2019-2020学年高中数学选修2-2人教A版课件：第2章 推理与证明 2.1 2.1.1
含义 _类_比____，然后提出_猜__想___的推理，我们把它们统称为 合情推理
过程
重点难点突破
解剖难点 探究提高
归纳推理具有以下特点：(1)归纳是由特殊现象推出一般现 象，因而，由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；(2)归 纳是依据若干已知的，没有穷尽的现象推断尚属未知的现象， 因而，由归纳所得的结论具有猜测的性质；(3)归纳的前提是特 殊情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础上的，归 纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质； ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)， 一般地，归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一 般性命题就越可能为真．
[名 师 点 拨] 对于图形中的归纳推理问题，这类问题一般涉及某固定图 形的个数，可从图形的变化规律入手求解，也可以转化为数列 问题求解.
观察下列等式：1×3 2×12＝1－212，1×3 2
×12＋2×4 3×212＝1－3×122，1×3 2×12＋2×4 3×212＋3×5 4×213＝1
A．V＝13abc B．V＝13Sh
C．V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r(S1，S2，S3，S4 分别为四个面的 面积，r 为四面体内切球的半径)
D．V＝13(ab＋bc＋ac)h(h 为四面体的高) (2)若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，则有 S2n－1＝(2n－1)·an， 类似地，若 Tn 为等比数列{bn}的前 n 项积，则有 T2n－1＝________.
2．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是
180°，归纳出所有三角形的内角和都是 180°；
③小明某次考试成绩是 100 分，由此推出全球同学的成绩
都是 100 分；
④三角形内角和是 180°，四边形内角和是 360°，五边形内
课堂互动探究
归纳透析 触类旁通
题型一 归纳推理及其应用 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的
值都等于同一个常数． ①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17° ②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15° ③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12° ④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48° ⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式， 并证明你的结论．
【思路探索】 注意观察题目中所给的 5 个式子的特点， 再归纳出一般性的结论．
【解】 (1)选择②式，计算如下： sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝ 1－12sin 30°＝1－14＝34.
第三个等式的右侧为 1－4×1 23＝1－3＋11·23； … 以此类推， 第 n 个等式的右侧为 1－n＋11·2n. 答案：1－n＋11·2n
题型二 类比推理及其应用 (1)三角形的面积为 S＝12(a＋b＋c)r，其中 a，b，c
为三角形三条边的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推 理可以得出四面体的体积为( )
归纳推理
类比推理
特 归纳推理是由个__别_到__一_般____，由 类比推理是由_特_殊__到_特__殊____
征 __部_分__到_整__体_____比推理都是根据已有的事实，经过 _观_察___、_分_析____、_比__较___、__联_想___，再进行_归__纳___、
第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理
自主学习导航
梳理知识 夯实基础
目标导学
1．了解合情推理的含义． 2．理解归纳推理和类比推理的含义，并能利用归纳和类比 进行简单的推理．
‖知识梳理‖
1．归纳推理和类比推理
归纳推理
类比推理
由某类事物的__部__分_对__象_____具 由两类对象具有某些_类_似____
(2)三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：证法一： sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝ sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝sin2α＋34cos2α＋ 23sin αcos α＋14sin2α－ 23sin αcos α－12 sin2α ＝34sin2α＋34cos2α＝34.
－4×123，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于 n∈N*，
3 1×2
×
1 2
＋
4 2×3
×
1 22
＋
5 3×4
×
1 23
＋
…
＋
n＋2 nn＋1
×
1 2n
＝
____________.
解析：第一个等式的右侧为 1－212＝1－2×1 21＝1－1＋11×21； 第二个等式的右侧为 1－3×1 22＝1－2＋11·22；
word部分：
请做：课时跟踪检测
考点对应 知能提升
点此进入该word板块
答案：C
若平面内的小圆形按照下图中的规律进行排列，记 第 n 个图中圆的个数为 Pn，则有 P6＝________，Pn 与 Pn－1 之间 的关系式为________________．
【思路探索】 认真分析给出的前 4 个图形中圆的个数的 规律及 P1，P2，P3，P4 之间的关系，即可归纳出 Pn 与 Pn－1 的关 系式．
证法二：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝
1－cos 2
2α
＋
1＋cos60°－2α 2
－
sin
α(cos
30°cos
α ＋ sin
30°sin α)
＝12－12cos
2α＋12＋12(cos
60°cos
2α＋sin
60°sin
2α)－
3 2 sin
αcos α－12sin2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos
解析：由于椭圆与圆截 y 轴所得线段之比为ba，即 k＝ba，∴ 椭圆面积 S＝πa2·ba＝πab.
答案：πab
课堂基础达标
即学即练 稳操胜券
1．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝ 11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第 n(n∈N*)个等式应为 ()
A．9(n＋1)＋n＝10n＋9 B．9(n－1)＋n＝10n－9 C．9n＋(n－1)＝10n－1 D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10 答案：B
2α＋
3 4 sin
2α－
3 4 sin
2α
－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.
