复数高考题型归类
复数的知识点总结与题型归纳
复数的知识点总结与题型归纳一、知识要点 1．复数的有关概念我们把集合C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位．全体复数所成的集合C 叫做复数集．复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．对于复数z ＝a ＋b i ，以后不作特殊说明都有a ，b ∈R ，其中的a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部．说明：(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a ＋b i(a ，b ∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b 而非b i.(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数相等在复数集C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d .3．复数的分类对于复数a ＋b i ，当且仅当b ＝0时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a ＋b i 可以分类如下：复数z ⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数).说明：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系4．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)―――――――→一一对应复平面内的点Z (a ，b ) (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) ――――→一一对应平面向量OZ ――→. 5．复数的模(1)定义：向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模． (2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|. (3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R)． 说明：实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数．6．复数的加、减法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. 7．复数加法运算律设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 8．复数加、减法的几何意义设复数z 1，z 2对应的向量为OZ 1――→，OZ 2――→，则复数z 1＋z 2是以OZ 1――→，OZ 2――→为邻边的平行四边形的对角线OZ ――→ 所对应的复数，z 1－z 2是连接向量OZ 1――→与OZ 2――→的终点并指向OZ 1――→的向量所对应的复数．它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．9．复数代数形式的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.10．复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有11.共轭复数已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则 (1)z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d . (2)z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d ≠0. 12．复数代数形式的除法法则： (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． 说明：在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．二、题型总结题型一：复数的概念及分类[典例] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2－x －6x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解] (1)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15＝0，x ＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数．(2)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．(3)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋3＝0，x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)时应先转化形式.(2)注意分清复数分类中的条件设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0.④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0题型二、复数相等[典例] 已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实数根，则实数m 的值为________，方程的实根x 为________．[解析] 设a 是原方程的实根，则a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0， 即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0＋0i ，所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0， 所以a ＝－12且⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－12＋3m ＝0，所以m ＝112.题型三：复数与点的对应关系[典例] 求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R)对应的点Z 满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内． (2)在复平面内的x 轴上方．[解](1)点Z 在复平面的第二象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6a ＋3＜0，a 2－2a －15＞0，解得a ＜－3.(2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －15＞0，a ＋3≠0，即(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3.