二次根式的乘法
二次根式的乘法课件
二次根式的乘法法则
二次根式的乘法法则
两个二次根式相乘，等于被开方数相 乘再开方，根指数不变。
公式表示
$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}(a \geq 0, b \geq 0)$
举例
$\sqrt{3} \times \sqrt{4} = \sqrt{3 \times 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
03
二次根式乘法的应用
代数式的化简
总结词
利用二次根式乘法可以简化复杂的代数式。
详细描述
二次根式乘法是数学中常见的运算方法，通过将二次根式相乘，可以将复杂的 代数式转化为更简单的形式，有助于数学问题的解决。
04
练习与巩固
二次根式乘法的运算规则与实例
总结
二次根式乘法的运算规则是将被开方数相乘，然后化为最简 二次根式。
例子
$\sqrt{16} \times \sqrt{9} = \sqrt{16 \times 9} = \sqrt{144} = 12$
简化二次根式的练习
总结
简化二次根式的方法是将被开方数中能开方的因数开方，然后将被开方数相乘，最后化简为最简二次 根式。
二次根式乘法的运算顺序
先算乘方，再算乘除 ，最后算加减；
运算顺序可以总结为 “先指数，后乘除， 最后加减”。
有括号时先算小括号 里面的运算；
02
二次根式乘法的技巧
合并同类二次根式
总结词
合并同类二次根式，简化计算
详细描述
对于多个二次根式相乘，首先观察它们是否有相同的被开方数，如 果有，可以将它们合并，使计算更加简便。
《二次根式的乘法》教学设计
《二次根式的乘法》教学设计学习者分析九年级学生刚学完二次根式的概念及性质，通过本节课的学习，引导学生明确积的算术平方根的意义，加深对非负数a的算术平方根的认识。
教学目标一、情感态度与价值观1.培养学生精确计算和化简的严谨的科学精神。
2.开展学生观察、分析、发觉问题的能力。
二、过程与方法1.提出问题：问学生“二次根式有哪些性质？〞学生答复。
2.引导学生分析二次根式的性质，得出结论：二次根式可以进行平方运算。
3.提问学生：二次根式是否可以进行乘除等计算和化简？4.引出二次根式的乘法。
5.例举实例，让学生观察二次根式的乘法，学生发觉规律。
6.分析前面二次根式的计算和化简结果，总结出共同点，得出概念。
7.利用概念对相同的二次根式进行合并，得到对二次根式计算和化简的目的。
三、知识与技能1.二次根式的乘法法则，二次根式的乘法运算和二次根式的化简。
2.通过比拟，猜测论证二次根式的乘法运算法则，通过计算和化简掌握二次根式的乘法运算法则。
3.通过二次的计算和化简，培养学生对根式的运算兴趣，并掌握计算的技巧。
教学重点、难点1.二次根式的乘法运算和化简。
0,0)a b=≥≥0,0)a b≥≥的运用。
教学资源2.上课环境为黑板、多媒体大屏幕等环境。
《二次根式的乘法》教学活动过程描述教学活动1[创设情境导入新课]〔一〕创设情境，导入新课：二次根式有哪些性质？完成以下填空：0)a≥是一个数。
②2=(0)a≥=(0)a≥学生观察：学生举手答复……得到：二次根式可以进行平方运算。
提问：二次根式能否进行其他运算？比方：加减运算，乘除运算等等。
学生答复：（2）.教师例举:,的长方形,这个长方形的面积是多少?叫学生到黑板上做,面积=长⨯宽=从而引出二次根式的乘法..教学活动2[举例让学生从中发觉规律，导出公式] 〔二〕问题启发，合作探究二次根式的乘法:(1).使用多媒体课件打出第一张幻灯片:屏幕上显示学生观察:教师提问:你们能发觉什么规律?学生答复:用你们发觉的规律用计算器验算,=(0,0)a b≥≥,教师总结:一般地,0,0) a b≥≥提问:你们发觉什么了?(2).使用多媒体课件打出第二张幻灯片:屏幕上显示反之也成立注:积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积〔备注：被开方的a,b必须是非负数才有意义)(3).使用多媒体课件打出第三张幻灯片:屏幕上显示①这就是二次根式的乘法法则，两个二次根式相乘，结果仍是二次根式。
二次根式 的乘法
3x 15x
a 3ab
b3 a3
a
b
2 xy 1 x
a b ab;(a 0,b0) ab a b;(a 0,b0)
例2：化简
(1). 12 (2). 4a3 (3). a4b
(1). 8; (2). 18; (3). a3
小结
（1）乘法法则：
a b ab;(a 0,b0)
解：(5)原式 12 48 12 316 48 3 (6)原式 48a2b4 3 (4ab2 )2 4 ab2 3
解： a 3 2,b 3 2 ab ( 3 2)( 3 2) 1 a b 2 3,a b 2 2 a3b ab3 ab(a2 b2 ) ab(a b)(a b) 2 32 2 4 6
解：(1)原式 9 2 9 2 6
3
3
(2)a 0
2a 4a2
原式 4a2 1 4a2 1 2a
2a
2a
解：由题意得， x 4 0, x 4 0 等式成立的条件是 x 4
