江苏省南京市九年级上学期数学10月月考试卷
B . 2
C . 3
D . 4
2. （2分） 若n（ ） 是关于x的方程 的根，则m＋n的值为
A . 1
B . 2
C . －1
D . －2
3. （2分） 若我们把十位上的数字比个位和百位上的数字都大的三位数称为凸数，如：786，465．则由1，2，3这三个数字构成的，数字不重复的三位数是“凸数”的概率是（ ）
（1） 若甲抽出的数字是2，乙抽出的数字是-1，它们恰好是方程ax-y=5的解，求a的值；
（2） 求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax-y=3的解得概率（请用树状图或列表法求解）
19. （5分） (2017·陕西) 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF，CE交于点G．求证：AG=CG．
江苏省南京市九年级上学期数学10月月考试卷
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、2018·松桃模拟) 如图，矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO.若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM＝CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB∶OE＝3∶2.其中正确结论的个数是（ ）
20. （10分） 根据下列问题，列出关于 的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式：
（1） 两连续偶数的积是120，求这两个数中较小的数．
（2） 绿苑小区住宅设计中，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多11米，那么绿地的长为多少？
（3） 某种产品原来成本价是25元，后经过技术改进，连续二次降低成本，现在这种产品的成本价仅16元，试问平均每次降低成本的百分率为多少?
13. （1分） (2016八上·灌阳期中) 如图所示，在△ABC中，AB=5，BC=7，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为________．
14. （1分） (2018·娄底模拟) 在实数 、 、 、 、0.3131131113中任意取一个数，其中恰好是无理数的概率是________．
B . 4
C . 4
D . 8
10. （2分） (2018九上·江干期末) 已知，如图一张三角形纸片ABC，边AB长为10cm，AB边上的高为15cm，在三角形内从左到右叠放边长为2的正方形小纸片，第一次小纸片的一条边都在AB上，依次这样往上叠放上去，则最多能叠放的正方形的个数是（ ）.
A . 12
17. （5分） 解下列方程：
（1） （x﹣1）2﹣3=0
（2） 2x2﹣5x+2=0（配方法）
（3） 2（x2﹣2）=7x
（4） 3x（x﹣2）=x﹣2．
18. （5分） (2017九上·深圳期中) 在学习“二元一次方程组的解”时，数学张老师设计了一个数学活动，有A、B两组卡片，每组各三张，A组卡片上分别写有0，1，2；B组卡片上分别写有-3，-1，1。每张卡片除正面写有不同数字外，其余均相同。甲从A组随机抽取一张记为x，乙从B组随机抽取一张记为y。
21. （11分） (2018·包头) 某公司招聘职员两名，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了笔试和面试，各项成绩满分均为100分，然后再按笔试占60%、面试占40%计算候选人的综合成绩（满分为100分）．
他们的各项成绩如下表所示：
修造人
笔试成绩/分
面试成绩/分
甲
90
88
乙
84
92
丙
x
90
丁
88
86
（1） 直接写出这四名候选人面试成绩的中位数；
B . 13
C . 14
D . 15
二、 填空题 (共6题；共6分)
11. （1分） 在一个不透明的布袋中装有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝球共200个，墨墨通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球和蓝色球的频率稳定在25%和55%，则口袋中可能有黄球________个．
12. （1分） (2017·浙江模拟) 若 ，则代数式 的值为________．
A . 3000（1+x）2=5000
B . 3000x2=5000
C . 3000（1+x%）2=5000
D . 3000（1+x）+3000（1+x）2=5000
7. （2分） (2018·宜宾模拟) 已知下列命题：①对顶角相等；②若a＞b＞0，则 ＜ ；③对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；④抛物线y=x2﹣2x与坐标轴有3个不同交点；⑤边长相等的多边形内角都相等．从中任选一个命题是真命题的概率为（ ）
A .
B .
C .
D .
8. （2分） 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（ ）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） (2017八下·蒙阴期中) 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2 ，DE=2，则四边形OCED的面积（ ）
A . 2
A .
B .
C .
D .
4. （2分） 下列说法正确的是（ ）
A . “明天的降水概率是80%”表示明天会有80%的地方下雨
B . 为了解学生视力情况，抽取了500名学生进行调查，其中的样本是500名学生
C . 要了解我市旅游景点客流量的情况，采用普查的调查方式
D . 一组数据5，1，3，6，9的中位数是5
15. （1分） (2017·普陀模拟) 如果关于x的方程x2﹣3x+m=0没有实数根，那么m的取值范围是________．
16. （1分） (2020七上·天桥期末) 下列图形都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的，照此规律排列下去，则第20个图中小正方形的个数是________
三、 解答题 (共9题；共77分)
5. （2分） 已知当x=2时，多项式x2-2mx+4的值为-4，那么当x为何值时，该多项式的值为11？（ ）
A . 7
B . -1
C . 3
D . 7或-1
6. （2分） (2018·秦皇岛模拟) 某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3000万元，预计2009年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
江苏省南京市2020-2021学年南京市鼓楼实验中学九年级上数学10月月考试卷含答案
图（1）
图（2）
27．（ 2 3 2 3 分）如图，把一块含 45°的直角三角板 AOB 放置在以 O 为原点的直角坐标系中，A 点的
坐标为（0，2），直线 x 2 交 x 轴于点 B．P 为线段 AB 上一动点，作直线 PC⊥PO，交直线 x 2 于点
C．过 P 点作直线 MN 平行于 x 轴，交 y 轴于点 M，交直线 x 2 于点 N．
DBI
°．
16．在⊙O 中，AB 是直径， AB 4 ，C 是圆上除 A、B 外的一点，D、E 分别是弧 AC、弧 BC 的中点，M
是弦 DE 的中点，则 CM 的取值范围是
．
三、解答题（共 11 小题）
17．（每小题 4 分）解一元二次方程：
（1） x2 4x 1 0 （配方法）
（2）用公式法解方程： 2x2 3x 1 0 ．
径为
．
13．如图，扇形的圆心角为 90°，半径 OC＝4，∠AOC＝30°，CD⊥OB 于点 D，则阴影部分的面积是
．
14．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ABC＝30°，AC＝6，则弧 AC 的长为
．
（第 14 题）
（第 15 题）
15．如图，点 I 是△ABC 的内心，连接 AI 并延长交△ABC 的外接圆于点 D，若∠ACB＝70°，则
2020 鼓实初三上阶段调研数学学科模拟练习卷
一、选择题（共 6 小题，每小题 2 分）
1．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A． 3x2 2 1 0 x
B． 5x2 6 y 3 0
C． ax2 bx c 0
D． 3x2 2x 1 0
2．一元二次方程 x2 4x 5 0 的根的情况是（ ）
2021学年江苏省南京市玄武区科利华中学九年级(上)第一次月考数学试卷(10月份)(附答案详解)
2020-2021学年江苏省南京市玄武区科利华中学九年级（上）第一次月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.已知⊙O的半径为2，点A与点O的距离为4，则点A与⊙O的位置关系是()A. 点A在⊙O内B. 点A在⊙O上C. 点A在⊙O外D. 不能确定2.将一元二次方程x2+x=1化成一般形式ax2+bx+c=0(a>0)之后，一次项系数和常数项分別是()A. −1，1B. 1，1C. −1，−1D. 1，−13.某服装原价为300元，连续两次涨价a%后，售价为363元，则a的值为()A. 5B. 10C. 15D. 204.已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是()A. −2B. 0C. 1D. 25.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠BOD等于()A. 20°B. 40°C. 80°D. 70°6.如图，已知一次函数y=−x+2√2的图象与坐标轴分别交于A、B两点，⊙O的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，则PM的最小值为()A. 2√2B. √2C. √5D. √3二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）7.已知方程x2−6x+k=0的一个根是2，则k的值为______．=0配方完成后的方程为______．8.一元二次方程y2−y−349.已知⊙O的半径r=2，圆心O到直线l的距离d是方程x2−5x+6=0的解，则直线l与⊙O的位置关系是______．10.在⊙O中，直径AB=4，弦CD⊥AB于P，OP=√3，则弦CD的长为______ ．11.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=130°，则∠BOD=______°.12.关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．13.如图AB、AC、BD是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若AB=5，BD=2，则AC的长是______．14.已知，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，点E在⊙O上，OE//AC，连结AE，若∠AEO=20°，则∠B的度数是______ ．15.如图，以点O为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦长AB的取值范围是______．16.如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.在⊙O上存在点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形是平行四边形，请写出Q点的坐标______．三、解答题（本大题共9小题，共68.0分）17.解方程：(1)2x2=6；(2)x2+4x−1=0；(3)(x−2)(x−4)=2．18.关于x的一元二次方程x2+3x+m−1=0的两个实数根分别为x1、x2．(1)求m的取值范围；(2)若2(x1+x2)+x1x2+10=0，求m的值．19.如图，CD是圆O的直径，点A在DC的延长线上，∠EOD=84°，AE交圆O于点B，且AB=OC.求∠A的度数．20.如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏．已知墙长9m，问围成矩形的长和宽各是多少？21.如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=55°，以BC为直径作⊙O，分别交AB、AC与E、F．(1)求BF⏜的度数；(2)求证：BE=CF．22.已知△ABC．(1)作△ABC的外接圆⊙O；(2)P是⊙O外一点，在⊙O上找一点M，使PM与⊙O相切．(用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法)23.某水产店每天购进一种高档海鲜500千克，预计每千克盈利10元，当天可全部售完，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．当天剩余的海鲜全部以每千克盈利5元的价格卖给某饭店，如果该水产店要保证当天盈利6500元，那么每千克应涨价多少元？24.如图，O为菱形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．(1)求证：CD与⊙O相切；(2)若菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60°，求⊙O的半径．25.已知到直线l的距离等于a的所有点的集合是与直线l平行且距离为a的两条直线l1、l2(如图①)．(1)在图②的平面直角坐标系中，画出到直线y=x+2√2的距离为1的所有点的集合的图形．并写出该图形与y轴交点的坐标．(2)试探讨在以坐标原点O为圆心，r为半径的圆上，到直线y=x+2√2的距离为1的点的个数与r的关系．(3)如图③，若以坐标原点O为圆心，2为半径的圆上只有两个点到直线y=x+b的距离为1，则b的取值范围为______．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵⊙O的半径为2，点A与点O的距离为4，即A与点O的距离大于圆的半径，所以点A与⊙O外．故选：C．根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．2.【答案】D【解析】解：将一元二次方程x2+x=1化成一般形式ax2+bx+c=0(a>0)之后，变为x2+x−1=0，故一次项系数和常数项分别是：1，−1．故选：D．直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键．3.【答案】B【解析】解：依题意，得：300(1+a%)2=363，解得：a1=10，a2=−210(舍去)．故选：B．根据该服装的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：设关于x的一元二次方程x2+x+m=0的另一个实数根是α，∵关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1，∴α+1=−1，∴α=−2．故选：A．首先关于x的一元二次方程x2+x+m=0的另一个实数根是α，然后根据根与系数的关系，即可得α+1=−1，继而求得答案．此题考查了根与系数的关系．此题难度不大，注意掌握若二次项系数为1，x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=−p，x1x2=q．5.【答案】B【解析】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∴B̂C=B̂D，∴∠BOD=2∠CAB=2×20°=40°．故选B．由线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，根据垂径定理的即可求得：B̂C=B̂D，然后由圆周角定理，即可求得答案．此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．6.【答案】D【解析】【分析】连结OM、OP，作OH⊥AB于H，如图，先利用坐标轴上点的坐标特征求出A点和BAB=2，再根据切线的点坐标，则可判断△OAB为等腰直角三角形，从而得到OH=12性质得OM⊥PM，利用勾股定理得到PM=√OP2−1，则可判断OP的长最小时，PM 的长最小，然后利用垂线段最短得到OP的最小值，再计算PM的最小值．本题考查了切线的性质．解决本题的关键是用OP、OM表示PM，利用OP的最小值计算PM的最小值．