[名 师 点 拨] 归纳推理具有从特殊到一般，由具体到抽象的认知过程， 在根据给出的几个具体等式归纳其一般规律时，要注意从项数、 次数、分式的分子、分母的特点，及变化规律入手归纳.
【思路探索】
对于(1)，三角形
类比 ――→
四面体，内切圆
类比 ――→
内切球，面积
类比 ――→
体积，对于(2)，等差数列中的和
―类―比→等比数列中的积．
【解析】 (1)连接四面体内切球的球心与四面体的各个顶 点，得到四个小三棱锥，故四面体的体积
V＝13S1r＋13S2r＋13S3r＋13S4r ＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r(其中 S1，S2，S3，S4 分别为四个面的面 积，r 为内切球的半径)． (2)将等差数列中的和类比为等比数列中的积可得 T2n－1＝ b1b2b3…b2n－1＝b2nn－1. 【答案】 (1)C (2)b2nn－1
观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33
＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，得到 13＋23＋33＋43
＋53＋63＝( )
A. 2
B．202
C．212
D.222
解析：通过观察三个等式，左侧为连续 n 个数的立方和， 右侧为这 n 个数和的平方，所以 13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2 ＋3＋4＋5＋6)2＝212，故选 C.
答案：n2－2n＋6
5．如图所示，在△ABC 中，射影定理可 表示为 a＝b·cos C＋c·cos B，其中 a、b、c 依 次为角 A、B、C 的对边，类比以上定理，给 出空间四面体性质的猜想．
解：如图所示，在四面体 P－ABC 中，S1， S2，S3，S 分别表示△PAB，△PBC，△PCA， △ABC 的面积，α，β，γ 依次表示面 PAB、面 PBC、面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小．我们猜想将射影 定理类比推理到四面体中，其表现形式应为 S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
角和是 540°，由此得凸 n 边形内角和是(n－2)·180°.
A．①②
B．①③
C．①②④ 答案：C
D.②④
3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝22＋anan(n∈N*)，则归纳猜
想{an}的通项公式为( )
A．an＝2n
B．an＝n＋2 1
C．an＝1n
D.an＝n＋1 1
解析：∵a1＝1，a2＝a21＋a12＝23，a3＝22＋a2a2＝24， a4＝22＋a3a3＝25，…，由此可猜得 an＝n＋2 1. 答案：B
类比推理具有以下特点：(1)类比推理是由特殊到特殊的推 理；(2)类比推理以归纳知识作为基础，推测新的结果，具有发 现功能；(3)类比推理的结论具有猜测性，不一定可靠，类比推 理的一般步骤：①找出两类对象可以确切表达的相似特征；② 用一类对象的已知特征，去推测另一类对象的特征，从而得到 一个猜想，再检验这个猜想．
过程
重点难点突破
解剖难点 探究提高
归纳推理具有以下特点：(1)归纳是由特殊现象推出一般现 象，因而，由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；(2)归 纳是依据若干已知的，没有穷尽的现象推断尚属未知的现象， 因而，由归纳所得的结论具有猜测的性质；(3)归纳的前提是特 殊情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础上的，归 纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质； ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)， 一般地，归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一 般性命题就越可能为真．
[名 师 点 拨] 对于图形中的归纳推理问题，这类问题一般涉及某固定图 形的个数，可从图形的变化规律入手求解，也可以转化为数列 问题求解.
观察下列等式：1×3 2×12＝1－212，1×3 2
×12＋2×4 3×212＝1－3×122，1×3 2×12＋2×4 3×212＋3×5 4×213＝1
A．V＝13abc B．V＝13Sh
C．V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r(S1，S2，S3，S4 分别为四个面的 面积，r 为四面体内切球的半径)
D．V＝13(ab＋bc＋ac)h(h 为四面体的高) (2)若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，则有 S2n－1＝(2n－1)·an， 类似地，若 Tn 为等比数列{bn}的前 n 项积，则有 T2n－1＝________.
2．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是
180°，归纳出所有三角形的内角和都是 180°；
③小明某次考试成绩是 100 分，由此推出全球同学的成绩
都是 100 分；
④三角形内角和是 180°，四边形内角和是 360°，五边形内
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归纳透析 触类旁通
题型一 归纳推理及其应用 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的
值都等于同一个常数． ①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17° ②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15° ③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12° ④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48° ⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式， 并证明你的结论．
【思路探索】 注意观察题目中所给的 5 个式子的特点， 再归纳出一般性的结论．
【解】 (1)选择②式，计算如下： sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝ 1－12sin 30°＝1－14＝34.
