关于高级高中数学不等式知识点总结归纳教师版
高中数学不等式知识点总结归纳(教师版)
高中数学不等式知识点总结归纳(教师版)高中数学不等式专题教师版一、高考动态考试内容：不等式。
不等式的基本性质。
不等式的证明。
不等式的解法。
含绝对值的不等式。
考试要求：1.理解不等式的性质及其证明。
2.掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单地应用。
3.掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。
4.掌握简单不等式的解法。
5.理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。
二、不等式知识要点1.不等式的基本概念1) 不等（等）号的定义：a-b>⟺a>b；a-b=⟺a=b；a-b<⟺a<b。
2) 不等式的分类：绝对不等式，条件不等式，矛盾不等式。
3) 同向不等式与异向不等式。
4) 同解不等式与不等式的同解变形。
2.不等式的基本性质1) a>XXX<a（对称性）。
2) a>b，b>c⟹a>c（传递性）。
3) a>b⟹a+c>b+c（加法单调性）。
4) a>b，c>d⟹a+c>b+d（同向不等式相加）。
5) a>b，cb-d（异向不等式相减）。
6) a>b，c>0⟹ac>bc；a<b，c<0⟹ac<bc（乘法单调性）。
7) a>b>0，c>d>0⟹ac>bd（同向不等式相乘）。
8) a>b>0，0bc（异向不等式相除）。
9) a>b，ab>0⟹a/b>b/a。
10) a>b，ab<0⟹a/b<b/a。
11) a>b>0，n>1⟹a^n>b^n（平方法则）。
12) a>b>0，n>1⟹a^(1/n)>b^(1/n)（开方法则）。
3.几个重要不等式1) 若a∈R，则|a|≥0，a^2≥0.2) 若a、b∈R+，则a^2+b^2≥2ab（当且仅当a=b时取等号）。
完整版)高中数学不等式知识点总结
完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。
②传递性：a>b。
b>c则a>c。
③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。
同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。
异向可减性：a>b，cb-d。
④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。
⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。
异向正数可除性：a>b>0，0bc。
a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。
⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。
2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。
a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。
a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。
a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。
3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。
完整版高中数学不等式知识点总结
完整版高中数学不等式知识点总结高中数学中的不等式是学习数学中非常重要的一部分，在中高考中，不等式占据了较多的分数比重。
本文将对高中数学中的不等式进行全面的总结，内容涵盖了不等式的概念、基础知识、理论与定理、解题思路、常用不等式以及与其他章节的联系等方面。
一、不等式的概念与基础知识不等式是指含有不等关系的算式，一般表示成 a<b 或a>b，其中 a、b 可以是实数、分数或代数式等。
当 a<b 时，称 a 小于 b，也可以写成 b 大于 a；当 a>b 时，称 a 大于b，也可以写成 b 小于 a。
在不等式中，表示关系的符号“<”和“>”称为不等号。
解不等式可以用图像法、正推反证法和直接法等方法。
图像法：绘制不等式所代表的曲线或图形，在图形中表示不等关系所代表的区域，最终得出解不等式的集合。
正推反证法：通过推理判断得出不等式的解，其中正推法是根据不等式的性质进行推导和运算，而反证法则是通过推翻假设得出结论。
直接法：对不等式进行变形、化简和运算，得出解的过程。
不等式的基础知识：1. 加减法原则：若 a<b，则 a+c<b+c，a-c<b-c（c 为任意实数）。
2. 乘除法原则：若 a<b 且 c>0，则 ac<bc，a/c<b/c；若 a<b 且 c<0，则 ac>bc，a/c>b/c。
3. 平均值不等式：对于任意两个正数 a 和 b，有(a+b)/2>=√ab，等号当且仅当 a=b 时取到。
二、不等式的理论与定理1. 不等式传递性：若 a<b，b<c，则 a<c。
2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意两个实数序列a1,a2,...,an 和 b1,b2,...,bn，有(a1b1+a2b2+...+anbn)^2<=((a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^ 2+...+bn^2))，等号当且仅当 a1/b1=a2/b2=...=an/bn 时取到。
