(完整版)流体力学雷诺方程的推导
主要参数R= 20mm, L=40 mm, n=1000 rpm, ε=0.3, c=2 mm.各种流体润滑问题都涉及在狭小间隙中的流体粘性流动，描写这种物理现象的基本方程为雷诺方程，他的普遍形式是)2(6()(22thy h V x h U y p h y x p h x ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂ρρρηρηρ） 这个椭圆形的偏微分方程仅仅对于特殊的间隙形状才可能求得解析解，而对于复杂的几何形状或者工况条件下的问题，无法用解析方法求得精确解。
随着迅速发展的点算技术，数值算法成为求解润滑问题的有效途径。
数值法师讲偏微分方程转化为代数方程组的变换方法。
它的一般原则是：首先将求解域划分成有限个数的单元，并使每一个单元充分的微小。
以至于可以认为在各单元内的未知量（本人毕业设计中设油膜压力为P ）相等或者依照线性变化，而不会造成很大的误差。
然后，通过物理分析或数学变换方法，将求解的偏微分方程写成离散形式，即使将它转化成一组线性代数方程。
该代数方程组表示了各个单元的待求未知量于周围各单元未知量的关系。
最后根据消去法或者迭代法求解代数方程组，从而求得整个求解域上的未知量。
用来求解雷诺方程的数值方法很多，最常用的是有限元差分方法、有限元法和边界元法，这些方法都是将求解域划分成许多个单元，但是处理方法各不相同。
在有限差分法和有限元法中，代替基本方程的函数在求解域内是近似的，但完全满足边界条件。
而边界元法所用的函数在求解域内完全满足基本方程，但是在边界上则近似的满足边界条件。
一、雷诺方程的数值解法根据边界条件求解雷诺方程，这在数学上称为边值问题。
首先将所求解的偏微分方程无量纲化。
这样做的目的是减少自变量和因变量的数目，同时用无量纲参数表示的解具有通用性。
然后，将求解域划分成等距的或者不等距的网格，如图1-1为等距网格。
图1-1沿轴向将Y 划分为8个等距区间，沿周向从πθθ20==到划分为12个等距区间。
这样在Y 方向有13个节点，θ方向有9个节点，总计117913=⨯个节点。
则8161=∆=∆Y ，πθ。
有限差分法如果用P 代表所求的未知量例如油膜压力，则变量P 在整个域中的分布可以用各节点的P 值来表示。
根据差分原理，任意节点O(i, j)的一阶和二阶偏导数都可以由其周围的节点变量值来表示。
如图1-2所示，如果采用中差分公式，则变量P 在O(i, j)点的偏导数为图.1-2θθ∆-=∂∂-+2,1,1,j i j i j i p p p）（（1-1）yp p y p j i j i j i ∆-=∂∂-+21,1,,）（ 2,,1,1,22)(2)θθ∆-+=∂∂-+j i j i j i j i p p p p （ （1-2）2,1,1,,22)(2)y p p p y p j i j i j i j i ∆-+=∂∂-+（ 以P 为润滑膜压力，雷诺方程的二维二阶偏微分方程的标准形式为：E YP D P C Y P B P A =∂∂+∂∂+∂∂+∂∂θθ2222 （1-3） 其中A,B,C,D 和E 都为已知量。
然后将上述方程应用到各个节点，根据中差分公式（1-1）和（1-2）用差商代替偏导数，即可求得各个节点的变量j i p .于相邻各个节点变量的关系。
这种关系可以写成：G p C p C p C p C p j i W j i E j i S j i N j i ++++=-+-+,1,11,1,, （1-4）其中）y (2/)2(/)2(/)2(/)2(222222∆+∆=-=∆-∆=∆+∆=∆-∆=∆+∆=BAKK E G KCA C K CA C KyDy B C K yDy B C W E S N θθθθθ （1-5） 式（1-4）中各系数值随节点位置而改变。
方程（1-4）是有限差分法的计算方程，对于每个节点都可以写出一个方程，而在边界上的节点变量应满足边界条件，它们的数值是已知量。
这样，就可以求得一组线性代数方程。
方程与未知量数目相一致，所以可以求解。
采用消去法或者迭代法求解代数方程组，并使计算结果满足一定的收敛精度，最终求得整个求解域上各节点的变量值。
求解代数方程使用迭代法求解。
