第五章 第四节 线段的定比分点与平移
《线段的定比分点》说课稿
《线段的定比分点》说课稿《线段的定比分点》说课稿迁安一中各位老师，领导，大家好：今天我说课的课题是高一下册第五章第5节线段的定比分点．现我就教材，教法，学法，教学程序，方面进行说明．一、教材、教法分析本节课主要内容是定比分点公式的推导及应用，主要是运用定比分点的公式中点公式、重心公式进行求解，证明．这是平面向量这一章中的第5节的内容，它是在学习了向量的加法与减法、实数与向量的积及平面向量的坐标运算之后的一个重要公式，它为今后研究平面向量的运算、解析几何中线段比及点坐标等问题做好了铺垫．因此它起着承上启下的作用，同时也培养了学生运算和观察能力．作为新授课要使学生掌握线段的定比分点坐标公式及线段的中点坐标公式并熟练运用线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式解决问题。
难点是明确点P的位置及用线段的定比分点坐标公式解题时区分λ＞0还是λ＜0。
为了培养学生认真参与、勇于探究的精神，锻炼学生善于发现问题的规律和及时解决问题的态度．教学方法我采用了引导发现、合作探究的方法。
教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。
激发学生的学习兴趣，二、教具为多媒体和直尺。
通过多媒体的使用加大一堂课的信息容量，使教学目标更完美地体现，可以更好的为教学服务．三、教学过程１、提出问题，创设情境向同学出示题目，并提出两个问题（1）已知及，，求P点坐标；（2）已知，，及，求的值。
设计意图：通过提出问题的方式把教材内容转化为具有潜在意义的问题，让学生产生强烈的问题意识。
引导学生主动思考，培养学生自我发现的学习能力。
2、进行课前预练.（1）.已知a=(3,-1),b=(-1,2),则-3a-2b的坐标是（2）已知ABC三点共线，且A（3，6），B（-5，2），若C点横坐标为6，则C点纵坐标为巩固学生已学的向量的加、减、实数与向量的积的坐标运算，为公式推导及应用铺平道路。
高中数学线段的定比分点说课稿新人教A版必修
线段的定比分点教学重点：1、准确理解和掌握定比分点的有关概念；2、掌握定比分点坐标公式及其推导方法与应用。
教学难点：1、定比分点的有关概念及定比分点坐标公式的推导方法； 2、暴露公式推导中所蕴涵的数学思想与方法。
教学目标⑴掌握定比分点的有关概念、定比分点坐标公式及公式的推导方法和应用。
⑵领悟到公式推导中蕴涵的数学思想，并在推导过程中培养学生的思维能力和创新能力，以及对知识的应用能力。
⑶感悟如何去分析问题、提出问题并解决问题的思维过程，学会自主学习。
⑷培养学生勇于探究、善于探究的精神，从而养成学生良好的数学学习品质。
教学方式：启发式、探究式 教具使用：多媒体 教学过程： 一、设置情景中国驻南极的科考站派出的科考车在科考站附近的两个地点1P 、2P 之间进行实地考察（如图），1P 在科考站北偏西距离10公里的地方，2P 在科考站北偏东距离20公里的地方。
科考车按一定速度从1P 到2P 直线行驶需3个小时。
一天，科考站收到消息，科考车从1P 出发2小时到P 处时出现故障，现从科考站派出的救援车若按一定速度行驶，则应朝哪个方向行驶可最快赶往出事点P 处？二、问题一： （展示学生的成果）①已知点),(111y x P 使k PP PP =21，求P 点坐标 ②已知点),(111y x P 22221P 使k PP PP =21，求P 点坐标 ③已知点),(111y x P 、),(222y x P ，线段21P P 上有一点P 使k PP PP =21，求P 点坐标 问题二：哪几个表述是可以解决的？（通过分析，学生会发现只有③可以确定解决，①解决不了，而②包含有两种西南情况，其中一种就是③，那另一种情况呢？引导学生对②进行分类，得出以下两种表述）④已知点),(111y x P 、),(222y x P ，线段21P P 延长线上有一点P 使k PP PP =21，求P 点坐标⑤已知点),(111y x P 、),(222y x P ，线段21P P 反向延长线上有一点P 使k PP PP =21，求P 点坐标 问题三：③④⑤的表述有哪些异同？可以用什么更简洁的表述形式来代替这些表述？ （引导学生归纳出：③④⑤的表述都可用下面的形式代替就） 问题四：λ取何值时分别代表③④⑤的意义？ 点P 在线段21P P 上⇔0>λ； 点P 在线段21P P 延长线上⇔1-<λ； 点P 在线段21P P 反向延长线上⇔01<<-λ 三、概念的形成及公式的推导 定义：设1P 、2P 是直线l 上的两点，点P 是l 上不同于1P 、2P 的任意一点，则存在一个实数λ，使21PP P P λ=，λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比。