【解答】解：连结OM、OP，作OH⊥AB于H，如图，当x=0时，y=−x+2√2=2√2，则A(0,2√2)，当y=0时，−x+2√2=0，解得x=2√2，则B(2√2,0)，AB=2，所以△OAB为等腰直角三角形，则AB=√2OA=4，OH=12因为PM为切线，所以OM⊥PM，所以PM=√OP2−OM2=√OP2−1，当OP的长最小时，PM的长最小，而OP=OH=2时，OP的长最小，所以PM的最小值为√22−1=√3．故选D．7.【答案】8【解析】解：把x=2代入x2−6x+k=0得4−12+k=0，解得k=8．故答案为8．把x=2代入x2−6x+k=0得4−12+k=0，然后解关于k的一次方程即可．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．)2=18.【答案】(y−12=0，【解析】解：y2−y−34y2−y=3，4=1，y2−y+14)2=1，(y−12)2=1．故答案为(y−12根据配方法即可求出答案．本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．9.【答案】相切或相离【解析】解：x2−5x+6=0，(x−3)(x−2)=0，x=3或2，当d=3时，则d>r，所以直线l与⊙O的位置关系是相离；当d=2时，则d=r，所以直线l与⊙O的位置关系是相切；则直线l与⊙O的位置关系是：相切或相离；故答案为：相切或相离．先解方程，根据距离d与r的大小关系得出：直线与圆的位置关系．本题考查了一元二次方程的解法及直线与圆的位置关系，判断直线和圆的位置关系时：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，①直线l和⊙O相交⇔d<r；②直线l和⊙O相切⇔d=r；③直线l和⊙O相离⇔d>r．10.【答案】2【解析】解：连接OC，∵在⊙O中，直径AB=4，AB=2，∴OA=OC=12∴弦CD⊥AB于P，OP=√3，∴CP=√OC2−OP2=1，∴CD=2CP=2．故答案为：2．首先连接OC ，由弦CD ⊥AB 于P ，OP =√3，利用勾股定理即可求得CP 的长，然后由垂径定理求得弦CD 的长．此题考查了垂径定理以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．11.【答案】100【解析】解：∵∠A +∠C =180°，∴∠A =180°−130°=50°，∴∠BOD =2∠A =100°．故答案为100．先根据圆内接四边形的性质得到∠A =180°−∠C =50°，然后根据圆周角定理求∠BOD ． 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆内接四边形的性质．12.【答案】k >−1且k ≠0【解析】解：由已知得：{k ≠0△=b 2−4ac >0， 即{k ≠04+4k >0， 解得：k >−1且k ≠0．故答案为：k >−1且k ≠0．由方程有两个不等实数根可得出关于k 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，解题的关键是得出关于k 的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式(或不等式组)是关键．13.【答案】3【解析】解：∵AB 、AC 、BD 是圆O 的切线，∴AC =AP ，BP =BD =2，∵AP=AB−BP=5−2=3，∴AC=3．故答案为3．根据切线长定理得到AC=AP，BP=BD=2，然后求出AP即可．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．14.【答案】50°【解析】解：延长EO交AB于点F，∵OE//AC，点O是BC的中点，∴OF是∠ABC的中位线，∴ÂG=B̂G，∴∠C=2∠AEO=40°，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°−40°=50°．故答案为：50°．延长EO交AB于点F，⊙O于点G，根据OE//AC，点O是BC的中点，故OF是∠ABC的中位线，故可得出∠C的度数，再由BC是⊙O的直径得出∠BAC的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．15.【答案】8<AB≤10【解析】解：当AB与小圆相切时，OC⊥AB，则AB=2AC=2×√25−9=2×4=8；当AB过圆心时最长即为大圆的直径10．则弦长AB的取值范围是8<AB≤10．故答案为8<AB≤10．要求弦长AB的取值范围，则只需求得弦的最小值和弦的最大值．根据直线和圆相切时，运用垂径定理和勾股定理进行求解，求得弦的最小值；根据直径是圆中最长的弦，求得弦长的最大值．主要考查了直线与圆的位置关系，以及勾股定理和垂径定理的运用．要掌握同心圆的性质，并会利用垂径定理以及勾股定理解题．16.【答案】(√2,−√2)或(−√2,√2)【解析】解：如图①，设四边形APOQ为平行四边形；∵∠APO=90°，∴四边形APOQ为矩形，又∵OP=OQ，∴四边形APOQ为正方形，∴OQ=QA，∠QOA=45°；在Rt△OQA中，根据OQ=2，∠AOQ=45°，得Q点坐标为(√2,−√2)；如图②，设四边形APQO为平行四边形；∵OQ//PA，∠APO=90°，∴∠POQ=90°，又∵OP=OQ，∴∠PQO=45°，∵PQ//OA，∴PQ⊥y轴；设PQ⊥y轴于点H，在Rt△OHQ中，根据OQ=2，∠HQO=45°，得Q点坐标为(−√2,√2).∴符合条件的点Q的坐标为(√2,−√2)或(−√2,√2).故答案为：(√2,−√2)或(−√2,√2).分两种情况：如图①，当四边形APOQ是正方形时，△OPA，△OAQ都是等腰直角三角形，可求得点Q的坐标为(√2,−√2)，如图②，可求得∠QOP=∠OPA=90°，由于OP= OQ，故△OPQ是等腰直角三角形，可求得点Q的坐标为(−√2,√2).本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是用好分类讨论思想．17.【答案】解：(1)2x2=6，x2=3，∴x1=√3，x2=−√3；(2)x2+4x−1=0；x2+4x=1，x2+4x+4=1+4，即(x+2)2=5，∴x+2=±√5，∴x1=−2+√5，x2=−2−√5；(3)(x−2)(x−4)=2．整理得x2−6x=−6，x2−6x+9=−6+9，即(x−3)2=3，∴x−3=±√3∴x1=3+√3，x2=3−√3．【解析】(1)利用直接开平方法求解即可；(2)利用配方法期间即可；(3)整理后，利用配方法求解即可．本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题得关键．18.【答案】解：(1)∵方程x2+3x+m−1=0的两个实数根，∴△=32−4(m−1)=13−4m≥0，．解得：m≤134(2)∵方程x2+3x+m−1=0的两个实数根分别为x1、x2，∴x1+x2=−3，x1x2=m−1．∵2(x1+x2)+x1x2+10=0，即−6+(m−1)+10=0，∴m=−3．【解析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：(1)牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；(2)根据根与系数的关系结合2(x1+x2)+x1x2+10=0，找出关于m的一元一次方程．(1)由一元二次方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2=−3、x1x2=m−1，结合2(x1+x2)+x1x2+10=0可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．19.【答案】解：连接OB，如图，∵AB=OC，∴AB=BO，∴∠BOC=∠A，∴∠EBO=∠BOC+∠A=2∠A，而OB=OE，得∠E=∠EBO=2∠A，∴∠EOD=∠E+∠A=3∠A，而∠EOD=84°，∴3∠A=84°，∴∠A=28°．【解析】连接OB，由AB=OC，得到AB=BO，则∠BOC=∠A，于是∠EBO=2∠A，而OB=OE，得∠E=∠EBO=2∠A，由∠EOD=∠E+∠A=3∠A，根据∠EOD=84°，即可得到∠A的度数．本题考查了三角形内角和定理，圆周角定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20.【答案】解：设宽为x m，则长为(20−2x)m.由题意，得x⋅(20−2x)=48，解得x1=4，x2=6.当x=4时，20−2×4=12>9(舍去)，当x=6时，20−2×6=8.答：围成矩形的长为8m、宽为6m．【解析】设宽为xm，则长为(20−2x)m，然后根据48平方米的长方形即可列出方程，解方程即可解决问题．此题是利用一元二次方程解决实际问题，解题关键是找到关键描述语，从而找到等量关系准确的列出方程．21.【答案】(1)解：∵∠A=70°，∠B=55°，∴∠C=180°−∠A−∠B=55°，∴∠B=∠C，∴AB=AC，连接OF，∵OC=OF，∴∠C=∠CFO=55°，∴∠COF=70°，∴CF⏜的度数是70°，∴BF⏜的度数是180°−70°=110°；(2)证明：∵∠C=∠B，∴CE⏜=BF⏜，∴CF⏜=BE⏜，∴BE=CF．【解析】(1)连接OF，求出∠C和∠CFO度数，求出∠COF，即可求出CF⏜度数，即可求出答案；(2)根据∠B=∠C得出CE⏜=BF⏜，求出CF⏜=BE⏜，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到BE=CF．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆心角、弧、弦的关系．22.【答案】解：(1)如图，⊙O为所作；(2)如图，PM为所作．【解析】(1)作AC和BC的垂直平分线，它们相交于点O，然后以点O为圆心，OA为半径作圆即可；(2)连接OP，作OP的垂直平分线得到OP的中点D，然后以点D为圆心，OD为半径作圆，⊙D与⊙O相交于M，连接PM即可．本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．23.【答案】解：设每千克应涨价x元，由题意，得(10+x)(500−20x)+5×20x=6500，整理，得x2−20x+75=0，解得x1=15，x2=5．答：每千克应涨价15元或5元．【解析】设每千克应涨价x元，根据总利润=涨价利润后的利润+剩余的销售利润列出方程探讨得出答案即可．本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意列出关于x的一元二次方程是解答此题的关键．24.【答案】解：(1)连接OM，过点O作ON⊥CD于N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC，∴∠OMC=∠ONC=90°，∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠ACB=∠ACD，∵OC=OC，∴△OMC≌△ONC，∴ON=OM，∴CD与⊙O相切；(2)∵ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴∠ACB=60°，AC=1，设半径为r.则OC=1−r，OM=r，∵∠ACB=60°，∠OMC=90°，∴∠COM=30°，MC=1−r2，∴r2+(1−r2)2=(1−r)2解得r=√32+√3=2√3−3．【解析】(1)根据菱形的性质得到AC是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明；(2)根据菱形的边长可以求得其对角线的长，根据等腰直角三角形的性质和对角线的长列方程求解．此题综合了菱形的性质和圆的切线的性质和判定．注意：运用数量关系证明圆的切线的方法．25.【答案】(1)如图，y=x+2√2中令x=0时y=2√2，则B的坐标是(0,2√2)，令y=0，0=x+2√2，解得：x=−2√2，则A的坐标是(−2√2,0)．则OA=OB=2√2，即△ABC是等腰直角三角形，过B作BC⊥l1于点C，则BC=1．则△BCD是等腰直角三角形，BC=CD=1，则BD=√2，即D的坐标是(0,3√2)，同理，E的坐标是(0,√2).则与y轴交点的坐标为(0,√2)和(0,3√2)；(2)在等腰直角△AOB中，AB=√OA2+OB2=√(√2)2+(√2)2=2．过O作OF⊥AB于点F．AB=1．则OF=12当0<r<1时，0个；当r=1时，1个；当1<r<3时，2个；当r=3时，3个；当3<r时，4个．(3)−3√2<b<−√2或√2<b<3√2【解析】解：(1)见答案(2)见答案(3)OM是第一、三象限的角平分线，当OM=2−1=1时，则l3与y轴的交点G，G的坐标是(0,√2)，即b=√2，同理当ON=3时，b=3√2，当直线在原点O下方时，b=−√2和b=−3√2．则当−3√2<b<−√2或√2<b<3√2时，2为半径的圆上只有两个点到直线y=x+b 的距离为1．故答案是：−3√2<b<−√2或√2<b<3√2．(1)易证△AOB是等腰直角三角形，两直线之间的距离是1，则过B作l1的垂线，垂线段长是1，利用勾股定理求得BD的长，即可求得D的坐标，同理求得E的坐标；(2)求出O到直线的距离，据此即可作出判断；(3)首选求得到原点距离是1和3时直线对应的b的值，则b的范围即可求得．本题是圆与一次函数的综合题，考查了直线和圆的位置关系，正确理解直线y=x+2√2与x、y轴的交点以及原点构成等腰直角三角形是关键．第21页，共21页。
江苏省南京市第一中学2023_2024学年九年级上学期10月月考数学试卷(含解析)
江苏省南京市南京一中2023~2024学年九年级上学期10月月考数学试卷一．选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．下列方程是一元二次方程的是 A ． B ．C ． D．2．用配方法解方程，下列配方正确的是 A ．B ．C ．D ．3．平面内，若的半径为2，在 A ．内B ．上C ．外D ．内或外4．用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形 A ．B ．C ．D ．5．若，是方程的两个实数根，则的值为 A ．2021B ．2023C ．D ．40466．如图，为直径，为圆上一点，为 内心，交于， 于，若，则为 ABC ．D ．5二．填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．一元二次方程的根是 ．8．如图，是的直径，、在上，若，则的度数为 ．()221(1)(1)x x x x -+=+-20ax bx c ++=20x =2111x x+=2420x x -+=()2(2)6x -=2(2)2x +=2(2)2x -=-2(2)2x -=O OP =P (O )()αβ2220230x x +-=23ααβ++()2025AB O C I ABC ∆AI O D OI AD ⊥I 4CD =AC ()230x x -=AB O C D O 70ABC ∠=︒D ∠︒9．如图，为的直径，弦于点，若，，则的长为 ．10．关于的一元二次方程的一个根为0，则 ．11．如图，、分别与相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在上，若长为2，则的周长是 ．12．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种农作物的产量两年内从300千克增加到363千克，则平均每年增产的百分率为 ．13．如图，的两条弦和相交于点，若弧、弧的度数分别为、，则的度数为 ．14．如图，圆是四边形的内切圆，若，则 ．15．在半径为5的圆内有长为的弦，则此弦所对圆周角的度数为 ．AB O CD AB ⊥E 10AB =2EB =CD x 22(1)10a x ax a +-+-=a =PA PB O A B O EF PA PB E F C AB PA PEF ∆O AB CD P AC BD 60︒40︒APC ∠O ABCD 118BOC ∠=︒AOD ∠=16．如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为 ．三．解答题（本大题共10小题，共88分）17．解下列一元二次方程：（1）； （2）；（3）； （4）．18．已知关于的一元二次方程有实数根．（1）求的取值范围；（2）若中，，，的长是方程的两根，求的长．19．如图，是的弦，点、在弦上，且．求证：．Rt ABC ∆90C ∠=︒3BC =4AC =D E AC BC 3DE =DE AB M N MN 2(1)4x -=2430x x -+=(2)5(2)x x x +=+(21)(3)4x x -+=x 2420kx x -+=k ABC ∆2AB AC ==AB BC 2420kx x -+=BC AB O C D AB OC OD =AC BD =20．如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形的的面积为96平方米，求、边各为多少米．21．某药店在口罩销售中发现：一款进价为10元盒的口罩，销售单价为16元盒时，每天可售出60盒．药店在销售中发现：若销售单价每降价1元，则每天可多售出30盒，设每盒降价元，为整数）．