题型四：复数的模[典例] (1)若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1－2i C ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i(2)设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－1,1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析] (1)依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R)，由|z |＝5得 a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i. (2)因为|z 1|＝ a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5，所以a 2＋4＜5，即a 2＋4＜5，所以a 2＜1，即－1＜a ＜1. [答案] (1)D (2)B题型五：复数与复平面内向量的关系[典例] 向量OZ 1――→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2――→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1――→+OZ 2――→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i[解析] 因为向量OZ 1――→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2――→对应的复数是－5＋4i ，所以OZ 1――→＝(－5, 4), OZ 2――→＝(5, －4)，所以OZ 2――→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ 1――→+OZ 2――→对应的复数是0.[答案] C题型六：复数代数形式的加、减运算[典例] (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.(2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝________.[解析] (1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i.(2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －5y ＝5，－3x ＋4y ＝－3，解得x ＝1，y ＝0，所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，所以|z 1＋z 2|＝ 2. [答案] (1)－2－i (2)2题型七：复数加减运算的几何意义[典例] 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C分别表示0,3+2i ，-2+4i.求：(1) AO ――→表示的复数； (2)对角线CA ――→表示的复数； (3)对角线OB ――→表示的复数．[解] (1)因为AO ――→＝－OA ――→，所以AO ――→表示的复数为－3－2i.(2)因为CA ――→＝OA ――→－－OC ――→，所以对角线CA ――→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为对角线OB ――→＝OA ――→＋OC ――→，所以对角线OB ――→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.题型八：复数模的最值问题[典例] (1)如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( ) A ．1 B.12 C ．2D. 5(2)若复数z 满足|z ＋3＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．[解析] (1)设复数-i ，i ，-1-i 在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3， 因为|z+i|+|z-i|=2，|Z 1Z 2|=2，所以点Z 的集合为线段Z 1Z 2.问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值，因为|Z 1Z 3|=1. 所以|z+i+1|min=1. [答案] A(2)解：如图所示， |OM ――→|＝(－3)2＋(－1)2＝2.所以|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.题型九：复数代数形式的乘法运算[典例](1)已知i 是虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( )A ．2 B.12 C ．－12D ．－2(2)(江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． [解析] (1)(1＋a i)(2＋i)＝2－a ＋(1＋2a )i ，要使复数为纯虚数，所以有2－a ＝0,1＋2a ≠0，解得a ＝2.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5.题型十：复数代数形式的除法运算[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( ) A ．2 B ．－2 C ．－12D.12[解析] (1)∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i2－i ＝(11＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝15＋25i5＝3＋5i.(2)1＋a i2－i ＝(1＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2－a 5＋1＋2a 5i ，由1＋a i 2－i 是纯虚数，则2－a 5＝0，1＋2a 5≠0，所以a ＝2.[答案] (1)A (2)A题型十一：i 的乘方的周期性及应用[典例] (1)(湖北高考)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．iB ．－iC．1 D．－1(2)计算i1＋i2＋i3＋…＋i2 016＝________.[解析](1)因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.(2)法一：原式＝i(1－i2 016)1－i＝i[1－(i2)1 008]1－i＝i(1－1)1－i＝0.法二：∵i1＋i2＋i3＋i4＝0，∴i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0(n∈N)，∴i1＋i2＋i3＋…＋i2 016，＝(i1＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＝0. [答案](1)A(2)0说明：虚数单位i的周期性(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)(2)i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0(n∈N)。
