七年级下7.5多边形的内角和与外角和同步练习及答案
苏教版七年级数学下册7.5多边形的内角和与外角和(难题)专题训练(含答案)
苏教版七年级数学下册7.5多边形的内角和与外角和（难题）专题训练（含答案）一、选择题1.关于正多边形，下列说法错误的是()A. 正多边形的边长相等B. 正多边形的每一个内角都相等C. 正六边形有9条对角线.D. 正多边形的对角线都相等2.如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？()A. 40°B. 45°C. 50°D. 60°3.如图，一个多边形纸片按示的剪一个内角后得到一个内为2340°的新边形则原多边的边数()A. 13B. 14C. 15D. 164.若一个多边形的各内角都相等，则此多边形的一个内角与一个外角的度数之比不可能是()A. 2：1B. 1：1C. 5：2D. 5:45.①三角形三个内角的和为360°；②三角形一个外角大于它的任何一个内角；③三角形一个外角等于它任意两个内角的和；④多边形形的外角和等于360°.⑤一个多边形的对角线可能会有12条；⑥一个正多边形的每个内角是135°，这个多边形是八边形。
上述正确说法的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 46.社区有一个五边形的小公园，如图所示，张老师每天晚饭后都要到公园里去散步，已知图形中的∠1=95°.张老师沿公园边由A点经过B→C→D→E一直到F时，他在行走过程中共转过的度数是()A. 265°B. 275°C. 360°D. 445°二、填空题7.过一个多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成了7个三角形，则这个多边形是_________边形．8.把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若∠1=52°，∠2=18°，则∠3=______．9.如图，用若干个完全相同的正五边形可以拼成一个环状，如图是前3个正五边形的拼接情况，要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是___________________________．10.一个多边形除了两个内角外，其余各内角的和为2030°，则这个多边形的边数是_________．11.若计算一个多边形内角和时，粗心的小明将其中一个内角没有加上去，而是加上了这个内角所对应的外角，这样计算出来的结果是600°，则小明计算的这个多边形的边数为____．12.如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180∘，AD=CD，∠ABD=m∘，则∠ADC的度数为是______ ∘(用含m的代数式表示)13.若一个凸多边形截去一个内角得到的新多边形的内角和是540°，则原多边形是_______________边形．三、解答题(∠C+ 14.如图，在四边形ABCD中，∠DAB、∠CBA的平分线交于点E，试说明：∠AEB=12∠D)．15.(1)如图1，在△ADC中，∠ADC的平分线和∠ACD的外角平分线交于点P，若∠ADC=70°，∠ACD=50°，求∠P的度数．(2)如图2，在四边形ABCD中，∠ADC的平分线和∠BCD的外角平分线交于点P，∠A=90°，∠B=150°，求∠P的度数．(3)如图3，若将(2)中“∠A=90°，∠B=150°”改为“∠A=α，∠B=β”，其余条件不变，直接写出∠P与α+β之间的数量关系．16.如图所示，平面上有n(n为奇数，n≥5)个点，顺次连结相隔的两个点分别作一条线段，则称这样围成的图形叫做回形n星形，相邻两条线段的夹角叫做内角，如图形1为回形五星形，图形2为回形七星形，……．(1)图1中的回形五星形的内角和∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=_________；(2)猜想图2中的回形七星形的内角和是多少？并证明你的结论；(3)猜想回形n星形的内角和是_______________________17.∠EAB是四边形ABCD的外角，设∠ABC=α、∠C=β．(1)如图1，∠ADC和∠EAB的平分线DM、AM相交于点M，当α=136∘、β=96∘时，∠M=__∘；(2)如图2，∠ADC和∠EAB的三等分线DN、AN相交于点N(∠CDN=13∠ADC,∠BAN=1 3∠EAB)，求证：∠N=23(α+β)−120∘；(3)如图3，∠ADC和∠EAB的n等分线分别相交于点P1、P2、P3、…、P n−1，∠P1+∠P2+∠P3+⋯+∠P n−1=__多少度(用含α、β、n的代数式表示)．答案和解析1.D解：A.正多边形的边长相等，正确；B.正多边形的每一个内角都相等，正确；C.正六边形有9条对角线，正确；D.正六边形对角线都不都相等，此项错误．2.A解：在DO延长线上找一点M，如图所示．∵多边形的外角和为360°，∴∠BOM=360°−220°=140°．∵∠BOD+∠BOM=180°，∴∠BOD=180°−∠BOM=180°−140°=40°．3.B解：设新多形是边形，由多边形内角和得解得n=1，原多边形5−1=14，4.D解：A.外角是：180×13=60°，360÷60=6，故可能；B.外角是：180×12=90°，360÷90=4，故可能；C.外角是：180×27=3607度，360÷3607=7，故可能；D.外角是：180×49=80°.360÷80=4.5，故不能构成．5.B解：①三角形的内角和为180∘，故说法①错误；②三角形一个外角大于与它不相邻的任一个内角，故说法②错误；③三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故说法③错误；④多边形的外角和等于360°，故说法④正确；⑤根据多边形对角线条数公式可知一个多边形的对角线不可能会有12条，故说法⑤错误；⑥一个正多边形的每个内角是135°，此时，它的一个外角为45°，则其边数为：360°÷45°=8，故说法⑥正确，所以正确的说法有④⑥，共2个．6.B解：360°−(180°−95°)=275°，故张老师共转了275°．7.九解：设这个多边形是n边形，由题意得，n−2=7，解得：n=9，即这个多边形是九边形，故答案为九．8.32°解：等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数(5−2)×180°=108°，是：15则∠3=360°−60°−90°−108°−∠1−∠2=32°．9.7解：设要完全拼成一个圆环需要的正五边形为n个，所以(n−2)⋅180°=(360°−2×108°)n，解得n=10，所以要完全拼成一个圆环还需要的正五边形的个数为7．10.n=14或15解：设多项式的边数为n，根据题意得：0<(n−2)×180°−2030°<360°，解得：13518<n<15518，即整数n=14或15，11.5或6解：设多边形的边数为n，多加的外角度数为α，少加的内角为180°−a，则(n−2)⋅180°=600°−α+180°−α，180°n−360°=780°−2α，α=570°−90°n，∵0°<α<180°∴0°<570°−90°n<180°，∴133<n<193，∵n只能为整数，∴n=5或6，12.(180−2m)解：如图所示：延长BA到E，使AE=BC，连接DE，，，∴∠C=∠DAE．又AD=CD，AE=BC，∴△DAE≌△DCB，∴∠E=∠CBD,DE=BD．∴∠E=∠ABD，，，13.四或五或六解：设新多边形的边数为n，则(n−2)⋅180°=540°，解得n=5，如图所示，截去一个角后，多边形的边数可以增加1，不变，减少1，所以，5−1=4，5+1=6，所以原来多边形的边数为4或5或6．14.证明：∵∠DAB与∠ABC的平分线交于四边形内一点E，∴∠EAB=12∠DAB，∠EBA=12∠ABC，∴∠AEB=180°−(∠EAB+∠EBA)=180°−12(∠DAB+∠CBA)=180°−12(360°−∠C−∠D)=12(∠C+∠D)．15.(1)解：如图1，在射线DC上取一点E，∵∠ADC的平分线和∠ACD的外角平分线交于点P，∴∠PDC=12∠ADC=35ﾟ，∠PCE=12∠ACE=12(180ﾟ−∠ACD)=65ﾟ.∴∠P=∠PCE−∠PDC=30ﾟ；(2)解：如图2，在射线DC上取一点E，∵∠ADC的平分线和∠BCD的外角平分线交于点P，∴∠PDC=12∠ADC，∠PCE=12∠BCE=12(180ﾟ−∠BCD)，∴∠P=∠PCE−∠PDC=12(180ﾟ−∠BCD)−12∠ADC=90ﾟ−12∠BCD−12∠ADC =90ﾟ−12(∠BCD+∠ADC)=90ﾟ−12(360ﾟ−∠A−∠B)=12(∠A+∠B)−90ﾟ=30ﾟ；(3)∠P=12(α+β)−90ﾟ．16.解：：(1)180°；(2)七星形的内角和是540°，理由如下：连接A4A5、A3A6，∵∠1+∠2=∠5=∠3+∠4，∴内角和=∠A1+∠A2+∠A4+∠A5+∠A7+∠1+∠2+∠6+∠7，=∠A1+∠A2+∠A4+∠A5+∠A7+∠3+∠4+∠6+∠7，=(∠A1+∠6+∠7)+(∠A2+∠A4+∠A5+∠A7+∠3+∠4)，=180°+360°=540°，(3)猜想回形n星形的内角和是180°(n−4)．17.(1)26；(2)证明：如图2，延长AB交DN于T，交DC的延长线于K，∵∠EAK是△ADK的外角，∴∠EAK=∠K+∠KDA，∴∠K=∠EAK−∠KDA，∵∠KTD=∠NTA，∴∠K+∠KDT=∠N+∠NAT，∵∠CDN=13∠ADC，∠BAN=13∠EAB，∴∠K−∠N=∠NAT−∠KDT，=13∠EAB−13∠ADC，=13∠K，∴∠N=23∠K，∵∠DCB、∠ABC是△BCK的外角，∴∠DCB=∠K+∠KBC，∠ABC=∠K+∠KCB，∴∠DCB+∠ABC=180°+∠K，∴∠K=(α+β)−180°，∴∠N=23[{α+β)−180°]=23(α+β)−120°；(3)n−12[(α+β)−180°]．。
苏教版七年级数学下册7.5多边形的内角和与外角和(难题)专题训练(含答案)
苏教版七年级数学下册7.5多边形的内角和与外角和（难题）专题训练（含答案）一、选择题1.关于正多边形，下列说法错误的是()A. 正多边形的边长相等B. 正多边形的每一个内角都相等C. 正六边形有9条对角线.D. 正多边形的对角线都相等2.如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？()A. 40°B. 45°C. 50°D. 60°3.如图，一个多边形纸片按示的剪一个内角后得到一个内为2340°的新边形则原多边的边数()A. 13B. 14C. 15D. 164.若一个多边形的各内角都相等，则此多边形的一个内角与一个外角的度数之比不可能是()A. 2：1B. 1：1C. 5：2D. 5:45.①三角形三个内角的和为360°；②三角形一个外角大于它的任何一个内角；③三角形一个外角等于它任意两个内角的和；④多边形形的外角和等于360°.⑤一个多边形的对角线可能会有12条；⑥一个正多边形的每个内角是135°，这个多边形是八边形。
上述正确说法的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 46.社区有一个五边形的小公园，如图所示，张老师每天晚饭后都要到公园里去散步，已知图形中的∠1=95°.张老师沿公园边由A点经过B→C→D→E一直到F时，他在行走过程中共转过的度数是()A. 265°B. 275°C. 360°D. 445°二、填空题7.过一个多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成了7个三角形，则这个多边形是_________边形．8.把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若∠1=52°，∠2=18°，则∠3=______．9.如图，用若干个完全相同的正五边形可以拼成一个环状，如图是前3个正五边形的拼接情况，要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是___________________________．10.一个多边形除了两个内角外，其余各内角的和为2030°，则这个多边形的边数是_________．11.若计算一个多边形内角和时，粗心的小明将其中一个内角没有加上去，而是加上了这个内角所对应的外角，这样计算出来的结果是600°，则小明计算的这个多边形的边数为____．12.如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180∘，AD=CD，∠ABD=m∘，则∠ADC的度数为是______ ∘(用含m的代数式表示)13.若一个凸多边形截去一个内角得到的新多边形的内角和是540°，则原多边形是_______________边形．三、解答题(∠C+ 14.如图，在四边形ABCD中，∠DAB、∠CBA的平分线交于点E，试说明：∠AEB=12∠D)．15.(1)如图1，在△ADC中，∠ADC的平分线和∠ACD的外角平分线交于点P，若∠ADC=70°，∠ACD=50°，求∠P的度数．(2)如图2，在四边形ABCD中，∠ADC的平分线和∠BCD的外角平分线交于点P，∠A=90°，∠B=150°，求∠P的度数．(3)如图3，若将(2)中“∠A=90°，∠B=150°”改为“∠A=α，∠B=β”，其余条件不变，直接写出∠P与α+β之间的数量关系．16.如图所示，平面上有n(n为奇数，n≥5)个点，顺次连结相隔的两个点分别作一条线段，则称这样围成的图形叫做回形n星形，相邻两条线段的夹角叫做内角，如图形1为回形五星形，图形2为回形七星形，……．(1)图1中的回形五星形的内角和∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=_________；(2)猜想图2中的回形七星形的内角和是多少？并证明你的结论；(3)猜想回形n星形的内角和是_______________________17.∠EAB是四边形ABCD的外角，设∠ABC=α、∠C=β．(1)如图1，∠ADC和∠EAB的平分线DM、AM相交于点M，当α=136∘、β=96∘时，∠M=__∘；(2)如图2，∠ADC和∠EAB的三等分线DN、AN相交于点N(∠CDN=13∠ADC,∠BAN=1 3∠EAB)，求证：∠N=23(α+β)−120∘；(3)如图3，∠ADC和∠EAB的n等分线分别相交于点P1、P2、P3、…、P n−1，∠P1+∠P2+∠P3+⋯+∠P n−1=__多少度(用含α、β、n的代数式表示)．答案和解析1.D解：A.正多边形的边长相等，正确；B.正多边形的每一个内角都相等，正确；C.正六边形有9条对角线，正确；D.正六边形对角线都不都相等，此项错误．2.A解：在DO延长线上找一点M，如图所示．∵多边形的外角和为360°，∴∠BOM=360°−220°=140°．∵∠BOD+∠BOM=180°，∴∠BOD=180°−∠BOM=180°−140°=40°．3.B解：设新多形是边形，由多边形内角和得解得n=1，原多边形5−1=14，4.D解：A.外角是：180×13=60°，360÷60=6，故可能；B.外角是：180×12=90°，360÷90=4，故可能；C.外角是：180×27=3607度，360÷3607=7，故可能；D.外角是：180×49=80°.360÷80=4.5，故不能构成．5.B解：①三角形的内角和为180∘，故说法①错误；②三角形一个外角大于与它不相邻的任一个内角，故说法②错误；③三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故说法③错误；④多边形的外角和等于360°，故说法④正确；⑤根据多边形对角线条数公式可知一个多边形的对角线不可能会有12条，故说法⑤错误；⑥一个正多边形的每个内角是135°，此时，它的一个外角为45°，则其边数为：360°÷45°=8，故说法⑥正确，所以正确的说法有④⑥，共2个．6.B解：360°−(180°−95°)=275°，故张老师共转了275°．7.九解：设这个多边形是n边形，由题意得，n−2=7，解得：n=9，即这个多边形是九边形，故答案为九．8.32°解：等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数(5−2)×180°=108°，是：15则∠3=360°−60°−90°−108°−∠1−∠2=32°．9.7解：设要完全拼成一个圆环需要的正五边形为n个，所以(n−2)⋅180°=(360°−2×108°)n，解得n=10，所以要完全拼成一个圆环还需要的正五边形的个数为7．10.n=14或15解：设多项式的边数为n，根据题意得：0<(n−2)×180°−2030°<360°，解得：13518<n<15518，即整数n=14或15，11.5或6解：设多边形的边数为n，多加的外角度数为α，少加的内角为180°−a，则(n−2)⋅180°=600°−α+180°−α，180°n−360°=780°−2α，α=570°−90°n，∵0°<α<180°∴0°<570°−90°n<180°，∴133<n<193，∵n只能为整数，∴n=5或6，12.