数学八年级第五章——线段的定比分点
课 题：线段的定比分点教学目的： 1掌握线段的定比分点坐标公式及线段的中点坐标公式； 2熟练运用线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式； 3理解点P 分有向线段21P P 所成比λ的含义； 4明确点P 的位置及λ范围的关系教学重点：线段的定比分点和中点坐标公式的应用教学难点：用线段的定比分点坐标公式解题时区分λ＞0还是λ＜０授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则2．向量加法的交换律：a +b =b +a3．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )4．向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b的差即：a - b = a + (-b )5．差向量的意义： OA = a , OB = b , 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量6．实数与向量的积：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ（1）|λa ρ|=|λ||a ρ|；（2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=0 7．运算定律 λ(μa ρ)=(λμ)a ρ，(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ，λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ8． 向量共线定理 向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b ρ=λa ρ9．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被a ρ，1e ，2e 唯一确定的数量 10．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=11．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=12．a ρ∥b ρ (b ρ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0二、讲解新课：1．线段的定比分点及λP 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)2定比分点坐标公式：若点P １(x 1,y 1) ，Ｐ２(x 2,y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比 设P P 1=λ2PP 点P 1, P, P 2坐标为(x 1,y 1) (x,y) (x 2,y 2)，由向量的坐标运算P P 1=(x-x 1,y-y 1) ，2PP =( x 2-x, y 2-y)∵P P 1=λ2PP ∴ (x-x 1,y-y 1) =λ( x 2-x, y 2-y)∴⎩⎨⎧-=--=-)()(2121y y y y x x x x λλ ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=⇒λλλλ112121y y y x x x 定比分点坐标公式(1-≠λ) 点P 分12P P 所成的比与点P 分21P P 所成的比是两个不同的比，要注意方向3点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点特别地，当λ＝１时，有P P 1＝2PP ，即点P 是线段Ｐ１Ｐ２之中点，其坐标为（2,22121y y x x ++） ②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点探究：若Ｐ１、Ｐ２是直线l 上的两点，点P 是l 上不同于Ｐ１、Ｐ２的任意一点，则存在一个实数λ，使P P 1＝λ2PP ，λ叫做P 分有向线段21P P 所成的比而且，当点P 在线段Ｐ１Ｐ２上时，λ＞０；当点P 在线段Ｐ１Ｐ２或Ｐ2Ｐ1的延长线上时，λ＜０对于上述内容，逆过来是否还成立呢?