自平衡车模型分析
平衡车分析报告
平衡车分析报告一、引言平衡车，又称为电动平衡车或者个人平衡车，是一种以电动机和陀螺仪等控制元件为基础，通过感应身体的重心变化来实现平衡的交通工具。
近年来，随着科技的不断进步，平衡车越来越受到人们的关注和喜爱。
本文将通过对平衡车的分析，探讨其原理、应用领域以及未来发展方向。
二、原理分析平衡车的平衡原理主要基于陀螺仪和加速度传感器的配合。
陀螺仪感知车身的倾斜角度，再通过控制系统调整电动机的转速，使车身保持平衡状态。
加速度传感器则用于感知车辆的前后倾斜，从而控制车辆的前进和后退。
这种基于重心倾斜的控制方式，使得平衡车可以有效地实现平稳行驶。
三、应用领域 1. 个人代步工具：平衡车作为一种便携式交通工具，被广泛应用于个人代步。
它的小巧灵活，适合在狭小的空间中使用，例如校园、工厂、商场等场所。
2. 旅游观光：许多旅游景区开始引入平衡车作为旅游观光工具。
游客可以骑着平衡车游览，既方便快捷又环保节能。
3. 物流配送：平衡车在物流配送领域也展现出了巨大潜力。
配备货架的平衡车可以轻松穿梭于仓库之间，完成货物的装载和运输工作。
四、市场现状目前，平衡车市场呈现出快速增长的趋势。
随着人们对便捷出行方式的需求不断增加，平衡车作为一种时尚、环保的交通工具受到了广大消费者的追捧。
同时，技术的不断进步也使得平衡车的性能得到了显著提升，更加安全、稳定。
预计未来几年，平衡车市场将继续保持高速增长。
五、发展趋势 1. 智能化：随着人工智能技术的发展，未来的平衡车将更加智能化。
通过加入智能导航、语音控制等功能，使平衡车更加智能化、人性化。
2. 多样化：平衡车的外观设计将更加多样化，以满足不同消费者的个性化需求。
同时，不同型号的平衡车将针对不同场景和用户需求进行专门设计，提供更多选择。
3.安全性：未来平衡车将更加注重安全性，例如加入碰撞预警、紧急制动等功能，提高车辆的安全性能。
六、结论平衡车作为一种新兴的个人交通工具，具有广阔的市场前景和发展潜力。
自动搜索平衡车的两种数学模型
一、研究背景及意义自动搜索平衡车的两种数学模型。
它是用小车及车上倒置的摆模拟控制火箭垂直起飞的装置。
外力u(t)目的使摆保持与车身垂直。
火箭起飞阶段必须维持与地面垂直，待到达指定速度和高度后才开始转弯。
倘若火箭在起飞阶段受侧风干扰，火箭轴线偏离铅垂线一个小角度，则在重力作用下偏离角度会越来越大最终导致发射失败。
为防止失败．在火箭轴线刚偏离垂直位置时，应启动发动机产生横向力校正火箭位置使其与地面垂直。
为使问题简化，设车与摆只在平面内运动并忽略杆的质量，电机本身的惯性，摩擦，风力等因素，设摆球质量为m ，车质量为M ，摆长为l 。
二、建模机理令H(t)和V(t)分别是小车通过铰链作用于杆也就是作用于摆球的水平分力和垂直分力。
当然杆通过铰链作用于车的反作用力为—H(t)和—V(t)。
应用牛顿定律得到：小车水平方向)()()(y t H t u t M -=。
（2-1） 摆水平方向2......22)(sin cos )sin ()(θθθθθml ml y m l y dt d m t H -+=+= （2-2）摆垂直方向)cos ()(22θl dtd m mg t V =- 2...)(cos sin θθθθml ml --= （2-3）力的分解θθcos sin )()(=t V t H （2-4） 将式（2）带入式（1）得到)()(sin cos )(2.....t u ml ml y m M =-++θθθθ将式（2-2）、（2-3）代入式（2-4）得到θθθθθθθθθθcos sin )(cos sin )(sin cos ..2.....2...=---+l l g l l y 三、模型简化上面两式均系非线性方程。
该系统目的在于控制摆与地面垂直，可以认为θ(t)和)(t 。
θ都接近于零。
在此假设下，取sin θ(t)≈θ(t)，cos θ(t)≈l ，同时略去此θ(t)，)(t 。