1、雷诺方程的无量纲化 定常雷诺方程xhu y p h y x p h x ∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂6)()(33ηη (2-1) 将轴承表面沿平面展开，如图1-1所示，并代入.,θθRd dx R x == 得θηθηθRd hu h y p Rd p h R ∂=∂∂+∂∂∂6)(3223等式两边同时乘以2R η 则雷诺方程变为θηθθd dh R u h y p p h 6)(3223=∂∂+∂∂∂∂ (2-2)若令226,)cos 1(,)/2(,2/cR u P p Hc c h L R YL y ηθεα==+===代入后得2222233233)2(6)6(LY P c R u R c H P c R u c H ∂∂+∂∂∂∂ηθηθ θηd dHRu 6=化简得θθθd dH Y P L R H P H =∂∂+∂∂∂∂22233)2)(（ 将 2)/2L R （=α代入得 θαθθd dH Y P H P H =∂∂+∂∂∂∂2233)( （2-3） 由Hc c h =+=)cos 1(θε得θεcos 1+=H代入（2-3）式，得2232222)sin (3-Y P H P H P H ∂∂+∂∂+∂∂αθθθεθθεd d )cos 1(+=再次化简得无量纲雷诺方程32222cos 1sin -cos 1)sin (3-）（θεθεαθθθεθε+=∂∂+∂∂+∂∂+Y P P P （2-4） R 为轴承半径，L 为轴承长度，ε为偏心c e /=ε率，e 为偏心距，c 为半径间隙，采用有限元差分法进行迭代计算。
式（1-4）为标准形式，参考标准式（1-3）可求得标准式中A,B,C,D,E 的值。
3)cos 1(sin ,0,cos 1sin 3,1θεθεθεθεα+-==+-===E D C B A ， 将以上各值代入式（1-5）求得22222222322222222)(2)(2)cos 1(sin 3)cos 1(2sin 3)cos 1(2)cos 1(2sin 3)cos 1(2)2)2Y Y K Y Y G C C Y C Y C W E S N ∆∆∆+∆=∆+∆∆∆+=+∆∆++=+∆∆-+=∆+∆∆=∆+∆∆=θαθαθθθεθεθεθθθεθεθεθθθεθεαθθααθθα（（ 将已知值代入式（1-4）得1,2221,222,)2)2-+∆+∆∆+∆+∆∆=j i j i ji P Y P Y P αθθααθθα（（ j i P .12)cos 1(2sin 3)cos 1(2++∆∆-++θεθθθεθε ji P ,12)cos 1(2sin 3)cos 1(2-+∆∆+++θεθθθεθε )(2)cos 1(sin 322223Y Y ∆+∆∆∆++αθθθεθε （2-5）将.30,1)40/202()/222==⨯==εαL R （代入式（2-5）得迭代方程:1,2221,222,)2)2-+∆+∆∆+∆+∆∆=j i j i ji P Y P Y P θθθθ（（ j i P .12)cos .301(2sin .90)cos .301(2++∆∆-++θθθθθji P ,12)cos .301(2sin .90)cos .301(2-+∆∆+++θθθθθ )(2)cos .301(sin .9022223Y Y ∆+∆∆∆++θθθθ将8161=∆=∆Y ，πθ代入上式中，得1,1,,.90.90-++=j i j i j i P P Pj i P .1)cos .301(4.50sin 7.40)cos .301(2++-++θθθj i P .1)cos .301(4.50sin 7.40)cos .301(2+++++θθθ3)cos .301(sin 12.00θθ++（2-6）上式为最终迭代方程。
边界问题：将轴承表面沿平面展开，如图2-1图.2-1对于径向轴承，方程（2-4）中两个自变量的变化范围是：在轴承中间断面上Y=0：在边缘上 Y=1。
而θ在π2到0之间变化，这一问题的边界条件为：（1）轴向方向在边缘Y=1处，P=0；在中间断面Y=0上，0=∂∂YP. （2）周向方向按雷诺边界条件：油膜起点在0=θ处，取P=0；油膜终点在发散区间内符合P=0及0=∂∂θP 的地方。
流体力学雷诺方程的推导
主要参数R= 20mm, L=40 mm, n=1000 rpm,ε=0、3, c=2 mm 、 各种流体润滑问题都涉及在狭小间隙中的流体粘性流动,描写这种物理现象的基本方程为雷诺方程,她的普遍形式就是 )2(6()(22th y h V x h U y p h y x p h x ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂ρρρηρηρ） 这个椭圆形的偏微分方程仅仅对于特殊的间隙形状才可能求得解析解,而对于复杂的几何形状或者工况条件下的问题,无法用解析方法求得精确解。
