等腰三角形的轴对称性(完整资料).doc
等腰三角形有几条对称轴
等腰三⾓形有⼏条对称轴
等腰三⾓形的对称轴：除了等边三⾓形有三条对称轴之外，等腰三⾓形都只有⼀条对称轴。
等腰三⾓形性质
1.等腰三⾓形的两个底⾓度数相等（简写成“等边对等⾓”）。
2.等腰三⾓形的顶⾓平分线，底边上的中线，底边上的⾼相互重合（简写成“等腰三⾓形三线合⼀”）。
3.等腰三⾓形的两底⾓的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的⾼相等）。
4.等腰三⾓形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三⾓形的⼀腰上的⾼与底边的夹⾓等于顶⾓的⼀半。
6.等腰三⾓形底边上任意⼀点到两腰距离之和等于⼀腰上的⾼（需⽤等⾯积法证明）。
7.⼀般的等腰三⾓形是轴对称图形,只有⼀条对称轴，顶⾓平分线所在的直线是它的对称轴。
但等边三⾓形（特殊的等腰三⾓形）有三条对称轴。
每个⾓的⾓平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和⾼所在的直线就是等边三⾓形的对称轴。
8.等腰三⾓形中腰长的平⽅等于底边上⾼的平⽅加底的⼀半的平⽅（勾股定理）。
9.等腰三⾓形的腰与它的⾼的关系：腰⼤于⾼；腰的平⽅等于⾼的平⽅加底的⼀半的平⽅。
各个图形的对称轴数量
长⽅形有2条对称轴。
正⽅形有4条对称轴。
等腰梯形有1条对称轴。
圆有⽆数条对称轴。
五⾓星有5条对称轴。
菱形有2条对称轴。
等腰三角形的轴对称性(解析版)
2.5等腰三角形的轴对称性一、单选题1．如图，l∥m ，等边∥ABC 的顶点A 在直线m 上，则∥α=（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°【答案】B【解析】过B 点作BF∥l ，如图，∥BF∥l ，∥∥CBF=40°，∥l∥m ，∥BF∥m ，∥∥ABF=α，∥∥ABC 是等边三角形∥∥ABC=60°=∥CBF+∥ABF ，∥α=20°，故选：B ．2．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，25B ∠=︒，则BAD ∠的度数为（）．A ．55°B ．65°C ．75°D ．45°【答案】B【解析】∥AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，∥AD∥BC ，∥BAD=∥CAD ，∥∥B+∥BAD=90°，∥∥B=25°，∥∥BAD=65°，故选：B ．3．如图，∥ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E ，AC 的垂直平分线交BC 边于点N ，若∥BAC ＝70°，则∥EAN 的度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．50°D ．55° 【答案】B【解析】70BAC ∠=︒，18070110B C ∴∠+∠=︒-︒=︒， AB 的垂直平分线交BC 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，EA EB NA NC ∴==，，EAB B NAC C ∴∠=∠∠=∠，，BAC BAE NAC EAN B C EAN ∴∠=∠+∠-∠=∠+∠-∠，1107040EAN B C BAC ∴∠=∠+∠-∠=︒-︒=︒，故选：B ．4．如图，在∥ABC 中，AD∥BC ，垂足为D ，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，BD ＝DE ，若∥ABC 的周长为26cm ，AF ＝5cm ，则DC 的长为（ ）A ．8cmB ．7cmC ．10cmD ．9cm【答案】A 【解析】解：∥AD∥BC ，BD ＝DE ，EF 垂直平分AC ，∥AB ＝AE ＝EC ，∥∥ABC 周长26cm ，AF ＝5cm ，∥AC＝10（cm），∥AB+BC＝16（cm），∥AB+BE+EC＝16（cm），即2DE+2EC＝16（cm），∥DE+EC＝8（cm），∥DC＝DE+EC＝8（cm），故选：A．5．如图，∥ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE∥AC于点E，EF//AB交BC于点F，已知AE=5，则∥EFC的周长为（）A．60B．45C．30D．15【答案】B【解析】解：∥∥ABC是等边三角形，∥∥A=60°，∥DE∥AC，∥∥ADE=30°，∥AD=2AE=2×5=10，∥D为AB的中点，∥AB=2AD=20，∥AC=AB=20，∥EC=AC﹣AE=15，∥EF∥AB，∥∥EFC=∥B=60°，∥FEC=∥A=60°，∥∥EFC是等边三角形，∥∥EFC的周长=3EC=3×15=45．故选：B．6．如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，∥ACD和∥BCD都是等腰三角形；如图所示，∥ABC不能够分成两个等腰三角形；如图所示，∥ACD和∥BCD都是等腰三角形；如图所示，∥ACD和∥BCD都是等腰三角形；故选B.7．如图，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成如下图形，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】如图，∥将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上． ∥EF∥DG ，∥E=∥D=60°，∥∥ENM=∥D=60°，∥MGD=∥E=60°，∥EM=NM=EN ，DM=GM=DG ，∥∥MEN ，∥MDG 是等边三角形．∥∥A=∥B=30°，∥MA=MB ，∥∥ABM 是等腰三角形．∥图中等腰三角形有3个．故选：B ．8．如图，∥ABC 中，AB AC =，D 是BC 中点，下列结论，不一定正确的是（ ）A ．