θ更高阶的无穷小量，经过如此线性化后得到)(....t u ml y m M =++θ）（ （2-5） 0....=-+θθg l y （2-6）对式（5）和式（6）等号两边分别取拉氏变换并令初始条件为零便求出由u （t ）到y(t)的传递函数)(g s yu 和由u(t)到θ(t)的传递函数)(s g uθ分别如下：])([)(222g m M Mls s g ls s g yu +--= (2-7)gm M Mls s g u )(1)(2+--=θ (2-8)或者写为)()()()()(s u s s s s y g g u yu ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡θθ （2-9）式（9）是系统频域中输入一输出描述式，为了推导它的动态方程式选取相变量作为状态变量，即 y x=1，。
双轮自平衡小车的动力学建模与分析
双轮自平衡小车的动力学建模与分析作者：孙阳辛颂雷荣芳张忠秋胡琴芳来源：《硅谷》2014年第05期摘要双轮自平衡小车本身具有不稳定、非线性等特点，使得对双轮自平衡小车的控制变得相当复杂。
文章从双轮车结构出发，利用牛顿法建立数学模型，归一化处理后得到系统线性化模型，便于之后对双轮自平衡的仿真与控制。
关键词双轮自平衡小车；本质不稳定；数学模型；牛顿法中图分类号：TP242 文献标识码：A 文章编号：1671-7597（2014）05-0170-02近些年来，对移动机器人的研究越来越深入，其应用领域越来越广泛，具有广阔的研究背景。
双轮车是一种本质不稳定的特殊的轮式移动机器人，具有多变量、非线性等特征，对它的控制也比较复杂。
文章从双轮车结构出发，利用牛顿力学建立数学模型，之后进行归一化处理，最终得到了系统的线性化模型，便于进一步对双轮自平衡小车进行控制。
1 系统模型建立1.1 车轮模型以两轮轴线方向为x轴，车体前进方向为y轴，过车轮轴中点竖直向上为z轴，建立坐标系。
以右侧车轮为例，对其进行受力分析，如图1所示。
图1 两轮车右轮受力分析根据牛顿力学方程，我们可以得到：（1）（2）同理，我们可以得到左轮的平衡方程：（3）（4）其中：是车轮的质量，为轮子的半径，是车轮的转动惯量，，分别为左右车轮的线加速度，，为左右轮与地面的摩擦力，，是左右轮水平方向的作用力，，是左右轮的角加速度，，分别为左右轮的转矩。
1.2 车身模型平衡车车身的运动由绕车轴的相对转动和沿y轴方向的平动两部分构成，假设平衡车车身的倾角为，我们建立了平衡车车身的模型图（如图2所示）。
图2 两轮车车身的受力分析我们可以得到车身的平衡方程：（5）其中：（6）（7）车体的和外力矩：（8）其中：是除车轮外车身部分的质量，是车轮的平均位移，分别是左右轮的位移，，是质心的水平位移和线加速度，为车体质心到车轮轴的距离，是车身倾斜的角加速度，是左右轮竖直方向的作用力，是车体的转动惯量。
自平衡独轮车动力学模型的建立
2 自平衡独轮车动力学模型的建立2.1 自平衡的原理动态平衡原理即为自平衡独轮车的工作原理。
通过运动补偿算法，运用加速度传感器和陀螺仪对车体姿态测试，同时借助精密的伺服控制系统高敏地对电机进行驱动，并作适度的调节，从而使整个车体的平衡性以及稳定性得到确保。
由图 2.1能够得出，自平衡独轮车的车体摆动和它的转动是存在一定分离性的，驾驶人员的两腿将车身的两端夹紧，进而和车体产生了一个整体。
一旦其身体倾向后方，那么驱动车轮就会朝后转，从而防止车体倒向后方；反之，若是朝前，那么车轮就会朝钱转；若其身体处于竖直状态，那么则独轮车也就表现为动态平衡。
独轮车控制系统的重中之重就是平衡控制。
就自平衡独轮车加以建模并做深度分析，便能够对系统的特性产生更多的了解，这对于相应控制算法的设计规划甚为有益。
图2.12.2动力学建模2.2.1 物理模型化简自平衡独轮车不是平面机构，需要采用空间坐标的方式对其进行分析，坐标定义可详见图2.2，能够看出其自由度共有6个，其中平移、旋转各为3个。
俯仰角Ψ、横滚角γ、偏航角Φ均为其旋转姿态角。
因为独轮车的左右方向以驾驶者自身的调节为主，只能够控制前方和后方，故而把模型简单化至x o z平面，仅对这两个方向上的平衡控制进行探讨。
图2.2运动学是力学的一个分支，主要是站在几何的视角上来对物体位置伴随时间的波动规律进行阐述及探究的，刚体的运动学以对其自身的运动特性的研究为主，譬如转动经过、位移、角速度及其加速度等。