高中数学知识点总结(不等式选讲 第二节 不等式的证明)
第二节 不等式的证明一、基础知识1．基本不等式(1)定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)定理2：如果a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．(3)定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．2．比较法(1)作差法的依据是：a －b ＞0⇔a ＞b . (2)作商法：若B ＞0，欲证A ≥B ，只需证AB ≥1.3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．考点一 比较法证明不等式[典例] 已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.[解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2，得－2x ＜2，解得x ＞－1；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2恒成立；当x ≥12时，由f (x )＜2，得2x ＜2，解得x ＜1.所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1， 从而(a ＋b )2－(1＋ab )2 ＝a 2＋b 2－a 2b 2－1 ＝(a 2－1)(1－b 2)＜0. 因此|a ＋b |＜|1＋ab |. [题组训练]1．当p ，q 都是正数且p ＋q ＝1时，求证：(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2. 解：(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝p 2x 2＋q 2y 2＋2pqxy －(px 2＋qy 2) ＝p (p －1)x 2＋q (q －1)y 2＋2pqxy .因为p ＋q ＝1，所以p －1＝－q ，q －1＝－p . 所以(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝－pq (x 2＋y 2－2xy )＝－pq (x －y )2. 因为p ，q 为正数，所以－pq (x －y )2≤0，所以(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2.当且仅当x ＝y 时，不等式中等号成立． 2．求证：当a >0，b >0时，a a b b≥(ab )+2a b .证明：∵a ab b ab+2a b ＝⎝⎛⎭⎫a b -2a b ，∴当a ＝b 时，⎝⎛⎭⎫a b -2a b ＝1，当a >b >0时，ab >1，a －b 2>0，∴⎝⎛⎭⎫a b -2a b>1，当b >a >0时，0<ab <1，a －b 2<0，∴⎝⎛⎭⎫a b -2a b>1，∴a a b b≥(ab )+2a b.考点二 综合法证明不等式[典例] (2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.[证明] (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)∵(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3a ＋b 24(a ＋b )＝2＋3a ＋b 34，∴(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.[解题技法] 综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键；(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．[题组训练]1．设a ，b ，c ，d 均为正数，若a ＋b ＝c ＋d ，且ab >cd ，求证：a ＋b >c ＋d . 证明：因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd . 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此 a ＋b >c ＋d .2．(2018·湖北八校联考)已知不等式|x |＋|x －3|<x ＋6的解集为(m ，n )． (1)求m ，n 的值；(2)若x >0，y >0，nx ＋y ＋m ＝0，求证：x ＋y ≥16xy . 解：(1)由|x |＋|x －3|<x ＋6，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥3，x ＋x －3<x ＋6或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <3，3<x ＋6或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x ＋3－x <x ＋6， 解得－1<x <9，∴m ＝－1，n ＝9.