随着迅速发展的点算技术,数值算法成为求解润滑问题的有效途径。
数值法师讲偏微分方程转化为代数方程组的变换方法。
它的一般原则就是:首先将求解域划分成有限个数的单元,并使每一个单元充分的微小。
以至于可以认为在各单元内的未知量(本人毕业设计中设油膜压力为P)相等或者依照线性变化,而不会造成很大的误差。
然后,通过物理分析或数学变换方法,将求解的偏微分方程写成离散形式,即使将它转化成一组线性代数方程。
该代数方程组表示了各个单元的待求未知量于周围各单元未知量的关系。
最后根据消去法或者迭代法求解代数方程组,从而求得整个求解域上的未知量。
用来求解雷诺方程的数值方法很多,最常用的就是有限元差分方法、有限元法与边界元法,这些方法都就是将求解域划分成许多个单元,但就是处理方法各不相同。
在有限差分法与有限元法中,代替基本方程的函数在求解域内就是近似的,但完全满足边界条件。
而边界元法所用的函数在求解域内完全满足基本方程,但就是在边界上则近似的满足边界条件。
一、雷诺方程的数值解法根据边界条件求解雷诺方程,这在数学上称为边值问题。
首先将所求解的偏微分方程无量纲化。
这样做的目的就是减少自变量与因变量的数目,同时用无量纲参数表示的解具有通用性。
然后,将求解域划分成等距的或者不等距的网格,如图1-1为等距网格。
图1-1沿轴向将Y 划分为8个等距区间,沿周向从πθθ20==到划分为12个等距区间。
雷诺输运定理
DN——定义在系统上的变量N对时间的变化率。
Dt
d
t CV
——定义在控制体上的变量N对时间的变化 率，该项是由分布函数不定常引起。
V CS
ndS
——变量N流出控制体的净流率，该项由于 分布函数不均匀性及系统的空间位置
和体积随时间变化引起。
4.2对控制体的流体力学积分方程
（1）积分形式的连续方程
V CS
ndS
m
注意：流体流出控制体为正，流入为负！
（2）积分形式的动量方程
动量方程的本质是体系（系统）中的动量定理 （惯性参考系中）在控制体上的表现。
Dk
由流体系统的动量定理得，Dt
F
其中，k Vd sys
Dk D Vd
Dt Dt sys
sys ——系统所占据的体积。
F FB FS ——系统所受合力。
DV Dt
=
V t
+ (V )V
如何用欧拉变量表达式来表示 对系统体积分的物质导数？
借助雷诺输运定理
雷诺输运定理的推导：
图示的有限大小的控制体V，表面积为A,同时把这个控制体取为t 时刻的体系，即Ⅰ和Ⅱ两块。
t+△t时刻，体系移动到了新位置，即为图中的Ⅰ和Ⅱ两块组成， 而控制体依然在原位。令N表示流体输运的该体系中的
注意：通常物理定律适用于系统！
如，高中物理中多刚体碰撞问 题的求解……
如何在欧拉观点中应用物理定律
雷诺输运定理
下面以动量为例具体说明：
动量定理： F dk dt
F——外界对系统的作用的合力；
k——系统的动量。
流体力学系统中，k Vd
dk d Vd
dt dt
——系统所占据的体积。
《雷诺输运定理》课件
对于非牛顿流体，由于其流动 特性与牛顿流体不同，因此雷 诺输运定理的适用性可能有限
。
改进方向
发展更精确的数值模 拟方法，以模拟流体 的微观运动特性。
深入研究流体的微观 运动特性，以更好地 理解其宏观流动特性 。
结合其他理论或模型 ，如湍流模型或非牛 顿流模型，以提高预 测精度。
06
雷诺输运定理的发展前景
粒子追踪
通过跟踪流场中粒子的运 动轨迹，分析流体的输运 性质。
温度场测量
在流体中设置温度传感器 ，测量温度分布，分析热 量的输运过程。
结果分析
数据对比
将实验数据与理论结果进行对比，分析误差来 源。
适用性分析
分析雷诺输运定理在不同流动条件下的适用范 围和局限性。
改进建议
根据实验结果，提出对理论模型的改进意见，提高理论预测的准确性。
05
雷诺输运定理的局限性
适用范围
雷诺输运定理适用于连续流动的流体，如气体和 液体。
对于非连续流动的流体，如颗粒流或泥浆流，雷 诺输运定理可能不适用。
在高雷诺数流动中，雷诺输运定理的适用性可能 受到限制。
误差分析
由于雷诺输运定理基于宏观平 均流动特性，因此可能无法准 确描述流体的微观运动特性。
在复杂流动中，如湍流或分 离流，雷诺输运定理的误差
雷诺输运定理揭示了流体运动的本质特征，包括流体的流动规律、速度场的变化、质量守恒、动量守 恒和能量守恒等。这些特征对于理解和分析流体运动的特性、流动现象和流体动力系统的行为具有重 要意义。
雷诺输运定理的应用领域
总结词
雷诺输运定理在多个领域都有广泛应用，如航空航天 、气象学、环境科学等。