高考复数知识点经典题型
高考复数知识点经典题型高考是每个学生人生道路中的重要里程碑，对于许多学生而言，复习备考是一项艰巨的任务。
在准备期间，学生需要重点关注高考复数知识点，因为这些知识点经常出现在考试中，且占据很大的比重。
在本文中，我将论述一些常见的高考复数知识点，并带你一起解析经典题型。
一、复数的定义和运算法则复数是由实数和虚数构成的数，通常用 a + bi 表示，其中 a 是实部，b 是虚部。
在复数中，虚数单位 i 的平方等于 -1。
对于复数的加法和减法，只需分别对实部和虚部进行运算即可。
而复数的乘法和除法则需要使用分配律和公式 (a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i 进行计算。
经典题型：1. 计算复数 (3 + 2i) + (4 - i) 的结果。
2. 计算复数 (2 - 3i) - (5 + 2i) 的结果。
3. 计算复数 (1 - 2i) * (3 + 4i) 的结果。
4. 计算复数 (2 + i) / (1 - 3i) 的结果。
二、复数的共轭和模在复数中，共轭是指改变虚部的正负号，得到的新复数称为原复数的共轭。
复数的模是指复数到原点的距离，也可以理解为复数的绝对值。
经典题型：1. 计算复数 (4 + 3i) 的共轭。
2. 计算复数 (2 - i) 的共轭。
3. 计算复数 (3 + 4i) 的模。
4. 计算复数 (-1 + 2i) 的模。
三、复数的幂和根复数的幂是指将复数连续乘以自身多次。
复数的根是指满足a^k - z = 0 的复数 a，其中 a 是复数的根数，k 是根的次数。
经典题型：1. 计算复数 (1 + i)^2 的结果。
2. 求复数 (3 + 4i) 的平方根。
3. 求复数 (1 - i) 的立方根。
4. 求复数 (-1 + √3i) 的四次根。
四、复数的三角形式复数可以利用直角坐标系和极坐标系来表示。
在复数的三角形式中，复数 z = a + bi 可以改写为z = r(cosθ + isinθ) 的形式，其中 r 是复数的模，θ 是复数的辐角。
复数知识点大题型总结
复数知识点大题型总结一、复数的概念复数是表示两个或两个以上的事物或概念的名称或符号，如“苹果”、“树木”、“星星”等。
在语法学上，复数是动词第三人称单数形式之外的一种形式，如“he plays”（他玩）和“they play”（他们玩）。
二、复数的构成1. 大多数情况下，将名词后面加上“-s”或“-es”构成复数形式。
例子：cat（猫）→cats（猫们）, box（盒子）→boxes（盒子们）2. 以“-y”结尾的名词，如果“-y”前面是元音字母，则构成复数时直接加“-s”;如果“-y”前面是辅音字母，则将“-y”改为“-i”，再加“-es”。
例子：boy（男孩）→boys（男孩们）, baby（婴儿）→babies（婴儿们）3. 以“-f”或“-fe”结尾的名词，通常变“f”为“v”，再加“-es”构成复数。
例子：wolf（狼）→wolves（狼们）, leaf（叶子）→leaves（叶子们）4. 以“-o”结尾的名词，大多数情况下在词尾加“-es”。
例子：potato（土豆）→potatoes（土豆们）, mango（芒果）→mangoes/mangoes（芒果）5. 特殊情况：有些名词的复数形式和单数形式相同。
例子：sheep（羊）→sheep（羊）, fish（鱼）→fish（鱼）三、复数名词的用法1. 表示数量多于一个例子：There are three dogs in the park.（公园里有三只狗。
）2. 表示多种类型例子：She collected various flowers.（她采集了各种花。
）3. 表示所有例子：The students raised their hands.（学生们都举起了手。
）4. 表示家庭成员例子：My parents are in the living room.（我的父母在客厅里。
）四、不规则复数1. 有些名词的复数形式与单数形式完全不同。
单数：man（男人）, woman（女人）, child（孩子）, tooth（牙齿）, foot（脚）复数：men（男人们）, women（女人们）, children（孩子们）, teeth（牙齿们）, feet（脚们）2. 有些名词的单复数形式相同。
高考复数知识点与题型
高考复数知识点与题型高考是每个学生都必须面对的重要考试，其中涵盖的知识点众多。
在数学这一科目中，复数是一个重要且常见的知识点。
复数在数学中具有广泛的应用，不仅贯穿于高中数学的各个章节中，而且在高考考试的题目中也经常出现。
本文将重点分析与复数相关的知识点和题型。
一、复数的定义与运算复数由实部和虚部组成，一般表示为a+bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
在运算方面，复数的加减法与实数类似，可以将实部与虚部分别相加减。
复数的乘法中，需要注意虚数单位的性质，即i²=-1。
复数的除法可以通过有理化操作将分母变为实数，然后进行分子分母的分别除以实数的运算。
高考常见的复数题型包括求复数的共轭、复数的乘除法、复数的加减法等。
二、复数的平方根和幂次方复数的平方根是指复数的某个平方等于给定复数的性质。
一般来说，复数的平方根有两个解，其中一个解是正实数根，另一个解是负实数根。
对于n次方的复数运算，可以使用De Moivre公式将复数的n次方转化为它的幅角与辐角的函数。
高考中常见的题型包括求复数的平方根或者幂次方。
三、复数的模与辐角复数的模表示复数的长度，也可以理解为复数到原点的距离。
一般使用竖线表示，也可以用绝对值表示。
复数的辐角指的是复数与正实数轴之间的夹角，通常用θ表示。
复数的模和辐角可以通过公式计算出来，也可以通过坐标系进行几何解释。
高考中常见的题型包括给出复数求模和辐角，或者给出模和辐角求复数。
四、复数的几何意义复数在数学中具有重要的几何意义。
可以将复数看作是平面上的向量，复数的实部和虚部可以分别表示向量在x轴和y轴的投影。
将复数在坐标系中表示出来，可以画出复平面图。
复数的加减法可以理解为向量的相加减，复数的乘法可以理解为放缩和旋转。
通过复平面图，可以直观地理解复数的运算与几何意义。
在高考题目中，经常会利用复数的几何意义进行分析和解答。
五、复数方程与不等式复数方程和不等式是高考中较为复杂的考点之一。
第12章复数章末题型归纳总结 高考数学
又∠ ∈ , ，所以∠ = .
故答案为：
−
，
= ，
试卷讲评课件
例11.(2024 ⋅高一·江苏·专题练习)在复平面内，O是原点，向量OZ对应
的复数是−1 +
− 2
复数为_____.
π
i，将OZ绕点O按逆时针方向旋转 ，则所得向量对应的
4
【解析】如图，由题意可知 = −, ，与
经典题型六：复数的三角表示
模块三：数学思想与方法
①分类与整合思想②等价转换思想③
数形结合的思想
试卷讲评课件
模块一：本章知识思维导图
试卷讲评课件
模块二：典型例题
经典题型一：复数的概念
例1.(2024
z
⋅高三·河南商丘·阶段练习)若复数z满足 为纯虚数，且
2+i
z = 1，则z的虚部为(
√
2 5
A.±
若 = ，则有 = , = , ∴ = ，反之由 = ，
推不出 = ，如 = ＋, = − 时， = ，故C正确；
D中两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴
错.
选.
试卷讲评课件
【解析】复数 = + ，则 = +
= − + = −，
−=
又是实数，因此
，解得 = −，
= −
所以实数的值是−.
