三角变换与解三角形PPT
16三角函数,三角变换,解三角形
16三角函数 三角变换 解三角形角 ： 正角 负角 零角 象限角 轴线角 终边相同的角（α+2k π）(求角在第几象限) 弧度：l=|α|²r任意角的三角函数：sin α cos α tan α cot α sec α csc α※1 sin(α+2k π)=sin α (终边相同的角的三角函数相同)※2 sin 2α+cos 2α=1 (已知sin α-cos α和α的范围，求sin α、cos α) ※3 tan α=sin α/cos α※4 sin(-α)= -sin α cos(-α)=cos α sin(90°-α)=cos α※5 π±α，90°±α角的三角函数(奇变偶不变，符号看象限)※6 三角函数图像和性质（标准三角函数,结合诱导公式进行理解）※7 y=A ²sin(ωx+ϕ)+t 的图像（周期、频率、相位、初相、最值、单调区间）（A ωϕt 对y=sinx 图像的影响）两角和差的三角函数※8 sin （α+β）=sin αcos β+cos αsin β用诱导公式，易得sin （α—β） cos(α±β) tan(α±β)※9 积化和差 sin αcos β=)]sin()[sin(21βαβα-++ 用诱导公式，易得 cos αsin β cos αcos β sin αsin β※10和差化积 sin α+sin β=2sin 2βα+cos 2βα-也可由积化和差演变而来；其他可由诱导公式得出。
※二倍角公式、半角公式反三角函数解三角形 正弦定理：三角形的边长与其对角正弦值的比为定值，等于其外接圆直径的长。
余弦定理：。
第5讲 三角函数、解三解形
1 cos 2 2
2 1 与升幂公式： cos 2 2 cos ,1
1 cos 2 , 2
cos 2 2 sin 2 ).
10.辅助角公式中辅助角的确定： sin x b cos x a
（其中 角所在的角限由a,b的 a 2 b 2 sin( x ) 符号确定， 角的值由 tan b 确定）在求最值、
5 36
线上） = +k (k∈Z). (3)终边与 终边关于x轴对称 =- +2k (k∈Z).
(4) 终边与 终边关于y轴对称= - +2k
(k∈Z).
(5) 终边与 终边关于原点对称 = + +2k (k∈Z). (6) 终边在x轴上的角可表示为 =k ,k∈Z; 终边 在y轴上的角可表示为 k , k∈Z; 终边在 坐标轴上的角可表示为 2. 与
2
2
坐标向左（ >0）或向右( <0)平移||个单位得
y=sin(x+ )的图象；②函数y=sin(x+ )图象的纵 坐标不变,横坐标变为原来的
1
sin( x+ )的图象；③图象y=sin( x+ )图象 的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍,得到函数 y=sin ( x+ )的图象；④函数y=Asin( x+ ) 图象的横坐标不变,纵坐标向上(k>0)或向下(k < 0) 平移|k|个单位得到y=Asin( x+ )+k的图象.要 特别注意，若由y=sin x得到y=sin( x+ )的图 象，则应向左或向右平移 y=sin x的图象？
第2讲 三角恒等变换与解三角形
π 因为 0＜C＜π，所以 C＝ 3 .
返回
(2)由 S△ABC＝12absin C＝ 3，可得 ab＝4. 因为 2a＋b＝6，所以 2a＋4a＝6，解得 a＝1 或 2. 当 a＝1 时，b＝4，由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C，得 c＝ 13，所以△ABC 的周长为 5＋ 13. 当 a＝2 时，b＝2，由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C，得 c＝2，所以△ABC 的周长为 6. 综上，△ABC 的周长为 6 或 5＋ 13.
又 sin(β－α)＝ 1100＞0，所以 β－α∈π2 ，π，
所以 cos(β－α)＝－
1－sin2（β－α）＝－3
10 10 .
返回
所以 cos(α＋β)＝cos2α＋（β－α） ＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)
＝－2 5 5×－3 1010－
55×
1100＝
2 2.
返回
解：(1)∵a＋b－ccos A－ 3asin C＝0，
∴由正弦定理得，sin A＋sin B－sin Ccos A－ 3sin Asin C
＝0.