解：（1）原式 49 121 49 121 711 77
1.计 算：(1)( 7 )2 ;(2)( 5)2 ;
(3) 121 ;(4) (3)2 . 2.当x 3时,化简: ( x 3)2 ; 3.当x 时, 1 x有意义; 4.当x 时, 2 有意义.
3 x
计算
4 9
1,计算
6
60
6
=
20
60
= =
二次根式的乘法法则：两个二次根式的积等于被开方数之积的算术平方根 积的算术平方根的性质：两非负数之积的算术平方根等于各自算术平方根之积
二次根式的乘法运算法则
二次根式的乘法运算法则在数学领域中，二次根式乘法运算法则被认为十分重要。
它能够帮助数学家们在进行数学运算时以最简洁而快速的方式实施任务。
本文旨在介绍二次根式乘法运算法则的原理和应用方法，并讨论它在日常学习和数学研究中的重要性。
首先，让我们介绍一下什么是二次根式乘法运算法则。
二次根式乘法运算法则是定义在二次根式上的一种运算法则，其定义如下：如果一个二次根式中有两个或两个以上的根式因子，可以将其分割成若干分“子”根式，每个子根式中只有一个根式因子，并且其乘积等于原式本身，则称为二次根式乘法运算法则。
接下来，我们来看看二次根式乘法运算法则的具体应用。
在实际应用中，二次根式乘法运算法则可以用来简化复杂的根式运算，从而减少计算时间和步骤。
例如，在将一个包含两个根式因子的二次根式乘法运算的过程中，首先可以将其分割成两个子根式，每个子根式中只有一个根式因子，然后对每个子根式求解，得出的结果再相乘即可得到最后的结果，这种方法比直接求解要快得多。
此外，二次根式乘法运算法则在日常学习和数学研究中有着重要意义。
首先，运用这种法则可以有效提升学生们的学习效率。
有了这种法则，学生们可以更快地明白数学问题的结构，尤其对于涉及复杂运算的情况，二次根式乘法运算法则的使用能够有效节省时间，大大提升学习效率。
其次，在数学研究中，运用二次根式乘法运算法则可以帮助数学家们简化复杂的数学公式，从而更好地进行精确的计算，相比于传统的计算方法更加精准有效。
综上所述，二次根式乘法运算法则是数学领域中一种重要的运算法则。
它能够有效简化复杂的数学问题，提升学习效率，进而提高学生在学习数学方面的表现，同时也可以增加数学家们的研究工作效率，开展精确的计算。
二次根式乘法运算法则无疑是一个十分重要的数学运算法则，它既可以帮助学生们更好地掌握数学相关知识，也可以有助于数学家们更好地开展研究工作。
4.2.1 二次根式的乘法
4.2.1 二次根式的乘法
1.进一步加深对积的算术平方根的性质的理解， 1.进一步加深对积的算术平方根的性质的理解，体会它 进一步加深对积的算术平方根的性质的理解 在二次根式乘法中的价值， 在二次根式乘法中的价值，同时进一步掌握二次根式的 化简。 化简。 2.会逆用算术平方根的性质进行二次根式的乘法运算。 2.会逆用算术平方根的性质进行二次根式的乘法运算。 会逆用算术平方根的性质进行二次根式的乘法运算
1.什么叫二次根式？ 1.什么叫二次根式？ 什么叫二次根式
式子 a (a ≥ 0)叫做二次根式。
2.两个基本性质: 2.两个基本性质: 两个基本性质
( a ) =a
2
(a≥ (a≥0) a (a≥ (a≥ 0) (a＜0) (a＜
a 2 =∣a∣ =
-a
计算下列各式, 观察计算结果,你发现什么规律 计算下列各式, 观察计算结果, 1. 4 × 6 9 =____ 6 4×9 = __
将平方项化简. 将平方项化简. 化简
【解析】 解析】
2.（2010·日照中考） (a， 2.（2010·日照中考）如果 (2 + 2)2 = a + b 2 (a，b为 日照中考 有理数) 那么a+b等于( 有理数)，那么a+b等于( a+b等于 (A)2 (B)3 (C)8 ) (D)10
+2× 【解析】选D. (2 + 2)2 = a + b 2 =22+2×2× 2 +( 2 )2 解析】 a=6，b=4， =6+ 4 2 即a=6，b=4，有a+b=10.
ab = a ⋅ b(a ≥ 0,b ≥ 0)
16.2 二次根式的乘除
例 6 计算:(1)-2 15÷3 3×6 5;
(2)
3
·
2
÷
2
1
2
3
;(3)3 2 × -
1
8
15 ÷
1
2
2
.
5
分析(1)利用二次根式的乘除法则计算即可;(2)先根据二次根式
的除法法则计算括号里的,再计算即可;(3)先把乘除法混合运算转
化成乘法运算,再进行乘法运算即可.
22
教材新知精讲
(4)公式里的字母可以是具体的数,也可以是值为非负数的代数
式.
(5)当二次根式前面系数不为 1 时,可以类比单项式与单项式相
乘的法则,先把系数相乘,再把被开方数相乘,即
m ·
n =mn (a≥0,b≥0).
3
教材新知精讲
知识点一
知识点二
知识点三
例 1 计算:(1)
5
×
3
知识点四
知识点五
综合知识拓展
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。17:50:0617:50:0617:509/12/2021 5:50:06 PM
教材新知精讲
综合知识拓展