(1)若λ＞０，则点P 为线段Ｐ１Ｐ２的内分点；(2)若λ＜０，则点P 为线段Ｐ１Ｐ２的外分点一般来说，(1)是正确的，而(2)却不一定正确这是因为，当λ＝－１时，定比分点的坐标公式ｘ＝λλ++121x x 和ｙ＝λλ++121y y 显然都无意义，也就是说，当λ＝－１时，定比分点不存在 由此可见，当点P 为线段Ｐ１Ｐ２的外分点时，应有λ＜０且λ≠－１4线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ，由于P P 1＝OP －1OP ＝OP －ａ，2PP ＝2OP －OP ＝ｂ－OP 且有21P P ＝λ2PP ，所以OP -a =λ(b -OP )即可得 OP =b a b a λλλλλ+++=++1111 这一结论在几何问题的证明过程中应注意应用三、讲解范例：例1已知A (1，3)，B (－２，０)，Ｃ（２，１）为三角形的三个顶点，L 、M 、N 分别是BC 、CA 、AB 上的点，满足BL ∶BC ＝CM ∶CA ＝NA ∶AB ＝１∶３，求L 、M 、N 三点的坐标 分析：所给线段长度的比，实为相应向量模的比，故可转换所给比值为点L 、M 、N 分向量BC 、CA 、AB 所成的比，由定比分点坐标公式求三个点的坐标 另外，要求L 、M 、N 的坐标，即求OL 、OM 、ON 的坐标(这里O 为坐标原点)，为此，我们可借用定比分点的向量形式 下面给出第二种解法 解：∵Ａ（１，３），Ｂ（－２，０），Ｃ（２，１），∴OA ＝（１，３），OB ＝（－２，０），OC ＝（２，１）又∵ＢＬ∶ＢＣ＝ＣＭ∶ＣＡ＝ＡＮ∶ＡＢ＝１∶３∴可得：L 分CB ，M 分AC ，N 分BA 所成的比均为λ＝２∴OL ＝λ+11OC ＋λ+11OB ＝31（２，１）＋32（-2，0）=（-32，31） OM =λ+11OA +λλ+1OC =31 (1,3)+ 32（２，１）＝（35，35） ON ＝λ+11OB ＋λλ+1OA ＝31（－２，０）＋32（１，３）＝（０，２） ∴Ｌ（－32，31）、Ｍ（35，35）、Ｎ（０，２）为所求 上述两种解题思路，各有特色，各有侧重，望同学们比较选择，灵活应用例2已知三点A (0，8)，B (－４，０)，Ｃ（５，－３），Ｄ点内分AB 的比为１∶３，E 点在BC 边上，且使△BDE 的面积是△ABC 面积的一半，求DE 中点的坐标分析：要求DE 中点的坐标，只要求得点D 、E 的坐标即可，又由于点E 在BC 上，△BDE 与△ABC 有公共顶点B ，所以它们的面积表达式选定一公用角可建立比例关系求解解：由已知有AD ＝31DB ，则得ABDB ＝34 又21=∆∆ABC BDE S S ，而Ｓ△ＢＤＥ＝21｜DB ｜·｜BE ｜·sin ∠DBE ， Ｓ△ＡＢＣ＝21｜AB ｜·｜BC ｜sin ∠ABC ，且∠DBE ＝∠ABC ∴21=⋅⋅BC AB BEDB ，即得：32=BC BE又点E 在边BC2=，∴点E 分成比λ＝２由定比分点坐标公式有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-⨯+==+⨯+-=221)3(20221524E E y x ,即Ｅ（２，－２）， 又由⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=+-⨯+=631181311)4(310D D y x ,有D （－１，６） 记线段DE 的中点为M (x ,y ),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==-+=2262212)1(2y x ,即M （21，２）为所求 四、课堂练习：1．已知点A (－２，-３)，点Ｂ（４，１），延长AB 到P ，使｜｜＝３｜｜，求点P 的坐标解：因为点P 在AB 上的延长线上，P 为的外分点，所以，＝λ，λ＜０，又根据｜｜＝３｜｜，可知λ＝－３，由分点坐标公式易得P 点的坐标为（７，３）．2．