∵B＝π－(A＋C)，∴sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C，
∴sin A＋sin Acos C＋cos Asin C－sin Ccos A－ 3sin Asin
坡度为 15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地
面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端
三角变换及解三角形45张
利用角度差公式将一个角转换为两个角的差，如$alpha = beta - gamma$，则有$sin(alpha) = sin(beta)cos(gamma) - cos(beta)sin(gamma)$。
倍角公式
将一个角转换为它的两倍，如$alpha = 2beta$，则有 $sin(alpha) = 2sin(beta)cos(beta)$。
正弦函数性质
正弦函数在其定义域内是奇函数，即 $f(-x)=-f(x)$，且在每个周期内，其 值域为$[-1,1]$。
余弦函数的图像和性质
余弦函数图像
余弦函数图像也是一个周期函数，其基 本周期为$2pi$，图像呈现波形。
VS
余弦函数性质
余弦函数在其定义域内是偶函数，即$f(x)=f(x)$，且在每个周期内，其值域为$[1,1]$。
正割与余割的转换
利用三角函数的互割关系，将正
割转换为余割或将余割转换为正
割，如$sec(alpha)
=
csc(frac{pi}{2} - alpha)$。
函数值的变换
半角公式
利用半角公式可以将角度减半，从而 求出相应的三角函数值，如 $sin(frac{alpha}{2}) = pmsqrt{frac{1 - cos(alpha)}{2}}$。
正切函数的是一个奇函数，其基本周期为 $pi$，图像呈现锯齿波形。
正切函数性质
正切函数在其定义域内是奇函数，即$f(x)=-f(x)$，且在每个周期内，其值域为$(infty, +infty)$。
04
CATALOGUE
解三角形
正弦定理
总结词
正弦定理是解三角形的重要工具，它建立了三角形各角正弦值与对应边长之间的关系。
认识三角形三角形PPT优秀课件
三角形稳定性及应用
三角形稳定性
当三角形的三条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小也就唯一确定了，这 种性质叫做三角形的稳定性。
应用
在建筑、桥梁、机械等领域中，常常利用三角形的稳定性来增强结构的稳固性。 例如，在建筑中，常常使用三角形框架来支撑建筑物，以增加其抗震能力。
02
特殊三角形类型及特点
等腰三角形性质与判定
四边形的分类
根据四边形的边长和角度特征，四边形可分为平行四边形 、矩形、菱形、正方形等。
多边形的定义和性质
多边形是由三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的 封闭图形。多边形的内角和为（n-2）×180度，其中n为 多边形的边数。
多边形的对角线
多边形中任意两个不相邻的顶点之间的连线称为多边形的 对角线。n边形的对角线总数为n(n-3)/2条。
定义：两个三角形如果它们的三边及三 角分别相等，则称这两个三角形全等。
全等三角形的面积和周长都相等。 对应角相等。
性质 对应边相等。
相似和全等条件比较
相似之处
01
02
都涉及三角形的角和边的关系。
都有对应的判定定理。
03
04
不同之处
相似仅要求对应角相等，而全等要求对应 边和对应角都相等。
05
06
相似的条件较为宽松，全等的条件更为严 格。
直角三角形中的特殊性质
勾股定理及其逆定理的应用，以及直角三角形的射影定理等。
三角形中的最值问题
通过三角形的性质和判定条件，解决与三角形有关的最值问题，如 最短路径、最大面积等。
拓展延伸：四边形等多边形知识
四边形的定义和性质
四边形是由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连接所组 成的封闭图形。四边形的内角和为360度，且任意三个角 之和大于第四个角。
22第四章 三角函数、解三角形 简单的三角恒等变换 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(2)设 α 为锐角，若 cosα＋π6＝54，则 sin2α＋π3的值为
12 A.25
√24
B.25
C.－2245
解析 因为 α 为锐角，且 cosα＋π6＝54，
D.－1225
所以 sinα＋π6＝ 1－cos2α＋π6＝35，
所以 sin2α＋π3＝sin 2α＋π6 ＝2sinα＋6πcosα＋π6＝2×53×54＝2245，故选 B.
tan α＋tan β
tan(α＋β)＝ 1－tan
αtan
(T(α＋β)) β
2.二倍角公式
sin 2α＝ 2sin αcos α ； cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－＝1
2tan α tan 2α＝ 1－tan2α .
1－2sin2α ；
【概念方法微思考】 1.诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？ 提示 诱导公式可以看成和差公式中 β＝k·π2(k∈Z)时的特殊情形. 2.怎样研究形如f(x)＝asin x＋bcos x函数的性质？ 提示 先根据辅助角公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2·sin(x＋φ)，将 f(x)化成 f(x)
解析
cos2α2
＝ 121＋cos α ＝ 1＋cos α ＝4sin α.
1234567
2
PART TWO
题型分类 深度剖析
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
自主演练
题型一 和差公式的直接应用
1.(2018·石家庄质检)若 sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则 sin 2α 的值为
A.－
2 10
B.
