江苏省扬州中学2019届高三下学期3月月考数学试题(含解析)
（3）若 P 在 DC 上，设
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴ ∴当
． 时有一解，当
时有两解．
（4）当点 P 在 BC 上时，设
．
∴
，
∴
，
∵
，
∴ ∴当
．
或
时有一解，当
时有两解．
综上，在正方形 ．
的四条边上有且只有 6 个不同的点 P，使得
成立，那么 m 的取值范围是
故答案为：
．
【点睛】解答本题的关键有两个：一是正确理解题意，将问题转化为判断方程根的个数的问题求解；二是
于基础题．
4.已知一组数据 ， ，…， 的方差为 3，若数据
，
，…，
(a，b R)的方差为 12，
则 a 的值为_______．
【答案】
【解析】
由题意知，
，解得
.
5.在区间(1，3)内任取 1 个数 x，则满足
的概率是_______．
【答案】 【解析】 【分析】 解对数不等式求出
中 的取值范围，再根据长度型的几何概型概率求解即可得到答案．
【详解】证明：（1）如图，取 的中点 ，连 ， ，
∵ 为 的中点， 为 的中点，
∴
，
．
又
，
，
∴
，
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
．
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面
（2）如图，在等腰中梯形 中，取 的中点 ，连 ， ．
∵
，
，
∴
，
，
∴四边形 为平行四边形．
又
，
∴四边形 为菱形，
∴
．
同理，四边形 为菱形，
∴
．
∵
值域的端点值来代替，属于基础题．
二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说
明，证明过程或演算步骤．）
15.已知函数
.
（1）求函数 图象的对称中心；
（2）在
中，若为
锐角三角形且
，求 的取值范围.
【答案】(1) 【解析】
,(2)（ ，2）.
试题分析：（1）先由两角和差公式化一
∴ ∵函数
． 有两个不同的极值点 ， ，
∴ ， 是方程
的两个实数根，且
，
∴
解得
．
由题意得
，且
，
．
令
，
则
，
∴ 在 上单调递增，
∴ 又不等式
． 恒成立，
∴
，
∴实数 的取值范围是
．
故答案为
．
【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，体现了导数的工具性，解题的关键是得到
的表
达式．解答恒成立问题的常用方法是转化为求函数的最值的问题解决，当函数的最值不存在时可利用函数
【答案】 【解析】 【分析】 先求出 的值，然后通过代入最值点的方法求出 的值；或根据图象求出 ，再根据“五点法”求出 的 值．
【详解】方法 1：由图象得
，所以 ，故
．
又点 为函数图象上的最高点，
所以
，故
，
又
，
所以 ．
故答案为： ．
方法 2：由图象得
，所以 ．
又由图象得点 对应正弦函数图象“五点”中的“第二点”，
江苏省扬州中学 2019 届高三下学期 3 月月考数学试题
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请将答案 填写在答题卡相应的位置上．）
1.已知集合 A＝
，B＝{2，3，4，5}，则 A B＝_______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出集合 ，再求出集合 即可得到答案．
12.已知 ，函数
在区间 上的最大值是 2，则 __________．
【答案】3 或 【解析】
当 时，
=
函数
图像可知函数的最大值是 令 令
，对称轴为 ，观察函数
的
. ，经检验，a=3 满足题意.
，经检验 a=5 或 a=1 都不满足题意.
令
当
时，
，经检验 ,
不满足题意.
函数 值是 当
时，
，对称轴为 ,
式可得数列{ }的前 n 项和为 Tn．代入不等式 2019| Tn﹣1|＞1，化简即可得出．
【详解】数列 为正项的递增等比数列，
，a2•a4=81=a1a5，
即
解得
，则公比 ，∴
，
则
，
∴ 故答案为 6.
，即
，得
，此时正整数 的最大值为 6.
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理
能力与计算能力，属于中档题．
11.已知双曲线
(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为 F1、F2，直线 MN 过 F2，且与双曲线右支交于
M、N 两点，若 cos∠F1MN＝cos∠F1F2M， 【答案】2
【解析】
【分析】
由
可得
根据双曲线的定义得到
，
，则双曲线的离心率等于_______．
，故得 ．然后在
，所以
，再
和
中运用余弦定理并结合
可得 的关系，进而可得离心率． Nhomakorabea【详解】如图，由
可得
，
∴
，
由双曲线的定义可得
，
，
，
∴
在
中由余弦定理得
在
中由余弦定理得
∵
∴ 整理得
， ，
， ，
∴
，解得 或
∴双曲线的离心率等于 2．
故答案为：2．
（舍去）．
【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，解题的关键是把题中的信息用双曲线的基本量（ ）来表示，然 后根据余弦定理建立起 间的关系式，再根据离心率的定义求解即可，属于中档题．
百米的圆，且公路 AB 与圆 O相切，圆心 O到 ll，l2 的距离均为 5 百米，设OAB＝ ，AB 长为 L 百米．
（1）求 L 关于 的函数解析式； （2）当 为何值时，公路 AB 的长度最短？
【答案】（1） 【解析】
，
.（2）当
【分析】
（1）建立平面直角坐标系，得到直线 方程为
时，公路 的长度最短 ，然后根据直线 与圆
【详解】由题意得
，
∴
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查集合的并集运算，解题的关键是正确求出集合 ，属于简单题．
2.若复数 z 满足
（i 是虚数单位），则 ＝_______．
【答案】1-i 【解析】
【分析】
根据题意求出复数 z，然后可求出 ．
【详解】∵
，
∴
，
∴
．
故答案为： ．
【点睛】解答本题的关键是求出复数 的代数形式，然后再根据共轭复数的概念求解，属于基础题．
，则母线长
，高
，
则
，求出 ，
，该圆锥的表面积为
【详解】解： 圆锥的体积为 ，母线与底面所成角为 ，
如图，设圆锥底面半径
，则母线长
，高
，由此能求出结果． ，
解得 ，
，
，
，
该圆锥的表面积为
．
【点睛】本题考查圆锥的表面积的求法，考查圆锥的性质、体积、表面积等基础知识，考查运算求解能力，
是基础题．
7.函数
(A＞0， ＞0， ＜ )的部分图象如图所示，则 ＝_______．
18.过椭圆 W：
的左焦点 F1 作直线 l1 交椭圆于 A，B 两点，其中 A(0，1)，另一条过 F1 的直线 l2
所以
，解得 ．
故答案为： ． 【点睛】已知函数
的图象求参数的方法： 可由观察图象得到，进而得到 的值．求
的值的方法有两种，一是“代点”法，即通过代入图象中的已知点的坐标并根据 的取值范围求解；另一
种方法是“五点法”，即将
作为一个整体，通过观察图象得到
对应正弦函数图象中“五点”
中的第几点，然后得到等式求解．考查识图、用图的能力．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）取 的中点 ，连 ， ，可证得四边形
为平行四边形，于是
，然后根据线面平行
的判定定理可得结论成立．（2）在等腰中梯形 中，取 的中点 ，连 ， ，证得四边形 为菱
形，进而得
．同理四边形 为菱形，可得
．再由平面
平面 得到 平面
，于是得
，最后根据线面垂直的判定可得 平面 ．
,
(2) 由 (1)
（2）由
解得
得到角 A，
，最终得到要求结果.
，故对称中心为（
，1）
解得
所以
，
又
为锐角三角形，故
所以 的取值范围是 （ ，2）. 16.如图，三角形 PCD 所在的平面与等腰梯形 ABCD 所在的平面垂直，
AB＝AD＝ CD，AB∥CD，CP⊥CD，M 为 PD 的中点． （1）求证：AM∥平面 PBC； （2）求证：BD⊥平面 PBC．
3.根据如图所示的伪代码，当输出 y 的值为﹣1 时，则输入的 x 的值为_______．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据图中给出的程序，将问题转化为已知分段函数的函数值求出自变量的取值即可．
【详解】由题意得，当 时，有
，此方程无解；
当 时，有
，解得 ．
故答案为：1．
【点睛】解答本题的关键是读懂程序的功能，然后将问题转化为已知函数值求自变量取值的问题求解，属
，观察函数 .
江苏省扬州中学2019届高三下学期3月月考数学试题(PDF版)
2 的前 an
．
1 n 项和为 Tn ，则使不等式 2019 | Tn 1 | 1 成立的最大正整数 n 的值是 3
11. 已知双曲线
x2 y 2 1(a 0, b 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ，直线 MN 过 F2 ， a 2 b2
F1M F1 N 1 Байду номын сангаас则双 2
a
m 的取值范围是
．
14.已知函数 f x ax 2 2 x ln x 有两个不同的极值点 x1，x2 ， 若不等式 f x1 f x2 恒 成立，则实数 的取值范围是 ．
二、解答题 ：本大题共 6 小题，共 90 分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分 14 分) π 已知函数(x)＝2cos(2x＋ )－cos2x＋1． 3 （1）求 f(x)的对称中心； b （2）若锐角△ABC 中角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，c，且 f(A)＝0，求 的取值范围． c 16. (本小题满分 14 分) 1 如图，三角形 PCD 所在的平面与等腰梯形 ABCD 所在的平面垂直，AB＝AD＝ CD， 2 AB∥CD，CP⊥CD，M 为 PD 的中点． 求证：(1) AM∥平面 PBC；
a2 的取值范围 a1
→ → 9. 如图， 在△ABC 中，AD＝DB，F 在线段 CD 上，设AB＝a， AC＝b， 1 4 → AF＝xa＋yb，则 ＋ 的最小值为________． x y
1
10. 已知数列 a n 为正项的递增等比数列，a1 a5 82, a2 a4 81 ，记数列
江苏省扬州中学高三月考数学试卷
2019年4月江苏省扬州中学2019届高三下学期质量检测数学(理)试题及答案解析
绝密★启用前江苏省扬州中学2019届高三毕业班下学期质量检测数学试题2019年4月1．本试卷共160分，考试时间120分钟；2．答题前，请务必将自己的姓名学校、考试号写在答卷纸的规定区域内；3．答题时必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，作图可用2B 铅笔．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.设集合{}2|230A x Z x x =∈--<，{}1,0,1,2B =-，则A B = .2. 在复平面内，复数11i-对应的点位于第 象限. 3. “a b >”是“ln ln a b >”的 条件.(填:充分不必要，必要不充分,充分必要,既不充分也不必要) 4．将某选手的7个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,现场作的7个分数的茎叶图如图,则5个剩余分数的方差为 .5．某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个,则数学建模社团被选中的概率为_________.6.执行如图所示的程序框图,输出的s 值为 .7.已知焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为6p ,且其焦点到渐近线的距离为2,则该双曲线的标准方程为 .8．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ,2O ,过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形,则该圆柱的表面积为 .9. 设四边形ABCD 为平行四边形,6AB =,4AD =．若点,M N 满足 3BM MC =,2DN NC =,则AM NM ⋅= ． 10.若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数,则a 的最大值是 ．11. 已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点,则a 的4取值范围是 ．12．已知公差为d 的等差数列{}n a 满足0d >,且2a 是14a a 、的等比中项；记2n n b a =(*)n N ∈,则对任意的正整数n 均有121112nb b b ++⋅⋅⋅+<,则公差d 的取值范围是 ． 13.已知点Q(0,5),若P,R 分别是O: 224x y +=和直线34y x =上的动点, 则QP QR +的最小值为 ． 14.用max {,,}a b c 表示,,a b c 中的最大值, 已知实数,x y 满足01x y ≤≤≤,设M=max {,1,2}xy xy x y x y xy --++-,则M 的最小值为 ．二、解答题（本大题共6小题,共计90分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. 已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P （3455-，-）． （1）求tan2α的值；（2）若角β满足sin （α+β）=513,求cos β的值．16. 如图,在斜三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AAC C 是菱形,1AC 与1A C 交于点O ,E 是棱AB 上一点,且//OE 平面11BCC B .（1）求证：E 是AB 的中点；（2）若11AC A B ⊥,求证: 1AC CB ⊥.。
【精编精校卷】2022届江苏省扬州中学高三下学期3月月考数学试题(解析版)
2022届江苏省扬州中学高三下学期3月月考数学试题一、单选题1．设全集{}0U x x =≥，{}20M x x x =-<，{}2,0xN y y x ==≥，则()UMN （ ）A ．[)0,∞+B ．()1,+∞C ．[)0,1D ．()0,1【答案】D【分析】解一元二次不等式求出集合M ，根据指数函数的单调性求出结合N ，进而求出UN ，根据集合的交集运算即可求出结果.【详解】因为{}{}2001M x x x x x =-<=<<，{}{}2,01xN y y x y y ==≥=≥所以{}1UN y y =<所以(){}01=Ux MN x <<.故选：D.2．“1a =”是“直线2(1)(1)30a x a y ++-+=的斜率不存在”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先求直线斜率不存在时的a 的值，然后再验证即可得到答案. 【详解】直线2(1)(1)30a x a y ++-+=的斜率不存在，则210a -=，10a +≠， 解得1a =．∴ “1a =”是“直线2(1)(1)30a x a y ++-+=的斜率不存在”的充要条件， 故选：C ．3．由直线1y x =+上的点向圆()2231x y -+=作切线，则切线长的最小值为（ ）A ．1BC ．D ．3【答案】B【分析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值．【详解】切线长的最小值是当直线1y x =+上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d =圆的半径为1，=故选：B ．【点睛】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题．4．车马理论也称霍姆斯马车理论，是指各种资源都得到最合理配置和使用充分均匀的一种理论．管理学家经常将霍姆斯马车理论引申为：一个富有效率的团队，不需要每一个人都是最有能力的，而在于每个人的能力都能得到最合理的发挥．某班一小队共10名同学，编号分别为1，2，…，9，10，要均分成两个学习小组（学习小组没有区别），其中1，2号同学必须组合在一起，3，4号同学也必须组合在一起，其余同学可以随意搭配，就能达到最佳效果，那么不同的分组方式的种数为（ ） A ．26 B ．46 C ．52 D ．126【答案】A【分析】根据题意分为两类：（1）当1，2号同学与3，4号同学在同一个小组，（2）当1，2号同学与3，4号同学在不同的小组，即可求解. 【详解】由题意，可分为两类：（1）若1，2号与3，4号在同一个小组，那么该小组还差1人，有16C 6=种分组方式；（2）若1，2号与3，4号在不同的小组，则这两个小组均还差3人，有36C 20=种分组方式，所以共有62026+=种分组方式． 故选：A ．5．