG＝＝，由DG﹣FG＝DF得，﹣＝5，解得，x＝9，∴AB＝AG+BG＝1.5+9＝10.5（米），答：这座“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度为10.5米．23．2019年甘肃在国际知名旅游指南《孤独星球》亚洲最佳旅游地排名第一．截至2020年1月，甘肃省已有五家国家5A级旅游景区，分别为A：嘉峪关文物景区；B：平凉崆峒山风景名胜区；C：天水麦积山景区；D：敦煌鸣沙山月牙泉景区；E：张掖七彩丹霞景区．张帆同学与父母计划在暑假期间从中选择部分景区游玩．（1）张帆一家选择E：张掖七彩丹霞景区的概率是多少？（2）若张帆一家选择了E：张掖七彩丹霞景区，他们再从A，B，C，D四个景区中任选两个景区去旅游，求选择A，D两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）．【知识考点】概率公式；列表法与树状图法．【思路分析】（1）共有5种可能选择的结果，因此张帆一家选择“E：张掖七彩丹霞景区”只有1种，因此可求出概率；（2）列表法表示所有可能出现的结果，进而求出概率．【解题过程】解：（1）共有5种可能选择的结果，因此张帆一家选择“E：张掖七彩丹霞景区”的概率是；（2）从A，B，C，D四个景区中任选两个景区所有可能出现的结果如下：共有12种可能出现的结果，其中选择A、D两个景区的有2种，∴P（选择A、D）＝＝．四、解答题（二）24．习近平总书记于2019年8月在兰州考察时说“黄河之滨也很美”．兰州是古丝绸之路商贸重镇，也是黄河唯一穿城而过的省会城市，被称为“黄河之都”．近年来，在市政府的积极治理下，兰州的空气质量得到极大改善，“兰州蓝”成为兰州市民引以为豪的城市名片．如图是根据兰州市环境保护局公布的2013～2019年各年的全年空气质量优良天数绘制的折线统计图．请结合统计图解答下列问题：（1）2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加了 天；（2）这七年的全年空气质量优良天数的中位数是 天；（3）求这七年的全年空气质量优良天数的平均天数；（4）《兰州市“十三五”质量发展规划》中指出：2020年，确保兰州市全年空气质量优良天数比率达80%以上．试计算2020年（共366天）兰州市空气质量优良天数至少需要多少天才能达标．【思路分析】（1）根据折线统计图可得2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加的天数；（2）先将这七年的全年空气质量优良天数从小到大排列，即可得中位数；（3）根据表格数据利用加权平均数公式即可求这七年的全年空气质量优良天数的平均天数；（4）用80%×366即可得兰州市空气质量能达标的优良天数．【解题过程】解：（1）∵296﹣270＝26，∴2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加了26天；故答案为：26；（2）∵这七年的全年空气质量优良天数分别为：213，233，250，254，270，296，313，∴这七年的全年空气质量优良天数的中位数是254天；故答案为：254；（3）∵＝（213+233+250+254+270+296+313）≈261（天），则这七年的全年空气质量优良天数的平均天数为261天；（4）∵全年空气质量优良天数比率达80%以上．∴366×80%＝292.8≈293（天），则兰州市空气质量优良天数至少需要293天才能达标．25．通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验．下表是一个函数的自变量x与函数值y的部分对应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题：x…012345…y…632 1.5 1.21…（1）当x＝ 时，y＝1.5；（2）根据表中数值描点（x，y），并画出函数图象；（3）观察画出的图象，写出这个函数的一条性质： ．【知识考点】函数值；函数的图象；函数的表示方法．【思路分析】（1）观察函数的自变量x与函数值y的部分对应值表可得当x＝3时，y＝1.5；（2）根据表中数值描点（x，y），即可画出函数图象；（3）观察画出的图象，即可写出这个函数的一条性质．【解题过程】解：（1）当x＝3时，y＝1.5；故答案为：3；（2）函数图象如图所示：（3）观察画出的图象，这个函数的一条性质：函数值y随x的增大而减小．故答案为：函数值y随x的增大而减小．26．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且AE＝AB．（1）求∠ACB的度数；（2）若DE＝2，求⊙O的半径．【知识考点】三角形的外接圆与外心；切线的性质．【思路分析】（1）连接OA，先由切线的性质得∠OAE的度数，再由等腰三角形的性质得∠OAB＝∠ABE＝∠E，再由三角形内角和定理求得∠OAB，进而得∠AOB，最后由圆周角定理得∠ACB的度数；（2）设⊙O的半径为r，再根据含30°解的直角三角形的性质列出r的方程求解便可．【解题过程】解：（1）连接OA，∵AE是⊙O的切线，∴∠OAE＝90°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB，∴∠OAB＝∠ABE＝∠E，∵∠OAB+∠ABE+∠E+∠OAE＝180°，∴∠OAB＝∠ABE＝∠E＝30°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠ABO＝120°，∴∠ACB＝∠AOB＝60°；（2）设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝r，OE＝r+2，∵∠OAE＝90°，∠E＝30°，∴2OA＝OE，即2r＝r+2，∴r＝2，故⊙O的半径为2．27．（8分）如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°．把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE．（1）求证：△AEM≌△ANM．（2）若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长．【知识考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质．【思路分析】（1）想办法证明∠MAE＝∠MAN＝45°，根据SAS证明三角形全等即可．（2）设CD＝BC＝x，则CM＝x﹣3，CN＝x﹣2，在Rt△MCN中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解题过程】（1）证明：由旋转的性质得，△ADN≌△ABE，∴∠DAN＝∠BAE，AE＝AN，∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，∴∠MAE＝∠BAE+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠MAE＝∠MAN，∵MA＝MA，∴△AEM≌△ANM（SAS）．（2）解：设CD＝BC＝x，则CM＝x﹣3，CN＝x﹣2，∵△AEM≌△ANM，∴EM＝MN，∵BE＝DN，∴MN＝BM+DN＝5，∵∠C＝90°，∴MN2＝CM2+CN2，∴25＝（x﹣2）2+（x﹣3）2，解得，x＝6或﹣1（舍弃），∴正方形ABCD的边长为6．28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．（1）求此抛物线的表达式；（2）若PC∥AB，求点P的坐标；（3）连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC ＝8OB，则OA＝4，OB＝，确定点A、B、C的坐标；即可求解；（2）抛物线的对称轴为x＝﹣，当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，即可求解；（3）△PAC的面积S＝S△PHA+S△PHC＝PH×OA，即可求解．【解题过程】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC＝8OB，则OA＝4，OB＝，故点A、B、C的坐标分别为（﹣4，0）、（，0）、（0，﹣2）；则y＝a（x+4）（x﹣）＝a（x2+x﹣2）＝ax2+bx﹣2，故a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣2；（2）抛物线的对称轴为x＝﹣，当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，根据函数的对称性得点P（﹣，﹣2）；（3）过点P作PH∥y轴交AC于点H，设P（x，x2+﹣2），由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣2，则△PAC的面积S＝S△PHA+S△PHC＝PH×OA＝×4×（﹣x﹣2﹣x2﹣x+2）＝﹣2（x+2）2+8，∵﹣2＜0，∴S有最大值，当x＝﹣2时，S的最大值为8，此时点P（﹣2，﹣5）．。
平凉市中考数学试卷
平凉市中考数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）(2019·湖南模拟) 下列各数中，最小的数是（）A . -3B . -C . 2D . 02. （2分） (2017七上·济源期中) 2016年我国国内生产总值达到74.4万亿元，比上年增长6.7%．将74.4万亿用科学记数法表示为（）A . 74.4×1012B . 7.44×1012C . 0.744×1013D . 7.44×10133. （2分）(2019·合肥模拟) 计算：（﹣a3）2÷a2＝（）A . ﹣a3B . a3C . a4D . a74. （2分）如图所示的三视图表示的几何体是（）A . 长方体B . 正方体C . 圆柱D . 三棱柱5. （2分） (2019七上·海曙期中) 张师傅下岗后做起了小生意，第一次进货时，他以每件a元的价格购进了20件甲种小商品，以每件b元的价格购进了30件乙种小商品（a>b）．根据市场行情，他将这两种小商品都以元的价格出售．在这次买卖中，张师傅的盈亏状况为（）A . 赚了（25a+25b）元B . 亏了（20a+30b）元C . 赚了（5a-5b）元D . 亏了（5a-5b）元6. （2分） (2016八上·西昌期末) 已知A（2x+1，x﹣2）关于x轴对称点A′在第二象限，则x的取值范围（）A . x＜﹣B . x＜2C . x＞﹣D . x＞27. （2分）(2020·广西模拟) 如图，等边的边长为，以O为圆心，为直径的半圆经过点A，连接，相交于点P，将等边从与重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转，交点P运动的路径长是（）A .B .C .D .8. （2分）如图，Rt△ABC的顶点B在反比例函数的图象上，AC边在x轴上，已知∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，则图中阴影部分的面积是（）A . 12B .C .D .二、填空题 (共8题；共10分)9. （3分） (2019七下·江岸月考) 计算________； ________；________.10. （1分） (2020八上·漯河期末) 计算 = ________.11. （1分）(2012·本溪) 分解因式：9ax2﹣6ax+a=________．12. （1分）(2018·濮阳模拟) 若二次函数的图像经过（2，0），且其对称轴为直线x=-1，则当函数值y>0成立时，x的取值范围是________.13. （1分）(2019·大连模拟) 某区10名学生参加实际汉字听写大赛，他们得分情况如下表：人数3421分数80859095那么10名学生所得分数的中位数是________.14. （1分）(2020·锦州模拟) 如图，∠MON＝30°，点A1在ON上，点C1在OM上，OA1＝A1C1＝2，C1B1⊥ON 于点B1 ，以A1B1和B1C1为邻边作矩形A1B1C1D1 ，点A1 ， A2关于点B对称，A2C2∥A1C1交OM于点C2 ，C2B2⊥ON 于点B2 ，以A2B2和B2C2为邻边作矩形A2B2C2D2 ，连接D1D2 ，点A2 ， A3关于点B2对称，A3C3∥A2C2交OM于点C3 ，C3B3⊥ON于点B3 ，以A3B3和B3C3为邻边作矩形A3B3C3D3 ，连接D2D3 ，……依此规律继续下去，则DnDn+1＝________.15. （1分） (2017七下·南陵竞赛) 将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折10次可以得到________条折痕．16. （1分）(2020·北京模拟) 如图，在平面直角坐标系中，，以为一边，在第一象限作菱形，并使，再以对角线为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形，再依次作菱形，，，则过点，，的圆的圆心坐标为________．三、解答题 (共8题；共93分)17. （5分） (2019七上·桂林期末) 计算：-12018-I-3I+4×(- )218. （11分） (2016九上·南浔期末) 问题：已知△ABC中，∠ABC=∠ACB=α，点D是AB边上任意一点，连结CD，在CD的上测作以CD为底边，α为底角的等腰△CDE，连结AE，试探究BD与AE的数量关系．（1）尝试探究如图1，当α=60°时，小聪同学猜想有BD=AE，以下是他的思路呈现．请你根据他的思路把这个证明过程完整地表达出来；（2）特例再探如图2，当α=45°时，请你判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明；（3）问题解决如图3，当α为任意锐角时，请直接写出线段BD与AE的数量关系是________．（用含α的式子表示，其中0°＜α＜90°）19. （15分） (2017七下·黔东南期末) 某校积极开展“阳光体育”活动，共开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动项目，为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制如下所示的不完整的条形图和扇形图．（1）本次抽样调查抽取了多少名学生？并补全条形统计图；（2）求扇形统计图中篮球部分对应的圆心角□的度数；（3）该校共有1200名学生，请估计全校最喜爱篮球项目的学生有多少人？20. （10分）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月用电量不超过200度时，按0.55元/度计费；月用电量超过200度时，其中的200度仍按0.55元/度计费，超过部分按0.70元/度计费．设每户家庭月用电量为x度时，应交电费y元．（1）分别求出0≤x≤200和x＞200时，y与x的函数表达式；（2）小明家5月份交纳电费117元，小明家这个月用电多少度？21. （10分）(2017·普陀模拟) 在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数的图象与反比例函数y= 的图象交于点A（m，4）．（1）求正比例函数的解析式；（2）将正比例函数的图象向下平移6个单位得到直线l，设直线l与x轴的交点为B，求∠ABO的正弦值．22. （15分）(2019·南昌模拟) 某商店以8元/个的价格收购1600个文具盒进行销售，为了得到日销售量（个）与销售价格（元/个）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：销售价格（元/个）1816141210日销售量（个）3040506070（1）请你根据表中的数据，用所学知识确定与之间的函数表达式；（2）该商店应该如何确定这批文具盒的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，判断一个月能否销售完这批文具盒，并说明理由.23. （12分）(2017·庆云模拟) 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O过点A的切线相交于点E．（1）∠ACB=________°，理由是：________；（2）猜想△EAD的形状，并证明你的猜想；（3）若AB=8，AD=6，求BD．24. （15分）(2017·河南模拟) 如图1，二次函数y=ax2+bx+3 经过点A（3，0），G（﹣1，0）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点M时抛物线在第一象限图象上的一点，求△ABM面积的最大值；（3）抛物线的对称轴交x轴于点P，过点E（0，）作x轴的平行线，交AB于点F，是否存在着点Q，使得△FEQ∽△BEP？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共8题；共10分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共93分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、23-3、24-1、24-2、24-3、。