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.1217:50:0617:50Sep-2112-Sep-21
平方根的性质结合起来使用.商的算术平方根实质是二次根式除法
法则的逆用.
(5)利用商的算术平方根的性质,可以把被开方数的分母是开得尽
方的数的二次根式进行化简.
15
教材新知精讲
知识点一
知识点二
全面剖析二次根式的乘除及化简
全面剖析二次根式的乘除及化简1．二次根式的乘法法则(1)二次根式的乘法法则(性质3)： a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数．(2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点：①要满足a ≥0，b ≥0的条件，因为只有a ，b 都是非负数，公式才能成立． ②从运算顺序看，等号左边是先分别求a ，b 两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a ，b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根．③公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况．④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数．即m a ·n b ＝mn ab (a ≥0，b ≥0)．【例1】计算：(1)0.4×3.6；(2)545×3223.分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法．解：(1)0.4× 3.6＝0.4×3.6＝0.4×0.4×9＝0.4×3＝1.2. (2)545×3223＝5×32×45×23＝152×3×15×23＝15230.2．积的算术平方根的性质 (1)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)．用语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．(2)注意事项：①a≥0，b≥0是公式成立的重要条件．如(－4)×(－9)≠－4·－9，实际上公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可．②公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．(3)利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的．(4)ab＝a·b(a≥0，b≥0)可以推广为abc＝a·b·c(a≥0，b≥0，c≥0)．计算形如(－4)×(－9)的式子时，应先确定符号，原式化为4×9，再化简．【例2】化简：(1)300；(2)21×63；(3)(－50)×(－8)；(4)96a3b6(a＞0，b＞0)．分析：根据积的算术平方根的性质：ab＝a·b(a≥0，b≥0)进行化简．解：(1)300＝102×3＝102×3＝10 3.(2)21×63＝3×7×7×9＝3×72×32＝3×7×3＝21 3.(3)(－50)×(－8)＝50×8＝202＝20.(4)96a3b6＝42·6·a2·a·(b3)2＝4ab36a.3．二次根式的除法法则对于两个二次根式a，b，如果a≥0，b＞0，那么ab＝ab.这就是二次根式的除法法则．(1)二次根式的除法法则：①数学表达式：如果a≥0，b＞0，则有a b ＝ab.②语言叙述：两个二次根式相除，将它们的被开方数(式)相除，二次根号不变．(理解并掌握)(2)在二次根式的除法中，条件a≥0，b＞0与二次根式乘法的条件a≥0，b≥0是有区别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式必须是正数，否则除法法则不成立．知识点拓展：(1)二次根式的除法法则中的a ，b 既可以代表数，也可以代表式子；(2)m a ÷n b ＝m a n b ＝mnab (a ≥0，b ＞0，n ≠0)，即系数与系数相除，被开方数与被开方数相除．点拨：在进行二次根式的除法运算时，应先确定商的符号，然后系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，二次根号不变，但应注意的是当被开方数是带分数时，首先要把带分数化为假分数，再进行计算，并且计算的最终结果一定要化为最简形式，此外当数字与字母相乘时，要把数字放在字母的前面，如－26a 不能写成－2a 6.【例3】如果x x －1＝x x －1成立，那么( )． A ．x ≥0 B ．x ≥1C ．0≤x ≤1D ．以上答案都不对解析：本题考查二次根式的除法法则成立的条件．要求x ≥0，x －1＞0，则x ＞1.故选D.答案：D点拨：(1)逆用二次根式的除法时，一定要满足条件a ≥0，b ＞0.