（1）为了尽快减少库存，当每盒降价多少元时，每天可盈利450元？（2）在满足药店正常销售的情况下，每盒降价多少元时，可取得最大利润，并求此时最大利润．22．用一个直角边长分别为3和4的直角纸片剪半圆，要求剪出的半圆的直径在的边上，且半圆的弧与另两边都相切，请用尺规作出示意图，并求出相应半圆的半径．23．若关于的方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如，方程的两个根是，，则方程是“隔根方程”．（1）方程是“隔根方程”吗？判断并说明理由；（2）若关于的方程是“隔根方程”，求的值．ABCD AB BC //x (06x <<x ABC ∆ABC ∆AB x 20x bx c ++=220x x +=10x =22x =-220x x +=2200x x --=x 210x mx m ++-=m24．如图，在中，，以为直径作交于点，交于点，连接．（1）求证：；（2）连接，，当 时，四边形为菱形；（3）若，，则 ．25．如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作交于点，连接．（1）求证：直线与相切．（2）若，，求的长．ABC ∆AB AC =AB O BC D AC E DE DE DC =OD OE BAC ∠=ODCE 10AB =4CE =DE =AB O D O CD BA C O //OE AD CD E BE BE O 4CA =6CD =BE26．【问题提出】我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？【初步思考】（1）如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则 ， ；（2）如图2，是的弦，圆心角，点是上不与、重合的一点，求弦所对的圆周角的度数为 ；（用的代数式表示）【问题解决】（3）如图3，已知线段，点在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点所组成的图形①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹）；【实际应用】（4）如图4，在边长为12的等边三角形中，点、分别是边、上的动点，连接、，交于点，若始终保持，当点从点运动到点时，的最小值是 ．AB O 100AOB ∠=︒1P 2P AB AB 1APB ∠=︒2AP B ∠=︒AB O (180)AOB m m ∠=︒<︒P O A B AB APB ∠m AB C AB 135ACB ∠=︒C (ABC E F AC BC AF BE P AE CF =E A C PC江苏省南京市南京一中2023~2024学年九年级上学期10月月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．下列方程是一元二次方程的是 A ． B ．C ． D ．【考点】：一元二次方程的定义【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可 ．【解答】解：、原方程可化为，是一元一次方程， 故本选项错误；、若，则此方程是一元一次方程， 故本选项错误；、符合一元二次方程的定义， 故本选项正确；、是分式方程， 故本选项错误 ．故选：．【点评】本题考查的是一元二次方程的定义， 即只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程 ．2．用配方法解方程，下列配方正确的是 A ．B ．C ．D ．【考点】解一元二次方程配方法【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程左右两边同时加上4，然后把方程左边写成完全平方式的形式即可．【解答】解：，，，．故选：．【点评】本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．3．平面内，若的半径为2，在 ()221(1)(1)x x x x -+=+-20ax bx c ++=20x =2111x x+=1A A 220x -+=B 0a =C D C 2420x x -+=()2(2)6x -=2(2)2x +=2(2)2x -=-2(2)2x -=-2420x x -+=242x x -=-24424x x -+=-+2(2)2x -=D -O OP =P (O )A ．内B ．上C ．外D ．内或外【考点】：点与圆的位置关系【分析】根据半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内，可得答案．【解答】解：由题意得，．，点在内，故选：．【点评】本题考查了点与圆的位置关系．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．4．用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形 A ．B ．C ．D ．【考点】圆周角定理【分析】由半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．即可求得答案．【解答】解：的圆周角所对的弦是直径，选项是半圆环形．故选：．【点评】此题考查了圆周角定理，熟记的圆周角所对的弦为直径是解题的关键．5．若，是方程的两个实数根，则的值为 A ．2021B ．2023C ．D ．4046【考点】根与系数的关系【分析】由是方程的根可得，由，是方程的两个实数根可得，进而求解．8M r d d r >d r =d r <d =2r =d r < ∴P O A r d d r >d r =d r <()90︒90︒ B ∴B 90︒αβ2220230x x +-=23ααβ++()2025α222023αα+=αβ2αβ+=-【解答】解：，是方程的两个实数根，，即，且，．故选：A ．【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握，通过整体思想求解．6．如图，为直径，为圆上一点，为 内心，交于， 于，若，则为 ABC ．D ．5【考点】三角形的内切圆与内心；圆周角定理【分析】连接、、，由已知可得，进而可证，勾股定理计算，连接交于点，则，设，利用求，再利用勾股定理求即可．【解答】解：连接、、，为 内心，，，，，，，，，，连接交于点，则，设，则，α β2220230x x +-=2220230αα∴+-=222023αα+=2αβ+=-2232202322021ααβαααβ∴++=+++=-=12b x x a+=-AB O C IABC ∆AI OD OI AD ⊥I 4CD =AC ()BD CD BI 4BD CD ==4ID BD ==AB OD BC E OD BC ⊥DE x =2222OB OE BD DE -=-x AC BD CD BI I ABC ∆BAD CAD ∴∠=∠ABI CBI ∠=∠∴ BDCD =4BD CD ∴==DBI DBC CBI DAC CBI DAB ABI BID ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠ 4ID BD ∴==OI AD ⊥ 28AD ID ∴==AB ∴===OD BC E OD BC ⊥DE x =12OE AB x x =-=-，，解得：，，为直径，，故选：．【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，三垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，等知识点的应用，正确作出辅助线后求出是解此题的关键，有一定的难度．二．填空题（共10小题）7．一元二次方程的根是 ．【考点】解一元二次方程因式分解法【分析】用配方法求解即可．【解答】解：，，，，故答案为：，，．【点评】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的方法和步骤．8．如图，是的直径，、在上，若，则的度数为 20 ．2222OB OE BD DE -=- 2222)4x x ∴--=-x =BE ∴===2BC BE ∴==AB O 90ACB ∴∠=︒AC ∴===A 2AD BD =230x x -=-230x x -=(3)0x x -=10x =23x =10x =23x =AB O C D O 70ABC ∠=︒D ∠︒【考点】圆周角定理【分析】由为直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得，根据题意即可求得的度数，然后由同弧所对的圆周角相等，即可求得的度数．【解答】解：为直径，，，，．故答案为：20．【点评】此题考查了圆周角的性质．注意直径所对的圆周角是直角与同弧所对的圆周角相等．9．如图，为的直径，弦于点，若，，则的长为 ．．【考点】：垂径定理【分析】连接，根据题意得出，再由垂径定理知，点是的中点，，在直角中，由勾股定理得出，从而得出的长．【解答】解：连接，为的直径，，，在中，，，，，，，，故答案为8．AB O 90ACB ∠=︒A ∠D ∠AB O 90ACB ∴∠=︒70ABC ∠=︒ 907020A ∴∠=︒-︒=︒20D A ∴∠=∠=︒AB O CD AB ⊥E 10AB =2EB =CD 2M OC 5OC =E CD 12CE CD =OCE ∆CE CD OC AB O AB CD ⊥12CE DE CD ∴==Rt OCE ∆222OC OE CE =+2BE = 10AB =5OC ∴=3OE =4CE ∴=8CD ∴=【点评】本题考查了垂径定理，掌握垂径定理的内容是解题的关键．10．关于的一元二次方程的一个根为0，则 1 ．【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义【分析】把代入方程中得：，从而可得：，然后再根据一元二次方程的定义可得，从而可得，即可解答．【解答】解：把代入方程中得：，解得：，，，，故答案为：1．【点评】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的解，以及的一元二次方程的定义是解题的关键．11．如图，、分别与相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在上，若长为2，则的周长是 4 ．【考点】：切线的性质【分析】由切线长定理知，，，，然后根据的周长公式即可求出其结果．【解答】解：、分别与相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在上，，，，的周长．x 22(1)10a x ax a +-+-=a =0x =22(1)10a x ax a +-+-=210a -=1a =±10a +≠1a ≠-0x =22(1)10a x ax a +-+-=210a -=1a =±10a +≠ 1a ∴≠-1a ∴=PA PB O A B O EF PA PB E F C AB PA PEF ∆MC AE CE =FB CF =2PA PB ==PEF ∆PA PB O A B O EF PA PB E F CAB AE CE ∴=FB CF =2PA PB ==PEF ∴∆4PE EF PF PA PB =++=+=故填空答案：4．【点评】本题主要利用了切线长定理求解，比较简单．12．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种农作物的产量两年内从300千克增加到363千克，则平均每年增产的百分率为 ．【考点】一元二次方程的应用【分析】可先表示出第一年的产量，那么第二年的产量增长率），把相应数值代入即可求解．【解答】解：第一年的产量为，第二年的产量在第一年产量的基础上增加，为，则列出的方程是．解得：，（舍去）故答案为：．【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握题目中的等量关系是解答本题的关键．13．如图，的两条弦和相交于点，若弧、弧的度数分别为、，则的度数为 ．【考点】：圆心角、弧、弦的关系；：圆周角定理【分析】连接，根据三角形的外角的性质、圆周角定理计算即可【解答】解：连接，的度数，．故答案为．10%(1⨯+363=300(1)x ⨯+x 300(1)(1)x x ⨯+⨯+2300(1)363x +=10.1x =2 2.1x =-10%O AB CD P AC BD 60︒40︒APC ∠50︒4M 5M AD AD 1()2APC BAD ADC BD AC ∠=∠+∠=⨯+ 1(4060)502APC ∴∠=︒+︒=︒50︒【点评】本题考查的是圆周角定理、三角形的外角的性质，掌握圆周角定理和三角形的外角的性质定理是解题的关键．14．如图，圆是四边形的内切圆，若，则 ．【考点】三角形的内切圆与内心；多边形内角与外角【分析】先根据切线长定理得到，，，，再利用三角形内角和计算出，则，接着利用四边形内角和计算出，所以，然后根据三角形内角和计算的度数．【解答】解：圆是四边形的内切圆，平分，平分，平分，平分，，，，，，，，，．故答案为：．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点；三角形的内心到三角形三边的距离相等．也考查了切线的性质和切线长定理．15．在半径为5的圆内有长为的弦，则此弦所对圆周角的度数为 或 ．【考点】圆心角、弧、弦的关系【分析】根据题意画出相应的图形，由，利用垂径定理得到为的中点，由的长求出与的长，且得出为角平分线，在中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出O ABCD 118BOC ∠=︒AOD ∠=62︒112ABC ∠=∠122BCD ∠=∠132ADC ∠=∠142BAD ∠=∠1262∠+∠=︒124ABC BCD ∠+∠=︒236BAD ADC ∠+∠=︒34118∠+∠=︒AOD ∠ O ABCD OA ∴ABC OC BCD ∠OD ADC ∠OA BAD ∠112ABC ∴∠=∠122BCD ∠=∠132ADC ∠=∠142BAD ∠=∠1218018011862BOC ∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒ 2(12)262124ABC BCD ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒360()360124236BAD ADC ABC BCD ∠+∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒ 1134()23611822BAD ADC ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒180(34)18011862AOD ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒62︒60︒120︒OD AB ⊥D AB AB AD BD OD Rt AOD ∆的度数，进而确定出的度数，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，即可求出弦所对圆周角的度数．【解答】解：如图所示，，为的中点，即，在中，，又为锐角，，，，又圆内接四边形对角互补，，则此弦所对的圆周角为或．故答案为或【点评】此题考查了垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，以及锐角三角函数定义，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．16．如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为 ．【考点】直线与圆的位置关系AOD ∠AOB ∠AB OD AB ⊥ D ∴AB AD BD ==Rt AOD ∆5OA =AD =sin AOD ∴∠==AOD ∠ 60AOD ∴∠=︒120AOB ∴∠=︒1602ACB AOB ∴∠=∠=︒ AEBC 120AEB ∴∠=︒60︒120︒60︒120︒Rt ABC ∆90C ∠=︒3BC =4AC =D E AC BC 3DE =DE AB M N MN 125【分析】如图，连接，作于，于．由题意，，推出欲求的最大值，只要求出的最小值即可．【解答】解：如图，连接，作于，于．，，，，，，欲求的最大值，只要求出的最小值即可，，点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆，在中，，，，，，当，，共线，且与重合时，的值最小，的最小值为，的最大值，故答案为．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．OM OH AB ⊥H CK AB ⊥K 2MN MH ==32OM =MN OH OM OH AB ⊥H CK AB ⊥K OH MN ⊥ MH HN ∴=2MN MH ∴==90DCE ∠=︒ OD OE =32OC OD OE OM ∴====∴MN OH 32OC = ∴O C 32Rt ACB ∆3BC = 4AC =5AB ∴= 1122AB CK AC BC ⋅⋅=⋅⋅125CK ∴=C O H CK OH OH ∴12395210-=MN ∴125==125三．