(180−2m)解：如图所示：延长BA到E，使AE=BC，连接DE，，，∴∠C=∠DAE．又AD=CD，AE=BC，∴△DAE≌△DCB，∴∠E=∠CBD,DE=BD．∴∠E=∠ABD，，，13.四或五或六解：设新多边形的边数为n，则(n−2)⋅180°=540°，解得n=5，如图所示，截去一个角后，多边形的边数可以增加1，不变，减少1，所以，5−1=4，5+1=6，所以原来多边形的边数为4或5或6．14.证明：∵∠DAB与∠ABC的平分线交于四边形内一点E，∴∠EAB=12∠DAB，∠EBA=12∠ABC，∴∠AEB=180°−(∠EAB+∠EBA)=180°−12(∠DAB+∠CBA)=180°−12(360°−∠C−∠D)=12(∠C+∠D)．15.(1)解：如图1，在射线DC上取一点E，∵∠ADC的平分线和∠ACD的外角平分线交于点P，∴∠PDC=12∠ADC=35ﾟ，∠PCE=12∠ACE=12(180ﾟ−∠ACD)=65ﾟ.∴∠P=∠PCE−∠PDC=30ﾟ；(2)解：如图2，在射线DC上取一点E，∵∠ADC的平分线和∠BCD的外角平分线交于点P，∴∠PDC=12∠ADC，∠PCE=12∠BCE=12(180ﾟ−∠BCD)，∴∠P=∠PCE−∠PDC=12(180ﾟ−∠BCD)−12∠ADC=90ﾟ−12∠BCD−12∠ADC =90ﾟ−12(∠BCD+∠ADC)=90ﾟ−12(360ﾟ−∠A−∠B)=12(∠A+∠B)−90ﾟ=30ﾟ；(3)∠P=12(α+β)−90ﾟ．16.解：：(1)180°；(2)七星形的内角和是540°，理由如下：连接A4A5、A3A6，∵∠1+∠2=∠5=∠3+∠4，∴内角和=∠A1+∠A2+∠A4+∠A5+∠A7+∠1+∠2+∠6+∠7，=∠A1+∠A2+∠A4+∠A5+∠A7+∠3+∠4+∠6+∠7，=(∠A1+∠6+∠7)+(∠A2+∠A4+∠A5+∠A7+∠3+∠4)，=180°+360°=540°，(3)猜想回形n星形的内角和是180°(n−4)．17.(1)26；(2)证明：如图2，延长AB交DN于T，交DC的延长线于K，∵∠EAK是△ADK的外角，∴∠EAK=∠K+∠KDA，∴∠K=∠EAK−∠KDA，∵∠KTD=∠NTA，∴∠K+∠KDT=∠N+∠NAT，∵∠CDN=13∠ADC，∠BAN=13∠EAB，∴∠K−∠N=∠NAT−∠KDT，=13∠EAB−13∠ADC，=13∠K，∴∠N=23∠K，∵∠DCB、∠ABC是△BCK的外角，∴∠DCB=∠K+∠KBC，∠ABC=∠K+∠KCB，∴∠DCB+∠ABC=180°+∠K，∴∠K=(α+β)−180°，∴∠N=23[{α+β)−180°]=23(α+β)−120°；(3)n−12[(α+β)−180°]．。
七年级数学下7.5多边形的内角和同步练习(苏科版含答案)
七年级数学下7.5多边形的内角和同步练习(苏科版含答案)7、5多边形的内角和同步练习(苏科版含答案)第2课时多边形的内角和知识点多边形的内角和1、七边形的内角和是()A、180B、360、900D、10802、教材练一练第3题变式已知一个多边形的内角和是900，则这个多边形是()A、五边形B、六边形、七边形D、八边形3、xx泰兴期末如图7－5－10，在四边形ABD中，如果∠A＋∠B＋∠＝260，那么∠D的度数为()图7－5－10A、120B、110、100D、904、下列度数中，不可能是某个多边形的内角和的是()A、180B、270、360D、5405、xx海南五边形的内角和的度数是________、6、若四边形四个内角的度数之比为2∶3∶5∶8，则它们的度数分别是______________、7、求出下列图形中x的值：(1)根据图7－5－11①列方程：______________，解得x＝________；(2)根据图7－5－11②列方程：______________，解得x＝________、图7－5－118、已知在一个二边形中，其中一个内角的度数和是1680，求这个二边形另一个内角的度数、【能力提升】9、xx镇江期末一个多边形的每个内角都等于144，则这个多边形的边数是()A、8B、9、10D、1110、xx南长区模拟如图7－5－12，四边形纸片ABD中，∠A ＝70，∠B＝80，将纸片折叠，使点，D落在AB边上的点′，D′处，折痕为N，则∠AD′＋∠BN′＝()图7－5－12A、50B、60、70D、8011、xx聊城如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是________、12、如图7－5－13，一块较为精密的模板中，AB，D的延长线应该相交成80的角，因交点不在模板上，不便测量，测得∠BAE＝124，∠DF＝155，AE⊥EF，F⊥EF，此时AB，D的延长线相交成的角是否符合规定？为什么？13、如图7－5－14，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7等于()A、450B、540、630D、720 教师详解详析1、[解析]当n＝7时，180(n－2)＝900，所以七边形的内角和为900，故选、2、[解析]设这个多边形是n边形，则(n－2)180＝900，解得n＝7、3、[解析]∠D＝360－(∠A＋∠B＋∠)＝360－260＝100、故选、4、B [解析]多边形的内角和是180的整数倍、5、540 [解析]五边形的内角和的度数为180(5－2)＝1803＝540、6、40，60，100，160 [解析]设四边形四个内角的度数分别为2k，3k，5k，8k，则2k＋3k＋5k＋8k＝360，所以k＝20，所以四个内角的度数分别是40，60，100，160、7、(1)x＋x＋90＋140＝360 65(2)2x＋x＋90＋150＋120＝540 608、解：因为二边形的内角和为(12－2)180＝1800，其中一个内角的度数和是1680，所以这个二边形另一个内角的度数为1800－1680＝120、9、[解析]运用多边形内角和公式，列出关于边数的方程即可、10、B [解析]根据四边形的内角和得到∠D＋∠＝360－∠A －∠B＝210、由折叠的性质得到∠D′B＝∠D，∠N′A＝∠，得到∠D′B＋∠N′A＝210，根据平角的定义得到∠AD′＋∠B′N＝150，根据三角形的内角和即可得到结论、11、540或360或180 [解析]n边形的内角和是(n－2)180、①边数增加1，则新的多边形的内角和是(4＋1－2)180＝540；②所得新的多边形的边数不变，则新的多边形的内角和是(4－2)180＝360；③所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是(4－1－2)180＝180、12、解：不符合规定、理由：设AB与D的延长线交于点G，如图、因为AE⊥EF，F⊥EF，所以∠E＝∠F＝90、因为∠BAE＝124，∠DF＝155，所以∠G＝540－(124＋155＋902)＝540－459＝81、因为81≠80，所以AB，D的延长线相交成的角不符合规定、13、B [解析]如图、因为∠3＋∠4＝∠8＋∠9，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540、故选B、全文结束》》。
苏科新版七年级下册《7.5多边形的内角和与外角和》2024年同步练习卷(2)+答案解析
苏科新版七年级下册《7.5多边形的内角和与外角和》2024年同步练习卷（2）一、选择题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个10边形的内角和等于()A. B. C. D.2.一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为()A.10B.11C.12D.133.用一条直线将一个菱形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则的值不可能是()A. B. C. D.4.若一个多边形的内角和为，则该多边形的边数为()A.3B.4C.5D.65.若正多边形的一个内角是，则该正多边形的边数是()A.6B.12C.16D.186.一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数为()A.8B.7或8C.6或7或8D.7或8或97.在四边形ABCD中，，点E在边AB上，，则一定有()A. B.C. D.二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
8.n边形的内角和比边形的内角和小______为整数，且9.如图，在四边形ABCD中，，，它的一个外角则的度数为______.10.四边形的四个内角中，直角最多有______个，钝角最多有______个，锐角最多有______个．11.如图，在四边形ABCD中，，直线l与边AB、AD分别相交于点M、N，则______.12.如图，求的度数为______.13.一个五边形，其中四个内角的度数之比为1：2：3：4，第五个内角比最小内角大，则此五边形五个内角的度数分别为______、______、______、______、______.14.如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的六边形上，若六边形的每个内角都相等，且，则______.15.通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题，如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有9条，那么该多边形的内角和是______度.三、解答题：本题共4小题，共32分。
七年级数学下册第7章 7.5 多边形的内角和与外角和 课时练习(含答案解析)
7.5 多边形的内角和与外角和一．选择题1．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（）A．120°B．105°C．60°D．45°2．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（）A．16 B．17 C．18 D．193．过某个多边形一点顶点的所有对角线，将这个多边形分成了5个三角形，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形4．把一副三角板按如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．165°B．160°C．155° D．150°5．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．钝角或直角三角形6．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=（）A．40°B．45°C．50°D．60°7．正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．88．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°﹣αB．αC．90°+αD．360°﹣α9．（2017•云南）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形10．（2017•临沂）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形11．（2017•台湾）如图为互相垂直的两直线将四边形ABCD分成四个区域的情形，若∠A=100°，∠B=∠D=85°，∠C=90°，则根据图中标示的角，判断下列∠1，∠2，∠3的大小关系，何者正确（）A．∠1=∠2＞∠3 B．∠1=∠3＞∠2 C．∠2＞∠1=∠3 D．∠3＞∠1=∠2 12．（2017•株洲）如图，在△ABC中，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠BAD=（）A．145°B．150°C．155° D．160°13．（2017•郴州）小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（）A．180°B．210°C．360° D．270°14．（2017•长沙）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形二．填空题15．（2017•广东）一个n边形的内角和是720°，则n=．16．（2017•西宁）若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是．17．（2017•青海）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2=．18．（2017•成都）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为．19．（2017•泰州）将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为．20．（2017•福建）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于度．21．（2017•南京）如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D=°．三．解答题22．已知：如图①，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分别平分∠PBC、∠PCB，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE．（1）当∠BAC=40°时，∠BPC=，∠BQC=；（2）当BM∥CN时，求∠BAC的度数；（3）如图②，当∠BAC=120°时，BM、CN所在直线交于点O，直接写出∠BOC 的度数．23．（1）阅读理解：如图1是二环三角形，可得S=∠A1+∠A2+…+∠A6=360°理由：连接A1A4∵∠1+∠2+∠A1OA4=180°∠A5+∠A6+∠A5OA6=180°又∵∠A1OA4=∠A5OA6∴∠1+∠2=∠A5+∠A6∴∠A2+∠3+∠1+∠2+∠4+∠A3=360°∴∠A2+∠3+∠A5+∠A6+∠4+∠A3=360°即S=360°（2）延伸探究：①如图2是二环四边形，可得S=∠A1+∠A2+…+∠A8=720°，请你加以证明②如图3是二环五边形，可得S=，聪明的你，能根据以上的规律直接写出二环n边形（n≥3的整数）中，S=度．（用含n的代数式表示最后的结果）24．分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完成下列问题：（1）试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：．（2）从十五边形的一个顶点可以引出条对角线，十五边形共有条对角线：（3）如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数．25．请你裁定，你一定要主持公道啊！小明和小方分别设计了一种求n边形的内角和（n为大于2的整数）的方案：（1）小明是在n边形内任取一点P，然后分别连接PA1，PA2，…，PA n（如图①）；（2）小方是在n边形的一边A2A3上任取一点P，然后分别连接PA1，PA4，…，PA n（如图②）．请你评判这两种方案是否可行；如果不可行，请你说明理由；如果可行，请你分别沿着两种方案的设计思路，求出n边形的内角和．26．探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．27．问题1：如图，我们将图（1）所示的凹四边形称为“镖形”．在“镖形”图中，∠AOC与∠A、∠C、∠P的数量关系为．问题2：如图（2），已知AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，∠B=28°，∠D=48°，求∠P的大小；小明认为可以利用“镖形”图的结论解决上述问题：由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；由“”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．所以2∠APC=．请帮助小明完善上述说理过程，并尝试解决下列问题（问题1、问题2中得到的结论可以直接使用，不需说明理由）；解决问题1：如图（3）已知直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，并说明理由；解决问题2：如图（4），已知直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，则∠P与∠B、∠D的关系为．