关于函数y =sin （2x +φ）（R ϕ∈）有如下四个命题： 甲：该函数在,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；乙：该函数图象向右平移12π个单位长度得到一个奇函数； 丙：该函数图象的一条对称轴方程为65x π=-； 丁：该函数图像的一个对称中心为(,0)12π.如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D【分析】根据题意首先求出函数的增区间，平移后的解析式，对称轴和对称中心，进而分别讨论甲、乙、丙、丁为错误时其它命题的正误，进而得到答案. 【详解】令222,Z 22k x k k πππϕπ-+≤+≤+∈，则函数的增区间为(),Z 4242k k k πϕπϕππ⎡⎤--+-∈⎢⎥⎣⎦…①； 函数图象向右平移12π个单位长度得到sin 2sin 2126y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦…②； 令2,Z 2242k x k x k πππϕϕπ+=+⇒=+-∈…③； 令2,Z 22k x k x k πϕϕπ+=⇒=-∈…④. 若甲错误，则乙丙丁正确，由②，由函数的奇偶性性，令6π=ϕ，由①，函数的增区间为(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，则甲正确，矛盾.令76πϕ=，由①，函数的增区间为()5,Z 63k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，则甲错误，满足题意.由③，函数的对称轴方程为,Z 23k x k ππ=-∈，1k =-时，65x π=-，则丙正确.由④，函数的对称中心为()7,0Z 212k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，令74212123k k πππ-=⇒=，丁错误.不合题意； 若乙错误，则甲丙丁正确，易知函数增区间的的两个端点的中点为对称中心，由①，令424222k k x k πϕπϕππϕπ--++-==-，结合④，令()2Z 2126k k k ϕπππϕπ-=⇒=-∈，由函数的奇偶性，取k =0，6πϕ=-，由③，,Z 241223k k x k πππππ=++=+∈，令572363k k πππ+=-⇒=-，则丙错误.不合题意； 若丙错误，则甲乙丁正确，由②，由函数的奇偶性，令76πϕ=，由①，函数的增区间为()5,Z 63k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，则甲错误，不合题意.令6π=ϕ，由①，函数的增区间为(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，甲正确.取区间中点()36Z 212k k x k k ππππππ-++==-+∈，则丁错误.不合题意；若丁错误，则甲乙丙正确. 由②，由函数的奇偶性，令76πϕ=，由①，函数的增区间为()5,Z 63k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，则甲错误，不合题意.令6π=ϕ，，由①，函数的增区间为(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，甲正确.由③，,Z 241226k k x k πππππ=+-=+∈.k =-2时，65x π=-，则丙正确.由④，,Z 212k x k ππ=-∈，令1212123k k πππ-=⇒=，④错误.满足题意.综上：该命题是丁. 故选：D.6．已知数列{an }的通项公式21021n a n n =-+-，前n 项和为Sn ，若m ＞n ，则Sm ﹣Sn 的最大值是（ ） A ．5 B ．10 C ．15 D ．20【答案】B【分析】由题可得要使m n S S -的值最大，则12n n m a a a ++++⋯⋯+包含所有的正项，求出0n a >即可得出.【详解】解：依题意，12m n n n m S S a a a ++-=++⋯⋯+，所以要使m n S S -的值最大，则12n n m a a a ++++⋯⋯+包含所有的正项，令210210n a n n =-+->，得46n ≤≤，代入得()456max 34310m n S S a a a -=++=++=. 故选：B ．7．已知点P 是抛物线22(0)y px p =>上一点，且点P 到点(0,2)A -的距离与到y 轴的距离之和的最小值为2322-，则p =（ ） A ．22 B ．4C ．32D ．42【答案】D【分析】如图所示，点P 到点(0,2)A -的距离与到y 轴的距离之和为||||||22p p PA PF AF +-≥-，再解方程24232242p p +-=-，即得解. 【详解】如图所示，由题得准线方程为2px =-，点P 到点(0,2)A -的距离与到y 轴的距离之和为||||||22p p PA PF AF +-≥-， （当点P 在线段AF 与抛物线的交点时取等）||AF =2p=解之得p =故选：D【点睛】方法点睛：圆锥曲线的最值问题常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.8．已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()2xf x xe f x '=+，若()1f e =，则函数()()4g x f x =-的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【分析】由()()2xf x xe f x '=+，构造函数()xf x e ，根据()1f e =，求得()2xf x x e =，进而得到()24xg x x e =-，利用导数法求解.【详解】因为()()2xf x xe f x '=+，所以()()2xf x f x xe '-=，则()()()2x xf x f x f x x e e ''-⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以()2xf x x c e=+，即()()2x f x x c e =+， 因为()1f e =，所以()()11f c e e =+=，解得0c ，所以()2xf x x e =，则()24xg x x e =-，所以()()2xg x e x x '=+，当2x <-或0x >时，()0g x '>，当20x -<<时，()0g x '<，所以当2x =-时，函数()g x 取得极大值()2410e --<，当0x =时，函数()g x 取得极小值40-<， 又当x →+∞时，()g x →+∞，所以函数()()4g x f x =-的零点个数为1， 故选：B 二、多选题9．以下命题正确的是（ ）A ．若直线的倾斜角为α，则其斜率为tan αB ．已知A ，B ，C 三点不共线，对于空间任意一点O ，若212555OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．不经过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示D ．若点(),P x y 在线段26y x =-+（12x ≤≤）上运动，则211y x ++的最大值为92【答案】BD【分析】根据斜率和倾斜角的关系判断A ，根据空间向量基本定理判断B ，根据截距式方程判断C ，根据反比例函数的性质判断D ；【详解】对于A ：因为倾斜角的取值范围为[0,)π，当2πα=，斜率不存在，故A 错误；对于B ：由A ，B ，C 三点不共线，对于空间任意一点O ，若212555OP OA OB OC =++，则()()2255OP OB OA OB OC OB -=-+-，即2255BP BA BC =+，则P ，A ，B ，C 四点共面，故B 正确；对于C ：平行于x 轴或y 轴的直线不能用方程1x ya b+=表示，故C 错误；对于D ：因为点(),P x y 在线段()2612y x x =-+≤≤上运动，所以()()22614117211741111x x y x x x x -++-+++===-+++++，因为12x ≤≤，所以213≤+≤x ，111312x ≤≤+，所以51794312x ≤-+≤+，故211y x ++的最大值为92，故D 正确； 故选：BD10．已知向量(3a =，1)，(cos ,sin )b θθ=，则下列说法正确的是（ ）A ．存在(0,)2πθ∈，使得a b ⊥B ．存在(0,)2πθ∈，使得//a bC ．对于任意(0,)2πθ∈，(1a b ⋅∈，2]D ．对于任意(0,)2πθ∈，||[1a b -∈【答案】BCD【分析】A 垂直的数量积为0，列出等式，看解出的θ是否在(0,)2π上；B 由平行的坐标表示列出等式，看解出的θ是否在(0,)2π上；C 先由向量数量积的坐标运算，列出和三角函数有关的式子，再求其值域即可；D 先表示出模，转化为三角函数求值域问题求解.【详解】解：对A ：3cos sin 2sin()3a b πθθθ⋅=+=+，若a b ⊥，则2sin()03πθ+=，因为(0,)2πθ∈，此时θ无解，故A 错误；对B ：若//a b cos 0θθ-=，因为(0,)2πθ∈，所以6πθ=，故B 正确；对C ：2sin()3a b πθ⋅=+，因为(0,)2πθ∈，所以(33ππθ+∈，5)6π，则1sin()(32πθ+∈，1]，所以2sin()(13a b πθ⋅=+∈，2]，故C 正确；对D ：||(3a b -=-=(0,)2πθ∈，则(66ππθ-∈-，)3π，所以1cos (2θ∈-，1]，则||[1a b -∈，故D 正确；故选：BCD ．11．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，M ，N 分别为棱1CC ，CB ，CD 上的动点（点P 不与点C ，1C 重合），若CP CM CN ==，则下列说法正确的是( )A ．存在点P ，使得点1A 到平面PMN 的距离为43B ．用过P ，M ，1D 三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形C ．1//BD 平面PMND ．用平行于平面PMN 的平面α去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为32【答案】ABD【分析】连接11A C ，1BC ，1A B ，BD ，1C D ，1A D ，1B C ，根据线线平行，面面平行求出1A C ⊥平面1BC D ，得到1A 到平面PMN 的距离，判断A ；连接1D P 并延长交DC 的延长线于点Q ，连接QM 并将其延长与AD 相交于点A '，根据比例关系得到四边形1AD PM 为梯形，判断B ；连接1BD ，由A 可知平面//MNP 平面1BC D ，根据线面关系判断C ；在1BB 上取点1P ，过点1P 作12//PP MP 交11B C 于点2P ，过2P 作21//P N MN 交11C D 于1N ，以此类推截面为六边形，求出六边形的周长判断D 即可．【详解】对于A ：连接11A C ，1BC ，1A B ，BD ，1C D ，1A D ，1B C ，如图示：CP CM CN ==，//MN BD ∴，1//NP C D ，1//MP BC ，且平面//MNP 平面1BC D ，又已知三棱锥11A BC D -各条棱长均为2，则三棱锥11A BC D -为正四面体， 故1A 到平面1BC D 的距离为：222223(2)(3)23-⨯⨯=， 11A B ⊥平面11BCC B ，111A B BC ∴⊥，又11BC B C ⊥，且1111A B B C B =，1BC ∴⊥平面11A B C ，又1AC ⊂平面11A B C ，11B AC ∴⊥， 同理可得11C D AC ⊥，且111BC C D C =，1A C ∴⊥平面1BC D ， 又13A C =，1A ∴到平面PMN 的距离23(∈，3)，且23433<<，故A 正确；对于B ：连接1D P 并延长交DC 的延长线于点Q ，连接QM 并将其延长与AD 相交于点A '，如图示：CP CM =，且1//CP DD ，//CM AD ，则1CP CM CQDD DA DQ=='，1DA DD ∴'=，故A '即为A ，连接1AD ，∴过点P ，M ，1D 的截面为四边形1AD PM ， 由条件可知1//MP BC ，11//BC AD ，且1||||MP AD ≠，∴四边形1AD PM 为梯形，故B 正确；对于C ：连接1BD ，由A 可知平面//MNP 平面1BC D ，如图示：又B ∈平面1BC D ，1D ∈平面1BC D ，故1BD 不平行于平面1BC D ， 故1//BD 平面PMN 不成立，故C 错误；对于D ：在1BB 上取点1P ，过点1P 作12//PP MP 交11B C 于点2P ， 过2P 作21//P N MN 交11C D 于1N ，以此类推，如图示：依次可得点2N ，1M ，2M ，此时截面为六边形， 根据题意可知：平面121212//PP N N M M 平面MNP ， 不妨设1BP x =，则1221212PM P N N M x ==，故1212122(1)PP N N M M x ===-， 故六边形的周长为：3[22(1)]32x x -=D 正确； 故选：ABD ．12．已知双曲线E ：()222210x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为()13,0F -，()23,0F ，两条渐近线的夹角正切值为22直线l ：30kx y k --=与双曲线E 的右支交于A ，B 两点，设1F AB 的内心为I ，则（ ） A ．双曲线E 的标准方程为22163x y -=B ．满足6AB =l 有2条C ．2IF AB ⊥D ．1F AB 与IAB △的面积的比值的取值范围是(]2,6【答案】ACD【分析】A :设其中一条渐近线的倾斜角为θ，02πθ<<，由题干条件可知tan 2θ=从而解出tan θ=b a =,a b ，从而求出双曲线方程；B ：直线过焦点，判断过焦点弦的最短弦可判断B ；C ：由双曲线的定义和切线的性质进行转化可判断；D ：将三角形的面积用内切圆的半径和边长计算，结合定义，可得到12F AB IABS S △△△，由AB 的范围可求出比值的范围. 【详解】A 选项，设双曲线E 的一条渐近线的倾斜角为θ，02πθ<<，因为a b >，所以022πθ<<，从而22tan tan 21tan θθθ==-tan θ=tan θ=，所以2b a =，又229a b +=，所以26a =，23b =，所以双曲线E 的标准方程为22163x y -=，故A 正确；B 选项，直线l 的方程kx -30y k -=，即()30k x y --=，则直线l 恒过右焦点2F ，又过焦点2F的弦最短为22b a ==AB =l 只有1条，B 错误；C选项，由双曲线的定义可知，121AF AF BF -==-2BF ，即1122AF BF AF BF -=-，因此2F 是1F AB 的内切圆在AB 边上的切点，因此2IF AB ⊥，C 正确；D 选项，由题知()121121212F AB IABIF AF BF AB S S IF AB ⋅++==⋅△△△2，因为AB (]12,6F AB IABS S ∈△△，D 正确.【点睛】知识点点睛：（1）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴所在的直线的弦），其长度为22b a；异支的弦中最短的为实轴，其长度为2a .（2）由圆外一点引圆的切线，切线长相等. 三、填空题13．写出一个虚数z ，使得23z +为纯虚数，则z =___________. 【答案】12i +（答案不唯一）．【分析】设i z a b =+（a ，b ∈R ，0b ≠），代入计算后由复数的定义求解．【详解】设i z a b =+（a ，b ∈R ，0b ≠），则222332i z a b ab +=-++，因为23z +为纯虚数，所以223a b -=-且0ab ≠.任取不为零的实数a ，求出b 即可得，答案不确定，如12z i =+， 故答案为：12i +．14．100的展开式中有理项的个数为_____． 【答案】17【分析】先写出通项公式，然后让506r-为整数即可求解.【详解】通项公式(10050611001002r rrrr rr T CC x--+==，有理项只需要保证506r -为整数即可，又,0100r Z r ∈≤≤，故0,6,12,96r =，共17个.故答案为：17.15．已知定义在R 上的函数()f x ，若函数()2f x +为偶函数，且()f x 对任意1x ，[)22,x ∈+∞（12x x ≠），都有()()12120f x f x x x -<-，若()()31f a f a ≤+，则实数a 的取值范围是______.【答案】13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由函数()2f x +为偶函数，故函数()f x 的图象关于直线x =2对称，再根据条件可知，所以函数()f x 在[2,+∞)上单调递减，在(－∞,2]上单调递增，由()()31f a f a ≤+得|2||312|a a -≥+-，解之即可求出结果.