二次根式的乘法PPT课件
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《二次根式的乘法》PPT课件
(2) 3 20 ( 15) ( 1 48).
2
3
知2－练
1. 运用二次根式的乘法法则时注意被开方数都必须是非负 数，否则公式不成立．
2. 逆用公式时必须将被开方数(式)进行因数(式)分解，再进 行计算，将开得尽方的因数(式)移到根号外．化简时注意 题目中隐含的条件．
3．把根号外的因式移到根号内的方法：先要根据题意确定根 号外因式的符号，当根号外因式的符号为正时，直接平方 后移到根号内，当根号外因式的符号为负时，只能将正因 式平方后移到根号内，负号留在根号外．
知1－导
知1－讲
1. 法则：一般地，有 a b ab a 0,b 0 . 这就是说，两
个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根．
2. 特别提醒：(1)法则中被开方数a，b既可以是数，也可以是式
子，但都必须是非负的； (2)二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的因数或因式时
一定要开方. (3)二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式； (4)如果没有特别说明，本章中的所有字母都表示正数．
（3）几个二次根式相乘，可利用乘法交换律、结合律使运算简
便．
例1 计算： (1) 7 6;
(2) 1 32. 2
解： (1) 7 6 7 6 42.
(2) 1 32 1 32 16=4.
2
2
知1－讲
知1－讲
例2 计算： 28 7;
6 27 (2 3)；
xy 1 ; y
1 21 11. 2 25
知2－讲
2. 性质的应用：（1）积的算术平方根的性质的实质 是逆用 二次根式的乘法法则，它对两个以上因数（式）的 积的算术平方 根同样适用；
（2）运用此公式化简二次根式时，关键是将被开方数 分解因数（因式），把含有a²形式的a移到根号外面.
二次根式乘法PPT课件
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2020年10月2日
6
初中八年级下册 数的开方
四、学生互动，尝试发现 思考：
等式a • b a•（ b a 0，b0） 反过来写是怎样的呢？
ab a•（ ba0 ， b0 ）
2020年10月2日
7
初中八年级下册 数的开方
五、师生互动，运用新知
例2 化简： (1) 12
练习 (1) 27 (2)32 (3)48
(4)45 (52)7 (67)2
2020年10月2日
8
(1) 925 (3) 202 162
(2)2 24 3
(4) (-4)(-25)
2020年10月2日
9
(2) 4a 3
练习 (1) 16 2ba (28 )3a b2c
(31) 2 5y3 x
2020年10月2日
10
例2. 化简：
（1） 72 52
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
15
(2) 16 9 ______ 169 _________
提问： 2020年10月2日 观察以上计算结果，你能发现什么4 ？
概括：
a b ab
注意：
a、b 必须都是非负数，上式才能成立。
2020年10月2日
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初中八年级下册 数的开方
2020年10月2日
6
初中八年级下册 数的开方
四、学生互动，尝试发现 思考：
等式a • b a•（ b a 0，b0） 反过来写是怎样的呢？
ab a•（ ba0 ， b0 ）
2020年10月2日
7
初中八年级下册 数的开方
五、师生互动，运用新知
例2 化简： (1) 12
练习 (1) 27 (2)32 (3)48
(4)45 (52)7 (67)2
2020年10月2日
8
(1) 925 (3) 202 162
(2)2 24 3
(4) (-4)(-25)
2020年10月2日
9
(2) 4a 3
练习 (1) 16 2ba (28 )3a b2c
(31) 2 5y3 x
2020年10月2日
10
例2. 化简：
（1） 72 52
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
15
(2) 16 9 ______ 169 _________
提问： 2020年10月2日 观察以上计算结果，你能发现什么4 ？
概括：
a b ab
注意：
a、b 必须都是非负数，上式才能成立。
2020年10月2日
5
初中八年级下册 数的开方
二次根式的乘除法PPT课件
二次根式的乘除法PPT 课件contents •二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•乘除混合运算及简化方法•在实际问题中应用举例•错题集锦与答疑环节目录二次根式基本概念与01性质二次根式定义及表示方法定义形如$sqrt{a}$（$a geq0$）的式子叫做二次根式。
表示方法对于非负实数$a$，其算术平方根表示为$sqrt{a}$。