28．△ABC的三条角平分线相交于点I，过点I作DI⊥IC，交AC于点D．（1）如图1，求证：∠AIB=∠ADI；（2）如图2，延长BI，交外角∠ACE的平分线于点F．①判断DI与CF的位置关系，并说明理由；②若∠BAC=70°，求∠F的度数．29．如图1，已知△ABC，射线CM∥AB，点D是射线CM上的动点，连接AD．（1）如图2，若∠ACB=∠ABC，∠CAD的平分线与BC的延长线交于点E．①若∠BAC=40°，AD∥BC，则∠AEC的度数为；②在点D运动的过程中，探索∠AEC和∠ADC之间的数量关系；（2）若∠ACB=n∠ABC，∠CAD内部的射线AE与BC的延长线交于点E，∠CAE=n ∠EAD，那么∠AEC和∠ADC之间的数量关系为．30．如图，在小学我们通过观察、实验的方法得到了“三角形内角和是180°”的结论．小明通过这学期的学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性．受到实验方法1的启发，小明形成了证明该结论的想法：实验1的拼接方法直观上看，是把∠1和∠2移动到∠3的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用平行线的性质就可以解决问题了．小明的证明过程如下：已知：如图，△ABC．求证：∠A+∠B+∠C=180°．证明：延长BC，过点C作CM∥BA．∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角定义），∴∠A+∠B+∠ACB=180°．请你参考小明解决问题的思路与方法，写出通过实验方法2证明该结论的过程．31．（1）如图①，你知道∠BOC=∠1+∠2+∠A的奥秘吗？请用你学过的知识予以证明；（2）如图②，设x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E，运用（1）中的结论填空．x=；x=（3）如图③，一个六角星，其中∠BOD=80°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．参考答案与试题解析一．选择题1．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（）A．120°B．105°C．60°D．45°【分析】先求出∠2，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：如图，∠2=90°﹣45°=45°，由三角形的外角性质得，∠1=∠2+60°，=45°+60°，=105°．故选B．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．2．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（）A．16 B．17 C．18 D．19【分析】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n﹣1）边形．【解答】解：当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形．故选A．【点评】此题主要考查了多边形，剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．3．过某个多边形一点顶点的所有对角线，将这个多边形分成了5个三角形，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成n﹣2个三角形，依此可得n的值．【解答】解：根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成n﹣2个三角形，∴n﹣2=5，即n=7．故选C．【点评】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．4．把一副三角板按如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．165°B．160°C．155° D．150°【分析】先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠1，再求出∠α即可．【解答】解：如图，∠1=∠D+∠C=45°+90°=135°，∠α=∠1+∠B=135°+30°=165°．故选：A．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．5．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．钝角或直角三角形【分析】利用“设k法”求出最大角的度数，然后作出判断即可．【解答】解：设三个内角分别为2k、3k、4k，则2k+3k+4k=180°，解得k=20°，所以，最大的角为4×20°=80°，所以，三角形是锐角三角形．故选A．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，利用“设k法”表示出三个内角求解更加简便．6．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD=x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD﹣∠BPC=（x﹣40）°，∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）=80°，∴∠CAF=100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP=∠PAC=50°．故选C．【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解决问题的关键．7．正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数，根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解答】解：∵正多边形的一个内角为135°，∴外角是180﹣135=45°，∵360÷45=8，则这个多边形是八边形，故选D．【点评】本题考查了外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，难度适中．8．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°﹣αB．αC．90°+αD．360°﹣α【分析】先求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解∠P的度数．【解答】解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D）=360°﹣α，∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠BCD）=（360°﹣α）=180°﹣α，则∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（180°﹣α）=α．故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角和外角以及三角形的内角和定理，关键是先求出∠ABC+∠BCD的度数．9．（2017•云南）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【分析】设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．【解答】解：设这个多边形是n边形，则（n﹣2）•180°=900°，解得：n=7，即这个多边形为七边形．故本题选C．【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．10．（2017•临沂）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．【解答】解：设所求正n边形边数为n，由题意得（n﹣2）•180°=360°×2解得n=6．则这个多边形是六边形．故选：C．【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，n边形的内角和为（n ﹣2）•180°．11．（2017•台湾）如图为互相垂直的两直线将四边形ABCD分成四个区域的情形，若∠A=100°，∠B=∠D=85°，∠C=90°，则根据图中标示的角，判断下列∠1，∠2，∠3的大小关系，何者正确（）A．∠1=∠2＞∠3 B．∠1=∠3＞∠2 C．∠2＞∠1=∠3 D．∠3＞∠1=∠2【分析】根据多边形的内角和与外角和即可判断．【解答】解：∵（180°﹣∠1）+∠2=360°﹣90°﹣90°=180°∴∠1=∠2∵（180°﹣∠2）+∠3=360°﹣85°﹣90°=185°∴∠3﹣∠2=5°，∴∠3＞∠2∴∠3＞∠1=∠2故选（D）【点评】本题考查多边形的内角与外角，解题的关键是熟练运用多边形的内角和与外角和，本题属于基础题型．12．（2017•株洲）如图，在△ABC中，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠BAD=（）A．145°B．150°C．155° D．160°【分析】根据三角形内角和定理求出x，再根据三角形的外角的等于不相邻的两个内角的和，即可解决问题．【解答】解：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，∴6x=180°，∴x=30°，∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°，故选B．【点评】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质等知识，学会构建方程解决问题，属于基础题．13．（2017•郴州）小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（）A．180°B．210°C．360° D．270°【分析】根据三角形的外角的性质分别表示出∠α和∠β，计算即可．【解答】解：∠α=∠1+∠D，∠β=∠4+∠F，∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F=∠2+∠D+∠3+∠F=∠2+∠3+30°+90°=210°，故选：B．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．14．（2017•长沙）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【分析】根据三角形内角和等于180°计算即可．【解答】解：设三角形的三个内角的度数之比为x、2x、3x，则x+2x+3x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，∴这个三角形一定是直角三角形，故选：B．【点评】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．二．填空题15．（2017•广东）一个n边形的内角和是720°，则n=6．【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．【解答】解：依题意有：（n﹣2）•180°=720°，解得n=6．故答案为：6．【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．16．（2017•西宁）若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是9．【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得=40，解得n=9．故答案为9．【点评】本题主要考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为360°，比较简单．17．（2017•青海）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2=24°．【分析】首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出∠3、∠1、∠2的度数是多少，进而求出∠3+∠1﹣∠2的度数即可．【解答】解：正三角形的每个内角是：180°÷3=60°，正方形的每个内角是：360°÷4=90°，正五边形的每个内角是：（5﹣2）×180°÷5=3×180°÷5=540°÷5=108°，正六边形的每个内角是：（6﹣2）×180°÷6=4×180°÷6=720°÷6=120°，则∠3+∠1﹣∠2=（90°﹣60°）+（120°﹣108°）﹣（108°﹣90°）=30°+12°﹣18°=24°．故答案为：24°．【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．18．（2017•成都）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为40°．【分析】直接用一个未知数表示出∠A，∠B，∠C的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2x+3x+4x=180°，解得：x=20°，∴∠A的度数为：40°．故答案为：40°．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确表示出各角度数是解题关键．19．（2017•泰州）将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为15°．【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：由三角形的外角的性质可知，∠α=60°﹣45°=15°，故答案为：15°．【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．20．（2017•福建）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于108度．【分析】根据多边形的内角和，可得∠1，∠2，∠3，∠4，根据等腰三角形的内角和，可得∠7，根据角的和差，可得答案．【解答】解：如图，由正五边形的内角和，得∠1=∠2=∠3=∠4=108°，∠5=∠6=180°﹣108°=72°，∠7=180°﹣72°﹣72°=36°．∠AOB=360°﹣108°﹣108°﹣36°=108°，故答案为：108．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用多边形的内角和得出每个内角是解题关键．21．（2017•南京）如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D=425°．【分析】根据补角的定义得到∠AED=115°，根据五边形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵∠1=65°，∴∠AED=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D=540°﹣∠AED=425°，故答案为：425．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．三．解答题22．已知：如图①，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分别平分∠PBC、∠PCB，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE．（1）当∠BAC=40°时，∠BPC=70°，∠BQC=125°；（2）当BM∥CN时，求∠BAC的度数；（3）如图②，当∠BAC=120°时，BM、CN所在直线交于点O，直接写出∠BOC 的度数．【分析】（1）根据三角形的外角性质分别表示出∠DBC与∠BCE，再根据角平分线的性质可求得∠CBP+∠BCP，最后根据三角形内角和定理即可求解；根据角平分线的定义得出∠QBC=∠PBC，∠QCB=∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据平行线的性质得到∠MBC+∠NCB=180°，依此求解即可；（3）根据题意得到∠MBC+∠NCB，再根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得到∠BOC的度数．