【详解】由于函数()2f x +为偶函数，故函数()f x 的图象关于直线x =2对称， 又“()f x 对任意1x ，[)22,x ∈+∞（12x x ≠），都有()()12120f x f x x x -<-”，所以函数()f x 在[2,+ ∞)上单调递减，在(－∞,2]上单调递增， 由()()31f a f a ≤+得|2||312|a a -≥+-，解得1324a -. 故答案为13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生分析问题和解决问题的能力，要求学生掌握数形结合的思想运用，属中档题. 四、双空题16．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AP =，点M 是矩形ABCD 内（含边界）的动点，且1AB =，3AD =，直线PM 与平面ABCD 所成的角为4π.记点M 的轨迹长度为α，则tan α=______；当三棱锥P ABM -的体积最小时，三棱锥P ABM -的外接球的表面积为______. 【答案】 3 8π【解析】先根据已知条件判断出点M 的轨迹为圆弧，再求此时的α，即可求出tan 3α=；判断三棱锥P ABM -的体积最小时即点M 位于F 时，此时三棱锥P ABM -的外接球球心为PF 的中点，所以半径为PF 的一半，从而可得外接球的表面积. 【详解】如图，因为PA ⊥平面ABCD ，垂足为A ， 则PMA ∠为直线PM 与平面ABCD 所成的角， 所以4PMA π∠=.因为2AP =，所以2AM =，所以点M 位于底面矩形ABCD 内的以点A 为圆心，2为半径的圆上， 记点M 的轨迹为圆弧EF .连接AF ，则2AF =. 因为1AB =，3AD =，所以6AFB FAE π∠=∠=，则弧EF 的长度263ππα=⨯=，所以tan 3α=.当点M 位于F 时，三棱锥P ABM -的体积最小， 又2PAF PBF π∠=∠=，∴三棱锥P ABM -的外接球球心为PF 的中点. 因为222222PF =+=，所以三棱锥P ABM -的外接球的表面积()2428S ππ==.38π【点睛】本题考查了由线面垂直得到线面角，判断出动点轨迹，外接球的半径及表面积的计算，属于较难题. 五、解答题17．已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足14a =，12b =，212n n n b b b ++=+，332a b =+．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)对于集合A 、B ，定义集合{A B x x A -=∈且}x B ∉，设数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A 、B ，将集合A B -的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的前30项和30S ．【答案】(1)31n a n =+，2nn b =(2)301632S =【分析】（1）设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 的公比为()0q q >，根据已知条件求出q 的值，结合等比数列的通项公式可求得n b ，求出3a 的值，可求得d ，利用等差数列的通项公式可求得n a ；（2）分析可知，所以{}n c 前30项由{}n a 的前33项去掉{}n b 的24b =，416b =，664b =这3项构成，利用等差数列的求和公式可求得30S 的值.【详解】(1)解：设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 的公比为()0q q >， 212n n n b b b ++=+，22q q ∴=+，解得2q或10q =-<（舍去）.又12b =，所以1222n nn b -=⨯=.所以33210a b =+=，311043312a a d --===-， 所以，()()33103331n a a n d n n =+-=+-=+.(2)解：3091a =，33100a =，又6764121128b b =<<=， 所以30S 中要去掉数列{}n b 的项最多6项，数列{}n b 的前6项分别为2、4、8、16、32、64，其中4、16、64三项是数列{}n a 和数列{}n b 的公共项，所以{}n c 前30项由{}n a 的前33项去掉{}n b 的24b =，416b =，664b =这3项构成. ()()()()3012332463341004166416322S a a a b b b ⨯+=+++-++=-++=.18．已知四边形ABCD ，A ，B ，C ，D 四点共圆，5AB =，2BC =，4cos 5ABC ∠=-．(1)若sin ACD ∠AD 的长； (2)求四边形ABCD 周长的最大值． 【答案】(1)5(2)7【分析】（1）先通过余弦定理求出AC ，再借助正弦定理求AD 即可；（2）直接表示出周长，借助余弦定理求出DC DA +的最大值，即可求出周长的最大值. 【详解】(1)在ABC 中，由余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠22452252()455=+-⨯⨯⨯-=，得AC =因为4cos ,05ABC ABC π∠=-<∠<，所以3sin 5ABC ∠=.因为,,,A B C D 四点共圆，所以ABC ∠与角ADC ∠互补， 所以3sin 5ADC ∠=，4cos 5ADC ∠=，在ACD △，由正弦定理得：sin sin AD ACACD ADC=∠∠，所以sin 553sin 5AC ACDAD ADC⋅∠===∠.(2)因为四边形ABCD 的周长为7DC DA BC BA DC DA +++=++， 在ACD △中，由余弦定理得：2222cos AC DA DC DA DC ADC =+-⋅⋅∠， 即22281845()55DA DC DA DC DA DC DA DC =+-⋅=+-⋅222181()()()5210DA DC DA DC DA DC +≥+-=+2()450,DA DC DA DC ∴+≤∴+≤当且仅当2DA DC ==时，max ()DA DC += 所以四边形ABCD周长的最大值为7.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，22AB AD ==，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点.（1）若1PA =，求证：AE ⊥平面PCD ；（2）当直线PC 与平面ACE 所成角最大时，求三棱锥E ABC -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（22. 【分析】（1）分别证明AE CD ⊥和AE PD ⊥，再由线面垂直的判定定理即证明； （2）设()0AP a a =>，建立空间直角坐标系，找出平面ACE 的法向量，把直线PC 与平面ACE 所成角的正弦表示成a 的函数，再用均值不等式，即可算出a ，从而求得三棱锥E ABC -的体积.【详解】（1）证明：PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCDPA CD ∴⊥四边形ABCD 为矩形AD CD ∴⊥又AD PA A ⋂=，,AD PA ⊂平面PADCD 平面PADAE ⊂平面PADCD AE ∴⊥在PAD △中，1PA AD ==，E 为PD 中点AE PD ∴⊥又PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCDAE ∴⊥平面PCD（2）以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设()0AP a a =>，则()2,1,0C ，()0,0,P a ，10,,22a E ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,1,0AC ∴=，10,,22a AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2,1,PC a =-，设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z =，则 00AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩201022x y ay z +=⎧⎪∴⎨+=⎪⎩ 令y a =-，解得21a x z ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ,,12a n a ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭设直线PC 与平面ACE 所成角为θ，则||sin cos ,||||n PC n PC n PC θα⋅=<>=225154a a =++222720295a a=≤++ 当且仅当2a =∴三棱锥E ABC -的体积1122213226E ABC V -=⨯⨯⨯⨯=【点睛】方法点睛：对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(),0F c0y +-上，且离心率为12． (1)求椭圆C 的方程；(2)设(),0A a -，(),0B a ，过点A 的直线与椭圆C 交于另一点P （异于点B ），与直线x a =交于一点M ，PFB ∠的角平分线与直线x a =交于点N ，是否存在常数λ，使得BN BM λ=若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2211612x y +=； (2)存在，12λ=，理由见解析【分析】（1）先把(c,0)F 代入直线方程，求出c ，根据离心率和,,a b c 求出椭圆方程；（2）设出直线AP 的方程，联立椭圆方程，求出点P 的坐标，表达出直线AP 的斜率，再使用二倍角公式及直线NF 的斜率表达出直线AP 的斜率，从而得到等式，求出2112(2)(8)0y y y y -+=，得到21,y y 的关系，得到λ的值.【详解】(1)因为右焦点(c,0)F0y +-0,-2c ∴= 221,4,16412.2c e a b a a ===∴=∴=-= 所以椭圆C 的方程为221.1612x y(2)存在，12λ=，理由如下：因为(4,0),(4,0),(2,0)A B F -，设1200(4,),(4,),(,)M y N y P x y . 显然120y y >. 可设直线AP 的方程为4(0)x my m =-≠， 因为点M 在这条直线上，则1188,.my m y ==联立2243448x my x y =-⎧⎨+=⎩，得()2234240m y my +-=的两根为00y 和， 200022241216,4.3434m m y x my m m -∴=∴=-=++2012222012248434,.121624162234PFNFmy y y m m k k m x m y m +=====-----+ 设,BFN θ∠= 则2,PFB θ∠=2222222242tan 4tan 2.1tan 441()2y y m y y m θθθ∴====----122112221284(2)(8)0164y y y y y y y y ∴=∴-+=--，， 因为120y y >，所以2121120,2y y y y -=∴=. 故存在常数12λ=，使得.BN BM λ=【点睛】对于圆锥曲线定值问题，一般要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，进行求解，本题中由于一点是已知得，所以可以通过韦达定理求出另外一个交点的坐标，通过两种方法表达同一条直线的斜率得到等量关系，从而得到答案. 21．某商城玩具柜台元旦期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送元旦礼品．而每个甲系列盲盒可以开出玩偶1A ，2A ，3A 中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶1B ，2B 中的一个．（1）记事件n E ：一次性购买n 个甲系列盲盒后集齐1A ，2A ，3A 玩偶；事件n F ：一次性购买n 个乙系列盲盒后集齐1B ，2B 玩偶；求概率()6P E 及()5P F ；（2）礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为15，购买乙系列的概率为45；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为14，购买乙系列的概率为34；前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为12，购买乙系列的概率为12；如此往复，记某人第n 次购买甲系列的概率为n Q ． ①n Q ；②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．【答案】（1）()62027P E =，()51516P F =；（2）①1151245n n Q -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭；②应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个．【分析】（1）根据题意，集齐1A ，2A ，3A 玩偶的个数可以分三类情况：1A ，2A ， 3A 玩偶中，每个均有出现两次、1A ，2A ， 3A 玩偶中，一个出现一次，一个出现两次，一个出现三次、1A ，2A ， 3A 玩偶中，两个出现一次，另一个出现四次讨论计算，并根据古典概率计算即可；对于()5P F ，先考虑一次性购买n 个乙系列盲盒没有集齐1B ，2B 玩偶的概率再求解.（2）①根据题意，115Q =，当2n ≥时，()1111124n n n Q Q Q --=-+，再根据数列知识计算n Q 即可；②由①得购买甲系列的概率近似于25，故用ξ表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则2100,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据二项分布的期望计算即可.【详解】解：（1）由题意基本事件共有：63种情况， 其中集齐1A ，2A ，3A 玩偶的个数可以分三类情况，1A ，2A ， 3A 玩偶中，每个均有出现两次，共222642C C C 种；1A ，2A ， 3A 玩偶中，一个出现一次，一个出现两次，一个出现三次，共32136313C C C A 种；1A ，2A ， 3A 玩偶中，两个出现一次，另一个出现四次，共142362C C A 种；故()22232134264263136266320327C C C C C C A C A P E ++==. 根据题意，先考虑一次性购买n 个乙系列盲盒没有集齐1B ，2B 玩偶的概率，即5112P +=， 所以()5511151216P F +=-=. （2）①由题意可知：115Q =，当2n ≥时，()1111124n n n Q Q Q --=-+，∴1221545n n Q Q -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 所以25n Q ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以15-为首项，14-为公比的等比数列，∴1151245n n Q -⎛⎫=--+⎪⎝⎭， ②因为每天购买盲盒的100人都已购买过很多次，所以，对于每一个人来说，某天来购买盲盒时，可以看作n 趋向无穷大， 所以购买甲系列的概率近似于25，假设用ξ表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则2100,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()2100405E ξ=⨯=，即购买甲系列的人数的期望为40， 所以礼品店应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个．【点睛】本题考查排列组合，数列递推关系，二项分布的数学期望等，考查运算求解能力，是中档题.本题第一问解题的关键在于根据题意，分类计数，注意考虑全面，避免重漏，第二问解题的关键在于根据题意得关于n Q 的递推关系()1111124n n n Q Q Q --=-+，进而利用数列知识求解.22．已知函数()()212ln 2f x x m x =-+，m R ∈，若函数()f x 在定义域上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <.(1)求实数m 的取值范围；(2)证明：()()2112f x f x x x <. 