(2)证明：由(1)知9x ＋y ＝1，又x >0，y >0， ∴⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (9x ＋y )＝10＋y x ＋9xy≥10＋2y x ×9xy＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，即x ＝112，y ＝14时取等号，∴1x ＋1y ≥16，即x ＋y ≥16xy .考点三 分析法证明不等式[典例] (2019·长春质检)设不等式||x ＋1|－|x －1||<2的解集为A . (1)求集合A ；(2)若a ，b ，c ∈A ，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.[解] (1)由已知，令f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ≥1，2x ，－1<x <1，－2，x ≤－1，由|f (x )|<2，得－1<x <1，即A ＝{x |－1<x <1}． (2)证明：要证⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1，只需证|1－abc |>|ab －c |，即证1＋a 2b 2c 2>a 2b 2＋c 2，即证1－a 2b 2>c 2(1－a 2b 2)， 即证(1－a 2b 2)(1－c 2)>0，由a ，b ，c ∈A ，得－1<ab <1，c 2<1，所以(1－a 2b 2)(1－c 2)>0恒成立． 综上，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.[解题技法] 分析法证明不等式应注意的问题(1)注意依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论． (2)注意从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．(3)注意恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语． [题组训练]1．已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a . 证明：由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0， 知a >0，c <0. 要证b 2－ac <3a ， 只需证b 2－ac <3a 2.∵a ＋b ＋c ＝0，∴只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2， 即证2a 2－ab －b 2>0， 即证(a －b )(2a ＋b )>0， 即证(a －b )(a －c )>0.∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0， ∴(a －b )(a －c )>0显然成立， 故原不等式成立．2．已知函数f (x )＝|x ＋1|.(1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，求证：f (ab )＞f (a )－f (－b )． 解：(1)由题意，|x ＋1|<|2x ＋1|－1， ①当x ≤－1时，不等式可化为－x －1＜－2x －2， 解得x ＜－1； ②当－1＜x ＜－12时，不等式可化为x ＋1＜－2x －2， 此时不等式无解； ③当x ≥－12时，不等式可化为x ＋1＜2x ，解得x ＞1. 综上，M ＝{x |x ＜－1或x ＞1}．(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |， 所以要证f (ab )＞f (a )－f (－b )， 只需证|ab ＋1|＞|a ＋b |， 即证|ab ＋1|2＞|a ＋b |2，即证a 2b 2＋2ab ＋1＞a 2＋2ab ＋b 2， 即证a 2b 2－a 2－b 2＋1＞0， 即证(a 2－1)(b 2－1)＞0.因为a ，b ∈M ，所以a 2＞1，b 2＞1，所以(a 2－1)(b 2－1)＞0成立，所以原不等式成立．[课时跟踪检测]1．已知△ABC 的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，试用分析法证明：∠B 为锐角． 证明：要证∠B 为锐角，只需证cos B >0， 所以只需证a 2＋c 2－b 2>0， 即a 2＋c 2>b 2，因为a 2＋c 2≥2ac ， 所以只需证2ac >b 2， 由已知得2ac ＝b (a ＋c )．所以只需证b (a ＋c )>b 2，即a ＋c >b ，显然成立． 所以∠B 为锐角．2．若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由． 解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，仅当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，仅当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6. 3．(2019·南宁模拟)(1)解不等式|x ＋1|＋|x ＋3|<4； (2)若a ，b 满足(1)中不等式，求证：2|a －b |<|ab ＋2a ＋2b |.