解答题（共10小题）17．解下列一元二次方程：（1）；（2）；（3）；（4）．【考点】解一元二次方程配方法；解一元二次方程直接开平方法；解一元二次方程因式分解法【解答】解：（1），，所以，；（2），，所以，；（3），，或，所以，；（4），，，所以，．【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法解一元二次方程．18．已知关于的一元二次方程有实数根．（1）求的取值范围；（2）若中，，，的长是方程的两根，求的长．【考点】解一元二次方程因式分解法；根的判别式；三角形三边关系2(1)4x -=2430x x -+=(2)5(2)x x x +=+(21)(3)4x x -+=---2(1)4x -=12x -=±13x =21x =-2430x x -+=(3)(1)0x x --=13x =21x =(2)5(2)x x x +=+(2)(5)0x x +-=20x +=50x -=12x =-25x =(21)(3)4x x -+=22570x x +-=(1)(27)0x x -+=11x =272x =--x 2420kx x -+=k ABC ∆2AB AC ==AB BC 2420kx x -+=BC -【分析】（1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式△，建立关于的不等式，即可求出的取值范围．（2）由于是方程，所以可以确定的值，进而再解方程求出的值．【解答】解：（1）方程有实数根，△，解得：，又因为是二次项系数，所以，所以的取值范围是且．（2）由于是方程，所以把代入方程，可得，所以原方程是：，解得：，，所以的值是．【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，容易出现的错误是忽视根的判别式应用的前提条件：二次项系数．19．如图，是的弦，点、在弦上，且．求证：．【考点】：垂径定理【分析】过点作，垂足为，由垂径定理可知，再由可判断出是等腰三角形，由等腰三角形的性质可知，进而可求出答案．【解答】证明：过点作，垂足为，（1分），（2分），且，，（4分），．（6分）240b ac =-…k k 2AB =2420kx x -+=k BC ∴224(4)421680b ac k k =-=--⨯⨯=-…2k …k 0k ≠k 2k …0k ≠2AB =2420kx x -+=2x =32k =23840x x -+=12x =223x =BC 230k ≠AB O C D AB OC OD =AC BD =2M O OH AB ⊥H AH BH =OC OD =OAD ∆CH DH =O OH AB ⊥H AH BH ∴=OC OD = OH CD ⊥CH DH ∴=AH CH BH DH ∴-=-AC BD ∴=【点评】本题考查的是垂径定理及等腰三角形的判定及性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．20．如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形的的面积为96平方米，求、边各为多少米．【考点】一元二次方程的应用【分析】设为米，然后表示出的长为米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可．【解答】解：设为米，则为米，解得：，当时（不合题意，舍去）当时．答：米，米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设出一边的长，并用未知数表示出另一边的长．21．某药店在口罩销售中发现：一款进价为10元盒的口罩，销售单价为16元盒时，每天可售出60盒．药店在销售中发现：若销售单价每降价1元，则每天可多售出30盒，设每盒降价元，为整数）．（1）为了尽快减少库存，当每盒降价多少元时，每天可盈利450元？（2）在满足药店正常销售的情况下，每盒降价多少元时，可取得最大利润，并求此时最大利润．【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用【分析】设每盒降价元，为整数），则利润也将元，根据利润等于每盒的利润乘以数量，列出一元二次方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）设每盒降价元，为整数），根据题意得，，ABCD AB BC AB x BC (363)x -AB x BC (363)x -(363)96x x -=14x =28x =4x =3632420x -=>8x =36312x -=8AB =12BC =//x (06x <<x x (06x <<x x x (06x <<x (1610)(6030)450x x --+=解得：，，尽快减少库存，，答：为了尽快减少库存，当每盒降价3元时，每天可盈利450元；（2）设每盒降价元，为整数），利润为元，根据题意得，，当时，取得最大值，最大值为480，答：每盒降价2时，可取得最大利润，此时最大利润为480元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出一元二次方程，函数关系式是解题的关键．22．用一个直角边长分别为3和4的直角纸片剪半圆，要求剪出的半圆的直径在的边上，且半圆的弧与另两边都相切，请用尺规作出示意图，并求出相应半圆的半径．【考点】切线的性质【分析】根据切线的性质得到，，根据三角形的面积公式求出半圆的半径．【解答】解：如图，作的平分线交于，则点为所要剪出的半圆的圆心，设半圆与、切于、，连接、，则，，设半圆的半径为，则，解得：，答：半圆的半径为．11x =23x = 3x ∴=x (06x <<x y 22(1610)(6030)3012036030(2)480y x x x x x =--+=-++=--+300-< ∴2x =y ABC ∆ABC ∆AB OE AC ⊥OF BC ⊥ACB ∠AB O O AC AB E F OE OF OE AC ⊥OF BC ⊥r 1113434222r r ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯127r =127【点评】本题考查的是切线的性质、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．23．若关于的方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如，方程的两个根是，，则方程是“隔根方程”．（1）方程是“隔根方程”吗？判断并说明理由；（2）若关于的方程是“隔根方程”，求的值．【考点】解一元二次方程因式分解法【分析】（1）不是，利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的两个根分别为，，二者做差后可得出，进而可得出方程不是“隔根方程”；（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的两个根分别为，，结合关于的方程是“隔根方程”，可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出的值．【解答】解：（1）不是，理由如下：，即，，．，方程不是“隔根方程”．（2），即，，．又关于的方程是“隔根方程”，，解得：或．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法求出一元二次方程的两个根是解题的关键．24．如图，在中，，以为直径作交于点，交于点，连接．（1）求证：；（2）连接，，当 时，四边形为菱形；（3）若，，则 ．x 20x bx c ++=220x x +=10x =22x =-220x x +=2200x x --=x 210x mx m ++-=m -15x =24x =-5(4)92--=≠2200x x --=11x =-21x m =-x 210x mx m ++-=m m 2200x x --= (5)(4)0x x -+=15x ∴=24x =-5(4)92--=≠ ∴2200x x --=210x mx m ++-= (1)[(1)]0x x m ++-=11x ∴=-21x m =- x 210x mx m ++-=|1(1)|2m ∴---=0m =4m =ABC ∆AB AC =AB O BC D AC E DE DE DC =OD OE BAC ∠=60︒ODCE 10AB =4CE =DE =【考点】圆的综合题【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得出底角相等，设，由题意求出即可证明；（2）若四边形为菱形，求证 为等边三角形即可．（3）连接，，根据勾股定理，即可求出．【解答】（1）证明：，，设，在圆内接四边形中，，，，，（2）解：若四边形为菱形，则．．同理，．．．为等边三角形．．故答案为：．（3）解：如图，连接，，B C α∠=∠=DEC a ∠=ODCE AOE ∆BE AD BE BC DE AB AC = B C ∴∠=∠B C α∠=∠=ABDE 180180AED B α∠=︒-∠=︒-180180(180)DEC AED αα∴∠=︒-∠=︒-︒-=DEC C ∴∠=∠DE DC ∴=ODCE //OE BC AOE B α∴∠=∠=AEO C α∠=∠=AOE AEO ∴∠=∠AO AE ∴=AO AE OE ∴==AOE ∴∆60BAC ∴∠=︒60︒BE 10AB AG ==．在 中，，在 中，连接，则．．在 中，故答案为：．【点评】本题考查与圆有关的性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题关键．25．如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作交于点，连接．（1）求证：直线与相切．（2）若，，求的长．【考点】直线与圆的位置关系；切线的判定与性质【分析】（1）根据平行线的性质，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定方法可得，进而得到即可；（2）根据勾股定理和相似三角形的性质可得答案．【解答】（1）证明：如图，连接，是的切线，是切点，，即，，，，又，，，1046AE ∴=-=Rt ABE ∆8BE ==Rt BEC ∆BC ==AD AD BC ⊥BD CD ∴=Rt BEC ∆2BC DE ==AB O D O CD BA C O //OE AD CD E BE BE O 4CA =6CD =BE DOE BOE ∆≅∆OB BE ⊥OD CD O D OD CD ∴⊥90ODE ODC ∠=∠=︒//AD OE ODA DOE ∴∠=∠DAO EOB ∠=∠OA OD = ODA OAD ∴∠=∠DOE BOE ∴∠=∠又，，，，即，是半径，是的切线；（2）解：设半径为，则，在中由勾股定理得，，即，解得，，，，，即，解得．【点评】本题考查切线的判定，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．26．【问题提出】我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？【初步思考】OD OB = OE OE =()DOE BOE SAS ∴∆≅∆90OBE ODE ∴∠=∠=︒OB BE ⊥OB BE ∴O r 4OC r =+Rt COD ∆222OD CD OC +=2226(4)r r +=+52r =90ODC EBC ∠=∠=︒ C C ∠=∠ODC EBC ∴∆∆∽∴OD CD BE BC=56254BE =+154BE =（1）如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则 50 ， ；（2）如图2，是的弦，圆心角，点是上不与、重合的一点，求弦所对的圆周角的度数为 ；（用的代数式表示）【问题解决】（3）如图3，已知线段，点在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点所组成的图形①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹）；【实际应用】（4）如图4，在边长为12的等边三角形中，点、D 分别是边、上的动点，连接、，交于点，若始终保持，当点从点运动到点时，的最小值是 ．【考点】圆的综合题【分析】（1）根据圆周角定理计算的度数，然后根据圆内接四边形的性质求的度数；（2）与（1）的求法一样（注意分类讨论）；（3）先作的垂直平分线得到的中点，再以为直径作圆交的垂直平分线于，然后以点为圆心，为半径作，则在内的弧为满足条件的点所组成的图形；（4）由等边三角形的性质证明可以得出，点的路径是一段弧，由题目不难看出当为的中点的时候，点经过弧的中点，此时为等腰三角形，且，由弧AB O 100AOB ∠=︒1P 2P AB AB 1APB ∠=︒2AP B ∠=︒AB O (180)AOB m m ∠=︒<︒P O A B AB APB ∠m AB C AB 135ACB ∠=︒C (ABC E AC BC AD BE P AE CD =E A C PC 1APB ∠2AP B ∠AB AB P AB AB O O OA O O P C AEB CFA ∆≅∆AE CF =P E AC P AB ABP ∆30ABP BAP ∠=∠=︒线长公式就可以得出结论．【解答】解：（1），．故答案为：50，130；（2）当在优弧上时，；当在劣弧上时，；（3）如图劣弧（实线部分且不包含、两个端点）就是所满足条件的点所组成的图形；（4）【解答】解：∵CD ＝AE ，∴BD ＝CE ，在△ABD 和△BCE 中，，∴△ABD ≌△BCE （SAS ），故∠BAD ＝∠CBE ，∵∠APE ＝∠ABE +∠BAD ，∠APE ＝∠BPD ，∠ABE +∠CBE ＝60°，∴∠BPD ＝∠APE ＝∠ABC ＝60°，∴∠APB ＝120°，∴点P 的运动轨迹是，∠AOB ＝120°，连接CO ，∵OA ＝OB ，CA ＝CB ，OC ＝OC ，∴△AOC ≌△BOC （SSS ），∴∠OAC ＝∠OBC ，∠ACO ＝∠BCO ＝30°，∵∠AOB +∠ACB ＝180°，∴∠OAC +∠OBC ＝180°，∴∠OAC ＝∠OBC ＝90°，∴∴OC ＝2OB =OP ＝∵PC ≥OC ﹣OP ，∴PC ≥，∴PC 的最小值为．1111005022APB AOB ∠=∠=⨯︒=︒218018050130AP B APB ∠=︒-∠=︒-︒=︒P AB 1?()22m A PB AOB ∠=∠=︒P AB ?180(2m A PB ∠=︒-︒AB A B C OB ==【点评】本题主要考查圆周角定理、圆内角四边形性质、等边三角形的性质的运用、全等三角形的判定及性质的运用、弧线长公式的运用，解题关键是证明三角形全等，本题还考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．。
江苏省南京市栖霞区南京外国语学校仙林分校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题