【解答】解：（1）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220°，∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，∴∠CBP+∠BCP=（∠DBC+∠BCE）=110°，∴∠BPC=180°﹣110°=70°，∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，∴∠QBC=∠PBC，∠QCB=∠PCB，∴∠QBC+∠QCB=55°，∴∠BQC=180°﹣55°=125°；故答案为：70°，125°；（2）∵BM∥CN，∴∠MBC+∠NCB=180°，∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∴（∠DBC+∠BCE）=180°，即（180°+∠BAC）=180°，解得∠BAC=60°；（3）∵∠BAC=120°，∴∠MBC+∠NCB=（∠DBC+∠BCE）=（180°+α）=225°，∴∠BOC=225°﹣180°=45°．【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．23．（1）阅读理解：如图1是二环三角形，可得S=∠A1+∠A2+…+∠A6=360°理由：连接A1A4∵∠1+∠2+∠A1OA4=180°∠A5+∠A6+∠A5OA6=180°又∵∠A1OA4=∠A5OA6∴∠1+∠2=∠A5+∠A6∴∠A2+∠3+∠1+∠2+∠4+∠A3=360°∴∠A2+∠3+∠A5+∠A6+∠4+∠A3=360°即S=360°（2）延伸探究：①如图2是二环四边形，可得S=∠A1+∠A2+…+∠A8=720°，请你加以证明②如图3是二环五边形，可得S=1080，聪明的你，能根据以上的规律直接写出二环n边形（n≥3的整数）中，S=360（n﹣2）度．（用含n的代数式表示最后的结果）【分析】在（1）的基础上类似作辅助线，把要求的所有角转换到一个多边形中，再根据多边形的内角和定理进行求解．【解答】解：（1）如图所示，则S=∠A1+∠A2+…+∠A8=S=∠A1+∠A2+…+∠A5+∠M+∠1+∠2=（6﹣2）×180°=720°．（2）依此类推，得是二环五边形时，则S=1080°；推而广之，二环n边形（n≥3的整数）时，S=360（n﹣2）．【点评】此题主要是巧妙构造辅助线把要求的角能够构造到一个多边形中．n边形的内角和是（n﹣2）×180°．24．分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完成下列问题：（1）试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：S=n（n﹣3）．（2）从十五边形的一个顶点可以引出12条对角线，十五边形共有90条对角线：（3）如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数．【分析】（1）根据多边形对角线的条数的公式即可求解；（2）根据多边形对角线的条数的公式代值计算即可求解；（3）根据等量关系：一个多边形对角线的条数与它的边数相等，列出方程计算即可求解．【解答】解：如图所示：（1）用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：S=n（n﹣3）；（2）十五边形从一个顶点可引出对角线：15﹣3=12（条），共有对角线：×15×（15﹣3）=90（条）；（3）设多边形有n条边，则n（n﹣3）=n，解得n=5或n=0（应舍去）．故这个多边形的边数是5．故答案为：S=n（n﹣3）；12，90．【点评】本题主要考查了多边形对角线的条数的公式总结，熟记公式对今后的解题大有帮助．25．请你裁定，你一定要主持公道啊！小明和小方分别设计了一种求n边形的内角和（n为大于2的整数）的方案：（1）小明是在n边形内任取一点P，然后分别连接PA1，PA2，…，PA n（如图①）；（2）小方是在n边形的一边A2A3上任取一点P，然后分别连接PA1，PA4，…，PA n（如图②）．请你评判这两种方案是否可行；如果不可行，请你说明理由；如果可行，请你分别沿着两种方案的设计思路，求出n边形的内角和．【分析】两种方案都是可行的，方案一可按照思路：n个三角形的内角和减去一个周角的度数，方案二按照思路：（n﹣1）个三角形的内角和减去一个平角的度数．【解答】解：小明和小方的方案均可行．理由如下：小明的方案：n边形的内角和等于n个三角形的内角和减去一个周角，即n边形的内角和为n×180°﹣360°为（n﹣2）×180°；小方的方案：n边形的内角和等于（n﹣1）个三角形的内角和减去一个平角，即n边形的内角和为（n﹣1）×180°﹣180°为（n﹣2）×180°．【点评】本题考查了多边形的内角和，解答本题关键是仔细观察所给图形，利用三角形的内角和定理解答．26．探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．【分析】探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；探究二：根据角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；探究三：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．【解答】解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD=180°﹣∠ADC﹣∠ACD=180°﹣（∠ADC+∠ACD）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A；探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD=180°﹣∠ADC﹣∠BCD=180°﹣（∠ADC+∠BCD）=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）=（∠A+∠B）．【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．27．问题1：如图，我们将图（1）所示的凹四边形称为“镖形”．在“镖形”图中，∠AOC与∠A、∠C、∠P的数量关系为∠AOC=∠A+∠C+∠P．问题2：如图（2），已知AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，∠B=28°，∠D=48°，求∠P的大小；小明认为可以利用“镖形”图的结论解决上述问题：由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；由“外角的性质”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．所以2∠APC=∠B+∠C．请帮助小明完善上述说理过程，并尝试解决下列问题（问题1、问题2中得到的结论可以直接使用，不需说明理由）；解决问题1：如图（3）已知直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，并说明理由；解决问题2：如图（4），已知直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，则∠P与∠B、∠D的关系为∠P=90°+（∠B+∠D）．【分析】问题1：根据三角形的外角的性质即可得到结论；问题2：根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；解决问题1：根据四边形的内角和等于360°可得（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；解决问题2：根据（1）的结论∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．【解答】解：问题1：连接PO并延长．则∠1=∠A+∠2，∠3=∠C+∠4，∵∠2+∠4=∠P，∠1+∠3=∠AOC，∴∠AOC=∠A+∠C+∠P；故答案为：∠AOC=∠A+∠C+∠P；问题2：如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠2+∠B=∠3+∠P，∠1+∠P=∠4+∠D，∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（∠B+∠D）=×（28°+48°）=38°；解决问题1：如图3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠4）+∠D，在四边形APCB中，（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，在四边形APCD中，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，∴2∠P+∠B+∠D=360°，∴∠P=180°﹣（∠B+∠D）；解决问题2：如图4，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵（∠1+∠2）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，∠2+∠P=（180°﹣∠3）+∠D，∴2∠P=180°+∠D+∠B，∴∠P=90°+（∠B+∠D）．故答案为：∠P=90°+（∠B+∠D）．解法二：如图3，∵AP平分△AOB的外角∠FAD，CP平分△COD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，分别作∠BAD、∠BCD的角平分线交于点M，则∠5=∠6，∵∠1+∠2+∠5+∠6=180°，∴∠2+∠6=90°，即∠PAM=90°，同理：∠PCM=90°，∴在四边形APCM中，∠P+∠M=180°，由问题2，得∠M=（∠B+∠D）．∴∠P=180°﹣（∠B+∠D）．如图4中，作∠BCD的角平分线，交AP的延长线于点N，则∠1=∠2，由问题2，得∠N=（∠B+∠D）．∵CP平分△COD的外角∠BCE，∴∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠4=90°，即∠PCN=90°，∵∠APC=∠PCN+∠N∴∠APC=90°+（∠B+∠D）．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8字形”的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．28．△ABC的三条角平分线相交于点I，过点I作DI⊥IC，交AC于点D．（1）如图1，求证：∠AIB=∠ADI；（2）如图2，延长BI，交外角∠ACE的平分线于点F．①判断DI与CF的位置关系，并说明理由；②若∠BAC=70°，求∠F的度数．【分析】（1）只要证明∠AIB=90°+∠ACB，∠ADI=90°+∠ACB即可；（2）①只要证明∠IDC=∠DCF即可；②首先求出∠ACE﹣∠ABC=∠BAC=70°，再证明∠F=∠ACE﹣∠ABC=（∠ACE ﹣∠ABC）即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AI、BI分别平分∠BAC，∠ABC，∴∠BAI=∠BAC，∠ABI=∠ABC，∴∠BAI+∠ABI=（∠BAC+∠ABC）=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB，∴在△ABI中，∠AIB=180°﹣（∠BAI+∠ABI）=180°﹣（90°﹣∠ACB）=90°+∠ACB，∵CI平分∠ACB，∴∠DCI=∠ACB，∵DI⊥IC，∴∠DIC=90°，∴∠ADI=∠DIC+∠DCI=90°+∠ACB，∴∠AIB=∠ADI．（2）①解：结论：DI∥CF．理由：∵∠IDC=90°﹣∠DCI=90°﹣∠ACB，∵CF平分∠ACE，∴∠ACF=∠ACE=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB，∴∠IDC=∠ACF，∴DI∥CF．②解：∵∠ACE=∠ABC+∠BAC，∴∠ACE﹣∠ABC=∠BAC=70°，∵∠FCE=∠FBC+∠F，∴∠F=∠FCE﹣∠FBC，∵∠FCE=∠ACE，∠FBC=∠ABC，∴∠F=∠ACE﹣∠ABC=（∠ACE﹣∠ABC）=35°【点评】本题考查三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、平行线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．29．如图1，已知△ABC，射线CM∥AB，点D是射线CM上的动点，连接AD．（1）如图2，若∠ACB=∠ABC，∠CAD的平分线与BC的延长线交于点E．①若∠BAC=40°，AD∥BC，则∠AEC的度数为35°；②在点D运动的过程中，探索∠AEC和∠ADC之间的数量关系；（2）若∠ACB=n∠ABC，∠CAD内部的射线AE与BC的延长线交于点E，∠CAE=n ∠EAD，那么∠AEC和∠ADC之间的数量关系为∠AEC=∠ADC．【分析】（1）①先根据三角形的内角和求∠ACB=70°，由平行线的性质得：∠DAC=70°，利用角平分线得：∠DAE=35°，最后利用平行线的内错角相等得结论；②设∠CAE=x，∠BAC=y，在△ACD和△ABE中根据三角形内角和表示∠ADC和∠AEC，可得结论；（2）如图3，设∠ABC=x，∠EAD=y，则∠ACB=nx，∠CAE=ny，在△ACE中根据外角的性质得：∠AEC=nx﹣ny=n（x﹣y），在△ADC中，根据三角形内角和可得∠ADC的度数，由此可得结论．【解答】解：（1）①如图2，∵∠BAC=40°，∴∠ACB+∠ABC=180°﹣40°=140°，∵∠ACB=∠ABC，∴∠ACB=70°，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=70°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=∠DAC=×70°=35°，∵AD∥BC，∴∠AEC=∠DAE=35°，故答案为：35°；②∠ADC=2∠AEC，理由是：设∠CAE=x，∠BAC=y，则∠EAD=x，∠ABC=，∵AB∥CM，∴∠ACM=∠BAC=y，∴∠ADC=180﹣2x﹣y，△ABE中，∠AEC=180﹣x﹣y﹣=90﹣x﹣，。
苏科新版七年级数学下学期 7.5 多边形的内角和与外角和 同步练习 含答案