2 10
√C.－7102
D.7102
1-4-11三角变换与解三角形、平面向量
数学（理） 第4页
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考情分析
相关的内容要予以高度重视，它们将是今后高考命题的 热点；同时将解三角形的知识与实际问题结合起来，也 将是今后命题的一个热点，复习时要给予重视．
数学（理） 第5页
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考情分析
2．平面向量在高考中的考查内容主要集中在三个 方面：一是向量的基本概念，二是向量的坐标运算，三 是向量的数量积，其中向量的数量积及其应用是考查的 重点内容．从试题形式上看主要以小题为主，一般为 1～2题，同时平面向量具有几何与代数形式的“双重
数学（理） 第16页
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a· b (3)向量的夹角：cosθ＝cos〈a，b〉＝ |a|· |b| x1x2＋y1y2 ＝ 2 2 2 2. x1＋y1· x2＋y2 → (4)三点共线的充要条件：P，A，B 三点共线⇔OP＝ → → xOA＋yOB(x＋y＝1)．
数学（理） 第17页
数学（理） 第24页
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2sinxcosx＋sinxcosx cosx＋sinx ＝ ＝sin2x· cosx－sinx cosx－sinx
π 4 － 2cos －x 7 5 28 4 ＝sin2x· ＝ × ＝－ . π 25 3 75 ＋x 2cos 5 4
数学（理） 第25页
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π π π [点评] 注意 ＋x， －x,2x 三个角的内在联系， ＋ 4 4 4
π π π π x 与 －x 互余，2x＝ ＋x－ －x， ＋2x＝ 4 4 4 2 π π π 2 ＋x， －2x＝2 －x. 4 2 4
数学（理） 第28页
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第2讲 三角变换与解三角形
第2讲 三角变换与解三角形感悟高考 明确考向(2010·陕西)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？主干知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简．(2)等式的两边同时变形为同一个式子．(3)将式子变形后再证明． 4．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 5．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . 6．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C . 7．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解． 热点分类突破 题型一 三角变换及求值例1(1)已知0<β<π2<α<π，且cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，求cos(α＋β)；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．变式训练1 已知α∈(π2，π)，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值； (2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π2，π)，求cos β的值．题型二正、余弦定理的应用例2 已知△ABC是半径为R的圆内接三角形，且2R(sin2A－sin2C)＝(2a－b)sin B.(1)求角C；(2)试求△ABC的面积S的最大值．变式训练2 (2010·辽宁)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A ＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)·sin C.(1)求A的大小；(2)求sin B＋sin C的最大值．题型三正、余弦定理的实际应用例3 (2009·福建)如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝A sin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？变式训练3 在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A(3－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？规律方法总结1．证明三角恒等式的常用方法(1)从一边开始证它等于另一边，一般由繁到简．(2)证明左右两边都等于同一个式子(或值)．(3)运用分析法，证明其等式成立．2．三角恒等变形的基本思路(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧．“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”．(2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．3．已知两边及其一边的对角，判断三角形解的情况以已知a，b，A为例(1)当A为直角或钝角时，若a>b，则有一解；若a≤b，则无解．(2)当A为锐角时，如下表：4.(1)三角形内角和定理：A＋B＋C＝π.(2)A>B>C⇔a>b>c⇔sin A>sin B>sin C.(3)a＝b cos C＋c cos B.5．在△ABC中，三边分别为a，b，c(a<b<c)(1)若a2＋b2>c2，则△ABC为锐角三角形．(2)若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形．(3)若a2＋b2<c2，则△ABC为钝角三角形.知能提升演练一、选择题1．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α是第二象限角，则tan(π4＋α)等于 ( ) A．7 B．－7 C.17D．－172．若f(sin x)＝3－cos 2x，则f(cos x)等于( )A．3－cos 2x B．3－sin 2x C．3＋cos 2x D．3＋sin 2x3．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为3，则a＋b＋csin A＋sin B＋sin C等于 ( )A．