高一数学不等式知识点总结
基本不等式知识点总结高一
基本不等式知识点总结高一基本不等式知识点总结一、不等式的定义和性质不等式是数学中表示大小关系的一种符号方法。
不等式的定义如下：若两个数a、b满足条件a>b，则称a大于b，记作a>b；若a≠b 且a>b或a<b，则称a与b之间存在不等关系。
不等式的性质如下：1. 传递性：若a>b且b>c，则a>c。
2. 对称性：若a>b，则-b>-a。
3. 相反数性质：若a>b，且c>0，则 ac>bc；若a>b，且c<0，则 ac<bc。
4. 分解性质：若a>b，且c>0，则a+c>b+c。
5. 翻转性质：若a>b，且c<0，则-a<-b。
6. 加法性质：若a>b，则a+c>b+c。
7. 乘法性质：若a>b且c>0，则ac>bc；若a<b且c<0，则ac>bc。
二、基本不等式1. 加法不等式：若a>b，则a+c>b+c，其中c为任意实数。
2. 减法不等式：若a>b，则a-c>b-c，其中c为任意实数。
3. 乘法不等式：a) 正数乘法不等式：若a>b且c>0，则ac>bc。
b) 负数乘法不等式：若a>b且c<0，则ac<bc。
4. 除法不等式：a) 正数除法不等式：若a>b且c>0，则a/c>b/c。
b) 负数除法不等式：若a>b且c<0，则a/c<b/c。
5. 绝对值不等式：a) 若|a|<b，则-a<b<a。
b) 若|a|>b，则a<-b 或 a>b。
6. 平方不等式：a) 若a>b>0，则a^2>b^2。
b) 若a<b<0，则a^2>b^2。
三、解不等式的方法1. 加减法解法：对于不等式a+c>b+c，若c>0，则原不等式成立；若c<0，则原不等式不成立。
高一数学不等式知识点总结
高一数学不等式知识点总结一、要点精析1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。
(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。
其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。
应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
(2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。
其一般步骤为：①作商：将左右两端作商;②变形：化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。
应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。
2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。
其逻辑关系为：AB1B2 B3… BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。
3.分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。
用分析法证明AB的逻辑关系为：BB1B1B3 …BnA，书写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B1为真，从而有…，这只需证明B2为真，从而又有…，……这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。
高一数学知识点总结不等式
高一数学知识点总结不等式高一数学知识点总结——不等式不等式是数学中的一个重要概念，它描述了数之间的大小关系。
在高一数学中，我们学习了各种类型的不等式及其解法。
本文将对高一数学中的不等式知识点进行总结，包括线性不等式、二次不等式和绝对值不等式等。
一、线性不等式线性不等式是指不等式中只包含线性函数的不等式。
一般形式为ax + b > c 或 ax + b < c，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
解线性不等式的关键是确定不等式的符号和解集，具体步骤如下：步骤1：将不等式中的x移到一边，得到ax > b 或 ax < b。
步骤2：确定不等式的符号，根据a的正负情况进行判断。
当a > 0时，不等式形式为ax > b 或 ax < b，解是x > b/a 或 x < b/a。
当a < 0时，不等式形式为ax < b 或 ax > b，解是x < b/a 或 x > b/a。
二、二次不等式二次不等式是指不等式中包含二次函数的不等式。