【答案】(1)01m <<(2)证明见解析【分析】（1）求出导函数，由()0f x '=转化为2=02x x m -+在(0,)+∞上有两个不相等的正根1x ，2x ，列出不等式组，求出实数m 的取值范围；（2）先得到12122x x x x m +=⎧⎨=⎩，化简得到211111112()()1(2)ln(2)ln f x f x x x x x x x x -=-+---，构造新函数()1(2)ln(2)ln g x x x x x x =-+---（01x <<），二次求导后利用单调性和极值证明出不等式.【详解】(1)函数()f x 的定义域是(0,)+∞，22()(2)m x x m f x x x x-+'=-+=. 令()0f x '=，得2=02x x m -+在(0,)+∞上有两个不相等的正根1x ，2x ，Δ4400m m =->⎧⎨>⎩，解得01m <<，经验证，符合要求.(2)由（1）可知，1x ，2x （12x x <）是方程2=02x x m -+在(0,)+∞上的两个不等实根，所以12122x x x x m +=⎧⎨=⎩，其中01m <<，12012x x <<<<. 22222122211111(2)ln (2)ln ()22x m x x x x x f x x x x -+-+== 2222222221(2)(2)ln 12(2)ln 22x x x x x x x x -+-==-+-. 同理，11112()1(2)ln 2f x x x x x =-+. 2122211112()()11(2)ln (2)ln 22f x f x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤-=-+--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 122211111111()ln ln 1(2)ln(2)ln 2x x x x x x x x x x x =-+-=-+---.令()1(2)ln(2)ln g x x x x x x =-+---（01x <<），则[]()1ln(2)ln 1ln (2)g x x x x x '=----=-+-，再令()1ln (2)h x x x =+-，（01x <<），则22'()0(2)x h x x x -=>-在()0,1上恒成立，则 函数()h x 在()0,1上单调递增，()()(1)2ln1120h x h <=-+=-<，从而()0g x '>在区间()0,1上恒成立，于是函数()g x 在()0,1上单调递增，()(1)0g x g <=. 所以2112()()0f x f x x x -<，即2112()()f x f x x x <. 【点睛】利用导函数研究函数单调性是非常重要的，这道题目就是含有多元的不等式证明问题，消去一个未知量，变为一个新函数，通过研究新函数的单调性和极值等性质进行不等式的证明.。
江苏省扬州中学2019届高三下学期3月月考数学试题(解析版)
【答案】（1） 【解析】
，
.（2）当
【分析】
（1）建立平面直角坐标系，得到直线 方程为
时，公路 的长度最短 ，然后根据直线 与圆 相
切，得
，再根据题意得到
，即为所求．（2）利用换元法求解，令
，于是
，然后结合导数求解可得所求最值．
【详解】（1）以点 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则
在直角 中，
在正方形 ABCD 的边上恰有 6 个不同的点 P，使
，则实数 m 的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，按照点 P 在线段
上进行逐段分析
的取值范围及对应的解，然后取
各个范围的交集即可得答案．
【详解】以 AB 所在直线为 x 轴，以 AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，
【详解】证明：（1）如图，取 的中点 ，连 ， ，
∵ 为 的中点， 为 的中点，
∴
，
．
11
又
，
，
∴
，
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
．
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面
（2）如图，在等腰中梯形 中，取 的中点 ，连 ， ．
∵
，
，
∴
，
，
∴四边形 为平行四边形．
又
，
∴四边形 为菱形，
∴
．
同理，四边形 为菱形，
∴
【详解】由题意得
，
∴
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查集合的并集运算，解题的关键是正确求出集合 ，属于简单题．
2.若复数 z 满足
江苏省扬州中学2019届高三下学期3月月考数学试题(解析版)
江苏省扬州中学2019届高三下学期3月月考数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．）1.已知集合A＝，B＝{2，3，4，5}，则A B＝_______．【答案】【解析】【分析】先求出集合，再求出集合即可得到答案．【详解】由题意得，∴．故答案为：．【点睛】本题考查集合的并集运算，解题的关键是正确求出集合，属于简单题．2.若复数z满足（i是虚数单位），则＝_______．【答案】1-i【解析】【分析】根据题意求出复数z，然后可求出．【详解】∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】解答本题的关键是求出复数的代数形式，然后再根据共轭复数的概念求解，属于基础题．3.根据如图所示的伪代码，当输出y的值为﹣1时，则输入的x的值为_______．【答案】1【解析】【分析】根据图中给出的程序，将问题转化为已知分段函数的函数值求出自变量的取值即可．【详解】由题意得，当时，有，此方程无解；当时，有，解得．故答案为：1．【点睛】解答本题的关键是读懂程序的功能，然后将问题转化为已知函数值求自变量取值的问题求解，属于基础题．4.已知一组数据，，…，的方差为3，若数据，，…，(a，b R)的方差为12，则a的值为_______．【答案】【解析】由题意知，，解得.5.在区间(1，3)内任取1个数x，则满足的概率是_______．【答案】【解析】【分析】解对数不等式求出中的取值范围，再根据长度型的几何概型概率求解即可得到答案．【详解】由得，解得．根据几何概型概率公式可得，所求概率为．故答案为：【点睛】本题考查长度型的几何概型概率的求法，解题的关键是读懂题意，然后根据线段的长度比得到所求的概率，属于基础题．6.已知圆锥的体积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为_______．【答案】【解析】【分析】设圆锥底面半径，则母线长，高，则，求出，，该圆锥的表面积为，由此能求出结果．【详解】解：圆锥的体积为，母线与底面所成角为，如图，设圆锥底面半径，则母线长，高，，解得，，，该圆锥的表面积为．【点睛】本题考查圆锥的表面积的求法，考查圆锥的性质、体积、表面积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.函数(A＞0，＞0，＜)的部分图象如图所示，则＝_______．【答案】【解析】【分析】先求出的值，然后通过代入最值点的方法求出的值；或根据图象求出，再根据“五点法”求出的值．【详解】方法1：由图象得，所以，故．又点为函数图象上的最高点，所以，故，又，所以．故答案为：．方法2：由图象得，所以．又由图象得点对应正弦函数图象“五点”中的“第二点”，所以，解得．故答案为：．【点睛】已知函数的图象求参数的方法：可由观察图象得到，进而得到的值．求的值的方法有两种，一是“代点”法，即通过代入图象中的已知点的坐标并根据的取值范围求解；另一种方法是“五点法”，即将作为一个整体，通过观察图象得到对应正弦函数图象中“五点”中的第几点，然后得到等式求解．考查识图、用图的能力．8.已知等差数列的前n项和为，若1≤≤3，3≤≤6，则的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】先根据求出的取值范围，然后根据不等式的性质可得所求结果．【详解】在等差数列中，，∴，又，∴．由得．∴，即，∴．即的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查不等式性质的运用，解题的关键是注意灵活变形、合理运用不等式的性质，属于基础题．9.如图，在△ABC中，AD＝DB，F在线段CD上，设，，，则的最小值为_______．【答案】【解析】【分析】由三点共线以及，可得，利用基本不等式即可求得的最小值.【详解】,由图可知均为正数.又三点共线，则，则.【点睛】（1）平面向量中三点共线：若,则三点共线的充要条件是.（2）“1”的代换是基本不等式中构造的基本方法.10.已知数列为正项的递增等比数列，，，记数列的前n项和为，则使不等式成立的最大正整数n的值是_______．【答案】6【解析】【分析】设等比数列{a n}的公比q，由于是正项的递增等比数列，可得q＞1．由a1+a5=82，a2•a4=81=a1a5，∴a1，a5，是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根，解得a1，a5，利用通项公式可得q，a n．利用等比数列的求和公式可得数列{}的前n项和为T n．代入不等式2019|T n﹣1|＞1，化简即可得出．【详解】数列为正项的递增等比数列，，a2•a4=81=a1a5，即解得，则公比，∴，则，∴，即，得，此时正整数的最大值为6.故答案为6.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.已知双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线MN过F2，且与双曲线右支交于M、N两点，若cos∠F1MN＝cos∠F1F2M，，则双曲线的离心率等于_______．【答案】2【解析】【分析】由可得，故得，所以，再根据双曲线的定义得到，．然后在和中运用余弦定理并结合可得的关系，进而可得离心率．【详解】如图，由可得，∴，，由双曲线的定义可得，，∴在中由余弦定理得在中由余弦定理得，∵，∴，整理得，∴，解得或（舍去）．∴双曲线的离心率等于2．故答案为：2．【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，解题的关键是把题中的信息用双曲线的基本量（）来表示，然后根据余弦定理建立起间的关系式，再根据离心率的定义求解即可，属于中档题．12.已知，函数在区间上的最大值是2，则__________．【答案】3或【解析】当时，=函数，对称轴为，观察函数的图像可知函数的最大值是.令，经检验，a=3满足题意.令，经检验a=5或a=1都不满足题意.令，经检验不满足题意.当时，,函数，对称轴为，观察函数的图像得函数的最大值是.当时，,函数，对称轴为，观察函数的图像可知函数的最大值是.令，令,所以.综上所述，故填3或.点睛：本题的难点在于通过函数的图像分析函数的性质. 本题绝对值里面是一个闭区间上的二次函数，要求它的最大值，所以要先画出二次函数的图像，再结合二次函数的图像分析出最大值的可能情况.13.在边长为8的正方形ABCD中，M是BC的中点，N是AD边上的一点，且DN＝3NA，若对于常数m，在正方形ABCD的边上恰有6个不同的点P，使，则实数m的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐标系，按照点P在线段上进行逐段分析的取值范围及对应的解，然后取各个范围的交集即可得答案．【详解】以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则．（1）当点P在AB上时，设，∴，∴，∵，∴．∴当时有一解，当时有两解．（2）当点P在AD上时，设．∴，∴，∵，∴．∴当或时有一解，当时有两解．（3）若P在DC上，设，∴，∴，∵，∴．∴当时有一解，当时有两解．（4）当点P在BC上时，设．∴，∴，∵，∴．∴当或时有一解，当时有两解．综上，在正方形的四条边上有且只有6个不同的点P，使得成立，那么m的取值范围是．故答案为：．【点睛】解答本题的关键有两个：一是正确理解题意，将问题转化为判断方程根的个数的问题求解；二是利用数形结合的思想进行求解，通过建立坐标系，将问题转化为函数的知识求解．难度较大．14.已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】由是函数的两个不同的极值点可得，进而得到，然后构造函数，求出函数的值域后可得所求范围．【详解】∵，∴．∵函数有两个不同的极值点，，∴，是方程的两个实数根，且，∴，且，解得．由题意得．令，则，∴在上单调递增，∴．又不等式恒成立，∴，∴实数的取值范围是．故答案为．【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，体现了导数的工具性，解题的关键是得到的表达式．解答恒成立问题的常用方法是转化为求函数的最值的问题解决，当函数的最值不存在时可利用函数值域的端点值来代替，属于基础题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸．．．．内作答，解答应写出文字．．．指定区域说明，证明过程或演算步骤．）15.已知函数.（1）求函数图象的对称中心；（2）在中，若为锐角三角形且，求的取值范围.【答案】(1) ,(2)（，2）.【解析】试题分析：（1）先由两角和差公式化一,(2)由得到角A，，最终得到要求结果.(1)解得，故对称中心为（，1）（2）由解得所以，又为锐角三角形，故所以的取值范围是（，2）.16.如图，三角形PCD所在的平面与等腰梯形ABCD所在的平面垂直，AB＝AD＝CD，AB∥CD，CP⊥CD，M为PD的中点．（1）求证：AM∥平面PBC；（2）求证：BD⊥平面PBC．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）取的中点，连，，可证得四边形为平行四边形，于是，然后根据线面平行的判定定理可得结论成立．（2）在等腰中梯形中，取的中点，连，，证得四边形为菱形，进而得．同理四边形为菱形，可得．再由平面平面得到平面，于是得，最后根据线面垂直的判定可得平面．【详解】证明：（1）如图，取的中点，连，，∵为的中点，为的中点，∴，．又，，∴，，∴四边形为平行四边形，∴．又平面，平面，∴平面（2）如图，在等腰中梯形中，取的中点，连，．∵，，∴，，∴四边形为平行四边形．又，∴四边形为菱形，∴．同理，四边形为菱形，∴．∵，∴．∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，又平面，∴．∵，，∴平面．【点睛】本题考查线面关系的证明，解题的关键是根据所证的结论并结合三种平行（垂直）间的关系进行合理转化，以得到证题所需的条件，考查转化能力的运用和对基本判定方法、性质的掌握程度，属于基础题．17.如图，某人工景观湖外围有两条相互垂直的直线型公路l l，l2，且l l和l2交于点O．为了方便游客游览，计划修建一条连接公路与景观湖的直线型公路AB．景观湖的轮廓可以近似看成一个圆心为O'，半径为2百米的圆，且公路AB与圆O'相切，圆心O'到l l，l2的距离均为5百米，设∠OAB＝，AB长为L百米．（1）求L关于的函数解析式；（2）当为何值时，公路AB的长度最短？【答案】（1），.（2）当时，公路的长度最短【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系，得到直线方程为，然后根据直线与圆相切，得，再根据题意得到，于是，即为所求．（2）利用换元法求解，令，则，且，于是，然后结合导数求解可得所求最值．【详解】（1）以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则．在直角中，，，所以直线方程为，即，因为直线与圆相切，所以，因为点在直线的上方，所以，解得．因此L关于的函数解析式为，．（2）令，则，且，所以，因为，所以在上单调递减，所以当，即时，取得最小值，且．故当时，公路的长度最短．【点睛】解答本题的关键是将实际问题转化为数学问题，然后再结合直线和圆的位置关系得到所求解析式．对于最值的求法，可结合解析式的特点利用导数作为工具求解，其中令，得，将变量化一，为题目的求解提供了便利．考查应用意识和转化能力，属于基础题．18.过椭圆W：的左焦点F1作直线l1交椭圆于A，B两点，其中A(0，1)，另一条过F1的直线l2交椭圆于C，D两点（不与A，B重合），且D点不与点(0，﹣1)重合．过F1作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G．（1）求B点坐标和直线l1的方程；（2）比较线段EF1和线段GF1的长度关系并给出证明．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由题意得椭圆的左焦点，根据两点式可得直线的方程，然后通过解方程组可得点坐标．（2）当与轴垂直时易得．当不与轴垂直时，设的方程为，与椭圆方程联立消元后可得，，求出直线的方程后可得点的纵坐标和点G的纵坐标，计算可得，于是．【详解】（1）由题意可得椭圆的左焦点，所以直线的方程为，即．由，解得或，所以点．（2）①当与轴垂直时，，两点与，两点重合，由椭圆的对称性，．②当不与轴垂直时，设的方程为，由消去整理得，显然．设，，则，．由已知得，所以直线的方程为，令，得点的纵坐标，把代入上式得．由已知得，所以直线BC的方程为，令，得点G的纵坐标．把代入上式得．所以，又，即，即．