已知两点P １（３，２），Ｐ２（－８，３），求点P (21，ｙ)分21P P 所成的比λ及ｙ的值解：由线段的定比分点坐标公式得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⨯+=+-+=λλλλ1321)8(321y ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2249175y λ 五、小结六、课后作业： 1已知点A 分有向线段BC 的比为2，则在下列结论中错误的是（ ） A 点C 分AB 的比是-31B 点C 分BA 的比是-3 C 点C 分AC 的比是-32D 点A 分CB 的比是22已知两点P １（－１，－６）、Ｐ２（３，０），点P （－37，ｙ）分有向线段21P P 所成的比为λ，则λ、ｙ的值为（ ）A －41，８B 41，－８C －41，－８ D ４，81 3△ABC 的两个顶点A (3，7)和B (-2，5)，若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，则顶点C 的坐标是（ ）A (2，-7)B (-7，2)C (-3，-5)D (-5，-3)4已知点A (x ,2),B (5,1),C (-4,2x )在同一条直线上，那么x =5△ABC 的顶点A (2，3)，B (-4，-2)和重心G (2，-1)，则C 点坐标为 6已知M 为△ABC 边AB 上的一点，且Ｓ△ＡＭＣ＝81Ｓ△ＡＢＣ，则M 分AB 所成的比为 7已知点A (-1,-4)、B (5,2)，线段AB 上的三等分点依次为P １、Ｐ２，求Ｐ１、Ｐ２点的坐标以及A 、B 分21P P 所成的比λ．8过P １（１，３）、Ｐ２（７，２）的直线与一次函数5852+=x y 的图象交于点P ，求P 分21P P 所成的比值9已知平行四边形ABCD 一个顶点坐标为A (-2,1)，一组对边AB 、CD 的中点分别为M (3，0)、N (-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标参考答案：1D 2C 3A 42或27 5(8,-4) 6 71 7P 1(1,-2),P 2(3,0),A 、B 分21p p 所成的比λ1、λ2分别为-21,-2 8 125 9Ｂ（８，－１），Ｃ（４，－３），Ｄ（－６，－１） 七、板书设计（略）八、课后记：。
线段的-定比分点
∴ x-x1= λ(x2-x) 解得 x x1 x2
P1
y-y1= λ(y2-y)
1
y y1 y2
(1)
1
y
P2 l
P
0
x
公式（1）叫有向线段P1P2的定比分点坐标公式
当P点是线段P1P2的中点时， λ=1，得
x x1 x2
2
y y1 y2 2
（2)
公式（2）叫有向线段P1P2的中点坐标公式
(3)设D点坐标(x0, y0 )
x0
11 1 2
2
1 3
y0
7
2 1 2
2
11 3
D(1 ,11) AD (5 1)2 (1 11)2 14 2
33
3
33
11
课堂小结
1.有向线段P1P2的定比分点公式
x x1 x2 1
y y1 y2 1
有向线段P1P2中点公式
( x1 x2 , y1 y2 )
4
3.推导公式及举例
若把直线l放在坐标系中，设P1（x1,y1),P2(x2，y2),点P分有向线段P1P2所成 的比为λ，那么点P的坐标如何表示呢？由向量的坐标等于终点的坐标减去
起点的坐标得：
P1P=（x-x1,y-y1), PP2=(x2-x,y2-y)
∵ P1P= λPP2 ∴ (x-x1,y-y1)= λ(x2-x,y2-y)
A
(2)D点分BC的比；
(3)线段AD的长度。
B
D
C
分析 : 本题用到了两点间距离公式及三角形角平分线性质 : BD AB
解:
DC AC
(1) AB [5 (1)]2 (1 7)2 10 同理 : AC 5
高考数学总复习 5.3线段的定比分点与平移课件 人教版
→ 点 P 分有向线段P1P2所成的比．
→ → P1P＝λPP2中，要注意字母的顺序，分别是起点—分点， → 分点—终点，这一顺序是不能颠倒的，P 分P1P2的比与 P 分 → P2P1的比是两个不同的比，要注意区别． → 点 P 在线段 P1P2 上且异于 P1、 P2 两点时， 点 P 是P1P2的 内分点，这时定比 λ＞0；当 P 在线段 P1P2 的延长线或反向 → → → 延长线上时，点 P 是P1P2的外分点，P1P与PP2方向相反，这 时定比 λ＜0.
.