7.5 多边形的内角和与外角和一．选择题（共10小题）1．下列说法正确的是．（）A．三角形的中线、角平分线和高都是线段B．若三条线段的长a、b、c满足a+b＞c，则以a．b．c为边一定能组成三角形C．三角形的外角大于它的任何一个内角D．三角形的外角和是180°．2．下列说法中错误的是（）A．三角形的中线、角平分线、高线都是线段B．任意三角形的外角和都是360°C．有一个内角是直角的三角形是直角三角形D．三角形的一个外角大于任何一个内角3．如图，△ABC中，∠C＝40°，点D在BA的延长线上，∠CAD＝110°，则∠B的度数为（）A．40°B．60°C．70°D．80°4．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E＝（）A．40°B．36°C．20°D．18°5．下列图形不是凸多边形的是（）A．B．C．D．6．若从一多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线，则它是（）A．十三边形B．十二边形C．十一边形D．十边形7．一个多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形8．若一个多边形的外角和等于360°，那么它一定是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．无法确定9．能铺满地面的正多边形的组合是（）A．正五边形和正方形B．正六边形和正方形C．正八边形和正方形D．正十边形和正方形10．现有边长相同的正三角形、正方形、正六边形、正八边形的地砖，要求至少用两种不同的地砖作镶嵌（两种地砖的不同拼法视为同一种组合），则不同组合方案共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种二．填空题（共10小题）11．如图，△ABC的两内角平分线相交于点D，∠A＝50°，则∠D＝°．12．如图，在△ABC中，∠C＝40°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于．13．如图，∠ADC＝117°，则∠A+∠B+∠C的度数为．14．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝．15．如图，已知∠1＝70°，∠C+∠D+∠E+∠F+∠A+∠B＝．16．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED外点A1的位置，若∠1+∠2＝240°，则∠A＝°．17．如果一个正多边形的内角和等于720°，那么该正多边形的一个外角等于度．18．如图，小亮从A点出发前进5m，向右转15°，再前进5m，又向右转15°…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了m．19．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形边数为．20．用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝度．三．解答题（共6小题）21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝42°，∠DAE＝18°，求∠C的度数．22．已知：如图，在n边形中，AF∥DE，∠B＝130°，∠C＝110°．求∠A+∠D的度数．23．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝°；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？（3）若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．24．如图，点C、D分别在∠AOB的OA、OB边上运动（不与点O重合）．射线CE与射线DF 分别在∠ACD和∠CDO内部，延长EC与DF交于点F．（1）若∠AOB＝90°，CE、DF分别是∠ACD和∠CDO的平分线，猜想：∠F的度数是否随C，D的运动发生变化？请说明理由．（2）若∠AOB＝α°（0＜α＜180），∠ECD＝∠ACD，∠CDF＝∠CDO，则∠F ＝°．（用含α、n的代数式表示）25．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．26．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F，则∠EAF＝°；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【解答】解：A．三角形的中线、角平分线和高都是线段，正确；B．若三条线段的长a、b、c满足a+b＞c，则以a．b．c为边一定能组成三角形，错误；C．三角形的外角大于它的任何一个内角，错误；D．三角形的外角和是180°，错误，故选：A．2．【解答】解：A、三角形的中线、角平分线、高线都是线段正确，故此选项错误；B、根据三角形外角和定理：任意三角形的外角和都是360°正确，故此选项错误；C、根据直角三角形的定义：有一个内角是直角的三角形是直角三角形正确，故此选项错误；D、根据三角形外角与内角的关系定理：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，故此选项正确．故选：D．3．【解答】解：由三角形的外角的性质可知，∠B＝∠CAD﹣∠C＝70°，故选：C．4．【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∵∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，∴∠ACD﹣∠ABC＝36°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ECD＝∠ACD，∠EBC＝∠ABC，∵∠ECD是△BCE的一个外角，∴∠ECD＝∠EBC+∠E，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝∠ACD﹣∠ABC＝18°．故选：D．5．【解答】解：图形不是凸多边形的是D．故选：D．6．【解答】解：设这个多边形是n边形．依题意，得n﹣3＝10，∴n＝13．故这个多边形是13边形．故选：A．7．【解答】解：∵多边形的每个内角都是108°，∴每个外角是180°﹣108°＝72°，∴这个多边形的边数是360°÷72°＝5，∴这个多边形是五边形，故选：A．8．【解答】解：任何多边形的外角和等于360°，故多边形的边数无法确定，故选：D．9．【解答】解：正五边形每个内角是180°﹣360°÷5＝108°，正方形的每个内角是90°，108m+90n＝360，n＝4﹣m，显然m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120度．90m+120n＝360°，m＝4﹣n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角为：180°﹣360°÷8＝135°，∵90°+2×135°＝360°∴正八边形和正方形能铺满．故选：C．10．【解答】解：因为正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°＝360°，所以能铺满；正三角形每个内角60度，正六边形每个内角120度，2×60+2×120＝360度（或者60+60+60+60+120＝360度，故四个正三角形、一个正六边形也能进行镶嵌），所以能铺满；正方形每个内角90度，正八边形每个内角135度，135×2+90＝360度，所以能铺满；因为60+90+90+120＝360度，所以一个正三角形、2个正方形、一个正六边形也能进行镶嵌；故选：B．二．填空题（共10小题）11．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠D＝180°﹣50°＝130°，∵△ABC的两内角平分线相交于点D，∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°，∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣65°＝115°．故答案为：115．12．【解答】解：∵△ABC中，∠C＝40°，∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝140°，∵∠A+∠B+∠1+∠2＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣140°＝220°，故答案为：220°．13．【解答】解：延长AD交BC于E，∵∠AEC＝∠A+∠B，∠ADC＝∠AEC+∠C，∴∠ADC＝∠A+∠B+∠C，∵∠ADC＝117°，∴∠A+∠B+∠C＝117°，故答案为：117°．14．【解答】解：如图，连接AD．∵∠1＝∠E+∠F，∠1＝∠FAD+∠EDA，∴∠E+∠F＝∠FAD+∠EDA，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠BAD+∠ADC+∠B+∠C．又∵∠BAD+∠ADC+∠B+∠C＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．故答案为：360°．15．【解答】解：如图所示：由三角形的外角性质得：∠BMH＝∠A+∠C，∠BHM＝∠F+∠BGF＝∠F+∠1，∵∠BMH+∠BHM+∠B＝180°，∠1+∠D+∠E＝180°，∴∠C+∠D+∠E+∠F+∠A+∠B＝∠BMH+∠BHM+∠B+∠1+∠D+∠E﹣2∠1＝2×180°﹣2×70°＝220°；故答案为：220°．16．【解答】解：∵∠1+∠2＝240°，∴∠ADE+∠A1DE+∠AED+∠A1ED＝180°+360°﹣240°＝300°，由折叠的性质可得∠ADE+∠AED＝150°，∴∠A＝30°．故答案为：30．17．【解答】解：多边形内角和（n﹣2）×180°＝720°，∴n＝6．则正多边形的一个外角＝＝＝60°，故答案为：60．18．【解答】解：∵小亮从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，∴根据外角和定理可知正多边形的边数为n＝360°÷15°＝24，则一共走了24×5＝120米．故答案为：120．19．【解答】解：设新多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝2520°，解得n＝16，∵截去一个角后的多边形与原多边形的边数可以相等，多1或少1，∴原多边形的边数是15，16，17．故答案为：15，16，17．20．【解答】解：∵∠ABC＝＝108°，△ABC是等腰三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝36度．三．解答题（共6小题）21．【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠B＝42°，∴∠BAD＝48°，∵∠DAE＝18°，∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝30°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAC＝2∠BAE＝60°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝78°．22．【解答】解：作BM∥AF，CN∥DE，∵AF∥DE，∴BM∥AF∥DE∥CN，∴∠MBC+∠NCB＝180°，∠A+∠ABM＝180°，∠NCD+∠D＝180°，∵∠B＝130°，∠C＝110°，∴∠DCN+∠ABM＝240°﹣180°＝60°，∴∠A+∠D＝300°．23．【解答】解：（1）如图，连接PC，由三角形的外角性质，∠1＝∠PCD+∠CPD，∠2＝∠PCE+∠CPE，∴∠1+∠2＝∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE＝∠DPE+∠C，∵∠DPE＝∠α＝50°，∠C＝90°，∴∠1+∠2＝50°+90°＝140°，故答案为：140°；（2）连接PC，由三角形的外角性质，∠1＝∠PCD+∠CPD，∠2＝∠PCE+∠CPE，∴∠1+∠2＝∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE＝∠DPE+∠C，∵∠C＝90°，∠DPE＝∠α，∴∠1+∠2＝90°+∠α；（3）如图1，由三角形的外角性质，∠2＝∠C+∠1+∠α，∴∠2﹣∠1＝90°+∠α；如图2，∠α＝0°，∠2＝∠1+90°；如图3，∠2＝∠1﹣∠α+∠C，∴∠1﹣∠2＝∠α﹣90°．24．【解答】解：（1）∠F的度数不变．∵∠ACD是△OCD的外角，∴∠ACD﹣∠CDO＝∠AOB，∴∠ECD＝∠ACD，∠CDF＝∠CDO，∵∠ECD是△CDF的外角，∴∠F＝∠ECD﹣∠CDF＝∠ACD﹣∠CDO＝（∠ACD﹣∠CDO）＝∠AOB＝45°，∴∠F的度数不变．（2）如图，∵∠ACD是△OCD的外角，∴∠ACD﹣∠CDO＝∠AOB，∵∠ECD＝∠ACD，∠CDF＝∠CDO，且∠ECD是△CDF的外角，∴∠F＝∠ECD﹣∠CDF＝∠ACD﹣∠CDO＝（∠ACD﹣∠CDO）＝∠AOB＝故答案为：．25．【解答】（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．26．【解答】解：（1）∠AEB的大小不变，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝×90°＝45°，∴∠AEB＝135°；（2）∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，∴∠EAO＝∠BAO，∠FAO＝∠GAO，∴∠EAF＝（∠BAO+∠GAO）＝×180°＝90°．故答案为：90；∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，∴∠EAO＝∠BAO，∠EOQ＝∠BOQ，∴∠E＝∠EOQ﹣∠EAO＝（∠BOQ﹣∠BAO）＝∠ABO，即∠ABO＝2∠E，在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍，故分四种情况讨论：①∠EAF＝3∠E，∠E＝30°，则∠ABO＝60°；②∠EAF＝3∠F，∠E＝60°，∠ABO＝120°（舍去）；③∠F＝3∠E，∠E＝22.5°，∠ABO＝45°；④∠E＝3∠F，∠E＝67.5°，∠ABO＝135°（舍去）．∴∠ABO为60°或45°．。
苏科版七年级数学下册 7.5多边形的内角和与外角和提优训练【含答案】
7.5多边形的内角和与外角和提优训练一、单选题1．（2021·江苏苏州市·九年级零模）一个n 边形的每个外角都是45°，则这个n 边形的内角和是（）A ．1080°B ．540°C ．2700°D ．2160°2．（2021·广西河池市·八年级期末）已知一个n 边形的每一个外角都相等，一个内角与其相邻的一个外角的度数之比是7:2，则n 的值是（）A ．8B ．9C ．10D ．123．（2021·河北廊坊市·八年级期末）如图，B E F ∠+∠+∠等于（）A ．360°B ．335°C ．385°D ．405°4．（2020·四川省自贡市贡井区成佳中学校八年级月考）将一个五边形纸片的一个角剪去，所得多边形的内角和不可能是（）A ．180°B ．360°C ．540°D ．720°5．（2021·安徽阜阳市·八年级期末）如果一个多边形的内角和为1260︒，那么从这个多边形的一个顶点可以作（）条对角线．A ．4B ．5C ．6D ．76．（2020·武汉市六中位育中学八年级）如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是两组对边延长线的交点，EG ，FG 分别是BEC ∠，DFC ∠的角平分线．若60ADC ∠=︒，80ABC ∠=︒，则G ∠=（）A ．140︒B ．130︒C ．120︒D ．110︒7．（2021·山东东营市·八年级期末）如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAE 的度数是（）A．90°B．108°C．120°D．135°8．（2021·河北唐山市·八年级期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620︒，则原来多边形的边数是（）A．11B．12C．11或12D．10或11或129．（2019·莆田第十五中学八年级月考）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A 与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请你试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．∠A＝∠1＋∠2B．2∠A＝∠1＋∠2C．3∠A＝∠1＋∠2D．3∠A＝2（∠1＋∠2）10．（2020·江苏无锡市·七年级期中）图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360o，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A8=720o，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A10=1080o…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（）A．1440B．1800C．2880D．3600二、填空题11．（2020·浙江杭州市·八年级期末）若十二边形的每一个内角都相等，那么它每个内角的度数是____________．∠+∠+∠+∠的度数为__________．12．（2021·广东汕尾市·九年级期末）如图，123413．（2018·四川成都市·成都实外八年级开学考试）A ∠的两边分别垂直于B Ð的两边，且A ∠的度数比B Ð的度数的2倍少24°，则A ∠、B Ð的度数分别是____________．14．（2020·浙江杭州市·九年级期末）如图所示，小梦发现将正六边形ABCDEF 的边向两端延长后，可以构成“六边星角形”，则图中APB ∠的度数是_________．15．（2021·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级一模）从正多边形一个顶点最多可以作7条对角线，这个正多边形每个内角的大小是_____．16．（2020·连江县凤城中学八年级月考）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_______°．17．