由于有部分难以测得的因素存在于独轮车的机械零件以及运动经过当中，因而必须对其做简化建模，因此作如下假设：1驾驶者和独轮车运动相同，可将二者看成一个整体，假定是刚体；2行走轮为质心在圆心的空心圆环；3在独轮车行驶期间，车轮和地面从始至终都处于彼此接触的状态，且一直是纯滚动；4忽略其他摩擦和外界干扰。
基于以上条件，我们进行独轮车物理模型化简如图 2.3，Φ为车轮转过的角度，θ为车体的倾角。
两轮自平衡车横向动力学建模与控制研究进展
?执行机构与控制算法
当两轮车前进速度满足 ZJ#Z#Z4时"在外界扰动 下"具有一定的姿态回复能力% 而在两轮车实际行驶 过程中"速度并不能总是满足上述条件"如两轮车启动 时速度 Zb" eZJ% 为了使两轮车在更大的速度范围内 具备保持姿态平衡的能力"需要在两轮车车体上安装 驱动机构"以产生侧倾方向的力矩来维持两轮车姿态 平衡% 目前主要使用重量平衡体(转向控制器和控制 力矩陀螺仪 % 种驱动机构% ?重量平衡体控制
熊宇聪等两轮自平衡车横向动力学建模与控制研究进展
两轮车在加速度作用下达到一定车速时"还需考虑空 气阻力&#< A#8' %
两轮车横向动力学模型除了受到加速度影响外" 还受到轮胎顺应性的影响% 轮胎顺应性主要影响两轮 车的抖动运动(侧滑运动和高速运动&#=' %
@D*)NWD&#&' (L-(D.F 和 VK.*4	' "以及 ?7_),+&#$' 等 人对两轮车轮胎顺应性影响进行了相关研究% 研究表 明轮胎的顺应性导致轮胎受力情况复杂"其受力不仅 取决于轮胎侧滑位移的大小和轮胎的柔性"还取决于 轮胎框架的刚度%
图 ! HD,ID((-AY4/^^()模型特征根 E/J7,)!aH4D,D*+),/M+/*,--+M-GHD,ID((-AY4/^^()Q-F)(
HD,ID((-AY4/^^()模型描述了两轮车匀速直线行 驶过程中"受到外力矩扰动时的姿态动力学性质% 但 是该模型成立的假设条件有一定的局限性"如未考虑 前向加速度与轮胎顺应性对两轮自平衡车姿态动力学 模型的影响等% !&"?7,89,::; < =>?@@:A 扩展模型
平衡车分析报告
平衡车分析报告1. 引言本文旨在对平衡车进行全面的分析和评估，深入探讨其原理、应用以及市场前景。
平衡车，又称为电动平衡车或自平衡车，是一种新型的个人交通工具。
它采用借助陀螺仪、加速度计和控制系统等技术，实现了自平衡行驶。
本文将从技术原理、市场需求和未来发展方向等多个角度进行分析。
2. 技术原理平衡车的核心技术原理是借助陀螺仪和加速度计实现自平衡。
陀螺仪用于检测车身的倾斜角度，而加速度计用于检测车身的加速度。
通过实时监测和分析这些数据，控制系统能够根据车身的倾斜程度和加速度来调整电机的转速，实现平衡行驶。
同时，平衡车还配备了高精度的传感器和执行器，以实现精确的控制和操控。
3. 应用领域平衡车在个人交通、巡逻、物流配送等领域具有广泛的应用前景。
首先，平衡车作为一种便携、环保的交通工具，可以在短距离出行时替代传统的步行、自行车等方式，提高出行效率。
其次，平衡车还可以应用于巡逻和安防领域，搭载摄像头和传感器等设备，实现对于区域内的监控和巡逻。
此外，平衡车还可以用于物流配送，提高效率和降低成本。
4. 市场需求目前，随着城市化进程的加快和个人出行需求的增加，市场对于个人交通工具的需求不断增长。
平衡车作为一种绿色、便携、智能的出行方式，受到了越来越多消费者的青睐。
而且，平衡车的成本也在逐渐降低，使其更加普及化。
在未来，随着技术的进一步发展和成本的进一步降低，市场对平衡车的需求将会进一步增加。
5. 发展趋势随着人们对于便捷出行和智能交通的需求增加，平衡车的发展前景十分广阔。
未来，平衡车有望实现更加智能化和人性化的设计。
例如，可以通过增加自动导航和智能避障功能，使平衡车更加方便、安全地应用于城市道路。
同时，随着电池技术的进步，平衡车的续航能力将会不断提升，进一步增加其可靠性和实用性。
6. 结论综上所述，平衡车作为一种新兴的个人交通工具，具有广阔的市场前景和发展空间。