第三个等式的右侧为 1－4×1 23＝1－3＋11·23； … 以此类推， 第 n 个等式的右侧为 1－n＋11·2n. 答案：1－n＋11·2n
题型二 类比推理及其应用 (1)三角形的面积为 S＝12(a＋b＋c)r，其中 a，b，c
为三角形三条边的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推 理可以得出四面体的体积为( )
归纳推理
类比推理
特 归纳推理是由个__别_到__一_般____，由 类比推理是由_特_殊__到_特__殊____
征 __部_分__到_整__体_____比推理都是根据已有的事实，经过 _观_察___、_分_析____、_比__较___、__联_想___，再进行_归__纳___、
第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理
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目标导学
1．了解合情推理的含义． 2．理解归纳推理和类比推理的含义，并能利用归纳和类比 进行简单的推理．
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1．归纳推理和类比推理
归纳推理
类比推理
由某类事物的__部__分_对__象_____具 由两类对象具有某些_类_似____
(2)三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：证法一： sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝ sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝sin2α＋34cos2α＋ 23sin αcos α＋14sin2α－ 23sin αcos α－12 sin2α ＝34sin2α＋34cos2α＝34.
－4×123，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于 n∈N*，
3 1×2
×
1 2
＋
4 2×3
×
1 22
＋
5 3×4
×
1 23
＋
…
＋
n＋2 nn＋1
×
1 2n
＝
____________.
解析：第一个等式的右侧为 1－212＝1－2×1 21＝1－1＋11×21； 第二个等式的右侧为 1－3×1 22＝1－2＋11·22；
word部分：
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答案：C
若平面内的小圆形按照下图中的规律进行排列，记 第 n 个图中圆的个数为 Pn，则有 P6＝________，Pn 与 Pn－1 之间 的关系式为________________．
【思路探索】 认真分析给出的前 4 个图形中圆的个数的 规律及 P1，P2，P3，P4 之间的关系，即可归纳出 Pn 与 Pn－1 的关 系式．
证法二：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝
1－cos 2
2α
＋
1＋cos60°－2α 2
－
sin
α(cos
30°cos
α ＋ sin
30°sin α)
＝12－12cos
2α＋12＋12(cos
60°cos
2α＋sin
60°sin
2α)－
3 2 sin
αcos α－12sin2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos
解析：由于椭圆与圆截 y 轴所得线段之比为ba，即 k＝ba，∴ 椭圆面积 S＝πa2·ba＝πab.
答案：πab
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1．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝ 11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第 n(n∈N*)个等式应为 ()
A．9(n＋1)＋n＝10n＋9 B．9(n－1)＋n＝10n－9 C．9n＋(n－1)＝10n－1 D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10 答案：B
2α＋
3 4 sin
2α－
3 4 sin
2α
－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.
[名 师 点 拨] 归纳推理具有从特殊到一般，由具体到抽象的认知过程， 在根据给出的几个具体等式归纳其一般规律时，要注意从项数、 次数、分式的分子、分母的特点，及变化规律入手归纳.
【思路探索】
对于(1)，三角形
类比 ――→
四面体，内切圆
类比 ――→
内切球，面积
类比 ――→
体积，对于(2)，等差数列中的和
―类―比→等比数列中的积．
【解析】 (1)连接四面体内切球的球心与四面体的各个顶 点，得到四个小三棱锥，故四面体的体积
V＝13S1r＋13S2r＋13S3r＋13S4r ＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r(其中 S1，S2，S3，S4 分别为四个面的面 积，r 为内切球的半径)． (2)将等差数列中的和类比为等比数列中的积可得 T2n－1＝ b1b2b3…b2n－1＝b2nn－1. 【答案】 (1)C (2)b2nn－1
观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33
＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，得到 13＋23＋33＋43
＋53＋63＝( )
A. 2
B．202
C．212
D.222
解析：通过观察三个等式，左侧为连续 n 个数的立方和， 右侧为这 n 个数和的平方，所以 13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2 ＋3＋4＋5＋6)2＝212，故选 C.
答案：n2－2n＋6
5．如图所示，在△ABC 中，射影定理可 表示为 a＝b·cos C＋c·cos B，其中 a、b、c 依 次为角 A、B、C 的对边，类比以上定理，给 出空间四面体性质的猜想．
解：如图所示，在四面体 P－ABC 中，S1， S2，S3，S 分别表示△PAB，△PBC，△PCA， △ABC 的面积，α，β，γ 依次表示面 PAB、面 PBC、面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小．我们猜想将射影 定理类比推理到四面体中，其表现形式应为 S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
角和是 540°，由此得凸 n 边形内角和是(n－2)·180°.