3 3 B.2393C.2633D.2924．在△ABC中，已知sin C＝2sin A cos B，那么△ABC一定是( ) A．等腰直角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等边三角形5．已知实数a，b均不为零，a sin 2＋b cos 2a cos 2－b sin 2＝tan β，且β－2＝π6，则ba等于 ( )A. 3B.33C．－ 3 D．－33二、填空题6．函数y＝sin4x＋cos4x的单调递增区间是______________________.7．在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝4b sin A，则cos B＝__________________8．(2010·广东)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sin C＝_______________.三、解答题9．已知函数f(x)＝a(2cos2x2＋sin x)＋b.(1)当a＝－1时，求f(x)的单调递减区间；(2)当a<0，x∈[0，π]时，f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．10．(2009·安徽)在△ABC中，sin(C－A)＝1，sin B＝1 3 .(1)求sin A的值；(2)设AC＝6，求△ABC的面积．。
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sin(x ) cos cos(x ) sin 4 4 4 4 7 2 2 2 2 4 . 10 2 10 2 5
(2)因为x ( , ), 2 4 4 2 3 所以cos x 1 sin x 1 ( ) . 5 5 24 7 2 sin 2 x 2 sin x cos x , cos 2 x 2 cos x 1 . 25 25
2
3
所以sin(2 x ) sin 2 x cos cos 2 x sin 3 3 3 24 7 3 . 50
题型二
三角函数与解三角形
【例2】(2009·四川)在△ABC中,A,B为锐角,角A,
3 10 . B,C所对应的边分别为a,b,c,且cos2A= , sinB= 10 5
B. 4 2 3 D. 6 2
由a=c= 6 2 可知,∠C=75°, 1 所以∠B=30°,sin B= . 2 由正弦定理得 b a sin B 2 6 1 2 . sin A 2 6 2 4
3.(2009·全国Ⅱ)已知△ABC中,tan A=
cos A等于 A. 12 解析
3
2.(2009·广东)已知△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分
别为a,b,c,若a=c= 6 2且∠A=75°,则b等于 ( A )
A.2 C.4 2 3 解析 因sin A=sin 75°=sin(30°+45°) =sin 30°cos 45°+sin 45°cos 30°=
6 2 , 4
1.(2009·江西)若函数 f ( x) (1 3 tan x) cos x ,0 x 则f(x)的最大值为 A.1 C. 3 1 解析 B.2 D. 3 2
2
,
( B)
f ( x) (1 3 tan x) cos x
cos x 3 sin x 2 cos( x ) 3 当x= 时,函数取得最大值为2.
学案11 三角变换与解三角形
1.同角三角函数的基本关系式,正弦、余弦、正切、 余切的诱导公式. 2.两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数、半角 的三角函数公式. 3.通过简单的三角恒等变换解决三角函数问题的化 简、求值与证明. 4.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三 角形度量问题. 5.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一 些与测量和几何计算有关的实际问题.
2
,
2
2
,
3 10 则 cos( ) 1 sin ( ) , 10 cos cos[ ( )] 2 cos cos( ) sin sin( ) . 2
【探究拓展】在解有关根据条件求三角函数值问题 时，首先根据条件限定某些角的取值范围,由范围进 而确定出三角函数值的符号,还应注意公式的正用与 逆用及变形应用,根据条件还要注意适当拆分角、拼 角等技巧的应用.
即sin 2 cos , 代入 sin 2 cos2 1, 2 5 5 , cos , 5 5 2 5 5 又 (0, ) , sin , cos . 2 5 5 得 sin
( 2) 0
2
,0
2
∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B
2 5 3 10 5 10 2 . 5 10 5 10 2 0 A B , A B
4 3 2 (2)由(1)知C , sin C . 4 2 a b c 由正弦定理 , sin A sin B sin C 得 5a 10b 2c ,
13 5 13
5 ,则 12
(D)
B.
C. 5
13
D. 12
13
5 已知ABC中, tan A , A ( , ) . 12 2 1 1 12 cos A . 2 13 5 2 1 tan A 1 ( ) 12
4.(2009·全国Ⅰ)若
题型一 已知三角函数求值 【例1】(2009·广东)已知向量a=( sin ,-2)与b=(1, ) 互相垂直 , 其中 ( 0 , ). cos
(1)求 sin 和 cos 的值；
2
10 (2)若 sin( ) ,0 , 求 cos的值. 10 2 解 (1) ∵a与b互相垂直,∴a·b= sin 2 cos 0 ,
4
x
2
, 则函数y=tan 2xtan3x
的最大值为____. -8
解析 令 tan x t , x , t 1, 4 2
4 4 2 tan x 2 t y tan 2 x tan3 x 2 1 tan x 1 t 2 2 2 2 8 . 1 1 1 1 2 1 1 ( ) t4 t2 t2 2 4 4
变式训练1
2 3 已知 cos(x ) , x ( , ) .
4 10 2 4
(1)求sin x的值； (2)求 sin( 2 x )的值. 3 解 (1)因为x ( , 3 ) , 2 4 所以x ( , ) , 4 4 2 7 2 2 于是 sin(x ) 1 cos ( x ) . 4 4 10 sin x sin[(x ) ] 4 4
(1)求A+B的值；
(2)若a-b= 2 1 , 求a,b,c的值.
解
(1)∵A、B为锐角,sin B= 10 ,
10
3 10 . 10 3 2 又cos 2A=1-2sin A= , 5
∴cos A 1 sin 2 A , 5 5