一般形式为ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
解二次不等式的关键是确定不等式的符号和解集，具体步骤如下：步骤1：将二次不等式化为标准形式，即将不等式右边移至左边，得到ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0。
步骤2：求解二次函数的零点，即将ax^2 + bx + c = 0转化为一元二次方程，并求出x的解。
步骤3：通过零点将实数轴分成若干个区间，并在每个区间内进行符号判断，确定不等式的解集。
三、绝对值不等式绝对值不等式是指不等式中包含绝对值函数的不等式。
一般形式为|f(x)| > a 或 |f(x)| < a，其中f(x)为一个实数函数，a为正实数。
解绝对值不等式的关键是根据绝对值函数的性质进行分类讨论，具体步骤如下：步骤1：根据不等式的形式，将绝对值不等式分为两种情况，即|f(x)| > a 和 |f(x)| < a。
高一数学不等式知识点总结
高一数学不等式知识点总结一、要点精析1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。
(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。
其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。
应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
(2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。
其一般步骤为：①作商：将左右两端作商;②变形：化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。
应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。
2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。
其逻辑关系为：AB1B2B3…BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。
3.分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。
用分析法证明AB的逻辑关系为：BB1B1B3…BnA，书写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B1为真，从而有…，这只需证明B2为真，从而又有…，……这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。
高一数学不等式知识点
高一数学不等式知识点在高一数学的学习中，不等式是一个重要的内容。
不等式不仅在数学中有着广泛的应用，也为我们解决实际问题提供了有力的工具。
接下来，让我们一起深入了解一下高一数学中不等式的相关知识点。
一、不等式的基本性质1、对称性：若 a ＞ b，则 b ＜ a 。
比如说，5 ＞ 3 ，那么 3 ＜ 5 。
2、传递性：若 a ＞ b 且 b ＞ c ，则 a ＞ c 。
例如 7 ＞ 5 ，5 ＞ 3 ，所以 7 ＞ 3 。
3、加法性质：若 a ＞ b ，则 a ＋ c ＞ b ＋ c 。
比如 8 ＞ 6 ，那么 8 ＋ 2 ＞ 6 ＋ 2 。
4、乘法性质：若 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，则 ac ＞ bc ；若 a ＞ b 且 c ＜0 ，则 ac ＜ bc 。
举个例子，若 4 ＞ 2 ，当 c ＝ 3 时，4×3 ＞ 2×3；当 c ＝－3 时，4×（－3) ＜ 2×（－3) 。
二、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）的不等式叫做一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：1、去分母（若有分母）：根据不等式的性质，在不等式两边同时乘以分母的最小公倍数，去掉分母。
但要注意，当乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变。
2、去括号：运用乘法分配律去掉括号。
3、移项：将含未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边。
