高中数学《排列与排列数公式》导学案

1．2.1排列

第1课时排列与排列数公式

知识点排列的定义

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照□01一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．两个排列相同：当且仅

当两个排列的元素完全相同，且元素的□02排列顺序相同．

知识点排列数及排列数公式

1．排列数的定义

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的□01所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．

2．排列数公式

(1)乘积形式：A m n＝□02n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．(这里n，m∈N*且m≤n)

.(n，m∈N*，且m≤n)

(2)阶乘形式：A m n＝□03n！

(n－m)！

(3)性质：A n n＝□04n！，规定A0n＝□051,0！＝□061.

排列的定义包括两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定的顺序排成一列”．

注意：所研究的n个元素是互不相同的，取出的m个元素也是不同的．判断一个具体问题是不是排列问题，就看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排

这m个元素时，是有序的还是无序的，有序的是排列，无序的就不是排列．注意“排列”与“排列数”不是同一个概念，排列是从n个不同元素中任取m个元素，按照一定的顺序排成一列，它不是一个数；排列数是指从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，它是一个数．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)1,2,3与3,2,1为同一排列．()

(2)在一个排列中，同一个元素不能重复出现．()

(3)从1,2,3,4中任选两个元素，就组成一个排列．()

(4)从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题．()

答案(1)×(2)√(3)×(4)√

2．做一做

(1)89×90×91×…×100可表示为()

A．A10100B．A11100C．A12100D．A13100

(2)从5个人中选取甲、乙2个人去完成某项工作，这________排列问题．(填“是”或“不是”)

(3)从1,2,3中任取两个数字可组成不同的两位数有________个．

答案(1)C(2)不是(3)6

解析(1)A12100＝100×99×...×(100－12＋1)＝100×99× (89)

(2)甲和乙与乙和甲去完成这项工作是同一种方法，故不是排列问题．

(3)12,13,21,23,31,32，共6个．

探究1排列的有关概念

例1判断下列问题是否是排列问题．

(1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？

(2)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得到多少个不同的点的坐标？

(3)从10名同学中任抽2名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？

(4)某商场有四个大门，若从一个大门进去，购买物品后，再从另一个大门出来，不同的出入方式有多少种？

(5)有红球、黄球、白球各一个，现从这三个小球中任取两个，分别放入甲、乙两个盒子里，有多少种不同的放法？

[解] (1)不是．加法运算满足交换律，所以选出的2个元素做加法时，与两个元素的位置无关，所以不是排列问题．

(2)是．由于取出的两数组成的点的坐标与哪一个数做横坐标，哪一个数做纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．

(3)不是．因为任何一种从10名同学中抽取2名同学去学校开座谈会的方式不需要考虑两个人的顺序，所以这不是排列问题．

(4)是．因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以这是排列问题． (5)是．任取两球分别放入甲、乙两个盒子里，这是不同的，有顺序之分，所以这是排列问题．

拓展提升

判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．

[跟踪训练1] 判断下列问题是否为排列问题．

(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？

(2)从集合M ＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1？可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程x 2a 2－y 2

b 2＝1?

(3)从1,3,5,7,9中任取3个数字，有多少种方法？若这3个数字组成没有重复的三位数，又有多少种方法？

解 (1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．

(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程x 2a 2＋y 2

b 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小关系一定；在双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1中，不管a >b 还是a

b 2＝1均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．

(3)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．从5个数中取3个数，与顺序无关；若这3个数组成不同的三位数，则与顺序有关．

探究2简单的排列问题

例2写出下列问题的所有排列：

(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？

(2)两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？

[解](1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．

故符合题意的机票种类有：

北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种．

(2)由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生．设两名学生分别为A、B，两名老师分别为M、N，此问题可分两类：

由此可知所有可能的站法为AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA，BNMA，BAMN，BANM，共8种．

拓展提升

用树形图解决简单的排列问题是常见的解题方法．它能很好地确定排列中各元素的先后顺序，利用树形图可具体地列出各种情况，避免排列的重复和遗漏．[跟踪训练2]从0,1,2,3这四个数字中，每次取出三个不同数字排成一个三位数．

(1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数；

(2)若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数．

解(1)组成三位数分三个步骤：