详细描述
雷诺输运定理在多个领域都有广泛应用。在航空航天 领域，该定理用于分析和预测流体动力学问题，如飞 行器的气动性能和飞行稳定性。在气象学领域，雷诺 输运定理用于描述大气中各种气象要素的分布和变化 。在环境科学领域，该定理用于研究流体运动对污染 物扩散、水质变化等环境问题的影响。此外，雷诺输 运定理还在水利工程、交通运输和工业生产等领域得 到广泛应用。
(完整版)流体力学雷诺方程的推导
主要参数R= 20mm, L=40 mm, n=1000 rpm, ε=0.3, c=2 mm.各种流体润滑问题都涉及在狭小间隙中的流体粘性流动，描写这种物理现象的基本方程为雷诺方程，他的普遍形式是)2(6()(22thy h V x h U y p h y x p h x ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂ρρρηρηρ） 这个椭圆形的偏微分方程仅仅对于特殊的间隙形状才可能求得解析解，而对于复杂的几何形状或者工况条件下的问题，无法用解析方法求得精确解。
随着迅速发展的点算技术，数值算法成为求解润滑问题的有效途径。
数值法师讲偏微分方程转化为代数方程组的变换方法。
它的一般原则是：首先将求解域划分成有限个数的单元，并使每一个单元充分的微小。
以至于可以认为在各单元内的未知量（本人毕业设计中设油膜压力为P ）相等或者依照线性变化，而不会造成很大的误差。
然后，通过物理分析或数学变换方法，将求解的偏微分方程写成离散形式，即使将它转化成一组线性代数方程。
该代数方程组表示了各个单元的待求未知量于周围各单元未知量的关系。
最后根据消去法或者迭代法求解代数方程组，从而求得整个求解域上的未知量。
用来求解雷诺方程的数值方法很多，最常用的是有限元差分方法、有限元法和边界元法，这些方法都是将求解域划分成许多个单元，但是处理方法各不相同。
在有限差分法和有限元法中，代替基本方程的函数在求解域内是近似的，但完全满足边界条件。
而边界元法所用的函数在求解域内完全满足基本方程，但是在边界上则近似的满足边界条件。
一、雷诺方程的数值解法根据边界条件求解雷诺方程，这在数学上称为边值问题。
首先将所求解的偏微分方程无量纲化。
这样做的目的是减少自变量和因变量的数目，同时用无量纲参数表示的解具有通用性。
然后，将求解域划分成等距的或者不等距的网格，如图1-1为等距网格。
图1-1沿轴向将Y 划分为8个等距区间，沿周向从πθθ20==到划分为12个等距区间。
21220 雷诺数公式
21220 雷诺数公式摘要：一、雷诺数公式的定义二、雷诺数公式推导过程1.运动黏度ν2.流体密度ρ3.特征长度L4.流速v三、雷诺数公式在流体力学中的应用1.层流与紊流的判断2.流体动力的研究四、雷诺数公式在实际生活中的应用举例正文：雷诺数公式是流体力学中描述流体流动状态的一个重要参数，它可以帮助我们判断流体的流动是层流还是紊流。
雷诺数公式的定义为：Re = ρvL/ν，其中ρ表示流体密度，v表示流速，L表示特征长度，ν表示运动黏度。
下面我们详细了解一下雷诺数公式的推导过程和应用。
首先，我们来看雷诺数公式的推导过程。
雷诺数公式由法国物理学家奥古斯丁·雷诺于1883年提出，它是基于对层流和紊流现象的观察而得出的。
在层流状态下，流体分子之间相互平行排列，形成稳定的流动，流速分布呈现出对称性。
而在紊流状态下，流体分子之间发生剧烈的混合和湍动，流速分布变得非常复杂。
雷诺数公式可以帮助我们判断流体的流动状态，从而更好地研究和分析流体力学现象。
在实际应用中，雷诺数公式主要应用于层流与紊流的判断以及流体动力的研究。
当雷诺数较小（通常小于2300）时，流体流动呈现出层流特征，此时流速分布较为均匀，流体之间不易发生混合。
而当雷诺数较大（通常大于4000）时，流体流动呈现出紊流特征，流速分布变得非常复杂，流体之间发生剧烈的混合和湍动。
在层流与紊流之间的临界点，雷诺数为2300，被称为马赫-曾德尔数。
雷诺数公式在实际生活中的应用非常广泛。
例如，在研究飞机空气动力学性能时，需要分析飞机与空气之间的流动状态，判断是否会发生紊流，从而优化飞机的设计。
此外，在研究管道流动、汽车空气动力学、涡轮发动机等领域，雷诺数公式也发挥着重要作用。
总之，雷诺数公式是流体力学中一个非常重要的参数，它可以帮助我们判断流体的流动状态，更好地研究和分析流体力学现象。
雷诺方程的推导_形式及应用_刘明保
∫ ∫ h
h
o
5u 5x
dz+
o
5v 5y
dz+
(W 1-
W 2) =
0
(3)
此式即为体现油楔特征的流体流动连续性方程.