（2021·西安市第二十三中学九年级一模）将一个正五边形和一个正六边形按如图所示的方法摆放，它们都有一边在直线l 上，且有一个公共顶点O ，则AOB ∠的度数为_________．18．（2018·河北九年级其他模拟）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果∠1=41°，∠2=51°，那么∠3的度数等于_____．19．（2020·成都市金牛实验中学校七年级月考）如图，BE 、CE 分别为ABC 的内、外角平分线，BF 、CF 分别为EBC 的内、外角平分线，若52A ∠=︒，则BFC ∠=_______度．20．（2019·山东临沂市·八年级期中）如图，正五边形ABCDE 中，对角线AC 与BE 相交于点F ，则AFE ∠=_______度．三、解答题21．（2017·山东德州市·八年级期中）如图，在五边形ABCDE 中，AP 平分EAB ∠，BP 平分ABC ∠．（1）五边形ABCDE 的内角和为度；（2）若100C ∠=︒，75D ∠=︒，135E ∠=︒，求P ∠的度数．22．（2019·云南玉溪市·八年级期中）求图中x 的值．23．（2020·海南省直辖县级行政单位·八年级期中）一个多边形的每一个外角都等于30°．（1）求这个多边形的边数；（2）求这个多边形对角线的条数．24．（2021·全国八年级）()1若n 边形的内角和等于它外角和的3倍，求边数n ．()2已知a ，b ，c 为三角形三边的长，化简：a b c b c a --+--．25．（2020·内蒙古赤峰市·八年级期中）阅读材料在平面中，我们把大于180︒且小于360︒的角称为优角．如果两个角相加等于360︒，那么称这两个角互为组角，简称互组．（1）若1∠，2∠互为组角，且1135∠=︒，则2∠=______．习惯上，我们把有一个内角大于180︒的四边形俗称为镖形．（2）如图，在镖形ABCD 中，优角BCD ∠与钝角BCD ∠互为组角，试探索内角A ∠，B Ð，D ∠与钝角BCD ∠之间的数量关系，并至少用两种以上的方法说明理由．26．（2021·黑龙江哈尔滨市·八年级期末）已知在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒．（1）如图1，若BE 平分ABC ∠，DF 平分ADC ∠的邻补角，请写出BE 与DF 的位置关系并证明；（2）如图2，若BF 、DE 分别平分ABC ∠、ADC ∠的邻补角，判断DE 与BF 位置关系并证明；（3）如图3，若BE 、DE 分别五等分ABC ∠、ADC ∠的邻补角（即11,55CDE CDN CBE CBM ∠=∠∠=∠），求E ∠度数．27．（2020·安徽阜阳市·八年级期中）在ABC 中，80C ∠=︒，点D 、E 分别是ABC 边AC 、BC （不与A 、B 、C 重合）上的点，（P 与D 、E 不在同一条战线上），令1PDA ∠=∠，2PEB ∠=∠，DPE α∠=∠．（1）若点P 在边AB 上，如图（1）且40α∠=︒，则12∠+∠=________°；（2）若点P 在ABC 的外部如图（2）则α∠，1∠，2∠之间有何关系？（3）若点P 在ABC 边BA 的延长线上运动（CD CE >），直接写出α∠，1∠，2∠之间的关系．28．（2020·玉山县南山乡中学八年级月考）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，AOB 的内角AOB ∠与COD 的内角COD ∠互为对顶角，则AOB 与COD 为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：A B C D ∠+∠=∠+∠．()1性质理解：如图2，在“对顶三角形”AOB 与COD 中，EAO C ∠=∠，2D B ∠=∠，求证：EAB B ∠=∠；()2性质应用：①如图3，则A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的度数为________；②如图4，在ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，BOD A ∠=∠．若ECD ∠比DBE ∠大20 ，求BDO ∠的度数；()3拓展提高：如图5，已知BE ，CD 是ABC 的角平分线，且BDC ∠和BEC ∠的平分线DP 和EP 相交于点P ，设A α∠=，求P ∠的度数（用α表示P ∠）．参考答案1．A 2．B 3．C 4．A 5．C 6．D 7．B 8．D 9．B 10．C 11．150°12．360︒13．112A ∠=︒，68B ∠=︒或24A B ∠=∠=︒14．60°15．144°16．36017．84°18．10°19．1320．72．21．（1）540；（2）65°【详解】解：（1）五边形ABCDE 的内角和为5218540(0)-⨯︒=︒，（2）∵在五边形ABCDE 中，540EAB ABC C D E ∠+∠+∠+∠+∠=︒，100C ∠=︒，75D ∠=︒，135E ∠=︒∴230EAB ABC ∠+∠=︒，∵AP 平分EAB ∠，BP 平分ABC ∠，∴12PAB EAB ∠=∠，12PBA ABC ∠=∠，∴115PAB PBA ∠+∠=︒，∴180()65P PAB PBA ∠=︒-∠+∠=︒．22．（1）70°；（2）100°【详解】解：（1）由三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和，得x +65=x +x -5，解得：x =70°，（2）由四边形内角和等于360°，得x +x +10°+60°+90°=360°解得：x =100°．23．（1）12；（2）54【详解】解：（1）3603012︒÷︒=，答：这个多边形的边数为12；（2）()12123542⨯-=（条）．答：这个多边形的对角线的条数是54条．24．()18；()22c ．【详解】解：()1由题意得：()18023603n ︒-=︒⨯，解得：8n =．()2∵a ，b ，c 为三角形三边的长，∴a c b +>，b c a +>，∴a b c b c a --+--()()2a b c b c a b c a a c b c =-++-+=+-++-=．25．（1）225°；（2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D ，理由见解析．【详解】解：（1）∵∠1、∠2互为组角，且∠1=135°，∴∠2=360°-∠1=225°，故答案为：225°；（2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D ．理由如下：理由①：∵在四边形ABCD 中，∠A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°，又∵优角∠BCD+钝角∠BCD=360°´，∴钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D ；理由②：如下图，连接AC 并延长，∵∠BAC+∠B=∠BCE ，∠DAC+∠D=∠DCE （三角形外角的性质），∴钝角∠BCD=∠BCE+∠DCE=∠BAC+∠B+∠DAC+∠D=∠A+∠B+∠D ．26．（1）BE DF ⊥，证明见解析；（2）//DE BF ，证明见解析；（3）54°【详解】（1）BE DF ⊥．证明：延长BE 、FD 交于G ．在四边形ABCD 中，360A ABC C ADC Ð+Ð+Ð+Ð=°Q ，90A C ∠=∠=︒，180ABC ADC ∴∠+∠=︒．180ADC CDN ∠+∠=︒ ，ABC CDN ∴∠=∠．BE 平分ABC ∠，DF 平分CDN ∠，12ABE ABC ∴∠=∠，12FDN CDN ∠=∠，ABE FDN ∴∠=∠，∵∠ABE+∠AEB=90°，∠AEB=∠DEG ，∠FDN=∠EDG ，∴∠DEG+∠EDG=90°，∴∠EGD=90°，即BE ⊥DF ．（2）//DE BF ．证明：连接DB ．180ABC MBC ∠+∠=︒ ，180ADC CDN ∠+∠=︒．又180ABC ADC ∠+∠=︒ ，180MBC CDN ∴∠+∠=︒．BF 、DF 平分ABC ∠、ADC ∠的邻补角，12CBF MBC ∴∠=∠，12CDE CDN ∠=∠，90CBF CDE ∴∠+∠=︒．在Rt BDC 中，90CDB DBC ∠+∠=︒ ，180CDB DBC CBF CDE ∴∠+∠+∠+∠=︒，180EDB DBF ∴∠+∠=︒，//DE BF ∴．（3）延长DC 交BE 于H ．由（1）得：180CDN CBM ∠+∠=︒．BE 、DE 分别五等分ABC ∠、ADC ∠的邻补角，1180365CDE CBE ∴∠+∠=⨯︒=︒，由三角形的外角性质得，BHD CDE E ∠=∠+∠，BCD BHD CBE ∠=∠+∠，BCD CBE CDE E ∴∠=∠+∠+∠，903654E ∴∠=︒-︒=︒．27．（1）120；（2）∠2-∠1=∠α-80°；（3）∠2-∠1＝∠α+80°或∠2-∠1＝80°-∠α【详解】解：（1）∵∠CEP=180°-∠2，∠CDP=180°-∠1，∴180°-∠2+180°-∠1+∠α+80°=360°，即∠1+∠2=80°+∠α，∵α=40°，∴∠1+∠2=120°．故答案为：120．（2）根据三角形外角的性质可知，∠2-∠α=∠1-80°，则∠2-∠1=∠α-80°．（3）①如图3，∠2＝80°+∠1+∠α，则∠2-∠1＝∠α+80°；②如图4，∠1=∠α+∠DFP=∠α+∠CFE ，∠2＝80°+∠CFE ，∴∠1=∠α+∠2-80°，即∠2-∠1＝80°-∠α．28．（1）见解析；（2）①180°；②100°；（3）1804P α︒-∠=【详解】（1）证明：据题意，得BAO B C D ∠+∠=∠+∠，∴BAO C D B ∠-∠=∠-∠，∵EAO C ∠=∠，2D B ∠=∠，∴BAE B ∠=∠；（2）解：①A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠A C B E D=∠+∠+∠+∠+∠180FGD GFD D =∠+∠+∠=︒；故答案为：180︒；②由题意得20ECD DBE ∠-∠=︒，由（1）得EBD BDO ECO OEC ∠+∠=∠+∠，∴20BDO OEC ∠-∠=︒，∵BOD A ∠=∠，∴180A DOE ∠+∠=︒，故180ADO AEO ∠+∠=︒，∵180AEO CEO BDO ADO ∠+∠=∠+∠=︒，∴BDO AEO ∠=∠，∴180BDO CEO ∠+∠=︒，∵20BDO OEC ∠-∠=︒，∴100BDO ∠=︒；（3）解：1804P α-∠=，理由如下：∵BDC ∠和BEC ∠的平分线DP 和EP 相交于点P ，∴BDP CDP ∠=∠，BEP CEP ∠=∠，由（1）得BDP DBE BEP P ∠+∠=∠+∠①，CDP P CEP DCE ∠+∠=∠+∠②，由①-②得DBE P P DCE ∠-∠=∠-∠，∴()12P DBE DCE ∠=∠+∠，即()14P ABC ACB ∠=∠+∠，∴()118018044P A α︒-∠=︒-∠=．。
苏科版七年级下7.5多边形的外角和(第3课时)同步练习(含答案)
第3课时 多边形的外角和知识点 多边形的外角、外角和1．2017·仪征一模如果一个多边形的每个外角都等于36°，那么它的边数是( )A ．9B ．10C ．11D ．122．如图7－5－15，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE 的4个外角，若∠EAB ＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4等于( )图7－5－15A ．540°B ．360°C ．300°D ．240°3．2018·溧阳月考一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是( )A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．八边形4．二十边形的外角和为________．5．2018·邵阳如图7－5－16所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥AB ，∠C ＝110°，它的一个外角∠ADE ＝60°，则∠B 的大小是________．图7－5－166．若一个多边形的每一个外角的度数等于其相邻内角度数的13，则这个多边形是________边形．7．2017·泰州月考一个多边形的外角和是内角和的27，求这个多边形的边数．【能力提升】8．一个多边形的边数增加，它的内角和也随着增加，而它的外角和( )A ．随着增加B ．随着减少C ．保持不变D ．无法确定9．2018·玄武区模拟在如图7－5－17所示的七边形ABCDEFG 中，∠1，∠2，∠3，∠4 四个角的外角的度数和为180°，∠5 的外角的度数为60°，BP ，DP 分别平分∠ABC ，∠CDE ，则∠BPD 的度数是( )图7－5－17A．130°B．120°C．110°D．100°10．一个多边形的每个外角都相等，且比它的内角小140°，求它的边数和每个内角的度数．11．教材习题7.5第12题变式如图7－5－18，小亮从点A出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走的路程是________米．图7－5－18教师详解详析1．B2．C [解析] 如图，由题意得∠5＝180°－∠EAB ＝60°，又因为多边形的外角和为360°， 所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°－∠5＝300°.故选C.3．C4．360° [解析] 任意多边形的外角和都是360°.5．40° [解析] 由∠ADE ＝60°，得∠ADC ＝120°，而AD ⊥AB ，则∠A ＝90°，所以∠B ＝360°－∠C －∠ADC －∠A ＝40°.6．八 [解析] 多边形的每一个外角的度数等于其相邻内角度数的13，则每一个外角的度数为45°.7．解：设这个多边形的边数为n ，依题意得27(n －2)·180°＝360°，解得n ＝9. 答：这个多边形的边数为9.8．C9．B [解析] 根据邻补角互补，得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝4×180°－180°＝540°，∠5＝180°－60°＝120°，利用多边形的内角和公式求出∠ABC ＋∠CDE ＝240°，根据角平分线的定义得出∠CBP ＋∠CDP ＝120°，然后根据四边形的内角和为360°求出∠BPD 的度数．10．解：设每个内角的度数为n °，则每个外角的度数为(n －140)°，由n ＋(n －140)＝180，得n ＝160.即每个内角的度数为160°，从而每个外角的度数为20°.由于360÷20＝18，所以这个多边形为十八边形．11．100 [解析] 因为每次小亮都是沿直线前进10米后向左转36°，所以他走过的路线组成一个正多边形，边数n ＝360°÷36°＝10，所以他第一次回到出发点A 时，一共走了10×10＝100(米)．。
苏科版七年级数学下册《7.5多边形的内角和与外角和》同步训练题-附答案