2019年甘肃省中考数学试卷-答案
7 / 16
(2)∵ m , n 都是方程 x2 5x 6 0 的解,
∴ m 2 , n 3 ,或 m 3 , n 2 ,
由树状图得：共有 12 个等可能的结果, m , n 都是方程 x2 5x 6 0 的解的结果有 2 个,
(2)如图所示,延长 DE 交 AB 的延长线于 H, ∵E 是 BC 的中点, ∴ BE CE , 又∵ C HBE 90 , DEC HEB , ∴ △DCE≌△HBE(ASA) ,
∴ BH DC AB , 即 B 是 AH 的中点, 又∵ AFH 90 ,
故答案为：八；
8 / 16
(3)若七年级共有 300 名学生,则七年级体质健康成绩优秀的学生人数 300 1 20 (人). 15
【考点】统计表,众数,中位数以及方差. 25.【答案】解：(1)∵反比例函数 y m 经过点 B(2, 1) ,
x
∴ m 2 , ∵点 A(1,n) 在 y 2 上,
3
1. 【解析】解：原式 4 1 3 3 3 ,
3
1. 【考点】实数运算. 20.【答案】解：如图,点 M 即为所求,
【解析】解：如图,点 M 即为所求,
5 / 16
【考点】复杂作图,角平分线的性质,线段垂直平分线的性质.
21.【答案】解：设共有 x 人,
根据题意得： x 2 x 9 ,
2
【考点】实数大小比较的方法. 3.【答案】D 【解析】解：使得式子 x 有意义,则： 4 x＞0 ,解得： x＜4 ,即 x 的取值范围是： x＜4 .故选：D.
4x
【考点】二次根式有意义的条件. 4.【答案】B 【解析】解： (2a)2 a4 4a2 a4 4a6 .故选：B. 【考点】积的乘方运算,同底数幂的乘法运算. 5.【答案】D 【解析】解：∵将一块含有 30 的直角三角板的顶点放在直尺的一边上, 1 48 , ∴ 2 3 180 48 30 102 . 故选：D.
2019年甘肃省中考数学试题(含解析)
2019年甘肃省中考数学试题（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2019甘肃省，1，3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是( )【答案】A【解析】解：A ．此图案是中心对称图形，符合题意； B ．此图案不是中心对称图形，不合题意； C ．此图案不是中心对称图形，不合题意； D ．此图案不是中心对称图形，不合题意； 故选A ．【知识点】中心对称图形2. （2019甘肃省，2，3分）在0，2，3-，12-这四个数中，最小的数是( )A ．0B ．2C ．3-D ．12-【答案】C【解析】解：∵13022-<-<<，∴最小的数是3-，故选C ．【知识点】有理数大小比较3. （2019甘肃省，3，3分）有意义的x 的取值范围是( ) A ．4x B ．4x >C ．4xD ．4x <【答案】D【解析】有意义，则40x ->，解得4x <，即x 的取值范围是：4x <，故选D ．【知识点】二次根式有意义的条件4. （2019甘肃省，4，3分）计算24(2)a a -的结果是( ) A ．64a - B ．64aC ．62a -D ．84a -【答案】B【解析】解：24246(2)44a a a a a -==，故选B ． 【知识点】单项式乘单项式；幂的乘方；积的乘方5. （2019甘肃省，5，3分）如图，将一块含有30︒的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若148∠=︒，那么2∠的度数是( )A ．48︒B ．78︒C ．92︒D ．102︒【答案】D【解析】解：将一块含有30︒的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若148∠=︒， 231804830102∴∠=∠=︒-︒-︒=︒，故选D ．【知识点】平行线的性质6.（2019甘肃省，6，3分）已知点(2,24)P m m +-在x 轴上，则点P 的坐标是( ) A ．(4,0) B ．(0,4) C ．(4,0)- D ．(0,4)-【答案】A【解析】解：∵点(2,24)P m m +-在x 轴上， 240m ∴-=，解得2m =， 24m ∴+=，∴点P 的坐标是(4,0)． 故选A ．【知识点】点的坐标7. （2019甘肃省，7，3分）若一元二次方程2220x kx k -+=的一根为1x =-，则k 的值为( ) A ．1- B ．0C ．1或1-D ．2或0【答案】A【解析】解：把1x =-代入方程得2120k k ++=，解得：1k =-，故选A ． 【知识点】一元二次方程的解8. （2019甘肃省，8，3分）如图，AB 是O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且126AOC ∠=︒，则(CDB ∠=)A ．54︒B ．64︒C ．27︒D ．37︒【答案】C【解析】解：∵126AOC ∠=︒，∴18054BOC AOC ∠=︒-∠=︒，∴1272CDB BOC ∠=∠=︒，故选C ．【知识点】圆的有关概念及性质9.（2019甘肃省，9，3分）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是( )A ．甲、乙两班的平均水平相同B ．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C ．甲班的成绩比乙班的成绩稳定D ．甲班成绩优异的人数比乙班多 【答案】A【解析】解：A 、甲、乙两班的平均水平相同；正确； B 、甲、乙两班竞赛成绩的众数相同；不正确； C 、甲班的成绩比乙班的成绩稳定；不正确； D 、甲班成绩优异的人数比乙班多；不正确； 故选A ．【知识点】平均数，众数，中位数，方差10. （2019甘肃省，10，3分）如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，对于下列说法：①0ac >，②20a b +>，③24ac b <，④0a b c ++<，⑤当0x >时，y 随x 的增大而减小，其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．③④⑤【答案】C【解析】解：①由图象可知：0a >，0c <，0ac ∴<，故①错误； ②由于对称轴可知：12ba-<，20a b ∴+>，故②正确； ③由于抛物线与x 轴有两个交点，∴△240b ac =->，故③正确； ④由图象可知：1x =时，0y a b c =++<，故④正确； ⑤当2bx a>-时，y 随着x 的增大而增大，故⑤错误； 故选C ．【知识点】二次函数图象与系数的关系二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11. （2019甘肃省，11，3分）分解因式：34x y xy -= ． 【答案】(2)(2)xy x x +-【解析】解：34x y xy -2(4)xy x =-(2)(2)xy x x =+-． 【知识点】分解因式12. （2019甘肃省，12，3分）不等式组2021x x x -⎧⎨>-⎩的最小整数解是 ．【答案】0【解析】解：不等式组整理得21x x ⎧⎨>-⎩，∴不等式组的解集为12x -<，则最小的整数解为0，故答案为0.【知识点】一元一次不等式组的整数解13. （2019甘肃省，13，3分）分式方程3512x x =++的解为 ． 【答案】12【解析】解：去分母，得3655x x +=+， 解得12x =， 经检验12x =是分式方程的解．故答案为12． 【知识点】解分式方程14. （2019甘肃省，14，3分）在ABC ∆中90C ∠=︒，tan A ，则cos B = ． 【答案】12【解析】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，tan A =，设a =，3b x =，则c =， 1cos 2a B c ∴==． 故答案为12． 【知识点】特殊角的三角函数值15. （2019甘肃省，15，3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为 ．【答案】2(18cm +【解析】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm ，三棱柱的高为3，所以，其表面积为213232218)2cm ⨯⨯+⨯⨯+．故答案为2(18cm +．【知识点】三视图16.（2019甘肃省，16，3分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC BC ==，点D 是AB 的中点，以A 、B 为圆心，AD 、BD 长为半径画弧，分别交AC 、BC 于点E 、F ，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】24π-【解析】解：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2CA CB ==，AB ∴=45A B ∠=∠=︒，D 是AB 的中点，AD DB ∴=12222224ABC ADES S S π∆∴=-⋅=⨯⨯-=-阴扇形， 故答案为：24π-【知识点】扇形面积17. （2019甘肃省，17，3分）如图，在矩形ABCD 中，10AB =，6AD =，E 为BC 上一点，把CDE ∆沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的F 处，则CE 的长为 ．【答案】103【解析】解：设CE x =，则6BE x =-由折叠性质可知，EF CE x ==，10DF CD AB ===， 在Rt DAF ∆中，6AD =，10DF =， 8AF ∴=，1082BF AB AF ∴=-=-=，在Rt BEF ∆中，222BE BF EF +=，即222(6)2x x -+=， 解得103x =， 故答案为103． 【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）18. （2019甘肃省，18，3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n 幅图中有2019个菱形，则n = ．【答案】1010【解析】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个． 第2幅图中有2213⨯-=个．第3幅图中有2315⨯-=个． 第4幅图中有2417⨯-=个．⋯．可以发现，每个图形都比前一个图形多2个． 故第n 幅图中共有(21)n -个． 当图中有2019个菱形时， 212019n -=， 1010n =，故答案为1010．【知识点】图形变化规律三、解答题（本大题共8小题，满分66分，各小题都必须写出解答过程）19.（2019甘肃省，19，4分）计算：201()(2019)60|3|2π--+-︒--．【思路分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值等4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解题过程】解：原式413=+1=． 【知识点】实数的运算20. （2019甘肃省，20，4分）如图，在ABC ∆中，点P 是AC 上一点，连接BP ，求作一点M ，使得点M 到AB 和AC 两边的距离相等，并且到点B 和点P 的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）【思路分析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可． 【解题过程】解：如图，点M 即为所求，【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的性质21. （2019甘肃省，21，6分）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 【思路分析】设共有x 人，根据题意列出方程，求出方程的解即可【解题过程】解：设共有x 人， 根据题意，得9232x x -+=， 去分母，得212327x x +=-， 解得39x =， ∴399152-=， ∴共有39人，15辆车． 【知识点】一元一次方程的应用22. （2019甘肃省，22，6分）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260~300mm mm 含(300)mm ，高度的范围是120~150mm mm （含150)mm ．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB ，CD 分别垂直平分踏步EF ，GH ，各踏步互相平行，AB CD =，900AC mm =，65ACD ∠=︒，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm ，参考数据：sin650.906︒≈，cos650.423)︒≈【思路分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得BM 和DM 的长，然后计算出该中学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题． 【解题过程】解：连接BD ，作DM AB ⊥于点M ， AB CD =，AB ，CD 分别垂直平分踏步EF ，GH ， //AB CD ∴，AB CD =，∴四边形ABCD 是平行四边形，C ABD ∴∠=∠，AC BD =， 65C ∠=︒，900AC =， 65ABD ∴∠=︒，900BD =，cos659000.423381BM BD ∴=︒=⨯≈，sin659000.906815DM BD =︒=⨯≈， 3813127÷=，120127150<<，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，8153272÷≈，260272300<<，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题23. （2019甘肃省，23，6分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m ，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n ． （1）请用列表或画树状图的方法表示出所有(,)m n 可能的结果；（2）若m ，n 都是方程2560x x -+=的解时，则小明获胜；若m ，n 都不是方程2560x x -+=的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？【思路分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出数字之积能被2整除的结果数，然后根据概率公式求解． 【解题过程】解：（1）树状图如图所示：（2）m ，n 都是方程2560x x -+=的解，2m ∴=，3n =，或3m =，2n =，由树状图得：共有12个等可能的结果，m ，n 都是方程2560x x -+=的解的结果有2个，m ，n 都不是方程2560x x -+=的解的结果有2个，小明获胜的概率为21126=，小利获胜的概率为21126=， ∴小明、小利获胜的概率一样大．