AD BC ⊥B ．AD 平分BAC ∠ C ．2AB BD = D ．B C ∠=∠【答案】C 【解析】解：∥AB=AC ，∥∥B=∥C ，∥AB=AC ，D 是BC 中点，∥AD 平分∥BAC ，AD∥BC ，所以，结论不一定正确的是AB=2BD ．故选：C ．二、填空题9．如图，在∥ABC 中，AB=AC ，BD∥AC ，CE∥AB ，D 、E 为垂足，BD 与CE 交于点O ，则图中全等三角形共有_________对．【答案】3【解析】解：有3对：理由是∥AB=AC ，∥∥ABC=∥ACB ，∥BD∥AC ，CE∥AB ，∥∥BDC=∥BEC=90°，∥BC=BC ，∥∥BEC∥∥BDC ，∥∥ADB=∥AEC ，∥A=∥A ，AB=AC ，∥∥ADB∥∥AEC ，∥AD=AE ，∥BE=DC ，∥∥EOB=∥DOC ，∥BEC=∥BDC ，∥∥BEO∥∥CDO ，故答案为3．10．如图，线段AB BC ，的垂直平分线12,l l 交于点O ．若35B ︒∠=，则AOC ∠=__________︒【答案】70【解析】解：连接BO 并延长，如图：线段AB BC ，的垂直平分线12,l l 交于点O∥AO=OB=OC∥A=∥ABO ，∥C=∥CBO∥∥A+∥C=∥ABC=35°∥70AOC AOD COD A ABO C CBO A C ABC ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=故答案为：7011．如图，在ABC 中，AB AC =，50A ∠=︒，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D 点，连接BD ，则DBC ∠的度数是________．【答案】15°【解析】∥AB=AC ，∥A=50∥，∥ ∥ABC=12(180∥−∥A)=12(180∥−50∥)=65∥， ∥MN 垂直平分线AB ，∥AD=BD ，∥ ∥ABD=∥A=50∥，∥ ∥DBC=∥ABC−∥ABD=65∥−50∥=15∥.故答案为:15∥.12．如图，∥ABD ，∥ACE 都是等边三角形，BE 和CD 交于O 点，则∥BOC=__________度．【答案】120【解析】∥∥ABD 、∥ACE 都是正三角形，∥AD=AB ，AC=AE ，∥DAB=∥CAE=60°，∥∥DAC=∥BAE ，∥∥ADC∥∥ABE(SAS)，∥∥ADC=∥ABE ，∥∥DAB=∥BOD=60°，∥BOC=180-∥BOD=120°，故答案为：12013．已知：如图所示，点D 在BC 的延长线上，120ACD AB AC ︒∠==，，则ABC ∆的形状为___________【答案】等边三角形【解析】解：∥点D 在BC 的延长线上，120ACD ︒∠=，∥60ACB ︒∠=，∥AB AC =，∥∥ABC 的形状为等边三角形．故答案为：等边三角形．14．如图，在ABC 中，BO ，CO 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，过O 点的直线分别交AB ､AC 于点D ､E ，且//DE BC ．若68==，AB cm AC cm ，则ADE 的周长为________．【答案】14cm【解析】DE BC ∥，DOB OBC ∴∠=∠，又BO 是ABC ∠的平分线，DBO OBC ∴∠=∠，DBO DOB ∴∠=∠，BD OD ∴=，同理：OE EC =，ADE ∴的周长14 AD OD OE AE AD BD AE EC AB AC cm ====＋＋＋＋＋＋＋．15．在Rt∥ABC 中，∥B=90°，AC=16，BC=8，那么∥C=______度．【答案】60°【解析】∥Rt∥ABC 中，∥B=90°，AC=16，BC=8， ∥BC=12AC ， ∥Rt∥ABC 中，∥B=90°，∥∥A=30°，∥∥C=90°-∥A=60°．故答案为：6016．如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，DE AC ⊥，垂足为E ，50BAC ∠=︒，则ADE ∠的度数是______．【答案】65【解析】∥AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∥∥BAD ＝∥CAD ，∥∥BAC ＝50°，∥∥DAC ＝25°，∥DE∥AC ，∥∥ADE ＝90°−25°＝65°，故答案为65°．17．等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AH HG ⊥，BG HG ⊥，12HG =，4AH =，则BG =________．【答案】8【解析】ABC 是等腰直角三角形，且90ACB ∠=︒，BC CA ∴=，90BCG ACH ∠+∠=︒，,A BG HG H HG ⊥⊥，90G H ∴∠=∠=︒，90BCG CBG ∠∴∠+=︒，CBG ACH ∴∠=∠，在BCG 和CAH 中，G H CBG ACH BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCG CAH AAS ∴≅，,CG AH BG CH ∴==，12,4H HG A ==，1248BG CH HG CG HG AH ∴==-=-=-=，故答案为：8．18．如图，在等边三角形ABC 中，BD=CE,AD,BE 交于点F,则AFE ∠=_________;【答案】60°【解析】解：在等边∥ABC 中，AB=BC ，∥ABC=∥C=60°，在∥ABD 和∥BCE 中，∥60AB BC ABC C BD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∥∥ABD∥∥BCE （SAS ），∥∥BAD=∥CBE ，在∥ABF 中，∥AFE=∥BAD+∥ABF=∥CBE+∥ABF=∥ABC=60°，即∥AFE=60°．故答案为：60°．三、解答题19．如图，已知ABC 中，AB AC =．