【点睛】解答本题时注意两点：一是在解答（2）时可先根据直线与轴垂直的情况得到特殊位置的结果，然后再推广到一般求解．解题时还要注意转化思想方法的运用，即把判断线段长度的大小关系转化为判断线段两端点的纵坐标的关系处理．二是由于解题时涉及到大量的计算，所以要注意“设而不求”、“整体代换”等方法的运用．19.设函数．（Ⅰ）当时，求证：；（Ⅱ）如果恒成立，求实数的最小值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）1.【解析】【分析】（Ⅰ）求得，利用导数证明在区间上单调递增，从而可得；（Ⅱ）讨论三种情况：当时，由（Ⅰ）知符合题意；当时，因为，先证明在区间上单调递增，可得符合题意；当时，存在唯一使得，任意时，，不合题意，综合即可得结果.【详解】（Ⅰ）因为，所以 .当时，恒成立，所以在区间上单调递增，所以.（Ⅱ）因为，所以.①当时，由（Ⅰ）知，对恒成立；②当时，因为，所以.因此在区间上单调递增，所以对恒成立；③当时，令，则，因为，所以恒成立，因此在区间上单调递增，且，所以存在唯一使得，即.所以任意时，，所以在上单调递减.所以，不合题意.综上可知，的最小值为1.【点睛】本题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题与不等式的证明问题，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.20.正数数列、满足：≥，且对一切k≥2，k，是与的等差中项，是与的等比中项．（1）若，，求，的值；（2）求证：是等差数列的充要条件是为常数数列；（3）记，当n≥2(n)时，指出与的大小关系并说明理由．【答案】（1），.（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）由题意得，解方程组可得所求．（2）证明结论“当为常数数列时，是公差为零的等差数列”和“是等差数列时为常数数列”同时成立即可．（3）由题意证得，进而得到，故得，然后通过数列求和可得结论成立．【详解】（1）由条件得，即，解得或，又≥，所以．（2）（充分性）：当为常数数列时，是公差为零的等差数列,即充分性成立．（必要性）：因为，又当为等差数列时，对任意恒成立．所以，因为，所以，即，从而对恒成立，所以为常数列．综上可得是等差数列的充要条件是为常数数列．（3）因为任意，，又，所以．从而，即，则，所以．【点睛】（1）证明充要条件时要分清充分性和必要性，然后结合推理进行证明即可．（2）本题难度较大，解题时要注意数列知识的综合运用，合理运用定义及求和的方法等知识求解，同时还要注意不等式的运用．附加题21.设二阶矩阵A，B满足，，求．【答案】【解析】【分析】设，然后根据得到关于参数的方程组，解方程组可得所求矩阵．【详解】设，因为，所以，即解得所以．【点睛】本题考查矩阵的计算，解题的关键是利用待定系数法和矩阵的乘法进行求解，属于基础题．22.在平面直角坐标系xOy中，射线l：(x≥0)，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的方程为；以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为．（1）写出射线l的极坐标方程以及曲线C1的普通方程；（2）已知射线l与C2交于O，M，与C3交于O，N，求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据直线极坐标方程的形式可得射线，消去曲线参数方程中的参数可得普通方程；（2）将圆的普通方程化为极坐标方程，设点对应的极径分别为，然后根据求解可得所求．【详解】（1）依题意，因为射线，故射线消去方程中的参数可得，所以曲线的普通方程为：．（2）曲线的方程为，即，把代入上式可得曲线的极坐标方程为，设点对应的极径分别为，则．【点睛】本题考查参数方程和极坐标方程，解题的关键是根据各种方程间的关系进行求解，同时还要注意在极坐标方程中用极径求弦长的方法，属于基础题．23.为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记X表示学生的考核成绩，并规定X≥85为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图．（1）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；（2）从图中考核成绩满足X[70，79]的学生中任取3人，设Y表示这3人重成绩满足≤10的人数，求Y的分布列和数学期望．【答案】（1）（2），分布列见解析【解析】【分析】（1）根据茎叶图得到成绩优秀的人数，然后根据古典概型概率公式求解即可．（2）根据题意先得到的所有可能取值，然后分别求出对应的概率，进而可得分布列和期望．【详解】（1）设该名学生考核成绩优秀为事件，由茎叶图中的数据可以知在30名同学的成绩中，优秀的为：85,89,90,90,91,92,93，共有7名同学，所以，所以可估计这名学生考核优秀的概率为．（2）由题意可得的所有可能取值为，因为成绩的学生共有8人，其中满足的学生有人，所以，，，．所以随机变量的分布列为所以，即数学期望为．【点睛】解答本题的关键是从茎叶图中得到所需的有关数据，然后再根据概率的相关知识求解即可，属于基础题．24.已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）根据赋值法求解，分别令和，再根据所得两式的特点求解．（2）由二项式展开式的通项公式可得，进而得，于是，进而得，然后求和可得所求结果．【详解】（1）令得令得所以（2）证明：由二项式展开式的通项公式可得，所以，所以，因此．故．【点睛】（1）求二巷展开式中的系数和时，常用的方法是赋值法，然后再结合所求值的式子的特点进行求解即可．（2）解答第二问的关键一是要注意组合数的运算，另一是求解时要根据式子的特点采用并项的方法进行求和．。
江苏省扬州中学2019-2020学年高三下学期4月月考数学试题(解析版)
江苏省扬州中学2019-2020学年第二学期4月高三数学试卷（1）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1.已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =I ______【答案】{|12}x x << 【解析】 【分析】直接由集合的交集运算，即可得到本题答案.【详解】因为集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>， 所以{|12}A B x x =<<I . 故答案为：{|12}x x <<【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属基础题. 2.在复平面内，复数20161iz i i=+-对应的点所在第________象限. 【答案】一 【解析】 【分析】利用复数的四则运算进行化简，再由复数的几何意义即可求解. 【详解】由题意知，20161izi i=+-()()()45041111111222i i i i i i i ⨯+-+=+=+=+-⋅+， 由复数的几何意义可知，复数1122z i =+在复平面内所对应的点坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限. 故答案为：一【点睛】利用复数的四则运算和复数的几何意义判断复数对应的点所在象限；考查运算求解能力；属于基础题. 3.某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值为_______. 【答案】40 【解析】 【分析】根据平均数的公式计算即可 【详解】由题,则平均值为()13535413851405⨯++++=, 故答案为：40【点睛】本题考查求平均数,考查运算能力,属于基础题4.如图是一个算法的流程图，该算法中若输出y 的值为16，则输入x 的值为________；【答案】4或-1 【解析】 【分析】由程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y 的值，模拟程序的运行过程，利用输出y 的值为16，利用逆推的方法即可求解.【详解】因为输出y 的值为16，所以162x =，解得4x =， 当输入x 的值满足x 3≥时，此时4x =即为所求； 当输入x 的值满足3x <时，则34x -=，解得1x =-；故答案为：4或-1【点睛】本题考查利用程序框图中的循环结构，采用逆向思维已知输出变量的值求输入变量的值；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握程序框图中的循环结构是求解本题的关键；属于中档题. 5.在区间[0,]π上随机取一个数α，则11cos ,22α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的概率为________. 【答案】13【解析】【分析】利用余弦函数的性质和与长度有关的几何概型概率计算公式即可求解. 【详解】因为[]0,απ∈，11cos ,22α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,33ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由与长度有关的几何概型概率计算公式可得，133P ππ==.故答案：13【点睛】本题考查余弦函数的性质和与长度有关的几何概型概率计算公式；考查运算求解能力；熟练掌握余弦函数的性质和几何概型概率计算公式是求解本题个关键；属于中档题. 6.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为________cm . 【答案】423【解析】 【分析】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出r ，再根据勾股定理得22h l r =- ，即得此圆锥高的值．【详解】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形, 所以2l =，得24233r l πππ=⨯= ,解之得23r =， 因此,此圆锥的高2222242332h l r ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，故答案为:423． 【点睛】本题给出圆锥的侧面展开图扇形的半径和圆心角，求圆锥高的大小，着重考查了圆锥的定义与性质和旋转体侧面展开等知识，属于基础题．7.若数列为等差数列，且18153120a a a ++=，则9102a a -的值等于 ________．.【答案】【解析】【详解】因为1815113535120724a a a a d a d ++=+=⇒+=， 所以91012724a a a d +==-，故答案为24.8.已知A ，B ，分别为双曲线2222:1x y E a b-=（0,a >0b >）的左，右顶点，点M 在E 上，且||:||:||1:1:3AB BM AM =，则双曲线E 的渐近线方程为________.【答案】y x =± 【解析】 【分析】根据ABM V 的三边关系及双曲线的几何性质，利用余弦定理求出ABM ∠，进而得到点M 的坐标，再将点M 的坐标代入双曲线方程，得到,a b 的关系代入双曲线的渐近线方程即可求解.【详解】根据题意，易知点M 在双曲线的右支上，不妨设点M 在第一象限，如图所示：因为||:||:||1:1:3AB BM AM =2AB a =，23,2AM a BM a ==，在ABM V 中，由余弦定理可得，222cos 2AB BM AM ABM AB BM+-∠=⋅，即()()()22222231cos 2222a a aABMa a+-∠==-⋅⋅，因为0ABM π<∠<，所以23ABM π∠=，3xBM π∠=，过M 作MN x ⊥轴于点N ，则1cos2,sin 23232BN BM a a MN BM a ππ==⨯===⨯=，所以点M 的坐标为()2a ，将点M 代入双曲线2222:1x y E a b-=可得，())222221a ab-=，化简可得a b =，所以双曲线E 的渐近线方程为by x x a=±=±.故答案为：y x =±【点睛】本题考查双曲线的几何性质；考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算求解能力；掌握双曲线的几何性质是求解本题的关键；属于中档题.9.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()()x f x f x '⋅<-，则不等式()2(3)903f x f x x ---≤+的解集为________.【答案】(3,)+∞ 【解析】 【分析】观察不等式()()x f x f x '⋅<-的特征，构造函数()()gx xf x =，利用导数()g x '判断函数()g x 的单调性，利用单调性和()f x 的定义域即可求出不等式()2(3)903f x f x x ---≤+的解集.【详解】令()()g x xf x =，因为()()x f x f x '⋅<-，所以()g x '()()f x xf x '=+0<，所以函数()gx 在()0,∞+上单调递减，由函数()f x 定义域为()0,∞+，可得29030x x ⎧->⎨->⎩，解得3x >，因为()2(3)903f x f x x ---≤+， 所以()()()2393x f x f x +-≤-，所以()()()()229933x f x x f x --≤--，所以2933x x x ⎧-≥-⎨>⎩，解得3x >，综上可知，不等式()2(3)903f x f x x ---≤+的解集为()3,+∞.故答案为：(3,)+∞【点睛】本题考查通过构造函数法、利用抽象函数的导数判断函数的单调性解不等式及抽象函数的定义域；考查运算求解能力、逻辑推理能力和数学抽象；熟练掌握利用导数判断函数的单调性的方法是求解本题的关键；属于中档题.10.在ABC V 中，AB =2,AC =105BAC ∠=︒，点D 满足AD x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r且1(,)x y x y R +=∈，则当||AD u u u r最小时，xy的值为________.【解析】 【分析】结合题目中的条件，利用平面向量的数量积公式进行转化，利用参数的,x y 之间的关系加以消元，通过配方，结合二次函数的图象与性质来确定相应的最值即可求解.【详解】因为AD x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r，所以()2222222AD xAB y ACx AB y AC xy AB AC =+=++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r222422cos105x y xy ++⨯o22244x y ⎛=++⨯- ⎝⎭()()()2224121x x x x =+---)211x ⎡=+⎣，所以当x =，y =x y =||AD u u u r 有最小值为1.故答案为：【点睛】本题考查平面向量的数量积、二次函数的图象与性质，考查化归与转化的能力和运算求解能力；熟练掌握二次函数的图象与性质是求解本题的关键；属于中档题.11.锐角ABC V 的面积为1，内角A ，B ，C 所对的边分别为,a ,b c 且a b c >>，则()()a b c a b c +--+ 的取值范围是________.【答案】43⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用三角形的面积公式得到bc 的表达式，再利用余弦定理得到222a b c --的表达式，把()()a b c a b c +--+转化为关于ABC V 内角A 的三角函数，再由锐角三角形和大边对大角求出角A 的范围，结合正切函数的单调性即可求解.【详解】由题意知，1sin 12ABC S bc A ==V ,所以2sin bc A=， 由余弦定理可得，222cos 2b c a A bc+-=，所以2222cos a b c bc A --=-，因为()()a b c a b c +--+2222a b c bc =--+， 所以()()a b c a b c +--+2cos 2bc A bc =-+ ()22sin 421cos 4sin 2sin cos 22A A A A A =⋅-=⋅4tan 2A =，因为ABC V 为锐角三角形，a b c >>，所以32A ππ<<，即624A ππ<<，所以tan 132A<<，所以4tan 432A <<， 所以()()a b c a b c +--+的取值范围为4⎫⎪⎪⎝⎭.故答案为：4⎫⎪⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用三角形的面积公式和余弦定理，结合三角形内角的取值范围和正切函数的单调性求边长的取值范围；考查运算求解能力和转化与化归能力；灵活运用三角形的面积公式和余弦定理是求解本题的关键；属于中档题. 12.已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______． 