试卷讲评课件
z1
z1
(2)若 是纯虚数，求
z2
z2
+
z1 2
z2
+
z1 3
复数高考题型总结
复数高考题型一、复数概念1．在复平面内,复数(12)z i i =+对应的点位于 ．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若复数12429,69,z i z i =+=+其中i 是虚数单位,则复数12()z z i -的实部为 ． 3．若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数,则实数x 的值为 ．A ．1-B ．0C ．1D ．1-或14．已知复数12z i =-,那么1z= ．A B C ．1255i +D ．1255i -二、复数相等 1．i 是虚数单位,若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-,则乘积ab 的值是 ． A ．－15B ．－3C ．3D ．152．若21a bi i=+-i 为虚数单位,,a b R ∈ 则a b +=_________． 3．已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11 ．A1+2i B 1-2i C2+i D2- i 三、复数计算 1．复数31ii--等于 ． A ．i 21+ B ．12i - C ．2i + D ．2i -2．已知复数z 3i z ＝3i ,则z= ．A ．32B. 34C. 32D.34 3．复数32322323i i i i+--=-+ ．A ．0B ．2C ．－2iD ．24．复数2(12)34i i+-的值是 ．A ．－１ Ｂ．１ Ｃ．－i Ｄ．i 5．设1z i =+i 是虚数单位,则22z z+= ．A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ． 1i +四、其他题型1．已知2,ai b i ++是实系数一元二次方程20x px q ++=的两根,则,p q 的值为 ．A ．4,5p q =-=B ．4,5p q ==C ．4,5p q ==-D ．4,5p q =-=- 2．i 是虚数单位,238i 2i 3i 8i ++++= ．用i a b +的形式表示,a b ∈R ，3．若cos sin z i θθ=+i 为虚数单位,则21z =-的θ值可能是 ．A ．6πB ．4π C ．3πD ．2π 2006－2009年高考题一．选择题：1.全国一4设a ∈R ,且2()a i i +为正实数,则a = A ．2B ．1C ．0D ．1-2.全国二2设a b ∈R ，且0b ≠,若复数3()a bi +是实数,则 A ．223b a =B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =3.四川卷复数()221i i +=Ａ4- Ｂ4 Ｃ4i - Ｄ4i 4.安徽卷1复数 32(1)i i +=A ．2B ．－2C ． 2iD ． 2i -5.山东卷2设z 的共轭复数是z ,或z +z =4,z ·z ＝8,则zz 等于 A1 B-i C ±1 D ±i 6．江西卷1在复平面内,复数sin 2cos2z i =+对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7.湖北卷11设211z z iz =-其中1z 表示z 1的共轭复数,已知z 2的实部是1-,则z 2的虚部为 ;8.湖南卷1复数31()i i-等于 B.－8D.－8i9.陕西卷1复数(2)12i i i+-等于 A ．iB ．i -C ．1D ．1-10.重庆卷1复数1+22i= A1+2iB1-2i C-1 D311.福建卷1若复数a 2-3a +2+a-1i 是纯虚数,则实数a 的值为B.2或212.广东卷1已知02a <<,复数z 的实部为a ,虚部为1,则z 的取值范围是A ．(15)，B ．(13)，C ．D ．13.浙江卷1已知a 是实数,iia +-1是春虚数,则a = A1 B-1 C 2 D-2 14.辽宁卷4复数11212i i +-+-的虚部是 A ．15iB ．15C ．15i -D ．15-15.海南卷2已知复数1z i =-,则21z z =-A. 2B. －2C. 2iD. －2i162006年广东若复数z 满足方程220z +=,则3z = ．A ．±B ．-C ．-D ．± 172007年广东文理2若复数1+bi2+i 是纯虚数i 是虚数单位,b 为实数,则b= ．A ．－2B ．－12C ．12D ．2182008年广东卷1已知02a <<,复数z 的实部为a ,虚部为1,则z 的取值范围是 ．A ．(15)，B ．(13)，C ．D ．(1192009年广东卷理设z 是复数,()a z 表示满足1n z =的最小正整数n ,则对虚数单位i ,()a i = ．A ．8B ．6C ．4D ．2二．填空题：1.上海卷3若复数z 满足(2)z i z =- i 是虚数单位,则z = ．2.北京卷9已知2()2a i i -=,其中i 是虚数单位,那么实数a = ;3.江苏卷311ii+-表示为a bi +(),a b R ∈,则a b +== ． 4．已知复数z 与 z +22－8i 均是纯虚数,则 z = ____________． 5．若复数z 满足z 1+i =2,则z 的实部是__________．6．在复平面内,O 是原点,OA ,OC ,AB 表示的复数分别为-+++23215i i i ，，,那么BC 表示的复数为________.7．z z C z z z z z 1212122222402，，，∈-+==||,那么以|z 1|为直径的圆的面积为_______; 三、解答题：1．已知复数z 1满足1+iz 1=－1+5i , z 2=a －2－i , 其中i 为虚数单位,a ∈R , 若21z z -<|z 1|,求a 的取值范围.2．已知复数z 1=c osθ－i ,z 2=s in θ+i ,求| z 1·z 2|的最大值和最小值.3．已知z 、为复数,1+3iz 为实数,=,||2ziωω=+且求． 4、已知：复数1cos () z b C a c i =++,2(2)cos 4 z a c B i =-+,且12z z =,其中B 、C 为△ABC 的内角,a 、b 、c 为角A 、B 、C 所对的边．Ⅰ求角B 的大小；Ⅱ 若b =,求△ABC 的面积．。