答案：(－3，－5)或(2，－7)
x2 2 5．设 F1，F2 分别为椭圆 3 ＋y ＝1 的左、右焦点，点 A， → → B 在椭圆上．若F1A＝5F2B，则点 A 的坐标是______． → → 解析：设 A(m，n)，由 F1 A ＝5F2B m＋6 2 n 得 B( 5 ，5)． 2 m 2 3 ＋n ＝1， 又 A，B 均在椭圆上，所以有 m＋6 2 5 n 2 ＋ 5 ＝1， 3
(2)三角形重心坐标公式： 在△ABC 中， A(x1， y1)， B(x2， y2)，C(x3，y3)，若重心为 G(x，y)，
则
二、平移 1．平移 设F为坐标平面内的一个图形，将F上所有点按同一个方 向 移 动 同 样 的 长 度 ， 得 到 图 形 F′ ， 这 个 过 程 叫 图 形 的 平 移．将一个图形平移后，图形的形状大小不变，只是在坐标 平面内的位置发生变化．
第三讲
线段的定比分点与平移
考点 线段的 定比分 点 分比、定比 分点坐标公 式、中点坐 标公式 平移公式， 图形按向量 平移
考纲要求 掌握平面中线段 的定比分点和中 点坐标公式
线段的定比分点
课题：线段的定比分点．目的：掌握有向线段的定比分点和线段的中点公式，并能简单应用． 重点、难点：线段的定比分点．过程：一、复习引入前面我们学习了有向直线，有向线段，有向线段的长度，有向线段的数量等许多概念和符号．今天我们想在此基础上跟大家讨论线段的定比分点．二、新授1．定义：有向直线l 上的一点P ，把l 上的有向线段21P P 分成两条有向线段P P 1和2PP ．P P 1和2PP 数量的比叫做点P 分21P P 所成的比，通常用字母λ来表示这个比值，21PP P P =λ，点P 叫做21P P 的定比分点． 2．说明： （1）21P P 是在过两点1P 、2P 的一条有向直线上的有向线段，1P 是起点，2P 是终点；（2）P P 1是以1P 为起点，P 为终点；2PP 是以P 为起点，2P 为终点．顺序不能颠倒，否则λ的值就会随之改变；（为了联系紧密，P 为分点，∴21PP P P =λ中，P P →1，2P P →，就是起点→分点，分点→终点．）（3）21PP P P 不是线段的长度之比，而是有向线段的数量之比，这个比与过21P P 的有向直线无关；（4）在21PP P P 中，分子是由线段的起点1P 到分点P 的有向线段P P 1的数量，分母是由分点P 到终点2P 的有向线段2PP 的数量．请思考，点P 分21P P 所成的比和点P 分12P P 所成的比有何关系．3．练习：如图，求点B 分AC ，点B 分CA ，点C 分AB ，点C 分BA ，点A分BC ，点A 分CB 所成的比．（23，32，25-，52-，53-，35-） 由此回答：（1）P 分21P P 的比与P 分12P P 的比互为倒数；（2）λ的符号与点P 的位置有关．4．小结：若点P 在线段21P P 上，点P 叫做21P P 的内分点，此时0>λ；若点P 在线段12P P 或21P P 的延长线上，点P 叫做21P P 的外分点，此时0<λ．三、解几的基础是坐标系、点的坐标，那么我们怎样求定比分点的坐标呢？问题：设21P P 的两个端点分别为),(111y x P 和),(222y x P ，点P 分21P P 所成的比为λ（1-≠λ），求分点P 的坐标),(y x ．分析：过点1P 、2P 、P 分别作x 轴的垂线11M P 、22M P 、PM ，则垂足分别是)0,(11x M 、)0,(22x M 、)0,(x M ．根据平行线分线段成比例定理，得2121MM M M PP PP =．如果点P 在线段21P P 上，那么点M 也在线段21M M 上；如果点P 在线段21P P 或12P P 的延长线上，那么点M 也在线段21M M 或12M M 的延长线上．因此21PP P P 与21MM M M 的符号相同，所以21PP P P =21MM M M ． ∵11x x M M -=，x x MM -=22，∴xx x x --=21λ， 即21)1(x x x λλ+=+，当1-≠λ时，得λλ++=121x x x ． 同理可以求得y y y y --=21λ，λλ++=121y y y ． 因此，当已知两个端点为),(111y x P 、),(222y x P ，点),(y x P 分21P P 所成的比为λ时，点P 的坐标是λλ++=121x x x ，λλ++=121y y y （1-≠λ）． （1）把P P 1、2PP ，M M 1、2MM 看成一般的线段，根据初中几何平行截割定理得2121MM M M PP PP =；（2）从有向线段的数量的符号来验证这个比例． 