【答案】(]2,3【解析】 【分析】 由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a <?；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >，综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3.【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.13.已知A ，B 为圆22:5O x y +=上的两个动点，4AB =，M 为线段AB 的中点，点P 为直线:60l x y +-=上一动点，则PM PB ⋅u u u u v u u u v的最小值为____． 【答案】7 【解析】 【分析】取BM 的中点N ，则21PM PB PN ⋅=-u u u u v u u u v u u u v ，故只需求PN 长度的最小值，注意N 的轨迹方程2254x y +=，从而可求PN 的最小值. 【详解】因为4AB =，2BM=，取BM 的中点N ，连接,OM PN ，则()()21PM PB PN NB PN NB PN ⋅=+⋅-=-u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又225OM MB +=，故1OM =，所以222112ON =+=，ON =又PN OP ON ≥-，而OP ≥=PN ≥，当且仅当OP 垂直于直线l 且,,O N P 三点共线时等号成立，所以PM PB ⋅u u u u v u u u v的最小值为817-=，填7.【点睛】此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：（1）到定点的距离为定长的动点的轨迹；（2）如果,A B 为定点，且动点M 满足()1MA MBλλ=≠，则动点M 的轨迹为圆；（3）如果ABC ∆中，BC 为定长，A 为定值，则动点A 的轨迹为一段圆弧．14.设函数3()f x x ax b =--，[1,1]x ∈-，其中,a b ∈R .若()f x M ≤恒成立，则当M 取得最小值时，+a b 的值为________.【答案】34【解析】 【分析】构造函数()3gx x ax b =--，可知函数()g x 的图象关于点()0,b -对称，然后分0,3,03a a a ≤≥<<三种情况进行讨论，分析函数()y g x =在区间[]1,1-上的单调性，得出函数()()f x g x =在区间[]1,1-上最值的可能取值，利用绝对值三角不等式可求出当M 取得最小值时+a b 的值. 【详解】令函数()3gx x ax b =--，则()()f x g x =，因为()()()332g x g x x ax b x ax b b +-=--+-+-=-， 所以函数()gx 的图象关于点()0,b -对称，且()23g x x a '=-，所以当0a ≤时，()0g x '≥，所以函数()g x 在[]1,1-上单调递增，所以()()1111M f a b M f a b ⎧≥=--⎪⎨≥-=-+-⎪⎩，两式相加可得，()()111111122a b a b a b a b M a a ----+---+-+-≥≥=-=-≥，此时，当0,11a b =-≤≤时，M 取得最小值1； 当3a ≥时，对任意的[1,1]x ∈-，()0g x '≤，所以函数()g x 在[]1,1-上单调递减，所以()()1111M f a bM f a b ⎧≥=--⎪⎨≥-=-+-⎪⎩，两式相加可得，()()111111222a b a b a b a b M a a ----+---+-+-≥≥=-=-≥，此时当3,22a b =-≤≤时，M 取得最小值2； 当0<<3a 时，令()0g x '=，得x =，令()0,1t =，列表如下：不妨设()00g b =-≥，则0b ≤，则()()()()33112211M f a b M f t t b M f t t bM fa b⎧≥=--⎪≥=--⎪⎪⎨≥-=-⎪⎪≥-=-+-⎪⎩，所以()()()(){}max 1,,,1M f f t f t f ≥--，因为()()()200g t g t g -+=≥，且()()g t g t <-，所以()()()g t g t f t -≥=， 因为()()()11200g g g -+=≥，若()()11g g -≥，则()()()111g g f -≥=，若()()11gg -<，则()10g >，但()()1g t g ->-，因为()()()()3312121g t g t b a b t a --=----=+-()()232231211t t t t =+-=-+，所以()(){}()()1102max ,1112g t g t g g t t ⎧<≤⎪⎪-=⎨⎪-<<⎪⎩，当102t<≤时，()2211113134M g a b t b t ≥=--=--≥-≥，当且仅当10,2b t ===时，即当3,04a b ==时，M 取得最小值14；当112t <<时，()33222M g t t b t ≥-=-≥>， 综上所述，当当3,04a b ==时，M 取得最小值14，此时+a b 34=.故答案为：34【点睛】本题考查利用绝对值三次函数的最值求参数、绝对值三角不等式的运用、通过构造函数，利用导数判断函数的单调性；考查运算求解能力和分类讨论的思想；充分利用三次函数的单调性、求出绝对值三次函数的最大值的可能值、并结合绝对值三角不等式的性质是求解本题的关键；属于抽象型、难度大型试题. 二、解答题：（本大题共6道题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知O 为坐标原点，()22sin ,1,OA x =u u ur (1,cos 1),OB x x =-+u u u r 1()12f x OA OB =-⋅+u u u r u u u r .（1）求()y f x =的最小正周期；（2）将()f x 图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再将所得图象向左平移6π个单位后，所得图象对应的函数为()g x ，且2,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，5,63ππβ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，3()5g α=，4()5g β=-，求cos 2()1αβ--的值.【答案】（1）π；（2）98625- 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示和二倍角的正余弦公式及辅助角公式化简()f x 的表达式，进而求出其最小正周期即可； （2）根据函数()sin y A ωx φ=+图象的伸缩变换公式求出函数()g x 的表达式，再利用两角差的正弦公式和二倍角的余弦公式进行求解即可.【详解】（1）因()22sin ,1,OA x =u u u r (1,cos 1),OB x x =-+u u u r所以211()1sin cos 22f x OA OB x x x =-⋅+=-++u u u r u u u r1cos 221sin 2226π-+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭x x x ，∴函数()y f x =的最小正周期为22ππ=. （2）由（1）知，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，将()f x 图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍得到函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将其图象向左平移6π个单位后得到函数()sin 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又3(),5g α=4()5g β=-，即3sin ,35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭4sin 35πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 因为2,,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦5,63ππβ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 所以,,32ππαπ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,032ππβ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 4cos ,35πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭3cos 35πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin()sin 33ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin 3333ππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭33447555525⎛⎫⎛⎫=⋅--⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2cos 2()12sin ()αβαβ--=--2798225625⎛⎫=-⨯-=-⎪⎝⎭.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示、利用函数()sin y A ωx φ=+图象的伸缩变换公式求变化后的解析式、两角和的正弦公式和二倍角的余弦公式；考查运算求解能力和知识的综合运用能力；熟练掌握两角和的正弦公式和二倍角的余弦公式，并观察出角之间的关系是求解本题的关键；属于中档题.16.如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC ∆为正三角形，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，平面11AA C C ⊥平面ABC ，11A E AC ⊥.（1）求证：//DE 平面11AB C ； （2）求证：1A E ⊥平面BDE . 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，即可证明1//DE AC ，从而可证//DE 平面11AB C ；（2）先根据ABC ∆为正三角形，且D 是AC 的中点，证出BD AC ⊥，再根据平面11AA C C ⊥平面ABC ，得到BD ⊥平面11AAC C ，从而得到1BD A E ⊥，结合11A E AC ⊥，即可得证． 【详解】（1）∵D ，E 分别是AC ，1CC 的中点 ∴1//DE AC∵DE ⊄平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ∴//DE 平面11AB C .（2）∵ABC ∆为正三角形，且D 是AC 的中点 ∴BD AC ⊥∵平面11AA C C ⊥平面ABC ，且平面11AAC C I 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC∴BD ⊥平面11AAC C ∵1A E ⊂平面11AAC C ∴1BD A E ⊥∵11A E AC ⊥且1//DE AC ∴1A E DE ⊥∵DE ，BD ⊂平面BDE ，且DE BD D ⋂= ∴1A E ⊥平面BDE .【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，面面垂直的性质等，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，中档题．17.如图，一条东西流向的笔直河流，现利用航拍无人机D 监控河流南岸相距150米的,A B 两点处（A 在B 的正西方向），河流北岸的监控中心C 在B 的正北方100米处，监控控制车E 在C 的正西方向，且在通向C 的沿河路上运动，监控过程中，保证监控控制车E 到无人机D 和到监控中心C 的距离之和150米，平面ADE 始终垂直于水平面ABCE ，且DE DA ⊥，,A D 两点间距离维持在100米.（1）当监控控制车E 到监控中心C 的距离为100米时，求无人机D 距离水平面ABCE 的距离；（2）若记无人机D 看A 处的俯角（DAE θ∠=），监控过程中，四棱锥D ABCE -内部区域的体积为监控影响区域V ，请将V 表示为关于θ的函数，并求出监控影响区域的最大值.【答案】（1）5（2）25sin 5103sin cos ()032V θθθπθθ⎛⎫⨯⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭=<< ⎪⎝⎭5000002 【解析】 【分析】 （1）过D 作DFAE ⊥，垂足为F ，由面面垂直的性质定理可知，DF ⊥平面ABCE ，即线段DF 长为点D 到平面ABCE 的距离，在Rt ADE △中利用面积相等求出DF 即可；（2）由（1）知，DF 是四棱锥D-ABCE 的高，在Rt ADE △中，把DF 表示成关于θ的表达式，再利用四棱锥的体积公式把四棱锥D ABCE -内部区域的体积为监控影响区域V 表示成关于θ的函数，对函数()V θ进行求导，利用导数判断其单调性并求其最大值. 【详解】（1）过D 作DFAE ⊥，垂足为F ，又因为平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE I 平面ABCE AE =，所以DF⊥平面ABCE ，所以线段DF 长为点D 到平面ABCE 的距离，在Rt ADE △中，DE DA ⊥，100AD =（米），50DE =（米），所以2211005022051100502DF ⨯⨯==+.即点D 到水平面ABCE 的距离为5. （2）由（1）知，DF 是四棱锥D-ABCE 的高，在Rt ADE △中，因为100AD =（米），DAE θ∠=， 所以100sin DFθ=（米），100tan DE θ=（米）， 所以(150100tan )CE θ=-（米），所以梯形ABCE 的面积1(150150100tan )10050(300100tan )2Sθθ=+-⨯=-（米）， 所以四棱锥D ABCE -的体积25sin 5103sin cos 150(300100tan )100sin 33V θθθθθ⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭=⨯-⨯=， 分析知，30tan 2θ<<，且02πθ<<， 所以V 关于θ的函数关系为25sin 5103sin cos (),3V θθθθ⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭= 30tan ,2θ<<02πθ<<，32325000003cos 2sin cos sin ()3cos V θθθθθθ⎛⎫--'=⎪⎝⎭()2500000(tan 1)tan tan 3cos 3θθθθ=--++. 因为30tan ,2θ<<02πθ<<， 所以当0tan 1θ<<时，()0V θ'>；当31tan 2θ<<时，()0V θ'<， 即当0tan 1θ<<时，函数()V θ单调递增；当31tan 2θ<<时，函数()V θ单调递减， 所以当tan 1θ=，即4πθ=时，max500000()3323V θ=⨯⨯-=（立方米）.即监控影响区域的最大值为3立方米.【点睛】本题考查利用面面垂直的性质定理求点到面的距离、棱锥的体积公式和利用导数判断函数的单调性并求最值；考查逻辑推理能力和运算求解能力；灵活运用面面垂直的性质和利用导数求最值是求解本题的关键；属于难度较大型试题.18.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：3y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T ．（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ，证明：存在常数λ，使得2||||||PT PA PB λ=⋅，并求λ的值．【答案】（Ⅰ）22163x y +=，点T 坐标为（2,1）；（Ⅱ）45λ=. 【解析】试题分析：本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.第（Ⅰ）问，利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，消去y 得关于x 的方程有两个相等的实数根，解出b 的值，从而得到椭圆E 的方程；第（Ⅱ）问，利用椭圆的几何性质，数形结合，根据根与系数的关系，进行求解.试题解析：（Ⅰ）由已知，2a b =，则椭圆E 的方程为222212x y b b+=. 由方程组得22312(182)0x x b -+-=.