4、合并同类项：将同类项合并，化简不等式。
5、系数化为 1 ：在不等式两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集。
例如，解不等式 2(2x 1) 3(x ＋ 1) ＜ 5 ，首先去括号得 4x 2 3x 3 ＜ 5 ，然后移项得 4x 3x ＜ 5 ＋ 2 ＋ 3 ，合并同类项得 x ＜ 10 。
三、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）的不等式叫做一元二次不等式。
高一数学不等式知识点梳理
高一数学不等式知识点梳理在高中数学中，不等式是一个重要的概念和内容，在各个章节中都会涉及到不等式的相关知识和应用。
下面将对高一数学中的不等式知识点进行梳理和总结，以帮助同学们更好地理解和掌握不等式的相关内容。
一、不等式的基本概念1. 不等式的定义：不等式是数之间的大小关系的一种表示方式，用符号“<”、“>”、“≤”、“≥”等表示。
2. 不等式的解集：不等式的解集是使得不等式成立的所有实数的集合。
二、一元一次不等式1. 一元一次不等式的解法：(1) 通过绘制数轴法确定解集；(2) 利用性质将不等式转化为等价的形式求解。
2. 一元一次不等式的性质：(1) 加减性质：若a<b，则a±c<b±c（其中c为常数）；(2) 倒置性质：若a<b，则-b<-a；(3) 倍增性质：若a<b，则ac<bc（c>0）或ac>bc（c<0）；(4) 倒数性质：若a<b，则1/b<1/a（a>0，b>0）。
三、一元二次不等式1. 一元二次不等式的解法：(1) 使用根的性质来解决一元二次不等式；(2) 利用配方法将一元二次不等式转化成平方完全性质的形式求解。
2. 一元二次不等式的性质：(1) 零点性质：若x1、x2为一元二次不等式的解，则x1+x2=-b/a、x1*x2=c/a；(2) 符号性质：当a>0时，一元二次不等式y=ax²+bx+c的解集随x的增加而递增，当a<0时，解集随x的增加而递减；(3) 洛必达不等式：若0<a<b，则0<ln(a/b)<a/b<1。
四、绝对值不等式1. 绝对值不等式的解法：(1) 利用绝对值的定义进行讨论求解；(2) 利用绝对值的性质化简不等式，并得出解集。
2. 常见的绝对值不等式：(1) |x|<a（a>0）的解集为(-a, a)；(2) |x|>a（a>0）的解集为(-∞, -a)∪(a, +∞)；(3) |x-a|<b（b>0）的解集为(a-b, a+b)；(4) |x-a|>b（b>0）的解集为(-∞, a-b)∪(a+b, +∞)。
高一数学不等式知识点的
高一数学不等式知识点的一、基本概念不等式是数学中的一种重要概念，表示两个量之间的大小关系。
在高一数学学习中，我们主要掌握以下几个基本概念：1. 不等式的符号在不等式中，常见的符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
2. 不等式的解集解集是指使不等式成立的所有实数的集合。
可以用区间表示解集，比如(a, b)表示大于a小于b的实数集合。
二、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数，并且该未知数的最高次数为1的不等式。
我们可以通过移项和同乘（同除）等基本运算解决一元一次不等式的求解问题。
例如，对于不等式2x - 3 > 5，我们可以先将常数项移至另一侧，得到2x > 8，然后同除以2，得到x > 4。
因此，不等式的解集为(4, +∞)。
三、一元二次不等式一元二次不等式是指只含有一个未知数，并且该未知数的最高次数为2的不等式。
解决一元二次不等式的方法通常有以下几种：1. 寻找零点可以将不等式转化为一个二次函数的零点问题，通过求解二次函数的零点来得到不等式的解集。
2. 使用判别式对于形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式，可以计算出其判别式Δ=b^2 - 4ac的值，并根据判别式的正负情况来确定不等式的解集。
3. 图像法通过绘制一元二次函数的图像，找到使函数大于（或小于）零的区间，从而确定不等式的解集。
四、绝对值不等式绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式，常见的形式有|a - b| > c或|a - b| < c。
解决绝对值不等式的方法主要有以下几种：1. 分情况讨论法根据绝对值的定义，将绝对值不等式分解为正负两个部分，然后分别求解并合并解集。