A．①②
B．①③
C．①②④ 答案：C
D.②④
3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝22＋anan(n∈N*)，则归纳猜
想{an}的通项公式为( )
A．an＝2n
B．an＝n＋2 1
C．an＝1n
D.an＝n＋1 1
解析：∵a1＝1，a2＝a21＋a12＝23，a3＝22＋a2a2＝24， a4＝22＋a3a3＝25，…，由此可猜得 an＝n＋2 1. 答案：B
类比推理具有以下特点：(1)类比推理是由特殊到特殊的推 理；(2)类比推理以归纳知识作为基础，推测新的结果，具有发 现功能；(3)类比推理的结论具有猜测性，不一定可靠，类比推 理的一般步骤：①找出两类对象可以确切表达的相似特征；② 用一类对象的已知特征，去推测另一类对象的特征，从而得到 一个猜想，再检验这个猜想．
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2019秋新版高中数学人教A版选修2-2课件：第二章推理与证明2.1.2
2.1.2
演绎推理
-2-
1.演绎推理
含义 特点 从一般性的原理出发,推出某个 特殊情况下的结论的推理 由一般到特殊的推理
答案:A
2.三段论
一般模式 大前提 已知的一般原理 小前提 所研究的特殊情况 根据一般原理,对特殊情况做 结论 出的判断 常用格式 M是P S是M S是P
-5-
-6-
-7-
∴sin 2 × 8 + ������ = ±1.
∴ + ������ = ������π + , ������∈Z.
π 4 π 2
π
∵-π<φ<0,∴φ=−
3π . 4
题型一
题型二
题型三
题型四
3π (2)解:由(1)知 φ=− , 4 3π 因此 y=sin 2������. 4 π 3π π 由题意,得 2kπ− 2 ≤2x− 4 ≤2kπ+ 2 , ������∈Z, π 5π ∴kπ+ 8≤x≤ 8 + ������π, ������∈Z. 3π ∴函数 y=sin 2������- 4 的单调递增区间为 π 5π ������π + 8 ,������π + 8 , ������∈Z.
2.合情推理和演绎推理有怎样的关系? 剖析:
合情推理 常用形式 思维运 动过程 的方向 区 前提与结 别 论联系的 性质 应用 归纳、类比 归纳推理是从部分到整体,从 特殊到一般的推理;类比推理 是从特殊到特殊的推理 结论超过了前提所断定的范 围,其结论具有或然性 不能作为数学证明的工具,但 它具有创造性思维,对于数学 的发现很有意义 演绎推理 三段论 以一般性的知识作为前提 推出一个特殊性的知识作 为结论,即从一般到特殊的 推理 结论不超过前提所断定的 范围,前提和结论的联系是 必然的 可以作为数学证明的工具, 较少具有创造性,但它严密 的论证有助于数学的理论 化和系统化
演绎推理
-2-
1.演绎推理
含义 特点 从一般性的原理出发,推出某个 特殊情况下的结论的推理 由一般到特殊的推理
答案:A
2.三段论
一般模式 大前提 已知的一般原理 小前提 所研究的特殊情况 根据一般原理,对特殊情况做 结论 出的判断 常用格式 M是P S是M S是P
-5-
-6-
-7-
∴sin 2 × 8 + ������ = ±1.
∴ + ������ = ������π + , ������∈Z.
π 4 π 2
π
∵-π<φ<0,∴φ=−
3π . 4
题型一
题型二
题型三
题型四
3π (2)解:由(1)知 φ=− , 4 3π 因此 y=sin 2������. 4 π 3π π 由题意,得 2kπ− 2 ≤2x− 4 ≤2kπ+ 2 , ������∈Z, π 5π ∴kπ+ 8≤x≤ 8 + ������π, ������∈Z. 3π ∴函数 y=sin 2������- 4 的单调递增区间为 π 5π ������π + 8 ,������π + 8 , ������∈Z.
2.合情推理和演绎推理有怎样的关系? 剖析:
合情推理 常用形式 思维运 动过程 的方向 区 前提与结 别 论联系的 性质 应用 归纳、类比 归纳推理是从部分到整体,从 特殊到一般的推理;类比推理 是从特殊到特殊的推理 结论超过了前提所断定的范 围,其结论具有或然性 不能作为数学证明的工具,但 它具有创造性思维,对于数学 的发现很有意义 演绎推理 三段论 以一般性的知识作为前提 推出一个特殊性的知识作 为结论,即从一般到特殊的 推理 结论不超过前提所断定的 范围,前提和结论的联系是 必然的 可以作为数学证明的工具, 较少具有创造性,但它严密 的论证有助于数学的理论 化和系统化
2019-2020数学人教A版选修2-2课件：第二章推理与证明2.1 2.1.2
解 (1)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大 前提
△ABC 三边的长依次为 3,4,5，而 32＋42＝52，小前提 △ABC 是直角三角形．结论 (2)一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，大前提 函数 y＝2x＋5 是一次函数，小前提 函数 y＝2x＋5 的图象是一条直线．结论
答案
(2)设任意 x1，x2∈R，且 x1<x2， 则 f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)． ∵当 x>0 时，f(x)<0， ∴f(x2－x1)<0，即 f(x2)－f(x1)<0， ∴f(x)为减函数， ∴f(x)在[－3,3]上的最大值为 f(－3)，最小值为 f(3)． ∵f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6， ∴函数 f(x)在[－3,3]上的最大值为 6，最小值为－6.