江苏省南京市栖霞区南京外国语学校仙林分校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、填空题7．已知O e 的半径为10cm ，8cm OP =，则点P 在O e 的．（填“上面”“内部”或“外部”） 8．一种药品经过两次降价，药价从每盒80元下调至64元，设平均每次降价的百分率为x ，则根据题意可列方程为．9．一元二次方程210x x --=的两个实数根分别为1x ，2x ，则1212x x x x --的值为． 10．如果关于x 的方程2(1)0x m -+=没有实数根，那么实数m 的取值范围是． 11．如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，连接BC ．若⊙O 的半径为2cm ，∠BCD ＝30°，则AB ＝cm ．12．如图，AB AC BD 、、是O e 的切线，P C D 、、为切点，如果8AB =，5AC =，则BD 的长为．13．如图，⊙O 是ABC V 的外接圆，62A ∠=︒，E 是BC 的中点，连接OE 并延长交⊙O 于点D ，连接BD ，则D ∠的度数为．14．如图，在平面直角坐标系中，一个圆经过()0,0O ，()A 3,5，()6,0B 三点，则该圆的圆心的坐标是．15．已知边长为2的正三角形，能将其完全覆盖的最小圆的面积为．16． 如图，正方形ABCD 的边长为2，点G 是边CD 的中点，点E 是边AD 上一动点，连接BE ，将ABE V 沿BE 翻折得到FBE V ，连接GF ，当GF 最小时，GF 的长是．三、解答题17．解下列一元二次方程：(1)2210x x --=；(2)()()22211x x +=-．18．已知关于x 的方程220x kx k -+-=．(1)求证：不论k 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；(2)若该方程的一个根为1-，求它的另一个根和k 的值．19．如图，在O e 中，弦AC ，BD 相交于点E ，»»»AB BC CD ==．(1)求证AC BD =；(2)连接CD ，若20BDC ∠=︒，则BEC ∠的度数为__________︒．20．某商店将进价为10元的商品按每件15元售出，每天可售出460件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少20件.（1）若售价提价1元，此时单件利润为元，销售量为件；（2）应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为2720元？21．如图，PA 是O e 的切线，A 为切点，点B 、C 、D 在O e 上，且PA PB =．（1）求证：PB 是O e 的切线；（2）若100P ∠=︒，则B D ∠+∠的度数为______°．22．“五一”假期期间，南京旅游市场强劲复苏．甲、乙两位游客准备在5月3日各自游玩玄武湖、鸡鸣寺、台城这三处景点，他们游玩每个景点的顺序是随机的．(1)求甲游玩的第一处景点是鸡鸣寺的概率；(2)甲、乙以相同顺序游玩这三处景点的概率是______________．23．某超市对近四周西红柿和黄瓜的销售情况进行了统计，并将销售单价和销售量分别制成如下统计图．(1)这四周西红柿销售单价的众数为，黄瓜销售单价的中位数为；(2)分别求这四周西红柿、黄瓜周销量的方差；(3)结合上述两幅统计图写出一条正确的结论．24．如图，点A 在直线l 上，点P 在直线l 外，作O e 经过P ，A 两点且与l 相切．25．如图，点P在⊙O外，M为OP的中点，以点M为圆心，以MO为半径画弧，交⊙O 于点A，B，连接P A；（1）判断P A与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）连接AB，若OP＝9，⊙O的半径为3，求AB的长．26．【问题提出】（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝4．求BC+CD 的值．小明提供了他研究这个问题的思路：延长CD至点M，使得DM＝BC，连接AM．可以构造三角形全等，结合勾股定理便可解决这个问题．【问题解决】（2）如图2，有一个直径为10cm的圆形配件，现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC，要求∠O＝60°，∠B＝30°，OA＝OC，求四边形OABC面积的最小值．。
江苏省南京市九年级上学期数学10月月考试卷
江苏省南京市九年级上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分） (2019九上·义乌月考) 在下列函数关系式中，二次函数的是（）A .B . y＝x+2C . y＝x +1D . y＝（x+3）﹣x2. （2分）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+ (2m+3)x+m2=0 的两个不相等的实数根，且满足= -1，则m的值是（）.A . 3或 -1B . 3C . -1D . -3 或 13. （2分）若※是新规定的某种运算符号，设a※b=b 2 -a，则-2※x=6中x的值（）A . 4B . 8C . 2D . -24. （2分）关于x的一元二次方程（a-1）x2+ax+a2-1=0的一个根是0，则a值为（）A . －1B . 1C . 1或－1D . 0.55. （2分）台州市2012年5月的平均房价为9530元/m2 ， 2014年同期达到11284元/m2 ，假设这两年台州市房价的平均增长率为x，根据题意，则下列所得的方程中，正确的是（）A . 9530（1+x%）2=11284B . 9530（1﹣x%）2=11284C . 9530（1+x）2=11284D . 9530（1﹣x）2=112846. （2分）将抛物线y=2x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，则平移后的抛物线为（）A . y=2（x+2）2+1B . y=2（x﹣2）2+1C . y=2（x+2）2﹣1D . y=2（x﹣2）2﹣17. （2分）下列函数中，是二次函数的是（）A . y=8x2+1B . y=8x+1C . y=D . y=+18. （2分） (2017九上·大庆期中) 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列说法：①b2－4ac＝0；②2a＋b＝0；③若(x1 ， y1)，(x2 ， y2)在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；④a－b＋c＜0.其中正确的是（）A . ②④B . ③④C . ②③④D . ①②④9. （2分） (2018九上·阆中期中) 某城市2011年已有绿化面积100公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2013底增加到144公顷，设绿化面积平均每年的增长率为，则根据题意可列方程为（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)10. （1分）(2019·瑶海模拟) 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则字母m 的最大整数值为________．11. （1分） (2019九上·鄂州期末) 已知一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根分别为m，n，则的值为________.12. （1分）(2018·浦东模拟) 抛物线的最低点的坐标是________．13. （1分）方程2x﹣x2=的正实数根有________ 个14. （1分） (2018九上·新洲月考) 已知A(x1 ，﹣1）、B(x2 ，﹣2)两点都在抛物线y＝﹣x2＋2x＋3上，且x1＞1，x2＞1，则x1、x2的大小关系为x1________x2.（填大小关系）三、解答题 (共9题；共68分)15. （5分）(2019·广州模拟) 解方程：（配方法）16. （5分）解方程:x2-4x+1=017. （5分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1=0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若m为整数，当此方程的两个实数根都是整数时，求m的值．18. （5分） (2016九上·海淀期中) 求抛物线y=x2﹣2x的对称轴和顶点坐标，并画出图象．19. （5分）一元二次方程的二根（）是抛物线与轴的两个交点B,C的横坐标，且此抛物线过点A(3,6)．（1）求此二次函数的解析式．（2）用配方法求此抛物线的顶点为P .对称轴（3）当x取什么值时， y随x增大而减小？20. （10分）(2018·安顺) 某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元.（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.21. （6分）(2011·衢州) 某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利3元，以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元，要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？小明的解法如下：解：设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，平均单株盈利为（3﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（3﹣0.5x）=10，化简，整理得：x2﹣3x+2=0解这个方程，得：x1=1，x2=2，答：要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株．（1）本题涉及的主要数量有每盆花苗株数，平均单株盈利，每盆花苗的盈利等，请写出两个不同的等量关系：________．（2）请用一种与小明不相同的方法求解上述问题．22. （12分）(2017·唐河模拟) 根据下列要求，解答相关问题：（1）请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集的过程①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x；抛物线的对称轴x=﹣1，开口向下，顶点（﹣1，2）与x轴的交点是（0，0），（﹣2，0），用三点法画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象如图1所示；②数形结合，求得界点：当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为________；③借助图象，写出解集：由图象可得不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集为________．（2）利用（1）中求不等式解集的方法步骤，求不等式x2﹣2x+1＜4的解集．①构造函数，画出图象；②数形结合，求得界点；③借助图象，写出解集．（3）参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式ax2+bx+c ＞0（a＞0）的解集．23. （15分） (2016九上·赣州期中) 如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A，B两点，且与x轴交于另一点C．（1）求b、c的值；（2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内一点，连接PA，PC，PG，分别以AP，AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR①求证：PG=RQ；②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．参考答案一、单选题 (共9题；共18分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、二、填空题 (共5题；共5分)10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共9题；共68分)15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、。
江苏省南京市联合体2024--2025学年上学期九年级数学月考试卷
江苏省南京市联合体2024--2025学年上学期九年级数学月考试卷一、单选题1．下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）A ．223x xy +=B ．21x =C ．2350x x +-=D ．20ax bx c ++= 2．用配方法解方程2440x x --=时，原方程应变形为( )A ．()220x -=B ．()228x -=C ．()220x +=D ．()228x += 3．O e 的半径为5，圆心O 的坐标为()0,0，点P 的坐标为()4,2，则点P 与O e 的位置关系是（ ）A ．点P 在O e 内B ．点P 在O e 上C ．点P 在O e 外D ．点P 在O e 上或O e 外4．如图，AB 是O e 直径，130AOC ∠=︒，则D ∠的度数是（ ）A ．15︒B ．25︒C ．35︒D ．65︒5．如图，AB 是O e 的直径，OD 垂直于弦AC 于点D ，DO 的延长线交O e 于点E ．若AC =4DE =，则BC 的长是（ ）A ．1BC ．2D ．46．如图，AB 是半圆O 的直径，点D 在半圆O 上，AB =10AD =，C 是弧BD 上的一个动点，连接AC ，过D 点作DH AC ⊥于H ，连接BH ，在点C 移动的过程中，BH 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题7．一元二次方程22x =的根是．8．若关于x 的一元二次方程kx 2－6x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ． 9．某菜鸟驿站第一天揽件100件，第三天揽件169件，设该菜鸟驿站揽件日平均增长率为x ，根据题意所列方程为．10．如图，AB 是半圆O 的直径，点C ，D 在半圆O 上．若54ABC ∠=︒，则BDC ∠的度数为 ．11．直角三角形的两直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于． 12．若弦长等于半径，则弦所对圆周角的度数是．13．若三角形的两边长分别是2和4，第三边的长是方程2680x x -+=的一个根，则这个三角形的周长为．14．平面上一点A 与O e 上点的最短距离为2，最长距离为10，则O e 半径为．15．已知a ，b 是关于x 的方程2320100x x +-=的两根，则24a a b --的值是．16．如图，在半圆O 中，C 是半圆上的一个点，将»AC 沿弦AC 折叠交直径AB 于点D ，点E是»AD 的中点，连接OE ，若OE 1，则AB =．三、解答题17．解方程：(1)x 2－2x －3＝0(2)（x ﹣3）2＝2x ﹣618．如图，在⊙O 中，点C 是»AB 的中点，D 、E 分别是半径OA 和OB 的中点，求证：CD CE =．19．已知关于x 的方程（x -3）(x -2)-p 2=0．（1）求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=3 x 1x 2，求实数p 的值．20．如图这是一个残缺的圆形部件，已知,,A B C 是该部件圆弧上的三点．(1)利用尺规作图作出该部件的圆心；（保留作图痕迹）(2)若ABC V 是等腰三角形，底边16cm BC =，腰10cm AB =，求该部件的半径R ． 21．如图，AB 为O e 的直径，D 是弦AC 延长线上一点，AC CD =，DB 的延长线交⊙O 于点E ，连接CE ．(1)求证A D ∠=∠；(2)若»AE 的度数为108︒，求E ∠的度数．22．某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．23．如图，四边形ABCD 内接于O e ，连接AC 、BD 相交于点E ．(1)如图1，若AC BD =，求证：AE DE =；(2)如图2，若AC BD ⊥，连接OC ，求证：OCD ACB ∠=∠．24．已知，在O e 中，设»BC 所对的圆周角为BAC ∠．求证： 12BAC BOC =∠∠ 证明；圆心O 可能在BAC ∠的一边上，内部和外部（如图①、②和③）．如图①，当圆心O 在BAC ∠的一边上时．∵OA OC =，∴A C ∠=∠，∵BOC A C ∠=∠+∠，∴2BOC A ∠=∠，即12BAC BOC =∠∠ 请你完成图②、图③的证明．25．如图，AB 是O e 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，K 为弧AC 上一动点，AK DC ，的延长线相交于点F ，连接CK KD ，．(1)求证：AKD CKF ∠=∠；(2)已知8AB CD ==，CKF ∠的大小．26．解方程42540x x -+=，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设2x y =，那么42x y =，于是原方程可变为2540y y -+=①，解得11y =，24y =．当1y =时，21x =，1x ∴=±；当4y =时，24x =，2x ∴=±；∴原方程有四个根：11x =，21x =-，32x =，42x =-．(1)解方程()()2224120x x x x +-+-=． (2)解方程2318x x -=27．问题背景：在一次数学兴趣小组活动中，小军对苏科版数学九年级教材第42页的第4题很感兴趣．教材原题：如图1，BD 、CE 是ABC V 的高，M 是BC 的中点．点B 、C 、D 、E 是否在以点M 为圆心的同一个圆上？为什么？小军在完成此题解答后提出：如图2，若BD 、CE 的交点为点O ，则点A 、D 、O 、E 四点也在同一个圆上．（1）请对教材原题或小军提出的问题进行解答．（选择一个解答即可）直接应用： 当大家将上述两题都解决后，组员小明想起了在七年级通过画图归纳出的一个结论：三角形的三条高所在直线交于同一点，可通过上面的结论加以解决．（2）如图3，ABC V 的两条高BD 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点F ． 求证：AF 为ABC V 的边BC 上的高．拓展延伸：在大家完成讨论后，曾老师根据大家的研究提出一个问题：（3）在（2）的条件下连接DE 、EF 、FD （如图4），设DEF α∠=，则AOB ∠的度数为________．（用含α的式子表示）。