解：(1)当x <－3时，|x ＋1|＋|x ＋3|＝－x －1－x －3＝－2x －4<4，解得x >－4，所以 －4<x <－3；当－3≤x <－1时，|x ＋1|＋|x ＋3|＝－x －1＋x ＋3＝2<4恒成立， 所以－3≤x <－1；当x ≥－1时，|x ＋1|＋|x ＋3|＝x ＋1＋x ＋3＝2x ＋4<4，解得x <0，所以－1≤x <0. 综上，不等式|x ＋1|＋|x ＋3|<4的解集为{x |－4<x <0}． (2)证明：因为4(a －b )2－(ab ＋2a ＋2b )2 ＝－(a 2b 2＋4a 2b ＋4ab 2＋16ab ) ＝－ab (b ＋4)(a ＋4)<0， 所以4(a －b )2<(ab ＋2a ＋2b )2， 所以2|a －b |<|ab ＋2a ＋2b |.4．(2018·武昌调研)设函数f (x )＝|x －2|＋2x －3，记f (x )≤－1的解集为M . (1)求M ；(2)当x ∈M 时，求证：x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤2，3x －5，x >2.当x ≤2时，由f (x )＝x －1≤－1， 解得x ≤0，此时x ≤0；当x >2时，由f (x )＝3x －5≤－1， 解得x ≤43，显然不成立．故f (x )≤－1的解集为M ＝{x |x ≤0}．(2)证明：当x ∈M 时，f (x )＝x －1，于是x [f (x )]2－x 2f (x )＝x (x －1)2－x 2(x －1)＝－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14. 令g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14， 则函数g (x )在(－∞，0]上是增函数， ∴g (x )≤g (0)＝0. 故x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.5．(2019·西安质检)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)记函数g (x )＝f (x )＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，求证：t 2＋1≥3t＋3t .解：(1)依题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12，∴f (x )≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <12，2－x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1，即不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)证明：g (x )＝f (x )＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x －1－2x －2|＝3， 当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0，即－1≤x ≤12时取等号，∴M ＝[3，＋∞)． t 2＋1－3t －3t ＝t 3－3t 2＋t －3t＝t －3t 2＋1t，∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2＋1>0， ∴t －3t 2＋1t ≥0，∴t 2＋1≥3t＋3t .6．(2019·长春质检)已知函数f (x )＝|2x －3|＋|3x －6|. (1)求f (x )<2的解集；(2)若f (x )的最小值为T ，正数a ，b 满足a ＋b ＝12，求证：a ＋b ≤T .解：(1)f (x )＝|2x －3|＋|3x －6|＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ＋9，x <32，－x ＋3，32≤x ≤2，5x －9，x >2.作出函数f (x )的图象如图所示．由图象可知，f (x )<2的解集为⎝⎛⎭⎫75，115. (2)证明：由图象可知f (x )的最小值为1， 由基本不等式可知a ＋b2≤ a ＋b2＝ 14＝12， 当且仅当a ＝b 时，“＝”成立，即a ＋b ≤1＝T . 7．已知函数f (x )＝|2x －1|－⎪⎪⎪⎪x ＋32. (1)求不等式f (x )<0的解集M ；(2)当a ，b ∈M 时，求证：3|a ＋b |<|ab ＋9|.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧52－x ，x <－32，－3x －12，－32≤x ≤12，x －52，x >12.当x <－32时，f (x )<0，即52－x <0，无解；当－32≤x ≤12时，f (x )<0，即－3x －12<0，得－16<x ≤12；当x >12时，f (x )<0，即x －52<0，得12<x <52.综上，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－16<x <52. (2)证明：要证3|a ＋b |<|ab ＋9|，只需证9(a 2＋b 2＋2ab )<a 2b 2＋18ab ＋81， 即证a 2b 2－9a 2－9b 2＋81＞0， 即证(a 2－9)(b 2－9)＞0.因为a ，b ∈M ，所以－16<a <52，－16<b <52，所以a 2－9<0，b 2－9<0， 所以(a 2－9)(b 2－9)>0， 所以3|a ＋b |<|ab ＋9|.8．