M 是BC 的中点，D 、E 分别是AB 、AC 边上的且AD AE =． 求证：MD ME =．【答案】见详解【解析】∥AB AC =，∥∥B=∥C ，∥M 是BC 的中点，∥BM=CM ，又∥AD AE =，∥AB -AD=AC -AE ，即BD=CE ，∥∆BDM∥∆CEM ，∥MD ME =．20．如图，点D ，E 在ABC 的边AB 上，,,8CA CB CD CE AE ===，求BD 的长．【答案】8BD =【解析】解：如图，过C 作CM AB ⊥，垂足为M ．∥AC BC =，CD CE =，且CM AB ⊥，∥,==AM BM DM EM ，∥+=+AM EM BM DM ，∥AE BD =．∥8AE =，∥8BD =．21．如图，在Rt ABC △和Rt BAD △中，AB 为斜边，AC BD =，BC 、AD 相交于点E ．（1）请说明AE BE =的理由；（2）若45=︒∠AEC ，1AC =，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）CE=1.【解析】（1）证明：在Rt ACE 和Rt BDE △中，∥AEC ∠与BED ∠是对顶角，∥AEC BED ∠=∠．∥90C D ∠=∠=︒，AC BD =，∥Rt ACE ∥Rt BDE △（AAS ）．∥AE BE =．（2）∥45=︒∠AEC ，90C ∠=︒，∥45CAE ∠=︒，∥AEC CAE ∠=∠ ，∥1CE AC ==．22．如图，ABC ∆为等边三角形，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，//DE BC 交AB 于点E ． （1）求证：ADE ∆是等边三角形．（2）求证：12AE AB =．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】(1)∥∥ABC 为等边三角形，∥∥A=∥ABC=∥C=60°．∥DE∥BC ，∥∥AED=∥ABC=60°，∥ADE=∥C=60°．∥∥ADE 是等边三角形(2)∥∥ABC 为等边三角形，∥AB=BC=AC ．∥BD 平分∥ABC ， ∥AD=12AC ∥∥ADE 是等边三角形，∥AE=AD ． ∥AE=12AB ． 23．已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，E 为BC 边上一点，过E 点的直线交AB 及AC 延长线于D 、F 两点，DE AE =．（1）求证DE EF =；（2）求证BD CF =；（3）若5BE =，3CE =，请直接写出CEF △的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1.5.【解析】证明：（1）,ED EA =,EDA EAD ∴∠=∠90BAC ∠=︒，90,EAD EAC EDA F ∴∠+∠=︒=∠+∠,EAC F ∴∠=∠,EA EF ∴=.ED EF ∴=（2）如图，过D 作//DM AC 交BC 于M ，DMB ACB ∴∠=∠,EDM F ∠=∠，AB AC =,B ACB ∴∠=∠，B DMB ∴∠=∠，DB DM ∴=，在EDM △与EFC 中，EDM F DE FEDEM FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()EDM EFC ASA ∴≌,DM FC ∴=.BD CF ∴=（3）过D 作DP BC ⊥于P ，,90AB AC BAC =∠=︒，DB DM =，45B DMB ∴∠=∠=︒，45BDP MDP ∴∠=∠=︒，=BP MP DP ∴=，EDM EFC ≌，3EM EC ∴==，5BE =，2BM ∴=，1DP ，1131 1.522DME S ME DP ∴==⨯⨯=，1.5.CEF S ∴=24．如图，ABC ∆是等边三角形，BP 平分ABC ∠交AC 于点P ，延长BC 到点Q ，使得CP CQ =．（1）请用尺规作图的方法，过点P 作PM BQ ⊥，垂足为M ；（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：BM QM =．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）解：如图，（2）证明：∥∥ABC是等边三角形，BP平分∥ABC，∥P是AC的中点（三线合一）∥∥ABC＝2∥PBC，∥CP＝CQ，∥∥Q＝∥CPQ．又∥∥ACB＝∥Q＋∥CPQ，∥∥ACB＝2∥Q，又∥∥ABC＝∥ACB，∥2∥PBC＝2∥Q，∥∥PBC＝∥Q，∥PB＝PQ．∆是等腰三角形，∥PBQ又∥PM∥BQ，∥BM＝QM．25．如图，∥ACB和∥DCE均为等腰三角形，∥ACB=∥DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，连接BE．（1）求证：AD=BE；（2）若∥CAE=15°，AD=4，求AB的长．【答案】（1）见解析；（2）8【解析】（1）∥ACB和∥DCE均为等腰三角形，∥ACB=∥DCE=90°，∴∠=∠,ADC BCE在ACD △与BCE 中，AC BC ACD BCE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACD BCE SAS ∴≌，AD BE ∴=；（2）ABC 是等腰直角三角形，45ABC ∴∠=︒，由（1）可知，15CAE CBE ∠=∠=︒，4BE AD ==,451560ABE ABC CBE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，90ABE ACB ∴∠=∠=︒，则在Rt AEB 中，30EAB ∠=︒，28AB BE ∴==．26．如图，已知∥ABC 是等边三角形，D 、E 分别是BC 、AC 边上的点，且BD CE =，AD 、BE 相交于点P .（1）求证：AD BE =；（2）求出APE ∠ 的度数．【答案】（1）见解析；（2）60°.