答案
探究 3 演绎推理在函数中的应用
例 3 已知函数 f(x)，对任意 x，y∈R，都有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当 x>0 时，f(x)<0，f(1)＝－2.
(1)求证： f(x)为奇函数； (2)求 f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．)＝f(x)＋f(y)， ∴令 x＝y＝0，得 f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)， ∴f(0)＝0. 令 y＝－x， 则 f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0. ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数．
证明 ∵同位角相等，两直线平行，大前提 ∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提 ∴FD∥AE.结论 ∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提 DE∥BA，且 FD∥AE，小前提 ∴四边形 AFDE 是平行四边形．结论 ∵平行四边形的对边相等，大前提 ED 和 AF 是平行四边形 AFDE 的对边，小前提 ∴ED＝AF.结论
2019-2020数学人教A版选修2-2课件：第二章推理与证明2.2 2.2.1
随堂达标自测
课后课时精练
第三页，编辑于星期日：点 二十一分。
2．综合法
(1)定义：一般地，利用
□01 已知条件 和某些数学
□02 定义、□03 定理、□04 公理
等，经过一系列的 □05 推理论证 ，
最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
(2)框图表示：用 P 表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q 表示
课后课时精练
第二十八页，编辑于星期日：点 二十一分。
随堂达标自测
第二十九页，编辑于星期日：点 二十一分。
1．设 a＝ 3－ 2，b＝ 6－ 5，c＝ 7－ 6，则 a，b，c 的大小顺序
是( ) A．a>b>c
B．b>c>a
C．c>a>b D．a>c>b
答案 A
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
第十六页，编辑于星期日：点 二十一分。
探究 2 分析法的应用 例 2 设 a，b 为实数，求证： a2＋b2≥ 22(a＋b)．
[证明] (1)当 a＋b≤0 时，∵ a2＋b2≥0， ∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)． (2)当 a＋b>0 时，用分析法证明如下： 要证 a2＋b2≥ 22(a＋b)，
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
第十九页，编辑于星期日：点 二十一分。
【跟踪训练 2】 在锐角三角形 ABC 中，用分析法证明：tanA·tanB＞1.
证明 要证明 tanA·tanB＞1，只需证明csoinsAA··csionsBB＞1. 因为 A，B 为锐角，所以 cosA＞0，cosB＞0. 只需证明 cosA·cosB＜sinA·sinB，只需证明 cosA·cosB－sinA·sinB＜0，即 cos(A＋B)＜0. 因为 C 为锐角，且 A＋B＝π－C，所以 A＋B 为钝角， 所以 cos(A＋B)＜0 成立，所以 tanA·tanB＞1.
2019-2020学年数学选修2-2人教A版课件：第2章 推理与证明 2.3
新课标导学
数学
选修2-2 ·人教A版
第一页，编辑于星期六：二十三点 五十七分。
第二章
推理与证明
第二页，编辑于星期六：二十三点 五十七分。
2ห้องสมุดไป่ตู้2 直接证明与间接证明
2.3 数学归纳法
第三页，编辑于星期六：二十三点 五十七分。
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
第四页，编辑于星期六：二十三点 五十七分。
第二十六页，编辑于星期六：二十三点 五十七 分。
〔跟踪练习3〕 求证：当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除． [证明] (1)显然，当n＝1时，命题成立，即x1＋y1能被x＋y整除． (2)假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，即(x＋y)能整除x2k－1＋y2k－1，则当n ＝2k＋1时， x2k＋1＋y2k＋1＝x2x2k－1＋x2y2k－1－x2y2k－1＋y2y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)－(x＋y)(x －y)y2k－1， ∵x＋y能整除(x2k－1＋y2k－1)， 又x＋y能整除(x＋y)(x－y)y2k－1，∴(x＋y)能整除x2k＋1＋y2k＋1. 由(1)、(2)可知当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除．
由(1)(2)可得，对于任意的n∈N*等式都成立．
第十七页，编辑于星期六：二十三点 五十七分。
命题方向2 ⇨用数学归纳法证明不等式 典例 2 用数学归纳法证明：1＋212＋312＋…＋n12<2－1n(n≥2)．
[思路分析] 按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应 用放缩技巧，使问题简单化．
第二十四页，编辑于星期六：二十三点 五十七 分。
『规律总结』 用数学归纳法证明整除问题时，首先从要证的式子中拼凑出 假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除．其中的关键是“凑 项”，可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分析出因子，从而利用归纳假 设使问题得到解决．
数学
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第二章
推理与证明
第二页，编辑于星期六：二十三点 五十七分。
2ห้องสมุดไป่ตู้2 直接证明与间接证明
2.3 数学归纳法
第三页，编辑于星期六：二十三点 五十七分。
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
第四页，编辑于星期六：二十三点 五十七分。
第二十六页，编辑于星期六：二十三点 五十七 分。
〔跟踪练习3〕 求证：当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除． [证明] (1)显然，当n＝1时，命题成立，即x1＋y1能被x＋y整除． (2)假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，即(x＋y)能整除x2k－1＋y2k－1，则当n ＝2k＋1时， x2k＋1＋y2k＋1＝x2x2k－1＋x2y2k－1－x2y2k－1＋y2y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)－(x＋y)(x －y)y2k－1， ∵x＋y能整除(x2k－1＋y2k－1)， 又x＋y能整除(x＋y)(x－y)y2k－1，∴(x＋y)能整除x2k＋1＋y2k＋1. 由(1)、(2)可知当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除．