(2)通常去掉分母中的根号有两种方法：一是运用二次根式的性质和除法运算；二是运用二次根式的性质及乘法运算．4．二次根式除法的逆用 通过计算：(1)1625＝(45)2＝45，1625＝45，显然1625＝1625；(2)81121＝(911)2＝911，81121＝911，显然81121＝81121，从而我们可以发现：二次根式的除法法则也可以反过来运用，即如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝ab，也就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．名师归纳：二次根式的除法法则的逆用： (1)数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝ab；(2)语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；(3)逆用二次根式除法法则，可以把二次根式化为最简形式．(理解并掌握) 【例4】把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内． (1)535； (2)－2a 12a ；(3)－a－1a ； (4)xyx (x ＜0，y ＜0)．分析：将根号外的因数(式)移到根号内时，要将根号外的数(式)改写成完全平方的形式作为被开方数(式)，如5＝52，实际上是运用了公式a ＝a 2(a ≥0)．同时，此题还运用了公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．如果根号外有负号，那么负号不能移入根号内，移到根号内的因数(式)必须是正的，但有些字母的取值范围需由隐含条件得出，如(2)，(3)小题．解：(1)535＝52×35＝52×35＝15.(2)∵12a ＞0，∴a ＞0. ∴－2a 12a ＝－(2a )2·12a ＝－(2a )2·12a ＝－2a .(3)∵－1a ＞0，∴a ＜0. ∴－a －1a ＝(－a )2·－1a＝(－a )2·(－1a )＝－a .(4)∵x ＜0，y ＜0， ∴x y x＝－(－x )2y x＝－(－x )2·y x ＝－xy .(1)要将根号外的因数(式)平方后移到根号内，应运用公式a ＝a 2(a ≥0)及a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)；(2)根号外的负号不能移到根号内，如果根号外有字母，那么要判断字母的符号，如果符号是负的，那么负号要留在根号外．5．最简二次根式的概念满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对最简二次根式的理解①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1.【例5】若二次根式－33a ＋b 与2a ＋bb 是最简同类二次根式，求a ，b 的值．分析：最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．解：由题意，得⎩⎨⎧ a ＋b ＝2，3a ＋b ＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝2.所以a ，b 的值分别是0,2.本题考查的是对最简同类二次根式概念的理解．最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．6．二次根式的乘除混合运算 (1)运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的．(2)公式、法则：整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用． (3)运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用．乘法分配律是乘法对加法的分配律，而不是乘法对除法的分配律．在进行二次根式的运算时常见的错误是：①忽略计算公式的条件； ②不注意式子的隐含条件；③除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上； ④误认为形如a 2＋b 2的式子是能开得尽方的二次根式． 【例6】计算下列各题： (1)9145÷(3235)×12223； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )．分析：二次根式的乘除混合运算顺序与有理数的乘除混合运算的顺序相同，按从左到右的顺序进行运算，不同的是在进行二次根式的乘除运算时，二次根式的系数要与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除．