【解析】（1）∥∥ABC 是等边三角形，∥AB=BC=AC ，∥ABC=∥BAC=∥C=60°，在∥ABD 和∥BCE ，AB BC ABD C BD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ，∥∥ABD∥∥BCE （SAS ），∥AD=BE．（2）∥∥ABD∥∥CBE，∥∥BAD=∥CBE，∥∥ABP+∥CBE=∥ABD=60°，∥∥ABP+∥BAD=60°，∥∥APB=180°-60°=120°．=180°-120°=60°．∥APE27．如图，∥ABC中，AB＝AC，∥A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∥ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．【答案】（1）∥ECD=36°；（2）BC长是5．【解析】解：（1）∥DE垂直平分AC，∥CE＝AE，∥∥ECD＝∥A＝36°；（2）∥AB＝AC，∥A＝36°，∥∥B＝∥ACB＝72°，∥∥BEC＝∥A+∥ECD＝72°，∥∥BEC＝∥B，∥BC＝EC＝5．。
八上 1.5 等腰三角形的轴对称性(2)
1.5 等腰三角形的轴对称性（2）--- [ 教案]班级 姓名 学号教学目标：1、掌握等角对等边的性质2、掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质3、经历“折纸、画图、观察、归纳”的活动过程，发展学生的空间观念和抽象概括能力，感受分类、转化等数学思想方法；4、会用“因为……所以……理由是……”等方式来进行说理，进一步发展有条理的思考和表达，提高演绎推理的能力教学重点：熟练的掌握“等角对等边”及直角三角的重要性质； 教学难点：正确熟练的运用新知解决简单问题； 教学过程： 一、情境创设：前一课，我们知道了：在一个三角形中，如果有两条边相等，那么这两条边所对的角相等.反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边的大小有什么关系呢？ 这一节课，我们首先就来探索这个问题.探索1：（1）如图1，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB ，所得∠1与∠2相等吗？为什么？（2）如图2，将纸条沿截线AB 折叠，在所得的△ABC 中，仍有∠1=∠2.度量AB 和AC 的长度.你有什么发现？ 二、新课讲解：通过上面的探索，同学们发现了AB=AC.这是不是巧合呢？我们再来做一个实验： 在一张薄纸上画线段AB ，并在AB 的同侧利用量角器画两个相等的锐角∠BAM 和∠ABN ，设AM 与BN 相交于点C ，量一量AC 与BC 的长度，AC 和BC 相等吗？ （度量后，我们还会发现AC ＝BC ）AB21BAC21 图1 图2于是，我们可以得到结论：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角对的边也相等.（简称为“等角对等边”） 即：如上图∵在△ABC 中，∠B=∠C ∴AB=AC （等角对等边）三、例题示范：例1.如图，在△ABC 中，AB=AC ，角平分线BD 、CE 相交于点O ，OB与OC 相等吗？请说明理由.探索2：师生当堂互动（1）任意剪一张直角三角形纸片，如图1. （2）剪得的纸片是否能折成图2和图3的形状？ （3）把纸片展开，连接CD ，你有什么发现？ 由于经过折叠，①和②，③和④是重合的，所以 ∠A=∠ACD ，∠B=∠BCD 即：AD=CD ，BD=CD 所以 CD=12AB 即“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”例2. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是AB 边上的中线且CD = 5cm ，则AB= .四、课堂小结：探究得到了一判定一个三角形是等腰三角形的条件以及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，在应用这些结论解决问题的过程中进一步提高了说理、分析、识图和归纳的能力. 六、课后作业：P29 4,5,6 七、教学后记：21O D EC BADCA（1） （2） （3） （4）。
2.52等腰三角形的轴对称性(2)
B
G
D
C
例3、如图，已知0B、OC为△ABC的 角平分线，DE∥BC，（1）说明： DE=BD+CE （2）△ADE的周长为10， BC长为8，求△ABC的周长.
A
D
0
E
B
C
已知△ABC中AB=AC，D，E分别是 AB和 BC上的点，连接DE并延长，且与 AC的延长线交于点F，若DE=EF，试说 A 明BD=CF
A
D B C E
例3.如图,△ABC和△CDE都是等边三角 形,且点A,C,E在一条直线上. 试说明: CM=CN
B
D M N A
C
E
例4.如图,△ABC和△CDE都是等边三角 形,且点A,C,E在一条直线上. 试说明: △CMN 是等边三角形
B
D M N A
C
E
例1如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=1200, AD⊥AB, AE⊥AC. ⑴图中,等于300的有__________,等于 600的角有 ; ⑵△ADE是等边三角形吗?为什么? A
问题：
⊿ABC中，∠B= ∠C，AB等 于AC吗？为什么？
A
B
D
C
等腰三角形的判定:
如果一个三角形有两个角相等， 则这两个角所对的边也相等。 (简写“等角对等边”)
A
∵∠B＝∠C ∴ AB=AC (等角对等边)
B C
AC和BC有什么数量关系
C A
1
2
B
如图，AB=AC，D是AB上一点， DE⊥BC于E，DE的延长线交CA的延长 线于F，那么⊿ADF是等腰三角形吗？ 说明理由。
A N M
B
C
3.如图,在△ABC中，∠C=900， ∠ABD=2∠EBC，AD∥BC， 求证:DE=2AB.