复数高考基础题型总结及解题技巧
复数高考基础题型总结及解题技巧复数高考基础题型总结及解题技巧一、概述复数在高考数学中是一个基础而重要的概念，涉及到代数、函数、方程等多个章节。
在高考中，复数的题型也是非常常见的，包括求模、共轭、乘法、除法、方程等多种类型。
了解复数的基础知识，并掌握解题技巧，对于高考数学的备考至关重要。
二、复数的基本概念1. 复数的定义复数是由实部和虚部构成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，bi 为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
2. 复数的表示形式复数可以表示为代数形式a+bi，也可以表示为三角形式r(cosθ + isinθ)，其中r为复数的模，θ为辐角。
3. 复数的运算复数的加法、减法、乘法、除法与实数的运算类似，需要分别对实部和虚部进行运算。
三、常见高考基础题型及解题技巧1. 求复数的模题型：已知复数z=a+bi，求z的模|z|。
解题技巧：利用复数的定义，|z|=√(a^2+b^2)。
2. 求复数的共轭题型：已知复数z=a+bi，求z的共轭复数z*。
解题技巧：z*的实部和虚部分别与z相同，但虚部的符号相反，即z*=a-bi。
3. 复数的乘法题型：计算复数z1=a+bi和z2=c+di的乘积。
解题技巧：根据复数的乘法规则，进行实部和虚部的分配、合并、整理，得到结果。
4. 复数的除法题型：计算复数z1=a+bi除以z2=c+di的商。
解题技巧：利用复数的定义和除法运算规则，将分母有理化，然后进行分子分母同乘后整理得到商的实部和虚部。
5. 解复数方程题型：解方程z^2=a，其中a为实数。
解题技巧：化为二元一次方程组，利用求根公式解得复数解。
四、个人观点与总结复数作为数学中的一个重要概念，不仅在高考中频繁出现，而且在数学建模、物理等领域也有着广泛的应用。
对复数的基础知识和解题技巧进行深入的学习和掌握，对于数学学科的发展至关重要。
希望同学们能够在备考高考数学的过程中，认真对待复数的学习，多加练习，提高对复数的理解和运用能力。
复数高考题型总结
复数高考题型一、复数概念1．在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若复数12429,69,z i z i =+=+其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为 ． 3．若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为（ ）．A ．1-B ．0C ．1D ．1-或14．已知复数12z i =-，那么1z=（ ）．A 55+ B 55C ．1255i + D ．1255i -二、复数相等 1．i 是虚数单位，若17(,)2i a bi a b R i+=+∈-，则乘积ab 的值是（ ）． A ．－15 B ．－3 C ．3 D ．152．若21a bi i=+-（i 为虚数单位，,a b R ∈ ）则a b +=_________． 3．已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11（ ）． (A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i三、复数计算 1．复数31ii--等于（ ）．A ．i 21+B ．12i -C ．2i +D ．2i -2．已知复数z 3i ）z ＝3i ，则z=（ ）．A ．322－ B. 344－ C. 322＋D.344＋ 3．复数32322323i i ii+--=-+（ ）．A ．0B ．2C ．－2iD ．24．复数2(12)34i i+-的值是（ ）．A ．－１ Ｂ．１ Ｃ．－i Ｄ．i5．设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+=（ ）． A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ． 1i +四、其他题型1．已知2,ai b i ++是实系数一元二次方程20x px q ++=的两根，则,p q 的值为（ ）．A ．4,5p q =-=B ．4,5p q ==C ．4,5p q ==-D ．4,5p q =-=- 2．i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i ++++= ．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，） 3．若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则21z =-的θ值可能是（ ）．A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π2006－2009年高考题一．选择题：1.（全国一4）设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-2.