已知函数f (x )＝m －|x ＋4|(m >0)，且f (x －2)≥0的解集为[－3，－1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 都是正实数，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解：(1)法一：依题意知f (x －2)＝m －|x ＋2|≥0， 即|x ＋2|≤m ⇔－m －2≤x ≤－2＋m .由题意知不等式的解集为[－3，－1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m －2＝－3，－2＋m ＝－1，解得m ＝1.法二：因为不等式f (x －2)≥0的解集为[－3，－1]，所以－3，－1为方程f (x －2)＝0的两根，即－3，－1为方程m －|x ＋2|＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －|－3＋2|＝0，m －|－1＋2|＝0，解得m ＝1.(2)证明：由(1)可知1a ＋12b ＋13c＝1(a ，b ，c >0)，所以a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ＝3＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋2b a ＋⎝⎛⎭⎫a 3c ＋3c a ＋⎝⎛⎭⎫2b 3c ＋3c2b ≥9，当且仅当a ＝2b ＝3c ，即a ＝3，b ＝32，c ＝1时取等号．。
高中数学不等式知识点总结教师版
高中数学不等式知识点总结教师版一、基本概念1.不等式的定义：不等式是数学中一种重要的关系，是一个数与另一个数之间的大小关系的表达方式。
2.不等式的性质：不等式具有传递性、对称性和加法性。
-传递性：若a>b,b>c，则a>c。
-对称性：若a>b，则b<a。
-加法性：若a>b，则a+c>b+c。
3.常见的不等式符号：>,<,≥,≤。
二、一元一次不等式1. 一元一次不等式的定义：一元一次不等式是形如 ax + b > 0 或ax + b < 0 的不等式，其中 a, b 是实数，且a ≠ 0。
2.一元一次不等式的解法：分为以下几步：-将不等式转化为等式求解，得到等式的解集。
-判断等式解集与原不等式的关系，得到不等式解集。
3.一元一次不等式的图像：可利用数轴来表示一元一次不等式的解集。
三、一元二次不等式1. 一元二次不等式的定义：一元二次不等式是形如ax² + bx + c > 0 或ax² + bx + c < 0 的不等式，其中 a, b, c 是实数，且a ≠ 0。
2.一元二次不等式的解法：-利用一元二次不等式的图像法，即通过绘制一元二次函数的图像来确定不等式的解集。
-利用一元二次不等式的求根法，即通过求解一元二次方程来确定不等式的解集。
3.一元二次不等式的图像：可利用平移、压缩、翻折等方法，通过一元二次函数的图像形状来确定其解集。
四、绝对值不等式1.绝对值不等式的定义：绝对值不等式是形如x-a，>b或，x-a，<b的不等式，其中a,b是实数，且b>0。
2.绝对值不等式的解法：-对于，x-a，>b形式的不等式，可拆分为两个一元一次不等式求解，并求得并集。
-对于，x-a，<b形式的不等式，可利用绝对值的定义，得到不等式的解集。
3.绝对值不等式的图像：可利用数轴来表示绝对值不等式的解集。
高三数学不等式知识点总结
高三数学不等式知识点总结不等式是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
在高三数学学习中，掌握不等式的相关知识点对于理解和解决问题至关重要。
本文将对高三数学中的不等式知识点进行总结。
1. 不等式的基本性质不等式的基本性质包括：- 加法性质：如果a > b，那么a + c > b + c。
- 减法性质：如果a > b，那么a - c > b - c。
- 乘法性质：如果a > b，c > 0，那么ac > bc；如果a > b，c < 0，那么ac < bc。
- 除法性质：如果a > b，c > 0，那么a/c > b/c；如果a > b，c < 0，那么a/c < b/c。
2. 不等式的解集表示法解不等式时常常需要表示出解集，常见的表示方法有：- 图形表示法：将不等式的解集在数轴上用图形表示出来，例如用方向箭头表示不等式的解集。
- 区间表示法：使用区间表示法表示解集，例如(a, b)表示开区间，[a, b]表示闭区间，(a, b]表示半开半闭区间，等等。
- 集合表示法：使用集合的符号表示解集，例如{x | a < x < b}表示大于a小于b的x的集合。
3. 一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次方程。
解一元一次不等式的方法与解方程类似，不同的是在解的过程中需要注意保持不等式的方向性。
- 加减法解不等式：通过加减同一个数使得不等式简化，确定不等式的方向。
- 乘除法解不等式：通过乘除同一个正数或负数使得不等式简化，确定不等式的方向。
4. 一元二次不等式一元二次不等式是指含有一个未知数的二次方程。
解一元二次不等式的关键是确定二次函数的图像与x轴的位置关系。
- 求解不等式组：将二次不等式转化为不等式组的形式，通过观察二次函数的变化趋势求解。
- 图像法求解：绘制二次函数的图像，根据图像与x轴的位置关系得出解集。
关于高级高中数学不等式知识点总结归纳教师版