乘法定理$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$bgeq 0$）。
非负性$sqrt{a} geq 0$（$a geq 0$）。
除法定理$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0$，$b > 0$）。
二次根式性质介绍例1解析例3解析例2解析计算$sqrt{8} times sqrt{2}$。
根据乘法定理，$sqrt{8} times sqrt{2} = sqrt{8 times 2} = sqrt{16} = 4$。
计算$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}}$。
根据除法定理，$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}} = sqrt{frac{20}{5}} = sqrt{4} = 2$。
化简$sqrt{18}$。
首先将18进行质因数分解，得到$18 = 2 times 9 = 2 times 3^2$，然后根据二次根式的性质，$sqrt{18} = sqrt{2 times 3^2} = 3sqrt{2}$。
典型例题解析二次根式乘法运算规02则同类二次根式乘法法则两个同类二次根式相乘，把他们的系数相乘，根式部分不变，再根据根式的乘法法则，化简得到结果。
如：√a ×√a = a (a≥0)同类二次根式相乘，结果仍为同类二次根式。
不同类二次根式乘法法则两个不同类二次根式相乘，先把他们的系数相乘，再根据乘法公式展开，化简得到结果。
二次根式的乘法-PPT课件
7
12．已知 m＝(－ 33)×(－2 21)，则有( A ) A．5＜m＜6 B．4＜m＜5 C．－5＜m＜－4 D．－6＜m＜－5 13．将式子(a－1) 1－1 a中根号外的式子移入根号内的正确结果是 (C ) A. 1－a B. a－1 C．－ 1－a D．－ a－1
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
(3) 12m3n2(m＞0，n＞0)． 解：2mn 3m
6
9．若 x· x－3＝ x（x－3），则 x 应满足的条件是( D ) A．x≥0 B．x≤0 C．0≤x≤3 D．x≥3 10．若 24· a的值是一个整数，则正整数 a 的最小值是( D ) A．1 B．2 C．3 D．6 11．设 2＝a， 3＝b，用含 a，b 的式子表示 54，下列表示正确的 是( B ) A．4ab B．3ab C．9ab D．10ab
第1课时 二次根式的乘法
1
知识点 1：二次根式的乘法法则 1．计算 8× 2的结果是( B ) A. 10 B．4 C. 6 D．2 2．下列各等式成立的是( D ) A．4 5×2 5＝8 5 B．5 3×4 2＝20 5 C．4 3×3 2＝7 5 D．5 2×4 3＝20 6 3．计算 8× 12＋( 2)0 的结果为( C ) A．2＋ 2 B. 2＋1 C．3 D．5
2
4．(例题 1 变式)计算：
(1) 2× 32； (2) 5× 290；
解：(1)8
3 (2)2
(3)3 2×2 7；
(4)9 xy·
1 y.
解：(3)6 14 (4)9 x
3
知识点 2：积的算术平方根 5．下列各式正确的是( D )
A. （－4）×（－9）＝ －4× －9
B.
12．已知 m＝(－ 33)×(－2 21)，则有( A ) A．5＜m＜6 B．4＜m＜5 C．－5＜m＜－4 D．－6＜m＜－5 13．将式子(a－1) 1－1 a中根号外的式子移入根号内的正确结果是 (C ) A. 1－a B. a－1 C．－ 1－a D．－ a－1
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
(3) 12m3n2(m＞0，n＞0)． 解：2mn 3m
6
9．若 x· x－3＝ x（x－3），则 x 应满足的条件是( D ) A．x≥0 B．x≤0 C．0≤x≤3 D．x≥3 10．若 24· a的值是一个整数，则正整数 a 的最小值是( D ) A．1 B．2 C．3 D．6 11．设 2＝a， 3＝b，用含 a，b 的式子表示 54，下列表示正确的 是( B ) A．4ab B．3ab C．9ab D．10ab
第1课时 二次根式的乘法
1
知识点 1：二次根式的乘法法则 1．计算 8× 2的结果是( B ) A. 10 B．4 C. 6 D．2 2．下列各等式成立的是( D ) A．4 5×2 5＝8 5 B．5 3×4 2＝20 5 C．4 3×3 2＝7 5 D．5 2×4 3＝20 6 3．计算 8× 12＋( 2)0 的结果为( C ) A．2＋ 2 B. 2＋1 C．3 D．5
2
4．(例题 1 变式)计算：
(1) 2× 32； (2) 5× 290；
解：(1)8
3 (2)2
(3)3 2×2 7；
(4)9 xy·
1 y.
解：(3)6 14 (4)9 x
3
知识点 2：积的算术平方根 5．下列各式正确的是( D )
A. （－4）×（－9）＝ －4× －9
B.