解：(1)9145÷(3235)×12223＝(9÷32×12)145÷35×83 ＝(9×23×12)145×53×83＝3881＝322×292＝3×292＝232； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )＝[2ab ·3÷(－12)]a 2b ·a b ÷1a＝－12aba 2b ·a b·a ＝－12ab a 4＝－12ab ·a 2＝－12a 3b .7．二次根式的化简(1)化二次根式为最简二次根式的方法：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来．(2)口诀“一分、二移、三化”“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质因数(或质因式)的幂的积的形式．“二移”即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上．“三化”即化去被开方数的分母．(3)化去分母中的根号①化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式．②下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式．a与a；a＋b与a－b；a＋b与a－b；a b＋c d与a b－c d.③化去分母中的根号时，分母要先化简．(4)在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式．【例7】(1)当ab＜0时，化简ab2，得__________．(2)把代数式x－1x根号外的因式移到根号内，化简的结果为__________．(3)把－x3(x－1)2化成最简二次根式是__________．(4)化简35－2时，甲的解法是：35－2＝3(5＋2)(5－2)(5＋2)＝5＋2，乙的解法是：35－2＝(5＋2)(5－2)5－2＝5＋2，以下判断正确的是()．A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙的解法都正确D．甲、乙的解法都不正确解析：(1)在ab2中，因为ab2≥0，所以ab·b≥0.因为ab＜0，b≠0，所以b＜0，a＞0.原式＝b2·a＝－b a.(2)因为－1x≥0，又由分式的定义x≠0，得x＜0.所以原式＝－(－x)－1x＝－(－x)2(－1x)＝－－x.(3)化简时，需知道x，x－1的符号，而它们的符号可由题目的隐含条件推出．∵(x－1)2＞0(这里不能等于0)，∴－x3≥0，即x≤0,1－x＞0.故原式＝(－x)2·(－x)(1－x)2＝－x1－x－x.(4)甲是将分子和分母同乘以5＋2把分母化为整数，乙是利用3＝(5＋2)(5－2)进行约分，所以二人的解法都是正确的，故选C.答案：(1)－b a(2)－－x(3)－x1－x－x(4)C8．二次根式的乘除法的综合应用利用二次根式的乘除法可解决一些综合题目，如：(1)比较大小比较两数的大小的方法有很多种，通常有作差法、作商法等．对于比较含有二次根式的两个数的大小，一种方法是把根号外的数移到根号内，通过比较被开方数的大小来比较原数的大小；二是将要比较的两个数分别平方，比较它们的平方数．(2)化简求值对于此类题目，不应盲目地把变量的值直接代入原式中，一般地说，应先把原式化简，再代入求值．在化简过程中要注意整个化简过程得以进行的条件，如开平方时注意被开方数为非负数，分式的分母不能为零等．再者，有些二次根式的化简，从形式上看是特别麻烦的，让人一看简直无从下手，但仔细分析又是有一定规律和模式的．(3)探索规律适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用． 如：借助于计算器可以求得 42＋32＝__________， 442＋332＝__________， 4442＋3332＝__________， 4 4442＋3 3332＝__________， ……__________.解析：利用计算器我们可以分别求得42＋32＝25＝5， 442＋332＝ 3 025＝55， 4442＋3332＝308 025＝555， 4 4442＋3 3332 ＝30 858 025＝5 555，2011555个.答案：5 55 555 5 555 2011555个【例8－1】已知9－x x －6＝9－xx －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值．分析：式子a b ＝ab ，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9－x ≥0且x－6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x ＝8.解：由题意，得⎩⎨⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎨⎧x ≤9，x >6.∴6＜x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8. ∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1)＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式的值为4×9＝6. 