江苏省九年级10月单元测试月考数学试题(苏教版九年级数学上册10月份月考试卷)
苏教版九年级数学上册10月月考测试卷一．选择题（本大题共有８小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题纸相应位置上）1.若关于x 的一元二次方程的两个根为11x =，22x =，则这个方程是 （ ）A.2320x x +-=B.2320x x -+=C.2230x x -+=D.2320x x ++=2．在统计中，样本的方差可以反映这组数据的 （ ） A ．平均状态 B ．分布规律 C ．离散程度 D ．数值大小 3.已知⊙O 的半径是6cm ，点O 到同一平面内直线L 的距离为5cm ，则直线L 与⊙O 的位置关系是 （ ）A.相交B.相切C.相离D.无法判断 4.如图，在⊙O 中，∠ABC=52°，则∠AOC 等于 （ ） A.52° B.80° C.90° D. 104°5．甲、乙两人在相同的条件下，各射靶10次，经过计算：甲、乙射击成绩的平均数都是8环，甲的方差是 1.2,乙的方差是1.8．下列说法中不一定正确的是 （ ） A ．甲、乙射中的总环数相同 B ．甲的成绩稳定C ．乙的成绩波动较大D ．甲、乙的众数相同 6. 以2、4为两边长的三角形的第三边长是方程01072=+-x x 的根，则这个三角形的周长为 （ ） A. 8 B.11 C. 11或8 D.以上都不对 7.如果关于x 的方程22(21)10k x k x -++=有实数根，那么k 的取值范围是 （ ）A.14k ≥-B.k ＞14-且0k ≠C.k ＜14- D.14k ≥-且0k ≠8.在平面直角坐标系xoy 中，直线经过点A （－3，0），点B （0，3），点P 的坐标为（1，0），⊙P 与y 轴相切于点O ，若将⊙P 沿x 轴向左平移，平移后得到（点P 的对应点为点P ′）⊙P ′，当⊙P ′与直线相交时，横坐标为整数的点P ′共有 （ ） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题纸相应位置上） 9.方程042=-x x 的解是 （ （10.若一元二次方程0892=+-x kx 的一个根为1，则k= ， 11．数据-5，6，4，0，1，7，5的极差为 （__ 12．数据11、12、13、14、15的方差是13.请给C 一个值，C= 时，方程x 2 -3x+C=0无实数根。
苏科版九年级上册10月数学试卷(苏教版九年级数学上册10月份月考测试卷)
江苏省九年级上册10月份月考数学试卷一、填空1．下列命题中，正确的说法有（填序号）．①正多边形的各边相等；②各边相等的多边形是正多边形；③正多边形的各角相等；④各角相等的多边形是正多边形；⑤既是轴对称图形，又是中心对称的多边形是正多边形．2．正十二边形的每一个外角为°，每一个内角是°，该图形绕其中心至少旋转°和本身重合．3．用一张圆形纸片剪一个边长为4cm的正六边形，这个圆形纸片的半径最小应为cm．4．圆心角为40°、半径为6的弧长为；面积为．5．半径为3，弧长为4的扇形面积为．6．扇形的面积为6π，半径为4，扇形的弧长l=．7．圆心角为120°的扇形的弧长为π，这个扇形的面积为．8．用量角器将圆五等分，得到正五边形ABCDE（如图），AC、BD相交于点P，则∠APB 等于．二、解答题（共6小题，满分0分）9．如图1、2、3、…、n，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON．（1）求图1中∠MON的度数；（2）图2中∠MON的度数是，图3中∠MON的度数是；（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）．10．如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA=4，AB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连接AC，求阴影部分的面积．11．如图，正方形ABCD的边长为1cm，以CD为直径在正方形内画半圆，再以C为圆心，1cm长为半径画弧BD，则图中阴影部分的面积为．12．如图，把Rt△ABC的斜边放在直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置，设BC=1，AC=，求当顶点A运动到A″位置时，点A经过的路径长度．13．如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外离，它们的半径是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD，则图中四个扇形的面积和是多少？14．如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连接AC，BD．（1）求证：△AOC≌△BOD；（2）若OA=3cm，OC=1cm，求阴影部分的面积．。
江苏省南京市南京市钟英中学2023~2024学年九年级上学期10月月考数学试卷(含答案)
（第6题）九年级阶段性练习数学注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上）1．下列方程中，是一元二次方程的是（▲）A ．x ﹣1x＝0B ．3x 2＝1C ．2x ﹣y ＝5D ．y 2+x +2＝02．平面内，⊙O 的直径为3，OP ＝2，则点P 在（▲）A ．⊙O 内B ．⊙O 上C ．⊙O 外D ．以上都有可能3．把方程x 2﹣10x ﹣5＝0变形为（x +h ）2＝k 的形式可以是（▲）A ．（x ﹣5）2＝30B ．（x ﹣5）2＝5C ．（x +5）2＝5D ．（x +5）2＝304．x ＝1是关于x 的一元二次方程x 2+ax +2b ＝0的解，则a +2b ＝（▲）A ．﹣1B ．1C ．2D ．﹣25．已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣2x ﹣m 2＝0的两根，下列结论中不一定正确的是（▲）A ．x 1+x 2＞0B ．x 1•x 2＜0C ．x 1≠x 2D ．方程必有一正根6．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝4，以CD 为直径作⊙O ．将矩形ABCD 绕点C 旋转，使所得矩形A 'B 'CD '的边A 'B '与⊙O 相切，切点为E ，边CD '与⊙O 相交于点F ，过点O ，E 的直线交CF 于点G ，则CF 的长为（▲）A ．4.5B ．4C ．3.5D ．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上）7．如图，⊙O 的半径OA 与弦AB 相等，C 点为⊙O 上一点，则∠ACB的度数是▲°．8．若关于x 的一元二次方程kx 2+2x －1＝0有实数根，则k 的取值范围是▲．9．过三点A （2，2），B （6，2），C （2，4）的圆的圆心坐标为▲．10．若关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0的解为x 1＝﹣1，x 2＝3，则方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c ＝0的解为▲．11．如图，AD 是半圆的直径，O 为圆心，B 、C 是半圆上的两点，∠ABC ＝110°，则∠CAD ＝▲°．12．如图，小区内有个圆形花坛O ，点C 在弦AB 上，AC ＝11，BC ＝21，OC ＝13，则这个花坛的半径为▲．13．如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，与⊙O 相切于B ，C 两点，点A ，D 在圆上．若∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠A 的度数是▲°．14．如图，AB 是⊙O 的弦，点C 在过点B 的切线上，OC ⊥OA ，OC 交AB 于点P ．若∠BPC ＝70°，则∠ABC 的度数等于▲°．15．如图，AB 是⊙O 的弦，点C 在AB ⌒上，点D 是AB 的中点．将AC ⌒沿AC 折叠后恰好经过点D ，若⊙O 的半径为25，AB ＝8．则AC 的长是▲．16．如图，以G （0，2）为圆心，半径为4的圆与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，点E 为⊙G 上一动点，CF ⊥AE 于F ，当点E 在⊙O 的运动过程中，线段FG 的长度的最小值为▲．（第11题）（第13题）（第14题）（第15题）（第16题）（第7题）（第12题）三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解方程：（1）x 2﹣2x ﹣1＝0；（2）（x ﹣1）（x +3）＝5（x ﹣1）．18．（7分）如图，在⊙O 中，弦AC ，BD 相交于点E ，AB ⌒＝BC ⌒＝CD ⌒．（1）求证AC ＝BD ；（2）连接CD ，若∠BDC ＝30°，则∠BEC 的度数为▲°．19．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣3m 2＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α﹣β＝﹣4，求m 的值．20．（7分）在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点．（1）如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，AB ＝24，则CD 的长为▲．（2）如图②，大圆的另一条弦EF 交小圆于G ，H 两点，若AB ＝EF ，求证CD ＝GH ．①OBCADFHE G ②OBCAD（第20题）（第18题）21．（8分）如图，I 为△ABC 内一点，AI 的延长线交△ABC 的外接圆于点D ．若DB ＝DI ，CD ⌒＝BD ⌒.求证：I 为△ABC 的内心．22．（8分）某单位组织员工前往南京保利大剧院欣赏表演．表演前，主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．那么围成的这个长方形的边长是多少米呢？23．（8分）如图，已知A 是直线l 外一点．用两种不同的方法作⊙O ，使⊙O 过A 点，且与直线l 相切．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．．．．．．．．）（第21题）（第22题）AlAl24．（8分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AC 边上，以AD 为直径作⊙O 交AB 于点E ，连接CE ，且CB ＝CE ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若CD ＝2，AB ＝45，求⊙O 的半径．25．（8分）如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程x 2﹣4x +3＝0的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．（1）下列方程是三倍根方程的是▲；①x 2﹣3x +2＝0；②x 2﹣3x ＝0；③x 2﹣8x +12＝0．（2）若关于n 的方程n 2﹣8n +c ＝0是“三倍根方程”，则n ＝▲；（3）若nx 2﹣（3n +m ）x +3m ＝0（n ≠0）是关于x 的“三倍根方程”，求代数式2mnm n+-的值．（第24题）26.（8分）某工厂有甲乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品．去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？（2）随看5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%，B产品产量将在去年的基础上减少a%．但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A，B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加2925a%．求a的值．27．（10分）如图，已知直角△ABC，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4．⊙C的半径长为1，已知点P是△ABC边上一动点（可以与顶点重合）．（1）若点P到⊙C的切线长为3，则AP的长度为▲；（2）若点P到⊙C的切线长为m，求点P的位置有几个？（直接写出结果）（第27题）数学试卷第1页（共8页）九年级阶段性练习数学参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．308．k ≥－1且k ≠09．（4，3）10.x 1=4，x 2=011．2012．2013．99°14．70°15．6216．23－2三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（本题8分）（1）解：∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－1，∴△＝(－2)2－4×1×(－1)＝8＞0．······················································1分则x ＝－b ±b 2－4ac2a ＝2±82×1＝1±2．···················································3分即x 1＝1＋2，x 2＝1－2．·······································································4分（2）解：（x ﹣1）（x +3）＝5（x ﹣1）（x ﹣1）（x +3）﹣5（x ﹣1）＝0，（x ﹣1）（x +3﹣5）＝0，（x ﹣1）（x ﹣2）＝0，x ﹣1＝0或x ﹣2＝0，···················································································6分x 1＝1，x 2＝2；···························································································8分18.（本题7分）（1）证明：∵AB ⌒＝BC ⌒＝CD ⌒，∴AB ⌒+BC ⌒＝CD ⌒+BC ⌒，题号123456答案BCAABB数学试卷第2页（共8页）∴⌒ABC ＝⌒DCB ，∴AC ＝BD .··································································································4分（2）答案为：120．……………………………………………….………………..……7分19.（本题8分）（1）证明：∵a ＝1，b ＝﹣2，c ＝﹣3m 2，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m 2）＝4+12m 2＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；…………………………….……………………….4分（2）解：由题意得：24αβαβ+=⎧⎨-=-⎩解得：13αβ=-⎧⎨=⎩，…………………………….…………………………………….…….6分∵αβ＝﹣3m 2，∴﹣3m 2＝﹣3，∴m ＝±1，∴m 的值为±1．…………………………………………………………………..…….8分20.（本题7分）解：（1）46；……………….…………………………………………………………….3分（2）如图②，过点O 作OM ⊥AB ，ON ⊥EF ，垂足分别为M 、N ，连接OE 、OA 、GO 、CO.∵OM ⊥AB ，ON ⊥EF,∴EN ＝12EF ，AM ＝12AB ，∵AB ＝EF ，数学试卷第3页（共8页）∴EN ＝AM ，∵OE ＝OA ，∴△ENO ≌△AMO (HL)………………………………………………………..………5分∴OM ＝ON ，∵GO ＝CO ，∴△GON ≌△COM (HL)∴GN ＝CM ，∵OM ⊥CD ，ON ⊥GH,∴CD ＝2CM ，GH ＝2GN ，∴CD ＝GH ．……………….…………………………………………………………….7分21.（本题8分）若DB ＝DI ，CD ⌒＝BD ⌒∵CD ⌒＝BD ⌒，∴∠BAD ＝∠CAD ，即AD 平分∠BAC ．…………………………………………….….2分∵BD ＝DI ，∴∠IBD ＝∠BID ．……………………………………….………………………..….