人教版八年级数学下册 16.2 二次根式的乘法 课件(共16张ppt)
中a和b必须是非负数.
(1) 144 169;
(2) 1 2a 8a3 . 4
解： (1) 144 169= 144 169
12 13 156;
(2) 1 2a 8a3 1 2a 8a3
4
4
1 16a 4 1 4a 2 a 2 .
4
4
四、拓展
1.课堂小结
一、本节课的主要内容是什么？
（一）二次根式的乘法法则： a b aba 0，b 0.
（二）积的算术平方根的性质：
ab a b .
（三）化简二次根式的步骤：
1.将被开方数尽可能分解成完全平方数.
2.平方项用公式 a2 aa 0移出根号外.
（1）
14
7；（2） 3 5 2 10；（3）
3x
1 3
xy
.
解：（1）
14
7 14 7 7 2；
72 2 72 2
二次根式相乘，被开 方数的积中有开得尽 方的要移出根号外.
二、探究
（2）3 5 2 10 3 2 510 6 52 2
三、检测
1.化简：1 2 5
2 3 12
3 2 xy 1 4 288 1
x
72
2.化简:
（1） 49121 （2）
225
（3） 4 y
（4）
16ab2c3
3.已知一个矩形的长和宽分别
是 10cm和2 2cm，求这个矩
形的面积。
三、检测
4 计算：
易错提醒： ab a b
注意：a,b都必须是非负数.
二、探究
例1 计算：
（1） 3 5 ；
(1) 144 169;
(2) 1 2a 8a3 . 4
解： (1) 144 169= 144 169
12 13 156;
(2) 1 2a 8a3 1 2a 8a3
4
4
1 16a 4 1 4a 2 a 2 .
4
4
四、拓展
1.课堂小结
一、本节课的主要内容是什么？
（一）二次根式的乘法法则： a b aba 0，b 0.
（二）积的算术平方根的性质：
ab a b .
（三）化简二次根式的步骤：
1.将被开方数尽可能分解成完全平方数.
2.平方项用公式 a2 aa 0移出根号外.
（1）
14
7；（2） 3 5 2 10；（3）
3x
1 3
xy
.
解：（1）
14
7 14 7 7 2；
72 2 72 2
二次根式相乘，被开 方数的积中有开得尽 方的要移出根号外.
二、探究
（2）3 5 2 10 3 2 510 6 52 2
三、检测
1.化简：1 2 5
2 3 12
3 2 xy 1 4 288 1
x
72
2.化简:
（1） 49121 （2）
225
（3） 4 y
（4）
16ab2c3
3.已知一个矩形的长和宽分别
是 10cm和2 2cm，求这个矩
形的面积。
三、检测
4 计算：
易错提醒： ab a b
注意：a,b都必须是非负数.
二、探究
例1 计算：
（1） 3 5 ；
二次根式的乘法PPT优选课件
答：AB长26cm.
练习：
1.化简： （口答）
（1） 49121
（2） 225
（3） 18
（4） 4 y
2.化简： （演板）
（1） 27 15 （3） 3x3
（2） 8m 2n2 （4） 16 ab2c3
3.已知一个直角三角形的斜边c=21， 一条直角边b=4.求另一条直角边a.
1.本节课学习了积的算术平方根。
思考：
49 36 6 4 9 236
即 4 94 9
ab
ab a• b
ab a• b
积的算术平方根, 等于积中各因式的算术平方根.
a、b必须都是非负数！
ab a• b(a0,b0)
例 1化 . 简： （ 1） 16 8； 1 （ 2）2000
解 :(11 ) 6 81 16 81
4936 (2) 2000 102225
120 225
102 520 5
想一想？
( 4 ) ( 9 )( 4 )( 9 ) 成立吗？为什么？
ab a• b(a0 ,b0 )
(4)(9)
366
非 负
数
例2. 化简： （1） 4a2b3
（2） x4x2y2
解 :(1) 4a2b3 22a2b2b
22 a2 b2 b2abb
(2) x4x2y2 x2(x2y2)
x2 x2y2 x x2y2
例3：如图，在ABC中，<C=90°,
A
AC=10cm, BC=24cm. 求：AB.
解:
B
C
A2B A2C B2C
AB A2 C B2 C
2 13
12 022 4 676 2 2
2 2123 2 1 3 2(c 6)m
练习：
1.化简： （口答）
（1） 49121
（2） 225
（3） 18
（4） 4 y
2.化简： （演板）
（1） 27 15 （3） 3x3
（2） 8m 2n2 （4） 16 ab2c3
3.已知一个直角三角形的斜边c=21， 一条直角边b=4.求另一条直角边a.