1. 5 雷诺方程
联立式 (1) 和 (3) , 并应用含参变量的定积分公式即可导出普遍形式的雷诺方程
5 5x
(
h3 12u
·55px
)
+
5 5y
(
h3 12u
·55py
=
U
2- U 2
h (x) , V 1= V 2=
0, 则雷诺方程应成为
5 5x
(
h3 12u
5p 5x
)
+
5 5y
(
h3 12u
5p 5y
)
=
U
2- U 2
1
dh 5x
+
(W 1-
W 2)
(5)
式中W 1、W 2 分别表示上板 (轴承)、下板 (轴颈) 沿 z 向 (油膜厚度方向) 的整体运动速度. 2. 2 径向轴承
2000 年 3 月 第8卷 第1期
河南机电高等专科学校学报 Jou rnal of H enan M echan ic and E lectric Engineering Co llege
雷诺输运定理推导
雷诺输运定理是流体力学中的一个重要定理，用于描述流体在运动过程中，黏性力与压力梯度力的关系。
其推导过程可以大致分为以下步骤：1. 建立流场模型：首先，我们需要建立一个流场的数学模型，即确定流场中各点的速度、压力等物理量的分布。
2. 求解连续性方程：流体力学中，流体运动的基本方程之一是连续性方程，即流体密度的变化率等于流体之间的摩擦力。
通过求解这个方程，可以得到流场中各点速度的变化率。
3. 引入黏性力：黏性力是流体运动中不可避免的一种力，它是由流体的黏性所引起的。
在流场中，我们可以将黏性力表示为压力梯度力的微分形式。
4. 推导压力梯度力：根据牛顿第二定律（即动量定理），我们可以推导出压力梯度力的大小和方向。
压力梯度力的方向与压力梯度的方向一致，其大小取决于流体密度和黏性以及速度的变化率。
5. 整理得到雷诺输运定理：将黏性力与压力梯度力的关系式代入推导出的压力梯度力的表达式中，整理后即可得到雷诺输运定理的数学形式。
具体地，推导过程可以详细表述为：在流体运动的过程中，由于黏性作用，流体各层之间会产生摩擦力，该摩擦力的大小取决于流体之间的速度差和流体的黏性。
由于流体的流动是非稳态的，即流场中各点的速度随时间变化，因此可以建立连续性方程，该方程可以表示为流体密度变化率与摩擦力的微分形式。
在某些边界条件下（如均匀边界或边界条件容易处理），可将边界上的流体粘度分量展开成微分方程的形式。
由这些方程出发，我们可以得到压力梯度力的表达式。
通过将压力梯度力分解为粘性力和压力梯度两个分力的形式，我们可得到雷诺输运定理。
该定理指出：流体运动时，压力梯度力与黏性力的大小与方向均取决于流体的运动状态和流动参数（如流速、黏性等）。
以上就是雷诺输运定理的推导过程。
希望这个解释对你有所帮助！。
21220 雷诺数公式
21220 雷诺数公式
摘要：
1.雷诺数公式的定义
2.雷诺数公式推导过程
3.雷诺数公式在流体力学中的应用
4.雷诺数与流体流动状态的关系
5.总结
正文：
雷诺数（Re）是流体力学中描述流体流动特性的一个无量纲数，它是由英国工程师奥斯本·雷诺（Osborne Reynolds）于1883 年提出的。
雷诺数公式用于判断流体的流动状态，如层流和紊流。
它对于分析流体在管道、流体机械等工程设备中的流动规律具有重要意义。
雷诺数公式如下：
Re = ρvL/μ
其中，ρ代表流体密度，v 代表流体速度，L 代表特征长度（如管道直径、球体直径等），μ代表流体的动力粘度。
当雷诺数Re 较小（通常认为Re < 2300）时，流体流动呈现出层流特性，即流体分层，各层之间几乎不发生混合。
而当雷诺数Re 较大（通常认为Re > 4000）时，流体流动呈现出紊流特性，即流体各层之间发生强烈的混合和湍流现象。
在实际应用中，雷诺数公式可以帮助我们预测流体在不同设备中的流动状
态，从而为工程设计和运行提供依据。
例如，在设计管道时，可以根据雷诺数判断流体是否会发生紊流，从而选择合适的管道尺寸和流动控制措施。