（全国二2）设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（ ） A ．223b a =B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =3.（四川卷）复数()221i i +=( )（Ａ）4- （Ｂ）4 （Ｃ）4i - （Ｄ）4i 4.（安徽卷1）复数 32(1)i i +=（ ）A ．2B ．－2C ．2i D ． 2i -5.（山东卷2）设z 的共轭复数是z ，或z +z =4,z ·z ＝8，则zz 等于（A ）1 （B ）-i (C)±1 (D) ±i 6．（江西卷1）在复平面内，复数sin 2cos 2z i =+对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7.（湖北卷11）设211z z i z =-(其中1z 表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是1-，则z 2的虚部为 。
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复数高考题型归类解析一、基本运算型
二、基本概念型
三、复数相等型四、复数的几何意义型
练习：
1.如果复数z=1+ai满足条件|z|＜2，那么实数a的取值范围是[ ]
A.()
22,22
- B.（-2，2） C.（-1，1） D.(3,3
-
2.在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.则对角线CA
→
所表示的复数的模为；
3.已知复数z1＝i(1－i)2，|z|＝1|z－z1|的取值范围是；
五、技巧运算型
六、知识交汇型
七、轨迹方程型练习：
1.已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是()
A.1个圆
B.线段
C.2个点
D.2个圆
2.如果复数z满足|z＋2i|＋|z－2i|＝4，那么|z＋i＋1|的最小值是()
A.1
B. 2
C.2
D. 5
3.若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是.
复数高考题型归类解析
一、基本运算型
二、基本概念型
三、复数相等型四、复数的几何意义型
练习：
1.如果复数z=1+ai满足条件|z|＜2，那么实数a的取值范围是[ ]
A.()
22,22
- B.（-2，2） C.（-1，1） D.()
3,3
-
2.在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,3
＋2i，－2＋4i.则对角线CA
→
所表示的复数的模为；
3.已知复数z1＝i(1－i)2，|z|＝1，则|z－z1|的最大值.
五、技巧运算型
六、知识交汇型
七、轨迹方程型
已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是()
A.1个圆
B.线段
C.2个点
D.2个圆
答案 A
解析由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
即|z|＝3或|z|＝－1.
∵|z|≥0，∴|z|＝3.
∴复数z对应的轨迹是1个圆.
5.如果复数z满足|z＋2i|＋|z－2i|＝4，那么|z＋i＋1|的最小值是()
A.1
B. 2
C.2
D. 5
答案 A
解析设复数－2i,2i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋2i|＋|z－2i|＝4，Z1Z2＝4，所以复数z的几何意义为线段Z1Z2，如图所示，问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求ZZ3的最小值.
因此作Z3Z0⊥Z1Z2于Z0，则Z3与Z0的距离即为所求的最小值，Z0Z3＝1.故选A.
8.若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是.
答案 1
解析由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴.|z－1|表示z对应的点与(1,0)的距离.∴|z－1|min＝1.
12.集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z －2|，z∈C}，集合P＝M∩N.
(1)指出集合P在复平面上所表示的图形；
(2)求集合P中复数模的最大值和最小值.
解(1)由|z－1|≤1可知，集合M在复平面内所对应的点集是以点E(1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z－1－i|＝|z－2|可知，集合N在复平面内所对应点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l，因此集合P是圆面截直线l所得的一条线段AB，如图所示.
(2)圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0， 直线l 的方程为y ＝x －1.
解⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2－2x ＝0，y ＝x －1
得 A (2＋22，22)，B (2－22，－22).
∴|OA |＝
2＋2，|OB |＝
2－ 2.
∵点O 到直线l 的距离为2
2，且过O 向l 作垂线，垂足在线段BE 上，∴
22
<2－ 2.
∴集合P 中复数模的最大值为2＋2，最小值为
22
.。