【知识点】概率24. （2019甘肃省，24，4分）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下： 收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50整理数据：6080x<8090x<90100x1041581（说明：90分及以上为优秀，80~90分（不含90分）为良好，60~80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）分析数据：得出结论：（1）根据上述数据，将表格补充完整；（2）可以推断出年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．【思路分析】（1）由平均数和众数的定义即可得出结果；（2）从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个年级学生的体质健康情况更好一些；（3）由七年级总人数乘以优秀人数所占比例，即可得出结果．【解题过程】解：（1）七年级的平均数为1(748175767075757981707480916982)76.815++++++++++++++=，八年级的众数为81；故答案为：76.8；81；（2）八年级学生的体质健康状况更好一些；理由如下：八年级学生的平均数、中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的体质健康情况更好一些；故答案为：八；（3）若七年级共有300名学生，则七年级体质健康成绩优秀的学生人数13002015=⨯=（人)．【知识点】统计表，众数，中位数，方差，，25.（2019甘肃省，25，7分）如图，一次函数y kx b=+的图象与反比例函数myx=的图象相交于(1,)A n-、(2,1)B-两点，与y轴相交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D 与点C 关于x 轴对称，求ABD ∆的面积；（3）若1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y 是反比例函数m y x=上的两点，当120x x <<时，比较2y 与1y 的大小关系．【思路分析】（1）利用待定系数法即可解决求问题．（2）根据对称性求出点D 坐标，发现//BD x 轴，利用三角形的面积公式计算即可．（3）利用反比例函数的增减性解决问题即可．【解题过程】解：（1）反比例函数m y x=经过点(2,1)B -， 2m ∴=-， 点(1,)A n -在2y x-=上， 2n ∴=， (1,2)A ∴-，把A ，B 坐标代入y kx b =+，则有221k b k b -+=⎧⎨+=-⎩， 解得11k b =-⎧⎨=⎩， ∴一次函数的解析式为1y x =-+，反比例函数的解析式为2y x=-． （2）直线1y x =-+交y 轴于C ，(0,1)C ∴， D ，C 关于x 轴对称，(0,1)D ∴-，(2,1)B -//BD x ∴轴，12332ABD S ∆∴=⨯⨯=． （3）1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y 是反比例函数2y x=-上的两点，且120x x <<， 12y y ∴<．【知识点】反比例函数与一次函数的交点26.（2019甘肃省，26，8分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG ED⊥交DE 于点F，交CD于点G．（1）证明：ADG DCE∆≅∆；（2）连接BF，证明：AB FB=．【思路分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到90ADG C∠=∠=︒，AD DC=，DAG CDE∠=∠，即可得出ADG DCE∆≅∆；（2）延长DE交AB的延长线于H，根据DCE HBE∆≅∆，即可得出B是AH的中点，进而得到AB FB=．【解题过程】解：（1）四边形ABCD是正方形，90ADG C∴∠=∠=︒，AD DC=，又AG DE⊥，90DAG ADF CDE ADF∴∠+∠=︒=∠+∠，DAG CDE∴∠=∠，()ADG DCE ASA∴∆≅∆；（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，E是BC的中点，BE CE∴=，又90C HBE∠=∠=︒，DEC HEB∠=∠，()DCE HBE ASA∴∆≅∆，BH DC AB∴==，即B是AH的中点，又90AFH∠=︒，Rt AFH∴∆中，12BF AH AB==．【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质27. （2019甘肃省，27，8分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以BC 为直径的O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：A ADE ∠=∠；（2）若8AD =，5DE =，求BC 的长．【思路分析】（1）只要证明90A B ∠+∠=︒，90ADE B ∠+∠=︒即可解决问题；（2）首先证明210AC DE ==，在Rt ADC ∆中，6DC =，设BD x =，在Rt BDC ∆中，2226BC x =+，在Rt ABC ∆中，222(8)10BC x =+-，可得22226(8)10x x +=+-，解方程即可解决问题．【解题过程】解：（1）证明：连接OD ， DE 是切线，90ODE ∴∠=︒，90ADE BDO ∴∠+∠=︒，90ACB ∠=︒，90A B ∴∠+∠=︒，OD OB =，B BDO ∴∠=∠，ADE A ∴∠=∠．（2）解：连接CD ．ADE A ∠=∠，AE DE ∴=， BC 是O 的直径，90ACB ∠=︒，EC ∴是O 的切线，ED EC ∴=，AE EC ∴=，5DE =，210AC DE ∴==，在Rt ADC ∆中，6DC =，设BD x =，在Rt BDC ∆中，2226BC x =+，在Rt ABC ∆中，222(8)10BC x =+-， 22226(8)10x x ∴+=+-， 解得92x =，152BC ∴==．【知识点】圆周角定理；切线的性质28. （2019甘肃省，28，10分）如图，已知二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于点(1,0)A 、(3,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；（3）点E 是二次函数第四象限图象上一点，过点E 作x 轴的垂线，交直线BC 于点D ，求四边形AEBD 面积的最大值及此时点E 的坐标．【思路分析】（1）用交点式函数表达式，即可求解；（2）分当AB 为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；（3）利用()12D E AEBD S AB y y =-四边形，即可求解． 【解题过程】解：（1）用交点式函数表达式得：2(1)(3)43y x x x x =--=-+； 故二次函数表达式为：243y x x =-+；（2）①当AB 为平行四边形一条边时，如图1，则2AB PE ==，则点P 坐标为(4,3)，当点P 在对称轴左侧时，即点C 的位置，点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形， ∴点(4,3)P 或(0,3)；②当AB 是四边形的对角线时，如图2，AB 中点坐标为(2,0)设点P 的横坐标为m ，点F 的横坐标为2，其中点坐标为：22m +， 即：222m +=，解得：2m =， 故点(2,1)P -；故：点(4,3)P 或(0,3)或(2,1)-；（3）直线BC 的表达式为：3y x =-+，设点E 坐标为2(,43)x x x -+，则点(,3)D x x -+， ()22134332D E AEBD S AB y y x x x x x =-=-+-+-=-+四边形， 10-<，故四边形AEBD 面积有最大值， 当32x =，其最大值为94，此时点3(2E ，3)4-． 【知识点】二次函数的解析式；平行四边形的性质。
2019年甘肃省中考数学试卷
2019年甘肃省中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小只有一个正确选项. 1．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）在0，2，﹣3，−12这四个数中，最小的数是（）A．0B．2C．﹣3D．−1 23．（3分）使得式子√4−x有意义的x的取值范围是（）A．x≥4B．x＞4C．x≤4D．x＜44．（3分）计算（﹣2a）2•a4的结果是（）A．﹣4a6B．4a6C．﹣2a6D．﹣4a85．（3分）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（）A．48°B．78°C．92°D．102°6．（3分）已知点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，则点P的坐标是（）A．（4，0）B．（0，4）C．（﹣4，0）D．（0，﹣4）7．（3分）若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1或﹣1D．2或08．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（）A．54°B．64°C．27°D．37°9．（3分）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（）参加人数平均数中位数方差甲459493 5.3乙459495 4.8A．甲、乙两班的平均水平相同B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定D．甲班成绩优异的人数比乙班多10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.11．（3分）分解因式：x3y﹣4xy＝．12．（3分）不等式组{2−x≥02x＞x−1的最小整数解是．13．（3分）分式方程3x+1=5x+2的解为．14．（3分）在△ABC中∠C＝90°，tan A=√33，则cos B＝．15．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D是AB的中点，以A、B 为圆心，AD、BD长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，则图中阴影部分的面积为．17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE 折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为．18．（3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝．三、解答题（一）本大共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程成演算步骤.19．（4分）计算：（−12）﹣2+（2019﹣π）0−√33tan60°﹣|﹣3|．20．（4分）如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）21．（6分）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？22．（6分）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB＝CD，AC＝900mm，∠ACD＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）23．（6分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m，n）可能的结果；（2）若m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤24．（7分）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50整理数据：年级x＜6060≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100七年级01041八年级1581（说明：90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，60～80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）分析数据：年级平均数中位数众数七年级7575八年级77.580得出结论：（1）根据上述数据，将表格补充完整；（2）可以推断出年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．25．（7分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A（﹣1，n）、B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y=mx上的两点，当x1＜x2＜0时，比较y2与y1的大小关系．26．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED 交DE于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB＝FB．27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．28．（10分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．2019年甘肃省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小只有一个正确选项. 1．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．此图案是中心对称图形，符合题意；B．此图案不是中心对称图形，不合题意；C．此图案不是中心对称图形，不合题意；D．此图案不是中心对称图形，不合题意；故选：A．2．（3分）在0，2，﹣3，−12这四个数中，最小的数是（）A．0B．2C．﹣3D．−1 2【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得﹣3＜−12＜0＜2，所以最小的数是﹣3．故选：C．3．（3分）使得式子√4−x有意义的x的取值范围是（）A．x≥4B．x＞4C．x≤4D．x＜4【解答】解：使得式子√4−x有意义，则：4﹣x＞0，解得：x＜4，即x的取值范围是：x＜4．故选：D．4．（3分）计算（﹣2a）2•a4的结果是（）A．﹣4a6B．4a6C．﹣2a6D．﹣4a8【解答】解：（﹣2a）2•a4＝4a2•a4＝4a6．故选：B．5．（3分）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（）A．48°B．78°C．92°D．102°【解答】解：∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1＝48°，∴∠2＝∠3＝180°﹣48°﹣30°＝102°．故选：D．6．（3分）已知点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，则点P的坐标是（）A．（4，0）B．（0，4）C．（﹣4，0）D．（0，﹣4）【解答】解：∵点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，∴2m﹣4＝0，解得：m＝2，∴m+2＝4，则点P的坐标是：（4，0）．故选：A．7．（3分）若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1或﹣1D．