总之，雷诺数公式是流体力学中一个重要的无量纲数，它能够反映流体的流动特性，为工程设计和运行提供依据。
平均雷诺方程
平均雷诺方程雷诺方程雷诺方程是流体力学的基本方程之一，适用于描述湍流等复杂流动。
它是根据流体的物理特性和运动规律推导出来的。
雷诺方程考虑了流体的粘性效应和压力梯度，可以表示为：$$\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdotabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho}abla p +uabla^2 \mathbf{u}$$其中，$\mathbf{u}$ 是流体的速度矢量，$p$ 是压力，$\rho$ 是密度，$u$ 是动力粘性系数。
连续性方程连续性方程描述了质量守恒的原理。
在流体运动中，质量的变化与流体的流量和速度有关。
连续性方程可以表示为：$$\frac{\partial \rho}{\partial t} +abla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0$$动量方程动量方程描述了牛顿第二定律在流体力学中的应用。
它考虑了流体的惯性力和作用在流体上的外力。
动量方程可以表示为：$$\frac{\partial (\rho \mathbf{u})}{\partial t} +abla \cdot (\rho \mathbf{u} \mathbf{u}) = -abla p + \rho \mathbf{g}$$其中，$\mathbf{g}$ 是重力加速度矢量。
能量方程能量方程描述了能量守恒的原理。
在流体运动中，能量的变化与流体的热力学能和机械能有关。
能量方程可以表示为：$$\frac{\partial (e + p)}{\partial t} +abla \cdot (e + p) \mathbf{u} = -abla \cdot q$$其中，$e$ 是内能，$p$ 是压力能，$q$ 是热流矢量。
雷诺方程推导
主要参数：R=20mm,L=40mm,n=1000rpm,ε=0.3,c=2mm.一、雷诺方程的数值解法 1、有限差分法如果用P 代表所求的未知量例如油膜压力，则变量P 在整个域中的分布可以用各节点的P 值来表示。
根据差分原理，任意节点O （i,j)的一阶和二阶偏导数都可以由其周围的节点变量值来表示。
如图1-1所示，如果采用中差分公式，则变量P 在O （i,j)点的偏导数为θθ∆-=∂∂-+2,1,1,j i j i j i p p p）（（1-1）y p p y p j i j i j i ∆-=∂∂-+21,1,,）（ 2,,1,1,22)(2)θθ∆-+=∂∂-+j i j i j i j i p p p p （（1-2）2,1,1,,22)(2)y p p p y p j i j i j i j i ∆-+=∂∂-+（ 以P 为润滑膜压力，雷诺方程的二维二阶偏微分方程的标准形式为：E YP D P C Y P B P A =∂∂+∂∂+∂∂+∂∂θθ2222 （1-3）其中A,B,C,D 和E 都为已知量。
然后将上述方程应用到各个节点，根据中差分公式（1-1）和（1-2）用差商代替偏导数，即可求得各个节点的变量ji p .于相邻各个节点变量的关系。
这种关系可以写成：G p C p C p C p C p j i W j i E j i S j i N j i ++++=-+-+,1,11,1,,（1-4）其中）222222y(2/)2(/)2(/)2(/)2(∆+∆=-=∆-∆=∆+∆=∆-∆=∆+∆=BA K K EG K CA C K CA C K y Dy B C K y Dy B C W E S N θθθθθ（1-5）式（1-4）中各系数值随节点位置而改变。
方程（1-4）是有限差分法的计算方程，对于每个节点都可以写出一个方程，而在边界上的节点变量应满足边界条件，它们的数值是已知量。