当点P 在两点1P 、2P 之间，这时点M 也在两点1M 、2M 之间，有向线段P P 1和2PP 都具有相同的方向，它们的数量符号相同，∴=λ21PP P P 是正的．同样有向线段M M 1、2MM 也具有相同的方向，它们的数量的符号也相同，所以21MM M M 也是正的，因此，=λ21PP P P =21MM M M ． 当点P 在线段21P P 或12P P 的延长线上，那么点M 也在线段21M M 或12M M 的延长线上，而P P 1与2PP 的符号相反，于是=λ21PP P P 0<．同样M M 1、2MM 的符号也相反，所以21MM M M 也是负的，因此，=λ21PP P P =21MM M M ． 所以1P 、2P 不论在哪个象限，相互位置关系怎样，也不论点P 在21P P 上或在延长线上，定比分点公式都是正确的．特别地，当点P 是线段21P P 的中点时，有21PP P P =，即1=λ，因此线段21P P 中点P 的坐标是221x x x +=，221y y y +=．四．简单应用例．点1P 和2P 的坐标分别是)6,1(--和)0,3(，点P 的横坐标为37-．求点P 分21P P 所成的比λ和点P 的纵坐标y ． 解：由λ的定义，可得x x x x --=21λ41373)1(37-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=． 84110416121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=++=λλy y y ． 点P 分21P P 所成的比是41-，点P 的纵坐标是8-． 五．练习1．已知两点)2,3(1-P 、)4,9(2-P ．求点)0,(x P 分21P P 所成的比λ及x 的值．2．点M 分有向线段21M M 的比为λ，求点M 的坐标),(y x ，其中)5,1(1M 、)3,2(2M ，2-=λ； 六．小结1．定比分点P 的位置与λ的符号关系；2．定比分点坐标公式；3．λ的求法．七．作业。
5.4 线段的定比分点与平移
1 ∵ | AP | | AB | ， 3
又A（-1，6），B（3，0），
1 3 1 2 x 1 3 1 1 2 λ = 时， 2 1 6 0 y 2 4 1 1 2
设P（x，y），则由定比分点坐标公式得
1 1 3 7 4 x 1 3 1 1 4 λ = 时, 1 4 6 0 y 4 8 1 1 4
思维启迪
（1）利用向量的夹角公式求解；
（2）先把c·d化简整理成Asin(ωx+φ )+B的形成，再 利用角x的范围求最大值； （3）先化简f(x)=Asin(ωx+φ )，再设m的坐标，按平 移公式理顺关系求解. π 解 （1）∵x= , 4 ∴a= 6 ， 2 ）,b=(0, 2 ), （ 2 2 2 2 1 则a·b= （ 6 ， 2 ） （ 0， ） , · 2 2 2 2 a· b cos〈a，b〉= |a|· |b|
1 , 2 2 2· 2 1 2
［1分］
［3分］
π ∴向量a、b的夹角为 . 3
［4分］
（2）c·d=(sin x,cos x)·(sin x,sin x) =sin2x+sin xcos x
1 cos 2 x sin 2 x 1 1 (sin 2x-cos 2x) 2 2 2 2 π 1 2 = sin(2x) 4 2 2 π π π 3π ∵x∈［0, ］,∴ 2 x . 2 4 4 4 π π 3π 当2x- ,即x= 时， 4 2 8 2 1 c·d取最大值 . 2
λ =1 P为中点 内分点
λ >1 在中点与P2 之间
（2）线段定比分点坐标公式 设点P分有向线段 P P 所成的比为λ ，即 P P PP ， 1 2 1 2 x1 x2 并且P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)，则x= 1 ,y= y1 y2 1 (λ ≠-1)，特别地，当P(x,y)是 P P 的中点时， 1 2 x1 x2 y1 y2 有x= ,y= .2 2
高三数学线段的定比分点
《我爱这土地》中写“为什么我的眼里常含泪水”，上文结尾也写到了“流泪”，简要分析“眼泪”背后两位作者思想感情的异同。 3、文中的语言富有表现力，请结合句中加点的词语作简要分析。 一阵沙尘扑面而来，豆大的雨点砸了下来，劈头劈脸，欢笑的人群直往外冲。 ? 4、文