1.本节课学习了积的算术平方根。
思考：
49 36 6 4 9 236
即 4 94 9
ab
ab a• b
ab a• b
积的算术平方根, 等于积中各因式的算术平方根.
a、b必须都是非负数！
ab a• b(a0,b0)
例 1化 . 简： （ 1） 16 8； 1 （ 2）2000
解 :(11 ) 6 81 16 81
4936 (2) 2000 102225
120 225
102 520 5
想一想？
( 4 ) ( 9 )( 4 )( 9 ) 成立吗？为什么？
ab a• b(a0 ,b0 )
(4)(9)
366
非 负
数
例2. 化简： （1） 4a2b3
（2） x4x2y2
解 :(1) 4a2b3 22a2b2b
22 a2 b2 b2abb
(2) x4x2y2 x2(x2y2)
x2 x2y2 x x2y2
例3：如图，在ABC中，<C=90°,
A
AC=10cm, BC=24cm. 求：AB.
解:
B
C
A2B A2C B2C
AB A2 C B2 C
2 13
12 022 4 676 2 2
2 2123 2 1 3 2(c 6)m
21.2.1《二次根式的乘法》ppt课件
(1) 7
6(2)
1 2
32
解： （） 7 6 6 7 42
1 1 （2） 5 ；
1 （4） 27. 3
解：（3） 3 5 = 3 5 = 15
1 1 （4） 27 = 27 = 9 =3 3 3
3
2
(3) 12x y
5
3
课堂小结
通过本节课的学习，对本章的知识你
有哪些新的认识和体会？ 获得哪些解决二次根式问题的方法？ 你还有哪些问题？请与同伴交流。
我们全都要从前辈和同辈学习到一些 东西。就连最大的天才，如果想单凭他 所特有的内在自我去对付一切，他也决 不会有多大成就。 —— 歌德
进入新课
计算
4 9 4 25 16 9
= = =
49 4 25 16 9
问:从上面的计算你发现了什么规律？如何 用a，b表示？成立的条件是什么?
a b a b (a 0, b 0)
二次根式乘法法则:
两个算术平方根的积，等于它 们被开方数的积的算术平方根.
例题1：计算
将前面的乘法公式反过来就可以得到
ab a b (a 0, b 0)
积的算术平方根:
积的算术平方根，等于各因式算术 平方根的积。
利用这个性质 可以进行二次 根式的化简
例1 化简 12 ，使被开方数不含完全平方的 因数。
解： 12= 22 3 = 22 3 =2 3
二次根式的乘法、积的算术平方根
课前检测
1.计算： ( 1 )( 7 )2 ( 3 ) 121 ;( 2 )( 5 )2 . ; ;
;( 4 ) ( 3 )2
2
二次根式乘法课件pptx
二次根式乘法在不等式证明和求 解中发挥着重要作用，可以通过 根式运算将不等式转化为更易处
理的形式。
利用二次根式的性质，可以对不 等式进行放缩和变形，从而得到 不等式的解集或证明不等式成立。
在处理含有根号的不等式时，二 次根式乘法可以帮助消去根号，
使问题得以简化。
在三角函数中应用
二次根式乘法在三角函数化简和计算中具有重要意义，可以通过根式运 算将复杂的三角函数表达式化简为更简单的形式。
公式法
熟记二次根式的乘法公式，如 $(sqrt{a} + sqrt{b})(sqrt{a} -
sqrt{b}) = a - b$。
根据题目特点，选择合适的公式 进行运算。
注意公式的适用条件，确保运算 正确。
分组法
将二次根式中的各项按照一定规则进 行分组。
将各组中间结果进行合并，得到最终 结果。
对每一组进行单独的运算，得到中间 结果。
解析
首先化简二次根式，√12 = 2√3，√48 = 4√3。然后进 行乘法运算和加法运算，2√3 * √3 + 4√3 = 6√3 + 4√3 = 10√3。
02
二次根式乘法运算技巧
提取公因式法
观察二次根式中的各 项，找出公因式。
注意公因式的提取要 彻底，确保剩余部分 不能再提取公因式。
提取公因式，将剩余 的项进行化简。
根式的运算与化简。
勾股数组
满足勾股定理的整数数组称为勾 股数组。通过二次根式乘法可以
验证或构造勾股数组。
逆勾股定理问题
已知三角形的三边长度，判断其 是否为直角三角形。通过二次根 式乘法可以验证或求解此类问题。
典型例题解析
例题1
已知矩形的长和宽分别为$sqrt{8}$和 $sqrt{18}$，求矩形的面积。
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11.2 二次根式的乘法
一、复习提问： 1.什么叫二次根式？
式子 a叫做二次根式。
2.说出下列式子中字母或符号的意义。
a
被开方数
二次根号
教学目的：
1.会利用积的算术平方根的性质, 化 简二次根式。
2.会进行简单的二次根式的乘法运算。
重点：
化简二次根式。
难点：
进行简单的二次根式的乘法运算。
思考：
答：AB长26cm.