2.5 等腰三角形的轴对称性(1)
A
A
顶角
腰
顶角
腰
底角
底角
B
C
B
底边
C
2.5 等腰三角形的轴对称性(1)
苏州工业园区东沙湖学校 李明树
对称是一种思想，通过它， 人们毕生追求并创造次序, 美丽和完美。 赫尔曼 . 外尔
折一折 把等腰三角形沿 顶角平分线对折 并展开，你有什 么发现？把结论 写在练习本上。
A
方法小结： 在等腰三角形中
底边中点
E F C D
B
三线合一
做一做 如图,已知点D,E在△ABC中的边BC上,AB=AC,AD=AE, 那么BD与EC 相等吗？为什么？
A
一 线 生 机
E
C
B
D
F
跳一跳
如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AC、 AB上的点，且BD=BC，AD=DE=BE. A （1）找出图中相等的角 （2）求∠A的度数 几何问题 小结：
说一说
符号语言：如图：在△ABC中,
1 2
⑴∵AB=AC, ∠1＝∠2(已知)，
AD ⊥_____ BD ＝_____ DC ； BC ，____ (三线合一) ∴_____ ⑵∵AB＝AC, AD⊥BC(已知 ),∴∠____ 2 DC (三线合一) 1 ＝∠____ , BD ____=____. ⑶∵AB=AC, BD=CD(已知), 1 ＝∠___ 2 , ___ AD ⊥BC ∴∠___ __;
C
求∠FEN的度数． A
B
D
F
例题讲解 如图，△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点， ∠B=30°，求∠1的度=AC，AD⊥BC于D，BC=12， 6 40° ，BD=_____. ∠BAC=80°，则∠1=____
八年级数学上册 2.5《等腰三角形的轴对称性》等腰三角形要点全析素材 (新版)苏科版
要点全析：等腰三角形1．等腰三角形（isosceles triangle）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．如图14-3-1，△ABC中，AB＝AC，则△ABC是等腰三角形．相等的两条边叫腰，另一条边BC叫底边，两腰所夹的角叫顶角，如∠BAC，底边和腰的夹角∠ABC和∠ACB叫底角．如图14-3-2中，∠C＝90°，AC＝BC，那么，AC、BC为腰，AB边为底，∠A、∠B为底角，∠C为顶角．【说明】要理解等腰三角形的定义，需注意以下几点：（1）等腰三角形的底不一定在下方，而顶角不一定在上方，如图14-3-2中，AB为底，∠C为顶角．它是根据两腰的位置来确定的．（2）等腰三角形的三边仍要满足条件：任意两边之和大于第三边（或任意两边之差小于第三边）．若图14-3-1中，AB＝AC＝m，BC＝a，则2m＞a，即m>a/2时，才能构成三角形，否则不成立．如边长分别为2，2.5的三条线段不能构成三角形，因为2＋2＜5．例如：（1）下列各组数据为边长时，能否组成三角形？①a＝2，b＝3，c＝5；②a＝4，b＝3，c＝2；③a＝1，b＝2，c＝2；④a＝2 005，b＝2 004，c＝2 008．（2）已知等腰三角形的两边为6 cm，7 cm，求其周长．（3）已知等腰三角形的两边长为2 cm，7 cm，求其周长．解：（1）①由于2＋3＝5，即a＋b＝c，而不满足a＋b＞c，∴不能组成三角形．②由于2＋3＝5＞4，即b＋c＞a，所以a、b、c可以组成三角形．③由于1＋2＞2，即a＋b＞c，所以a、b、c可以组成三角形．④由于a＋b＞c，因此a、b、c可以组成三角形．（2）因等腰三角形的两边长分别为6 cm、7 cm当腰长为6 cm时，周长为6＋6＋7＝19（cm）当腰长为7 cm时，周长为6＋7＋7＝20（cm）．∴等腰三角形的周长为19 cm或20 cm．（3）因等腰三角形的两边长分别为2 cm，7 cm，所以腰长为7 cm，而不能是2 cm．若为2 cm，则2＋2＝4＜7，不能组成三角形．因此周长为7＋7＋2＝16（cm），∴等腰三角形的周长为16 cm．2．等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）如图14-3-3，△ABC中，AB＝AC，则∠B＝∠C证法一：（利用轴对称）过点A作△ABC的对称轴AD．∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上．又∵AD为△ABC的对称轴，∴△ABD≌△ACD（轴对称性质）．∴∠B＝∠C证法二：（作顶角平分线）过点A作AD平分∠BAC交BC于D，如图14-3-3，在△ABD和△ACD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠ADADCADBADACAB＝＝＝∴△ABD≌△ACD（SAS）．∴∠B＝∠C【说明】还可以作底边BC的中线和高来证明．3．等腰三角形的性质2（简称“三线合一”）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合．如图14-3-6，在△ABC中，AB＝AC，AD为顶角的平分线，那么AD既是中线，又是高线，这三条线重合．在使用时，在这三条线段中，只要作出其中一条，另外两条也就可以认为作出来了．即△ABC中，AB＝AC，若AD平分∠BAC，则AD⊥BC，BD＝CD；若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD；若AD⊥BC，则BD＝DC，∠BAD＝∠CAD．因此，等腰三角形中的这条线非常重要，一旦作出，边、角的等量关系就都有了．【说明】（1）“三线合一”仅限于等腰三角形中才有，其他三角形中没有．（2）在一般三角形中，这三条线是不会重合的．如图14-3-7，在△ABC中，AD为高，AE为中线，AF平分∠BAC，因此，这三条线不重合．只有等腰时，三条线才会重合；反过来，若某一三角形中三线重合，则该三角形为等腰三角形．（3）在今后的证明题中，经常会使用“三线合一”进行证明．例如：△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D，如图14-3-8．求证：∠BAC＝2∠DBC证法一：在△BCD中，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°．