章第④段的“对我来说，去圆明园是一种凭吊，一种拜谒，甚至是一种提醒。”简要说说作者要“凭吊、拜谒”什么？ “提醒”什么呢？ 5、简要分析第⑤段中划线句在文中有什么作用？ ? 6、请你为圆明园遗址准备一条宣传语，要能揭示遗址给人的警示。（不超过20字，至少用一种
修辞手法） ? 参考答案： 1、A 理由：用拟人手法，容易引起读者的注意；更能表达作者对造成这种现象的悲痛心情（主题）。 2、相同点：都有对祖国的深切的爱。 不同点：艾青是目睹山河破碎、人民涂炭的现实，心中的痛苦。 本文作者是因为部分国人不知铭记历史而十分伤心、
难过。 3、“扑”表现风来得猛，“砸”表现雨下得大，这样写更能突出作者对人们不理解废墟价值的一种愤怒与悲哀。（言之有理，可酌情给分） 4、凭吊、拜谒无数在此长眠的死难者（中华民族屈辱的历史） 提醒自己不忘历史的耻辱，不能让悲剧重演。（意同即可） 5、一方面突
（5）ABC 的重心坐标公式：
x
y
xA yA
xB
3 yB
xC yC
3
2、平移
（1）图形平移的定义
设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有 点按照同一方向移动同样长度，得到图形F’， 我们把这一过程叫做图形的平移。
（2）平移公式
设P(x,y)是图形F上任意一点，它在平移后图形上的
起来，用极低的声音问：“老师，我可以带馒头吗？”一阵其实并没有恶意的笑声刺激着女孩，她的脸通红通红的，低着头默默地坐下，眼泪沿着脸颊流了下来。李老师走过去，抚摸着她的头说：“你放心，可以带馒头的。” ③出发的前一天，女孩子拿着饭票在学校食堂买了六个馒头，
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第五章 第四节 线段的定比分点与平移
题组一
线段的定分比问题
1.(2010·黄冈模拟)已知两点P (4，－9)，Q (－2,3)，则直线PQ 与y 轴的交点分有向线段 PQ 的比为
( )
A.13
B.12
C ．2
D ．3
解析：设所求的分比为λ，则由0＝4＋(－2)λ1＋λ⇒λ＝2.
答案：C
2．如图所示，已知两点A (2,0)，B (3,4)，直线ax －2y ＝0与线段AB 交于点C ，且C 分 AB 所成的比λ＝2，则实数a 的值为
( )
A ．－4
B ．4
C ．－2
D ．2 解析：∵A (2,0)，B (3,4)， ∴直线AB 的方程为y ＝4x －8， 设C 点横坐标为x ，
∴由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝4x －8ax －2y ＝0
⇒x ＝84－1
2
a .
又∵λ＝
AC CB
，
∴x ＝83，∴84－12a ＝8
3
，
解得a ＝2. 答案：D
3．已知A 、B 、C 三点共线，且A 、B 、C 三点的纵坐标分别为2,5,10，则点A 分BC 所 得的比为 ( )
A.38
B ．－3
8
C.83
D ．－83
解析：设点A 分BC 所得的比为λ，则2＝5＋10λ
1＋λ
∴λ＝－3
8.
答案：B
题组二
平移公式的应用
4.将函数y ＝2x ＋1＋ ( )
A ．a ＝(－1，－1)
B ．a ＝(1，－1)
C ．a ＝(1,1)
D ．a ＝(－1,1)
解析：设向量a ＝(m ，n )，y ＝2x ＋1，沿a 平移得到y －n ＝2x －m ＋1，即y ＝2x －m ＋1 ＋n 与y ＝2x ＋1重合，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝－1n ＝－1.
答案：A
5．将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象按向量a ＝(－π
6，0)平移，平移后的图象如图所示，则
平移后的图象所对应函数的解析式是
( )
A ．y ＝sin(x ＋π
6)
B ．y ＝sin(x －π
6)
C ．y ＝sin(2x ＋π
3)
D ．y ＝sin(2x －π
3
)
解析：函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象按向量a ＝(－π
6，0)平移后的解析式为y ＝sin ω(x ＋
π6)＝sin(ωx ＋ωπ6
)， 当x ＝7
12
π时，函数取最小值－1，
即sin(7ωπ12＋ωπ
6)＝－1，
∴sin 3ωπ
4＝－1，∴ω可取2.