①方程①的判别式为2=24(3)b ∆-，由=0∆，得2=3b ， 此时方程①的解为=2x ，所以椭圆E 的方程为22163x y +=.点T 坐标为（2,1）.（Ⅱ）由已知可设直线l '的方程为1(0)2y x m m =+≠， 由方程组1{23y x m y x =+=-+，，可得223{21.3mx my =-=+， 所以P 点坐标为（222,133m m -+），2289PT m =. 设点A ，B 的坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y ，.由方程组22163{12x y y x m +==+，，可得2234(412)0x mx m ++-=.②方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得3232m <<.由②得212124412=,33m m x x x x -+-=.所以123m PA x ==--，同理223m PB x =--， 所以12522(2)(2)433m mPA PB x x ⋅=---- 21212522(2)(2)()433m mx x x x =---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+ 2109m =. 故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅. 【考点】椭圆的标准方程及其几何性质【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得1212,x x x x +，再把MA MB ⋅用12,x x 表示出来，并代入1212,x x x x +的值，这种方法是解析几何中的“设而不求”法，可减少计算量，简化解题过程．19.已知函数2()1()ln ()f x x ax g x x a a R =++=-∈，． ⑴当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；⑵若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln 24，无极大值；（2）[1,)-+∞【解析】 试题分析：（1）()()()2ln 2h x f x g x x x x =-=+-+，通过求导分析，得函数()h x 取得极小值为11+ln24，无极大值；（2）()()()()121212f x g x f x g x x x -==-''，所以()211212121ln 12x ax x a x a x x x ++--+==-，通过求导讨论，得到a 的取值范围是[)1,-+∞．试题解析： （1）函数()hx 的定义域为()0,+∞当1a =时，()()()2ln 2hx f x g x x x x =-=+-+，所以()()()211121x x h x x x x='-+=+- 所以当102x <<时，()0h x '<，当12x >时，()0h x '>， 所以函数()hx 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增， 所以当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln24，无极大值； （2）设函数()f x 上点()()11,x f x 与函数()g x 上点()()22,x g x 处切线相同，则()()()()121212f xg x f x g x x x -==-''所以()211212121ln 12x ax x a x a x x x ++--+==- 所以12122ax x =-，代入()21211221ln x x x ax x a x -=++--得： ()222221ln 20*424a a x a x x -++--= 设()221ln 2424a a F x x a x x =-++--，则()23231121222a x ax F x x x x x+-=-++=' 不妨设2000210(0)x ax x +-=>则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '>所以()Fx 在区间()00,x 上单调递减，在区间()0,x +∞上单调递增，代入20000121=2x a x x x -=-可得：()()20000min 012ln 2F x F x x x x x ==+-+- 设()212ln 2G x x x x x =+-+-，则()211220G x x x x=+++>'对0x >恒成立， 所以()Gx 在区间()0,+∞上单调递增，又()1=0G所以当01x <≤时()0Gx ≤，即当001x <≤时()00F x ≤,又当2a x e+=时()222421ln 2424a a a a a F x e a e e +++=-++-- 221104a a e +⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得()*成立；即存在12,x x 使得函数()f x 上点()()11,x f x 与函数()g x 上点()()22,x g x 处切线相同．又由12y x x =-得：2120y x'=--< 所以()120,1y x x=-在单调递减，因此[)20000121=21+x a x x x ，-=-∈-∞ 所以实数a 的取值范围是[)1,-+∞．20.已知无穷数列{}n a 的前n 项中的最大项为n A ，最小项为n B ，设n n n b A B =+.（1）若21n a n =-，求数列{}n b 的通项公式；（2）若212n nn a -=，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （3）若数列{}n b 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列.【答案】（1）2n n n b A B n =+=；（2）11,s =29,4s =372s =，当4n ≥时，19323842n n n n S +=+-；（3）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）利用数列{}n a 的通项公式判断其增减性，从而确定n A ，n B 的表达式，进而求出数列{}n b 的通项公式；（2）由212n nn a -=计算11322n n n na a ++--=，2n ≥时，数列单调递减，所以当4n ≥时，32142n n nb -=+，利用分组求和和错位相减法求和计算即可得到答案； （3）设数列{}n b 的公差为d ，则111n n n n n n b b A A B B d +++-=-+-=，讨论0,d >0d <，0d =三种情况，分别证明数列{}n a 为等差数列即可.【详解】（1）由21n a n =-得{}n a 是递增数列，所以21,n n A a n ==-11n B a ==， 所以2n n n b A B n =+=. （2）由212n n n a -=得111212132222n n n n n n n n a a ++++---=-=， 当1n =，10n n a a +->，即12a a <； 当2n ≥，10n n a a +-<，即2341a a a a >>>. 又11,2a =23,4a =315,8a a =>41716a a =<， 所以11,b =25,4b =354b =，当4n ≥时，32142n n n b -=+，所以11,=S 29,4=S 372S =，当4n ≥时，令13213(1)42422nn n n n k n b kn b b ---++=+=+-， 则2,k =3b =，即13213212342422nn n n n n n b --++=+=+-. 所以344517391111132123(3)24222222-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n S n n 373923(3)2422n n n +=+-+-19323842n n n +=+-. 综上所述，11,=S 29,4=S 372S =，当4n ≥时，19323842n n n n S +=+-.（3）设数列{}n b 的公差为d ，则111n n n n n n b b A A B B d +++-=-+-=， 由题意11,n n n n A A B B ++≥≤，①0,d >1n n A A +>，对任意*n N ∈都成立， 即11++=>=n n n n A a A a ，所以{}n a 是递增数列.所以,n n A a =1n B a =，所以111n n n n n n d A A B B a a +++=-+-=-， 所以数列{}n a 是公差为d 的等差数列；②当0d<时，1n n B B +<对任意*n N ∈都成立，进面11n n n n B a B a ++=<=， 所以{}n a 是递减数列.1,n A a =n n B a =，所以111n n n n n n d A A B B a a +++=-+-=- 所以数列{}n a 是公差为d 的等差数列；③当0d =时，110n n n n A A B B ++-+-=， 因为1n n A A +-与1n n B B +-中至少有一个为0， 所以二者都为0，进而可得数列{}n a 为常数列，综上所述，数列{}n a 为等差数列.【点睛】本题考查数列的通项公式、前n 项和公式、利用等差数列的定义证明等差数列、利用分组求和和错位相减进行数列求和；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握等差数列的定义和数列求和的方法是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.数学Ⅱ附加题选做题，本题包括A ，B 两小题.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21.设矩阵021a M⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为221x y +=．求曲线C 的方程． 【答案】22841x xy y ++= 【解析】 【分析】首先确定矩阵特征多项式，由特征值可求得2a =；从而得到22x xy x y =⎧⎨=+''⎩，代入已知方程即可求得结果.【详解】由题意知，矩阵M 的特征多项式：()()()1f a λλλ=--Q 矩阵M 有一个特征值为2 ()20f ∴=，解得：2a =即22x x y x y=⎧⎨=+''⎩，代入方程221x y +=得：()()22221x x y ++= 即曲线C 的方程为：22841x xy y ++=【点睛】本题考查根据矩阵变换下的方程求解曲线方程的问题，关键是能够利用特征值和特征多项式得到变换原则，进而求得曲线方程.22.已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C 的直角坐标方程为22220x y x y ++-=，直线l 的参数方程为1x ty t=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，射线OM 的极坐标方程为3π4θ=. （1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）已知射线OM 与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.【答案】（1）圆C ：π4ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；直线l ：sin cos 1ρθρθ-=；（2 【解析】 【分析】（1）结合直角坐标方程、参数方程及极坐标方程间的关系，求出圆C 和直线l 的极坐标方程即可； （2）将3π4θ=与圆C 和直线l 的极坐标方程联立，可求得,P Q 的极坐标，进而可求得线段PQ 的长. 【详解】（1）由于222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ= ，又圆C 的直角坐标方程为22220x y x y ++-=，则圆C 的极坐标方程为22cos 2sin 0ρρθρθ+-=，即π4ρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 直线l 的参数方程为1x ty t=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，消去t 后得y ＝x ＋1，直线l 的极坐标方程为sin cos 1ρθρθ-=.（2）当3π4θ=时，3ππ||44OP ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭则点P 的极坐标为3π4⎛⎫ ⎪⎝⎭，2 ||22222OQ==+，则点Q的极坐标为23π,4⎛⎫⎪⎪⎝⎭，故线段PQ的长为23222-=.【点睛】本题考查直角坐标方程、参数方程与极坐标方程间的转化，利用极坐标求两点间的距离是解决本题的关键，属于基础题.23.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C-中，4CA=，4CB=，122CC=，90ACB∠=︒，点M在线段11A B 上.（1）若113A M MB=，求异面直线AM和1A C所成角的余弦值；（2）若直线AM与平面1ABC所成角为30°，试确定点M的位置.【答案】（1）3939（2）点M是线段11A B的中点.【解析】【分析】（1）以C为坐标原点，分别以CA，CB，1CC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，得到(3,3,22AM=-u u u u r，(14,0,22CA=u u u r，再代入向量夹角公式计算，即可得答案；（2）设(,42M x x-，得(4,4,22AM x x=--u u u u r，直线AM与平面1ABC所成角为30°，得到关于x 的方程，解方程即可得到点M的位置.【详解】以C为坐标原点，分别以CA，CB，1CC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()000C,,，()4,0,0A，(14,0,22A，(10,4,22B.（1）因为113A M MB=，所以(1,3,22M.所以()14,0,22CA =u u u r ，()3,3,22AM =-u u u u r.所以11139cos ,2426CA AM CA AM CA AM⋅===-⋅u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u ur u u u u r . 所以异面直线AM 和1A C 所成角的余弦值为3939. （2）由()4,0,0A，()0,4,0B ，()10,0,22C ，知()4,4,0AB =-u u u r，()14,0,22AC =-u u u u r .设平面1ABC 的法向量为(),,n a b c =r ，由100n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r得4404220a b a c -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 令1a =，则1b =，2c =，所以平面1ABC 的一个法向量为()1,1,2n =r.因为点M 在线段11A B 上，所以可设(),4,22M x x -，所以()4,4,22AM x x =--u u u u r，因为直线AM 与平面1ABC 所成角为30°，所以1cos ,sin 302n AM =︒=r u u u u r .由cos ,n AM n AM n AM ⋅=r u u u u r r u u u u r r u u u u r，得()()()()221141422224482x x x x ⋅-+⋅-+⋅=⋅-+-+⋅，解得2x =或6x =.因为点M 在线段11A B 上，所以2x =， 即点()2,2,22M是线段11A B 的中点.【点睛】本题考查利用向量法求异面直线所成的角、已知线面角确定点的位置，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.24.设2012()nrnr n q x a a x a x a x a x +=+++⋯++⋯+,其中*,q R n N ∈∈. （1）当1q =时,化简:1nrr a r =+∑;（2）当q n =时,记()010,2nn n r r n a a A B a =+==∑,试比较n A 与n B 的大小.【答案】（1）1211n n +-+（2）答案见解析【解析】 【分析】（1）当1q =时,r r na C =,因为1!!11!()!(1)!()r n C n n r r r n r r n r =⋅=++-+-,结合已知,即可求得答案; （2）当q n =时,rn rr n a C n-=,可得1n n A n+=,令1x =,得(1)nn B n =+,故当1,2n =时,1(1)n n n n +<+, 当3n ≥时,1(1)n n n n +>+化简可得:11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭, 利用数学归纳法证明,即可求得答案;【详解】（1）当1q =时,rr n a C =1!!11!()!(1)!()rn C n n r r r n r r n r =⋅=++-+-Q 111(1)!11(1)!()!1r n n C n r n r n +++=⋅=⋅++-+,其中0,1,2,,r n ⋯＝, ∴原式＝()11231111112111n n n n n n C C C C n n ++++++-++⋯+=++ （2）当q n =时,rn rr n a C n-=01,n n a n a n ∴==, 1n n A n +∴=令1x =,得(1)nn B n =+ 当1,2n =时,1(1)n n n n +<+;当3n ≥时,1(1)n n nn +>+,即(1)nnn n n ⋅>+,可得:(1)111+nnn nn n n n n n ++⎛⎫⎛⎫>== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭下面用数学归纳法证明:当3n ≥时,11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭——(☆)①当3n =时,316431327⎛⎫>+= ⎪⎝⎭, (☆)成立．②假设3n k =≥时,(☆)式成立,即11kk k ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭则1n k =+时,(☆)式右边1111111111k kk k k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111kk k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++<+⋅=+<+ ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭故当1n k =+时,(☆)式也成立．综上①②知,当3n ≥时,11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭∴当1,2n =时,n n A B <;当3n ≥时,n n A B >.【点睛】解题关键是掌握对于研究与自然数相关组合数的问题,通常有三种处理方法:一是应用数学归纳法来加以研究;二是应用组合数的相关性质来加以研究;三是转化为函数问题来加以研究,考查了分析能力和计算能力,属于难题。