….4分∵∠BID 是△ABI 的一个外角，∴∠BID ＝∠BAD +∠ABI ．∵∠IBD ＝∠DBC +∠CBI ，………………….……………………….…………….….….6分∴∠ABI ＝∠CBI ，即BI 平分∠ABC ，∴I 为△ABC 的内心．…………………………………………………...…….……..….8分22.（本题8分）解：设长方形等候区的边AB 为x 米，···································································1分由题意得：x （48﹣2x +2）＝300，………………………………………………………….4分整理，得x 2﹣25x +150＝0，解得x1＝10，x2＝15，………………………………………………………………….……7分当x＝10时，BC＝30＞26；当x＝15时，BC＝20＜26，∴x＝10不合题意，应舍去．答：长方形等候区的边AB为15米，BC为20米．………………………………..…….8分23．（本题8分）方法一：过点A作l的垂线，垂足为P，作AP的垂直平分线，与AP的交点为圆心O，以O为圆心，OA（或OP）为半径，作⊙O； (4)分方法二：取l上任意一点Q，作出AQ的垂直平分线，过点Q作l的垂线，与垂直平分线的交点为圆心O，以O为圆心，OA（或OQ）为半径，作⊙O．………………….……………………8分24．（本题8分）（1）证明：如图，连接OE，DE，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝∠DEB＝90°，∴∠DEC+∠CEB＝90°，∵CE＝BC，∴∠B＝∠CEB，数学试卷第4页（共8页）∴∠A＝∠DEC，∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∵∠A+∠ADE＝90°，∴∠DEC+∠OED＝90°，即∠OEC＝90°，∴OE⊥CE．∵OE是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线；.…………………………………………4分（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝2，AB＝45，BC＝CE，设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2，AC＝2r+2，∴AC2+BC2＝AB2，∴（2r+2）2+BC2＝（45）2，在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，∴OE2+CE2＝OC2，∴r2+BC2＝（r+2）2，∴BC2＝（r+2）2﹣r2，∴（2r+2）2+（r+2）2﹣r2＝（45）2，解得r＝3，或r＝﹣6（舍去）．∴⊙O的半径为3．.…………………………………………………………………..…8分25.（本题8分）解：（1）③；…………………………………………………………………………..…2分（2）设方程的两根为a，3a，根据根与系数的关系得a+3a＝m+n，a•3a＝mn，即m+n＝4a，mn＝3a2，所以（2）设方程x2﹣8x+c＝0的两根为t，3t，根据根与系数的关系得t+3t＝8，t•3t＝c，解得t=2，所以c ＝3×22=12；故答案为：12；…………………………………………………..……………………..…4分（3）由一元二次方程nx 2﹣（3n +m ）x +3m ＝0得（nx ﹣m ）（x ﹣3）＝0，∴x ＝m n或x ＝3，∵一元二次方程nx 2﹣（3n +m ）x +3m ＝0（n ≠0）是“三倍根方程”，∴m n ＝9或m n ＝1，当m n ＝9时，m ＝9n ，∴2m n m n +-＝1017…….………………………………………………….…………..…6分当m n ＝1时，m ＝n ，∴2m n m n +-＝2，综上所述，2m n m n +-的值为1017或2．………………………….……………………..…8分26.（本题8分）解：解：（1）设A 产品的销售单价为x 元，B 产品的销售单价为y 元，依题意得：100500x y x y =+⎧⎨+=⎩，解得：300200x y =⎧⎨=⎩，答：A 产品的销售单价为300元，B 产品的销售单价为200元．………………..…3分（2）设去年每个车间生产产品的数量为t 件.依题意得：300（1+a %）t +200（1+3a %）（1﹣a %）t ＝500t （1+2925a %），……..…5分设a %＝m ，则原方程可化简为5m 2﹣m ＝0，解得：m1＝15，m2＝0（不合题意，舍去），∴a＝20．答：a的值为20．………………………………………………………………………8分27.（本题10分）解：（1）由题意切线长为3，半径为1，可得PC＝2，所以点P只能在边BC或边AC 上．如图1中，连接PA．在Rt△PAC中，PA＝＝25．如图2中，PA＝AC＝PC＝4﹣2＝2，综上所述，满足条件的PA的长为25或2．故答案为25或2．……………………….……………….……….………………….3分（2）如图3中，当CP⊥AB时．易知CP＝125 AC BCAB∙=，此时切线长PE5，如图4中，当点P与点B重合时，切线长PE22，如图5中，当点P与点A重合时，切线长PE＝15，观察图形可知：1当m＝15时，点P的位置有1个位置．……………………….……………….4分2当0＜m＜5或22＜m＜15时，点P的位置有2个位置；…………….6分3当m＝22或m＝1195时，点P的位置有3个位置；……………………..….8分4当1195＜m＜22时，点P的位置有4个位置；…………………………….10分(分类①得1分，②③④各得2分，若回答范围不全只得1分，范围写错不得分)。
2022-2023学年江苏省南京市玄武区九年级上学期数学10月月考试题及答案
2022-2023学年江苏省南京市玄武区九年级上学期数学10月月考试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1. 将一元二次方程x （x+1）﹣2x＝0化为一般形式，正确的是（ ）A. B. C. D. 20x x -=2210x x ++=220x x -=2210x x -+=【答案】A【解析】【分析】先去括号，再合并同类项，即可答案．【详解】解：x （x+1）-2x=0，，220x x x +-=，20x x -=故选：A ．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为（a≠0）．20ax bx c ++=2. 若点A 在⊙O 内，点B 在⊙O 外，OA ＝3，OB ＝5，则⊙O 的半径r 的取值范围是（ ）A. 0＜r ＜3B. 2＜r ＜8C. 3＜r ＜5D. r ＞5 【答案】C【解析】【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法求解．【详解】解：∵点A 在半径为r 的⊙O 内，点B 在⊙O 外，∴OA 小于r ，OB 大于r ，∵OA＝3，OB ＝5，∴3＜r ＜5．故选：C ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．3. 下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【答案】C【解析】【分析】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．【详解】①直径是弦，正确，符合题意；②弦不一定是直径，错误，不符合题意；③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；④能够完全重合的两条弧是等弧，原命题错误，不符合题意；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意；正确的有3个，故选：C ．【点睛】本题考查了圆的认识及圆的有关定义，解题的关键是了解圆的有关概念，难度不大．4. 关于的一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ）x 23210x x ++=A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 没有实数根D. 无法判断【答案】C【解析】【分析】判断方程的根的情况，根据一元二次方程根的判别式Δ=b 2-4ac 的值的符号即可得到结论．【详解】解：∵Δ=b 2-4ac=＜0，224318-⨯⨯=-∴方程总没有实数根．故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b 2-4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．5. 如图，在扇形中，，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落OAB 110AOB ∠= OAB B O 在上的点处，折痕交于点，则的度数为（ ） AB D OA C ADA.B. C. D.40 50 60 70 【答案】B【解析】 【分析】先证明△ODB 是等边三角形，得到∠DOB＝60°，根据∠AOD＝∠AOB－∠DOB 即可解决问题.【详解】连结OD ，如图.∵扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的D 处，折OAB B O 痕交于点，∴BC 垂直平分OD ，∴BD＝BO ，∴OB＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，∴∠DOB OA C ＝60°，∴∠AOD＝∠AOB－∠DOB＝110°－60°＝50°.故选B.【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质以及半径，想办法证明△OBD 是等边三角形是解决本题的关键.6. 如图，直线l 1∥l 2，点A 在直线l 1上，以点A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l 1，l 2于B ，C 两点，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，与前弧交于点D （不与点B 重合），连接AC ，AD ，BC ，CD ，其中AD 交l 2于点E ．若∠ECA＝40°，则下列结论错误的是（ ）A. ∠ABC =70°B. ∠BAD =80°C. CE =CDD. CE =AE【答案】C【解析】 【分析】根据平行线的性质得出∠CAB＝40°，进而利用圆的概念及等腰三角形的性质判断即可．【详解】A.∵直线l 1∥l 2，∴∠ECA＝∠CAB＝40°，∵以点A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l 1，l 2于B ，C 两点，∴BA＝AC ＝AD ，∴∠ABC＝＝70°，故A 正确，不符合题意； 180402︒-︒B.∵以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，与前弧交于点D （不与点B 重合），∴CB＝CD ，∴∠CAB＝∠DAC＝40°，∴∠BAD＝40°＋40°＝80°，故B 正确，不符合题意；C.∵∠ECA＝∠BAC＝40°，∴∠CAD＝40°，∴∠BAD＝∠CED＝80°，∵∠CDA＝∠ABC＝70°，∴CE≠CD，故C 错误，符合题意；D.∵∠ECA＝40°，∠DAC＝40°，∴∠ECA=∠DAC，∴CE＝AE ，故D 正确，不符合题意．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及圆心角、弧、弦的关系，关键是根据平行线的性质得出∠CAB＝40°．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7. 一元二次方程的根是______________．2x x =-【答案】x 1＝0，x 2＝-1【解析】【分析】先移项得到x 2+x ＝0，然后利用因式分解法解方程．【详解】解：，2x x =-20x x +=x （x+1）＝0，x ＝0或x+1＝0，所以x 1＝0，x 2＝-1．故答案为：x 1＝0，x 2＝-1．【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了．8. 把方程化成的形式，则的值是__________．2230x x +-=()2x m n +=m n +【答案】5【解析】【分析】方程配方得到结果，确定出与的值，即可求出的值．m n m n +【详解】解：方程整理得：，223x x +=配方得：， 2214x x ++=即，2(1)4x +=，，1m ∴=4n =则．145m n +=+=故答案为：5．【点睛】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．-9. ⊙O 中的弦AB 长等于半径长，则弦AB 所对的圆周角是________．【答案】30°或150°【解析】【分析】首先根据题意画出图形，再根据“⊙O 中的弦AB 长等于半径长”得到等边三角形，则弦所对的圆心角为60度，要求这条弦所对的圆周角分两种情况：圆周角的顶点在弦所对的劣弧或优弧上，利用圆周角定理和圆内接四边形的性质即可求出两种类型的圆周角．【详解】解：如图，AB 为⊙O 的弦，且AB=OA=BO ，∴△ABO 为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠P= ∠AOB=30°，12∴∠P′=180°﹣∠P=180°﹣30°=150°．∠P、∠P′都是弦AB 所对的圆周角．所以圆的弦长等于半径，则这条弦所对的圆周角是30°或150°．故答案为：30°或150°．【点睛】此题主要考查圆周角定理，解题的关键是根据题意作辅助线进行求解．10. 若关于x 的一元二次方程（k﹣1）x 2+2x﹣1＝0有实数根，则k 的取值范围是 _____．【答案】且0k ≥1k ≠【解析】【分析】通过一元二次方程的定义可得，根据关于x 的一元二次方程（k﹣1）10k -≠x 2+2x﹣1＝0有实数根，可知该方程根的判别式大于等于0，求解即可．【详解】解：关于x 的一元二次方程（k﹣1）x 2+2x﹣1＝0有实数根，，且，224(1)0k ∴∆=+-≥10k -≠解得且．0k ≥1k ≠故答案为：且．0k ≥1k ≠【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式．满足一元二次方的条件之一便是二次项系数不为0；当根的判别式大于等于0时，一元二次方程有实数根，当根的判别式小于0时，一元二次方程没有实数根．熟练掌握根的判别式的意义以及一元二次方程的定义是解题的关键．11. 如图，A ，B ，C 是⊙O 上三点，∠A=80°，∠C=60°，则∠B 的大小为_______．【答案】140°【解析】【分析】连接OB ，可得∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，进而即可求解．【详解】连接OB ，∵OA=OB=OC，∴∠A=∠ABO=80°，∠C=∠CBO=60°，∴∠ABC =∠ABO+∠CBO=140°，故答案是：140°．【点睛】本题主要考查圆的性质，等腰三角形的性质，掌握圆的性质，是解题的关键．12. 设m ，n 分别为一元二次方程x 2﹣2x﹣2022＝0的两个实数根，则m 2﹣3m﹣n＝_____．【答案】2020．【解析】【分析】先由方程的解的概念和根与系数的关系得出m+n=2，m 2﹣2m=2022，将其代入原式=m 2﹣2m﹣m﹣n=m 2﹣2m﹣（m+n ）计算可得．【详解】∵m ，n 分别为一元二次方程x 2﹣2x﹣2022=0的两个实数根，∴m+n=2，m 2﹣2m=2022，则原式=m 2﹣2m﹣m﹣n=m 2﹣2m﹣（m+n ）=2022﹣2=2020．故答案为：2020．【点睛】本题考查了根与系数的关系和方程的解，解题的关键是掌握x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2，x 1x 2． b a =-c a=13. 三角形两边的长分别是2和4，第三边的长是方程的根，则该三角形210240x x -+=的周长为___．【答案】10【解析】【分析】先利用因式分解法解方程得到，，再根据三角形三边的关系得到三角14x =26x =形第三边长为6，然后计算此三角形的周长．【详解】解：，210240x x -+=，604)()(x x --=所以，，14x =26x =而，246+=所以三角形第三边长为4，所以此三角形的周长为．24410++=故答案为10．【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法、三角形三边的关系，解题的关键是掌握-因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．14. 的直径，AB 是的弦，，垂足为M ，，则O 10CD =O AB CD ⊥:3:5OM OC =AC 的长为______．