即函数解析式为y ＝sin(2x ＋π
3)．
答案：C
6．将函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象按向量a 平移后所得的图象关于点(－π
12，0)中心对称，
则向量a 的坐标可能为
( )
A ．(－π
12，0)
B ．(－π
6，0)
C ．(π
12
，0)
D ．(π
6
，0)
解析：设平移向量a ＝(m,0)，则函数按向量a 平移后的表达式为y ＝sin[2(x －m )＋π
3]
＝sin(2x ＋π3－2m )，因为图象关于点(－π12，0)中心对称，故将x ＝－π
12代入得sin[2(－
π12)＋π3－2m ]＝0，即π6－2m ＝kπ(k ∈Z)，由k ＝0得，m ＝π
12
. 答案：C
7．把函数y ＝2x 2－4x ＋5的图象按向量a 平移得到y ＝2x 2的图象，又a ⊥b ，c ＝(1， －1)，b ·c ＝4，求向量b 的坐标． 解：法一：y ＝2x 2－4x ＋5＝2(x －1)2＋3， 依题意a ＝(－1，－3)，设b ＝(x ，y )， ∵a ⊥b ，
∴－x －3y ＝0，又∵b ·c ＝4，∴x －y ＝4，
解⎩⎪⎨⎪⎧ －x －3y ＝0，x －y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3，y ＝－1，
∴b ＝(3，－1)．
法二：设a ＝(h ，k )，设P (x ，y )是函数y ＝2x 2－4x ＋5图象上的任一点，平移后的对
应点为P ′(x ′，y ′)．由平移公式⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝x ′－h ，y ＝y ′－k ，
代入y ＝2x 2－4x ＋5，化简得，
y ′＝2x ′2－(4h ＋4)x ′＋2h 2＋4h ＋5＋k ， 对比y ＝2x 2，得4h ＋4＝0，h ＝－1，
2h 2＋4h ＋5＋k ＝0，k ＝－3，∴a ＝(－1，－3)； 再设b ＝(x ，y )，∵a ⊥b ，∴－x －3y ＝0， 又b ·c ＝4，∴x －y ＝4，
解⎩⎪⎨⎪⎧ －x －3y ＝0，x －y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3，y ＝－1，
∴b ＝(3，－1)．
8.(2010·福建四地六校联考)将函数y ＝sin(x －θ)的图象F 向右平移π3个单位长度得到图
象F ′，若F ′的一条对称轴是直线x ＝π
4，则θ的一个可能取值是 ( )
A.512π B ．－512π
C.1112π D ．－1112π
解析：由y ＝sin(x －θ)向右平移π
3得到
y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－θ，且关于x ＝π
4对称， ∴sin ⎝⎛⎭⎫
π4－π3－θ＝±
1， 即π4－π3－θ＝kπ＋π2(k ∈Z)，θ＝－kπ－7π
12(k ∈Z)，
当k ＝－1时，即θ＝5π12.
答案：A
9．把点A (2,1)按向量a ＝(－2,3)平移到B .此时点B 分向量OC (O 为坐标原点)的比 为－2，则C 点的坐标为________．
解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x ＋h y ′＝y ＋k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝0
y ′＝4
，即B (0,4)．
又∵B 分OC 的比为－2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
0＝0＋(－2)x
1＋(－2)4＝0＋(－2)y 1＋(－2)，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝0
y ＝2，即C (0,2)．
答案：(0,2)
10．已知a ＝(sin x,1)，b ＝(cos x ，1
2)，f (x )＝a ·(a －kb )
(1)求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )的最大值为
5－3
2
，则函数f (x )的图象能否由函数g (x )＝2a ·b 的图象经 过平移得到？若能，则写出一个平移向量m ；若不能，则说明理由．
解：(1)∵f (x )＝a ·(a －kb )＝a 2－ka ·b ＝sin 2x ＋1－k (sin x cos x ＋12)＝12(1－cos2x )＋1－1
2
k (sin2x ＋1)
＝12(3－k )－1
2(k sin2x ＋cos2x )
＝12(3－k )－
12
k 2＋1sin(2x ＋θ)．
故所求函数f (x )的值域为 [12(3－k )－12
k 2＋1，12(3－k )＋
1
2
k 2＋1]．
(2)∵函数f (x )的最大值为5－3
2
， ∴12(3－k )＋
12k 2＋1＝5－3
2
，
解得k ＝ 3.
∴f (x )＝12(3－3)－sin(2x ＋π
6)
＝12(3－3)＋sin(2x ＋7
6
π)．
又∵g (x )＝2a ·b ＝2sin x cos x ＋1＝sin2x ＋1， ∴函数g (x )＝2a ·b 的图象按向量
m ＝(－712π，12－3
2)平移后便得到函数f (x )的图象．。