2或0【解答】解：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，解得：k＝﹣1，故选：A．8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（）A．54°B．64°C．27°D．37°【解答】解：∵∠AOC＝126°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，∵∠CDB=12∠BOC＝27°．故选：C．9．（3分）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（）参加人数平均数中位数方差甲459493 5.3乙459495 4.8A．甲、乙两班的平均水平相同B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定D．甲班成绩优异的人数比乙班多【解答】解：A、甲、乙两班的平均水平相同；正确；B、甲、乙两班竞赛成绩的众数相同；不正确；C、甲班的成绩比乙班的成绩稳定；不正确；D、甲班成绩优异的人数比乙班多；不正确；故选：A．10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．③④⑤【解答】解：①由图象可知：a ＞0，c ＜0， ∴ac ＜0，故①错误； ②由于对称轴可知：−b2a＜1， ∴2a +b ＞0，故②正确；③由于抛物线与x 轴有两个交点， ∴△＝b 2﹣4ac ＞0，故③正确； ④由图象可知：x ＝1时，y ＝a +b +c ＜0， 故④正确； ⑤当x ＞−b2a时，y 随着x 的增大而增大，故⑤错误； 故选：C ．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分. 11．（3分）分解因式：x 3y ﹣4xy ＝ xy （x +2）（x ﹣2） ． 【解答】解：x 3y ﹣4xy ， ＝xy （x 2﹣4）， ＝xy （x +2）（x ﹣2）． 12．（3分）不等式组{2−x ≥02x ＞x −1的最小整数解是 0 ．【解答】解：不等式组整理得：{x ≤2x ＞−1，∴不等式组的解集为﹣1＜x ≤2， 则最小的整数解为0， 故答案为：0 13．（3分）分式方程3x+1=5x+2的解为12．【解答】解：去分母得：3x +6＝5x +5，解得：x =12，经检验x =12是分式方程的解． 故答案为：12．14．（3分）在△ABC 中∠C ＝90°，tan A =√33，则cos B ＝ 12 ．【解答】解：利用三角函数的定义及勾股定理求解． ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A =√33， 设a =√3x ，b ＝3x ，则c ＝2√3x ， ∴cos B =a c =12． 故答案为：12．15．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为 6cm 2 ．【解答】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm ，三棱柱的高为3，所以，其左视图的面积为3×2＝6（cm 2）， 故答案为6cm 2．16．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝2，点D 是AB 的中点，以A 、B 为圆心，AD 、BD 长为半径画弧，分别交AC 、BC 于点E 、F ，则图中阴影部分的面积为 2−π4 ．【解答】解：在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，CA ＝CB ＝2， ∴AB ＝2√2，∠A ＝∠B ＝45°， ∵D 是AB 的中点， ∴AD ＝DB =√2，∴S 阴＝S △ABC ﹣2•S 扇形ADE =12×2×2﹣2×45⋅π⋅(√2)2360=2−π4，故答案为：2−π417．（3分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，E 为BC 上一点，把△CDE 沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的F 处，则CE 的长为103．【解答】解：设CE ＝x ，则BE ＝6﹣x 由折叠性质可知，EF ＝CE ＝x ，DF ＝CD ＝AB ＝10， 在Rt △DAF 中，AD ＝6，DF ＝10， ∴AF ＝8，∴BF ＝AB ﹣AF ＝10﹣8＝2， 在Rt △BEF 中，BE 2+BF 2＝EF 2， 即（6﹣x ）2+22＝x 2， 解得x =103， 故答案为103．18．（3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n 幅图中有2019个菱形，则n ＝ 1010 ．【解答】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2﹣1＝3个．第3幅图中有2×3﹣1＝5个．第4幅图中有2×4﹣1＝7个．…．可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n﹣1）个．当图中有2019个菱形时，2n﹣1＝2019，n＝1010，故答案为：1010．三、解答题（一）本大共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程成演算步骤.19．（4分）计算：（−12）﹣2+（2019﹣π）0−√33tan60°﹣|﹣3|．【解答】解：原式＝4+1−√33×√3−3，＝1．20．（4分）如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）【解答】解：如图，点M即为所求，21．（6分）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？【解答】解：设共有x 人， 根据题意得：x3+2=x−92， 去分母得：2x +12＝3x ﹣27， 解得：x ＝39， ∴39−92=15，则共有39人，15辆车．22．（6分）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm ～300mm 含（300mm ），高度的范围是120mm ～150mm （含150mm ）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB ，CD 分别垂直平分踏步EF ，GH ，各踏步互相平行，AB ＝CD ，AC ＝900mm ，∠ACD ＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm ，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）【解答】解：连接BD ，作DM ⊥AB 于点M ， ∵AB ＝CD ，AB ，CD 分别垂直平分踏步EF ，GH ， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠C ＝∠ABD ，AC ＝BD ， ∵∠C ＝65°，AC ＝900， ∴∠ABD ＝65°，BD ＝900，∴BM ＝BD •cos65°＝900×0.423≈381，DM ＝BD •sin65°＝900×0.906≈815， ∵381÷3＝127，120＜127＜150， ∴该中学楼梯踏步的高度符合规定， ∵815÷3≈272，260＜272＜300， ∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．23．（6分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m，n）可能的结果；（2）若m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？【解答】解：（1）树状图如图所示：（2）∵m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解，∴m＝2，n＝3，或m＝3，n＝2，由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，小明获胜的概率为212=16，小利获胜的概率为212=16，∴小明、小利获胜的概率一样大．四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤24．（7分）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50整理数据：年级x＜6060≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100七年级01041八年级1581（说明：90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，60～80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）分析数据：年级平均数中位数众数七年级76.87575八年级77.58081得出结论：（1）根据上述数据，将表格补充完整；（2）可以推断出八年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．【解答】解：（1）七年级的平均数为1 15（74+81+75+76+70+75+75+79+81+70+74+80+91+69+82）＝76.8，八年级的众数为81；故答案为：76.8；81；（2）八年级学生的体质健康状况更好一些；理由如下：八年级学生的平均数、中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的体质健康情况更好一些；故答案为：八；（3）若七年级共有300名学生，则七年级体质健康成绩优秀的学生人数＝300×115=20（人）．25．（7分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A（﹣1，n）、B （2，﹣1）两点，与y 轴相交于点C ． （1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D 与点C 关于x 轴对称，求△ABD 的面积；（3）若M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是反比例函数y =mx 上的两点，当x 1＜x 2＜0时，比较y 2与y 1的大小关系．【解答】解：（1）∵反比例函数y =mx经过点B （2，﹣1）， ∴m ＝﹣2，∵点A （﹣1，n ）在y =−2x上， ∴n ＝2， ∴A （﹣1，2），把A ，B 坐标代入y ＝kx +b ，则有{−k +b =22k +b =−1，解得{k =−1b =1，∴一次函数的解析式为y ＝﹣x +1，反比例函数的解析式为y =−2x ．（2）∵直线y ＝﹣x +1交y 轴于C ， ∴C （0，1），∵D ，C 关于x 轴对称， ∴D （0，﹣1），∵B （2，﹣1） ∴BD ∥x 轴，∴S △ABD =12×2×3＝3．（3）∵M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是反比例函数y =−2x 上的两点，且x 1＜x 2＜0，∴y1＜y2．26．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED 交DE于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB＝FB．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH＝90°，∴Rt△AFH中，BF=12AH＝AB．27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE+∠BDO＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A．（2）解：连接CD．∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE，∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED＝EC，∴AE＝EC，∵DE＝5，∴AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，∴x2+62＝（x+8）2﹣102，解得x=9 2，∴BC=√62+(92)2=152．28．（10分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．【解答】解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB ＝PE ＝2，则点P 坐标为（4，3），当点P 在对称轴左侧时，即点C 的位置，点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形， 故：点P （4，3）或（0，3）；②当AB 是四边形的对角线时，如图2，AB 中点坐标为（2，0）设点P 的横坐标为m ，点F 的横坐标为2，其中点坐标为：m+22， 即：m+22=2，解得：m ＝2，故点P （2，﹣1）；故：点P （4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直线BC 的表达式为：y ＝﹣x +3，设点E 坐标为（x ，x 2﹣4x +3），则点D （x ，﹣x +3），S 四边形AEBD =12AB （y D ﹣y E ）＝﹣x +3﹣x 2+4x ﹣3＝﹣x 2+3x ，∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x=32，其最大值为94，此时点E（32，−34）．。
2019年甘肃省中考数学试卷(word版,含答案解析)