2. 图像法通过绘制绝对值函数的图像，找到使函数大于（或小于）某个值的区间，从而确定绝对值不等式的解集。
五、常见的不等式性质在高一数学的学习中，我们还需了解一些常见的不等式性质，如：1. 不等式的加法、减法性质对于不等式a > b和c > d，有a + c > b + d和a - c > b - d的性质。
不等式的高一知识点总结
不等式的高一知识点总结不等式是数学中一种常见的表达方式，用来表示数值之间的大小关系。
在高一的学习中，我们学习了一些关于不等式的基础知识和技巧。
本文将对这些知识点进行总结。
一、不等式的基本概念不等式是用不等号（>、<、≥、≤）表示的数值大小关系。
其中大于号（>）表示大于关系，小于号（<）表示小于关系，大于等于号（≥）表示大于等于关系，小于等于号（≤）表示小于等于关系。
二、解不等式的方法解不等式的方法与解方程类似，需要通过一系列的变换将不等式转化为等价的形式。
1. 加减法变换：可以在不等式的两边同时加减一个数。
2. 乘法变换：对不等式的两边同乘以一个正数时，不等关系不变；对不等式的两边同乘以一个负数时，需要反转不等关系。
3. 绝对值不等式：对于含有绝对值的不等式，需要根据绝对值的性质进行分类讨论。
三、不等式的性质1. 传递性：若a > b，b > c，则a > c。
2. 加法性：若a > b，则a + c > b + c。
3. 乘法性：若a > b，c > 0，则ac > bc；若a > b，c < 0，则ac < bc。
四、一元一次不等式一元一次不等式是最简单的一类不等式，其形式为ax + b > 0或ax+ b < 0（a ≠ 0）。
解一元一次不等式的步骤：1. 将不等式转化为等价形式。
2. 求解得到不等式的解集。
3. 根据解集对原不等式进行判断，确定最终的解集。
五、一元二次不等式一元二次不等式是以一元二次方程为基础的不等式，其形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0（a ≠ 0）。
解一元二次不等式的步骤：1. 将不等式转化为等价形式。
2. 求解得到不等式的解集。
3. 根据解集对原不等式进行判断，确定最终的解集。
六、不等式组不等式组是由多个不等式组成的系统，解不等式组的方法有图解法和代入法。
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8.绝对值的性质 绝对值的性质
不等式知识点
9.绝对值的解法 绝对值的解法
x < a , (a > 0 ) ⇒ − a < x < a x > a, (a > 0) ⇒ x > a, 或x < −a f ( x) > g( x) ⇔ f ( x) > g( x), 或f ( x) < −g( x) 公式法 f ( x ) < g( x ) ⇔ − g( x ) < f ( x ) < g( x ) a − b ≤ a ± b ≤ a + b a1 + a 2 + L + a n ≤ a1 + a 2 + L + a n 平方法 f ( x) > g( x) ⇔ f 2 ( x) < g 2 ( x) 划分区域讨论法： 划分区域讨论法：适合于两个或两个以上绝对值号的不等式 利用绝对值的几何意义 :
不等式知识点
7.绝对值的定义 绝对值的定义
a , (a > 0 ) a = 0, (a = 0) − a , (a < 0)
a ≥ 0 a⋅b = a ⋅ b a a = b b an = a n a − b ≤ a ± b ≤ a + b a + a + La ≤ a + a + L + a 2 n 1 2 n 1
不等式知识点
不等式知识点
不等式知识要点
一.知识网络
不等式的基本性质 不等式性质 绝对值不等式的基本性质 重要不等式： 重要不等式：a 2 + b 2 ≥ 2ab a 定理： 定理： + b ≥ 2 ab (a > 0, b > 0) 证明不等式主要方法 比 综 分 较 合 析 法 法 法 其它重要方法
对称性 a > b ⇔ b < a 传递性 a > b , b > c ⇒ a > b > c 移项法则 a + b > c ⇒ a > c − b 加法单调性 a > b ⇒ a + c > b + c 同向不等式相加 a > b ⇒ a + c > b + d c > d a > b > 0 ⇒ ac > bd > 0 同向正数不等式相乘 c > d > 0 a > b > 0 n n 乘方法则 ⇒a >b n ∈ N∗ 乘法单调性 a > b ⇒ ac > bc, c > o a>b>0 n n 开方法则 ⇒ a > b n ∈ N且n > 1 倒数法则 a > b > 0 ⇒ 1 < 1 , a < b < 0 ⇒ 1 > 1 a b a b