∴∠DBC＝90°－∠C．在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∴∠BAC＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝180°－2∠ACB＝2（90°－∠C）．∴∠BAC＝2∠DBC证法二：借助于三线合一的性质，过A作AM⊥BC于M，则AM平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠CAM.又∵BD⊥AC交AC于D，AM⊥BC交BC于M，∴∠DBC＝90°－∠C又∵AM⊥BC，∴∠CAM＝90°－∠C，∴∠DBC＝∠CAM4．等腰三角形的性质3（轴对称性）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴．如图14-3-9，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则△ABC的对称轴为AD所在的直线，△ABD≌△ACD．过D作DE⊥AB，交AB于E，作DF⊥AC，交AC于F．由△ABD≌△ACD可知DE＝DF．同理，过D分别作AB、AC边上的中线和角平分线，它们都相等．因此，得到等腰三角形的一个重要结论．重要结论：过等腰三角形底边的中点向两腰所作的高线、中线以及角平分线，其与两腰所截得的线段都分别对应相等．5．等腰三角形的性质4（两腰上的对应线段相等）等腰三角形两腰上的中线、高线和两底角平分线对应相等．例如：如图14-3-10，△ABC中，AB＝AC，若BD、CE分别为AC、AB边上的高线，则BD ＝CE．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠CEB＝90°．在△BCD和△CBE中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝CBBCCEBBDCCBEBCD∴△BCD≌△CBE（AAS）．∴BD＝CE．或S△ABC＝0.5×AB·CE＝0.5×AC·BD．∵ AB＝AC，∴BD＝CE．此法较为简便．同样道理，可分别作出两腰上的中线，两底角的平分线，也分别对应相等．6．等腰三角形的判定定理（等角对等边）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．例如：如图14-3-11，△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC证明：过点A作AD平分∠BAC，交BC于点D，则∠BAD＝∠CAD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC因此，这一结论可直接利用．【说明】（1）在使用“等边对等角”或“等角对等边”时，一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系，不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系．（2）有了这一结论，为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径．例如：如图14-3-12，△ABC中，AB＝AC，BD、CE相交于O点．且BE＝CD求证：OB＝OC．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．在△BCE和△CBD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，＝，＝CBBCDCBEBCCDBE∴△BCE≌△CBD（SAS）．∴∠BCE＝∠CBD，即∠OBC＝∠BCO∴OB＝OC（等角对等边）．【说明】证两条线段相等，若这两条线段在同一个三角形中，可利用等腰三角形的判定定理来证明．7．已知底边和底边上的高，求作等腰三角形已知线段a、b，求作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，高为b．作法：（1）作线段BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线MN与BC交于点D；（3）在MN上截取AD＝b；（4）连接AB、AC，△ABC就是所求的等腰三角形．【说明】（1）由作法知MN为BC的垂直平分线，∴AB＝AC∴△ABC为等腰三角形，如图14-3-13．（2）以前所作的三角形分别为：已知三边，两边夹角，两角夹边和已知斜边、直角边求作三角形，今天又学习了已知底边和底边上的高求作等腰三角形，共有五种情况，今后还将学习一些更为复杂的作法，都是以这五种为基础进行作图的．8．等边三角形（equilateral triangle）（1）定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形．如图14-3-14，△ABC中，AB＝BC ＝CA，则△ABC为等边三角形．（2）性质：①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．如图14-3-14中，若△ABC 为等边三角形，则∠A＝∠B＝∠C＝60°．②除此之外，还具有等腰三角形的一切性质，如三线合一，轴对称等．（3）判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形．②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．下面证明以上两条判定．判定①：如图14-3-15，已知△ABC中，∠A＝∠B＝∠C求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC又∵∠A＝∠B∴AC＝BC∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形．判定②：如图14-3-15，已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又∵∠B＝60°，∴∠B＝∠C＝60°．