其核心技术原理以及多种应用领域使其成为了一种受欢迎的出行方式。
两轮平衡小车数学建模
两轮平衡小车数学建模为了实现两轮平衡小车的稳定运动，我们需要进行数学建模和控制算法设计。
本文将从数学模型的角度来探讨如何建立一个能够实现平衡的两轮小车。
两轮平衡小车是一种基于动力学原理实现平衡的机械设备。
它具有广泛的应用前景，如智能运输、仓储管理等。
在该项目中，我们将通过数学建模的方式，研究并实现两轮平衡小车的控制系统。
2. 小车的动力学模型小车的动力学模型是建立控制算法的基础。
我们首先需要考虑小车的运动姿态，它由车身的倾斜角度和角速度来描述。
2.1 车身的倾斜角度小车的倾斜角度决定了小车的平衡状态，通过使用传感器可以测量到倾斜角度。
我们将倾斜角度表示为θ，正值表示小车向前倾斜，负值表示小车向后倾斜。
2.2 角速度角速度是小车旋转的速度，用ω来表示。
正值表示小车顺时针旋转，负值表示小车逆时针旋转。
3. 控制算法设计为了使小车保持平衡，我们需要设计一个有效的控制算法。
基于小车的动力学模型，可以采用PID控制算法进行设计。
3.1 比例控制比例控制是根据小车的倾斜角度进行调整，使小车趋向于平衡状态。
比例控制的输出与倾斜角度成正比，通过调整比例系数可以控制控制器的灵敏度。
3.2 积分控制积分控制主要用于消除比例控制带来的静差。
通过积分小车倾斜角度的累积误差，来调整控制器的输出。
3.3 微分控制微分控制可以预测小车倾斜角度的变化趋势，通过调整微分系数，可以使控制器对倾斜角度变化的响应更加迅速。
4. 仿真实验与实际实现为了验证控制算法的有效性，我们可以进行仿真实验，并将算法运用到实际的两轮平衡小车中。
4.1 仿真实验通过使用MATLAB等数学仿真工具，可以建立小车的动力学模型，并进行控制算法的仿真实验。
通过分析仿真结果，我们可以得出控制算法参数的优化值。
4.2 实际实现将控制算法应用到实际的两轮平衡小车中，需要搭建硬件平台和编写相应的控制程序。
通过实际实现，我们可以验证控制算法在真实环境中的有效性。
本文以两轮平衡小车的数学建模为主题，从小车的动力学模型出发，讨论了控制算法的设计和实现。
平衡车运动方程
平衡车运动方程一、平衡车运动方程平衡车是一种无人驾驶的车辆，它通过电机、传感器和控制器来实现自动平衡和控制。
它的运动方程描述了平衡车的运动规律，是平衡车运动控制的基础。
1、动力学模型平衡车的动力学模型可以表示为：M（θ）*ddθ/dt^2 + C（θ，dθ/dt）*dθ/dt + G（θ） = T（t）其中，M（θ）是平衡车的转动惯量，C（θ，dθ/dt）是惯性阻尼系数，G（θ）是重力力矩，T（t）是电机的输出力矩。
2、状态空间模型由于平衡车的运动是非线性的，因此可以使用状态空间模型来描述它的运动规律：x′ = Ax + Bu其中，x′表示状态变量的导数，A是状态空间矩阵，B是输入矩阵，u是控制量。
3、控制方法控制平衡车的运动可以采用PID控制器，它能够根据设定的参数实现自动控制，从而达到自动平衡的目的。
PID控制器的运动方程为：u = Kp*e + Ki*∫e + Kd*(de/dt)其中，Kp、Ki和Kd是PID控制器的参数，e是误差，de/dt是误差的导数。
4、模型预测控制模型预测控制（Model Predictive Control，MPC）是一种基于模型的控制策略，它能够根据模型预测系统未来的状态，从而实现预测控制。
MPC的运动方程为：u = argmin (Kp*e + Ki*∫e + Kd*(de/dt))其中，Kp、Ki和Kd是MPC控制器的参数，e是误差，de/dt是误差的导数。
5、综合控制综合控制是将PID控制、模型预测控制和其他控制方法结合起来，使用多种控制策略实现自动控制的方法。
综合控制的运动方程为：u = f（Kp*e + Ki*∫e + Kd*(de/dt)，A，B）其中，Kp、Ki和Kd是PID控制器的参数，e是误差，de/dt是误差的导数，A和B是状态空间矩阵和输入矩阵。
二、总结以上就是平衡车运动方程的概述，它涉及到动力学模型、状态空间模型、PID控制、模型预测控制和综合控制等控制方法。