苏科版七年级数学下册《7.5多边形的内角和与外角和》同步训练题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．过八边形的某一个顶点能画的对角线条数是（）A．8B．7C．6D．52．一个正多边形的每个内角都是144°，那么它是（）A．正六边形B．正八边形C．正十边形D．正十二边形3．一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．94．若一个n边形的内角和为900°，则n的值是（）A．4B．5C．6D．75．已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是（）A．八边形B．七边形C．六边形D．五边形6．一个正多边形，它的每个内角是与其相邻外角的3倍，则这个多边形的边数是（）A．6B．7C．8D．97．一个多边形截去一个角后，形成一个七边形，那么原多边形边数为（）．A．6B．6或7C．6或8D．6或7或8 8．如图，将一个三角形剪去一个45°的内角，剩下图形的内角和是（）A．360°B．180°C．135°D．90°9．一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）A．10B．11C．12D．以上都有可能10．如图，∠1是在五边形ABCDE的一个外角，若∠1=40°，则∠A+∠B+∠C+∠D的度数是（）A．300°B．400°C．500°D．540°11．如图，若∠A＝60°，∠B＝48°，∠C＝32°，则∠BDC＝（）A．102°B．160°C．150°D．140°12．如图所示，在七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于点O．若图中∠1，∠2，∠3，∠4的外角度数和为220°，则∠BOD的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．60°13．如图小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转40°，再沿直线前进10米后，又向左转40°，这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（）米A．70B．80C．90D．10014．如图，六边形ABCDEF为正六边形，四边形ABGH为正方形，则图中∠BCG的度数为（）A．15°B．16°C．20°D．30°15．如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，其中∠BAE的度数是（）A．90°B．108°C．120°D．135°16．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=（）A．180°B．360°C．270°D．540°17．如图，将边长相等的正方形、正五边形和正六边形摆放在平面上，则∠1的度数是（）A．42°B．36°C．52°D．32°18．如图，正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G＝（）A．45°B．54°C．60°D．64°19．有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（）A．54∘B．74∘C．84∘D．144∘20．图1是二环三角形S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360∘，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A8=720∘，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A10=1080聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝（）度A．1440B．1800C．2880D．3600参考答案1．解：从八边形的一个顶点可引出的对角线的条数有：8−3=5（条）故选：D．2．解：∠该多边形每个内角都是144°∠该多边形一个外角=180°−144°=36°=10∠该多边形的边数=360°36°故选：C．3．解：∠一个多边形的每一个外角都等于40°，且多边形的外角和等于360°∠这个多边形的边数是：360°÷40°=9故选：D．4．解：这个多边形的边数是n则(n−2)⋅180°=900°解得：n=7．故选：D．5．解：设这个多边形的边数为n，由题意，得：(n−2)⋅180°=3×360°解得：n=8；∠这个多边形是八边形；故选A．6．解：设正多边形的每个外角为x°，则每个内角为3x°依题意得解得x=45∠正多边形的每个外角为45°=8∠这个多边形的边数为360°45°故选：C．7．解：如图所示，六边形，七边形和八边形截去一个角后都可以形成七边形∠原多边形边数为6或7或8故选：D．8．解：由题意知，剩下的图形为四边形∠四边形的内角和为360°故选：A．9．解：设剪去一个角后的多边形边数为n，根据题意得(n−2)×180°=1620°∠ n=11即得到的多边形是11边形当沿的是一条对角线剪去一个角，则原来的是12边形；当沿的直线并不是对角线时，分为两种情况：①过多边形的一个顶点，则原来的是11边形；②不过多边形的顶点，则原来的是10边形∠原来多边形的边数可能是10或11或12故选：D．10．解：∠∠1=40°∠∠AED=140°∠∠A+∠B+∠C+∠D=540°−∠AED=400°故选B．11．如图，若∠A＝60°，∠B＝48°，∠C＝32°，则∠BDC＝（）A．102°B．160°C．150°D．140°12．解：∠∠1，∠2，∠3，∠4的外角度数和等于220°，五边形AOEFG的外角和为360°∠∠BOD的外角为360°−220°=140°∴∠BOD=180°−140°=40°故选：A．13．解：由题意可知，小明第一次回到出发地A点时，他一共转了360°，且每次都是向左转40°所以共转了9次，一次沿直线前进10米，9次就前进90米．故选：C．14．解：∠ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形∠AB=BC=BG∠∠BCG=∠BGC∠正六边形ABCDEF的每一个内角是4×180°÷6=120°，正方形ABGH的每个内角是90°∠∠CBG=360°−120°−90°=150°∠∠BCG+∠BGC=180°−150°=30°∠∠BCG=15°．故选：A．15．解：正五边形的内角和=(5−2)×180°=540°=108°∠∠BAE=540°5故选：B．16．解：如图所示∠∠1+∠5=∠8又∠∠2+∠3+∠7+∠8=360°∠∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．故选：B．17．解：正方形的内角为90°=108°正五边形的内角为(5−2)×180°5=120°正六边形的内角为(6−2)×180°6∠∠1=360°−90°−108°−120°=42°故选：A.18．解：∠正五边形外角和为360°=72°∠外角∠EDF=360°5∠内角∠ABC=∠C=∠CDE=180°−72°=108°∠BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF∠ABC=54°∠∠CBG=12在四边形BCDG中∠∠G=360°−(∠CBG+∠C+∠CDE+∠EDF)=360°−(54°+108°+108°+36°)=54°故选：B．=108°19．解：正五边形的内角是∠ABC=(5−2)×180°5∠AB=BC∠∠CAB=36°=120°正六边形的内角是∠ABE=∠E=(6−2)×180°5∠∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°∠∠ADE=360°−120°−120°−36°=84°．故选：C．20．解：依题意可知，二环三角形，S＝360度；二环四边形，S＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度；二环五边形，S＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度；…∠二环十边形，S＝360×（10﹣2）＝2880度．故选：C．。
2020-2021学年七年级数学苏科版下册7.5 多边形的内角和与外角和 同步练习(二)
2020-2021学年七年级数学苏科版下册7.5 多边形的内角和与外角和同步练习（二）1．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝°；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠C＝70°，求∠A的度数．BG12．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝°；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：．3．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA．（1）求证：∠EAC＝∠B；（2）若∠B＝50°，∠CAD：∠E＝1：3，求∠E的度数．4．（1）如图①，△ABC中，点D、E在边BC上，AE平分∠BAC，AD⊥BC，∠C＝40°，∠B＝60°，求：①∠CAE的度数；②∠DAE的度数．（2）如图②，若把（1）中的条件“AD⊥BC”变成“F为AE延长线上一点，且FD⊥BC”，其他条件不变，求出∠DFE的度数．（3）在△ABC中，AE平分∠BAC，若F为EA延长线上一点，FD⊥BC，且∠C＝α，∠B＝β（β＞α），试猜想∠DFE的度数（用α，β表示），请自己作出对应图形并说明理由．5．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝°；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？（3）若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．6．（1）如图1，∠MON＝80°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，△AOB的角平分线AC与BD交于点P．试问：随着点A、B位置的变化，∠APB的大小是否会变化？若保持不变，请求出∠APB的度数；若发生变化，求出变化范围．（2）如图2，两条相交的直线OX、OY，使∠XOY＝n°，在射线OX、OY上分别再任意取A、B两点，作∠ABY的平分线BD，BD的反向延长线交∠OAB的平分线于点C，随着点A、B位置的变化，∠C的大小是否会变化？若保持不变，请求出∠C的度数；若发生变化，求出变化范围．7．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．若∠B＝35°，∠E＝20°，求∠BAC的度数．8．已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝40°，∠C＝60°．求∠DAE的度数．9．已知：如图，BD平分∠ABC，CE平分∠ACE，BD与CE交于点I，试说明∠BIC＝90°+∠A．10．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．11．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究一：如图1，在△ABC中，已知O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°+∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A（1）探究2：如图2中，已知O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？并说明理由．（2）探究3：如图3，已知O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）结论：．（3）拓展：在四边形ABCD中，已知O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）结论：．12．在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边A以、BC上的点，点P是一动点，连接PD、PE，∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）如图1所示，若点P在线段AB上，且∠α＝40°，则∠1+∠2＝°；（2）如图2所示，若点P在边AB上运动，则∠α、∠1、∠2之间的关系为有何数量关系；猜想结论并说明理由；（3）如图3所示，若点P运动到边AB的延长线上，则∠α、∠1、∠2之间有何数量关系？猜想结论并说明理由．13．（1）如图，已知△ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由；（2）如图，若O为∠ABC和∠ACB外角的平分线BO，CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A的度数．参考答案1．解：（1）如图（1），连接AD并延长至点F，，根据外角的性质，可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）①由（1），可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，∵∠A＝40°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣40°＝50°，故答案为：50．②由（1），可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°，∴（∠ADB+∠AEB）＝90°÷2＝45°，∴∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE＝45°+40°＝85°；③∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∵∠BG1C＝70°，∴设∠A为x°，∵∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°∴（133﹣x）+x＝70，∴13.3﹣x+x＝70，解得x＝63，即∠A的度数为63°．2．解：（1）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP＝360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP＝360°，∴∠1+∠2＝∠C+∠α，∵∠C＝90°，∠α＝50°，∴∠1+∠2＝140°；故答案为：140°；（2）由（1）得出：∠α+∠C＝∠1+∠2，∴∠1+∠2＝90°+α故答案为：∠1+∠2＝90°+α；（3）∠1＝90°+∠2+α，理由：∵∠2+∠α＝∠DME，∠DME+∠C＝∠1，∴∠1＝∠C+∠2+α＝90°+∠2+α．（4）∵∠PFD＝∠EFC，∴180°﹣∠PFD＝180°﹣∠EFC，∴∠α+180°﹣∠1＝∠C+180°﹣∠2，∴∠2＝90°+∠1﹣α．故答案为：∠2＝90°+∠1﹣α．3．（1）证明：∵AD平分∠BAC∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC∵∠EDA＝∠B+∠BDA，∠EAD＝∠CAD+∠EAC，∠EDA＝∠EAD ∴∠B＝∠EAC（2）解：由（1）可知：∠EAC＝∠B＝50°，设∠CAD＝x，则∠E＝3x，∠EAD＝∠ADE＝x+50°，∴50°+x+50°+x+3x＝180°，∴x＝16°，∴∠E＝3x＝48°．4．解：（1）如图（1）．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°，而AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝×80°＝40°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣30°＝10°；（2）如图2中，作AH⊥BC于H．由（1）可知∠HAE＝10°，∵AH∥EF，∴∠DFE＝∠HAE＝10°（3）结论：∠DFE＝（∠B﹣∠C）．理由如下：如图3中，作AH⊥BC于H，FD⊥BC于D．∵∠HAE＝∠EAB﹣∠BAH，∠BAH＝90°﹣∠B，∠BAE＝（180°﹣∠B﹣∠C），∴∠HAE＝90°﹣∠B﹣∠C﹣（90°﹣∠B）＝（∠B﹣∠C），∵AH∥FD，∴∠DFE＝∠HAE，∴∠DFE＝（∠B﹣∠C）．5．解：（1）如图，连接PC，由三角形的外角性质，∠1＝∠PCD+∠CPD，∠2＝∠PCE+∠CPE，∴∠1+∠2＝∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE＝∠DPE+∠C，∵∠DPE＝∠α＝50°，∠C＝90°，∴∠1+∠2＝50°+90°＝140°，故答案为：140°；（2）连接PC，由三角形的外角性质，∠1＝∠PCD+∠CPD，∠2＝∠PCE+∠CPE，∴∠1+∠2＝∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE＝∠DPE+∠C，∵∠C＝90°，∠DPE＝∠α，∴∠1+∠2＝90°+∠α；（3）如图1，由三角形的外角性质，∠2＝∠C+∠1+∠α，∴∠2﹣∠1＝90°+∠α；如图2，∠α＝0°，∠2＝∠1+90°；如图3，∠2＝∠1﹣∠α+∠C，∴∠1﹣∠2＝∠α﹣90°．6．（1）解：∵在△AOB中，∠MON＝80°，∴∠OAB+∠OBA＝100°，又∵AC、BD为角平分线，∴∠PAB+∠PBA＝∠OAB+∠OBA＝×100°＝50°，∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝130°，即随着点A、B位置的变化，∠APB的大小始终不变，为130°．（2）解：由题意，不妨令∠OAC＝∠CAB＝x，∠ABD＝∠BDY＝y，∵∠ABY是△AOB的外角，∴2y＝n+2x，同理，∠ABD是△ABC的外角，有y＝∠C+x，于是，显然有∠C＝．7．