又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝180°－（∠B＋∠C）＝60°．∴∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝BC＝AC．∴△ABC为等边三角形．（4）应用：例如：如图14-3-16，△ABC为等边三角形，D、E为直线BC上的两点，且BD＝BC＝CE，求∠DAE的度数．分析：要求∠DAE的度数，需分开求，先求∠BAC，再求∠DAB和∠CAE，由△ABC为等边三角形知∠BAC＝60°，又∵BD＝BC，而BC＝BA，则BD＝BA，∴△ABD为等腰三角形，∴∠D＝∠DAB＝0.5×∠ABC＝30°．同理可知，∠CAE＝30°．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．又∵BD＝BC，∴BD＝BC＝AB．∴∠DAB＝∠D，又∵∠ABC＝∠D＋∠DAB，∴∠ABC＝2∠DAB＝60°，∴∠DAB＝30°．同理，∠CAE＝30°．∴∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝30°＋60°＋30°＝120°．【说明】本题中用到了等边三角形的性质．再如：如图14-3-17，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别为△ABC三边上的点，且BD＝CE＝AF，直线AD、BE、CF两两相交于点R、Q、P．求证：△PQR是等边三角形．分析：本题既用到了等边三角形的性质，又用到了其判定．要证△PQR为等边三角形，证三边相等难度较大，可考虑证其三角相等．也可先证∠PQR＝60°，而∠PQR＝∠ACQ＋∠QAC，又因为∠ACQ＋∠BCF ＝60°，只需证∠BCF＝∠DAC，由此可联想证△BCF与△CAD全等．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝CA．又∵BD＝CE＝AF，∴BF＝DC＝AE在△ABE和△BCF和△CAD中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠，＝＝，＝＝，＝＝CDBFAEDCAFBCBAECABCAB∴△ABE≌△BCF≌△CAD（SAS）．∴∠ABE＝∠BCF＝∠CAD．∵∠ACQ＋∠BCF＝60°，∴∠ACQ＋∠CAQ＝60°．∴∠AQF＝∠ACQ＋∠CAQ＝60°，即∠PQR＝60°．同理，∠RPQ＝∠PRQ＝60°．∴△PQR为等边三角形．【说明】（1）此题证明思路比较清晰，只是步骤书写较繁，书写应认真；（2）在证明过程中用到了三个三角形全等的连等形式，可仿照两个三角形全等的方式使用．9．含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图14-3-18，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则BC＝0.5×AB，这一性质反过来也成立．即在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝0.5×AB，则∠A＝30°．因此Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30° BC＝AB/2这一性质在解题中经常用到．例如：如图14-3-19，在Rt△ABC中，∠BAC为直角，高AD交BC于D，∠B＝30°，BC ＝12米，求CD，BD的长．解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴∠C＝60°，BC＝2AC∴AC＝BC/2＝6（米）．在Rt△ACD中，∵AD⊥BC，∠C＝60°，∴∠CAD＝30°．∴DC＝AC/2＝0.5××6＝3（米）．∴BD＝BC－DC＝9－6＝12－3＝9（米）．【说明】在本题中两次用到直角三角形的这一性质，并且用的方式都一样．。
课件：1.5.3等腰三角形的轴对称性3
三边相等的三角形叫做等边 三边相等的三角形叫做等边 三角形或正三角形. 三角形或正三角形.
等边三角形是特殊的等腰三角形， 等边三角形是特殊的等腰三角形， 它除了具有等腰三角形的一切性质外， 它除了具有等腰三角形的一切性质外， 还具有哪些特殊的性质呢？ 还具有哪些特殊的性质呢？
★等边三角形是轴对称图形,并且有 等边三角形是轴对称图形, 条对称轴. 3条对称轴.
A
C.3
D.4
F E
B P
C
展 现 自 我 ：
⑵如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠A=900,点D是BC上的任 意一点,DF⊥AB,DE⊥AC,M为BC的中点,试判断△MEF是 什么三角形,并证明你的结论.
△MEF 是等腰直角三角形 连接AM 连接
A E
易得△ BMF≌ △ AME 易得△ ≌ 从而有MF=ME， ， 从而有 ∠BMF=∠AME ∠ 再根据∠ 再根据∠AMB=90°，可 ° 得出∠ 得出∠EMF=90° °
■等边三角形的每个角都等于600. 等边三角形的每个角都等于60
观察 图中有几条 对称轴?请你 画出来.
议一议： 议一议：
判别一个三角形是等边 三角形有哪些方法呢？ 三角形有哪些方法呢？
探索活动：
思考： 思考：
（1）3个角相等的三角形是等边三角形吗？ 个角相等的三角形是等边三角形吗？ 为什么？ 为什么？ （2）有两个角等于的60°三角形是等 有两个角等于的60° 60 边三角形吗？为什么？ 边三角形吗？为什么？ （3）有一个角等于60°的等腰三角形 有一个角等于60° 60 是等边三角形吗？为什么？ 是等边三角形吗？为什么？
⑵△ADE 是等边三角形 ⑵△
∵∠ADE=∠AED=60° ∠ ∵∠ ° ∴ ∠ADE=∠AED=∠DAE ∠ ∠ ∴ △ADE是等边三角形 是 （三个角相等的三角形是等边 三角形 ） B
等腰三角形的轴对称性(3)
A D
⑴
⑵
⑶
B
⑷
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半. 的一半.