不等式知识点
(5)无理不等式 无理不等式
f (x) > g(x) ⇔ g(x) ≥ 0 f (x) > g(x) g(x) < 0 g(x) ≥ 0 或 f (x) > g(x) ⇔ f (x) ≥ 0 f (x) > g 2 (x) g(x) > 0 f (x) < g(x) ⇔ f (x) ≥ 0 f (x) < g 2 (x)
2
3. 基 本 不 等 式 定 理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
整式形式
根式形式
分式形式
倒数形式
不等式知识点
4.公式 公式
a
2
+ b 2
2
a + b ≥ ≥ 2
ab ≥
a
−1
2 + b
−1
5.重要结论 重要结论
a + b + c ≥ 3 abc ( a , b , c , > 0 )
3 3 3
a + b + c ≥ 3 abc ( a , b , c , > 0 )
不等式知识点
(6)指数不等式 指数不等式： 指数不等式
a
f (x)
>a
g( x)
f ( x ) > g( x ), (a > 1) ⇔ f ( x) < g( x ), (0 < a < 1)
(7)对数不等式 对数不等式
loga
f (x)
> loga
g( x)
f (x) > 0 g(x) > 0 (a > 1) f (x) > g(x) ⇔ f (x) > 0 g(x) > 0 (0 < a < 1) f (x) < g(x)
不等式知识点
a 2 + b 2 ≥ 2 ab 1 a 2 + b 2 ≥ (a + b ) 2 2 a + b ab ≤ 2 2 a + b 2 ab ≤ 2 a + b ab ≥ 2 a + b ≤ 2 (a 2 + b 2 ) b a 同号） + ≥ 2 ( a , b 同号） a b 1 a > 0 ⇒ a + ≥ 2 a 1 a < 0 ⇒ a + ≤ − 2 a
3
不等式知识点
6.证明不等式的主要方法 证明不等式的主要方法 •（1）比较法： （ ）比较法：
作差法 A − B ≥ 0 ⇔ A ≥ B 作商法 A > 1(B > 0) ⇒ A > B B
•（2）综合法：由因导果 （ ）综合法： •（3）分析法：执果索因 （ ）分析法： •（4）反证法：正难则反 （ ）反证法： •（5）构造法：构造函数或不等式证明不等式 （ ）构造法： •（6）放缩法：要恰当的放缩以达到证题的目的 （ ）放缩法：
不等式知识点
（7）判别式法：与一元二次函数有关的或可以转化 ）判别式法： 为一元二次函数,根据其有无实数解建立不等式关系 为一元二次函数 根据其有无实数解建立不等式关系 求解问题. 求解问题 均置换元. （8）换元法：三角换元，增量换元 ， 均置换元 ）换元法：三角换元， 9）数学归纳法： （9）数学归纳法：
判 别 式 法
数 学 归 纳 法 构 造 函 数 法
不 等 式
反 放 证 缩 法 法
换 元 法
整式不等式 解不等式 可化为整式不等式的不等式 不等式的应用
不等式知识点
二.知识要点
1.两实数大小的比较 两实数大小的比较 2.不等式的性质 不等式的性质
a > b ⇔ a − b > 0 a = b ⇔ a − b = 0 a < b ⇔ a − b < 0
不 等 式
不等式知识点
不等式知识点
11.不等式的分类（按所连接的解析式类型分类） 不等式的分类（按所连接的解析式类型分类） 不等式的分类
代数不等式 超越不等式 有理不等式 无理不等式 指数不等式 对数不等式 三角不等式 一次不等式 整式不等式 二次不等式 高次不等式 分式不等式 绝对值不等式
不等式知识点
10.解不等式 解不等式 (1)一元一次不等式 一元一次不等式
x > ax > b(a ≠ 0) x < b (a > 0 ) a b (a < 0 ) a
(2)一元二次不等式： 一元二次不等式： 一元二次不等式
∆ > 0, x < x1 , x > x 2 (x1 > x 2 ) b 2 ax + bx + c > 0(a > 0) ⇒ ∆ = 0, x ≠ − 2a ∆ < 0, x ∈ R
不等式知识点
(3)高次不等式： 高次不等式： 高次不等式
( x − a1 )( x − a 2 ) L ( x − a n ) > 0
a1 > a 2 > L > a n
表解法 ⇒ 数轴标根法
(4)分式不等式： f ( x ) 分式不等式： 分式不等式 g( x ) > 0 ⇔ f ( x ) ⋅ g( x ) > 0 f ( x) f ( x ) ⋅ g ( x ) ≤ 0 ≤0⇔ g( x ) g( x ) ≠ 0