精品解析：江苏省扬州中学2019届高三下学期3月月考数学试题(原卷版)
江苏省扬州中学2019届高三下学期3月月考数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．）1.已知集合A＝，B＝{2，3，4，5}，则A B＝_______．2.若复数z满足（i是虚数单位），则＝_______．3.根据如图所示的伪代码，当输出y的值为﹣1时，则输入的x的值为_______．4.已知一组数据，，…，的方差为3，若数据，，…，(a，b R)的方差为12，则a的值为_______．5.在区间(1，3)内任取1个数x，则满足的概率是_______．6.已知圆锥的体积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为_______．7.函数(A＞0，＞0，＜)的部分图象如图所示，则＝_______．8.已知等差数列的前n项和为，若1≤≤3，3≤≤6，则的取值范围是_______．9.如图，在△ABC中，AD＝DB，F在线段CD上，设，，，则的最小值为_______．10.已知数列为正项的递增等比数列，，，记数列的前n项和为，则使不等式成立的最大正整数n的值是_______．11.已知双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线MN过F2，且与双曲线右支交于M、N两点，若cos∠F1MN＝cos∠F1F2M，，则双曲线的离心率等于_______．12.已知，函数在区间上的最大值是2，则__________．13.在边长为8的正方形ABCD中，M是BC的中点，N是AD边上的一点，且DN＝3NA，若对于常数m，在正方形ABCD的边上恰有6个不同的点P，使，则实数m的取值范围是_______．14.已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_______．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.已知函数.（1）求函数图象的对称中心；（2）在中，若为锐角三角形且，求的取值范围.16.如图，三角形PCD所在的平面与等腰梯形ABCD所在的平面垂直，AB＝AD＝CD，AB∥CD，CP⊥CD，M为PD的中点．（1）求证：AM∥平面PBC；（2）求证：BD⊥平面PBC．17.如图，某人工景观湖外围有两条相互垂直的直线型公路l l，l2，且l l和l2交于点O．为了方便游客游览，计划修建一条连接公路与景观湖的直线型公路AB．景观湖的轮廓可以近似看成一个圆心为O ，半径为2百米的圆，且公路AB与圆O'相切，圆心O'到l l，l2的距离均为5百米，设∠OAB＝，AB长为L百米．（1）求L关于的函数解析式；（2）当为何值时，公路AB的长度最短？18.过椭圆W：的左焦点F1作直线l1交椭圆于A，B两点，其中A(0，1)，另一条过F1的直线l2交椭圆于C，D两点（不与A，B重合），且D点不与点(0，﹣1)重合．过F1作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G．（1）求B点坐标和直线l1的方程；（2）比较线段EF1和线段GF1的长度关系并给出证明．19.设函数．（Ⅰ）当时，求证：；（Ⅱ）如果恒成立，求实数的最小值．20.正数数列、满足：≥，且对一切k≥2，k，是与的等差中项，是与的等比中项．（1）若，，求，的值；（2）求证：是等差数列的充要条件是为常数数列；（3）记，当n≥2(n)时，指出与的大小关系并说明理由．附加题21.设二阶矩阵A，B满足，，求．22.在平面直角坐标系xOy中，射线l：(x≥0)，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的方程为；以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为．（1）写出射线l的极坐标方程以及曲线C1的普通方程；（2）已知射线l与C2交于O，M，与C3交于O，N，求的值．23.为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记X表示学生的考核成绩，并规定X≥85为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图．（1）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；（2）从图中考核成绩满足X[70，79]的学生中任取3人，设Y表示这3人重成绩满足≤10的人数，求Y的分布列和数学期望．24.已知．（1）求的值；（2）求的值．。
2019江苏省扬州中学高三数学试卷
江苏省扬州中学高三月考数学试卷2019.3.9一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 1.已知集合{|13}A x x =∈≤≤N ，{2,3,4,5}B =，则AB = .2.若复数z 满足()12i z i +=（i 是虚数单位），则z =__________.3. 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为1-时，则输入的x 的值为________．Read xIf x ≤0 Then y ←x 2＋1 Elsey ← 2-x End If Print y4. 已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的方差为3，若数据ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b (a ，b ∈R )的方差为12，则a 的值为________．5. 在区间)3,1(内任取1个数x ，则满足1)12(log 2>-x 的概率是 ．6. 已知圆锥的体积为π33，母线与底面所成角为3π，则该圆锥的表面积为 ．7. 函数()sin()(0,0,||)2f x A x A π=+>><ωϕωϕ则=ϕ ．8. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若63,31311≤+≤≤≤S a a ，则12a a 的取值范围 是 ．9. 如图，在△ABC 中，AD ＝DB ，F 在线段CD 上，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则1x ＋4y的最小值为________．10. 已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，81,824251=⋅=+a a a a ，记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 2的前n 项和为n T ，则使不等式1|131|2019>-n T 成立的最大正整数n 的值是 ．11. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，直线MN 过2F ，且与双曲线右支交于M N 、两点，若112cos cos F MN F F M ∠=∠，1112F M F N=，则双曲线的离心率等于 ．12．已知0>a ，函数|3|||)(2--+=a x x x f 在]1,1[-上的最大值为2，则=a ．13.在边长为8的正方形ABCD 中,M 是BC 的中点，N 是AD 边上的一点，且NA DN 3=,若对于常数m ，在正方形ABCD 的边上恰有6个不同的点P ，使m =⋅，则实数m 的取值范围是 ．14.已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12x x ，，若不等式()()12f x f x λ>+恒成立，则实数λ的取值范围是 ．二、解答题 ：本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分14分) 已知函数12cos 232cos 2)(+-⎪⎭⎫⎝⎛+=x x x f π． （1）求f (x )的对称中心；（2）若锐角△ABC 中角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，且f (A )＝0，求bc 的取值范围．16. (本小题满分14分) 如图，三角形PCD 所在的平面与等腰梯形ABCD 所在的平面垂直，AB ＝AD ＝12CD ，AB ∥CD ，CP ⊥CD ，M 为PD 的中点．求证：(1) AM ∥平面PBC ；(2) BD ⊥平面PBC.如图，某人工景观湖外围有两条相互垂直的直线型公路1l ，2l ，且1l 和2l 交于点O . 为了方便游客游览，计划修建一条连接公路与景观湖的直线型公路AB . 景观湖的轮廓可以近似看成一个圆心为O '，半径为2百米的圆，且公路AB 与圆O '相切，圆心O '到1l ，2l 的距离均为5百米，设L AB OAB 长为,θ=∠百米.（1）求L 关于θ的函数解析式；（2）当θ为何值时，公路AB 的长度最短?18.(本小题满分16分)过椭圆W :2212x y +=的左焦点1F 作直线1l 交椭圆于,A B 两点，其中A (0,1)，另一条过1F 的直线2l 交椭圆于,C D 两点（不与,A B 重合），且D 点不与点()01-，重合. 过1F 作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ,G . （Ⅰ）求B 点坐标和直线1l 的方程；（Ⅱ）比较线段1EF 和线段1GF 的长度之间的大小关系并给出证明。
江苏省扬州中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
江苏省扬州中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知f （x ）=x 3﹣3x+m ，在区间[0，2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f （a ），f （b ），f （c ）为边长的三角形，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞2B ．m ＞4C ．m ＞6D ．m ＞82． 在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形3． 若f ′（x 0）=﹣3，则=（ ）A ．﹣3B ．﹣12C ．﹣9D ．﹣64． 已知集合{| lg 0}A x x =≤，1={|3}2B x x ≤≤，则A B =（ ） A ．(0,3] B ．(1,2]C ．(1,3]D ．1[,1]2【命题意图】本题考查对数不等式解法和集合的运算等基础知识，意在考查基本运算能力．5． 已知三棱柱111ABC A B C - 的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点， 则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）A ．4 B ．4 C.4D ．346． 棱长为2的正方体的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．π4 B ．π6 C ．π8 D ．π107． 设D 为△ABC 所在平面内一点，，则（ ）A ．B ．C ．D ．8． ABC ∆中，“A B >”是“cos 2cos 2B A >”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 9．函数的零点所在区间为（ ）A ．（3，4）B ．（2，3）C ．（1，2）D ．（0，1）10．已知圆M 过定点)1,0(且圆心M 在抛物线y x 22=上运动，若x 轴截圆M 所得的弦为||PQ ，则弦长||PQ 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．与点位置有关的值【命题意图】本题考查了抛物线的标准方程、圆的几何性质，对数形结合能力与逻辑推理运算能力要求较高，难度较大.11．已知函数211,[0,)22()13,[,1]2x x f x x x ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，若存在常数使得方程()f x t =有两个不等的实根12,x x（12x x <），那么12()x f x ∙的取值范围为（ ）A ．3[,1)4 B．1[8 C ．31[,)162 D ．3[,3)812．设向量，满足：||=3，||=4，=0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．直线l 1和l 2是圆x 2+y 2=2的两条切线，若l 1与l 2的交点为（1，3），则l 1与l 2的夹角的正切值等于 _________ 。
江苏省扬州中学2019届高三下学期开学考试(2月)数学含答案
8．已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
.
9.已知双曲线 C:
x2 a2
y2 b2
1(a
>
0, b
>
0) ，点 A，B
在双曲线 C
的左支上，0 为坐标点，直线
B0 与双曲线
C 的右支交于点 M。若直线 AB 的斜率为 3,直线 AM 的斜率为 1，则双曲线 C 的离心率为 ．
20.已知数列{an}的奇数项是首项为 1 的等差数列，偶数项是首项为 2 的等比数列. 数列{an}的前 n 和为 Sn ， 且满足 S5 2a4 a5 ， a9 a3 a4 .
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）在数列{an}中，若 am , am1, am2 成等差数列，求整数 m 的值；
江苏省扬州中学 2019 届高三开学
数学 I 试题
注意事项： 1．本试卷共 160 分，考试时间 120 分钟； 2．答题前，请务必将自己的姓名学校、考试号写在答卷纸的规定区域内； 3．答题时必须使用 0.5 毫米黑色签字笔书写，作图可用 2B 铅笔．
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）
12.在平面直角坐标系 xOy 中，已知 AB 是圆 O： x2 y2 1直径，若直线 l： kx y 3k 1 0
上存在点 P，连接 AP 与圆 O 交于点 Q，满足 BP ∥ OQ ，则实数 k 的取值范围是
．
13．已知一个等腰三角形的底边长为 4，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是
（1）求此人到达当日空气重度污染的概率； （2）设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望；