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自平衡车模型分析
一、
求解车体除两轮外部分动能
车体沿X 轴方向速度：
R L V R L x 2
)(cos θθθθ ++= 车体沿Y 轴方向速度：
R D
L V R
L y )(sin θθθ -=
车体沿Z 轴方向速度
θθ
sin L V z = 车体沿过质心的Z 轴的转动惯量为：
m yz J J J y z z ⎰⎰⎰++=d sin cos 22θθθ
由于假设车体关于ZY 平面对称，因此
0d =⎰⎰⎰m yz 因此
θθθ22sin cos y z z J J J +=
则可以得到车体的平动动能：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+++=2221)sin ())(sin ()2)(cos 21θθθθθθθθθ L R D L R L E R L R L kp （ 车体的转动动能为：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+=22222
))()(sin cos (21θθθθθ x R L y z kp J R D J J E 则车体的总动能为：
21kp kp kp E E E +=
二、
求解车轮动能
左车轮平动速度为：
R V L
x w L θ = 右车轮平动速度为
R V R
x w R θ =
两轮有同样的绕垂直于半径的转动速度：
R D
R
L w )(θθω -=
则左车轮的动能为：
2
22)(2121)(21⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++=D R J J R m E R L R L L kw L
θθθθφ
则右车轮的动能为：
222)(2121)(21⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++=D R J J R m E R L R R R kw R
θθθθφ 三、
求解车体势能
由于在平地上行进，车轮势能不变。
车体整体势能可变部分表示为：
θcos g m E p p =
四、
拉格朗日函数的求解
得到最终的拉格朗日函数为：
p kw kw kp kp E E E E E L L R -+++=21
依据拉格朗日动力学法求解，进行如下运算：
R L M M L dt L
d
--=∂∂-∂∂θ
θ L L
L
M L dt L
d
=∂∂-∂∂θθ R R
R
M L dt L d
=∂∂-∂∂θθ 得到动力学方程：
方程一：
()
R
L R L z y p p R L p x p M M R D J J L m gL m R L m J L m --=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+--+++222
)(cos sin sin 2)(cos )θθθθθθθθθ （
方程二：
()
()
L
R L R L L R L z y p R L z y p R L p p p M D
R J J mR D R J J L m D
R J J L m R m LR m LR m =-+++--++-+++++-2
222222
2222222)(2)(cos sin 2)(cos sin sin 4)(sin 21cos 21θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθφ
方程三：
()
()
R
R L R R R R L z y p R L z y p R L p p p M D
R J J mR D R J J L m D R J J L m R m LR m LR m =--++--+--++-++-2
222222
2222222)(2)(cos sin 2)(cos sin sin 4)(sin 21cos 21θθθθθθθθθθθθ
θθθθθθθθφ 五、
方程中各项的力学意义分析
方程一中：
θ