A D
C
B
在△ABC中，∠ACB=90° ∵AD=BD ∴CD= 1/2 AB
A
B
Eபைடு நூலகம்
D
C
例1如图,在△ABC中,∠BAC=1200 AD⊥AB 如图, ABC中 AE⊥AC. ⑵△ADE是等边三角形吗?为什么? ⑵△ADE是等边三角形吗?为什么? ADE是等边三角形吗 ⑶在Rt△ABD中, ∠B=_____,AD=_____BD; Rt△ABD中 Rt△ACE中 有类似结论吗? 在Rt△ACE中,有类似结论吗?
A
B
D
C
E
书P26/练习 P26/练习
试一试
1.如图,在四边形ABCD中 1.如图,在四边形ABCD中, 如图 ABCD ∠ABC=∠ADC=900，M、N分别 AC、BD的中点 试说明： 的中点. 是AC、BD的中点.试说明： D MN⊥BD.
A N M
B
C
拓展提高 如图在△ABC中 M,N分 如图在△ABC中,CF⊥AB,BE⊥AC, M,N分 别是BC EF的中点 试说明： BC与 的中点, 别是BC与EF的中点, 试说明：MN ⊥EF.
A
B
E
D
C
如图, BAC中 例2 ⑴如图,在△BAC中,∠BAC=900 AB=AC,点 AB=AC,点D在BC上,且BD=BA,点E在BC的 BC上 BD=BA,点 BC的 延长线上, CE=CA.试求 DAE的度数 试求∠ 的度数. 延长线上,且CE=CA.试求∠DAE的度数.
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等腰三角形的轴对称性
1.知识.能力聚焦
1.等腰三角形的性质
（1）等腰三角形是轴对称图形，顶角的角平分线所在直线是它的对称轴。
（2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）
（3）等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）
2.等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”），这就是等腰三角形的重要判定方法。
3.直角三角形的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
在应用该性质时应注意以下两点：
（1）必须是在直角三角形中；
（2）中线必须是斜边上的中线，二者缺一不可。
4.等边三角形
（1）定义：三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。
（2）性质：应为等边三角形是特殊的等腰三角形，所以它除了具有等腰三角形的一切性质外，还具有如下性质：
①等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。
②等边三角形是每个角都等于60°
（3）识别：判定等边三角形有如下三种方法:
①三边相等的三角形是等边三角形。
②三个角都相等的三角形是等边三角形。
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
E
D C
B A
第2题图
创新.思维拓展
等腰三角形性质的拓展
由于等腰三角形的特殊性，除了边、角的等量关系以外，还有以下特殊的性质；
（1） 等腰三角形两腰上的高、中线分别相等。
（2） 等腰三角形两底角的平分线相等。
（3） 等腰三角形底边中线上的任一点到两腰的距离相等。
（4） 在一个三角形中，等边对等角，如果边不等则所对的角也不等，
并且大边对大角。
再探直角三角形的性质
在直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半。
习题
1．(1)等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是 ；
(2)等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，
那么它的周长是 ；
(3)若等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则它的周长为( )
A ．9
B ．12
C ．15
D ．12或15 2．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD 是BC 边上的中线，且BD=B
E ，则∠ADE 是 °．
3．等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为( )
A ．80°、80°、20°
B ．80°、50°、50°
C ．80°、80°、20°或80°、50°、50°
D ．以上答案都不对
D
C
B
A
4．（2009年贵州黔东南州）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 等于（ ）A ．30o B ．40o C ．45o D ．36o
5． 如图，已知E 、F 两点在线段BC 上，AB ＝AC ，BF ＝CE ，你能判断线段AF 和AE 的大小关系吗?说明理由．(用两种不同的方法说明)
6．如图，点E 是等边△ABC 内一点，且EA=EB ，△ABC 外一点D 满足BD=AC ，且BE 平分∠DBC ，求∠BDE 的度数．
专题二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
10．在直角三角形ABC 中，如果斜边上的中线CD=3cm ，斜边上的高为2cm ，△ABC 的面积是___________．
11．如图，在△ABC 中，CF ⊥AB 于F ，BE ⊥AC 于E ，M 为BC 的中点，EF=5，BC=8，则△EFM 的周长是 ( ) A ．21 B ．18 C ．13 D ．15
12．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝8，AE 平分∠BAC 交BC 于点
E
D A
B
F
E
C
B
A
A
E
F
M
C
B
第11题图 E ，点D 为AB 的中点，连结DE ，则△ADE 的周长是_________．(结果保留根号)
专题三：等腰三角形的判定 13．（2009年嘉兴市）如图，等腰△ABC 中， ∠A ＝36°，∠ABC 的平
分线交AC 于D ，∠BCD 的平分线交BD 于E ，图中共有等腰三角形( )A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 14．把一张长方形纸，按如图所示折叠，重合部分是什么形状？请说明理由． 15．如图，等边△ABC 中，点D 在延长线上，CE 平分∠ACD ，且CE=BD ． 说明：△ADE 是等边三角形．
16．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=90°，D 、E 分别为AB 、BC 上
A
D C
E B
1
A
B C D E
5 4
2
3 第12题图
C‘
E D C B A
的动点，且BD=CE ，M 是AC 的中点，试探究在DE 运动的过程中，△DEM 的形状是否发生变化？它是什么形状的三角形？
M
E
D C B A。