2019年甘肃省中考数学试卷副标题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列四个图案中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.在0，2，−3，−1这四个数中，最小的数是()2A. 0B. 2C. −3D. −123.使得式子x有意义的x的取值范围是()√4−xA. x≥4B. x>4C. x≤4D. x<44.计算(−2a)2⋅a4的结果是()A. −4a6B. 4a6C. −2a6D. −4a85.如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1=48°，那么∠2的度数是()A. 48°B. 78°C. 92°D. 102°6.已知点P(m+2,2m−4)在x轴上，则点P的坐标是()A. (4,0)B. (0,4)C. (−4,0)D. (0,−4)7.若一元二次方程x2−2kx+k2=0的一根为x=−1，则k的值为()A. −1B. 0C. 1或−1D. 2或08.如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC=126°，则∠CDB=()A. 54°B. 64°C. 27°D. 37°9.甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是()参加人数平均数中位数方差甲459493 5.3乙459495 4.8A. 甲、乙两班的平均水平相同B. 甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C. 甲班的成绩比乙班的成绩稳定D. 甲班成绩优异的人数比乙班多10.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac>0，②2a+b>0，③4ac<b2，④a+b+c<0，⑤当x>0时，y随x的增大而减小，其中正确的是()A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ③④⑤二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.分解因式：x3y−4xy=______．12.不等式组{2−x≥02x>x−1的最小整数解是______．13.分式方程3x+1=5x+2的解为______．14.在△ABC中∠C=90°，tanA=√33，则cosB=______．15.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的表面积为______．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D是AB的中点，以A、B为圆心，AD、BD长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，则图中阴影部分的面积为______．17.如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为______．18. 如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n 幅图中有2019个菱形，则n =______．三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）19. 计算：(−12)−2+(2019−π)0−√33tan60°−|−3|．四、解答题（本大题共9小题，共62.0分）20. 如图，在△ABC 中，点P 是AC 上一点，连接BP ，求作一点M ，使得点M 到AB 和AC 两边的距离相等，并且到点B 和点P 的距离相等．(不写作法，保留作图痕迹)21. 中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？22. 为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm ～300mm 含(300mm)，高度的范围是120mm ～150mm(含150mm).如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB ，CD 分别垂直平分踏步EF ，GH ，各踏步互相平行，AB =CD ，AC =900mm，∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．(结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423)23.在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．(1)请用列表或画树状图的方法表示出所有(m,n)可能的结果；(2)若m，n都是方程x2−5x+6=0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2−5x+6=0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？24.良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩(百分制)如下：七年级：74，81，75，76，70，75，75，79，81，70，74，80，91，69，82八年级：81，94，83，77，83，80，81，70，81，73，78，82，80，70，50整理数据：80906080及格，60分以下为不及格)分析数据：得出结论：(1)根据上述数据，将表格补充完整；(2)可以推断出______年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；(3)若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．25.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=m的图象相交于A(−1,n)、xB(2,−1)两点，与y轴相交于点C．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；(3)若M(x1,y1)、N(x2,y2)是反比例函数y=m上的两点，当x1<x2<0时，比较y2x与y1的大小关系．26.如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．(1)证明：△ADG≌△DCE；(2)连接BF，证明：AB=FB．27.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．(1)求证：∠A=∠ADE；(2)若AD=8，DE=5，求BC的长．28.如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C．(1)求二次函数的解析式；(2)若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A.此图案是中心对称图形，符合题意；B.此图案不是中心对称图形，不合题意；C.此图案不是中心对称图形，不合题意；D.此图案不是中心对称图形，不合题意；故选：A．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】C【解析】解：根据实数比较大小的方法，可得<0<2，−3<−12所以最小的数是−3．故选：C．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．3.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．直接利用二次根式有意义的条件及分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：使得式子有意义，则：4−x≥0，且4−x≠0，√4−x解得：x<4，即x的取值范围是：x<4．故选D．4.【答案】B【解析】解：(−2a)2⋅a4=4a2⋅a4=4a6．故选：B．直接利用积的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5.【答案】D【解析】解：∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1=48°，∴∠2=∠3=180°−48°−30°=102°．故选：D．直接利用已知角的度数结合平行线的性质得出答案．此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．6.【答案】A【解析】解：∵点P(m+2,2m−4)在x轴上，∴2m−4=0，解得：m=2，∴m+2=4，则点P的坐标是：(4,0)．故选：A．直接利用关于x轴上点的坐标特点得出m的值，进而得出答案．此题主要考查了点的坐标，正确得出m的值是解题关键．7.【答案】A【解析】解：把x=−1代入方程得：1+2k+k2=0，解得：k=−1，故选：A．把x=−1代入方程计算即可求出k的值．此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．8.【答案】C【解析】【分析】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．由∠AOC=126°，可求得∠BOC的度数，然后由圆周角定理，求得∠CDB的度数．【解答】解：∵∠AOC=126°，∴∠BOC=180°−∠AOC=54°，∵∠CDB=1∠BOC=27°．2故选：C．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了平均数，众数，中位数，方差；正确的理解题意是解题的关键．由两个班的平均数相同得出选项A正确；由众数的定义无法得出选项B，即B不正确；由方差的性质得出选项C不正确；由两个班的中位数得出选项D不正确；即可得出结论．【解答】解：A、甲、乙两班的平均水平相同；A正确；B、题干所给的信息无法得到甲、乙两班竞赛成绩的众数相同；B不正确；C、甲班的方差大于乙班的方差，所以乙班的成绩比甲班的成绩稳定；C不正确；D、乙班的中位数等于95大于甲班的中位数，甲班成绩优异的人数比乙班少；D不正确；故选A．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【解答】解：①由图象可知：a >0，c <0， ∴ac <0，故①错误； ②由于对称轴可知：−b2a <1，∴2a +b >0，故②正确；③由于抛物线与x 轴有两个交点， ∴△=b 2−4ac >0，故③正确；④由图象可知：x =1时，y =a +b +c <0， 故④正确；⑤当x >−b2a 时，y 随着x 的增大而增大，故⑤错误； 故选：C ．11.【答案】xy(x +2)(x −2)【解析】解：x 3y −4xy ， =xy(x 2−4)，=xy(x +2)(x −2)．先提取公因式xy ，再利用平方差公式对因式x 2−4进行分解．本题是考查学生对分解因式的掌握情况．因式分解有两步，第一步提取公因式xy ，第二步再利用平方差公式对因式x 2−4进行分解，得到结果xy(x +2)(x −2)，在作答试题时，许多学生分解不到位，提取公因式不完全，或者只提取了公因式． 12.【答案】0【解析】解：不等式组整理得：{x ≤2x >−1，∴不等式组的解集为−1<x ≤2， 则最小的整数解为0， 故答案为：0求出不等式组的解集，确定出最小整数解即可．此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13.【答案】12【解析】解：去分母得：3x +6=5x +5， 解得：x =12，经检验x =12是分式方程的解． 故答案为：12．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．14.【答案】12【解析】解：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=√33，设a=√3x，b=3x，则c=2√3x，∴cosB=ac =12．故答案为：12．本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，关键明确求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角(或余角)的三角函数关系式求三角函数值．15.【答案】(18+2√3)cm2【解析】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，高为√3cm，三棱柱的高为3，所以，其表面积为3×2×3+2×12×2×√3=18+2√3(cm2).故答案为(18+2√3)cm2．由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．本题考查了三视图，三视图是中考经常考查的知识内容，难度不大，但要求对三视图画法规则要熟练掌握，对常见几何体的三视图要熟悉．16.【答案】【解析】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，CA=CB=2，∴AB=2√2，∠A=∠B=45°，∵D是AB的中点，∴AD=DB=√2，，故答案为：．根据S阴影=S△ABC−2⋅S扇形ADE，计算即可．本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求面积，属于中考常考题型．17.【答案】103【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，翻折问题，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键．设CE=x，则BE=6−x由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=10，所以AF=8，BF=AB−AF=10−8=2，在Rt△BEF中利用勾股定理列式求出x的值即可求解．【解答】解：设CE=x，则BE=6−x由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=10，在Rt△DAF中，AD=6，DF=10，由勾股定理得AF=8，∴BF=AB−AF=10−8=2，在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，即(6−x)2+22=x2，，解得x=103．故答案为10318.【答案】1010【解析】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2−1=3个．第3幅图中有2×3−1=5个．第4幅图中有2×4−1=7个．….可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有(2n−1)个．当图中有2019个菱形时，2n−1=2019，n=1010，故答案为：1010．根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有2×2−1=3个，第3幅图中有2×3−1=5个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案．本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．19.【答案】解：原式=4+1−√3×√3−3，3=1．【解析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值等4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.【答案】解：如图，点M即为所求．【解析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可．本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本尺规作图的一般步骤是解题的关键．21.【答案】解：设共有x人，根据题意得：x3+2=x−92，去分母得：2x+12=3x−27，解得：x=39，∴39−92=15，答：共有39人，15辆车．【解析】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解决本题的关键．设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．22.【答案】解：连接BD，作DM⊥AB于点M，∵AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB//CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠ABD，AC=BD，∵∠C=65°，AC=900，∴∠ABD=65°，BD=900，∴BM=BD⋅cos65°=900×0.423≈381，DM=BD⋅sin65°=900×0.906≈815，∵381÷3=127，120<127<150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260<272<300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．【解析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得BM和DM的长，然后计算出该中学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题．本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．23.【答案】解：(1)树状图如图所示：(2)方程x2−5x+6=0的解为x=2或者3，若m，n都是方程x2−5x+6=0的解时，则m=2，n=2，或m=3，n=3，或m=2，n=3，或m=3，n=2若m，n都不是方程x2−5x+6=0的解时，则m=1，n=4，或m=4，n=4；由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2−5x+6=0的解的结果有4个，m，n都不是方程x2−5x+6=0的解的结果有2个，小明获胜的概率为412=13，小利获胜的概率为212=16，∴小明获胜的概率大．