)2x p J L m +（ 表示的是让车体产生θ 的角加速度，应该产生的合力矩为θ
)2
x p J L m +（，其中转轴为车轮中心。
R L m R
L p 2
)(cos θθθ +
是以车底盘为参考系而产生的非惯性力的力矩。
θsin gL m p
是重力产生的力矩。
(
)
2
2)
(cos sin ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+R D J J L m R L z y p θθθθ 是离心力的力矩。
R L M M --
为电机产生的力矩。
方程二中：
对于轮子的受力分析中，由于车体自身有加速度以及角加速度，因此需要从轮轴给予车体一定的力产生加速度。
在轮子上，由于轮轴收到车体的反作用力，为了让轮子产生抵消车轮轴心收到的作用力，需要由地面给予车轮额外的作用力。
因而为了让车轮能够以预计的角加速度运转，力矩不仅要为角加速度提供力矩，还应克服地面产生的作用力的力矩。
θθcos 2
1 LR m p 为使车体产生水平加速度所需要的力对轮子产生的力矩，该加速度为转动速度改变造成
的加速度水平分量
4
)(2R m R
L p θθ +
为使车体产生水平加速度所需要的力对轮子产生的力矩，该加速度为底盘的加速度。
与
之前加起为总的水平加速度。
θθsin 2
12 LR m p 为车体离心力在水平方向产生的力矩
(
)
2
22
2
2
2
)(cos sin sin D
R J J L m R
L z y p θθθθθ -++ 是车体在XY 平面绕Z 轴旋转角加速度所需要的力矩转移到轮上的力矩。
所以在两个轮上方向不相同。
(
)
2
22
)(cos sin 2D R J J L m R
L z y p θθθθθ --+ 为使车体克服摆动造成的柯里奥利力力矩，而由轮子为车体提供力矩时，轮子收到的反作用力造成的力矩。
R
mR θ 2 为让车体产生R R
θ 的加速度所需要的力矩 R
J θφ 为让车体产生R
θ 的角加速度所需要的力矩 2
2)(2D
R J R
L R θθ - 为让车体产生绕半径转动的角加速度所需要的力矩 六、
控制矩阵
令：
(
)
222
222
2222
12cos sin sin 4
D
R J J mR D R J J L m R m K R z y p p ++++++=
φθθθ
(
)
22
222
2222
22cos sin sin 4
D
R J D R J J L m R m K R z y p p -++-=
θθθ
()
223)(cos sin sin ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--++=R D J J L m gL m K R
L z y p p θθθθθ
θθsin 2
124 LR m K p =
(
)
22
2
5)(cos sin 2D
R J J L m K R L z y p θθθθθ --+=
则有控制矩阵：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡+R L R L p p p p x p M M K K K K K K K LR m K K LR m LR m LR m J L m 1001001100
2cos 02cos 00102cos 2
cos 05454312
212
θθθθθθθθ
此为非线性控制方程，可以用于matlab 仿真 将其在小角度线性化以后，得到：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡+R L R L
p R L p p p p x p M M gL m K K LR m K K LR m LR m LR m J L m 1001001100
00000000100000
2cos 02cos 00102cos 2cos 012
2
12
θθθθθθθθθθθθ
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