练习：
1.化简： （口答）
（1） 49 121
（2） 225
（3） 18
（4） 4 y
2.化简： （演板）
（1） 27 15 （3） 3 x 3
（2） 8 m 2 n 2 （4） 16 ab 2 c 3
3.已知一个直角三角形的斜边c=21， 一条直角边b=4.求另一条直角边a.
102 22 5
102 5 20 5
想一想？
( 4)( 9)( 4)( 9) 成立吗？为什么？
ab a• b (a0,b0)
(4) (9)
36 6
非 负
数
例2. 化简： （1） 4a2b3
（2） x4 x2y2
解:(1) 4a2b3 22a2b2b
22 a2 b2 b2ab b
(2) x4 x2y2 x2(x2 y2)
x2 x2y2 x x2 y2
例3：如图，在ABC中，<C=90°,
A
AC=10cm, BC=24cm. 求：AB.
解:
B
C
A2B A2 C B2 C
AB AC 2BC 2
2 13
102242 676 2 2
2212321 32(6 cm )
1.本节课学习了积的算术平方根。
ab a• b (a0,b0)
2.会利用积的算术平方根 的性质,化简二次根式。
3.会进行简单的二次根式 的乘法运算。
必做题： 173页 2. 3. 4
选做题: 174页 B组 1.
2020
演讲完毕 谢谢观看
4 9 36 6 4 9 23 6
即49 4 9
ab
ab a• b
ab a• b
积的算术平方根, 等于积中各因式的算术平方根.
a、b必须都是非负数！
ab a• b (a0,b0)
例1化 . 简： （1）1681；（ 2）2000
解:(1)1681 16 81
4936 (2) 2000 102225
一、复习提问： 1.什么叫二次根式？
式子 a叫做二次根式。
2.说出下列式子中字母或符号的意义。
a
被开方数
二次根号
教学目的：
1.会利用积的算术平方根的性质, 化 简二次根式。
2.会进行简单的二次根式的乘法运算。
重点：
化简二次根式。
难点：
进行简单的二次根式的乘法运算。
思考：
答：AB长26cm.
练习：
1.化简： （口答）
（1） 49 121
（2） 225
（3） 18
（4） 4 y
2.化简： （演板）
（1） 27 15 （3） 3 x 3
（2） 8 m 2 n 2 （4） 16 ab 2 c 3
3.已知一个直角三角形的斜边c=21， 一条直角边b=4.求另一条直角边a.
102 22 5
102 5 20 5
想一想？
( 4)( 9)( 4)( 9) 成立吗？为什么？
ab a• b (a0,b0)
(4) (9)
36 6
非 负
数
例2. 化简： （1） 4a2b3
（2） x4 x2y2
解:(1) 4a2b3 22a2b2b
22 a2 b2 b2ab b
(2) x4 x2y2 x2(x2 y2)
x2 x2y2 x x2 y2
例3：如图，在ABC中，<C=90°,
A
AC=10cm, BC=24cm. 求：AB.
解:
B
C
A2B A2 C B2 C
AB AC 2BC 2
2 13
102242 676 2 2
2212321 32(6 cm )
1.本节课学习了积的算术平方根。
ab a• b (a0,b0)
2.会利用积的算术平方根 的性质,化简二次根式。
3.会进行简单的二次根式 的乘法运算。
必做题： 173页 2. 3. 4
选做题: 174页 B组 1.
2020
演讲完毕 谢谢观看
4 9 36 6 4 9 23 6
即49 4 9
ab
ab a• b
ab a• b
积的算术平方根, 等于积中各因式的算术平方根.
a、b必须都是非负数！
ab a• b (a0,b0)
例1化 . 简： （1）1681；（ 2）2000
解:(1)1681 16 81
4936 (2) 2000 102225