解：∵∠B＝35°，∠E＝20°，∴∠ECD＝∠B+∠E＝55°，∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∴∠ACD＝2∠ECD＝110°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝75°．8．解：在△ABC中，∵∠B＝40°，∠C＝60°∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°∵AE是的角平分线，∴∠EAC＝∠BAC＝×80°＝40°，∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°∴在△ADC中，∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝40°﹣30°＝10°．9．解：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACE，∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，∴∠BIC＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A．10．解：（1）∠AEB的大小不变．如图1，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝45°，∴△ABE中，∠AEB＝180°﹣45°＝135°；（2）∠CED的大小不变．如图2，延长AD、BC交于点F．∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠PAB+∠MBA＝270°，∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠BAD＝∠BAP，∠ABC＝∠ABM，∴∠BAD+∠ABC＝（∠PAB+∠ABM）＝135°，∴∠F＝45°，∴∠FDC+∠FCD＝135°，∴∠CDA+∠DCB＝225°，∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE+∠DCE＝112.5°，∴△CDE中，∠E＝180°﹣112.5°＝67.5°．11．解：（1）探究2结论：∠BOC＝∠A．理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠2＝∠ACD＝（∠A+∠ABC）＝∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一个外角，∴∠BOC＝∠2﹣∠1＝∠A+∠1﹣∠1＝∠A，即∠BOC＝∠A；（2）由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC＝（∠A+∠ACB），∠OCB＝（∠A+∠ABC），在△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），＝180°﹣（180°+∠A），＝90°﹣∠A；（3）∠OBC+∠OCB＝（360°﹣∠A﹣∠D），在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）＝（∠A+∠D）．12．解：（1）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP＝360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP＝360°，∴∠1+∠2＝∠C+∠α，∵∠C＝90°，∠α＝40°，∴∠1+∠2＝130°；故答案为：130°；（2）由（1）得出：∠α+∠C＝∠1+∠2，∴∠1+∠2＝90°+α故答案为：∠1+∠2＝90°+α；（3）∠1＝90°+∠2+α，理由：∵∠2+∠α＝∠DME，∠DME+∠C＝∠1，∴∠1＝∠C+∠2+α＝90°+∠2+α．13．解：（1）∠BOC＝∠A+90°．∵如图，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，∴∠BOC+∠ABC+∠ACB＝180°，又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠BOC＝∠A+90°；（2）∠BOC＝∠A．∵∠A+∠ABC＝∠ACE．∵∠OBC+∠BOC＝∠OCE，∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∵∠ABC＝2∠OBC，∠ACE＝2∠OCE，由以上各式可推得∠BOC＝∠A．14．解：∵DE＝EB∴设∠BDE＝∠ABD＝x，∴∠AED＝∠BDE+∠ABD＝2x，∵AD＝DE，∴∠AED＝∠A＝2x，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3x，∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝3x，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝3x，在△ABC中，3x+3x+2x＝180°，解得x＝22.5°，∴∠A＝2x＝22.5°×2＝45°．。
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数学：7.5三角形的内角和（1）同步练习（苏科版七年级下）【基础演练】一、选择题1.△ABC 中，∠A=45°，∠B=63°，则∠C=（ ） A.72°； B.92°； C.108°； D.180°.2.在一个三角形ABC 中，∠A ＝∠B ＝45°，则△ABC 是（ ）A.直角三角形；B.锐角三角形；C.钝角三角形；D.以上都不对. 3.适合条件∠A=∠B=2∠C 的△ABC 是 （ ）A.锐角三角形；B.直角三角形；C.钝角三角形；D.不能确定. 4.如图△ABC 中，∠B=30º，∠BAC=80º，AD 平分∠BAC ，则∠ADC 的度数为（ ） A.30º； B.40º； C.70º； D.80º.5.如图，11002145∠=∠=，，那么3∠=（ ） A ．55°； B ．65°； C ．75°； D ．85°. 二、填空题6.在直角△ABC 中，∠A=35º，则∠B= º.7.如图，AD 是△ABC 的外角平分线，∠B=︒30，∠DAE=︒65，则∠ACD 等于 .8.如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，∠CDE ＝150°，则∠C ＝__________. 9.如图，AB ∥CD ，∠B=680，∠E=200，则∠D 的度数为 .10.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯的角∠A 是1200，第二次拐弯的角∠B 是1500，第三次拐弯的角是∠C ，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C= 0.ABCDE第8题图DC BA123第5题图第4题图第7题图三、解答题11.在△ABC 中，∠B-∠A=50º，∠C-∠B=35º。
求△ABC 的各角的度数.12.如图，已知DF ⊥AB 于点F ，且∠A ＝45°，∠D ＝30°，求∠ACB 的度数.13.一块三角形的材料被折断了一个角，余下的形状如图，请根据所剩的材料推算出所缺角的度数.（写出必要的文字说明及画出相应的图形14.一零件形状如图，按规定∠A 应等于75°，∠B 和∠C 应分别是18°和22°，某质检员量得∠BDC=114°，就断定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由.EC FDBA第12题图BA第13题图BCD第14题图第9题图FEDCA B15.如图，在△ABC 中，∠ABC=56º，∠ACB=44º，AD 是BC 边上的高，AE 是△ABC 的角平分线，你能求出∠DAE 的度数吗？请试一试！【能力提升】16.△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线交于点O ，若∠A=50º，求∠BOC 的度数.17.如图，∠1=∠2=∠3，且∠BAC=︒70，∠DFE=︒50，求∠ABC 的度数.┓ED CBA第15题图第17题图18.如图，D 是△ABC 的BA 边延长线上的一点，AE 是∠DAC 的平分线，AE//BC ，试说明∠B=∠C.19.如图，已知△ABC ，求证：∠A ＋∠B ＋∠C ＝1800.分析：通过画平行线，将∠A 、∠B 、∠C 作等角代换，使各角之和恰为一平角，依辅助线不同而得多种证法.CBA图1821EDCBA图19321G F H ABC图20证法1：如图19，延长BC 到D ，过C 画CE ∥BA .∵BA ∥CE （作图所知），∴∠B ＝∠1，∠A ＝∠2（两直线平行，同位角、内错角相等）.又∵∠BCD ＝∠BCA ＋∠2＋∠1＝1800（平角的定义）， ∴∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝1800（等量代换）.如图，过BC 上任一点F ，画FH ∥AC ，FG ∥AB ，这种添加辅助线的方法能证明∠A ＋∠B ＋∠C ＝1800吗？请你试一试.第18题图参考答案1.A；2.A；3.A；4.C；5.C.6.55º；7.80º；8.120°；9.480；10.1500.11.解：设∠A=xº，则∠B=（50+x）º，∠C=（85+x）º，根据三角形的内角和等于180º，得x+50+x+85+x=180，x=15.∠A=15º，∠B=65º，∠C=100º.12.解：在直角三角形AEF中，∠AEF=90º-∠A=45°，所以∠CED=∠AEF=45°.因为∠ACB=∠CED+∠D，所以∠ACB=45º+30º=75º.13.解：先量出∠A和∠B的度数，根据三角形的内角和等于180º，求出所缺角的度数.14.解：连接AD并延长至E.可推出∠BDC=∠B+∠C+∠A=18°+22°+75°=115°，而量得∠BDC=114°，所以断定这个零件不合格.15.略解：∠BAC=180º-∠ACB-∠ABC=80º，∠ACE=40º，∠ACD=46º，∠DAE=6º.70，18.略； 19.略.16.115º， 17.数学：7.5 三角形的内角和（2）同步练习（苏科版七年级下）【基础演练】一、选择题1.一个三角形的三个内角中，至少有（ ）A.一个锐角；B.两个锐角；C.一个钝角；D.一个直角. 2.已知一个多边形的外角和等于它的内角和，则这多边形是（ ） A .三角形； B .四边形； C .五边形； D .六边形. 3.若一个多边形的内角和等于1080°,则这个多边形的边数是( ) A.9； B.8； C.7； D.6.4.锐角三角形的三个内角是∠A 、∠B 、∠C 。
如果∠α＝∠A +∠B ，∠β＝∠B +∠C ，A C ∠+∠=∠γ，则γβα∠∠∠、、这三个角中（ ）A .没有锐角；B .有1个锐角；C .有2个锐角；D .有3个锐角. 5.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是( ) A.十三边形； B.十二边形； C.十一边形； D.十边形. 二、填空题6.每个内角都为144°的多边形为_________边形.7.一个多边形边数增加1，则这个多边形内角增加 ，外角增加 . 8.多边形的内角中,最多有________个直角.9.若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°,则此多边形是 边形.10.一个多边形的每一个外角等于40°，则此多边形是 边形，它的内角和等于 . 三、解答题11.如图,在四边形ABCD 中,∠B+∠D=180°,∠DCE 是四边形ABCD 的一个外角,∠DCE 与∠A 相等吗?为什么?12.有两个各角都相等的多边形,它们的边数ABCDE第11题图之比为1:2,且第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15°,求这两个多边形的边数.13.如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.【能力提升】14.若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和为2570°,则这个内角的度数为( ) A.90°； B.105°； C.130°； D.120°.15.已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为7:2,则这个多边形的边数为_________.16.从n 边形的一个顶点出发,最多可以引多少条条对角线?请你总结一下n 边形共有多少条对角线.ABC DEF 第13题图参考答案1.B.两个锐角；2.B ；3.B ；4.A ；5.A.6.十；7.180度，0度；8.4；9.十；10.九，1260°. 11.解：∠DCE=∠A .在四边形ABCD 中,∠B+∠D=180°, 所以∠A+∠BC D=180°. 因为∠DCE+∠BC D=180°， 所以∠DCE=∠A . 12.12和24. 13.360°. 14.C ； 15.9.16.提示：可以从四边形、五边形、六边形开始讨论，n-3，2)3(-n n .7.5三角形的内角和（1）姓名________ 班级_________成绩_______1．（1）三角形的3个内角和等于 ；（2）直角三角形的两个锐角 ；（3）三角形的一个外角等于2．在一个三角形，若︒=∠=∠40B A ，则ABC ∆是（ ）．（Ａ）直角三角形 （Ｂ）锐角三角形 （Ｃ）钝角三角形 （Ｄ）以上都不对 3．在△ABC 中，（1）∠C = 90º,∠B =30º, 则 ∠A = º；（2）∠A = 100º,∠B =∠C , 则 ∠B = º； （3）若△ABC 中的三个内角度数之比为2：3：4，则相应外角之比为 ． （4）三角形的三个内角中，最多有 个锐角，最多有 个直角，最多有 个钝角．4．如图所示，在△ABC 中，∠B =440，∠C =720，AD 是△ABC 的角平分线， （1）求∠BAC 的度数；（2）求∠ADC 的度数．5．如图，在△ABC 中，外角∠DBA ＝78º，∠A ＝36º，求∠C 和∠ABC 的大小．ABC D第4题图第5题图6．如图，在△ABC 中，BE 、CD 相交于点E ． （1）∠1和∠2分别是哪一个三角形的外角？（2）如果∠A ＝2∠ACD ＝76º，∠2＝143º．试求∠1和∠DBE 的度数．7． 如图，△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ， (1)若∠ABC =60°，∠ACB =80°，求∠BOC 的度数； (2) 若∠A =70°, 求∠BOC 的度数． (3)若∠BOC =120°, 求∠A 的度数．8(选做题)．已知：如图，△ABC 中，∠B 的平分线和△ABC 的外角平分线交于点D ，∠A =90°．求∠D 的度数．B第6题图第7题图OCBA第8题图DEC BA7.5三角形的内角和（2）姓名________ 班级_________成绩_______ 1．n边形的内角和等于__________．2．你会用设计哪些方案求n边形的内角和？列举其中一种加以说明．3．（1）下列各角不是多边形的内角的是（）．（Ａ）1800（B）5400（C）19000 （D）10800（2）如果一个四边形的一组对角都是直角，那么另一组对角可以（）．（Ａ）都是锐角（B）都是钝角（C）是一个锐角和一个直角（D）是一个锐角和一个钝角（3）如果一个多边形的边数增加1，则它的内角和将（）．（Ａ）增加90°（B）增加180°（C）增加360°（D）不变（4）多边形内角和增加360°，则它的边数（）．（Ａ）增加1 （B）增加2 （C）增加3 （D）不变4．（1）五边形的内角和是__________，六边形的内角和是_________；（2）一个十边形所有内角都相等，它的每一个内角等于；（3）一个多边形的内角和是是2340°，则它的边数等于．5．五边形ABCDE的内角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4．求∠CAD的度数．6．如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，且∠D+∠C=220°，求∠AOB的度数．7．如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数．4321ODCBA第6题图CE第5题图第7题图8．如果四边形有一个角是直角，另外三个角的度数比是2：3：4，那么这三个内角的度数分别是多少？9、小强把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在BCDE 内部时，他发现2∠A ＝∠1+∠2，你能帮他解释其中的原因吗？图24第7题图。