【例8－2】观察下列各式： 223＝2＋23，338＝3＋38.验证：223＝233＝23－2＋222－1＝2(22－1)＋222－1＝2＋222－1＝2＋23；338＝338＝33－3＋332－1＝3(32－1)＋332－1＝3＋332－1＝3＋38.(1)按照上述两个等式及其验证过程的思路，猜想4415的变形结果并进行验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为任意正整数且n ≥2)表示的等式，并给出证明．分析：本题是利用所学过的根式变形，去发现变形的规律，由于这种变形方法比较陌生，必须认真阅读所提供的素材，即学即用．解：(1)4415＝4＋415. 验证：4415＝4315＝43－4＋442－1＝4(42－1)＋442－1＝4＋442－1＝4＋415.(2)猜想：nnn2－1＝n＋nn2－1(n≥2，n为正整数)．证明：因为nnn2－1＝n3n2－1＝n3－n＋nn2－1＝n(n2－1)＋nn2－1＝n＋nn2－1，所以nnn2－1＝n＋nn2－1.11 / 11。
二次根式的乘除法(含例题)
第十六章 二次根式16.2 二次根式的乘除1．二次根式的乘法法则（1）一般地，二次根式的乘法法则是：__________(00)a b a b =≥≥，．语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数__________．在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a ，b 均为非负数这一条件． 000)a b c abc a b c =≥≥≥，，． ②00)a b c d bd b d =≥≥，，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数；③乘法交换律和结合律以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然可应用． （2）二次根式乘法法则的逆用00)ab a b a b =≥≥，．语言叙述：积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积．公式中的a ，b 可以是数，也可以是代数式，但必须满足a ≥0，b ≥0．实际上，a ≥0，b ≥0是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab ≥0即可．二次根式乘法法则的逆用也称为积的算术平方根，在进行二次根式的乘法运算时，这两个关系经常交替使用． 0000)abcd a b c d a b c d =≥≥≥≥，，，．运用这个性质可以化简二次根式：如果一个二次根式的被开方数有的因数（式）是完全平方数（式），(00)ab a b a b =≥≥，2(0)a a a =≥将这些因数（式）“开方”出来，从而将二次根式化简．利用积的算术平方根的性质化简的步骤：①将被开方数进行因数分解或因式分解；②应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开出来．2．二次根式的除法法则（1）一般地，二次根式的除法法则是：0__________0)a b =≥，． 语言叙述：二次根式相除，把被开方数__________，根指数不变．【注意】①a ≥0，b >0时，式子才成立，若a ，b 都是负数，虽然0a b >在实数范围内无意义；若b =0，a b则号无意义． ②如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数．③二次根式的运算结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式．（2）二次根式除法法则的逆用00)a b =≥>， ★语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．公式中的a ，b 表示的代数式必频满足a ≥0，b >0，a ≥0，b >0是限制公式右边的，对公式的左边，只要0a b≥且0b ≠即可．利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为“（a ≥0，b >0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可． 3．最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（1）被开方数不含__________；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．【拓展】分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化．