由(1)(2)可得，对于任意的n∈N*等式都成立．
第十七页，编辑于星期六：二十三点 五十七分。
命题方向2 ⇨用数学归纳法证明不等式 典例 2 用数学归纳法证明：1＋212＋312＋…＋n12<2－1n(n≥2)．
[思路分析] 按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应 用放缩技巧，使问题简单化．
第二十四页，编辑于星期六：二十三点 五十七 分。
『规律总结』 用数学归纳法证明整除问题时，首先从要证的式子中拼凑出 假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除．其中的关键是“凑 项”，可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分析出因子，从而利用归纳假 设使问题得到解决．
2019-2020学年数学选修2-2人教A版课件：第2章 推理与证明 2.2.1
第十页，编辑于星期六：二十三点 五十七分。
2．(2019·桃城区校级期中)下列表述：
①综合法是由因导果法；
②综合法是顺推法；
③分析法是执果索因法；
④分析法是间接证明法；
⑤分析法是逆推法．
其中正确的语句是( C ) A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
第十一页，编辑于星期六：二十三点 五十七分。
[解析] 根据综合法的定义可得，综合法是执因导果法，是顺推法，故①② 正确．
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数学
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第二章 推理与证明
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2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法与分析法
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1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
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第二十五页，编辑于星期六：二十三点 五十七 分。
命题方向3 ⇨分析法证明不等式
典例 3 (1)要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( D ) A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－a4＋2 b4≤0 C．a＋2 b2－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0 (2)(2019·郑州高二检测)已知非零向量 a⊥b，证明：|a|a|＋－|bb||≤ 2.
第二十六页，编辑于星期六：二十三点 五十七 分。
[解析] (1)∵a2＋b2－1－a2b2＝(a2－a2b2)＋(b2－1) ＝a2(1－b2)＋(b2－1)＝(a2－1)(1－b2)＝－(a2－1)(b2－1)． ∴要证 a2＋b2－1－a2b2≤0， 只需证－(a2－1)(b2－1)≤0， 即证(a2－1)(b2－1)≥0. (2)∵a⊥b，∴a·b＝0， 要证|a|a|＋ －|bb||≤ 2.
2．(2019·桃城区校级期中)下列表述：
①综合法是由因导果法；
②综合法是顺推法；
③分析法是执果索因法；
④分析法是间接证明法；
⑤分析法是逆推法．
其中正确的语句是( C ) A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
第十一页，编辑于星期六：二十三点 五十七分。
[解析] 根据综合法的定义可得，综合法是执因导果法，是顺推法，故①② 正确．
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第二章 推理与证明
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2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法与分析法
第三页，编辑于星期六：二十三点 五十七分。
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
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第二十五页，编辑于星期六：二十三点 五十七 分。
命题方向3 ⇨分析法证明不等式
典例 3 (1)要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( D ) A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－a4＋2 b4≤0 C．a＋2 b2－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0 (2)(2019·郑州高二检测)已知非零向量 a⊥b，证明：|a|a|＋－|bb||≤ 2.
第二十六页，编辑于星期六：二十三点 五十七 分。
[解析] (1)∵a2＋b2－1－a2b2＝(a2－a2b2)＋(b2－1) ＝a2(1－b2)＋(b2－1)＝(a2－1)(1－b2)＝－(a2－1)(b2－1)． ∴要证 a2＋b2－1－a2b2≤0， 只需证－(a2－1)(b2－1)≤0， 即证(a2－1)(b2－1)≥0. (2)∵a⊥b，∴a·b＝0， 要证|a|a|＋ －|bb||≤ 2.
2019-2020学年数学选修2-2人教A版课件：第2章 推理与证明 2.1.2
第七页，编辑于星期六：二十三点 五十六分。
(2)就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程， 但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证 明，更要学会猜想．
第八页，编辑于星期六：二十三点 五十六分。
3．三段论 (1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一_般__原__理___； ②小前提——所研究的特__殊_情__况___； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的_判__断_____. 其一般推理形式为 大前提：M是P. 小前提：S是M. 结 论：__S_是__P___. (2)利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M 的一个子集，那么_____S_中__所__有__元__素__也__都__具__有__性__质__P__________.