【答案】【解析】【分析】分①点在线段上，②点在线段上两种情况，连接，先利用勾股M OC M OD OA 定理求出的长，再在中，利用勾股定理求解即可得．AM Rt ACM 【详解】解：由题意，分以下两种情况：①如图，当点在线段上时，连接，M OC OA的直径，O 10CD =，5OA OC ∴==，:3:5OM OC = ， 33,25OM OC CM OC OM ∴===-=，AB CD ⊥，4AM ∴===；AC ∴===②如图，当点在线段上时，连接，M OD OA同理可得：，5,3,4OC OM AM ====，8CM OC OM ∴=+=AC ∴===综上，的长为或AC故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理、圆，正确分两种情况讨论是解题关键．15. 如图：AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于E点，已知AB=2DE，∠E=16°，则∠AOC的大小是________°．【答案】48【解析】【详解】如图：连接OD，∵AB为⊙O的直径，AB=2DE，∴OD=DE，∴∠E=∠EOD=16°，∴在△EDO中，∠ODC=∠E+∠EOD=32°，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC=32°，∴在△CEO中，∠AOC=∠E+∠OCD=16°+32°=48°．故答案为4816. 如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM，若⊙O的半径为2，OP＝4，则线段OM的最小值是__________．【答案】1【解析】【分析】连接OQ、MN，证MN是△POQ的中位线，确定点M在以N为圆心，1为半径的圆上，点M落在ON上时，OM最小，此时OM=ON-NM=1，即OM最小=1．【详解】如图，连接OQ 、MN ，∵OP=4，ON=2，∴点N 是OP 的中点，又∵M 是PQ 的中点，∴MN 是△POQ 的中位线， ∴MN= OQ=1， 12∴点M 在以N 为圆心，1为半径的圆上，∴当点M 落在ON 上时，OM 最小，此时OM=ON-NM=1，即OM 最小=1．【点睛】本题考查了圆的性质，三角形的中位线定理，确定点M 在以N 为圆心1为半径的圆上是解题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 解方程：（1）；()2+35=0x -（2）；21090x x -+=（3）；()()23=33x x x --（4）． ()()2+321=+1x x x -【答案】（1）13x =-+23x =--（2），1=1x 29x =（3）， 13x =223x =-（4），1x 2=x 【解析】【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进x一步求解即可；（3）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次x 方程，再进一步求解即可；（4）整理为一般式，再利用公式法求解即可．【小问1详解】解：，()2+35=0x -移项，得：，()235x +=开平方，得： x；13x =-23x =-【小问2详解】解：，21090x x -+=因式分解，得：，()()19=0x x --于是得：或，10x -=9=0x -，；1=1x 29x =【小问3详解】解：()()23=33x x x --移项，得：，()()23+33=0x x x --提公因式，得：，()3x -()()32+3=0x x -于是得：或，30x -=2+3=0x ，； 13x =223x =-【小问4详解】解： ()()2+321=+1x x x -整理，得：，2+54=0x x -，，，=1a 5b =4c =-∴，()22Δ=4=54×1×4=41>0b ac ---方程有两个不等的实数根，， x即，1x 2x 【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据方程特点选择合适、简便的方法是解本题的关键．18. 已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+3）x+m+1＝0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若已知方程的一个根为﹣2，求方程的另一个根以及m 的值．【答案】（1）见解析；（2）方程的另一根为，m 的值为01-【解析】【分析】（1）由△＝（m+3）2﹣4×1×（m+1）＝（m+1）2+4＞0可得答案；（2）设方程的另外一根为a ，根据一元二次方程根与系数的关系得出，解2321a m a m -=--⎧⎨-=+⎩之即可得出答案．【详解】（1）证明：∵△＝（m+3）2﹣4×1×（m+1）＝m 2+6m+9﹣4m﹣4＝m 2+2m+1+4＝（m+1）2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另外一根为a ， 根据题意，得：， 2321a m a m -=--⎧⎨-=+⎩解得：， 01a m =⎧⎨=-⎩所以方程的另一根为，m 的值为．01-【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式与一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识解决一元二次方程根的问题是解题的关键．19. 如图，⊙中，弦与相交于点,,连接.O AB CD E AB CD =AD BC 、求证：⑴； AD BC=⑵.AE CE =【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由AB=CD 知，即，据此可得答案；=AB CD AD AC BC AC +=+（2）由知AD=BC ，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE 可证△ADE≌△CBE，从而得 AD BC=出答案．【详解】证明（1）∵AB=CD，∴，即，=AB CD AD AC BC AC +=+∴； AD BC=（2）∵， AD BC=∴AD=BC，又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，∴△ADE≌△CBE（ASA ），∴AE=CE．【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．20. 如图，要设计一幅宽20 cm ，长 40 cm 的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为1:2.如果要使得彩条之外的面积为512 cm 2，求设计横彩条的宽度【答案】设计横彩条的宽度为．2cm 【解析】【分析】设横彩条宽度为，则竖彩条的宽度为，则彩条之外的图形面积可等于cm x 2cm x 以长为，宽为的矩形的面积，列出等量关系式求解即可．(404)cm x -(202)cm x -【详解】设横彩条宽度为，则竖彩条的宽度为，cm x 2cm x 根据题意得：，(404)(202)512x x --=化简得：，220360x x -+=，(18)(2)0x x ∴--=解得：（不合题意，舍去），，118x =22x =答：设计横彩条的宽度为．2cm 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，利用面积关系列等式是解决问题的关键．21. 某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元.（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元.【答案】10%；3327.5万元【解析】【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2014年要投入教育经费是2500（1+x ）万元，在2014年的基础上再增长x ，就是2015年的教育经费数额，即可列出方程求解．（2）利用2015年的经费×（1+增长率）即可．【详解】解：（1）设增长率为x ，根据题意2014年为2500（1+x ）万元，2015年为． 225001x +（）则，2250013025x +=（）解得（不合题意舍去）． 0.110% 2.1x x ===，或﹣答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．（2）3025×（1+10%）=3327.5（万元）．故根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元．22. 如图，AB 、CD 都是⊙O 的弦，且AB∥CD，求证： AC BD =【答案】见解析【解析】【分析】作半径OE⊥AB 交圆于E 点，利用垂径定理得到相等的弧，两边相减即可得证．【详解】证明：作半径OE⊥AB 交圆于E 点．∵AB∥CD，∴OE⊥CD，∴，AE BE = CE DE =∴ AE CEBE DE -=-即：． AC BD=【点睛】本题考查了垂径定理的知识，解题的关键是正确地作出垂直于弦的半径．23. 已知．ABC（1）用无刻度的直尺和圆规作出的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）；ABC O （2）若在中，，，求的半径．ABC 5AB AC ===6BC O 【答案】（1）见解析 （2）258【解析】【分析】（1）先作的垂直平分线，再作的垂直平分线，二者交于O 点，连接，AC BC CO 以O 为圆心、为半径画圆，问题得解；CO （2）连接交于D 点，根据是等腰的外接圆，可得，AO BC O ABC AD BC ⊥，则利用勾股定理可得，在中，=CD BD 4AD ==Rt CDO ，根据勾股定理得：，问题即可得解．4OD AD AO CO =-=-222OD CD OC =+【小问1详解】作图如下，即为所求；O 【小问2详解】连接交于D 点，如图，AO BC∵，5AB AC ==∴是等腰三角形，ABC 又∵是的外接圆，O ABC ∴在等腰中，有，，ABC AD BC ⊥=CD BD ∵，，5AB AC ===6BC ∴，3CD BD ==∴，4AD ==在中，，Rt CDO 4OD AD AO CO =-=-根据勾股定理得：，222OD CD OC =+∴， ()22243OC OC +=-∴． 258OC =∴的半径为． O 258【点睛】本题考查了复杂作图---作三角形的外接圆以及勾股定理等知识，掌握三角形的外接圆的作法是解答本题的关键．24. 商场销售一批衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利45元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1 800元，那么这种衬衫每件的价格应降价多少元？【答案】当这种衬衫每件的价格降价15元时，商店每天获利1 800元．【解析】【分析】设衬衫的单价降了x 元．根据题意等量关系：每件利润×降价后的销量=1800，根据等量关系列出方程即可．【详解】设这种衬衫的单价降了x 元，根据题意得：，(45)(302)1800x x -+=整理得：，2302250x x -+=，2(15)0x ∴-=解得：．15x =答：当这种衬衫每件的价格降价15元时，商店每天获利1 800元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．25. 阅读材料，解答问题：【材料1】为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程222()13360x x -+=2x 2y x =可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解213360y y -+=1,22x =±3,43x =±决问题的方法通常叫做换元法．【材料2】已知实数，满足，，且，显然，是方程m n 210m m --=210n n --=m n ≠m n 的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．210x x --=1m n +=1mn =-根据上述材料，解决以下问题：（1）直接应用： 方程的解为 ；42560x x -+=（2）间接应用：已知实数，满足：，且，求的值．a b 422710a a -+=422710b b -+=a b ≠44a b +【答案】（1）x 1x 2x 3x 4==（2）． 454【解析】【分析】（1）利用换元法解方程，设y ＝x 2，则原方程可化为y 2﹣5y+6＝0，解关于y 的方程得到y 1＝2，y 2＝3，则x 2＝2或x 2＝3，然后分别解两个元二次方程即可；（2）根据已知条件，把a 2、b 2看作方程2x 2﹣7x+1＝0的两不相等的实数根，然后根据根与系数的关系求解．【小问1详解】解：，42560x x -+=设，则原方程可化为，2y x =2560y y -+=解得，， 12y =23y =当时，，解得，=2y 22x =1x 2=x当时，，解得，，=3y 23x =3x 4=x -所以原方程的解为，，1x 2=x 3x =4x =故答案为：，，1x 2=x 3x =4x =【小问2详解】解：实数，满足：，且，∴a b 422710a a -+=422710b b -+=a b ≠、可看作方程的两不相等的实数根，2a ∴2b 22710x x -+=，； 2272a b ∴+=2212a b =g ∴； 24224222714522224a b a b a b +=+-=-´=g（）（）故答案为：． 454【点睛】本题主要考查了用“换元法”把高次方程转化为一元二次方程，韦达定理，完全平方公式，其中转化思想是解决问题的关键．26. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝12cm.点M 从A 点出发沿AB 以1cm/s 的速度向B 点运动；同时点N 从B 点出发沿BC 以2cm/s 的速度向C 点运动.当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.设点M 、N 的运动时间为t 秒.（1）当t 为何值时，MN cm ？（2）当t 为何值时，MN 的长度最短，最短长度是多少？（3）当t 为何值时，△DMN 为等腰三角形．【答案】（1）t ＝1 s 或s ；（2）t ＝s ；（3）t ＝ (8－)s 或t ＝ (18 )s 7565【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到AM ＝tcm ，BM ＝（6－t ）cm ，N ＝2tcm ，NC ＝(12－2t)cm ，在Rt△MBN 中，根据勾股定理计算即可；（2）根据勾股定理和要使MN 的长度最短，只需要MN 2的值最小值计算即可；（3）若△DMN 为等腰三角形，有3种情况，当DM ＝MN ，当DM ＝DN ，当MN ＝DN ，分别求解即可；【详解】解：∵点M 、N 的运动时间为t ．点M 从A 点出发沿AB 以1cm/s 的速度向B 点运动，同时点N 从B 点出发沿BC 以2cm/s 的速度向C 点运动， AB ＝6cm ，BC ＝12cm∴AM＝tcm ，BM ＝（6－t ）cm ，BN ＝2tcm ，NC ＝(12－2t)cm ．∵四边形ABCD 是矩形，∴△MBN、△DAM，△DNC 都是直角三角形．（1）在Rt△MBN 中，根据勾股定理得，BM 2＋BN 2＝MN 2，即(6－t)2＋(2t)2＝)2, 解得 t 1＝1，t 2＝, 75∴当t ＝1s 或s 时，MN cm ； 75（2）在Rt△MNB 中，根据勾股定理，得，MN 2＝BM 2＋BN 2，即MN 2＝(6－t)2＋(2t)2，＝5(t －)2＋， 651445要使MN 的长度最短，只需要MN 2的值最小值即可，即求5(t －)2＋的最小值． 651445当t ＝s 时，MN 2的值最小，最小为． 651445∴当t ＝s 时，MN ． 65（3）在Rt△DAM，Rt△BMN 和Rt△DNC 中，根据勾股定理得，DM 2＝DA 2＋AM 2，MN 2＝BM 2＋BN 2，DN 2＝NC 2＋DC 2．即DM 2＝122＋t 2，MN 2＝(6－t)2＋(2t)2，DN 2＝(12－2t)2＋62．若△DMN 为等腰三角形，有3种情况：①当DM ＝MN ，即DM 2＝MN 2时，t 2＋122＝(6－t)2＋(2t)2，解得t 1，t 2 ∵0≤t≤6，∴t 1，t 2 ②当DM ＝DN ，即DM 2＝DN 2时，t 2＋122＝(12－2t)2＋62，解得 t 1＝8－t 2＝8＋∵0≤t≤6，t 2＝8＋③当MN ＝DN ，即MN 2＝DN 2时，(6－t)2＋(2t)2＝(12－2t)2＋62，解得 t 1＝－18，t 2＝－18．∵0≤t≤6，t 2＝－－18不合题意，舍去，综上所述，当t ＝ (8－时，△DMN 为等腰三角形，当t ＝ (18 )s 时，△DMN 为等腰三角形．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．。