分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号．分母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜．K知识参考答案：1．ab，不变2．>，相除3．分母K—重点二次根式的乘法和除法；最简二次根式的判断K—难点二次根式的乘法法则和除法法则的逆用K—易错运算顺序错误；忽视隐含条件一、二次根式的乘法1．法则中的a，b表示的代数式都必须是非负的．2．两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方．【例1】下列计算正确的是A．25×35=65B．32×33=36C．42×23=85D．22×63=126【答案】D⨯⨯得【例2】916144A．144 B．±144 C．±12 D．12【答案】A⨯⨯．故选A．916144⨯⨯916144=3412=144二、二次根式的除法1000)a b c ÷=≥>>，，；2．((()m n ÷=÷⋅，其中000a b n ≥>≠，，．【例3】=成立的条件是 A ．a 、b 同号B ．a ≥0，b >0C ．a >0，b >0D ．a >0，b ≥0 【答案】B【解析】由二次根式的非负性可知，a ≥0，b ≥0，由于b 是分母，故b >0．故选B ．【例4】计算A ．B ．23xC ．D x 【答案】C【解析】原式=4×C ． 三、二次根式的乘除混合运算二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用．二次根式乘除混合运算的一般步骤：（1）将算式中的除法转化为乘法；（2）利用乘法运算律将运算转化为系数和被开方数的乘法运算；（3）将系数和被开方数分别相乘；（4）化成最简二次根式．【例5】A B C D ．【答案】A==．故选A．四、最简二次根式判断二次根式是不是最简二次根式的方法：一看：看被开方数中是否含有能开得尽方的因数（或因式），且被开方数中是否含有分母．二化：若被开方数是多项式，能化成因数（或因式）积的形式，要先化成积的形式．三判断：得出结论．【例6】下列根式中，是最简二次根式的是A B C D【答案】C【解析】因为：A=；B=；D||b=，所以这三项都可化简，不是最简二次根式．故选C．。
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化简二次根式的步骤
1.将被开方数尽可能分解成几个平方数.
2.应用 ab a b
3.将平方项应用 a2 a(a0) 化简
. 根式运算的结果中，被开方数应不含能
开得尽方的因数或因式。
课后作业
业：教科书第5页第1，3，5，6，7，10题．
小结
a b ab (a≥0,b≥0)
ab a b（a≥0，b≥0）
用你发现的 规律填空
2 3__=_ 23; 2 5__=_ 25
验证猜想
根据积的乘方法则，有
2
2
2
3 232 3 2
所以
3 2就是 32的算术平方根
即3 2 32
二
次 根
a • b ab (a≥0,b≥0)
式
乘 法
法
则 算术平方根的积等于各个被开方数积的算
术平方根
a、b必须都是非负数！
一块长方形木板的长和宽分别为 3 cm 和 2 cm 求这个长方形
木板的面积？
3 2 ？
创设情境 引入新课
计算下列各式, 观察计算结果,你发现什么规律
思考：
4 9 2x3 =6 49 36 =6
?
16 254x5 =20 16 25 400 =20
4 9 49 16251625
同学们你们发现什么规律了？
例题讲解
计算：
(1) 3 12 (2) x• x3
(3)2 ab•3 b (4 ) 27 1
a
3
练习 计算： （1） 2 32
（2） 1 8 2
（3） 2a 8a(a0)
分析
二次根式的乘法：根式和根式按公 式相乘。
（a≥0，b≥0 manbmn ab ）
根号外的系数与系数相乘，积 为结果的系数。
解:(1)1681 16 81 4936
（2）4a2b3 4• a2• b3
2•a• b2•b
2a b2 b 2ab b
想一想？
( 4)( 9)( 4)( 9)
成立吗？为什么？
ab a b（a≥0，b≥0）
(4)(9)
4 9 366
非 8
（3） 1245 （4） 4a2b3
练习
(1)5 34 2 (2)3 55 2
探究 把 a b ab
反过来，就可以得到:
ab a b（a≥0，b≥0）
利用它可以对二次根式进行化简.
化简二次根式，就要把被开方数 中的平方数（或平方式）从根号里
开出来。
ab a b（a≥0，b≥0）
例.化简： （ 1）1681 ；（ 2）4a2b3;
八年级 下册
16.2.1 二次根式的乘法
复习提问
1.什么样的式子叫二次根式 ？
形如 a(a 0)的式子叫做二次根式。
2.两个基本性质:
2 a =a (a≥ 0)
a 2 =∣a∣=
a (a≥ 0) -a (a＜0)
创设情境 引入新课
我们以前学习过的有理数、整式
、分式的加、减、乘、除运算，你
认为对于二次根式能不 能进行加、减、乘、除运算？