②如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意一条
直线都垂直，
大前提
l⊥α，a⊂α，
小前提
所以l⊥a.
结论
③如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它也与另一条垂直，大前
提
a∥b，且l⊥a，
小前提
所以l⊥b.
结论
④如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线和这
个平面垂直，
第二十七页，编辑于星期六：二十三点 五十六 分。
〔跟踪练习 3〕 设 a>0，f(x)＝eax＋eax是 R 上的偶函数． (1)求 a 的值； (2)证明：f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
第二十八页，编辑于星期六：二十三点 五十六 分。
[解析] (1)因为 f(x)是 R 上的偶函数， 所以对一切 x∈R，都有 f(x)＝f(－x)， 即eax＋eax＝ea－x＋ea－x＝a1ex＋aex， 整理得(1a－a)(ex－e1x)＝0 对一切 x∈R 恒成立． 因 ex－e1x不恒为 0，故1a－a＝0，所以 a＝±1. 又 a>0，所以 a＝1.
(2)就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程， 但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证 明，更要学会猜想．
第八页，编辑于星期六：二十三点 五十六分。
3．三段论 (1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一_般__原__理___； ②小前提——所研究的特__殊_情__况___； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的_判__断_____. 其一般推理形式为 大前提：M是P. 小前提：S是M. 结 论：__S_是__P___. (2)利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M 的一个子集，那么_____S_中__所__有__元__素__也__都__具__有__性__质__P__________.
②如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意一条
直线都垂直，
大前提
l⊥α，a⊂α，
小前提
所以l⊥a.
结论
③如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它也与另一条垂直，大前
提
a∥b，且l⊥a，
小前提
所以l⊥b.
结论
④如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线和这
个平面垂直，
第二十七页，编辑于星期六：二十三点 五十六 分。
〔跟踪练习 3〕 设 a>0，f(x)＝eax＋eax是 R 上的偶函数． (1)求 a 的值； (2)证明：f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
第二十八页，编辑于星期六：二十三点 五十六 分。
[解析] (1)因为 f(x)是 R 上的偶函数， 所以对一切 x∈R，都有 f(x)＝f(－x)， 即eax＋eax＝ea－x＋ea－x＝a1ex＋aex， 整理得(1a－a)(ex－e1x)＝0 对一切 x∈R 恒成立． 因 ex－e1x不恒为 0，故1a－a＝0，所以 a＝±1. 又 a>0，所以 a＝1.
2019秋新版高中数学人教A版选修2-2课件：第二章推理与证明2.2.1.1
2 3
2 3
1 1 1 2 2 ∴ ������ + + ������ + + ������ + 9 9 9
2 3 2 3
题型一
题型二
题型三
题型四
1 , ������ 3
������+3 ������+3 ������+3 1 1 1 (2)∵ ������· ≤ 2 , ������· ≤ 2 , ������· ≤ 2 , 当且仅当a= 3 3 3 1 1 = 3 , ������ = 3 时等号成立. ������ ������ ������ 1 1 三式相加,得 + + ≤ (������ + ������ + ������) + = 1, 2 2 3 3 3
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 2】 已知函数 f(x)=log2(x+2),a,b,c 是两两不相等的 正数,且 a,b,c 成等比数列,试证明 f(a)+f(c)>2f(b). 证明:因为 a,b,c 是不相等的正数, 所以 a+c>2 ������������ . 因为 b2=ac,所以 ac+2(a+c)>b2+4b, 即 ac+2(a+c)+4>b2+4b+4, 从而(a+2)(c+2)>(b+2)2. 因为 y=log2x 在定义域内是增函数, 所以 log2[(a+2)(c+2)]>log2(b+2)2, 即 log2(a+2)+log2(c+2)>2log2(b+2). 故 f(a)+f(c)>2f(b).
2019秋新版高中数学人教A版选修2-2课件：第二章推理与证明2.2.2
������-������ . ������+ ������
因为 a,b 为有理数,且 ������ + ������为有理数,
������-������ 为有理数,即 ������+ ������
������ − ������为有理数.
所以( ������ + ������) + ( ������ − ������)为有理数,即 2 ������为有理数. 从而 ������也应为有理数,这与已知 ������为无理数矛盾. 所以 ������ + ������一定是无理数.
-18-
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-21-
-22-
-23-
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-25-
-26-
题型一
题型二
题型三
题型四
结论词
至少有 一个
至多有 一个
至少有 n个 至多有 (n-1)个
至多有 n个 至少有 (n+1)个
反设词
一个也 至少有 没有(不 两个 存在) 只有一个 对所有 x 成立
结论词 反设词 结论词 反设词
-14-
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 1】 已知函数 f(x)=a
x
������-2 + ������+1 (������
> 1).