【解析】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出m ，n 都是方程x 2−5x +6=0的解和m ，n 都不是方程x 2−5x +6=0的解的结果数，然后根据概率公式求解． 24.【答案】(1)76.8 81；(2) 八；(3)若七年级共有300名学生，则七年级体质健康成绩优秀的学生人数=300×115=20(人)．【解析】解：(1)七年级的平均数为115(74+81+75+76+70+75+75+79+81+70+74+80+91+69+82)=76.8，八年级的众数为81；故答案为：76.8；81；(2)八年级学生的体质健康状况更好一些；理由如下：八年级学生的平均数、中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的体质健康情况更好一些；故答案为：八；(3)见答案．【分析】(1)由平均数和众数的定义即可得出结果；(2)从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个年级学生的体质健康情况更好一些；(3)由七年级总人数乘以优秀人数所占比例，即可得出结果．本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据． 25.【答案】解：(1)∵反比例函数y =m x 经过点B(2,−1)，∴m =−2，∵点A(−1,n)在y =−2x 上，∴n =2，∴A(−1,2)，把A ，B 坐标代入y =kx +b ，则有{−k +b =22k +b =−1， 解得{k =−1b =1， ∴一次函数的解析式为y =−x +1，反比例函数的解析式为y =−2x ．(2)∵直线y =−x +1交y 轴于C ，∴C(0,1)，∵D ，C 关于x 轴对称，∴D(0,−1)，∵B(2,−1)∴BD//x 轴，∴S△ABD=1×2×3=3．2(3)∵M(x1,y1)、N(x2,y2)是反比例函数y=−2上的两点，且x1<x2<0，此时y随xx的增大而增大，∴y1<y2．【解析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用反比例函数的性质，比较函数值的大小．(1)利用待定系数法即可解决求问题．(2)先求出C点，再根据对称性求出点D坐标，发现BD//x轴，利用三角形的面积公式计算即可．(3)利用反比例函数图象的性质即可解决问题．26.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG=∠C=90°，AD=DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF=90°=∠CDE+∠ADF，∴∠DAG=∠CDE，∴△ADG≌△DCE(ASA)；(2)如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE=CE，又∵∠C=∠HBE=90°，∠DEC=∠HEB，∴△DCE≌△HBE(ASA)，∴BH=DC=AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH=90°，AH=AB．∴Rt△AFH中，BF=12【解析】(1)依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∠ADG=∠C=90°，AD=DC，∠DAG=∠CDE，即可得出△ADG≌△DCE；(2)延长DE交AB的延长线于H，根据△DCE≌△HBE，即可得出B是AH的中点，进而得到AB=FB．本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质及直角三角形斜边上中线的性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．27.【答案】(1)证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE=90°，∴∠ADE+∠BDO=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OD=OB，∴∠B=∠BDO，∴∠ADE=∠A．(2)解：连接CD．∵∠ADE=∠A，∴AE =DE ，∵BC 是⊙O 的直径，∠ACB =90°，∴EC 是⊙O 的切线，∴ED =EC ，∴AE =EC ，∵DE =5，∴AC =2DE =10，在Rt △ADC 中，DC =6，设BD =x ，在Rt △BDC 中，BC 2=x 2+62，在Rt △ABC 中，BC 2=(x +8)2−102， ∴x 2+62=(x +8)2−102，解得x =92，∴BC =√62+(92)2=152．【解析】(1)只要证明∠A +∠B =90°，∠ADE +∠B =90°即可解决问题；(2)首先证明AC =2DE =10，在Rt △ADC 中，DC =6，设BD =x ，在Rt △BDC 中，BC 2=x 2+62，在Rt △ABC 中，BC 2=(x +8)2−102，可得x 2+62=(x +8)2−102，解方程即可解决问题．本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．28.【答案】解：(1)用交点式函数表达式得：y =(x −1)(x −3)=x 2−4x +3； 故二次函数表达式为：y =x 2−4x +3；(2)①当AB 为平行四边形一条边时，如图1，则AB =PE =2，则点P 坐标为(4,3)，当点P 在对称轴左侧时，即点C 的位置，点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形， 故：点P(4,3)或(0,3)；②当AB 是四边形的对角线时，如图2，AB 中点坐标为(2,0)设点P 的横坐标为m ，点F 的横坐标为2，其中点坐标为：m+22，即：m+22=2，解得：m =2，故点P(2,−1)；故：点P(4,3)或(0,3)或(2,−1)； (3)直线BC 的表达式为：y =−x +3，设点E 坐标为(x,x 2−4x +3)，则点D(x,−x +3)，S 四边形AEBD =12AB(y D −y E )=−x +3−x 2+4x −3=−x 2+3x ， ∵−1<0，故四边形AEBD 面积有最大值，当x =32，其最大值为94，此时点E(32,−34).【解析】(1)用交点式函数表达式，即可求解；(2)分当AB 为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；(3)利用S 四边形AEBD =12AB(y D −y E )，即可求解．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
甘肃省平凉市2019-2020学年中考第二次质量检测数学试题含解析
甘肃省平凉市2019-2020学年中考第二次质量检测数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C′，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过的图形面积为（）A．32πB．83πC．6πD．以上答案都不对2．如图，△ABC中，AB=AC，BC=12cm，点D在AC上，DC=4cm，将线段DC沿CB方向平移7cm 得到线段EF，点E、F分别落在边AB、BC上，则△EBF的周长是（）cm．A．7 B．11 C．13 D．163．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B，顶点为P，若△ABP组成的三角形恰为等腰直角三角形，则b2﹣4ac的值为（）A．1 B．4 C．8 D．124．有个零件(正方体中间挖去一个圆柱形孔)如图放置，它的主视图是()A．B．C．D．5．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则这个三角形的周长是（）A．9 B．11 C．13 D．11或136．在“大家跳起来”的乡村学校舞蹈比赛中，某校10名学生参赛成绩统计如图所示．对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中错误的是（）A ．众数是90B ．中位数是90C ．平均数是90D ．极差是157．下列二次函数的图象，不能通过函数y=3x 2的图象平移得到的是（ ） A ．y=3x 2+2B ．y=3（x ﹣1）2C ．y=3（x ﹣1）2+2D ．y=2x 28．下列运算正确的是（ ） A ．a ﹣3a=2aB ．（ab 2）0=ab 2C ．8=22±D ．3×27=99．如图，平行四边形 ABCD 中， E 为 BC 边上一点，以 AE 为边作正方形AEFG ，若 40BAE ∠=︒，15CEF ∠=︒，则 D ∠的度数是A ．65︒B ．55︒C ．70︒D ．75︒10．在同一平面直角坐标系中，函数y=x+k 与ky x=（k 为常数，k≠0）的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．11．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 的中点是坐标原点O ，固定点A ，B ，把正方形沿箭头方向推，使点D 落在y 轴正半轴上点D′处，则点C 的对应点C′的坐标为( )A ．32)B ．(4，1)C ．(43D ．(4，2312．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 的顶点A 的坐标为（﹣4，0），顶点B 在第二象限，∠BAO=60°，BC 交y 轴于点D ，DB ：DC=3：1．若函数（k ＞0，x ＞0）的图象经过点C ，则k 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．如果分式4xx 的值是0，那么x 的值是______. 14．当a ，b 互为相反数，则代数式a 2+ab ﹣2的值为_____．15．某公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，仍可获利20%，则这种电子产品的标价为_________元.16．如图，在△OAB 中，C 是AB 的中点，反比例函数y=kx（k ＞0）在第一象限的图象经过A ，C 两点，若△OAB 面积为6，则k 的值为_____．17．为迎接文明城市的验收工作，某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是_____． 18．计算（5ab 3）2的结果等于_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=1．把△BCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在C′处，BC′交AD 于点G ；E 、F 分别是C′D 和BD 上的点，线段EF 交AD 于点H ，把△FDE 沿EF 折叠，使点D 落在D′处，点D′恰好与点A 重合．（1）求证：△ABG≌△C′DG；（2）求tan∠ABG的值；（3）求EF的长．20．（6分）如图，已知函数kyx（x＞0）的图象经过点A、B，点B的坐标为（2，2）．过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F．一次函数y=ax+b的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E．若AC=32OD，求a、b的值；若BC∥AE，求BC的长．21．（6分）“足球运球”是中考体育必考项目之一．兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图．（说明：A级：8分﹣10分，B级：7分﹣7.9分，C级：6分﹣6.9分，D级：1分﹣5.9分）根据所给信息，解答以下问题：（1）在扇形统计图中，C对应的扇形的圆心角是_____度；（2）补全条形统计图；（3）所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在_____等级；（4）该校九年级有300名学生，请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多少人？22．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．23．（8分）如图，小明今年国庆节到青城山游玩，乘坐缆车，当登山缆车的吊箱经过点A 到达点B 时，它经过了200m ，缆车行驶的路线与水平夹角∠α＝16°，当缆车继续由点B 到达点D 时，它又走过了200m ，缆车由点B 到点D 的行驶路线与水平面夹角∠β＝42°，求缆车从点A 到点D 垂直上升的距离．(结果保留整数)(参考数据：sin16°≈0.27，cos 16°≈0.77，sin42°≈0.66，cos42°≈0.74)24．（10分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC 、AB 于点E. F ．试判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；若BD=2，BF=2，求⊙O 的半径．25．（10分）如图，在▱ABCD 中，以点4为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于点F ；再分别以点B 、F 为圆心，大于BF 的长为半径画弧，两弧交于点P ；连接AP 并廷长交BC 于点E ，连接EF（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF 是菱形； （2）若AB ＝2，AE ＝2，求∠BAD 的大小．26．（12分）计算：2﹣1|﹣2sin45°3821()227．（12分）目前节能灯在城市已基本普及，今年某省面向农村地区推广，为响应号召，某商场用3300元购进节能灯100只，这两种节能灯的进价、售价如表：()1求甲、乙两种节能灯各进多少只？()2全部售完100只节能灯后，该商场获利多少元？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【分析】从图中可以看出，线段AB扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是AC，小圆半径是BC，圆心角是60度，所以阴影面积=大扇形面积-小扇形面积．【详解】阴影面积=() 603616103603π⨯-=π．故选D．【点睛】本题的关键是理解出，线段AB扫过的图形面积为一个环形．2．C【解析】【分析】直接利用平移的性质得出EF=DC=4cm，进而得出BE=EF=4cm，进而求出答案．【详解】∵将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，∴EF=DC=4cm，FC=7cm，∵AB=AC，BC=12cm，∴∠B=∠C ，BF=5cm ， ∴∠B=∠BFE ， ∴BE=EF=4cm ，∴△EBF 的周长为：4+4+5=13（cm ）． 故选C ． 【点睛】此题主要考查了平移的性质，根据题意得出BE 的长是解题关键． 3．B 【解析】 【分析】设抛物线与x 轴的两交点A 、B 坐标分别为（x 1，0），（x 2，0），利用二次函数的性质得到P （-2b a ，244ac b a-），利用x 1、x 2为方程ax 2+bx+c=0的两根得到x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=ca，则利用完全平方公式变形得到AB=|x 1-x 2|=a ，接着根据等腰直角三角形的性质得到|244ac b a-|=12•a ，然后进行化简可得到b 2-1ac 的值． 【详解】设抛物线与x 轴的两交点A 、B 坐标分别为（x 1，0），（x 2，0），顶点P 的坐标为（-2b a ，244ac b a-），则x 1、x 2为方程ax 2+bx+c=0的两根， ∴x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=ca，∴AB=|x 1-x 2，∵△ABP 组成的三角形恰为等腰直角三角形，∴|244ac b a -|=12•a ，222(4)16b ac a -=2244b ac a-， ∴b 2-1ac=1． 故选B ． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和等腰直角三角形的性质．4．C【解析】【分析】根据主视图的定义判断即可．【详解】解：从正面看一个正方形被分成三部分，两条分别是虚线，故C正确．故选：C．【点睛】此题考查的是主视图的判断，掌握主视图的定义是解决此题的关键．5．C【解析】试题分析：先求出方程x2－6x＋8＝0的解，再根据三角形的三边关系求解即可.解方程x2－6x＋8＝0得x=2或x=4当x=2时，三边长为2、3、6，而2+3＜6，此时无法构成三角形当x=4时，三边长为4、3、6，此时可以构成三角形，周长=4+3+6=13故选C.考点：解一元二次方程，三角形的三边关系点评：解题的关键是熟记三角形的三边关系：任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边.6．C【解析】【分析】由统计图中提供的数据，根据众数、中位数、平均数、极差的定义分别列出算式，求出答案：【详解】解：∵90出现了5次，出现的次数最多，∴众数是90；∵共有10个数，∴中位数是第5、6个数的平均数，∴中位数是（90+90）÷2=90；∵平均数是（80×1+85×2+90×5+95×2）÷10=89；极差是：95﹣80=1．∴错误的是C．故选C．7．D【解析】分析：根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各选项分析判断后利用排除法求解：A、y=3x2的图象向上平移2个单位得到y=3x2+2，故本选项错误；B、y=3x2的图象向右平移1个单位得到y=3（x﹣1）2，故本选项错误；C、y=3x2的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到y=3（x﹣1）2+2，故本选项错误；D、y=3x2的图象平移不能得到y=2x2，故本选项正确．故选D．8．D【解析】【分析】直接利用合并同类项法则以及二次根式的性质、二次根式乘法、零指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：A、a﹣3a=﹣2a，故此选项错误；B、（ab2）0=1，故此选项错误；C 故此选项错误；D，正确．故选D．【点睛】此题主要考查了合并同类项以及二次根式的性质、二次根式乘法、零指数幂的性质，正确把握相关性质是解题关键．9．A【解析】分析：首先求出∠AEB，再利用三角形内角和定理求出∠B，最后利用平行四边形的性质得∠D=∠B即可解决问题．详解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AEF=90°，∵∠CEF=15°，∴∠AEB=180°-90°-15°=75°，∵∠B=180°-∠BAE-∠AEB=180°-40°-75°=65°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=65°故选A．点睛：本题考查正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．10．B【解析】【分析】【详解】选项A中，由一次函数y=x+k的图象知k<0，由反比例函数y=的图象知k>0，矛盾，所以选项A错误；选项B中，由一次函数y=x+k的图象知k>0，由反比例函数y=的图象知k>0，正确，所以选项B正确；由一次函数y=x+k的图象知，函数图象从左到右上升，所以选项C、D错误．故选B.11．D【解析】【分析】由已知条件得到AD′=AD=4，AO=12AB=2，根据勾股定理得到OD′=22AD OA'-=23，于是得到结论．【详解】解：∵AD′=AD=4，AO=12AB=1，∴OD′=22AD OA'-=23，∵C′D′=4，C′D′∥AB，∴C′（4，23），故选：D．【点睛】本题考查正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题关键．12．D【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为（﹣4，0），∴BC=4，∵DB：DC=3：1，∴B （﹣3，OD），C（1，OD），∵∠BAO=60°，∴∠COD=30°，∴OD=，∴C（1，），∴k=，故选D．点睛：本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1．【解析】【分析】根据分式为1的条件得到方程，解方程得到答案．【详解】由题意得，x＝1，故答案是：1．【点睛】本题考查分式的值为零的条件，分式为1需同时具备两个条件：（1）分子为1；（2）分母不为1．这两个条件缺一不可． 14．﹣1． 【解析】 分析：由已知易得：a+b=0，再把代数式a 1+ab-1化为为a(a+b)-1即可求得其值了. 详解：∵a 与b 互为相反数， ∴a+b=0，∴a 1+ab-1=a(a+b)-1=0-1=-1. 故答案为：-1.点睛：知道“互为相反数的两数的和为0”及“能够把a 1+ab-1化为为a(a+b)-1”是正确解答本题的关键. 15．28 【解析】设这种电子产品的标价为x 元， 由题意得：0.9x−21=21×20%， 解得：x=28，所以这种电子产品的标价为28元． 故答案为28. 16．4 【解析】 【分析】分别过点A 、点C 作OB 的垂线，垂足分别为点M 、点N ，根据C 是AB 的中点得到CN 为AMB V 的中位线，然后设MN NB a ==，CN b =，2AM b =，根据OM AM ON CN ⋅=⋅，得到OM a =，最后根据面积32236a b ab =⋅÷==求得2ab =，从而求得224k a b ab =⋅==. 【详解】分别过点A 、点C 作OB 的垂线，垂足分别为点M 、点N ，如图Q 点C 为AB 的中点，∴CN 为AMB V 的中位线，∴MN NB a ==，CN b =，2AM b =， Q OM AM ON CN ⋅=⋅，∴()2OM b OM a b ⋅=+⋅， ∴OM a =，∴32236AOB S a b ab =⋅÷==V ， ∴2ab =，∴224k a b ab =⋅==.故答案为：4. 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义及三角形的中位线定理，关键是正确作出辅助线，掌握在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是2k ，且保持不变. 17．13【解析】 【分析】将三个小区分别记为A 、B 、C ，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可． 【详解】解：将三个小区分别记为A 、B 、C ， 列表如下：由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种， 所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为39＝13． 故答案为：13． 【点睛】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．18．25a2b1．【解析】【分析】代数式内每项因式均平方即可.【详解】解：原式=25a2b1.【点睛】本题考查了代数式的乘方.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）证明见解析（2）7/24（3）25/6【解析】（1）证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成，∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，∴∠ABG=∠ADE。
甘肃 2019年中考数学 真题(含答案)
甘肃2019年中考数学一、选择题1.在0，2，﹣3，﹣这四个数中，最小的数是()A．0B．2C．﹣3D．﹣2.下列四个图案中，是中心对称图形的是()A．B．C．D．3.使得式子有意义的x的取值范围是()A．x≥4B．x＞4C．x≤4D．x＜44.已知点P(m+2，2m﹣4)在x轴上，则点P的坐标是()A．(4，0)B．(0，4)C．(﹣4，0)D．(0，﹣4)5.计算(﹣2a)2•a4的结果是()A．﹣4a6B．4a6C．﹣2a6D．﹣4a86.如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1=48°，那么∠2的度数是()A．48°B．78°C．92°D．102°7.若一元二次方程x2﹣2kx+k2=0的一根为x=﹣1，则k的值为()A．﹣1B．0C．1或﹣1D．2或08.如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC=126°，则∠CDB=()A．54°B．64°C．27°D．37°9.甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是()A．甲、乙两班的平均水平相同B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定D．甲班成绩优异的人数比乙班多10.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象.对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小.其中正确的是()A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤二、填空题11.分解因式：x3y﹣4xy=．12.不等式组的最小整数解是．13.分式方程=的解为．14.在△ABC中∠C=90°，tanA=，则cosB=．15.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D是AB的中点，以A、B为圆心，AD、BD长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，则图中阴影部分的面积为．17.如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB 边上的F处，则CE的长为．18.如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n=．三、计算题19.计算：(﹣)﹣2+(2019﹣π)0﹣tan60°﹣|﹣3|．四、作图题20.如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．(不写作法，保留作图痕迹)五、解答题21.经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？22.为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含(300mm)，高度的范围是120mm～150mm(含150mm)．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．(结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423)23.在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．(1)请用列表或画树状图的方法表示出所有(m，n)可能的结果；(2)若m，n都是方程x2﹣5x+6=0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6=0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？24.良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩(百分制)如下：整理数据：(说明：90分及以上为优秀，80～90分为良好，60～80分为及格，60分以下为不及格)分析数据：得出结论：(1)根据上述数据，将表格补充完整；(2)可以推断出年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；(3)若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．25.如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=的图象相交于A(﹣1，n)、B(2，﹣1)两点，与y 轴相交于点C．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)若点D 与点C 关于x 轴对称，求△ABD 的面积；(3)若M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)是反比例函数y=上的两点，当x 1＜x 2＜0时，比较y 2与y 1的大小关系．26.如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，连接DE，过点A 作AG⊥ED 交DE 于点F，交CD 于点G．(1)证明：△ADG≌△DCE；(2)连接BF，证明：AB=FB．27.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D，切线DE 交AC 于点E．(1)求证：∠A=∠ADE；(2)若AD=8，DE=5，求BC 的长．六、综合题28.如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C．(1)求二次函数的解析式；(2)若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．参考答案1.答案为：C.2.答案为：A.3.答案为：D.4.答案为：A.5.答案为：B.6.答案为：D.7.答案为：A.8.答案为：C.9.答案为：A.10.答案为：C.11.答案为：xy(x+2)(x﹣2)．12.答案为：013.答案为：．14.答案为：．15.答案为：(18+2)cm2．16.答案为：2﹣17.答案为：．18.答案为：1010．解析：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2﹣1=3个．第3幅图中有2×3﹣1=5个．第4幅图中有2×4﹣1=7个．…．可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有(2n﹣1)个．当图中有2019个菱形时，2n﹣1=2019，n=1010，故答案为：1010．19.原式=1．20.解：如图，点M即为所求，21.解：设共有x人，根据题意得：+2=，去分母得：2x+12=3x﹣27，解得：x=39，∴=15，则共有39人，15辆车．22.解：连接BD，作DM⊥AB于点M，∵AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠ABD，AC=BD，∵∠C=65°，AC=900，∴∠ABD=65°，BD=900，∴BM=BD•cos65°=900×0.423≈381，DM=BD•sin65°=900×0.906≈815，∵381÷3=127，120＜127＜150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260＜272＜300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．23.解：(1)树状图如图所示：(2)∵m，n都是方程x2﹣5x+6=0的解，∴m=2，n=3，或m=3，n=2，由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2﹣5x+6=0的解的结果有2个，m，n都不是方程x2﹣5x+6=0的解的结果有2个，小明获胜的概率为=，小利获胜的概率为=，∴小明、小利获胜的概率一样大．24.解：(1)七年级的平均数为(74+81+75+76+70+75+75+79+81+70+74+80+91+69+82)=76.8，八年级的众数为81；故答案为：76.8；81；(2)八年级学生的体质健康状况更好一些；理由如下：八年级学生的平均数、中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的体质健康情况更好一些；故答案为：八；(3)若七年级共有300名学生，则七年级体质健康成绩优秀的学生人数=300×=20(人)．