用反证法证明方程������(������) = 0 没有负数根. 证法一:假设存在 x0<0(x0≠-1)满足 f(x0)=0, 则������ ������ 0 = − ������ 0+1 , 且0< ������ ������ 0 < 1, 所以 0<−
因为 a,b 为有理数,且 ������ + ������为有理数,
������-������ 为有理数,即 ������+ ������
������ − ������为有理数.
所以( ������ + ������) + ( ������ − ������)为有理数,即 2 ������为有理数. 从而 ������也应为有理数,这与已知 ������为无理数矛盾. 所以 ������ + ������一定是无理数.
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题型一
题型二
题型三
题型四
结论词
至少有 一个
至多有 一个
至少有 n个 至多有 (n-1)个
至多有 n个 至少有 (n+1)个
反设词
一个也 至少有 没有(不 两个 存在) 只有一个 对所有 x 成立
结论词 反设词 结论词 反设词
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题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 1】 已知函数 f(x)=a
x
������-2 + ������+1 (������
> 1).
用反证法证明方程������(������) = 0 没有负数根. 证法一:假设存在 x0<0(x0≠-1)满足 f(x0)=0, 则������ ������ 0 = − ������ 0+1 , 且0< ������ ������ 0 < 1, 所以 0<−
2019-2020学年高中数学选修2-2人教A版课件：第2章 推理与证明 2.1 2.1.2
解：(1)因为一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形 是直角三角形，大前提
△ABC 三边的长依次为 3,4,5，而 32＋42＝52，小前提 所以△ABC 是直角三角形．结论 (2)因为三角函数是周期函数，大前提 y＝sin x(x∈R)是三角函数，小前提 所以 y＝sin x(x∈R)是周期函数．结论
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题型二 判断演绎推理的正确性
某西方国家流传这样一个笑话：“鹅吃白菜，参议
员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”．结论显然是错误的，
这是因为( )
A．大前提错误
D.非以上错误
【思路探索】 找出大前提、小前提及推理形式逐一判断．
【解析】 本题的推理形式不符合三段论推理的形式，三 段论的推理形式应为 M 是 P，S 是 M，则 S 是 P，而该题的推理 形式是 M 是 P，S 是 P，则 S 是 M，故选 C.
∵Sn＋an＝2n，①
∴Sn－1＋an－1＝2(n－1)，n≥2，②
由①－②得，2an－an－1＝2，n≥2， ∴2an＝an－1＋2，n≥2， ∴2(an－2)＝an－1－2，n≥2，(小前提) ∵a1－2＝－1，∴数列{an－2}是以－1 为首项，12为公比的 等比数列．(结论)
word部分：
(3)“三段论”的常用格式 大前提：M 是 P. 小前提：S 是 M. 结论：_S_是__P____.
2．演绎推理与合情推理 从推理形式上看，归纳是由部__分__到_整_体__，_特_殊__到一__般__的推 理，类比是由特__殊__到_特_殊__的推理；而演绎推理是由一__般__到_特_殊__
[名 师 点 拨] 用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论 中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊 情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在 联系．在书写时，有时省略小前提，甚至大小前提都省略.
2019-2020数学人教A版选修2-2课件：第二章推理与证明2.3
答案
解析
2．对于不等式 n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学应用数学归纳法的证明过 程如下：
(1)当 n＝1 时， 12＋1<1＋1，不等式成立． (2)假设当 n＝k(k∈N*)时，不等式成立， 即 k2＋k<k＋1， 则当 n＝k＋1 时， k＋12＋k＋1＝ k2＋3k＋2< k2＋3k＋2＋k＋2 ＝ k＋22＝(k＋1)＋1， ∴当 n＝k＋1 时，不等式成立．
答案
左边＝1－21＋31－41＋…＋2k－1 1－21k＋2k＋1 1－2k＋1 2＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋
21k＋
1 2k＋1
－
2k＋1 2＝k＋1 2
＋
1 k＋3
＋…＋
21k＋2k＋1 1
＋
k＋1 1－
1 2k＋2
＝
1 k＋2
＋
k＋1 3＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＝右边．
故当 n＝k＋1 时，命题也成立．
数式表示)． 答案 (1)n2－n＋1 12＋13＋14 (2)2×3n－1
(3)Sk＋2k＋用数学归纳法证明等式问题 例 1 已知 n∈N*，用数学归纳法证明： 1－21＋31－41＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n.
[证明] ①当 n＝1 时，左边＝1－21＝21，右边＝21，命题成立． ②假设当 n＝k(k∈N*，k≥1)时命题成立，即 1－21＋31－41＋…＋2k－1 1－21k＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k. 那么当 n＝k＋1 时，
1 ＋…＋ 3
1＋ k
1 k＋1
<2
k＋
k1＋1＝2
k
k＋1＋1 k＋1
<