25.解：(1)∵反比例函数y=经过点B(2，﹣1)，∴m=﹣2，∵点A(﹣1，n)在y=上，∴n=2，∴A(﹣1，2)，把A，B 坐标代入y=kx+b，则有，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣x+1，反比例函数的解析式为y=﹣．(2)∵直线y=﹣x+1交y 轴于C，∴C(0，1)，∵D，C 关于x 轴对称，∴D(0，﹣1)，∵B(2，﹣1)∴BD∥x 轴，∴S △ABD =×2×3=3．(3)∵M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)是反比例函数y=﹣上的两点，且x 1＜x 2＜0，∴y 1＜y 2．26.解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADG=∠C=90°，AD=DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF=90°=∠CDE+∠ADF，∴∠DAG=∠CDE，∴△ADG≌△DCE(ASA)；(2)如图所示，延长DE 交AB 的延长线于H，∵E 是BC 的中点，∴BE=CE，又∵∠C=∠HBE=90°，∠DEC=∠HEB，∴△DCE≌△HBE(ASA)，∴BH=DC=AB，即B 是AH 的中点，又∵∠AFH=90°，∴Rt△AFH 中，BF=AH=AB．27.(1)证明：连接OD，∵DE 是切线，∴∠ODE=90°，∴∠ADE+∠BDO=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OD=OB，∴∠B=∠BDO，∴∠ADE=∠A．(2)解：连接CD．∵∠ADE=∠A，∴AE=DE，∵BC 是⊙O 的直径，∠ACB=90°，∴EC 是⊙O 的切线，∴ED=EC，∴AE=EC，∵DE=5，∴AC=2DE=10，在Rt△ADC中，DC=6，设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+62，在Rt△ABC中，BC2=(x+8)2﹣102，∴x2+62=(x+8)2﹣102，解得x=，∴BC==．28.解：(1)用交点式函数表达式得：y=(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y=x2﹣4x+3；(2)①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB=PE=2，则点P坐标为(4，3)，当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P(4，3)或(0，3)；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为(2，0)设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，即：=2，解得：m=2，故点P(2，﹣1)；故：点P(4，3)或(0，3)或(2，﹣1)；(3)直线BC的表达式为：y=﹣x+3，设点E坐标为(x，x2﹣4x+3)，则点D(x，﹣x+3)，S四边形AEBD=AB(yD﹣yE)=﹣x+3﹣x2+4x﹣3=﹣x2+3x，∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x=，其最大值为，此时点E(，﹣)．第11页共11页。
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平凉市2019年中考数学试题及答案（试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1．下列四个几何体中，是三棱柱的为（）A． B．C． D．2．如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是（）A．0 B．1 C．2 D．33．下列整数中，与最接近的整数是（）A．3 B．4 C．5 D．64．华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A．7×10﹣7B．0.7×10﹣8C．7×10﹣8D．7×10﹣95．如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换6．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．720°7．不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）A．x≤3 B．x≤﹣3 C．x≥3 D．x≥﹣38．下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（）A．①B．②C．③D．④9．如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°10．如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC →CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.11．中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点．12．（4分）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：实验者德•摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数6140 4040 10000 36000 806403109 2048 4979 18031 39699 出现“正面朝上”的次数频率0.506 0.507 0.498 0.501 0.492 请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为（精确到0.1）．13．因式分解：xy2﹣4x＝．14．关于x的一元二次方程x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为．15．将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为．16．把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于．17．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．18．已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是．三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤19．（6分）计算：（﹣2）2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）020．（6分）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？21．（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝．22．（8分）如图①是图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）．23．（10分）2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．24．（8分）为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：收集数据：七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．整理数据：40≤x≤49 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100 七年级0 1 0 a7 1八年级 1 0 0 7 b 2 分析数据：平均数众数中位数七年级78 75 c八年级78 d80.5 应用数据：（1）由上表填空：a＝，b＝，c＝，d＝．（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．25．（10分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y＝﹣x+b的图象于点M，交反比例函数y＝上的图象于点N．若PM＞PN，结合函数图象直接写出a 的取值范围．26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE＝2，求⊙D的半径．27．（10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH 的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°．28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1．C 2.D 3.A 4.D 5.B 6.C 7.A 8.B 9. C 10.B二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.11．（﹣1，1）． 12． 0.5． 13． x（y+2）（y﹣2）． 14． 4 15． y＝（x﹣2）2+1．16． 4﹣π． 17．或 18． 13a+21b．三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤19．解：（﹣2）2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0，＝4﹣（2﹣）﹣2×+1，＝4﹣2+﹣+1，＝3．20．解：设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元，根据题意可得：，解得：，答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．21．解：（1）如图⊙O即为所求．（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E．由题意OE＝4，BE＝EC＝3，在Rt△OBE中，OB＝＝5，∴S圆O＝π•52＝25π．故答案为25π．22．解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．∵∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°，∴四边形CEHF是矩形，∴CE＝FH，在Rt△ACE中，∵AC＝40cm，∠A＝60°，∴CE＝AC•sin60°＝34.6（cm），∴FH＝CE＝34.6（cm）∵DH＝49.6cm，∴DF＝DH﹣FH＝49.6﹣34.6＝15（cm），在Rt△CDF中，sin∠DCF＝＝＝，∴∠DCF＝30°，∴此时台灯光线为最佳．23．解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是；（2）画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为＝．四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．24．解：（1）由题意知a＝11，b＝10，将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94，∴其中位数c＝＝78，八年级成绩的众数d＝81，故答案为：11，10，78，81；（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1200×＝90（人）；（3）八年级的总体水平较好，∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，∴八年级得分高的人数相对较多，∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可）．25．解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A （1，3），B（3，1）两点，∴3＝，3＝﹣1+b，∴k＝3，b＝4，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y＝，y＝﹣x+4；（2）由图象可得：当1＜a＜3时，PM＞PN．26．（1）证明：连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝60°，∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AC是⊙D的切线；（2）解：连接AE，∵AD＝DE，∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝DE，∠AED＝60°，∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，∴∠EAC＝∠C，∴AE＝CE＝2，∴⊙D的半径AD＝2．27．解：延长A1B1至E，使EB1＝A1B1，连接EM1C、EC1，如图所示：则EB1＝B1C1，∠EB1M1中＝90°＝∠A1B1M1，∴△EB1C1是等腰直角三角形，∴∠B1EC1＝∠B1C1E＝45°，∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，∴∠M1C1N1＝90°+45°＝135°，∴∠B1C1E+∠M1C1N1＝180°，∴E、C1、N1，三点共线，在△A1B1M1和△EB1M1中，，∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS），∴A1M1＝EM1，∠1＝∠2，∵A1M1＝M1N1，∴EM1＝M1N1，∴∠3＝∠4，∵∠2+∠3＝45°，∠4+∠5＝45°，∴∠1＝∠2＝∠5，∵∠1+∠6＝90°，∴∠5+∠6＝90°，∴∠A1M1N1＝180°﹣90°＝90°．28．解：（1）由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12），即：﹣12a＝4，解得：a＝﹣，则抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；（2）存在，理由：点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），则AC＝5，AB＝7，BC＝4，∠OAB＝∠OBA＝45°，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：y＝﹣x+4…①，同理可得直线AC的表达式为：y＝x+4，设直线AC的中点为M（﹣，4），过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为﹣，同理可得过点M与直线AC垂直直线的表达式为：y＝﹣x+…②，①当AC＝AQ时，如图1，则AC＝AQ＝5，设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），故点Q（1，3）；②当AC＝CQ时，如图1，CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝4﹣5，则QM＝MB＝，故点Q（，）；③当CQ＝AQ时，联立①②并解得：x＝（舍去）；故点Q的坐标为：Q（1，3）或（，）；（3）设点P（m，﹣m2+m+4），则点Q（m，﹣m+4），∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，PN＝PQ sin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣m2+m，∵﹣＜0，∴PN有最大值，当m＝时，PN的最大值为：．。