高中数学不等式专题教师版一、高考动向考试内容：不等式．不等式的根本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：（1〕理解不等式的性质及其证明．（2〕掌握两个〔不扩展到三个〕正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3〕掌握解析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4〕掌握简单不等式的解法．（5〕理解不等式│ a│- │ b│≤│ a+b│≤│ a│ +│ b│?二、不等式知识要点1.不等式的根本看法〔 1〕不等〔等〕号的定义： a b 0 a b; a b 0 a b; a b 0a b.〔 2〕不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.（3〕同向不等式与异向不等式 .（4〕同解不等式与不等式的同解变形 .2. 不等式的根本性质（1〕a b b a〔对称性〕〔 2〕a b, b c a c 〔传达性〕〔 3〕a b a c b c 〔加法单调性〕〔 4〕a b, c d a c b d 〔同向不等式相加〕〔 5〕 ab, c da cb d 〔异向不等式相减〕〔 6〕 a. b,c0 ac bc（ 7〕 a b, c 0 ac bc 〔乘法单调性〕〔 8〕 ab 0,c d0 acbd 〔同向不等式相乘〕(9) a b 0,0cda b 〔异向不等式相除〕cd(10) a b, ab 01 1〔倒数关系〕ab〔 11〕 a ba nb n ( n Z , 且n1) 〔平方法那么〕〔 12〕 ab 0nanb(nZ ,且n 1) 〔开方法那么〕3. 几个重要不等式〔 1〕 假设 a R,那么 | a | 0,a 2〔2〕假设、R , 那么 22或 22〔当仅当 a=b 时取等号〕a ba b2ab(ab 2 | ab | 2ab)〔 3〕若是 a , b 都是正数，那么aba b. 〔当仅当 a=b 时取等号〕2极值定理：假设 x, y R , xyS, xy P, 那么：1 若是 P 是定值 , 那么当 x=y 时， S 的值最小；○○2若是 S 是定值 , 那么当 x =y 时， P 的值最大 .利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等 .(4) 假设 a 、 b 、c R ,那么a bc3abc 〔当仅当 a=b=c 时取等号〕3(5) 假设 ab 0, 那么ba 2 〔当仅当 a=b 时取等号〕ab〔 7〕 假设a 、bR,那么 || a | | b || | a b | | a | | b |4. 几个着名不等式〔1〕平均不等式：若是 a , b 都是正数，那么2a b a 2 b 2〔当仅当1 ab2 2 .1 aba=b 时取等号〕即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调停平均〔a、b 为正数〕：特别地， ab (ab ) 2 a 2b 2〔当 a = b 时， ( ab ) 2 a 2 b 2ab 〕2222幂平均不等式： a 12a 22...a n 21(a 1 a 2 ... a n ) 2n注：比方： (acbd ) 2 ( a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) .常用不等式的放缩法：①1111 1 11n n 1n(n 1)pn 2pn( n 1) n 1n ( n2)② n 1 n1 p 1 p1nn 1(n 1)nn2 nnn11〔 2〕柯西不等式：假设 a 1 ,a 2 , a 3 , , a n R,b 1 ,b 2 ,b 3 , b n R;那么a 2 a 2)(b bb 2 b 2 )〔 a b a b a 3 b 3 a n b )2 (a 2 a 2 2 21 12 2n1 2 3n1 2 3 n当且仅当 a 1 a 2 a 3 an 时取等号b 1 b 2 b 3 b n〔 3〕琴生不等式〔特例〕与凸函数、凹函数假设定义在某区间上的函数 f(x), 关于定义域中任意两点x 1, x 2 ( x 1 x 2 ), 有那么称 f(x)为凸〔或凹〕函数 .5. 不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、解析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6. 不等式的解法〔 1〕整式不等式的解法〔根轴法〕.步骤：正化，求根，标轴，穿线〔偶重根打结〕，定解.特例① 一元一次不等式 ax >b 解的谈论；②一元二次不等式 ax 2 +bx +c >0( a ≠ 0) 解的谈论 .（ 2〕分式不等式的解法：先移项通分标准化，那么 （ 3〕无理不等式：转变成有理不等式求解 （ 4〕 . 指数不等式：转变成代数不等式 （ 5〕对数不等式：转变成代数不等式（ 6〕含绝对值不等式○1应用分类谈论思想去绝对值；○2 应用数形思想；○3应用化归思想等价转变注：常用不等式的解法举例〔 x 为正数〕：① x(1 x) 21 2x(1 x)(1 x) 1(2) 3 422327② yx(1x 2 )y 2 2 x 2 (1 x 2 )(1 x 2 ) 1(2)34y2 32 2 3279近似于 ysin x cos 2x sin x(1 sin 2x) ，③ | x 1 | | x | | 1 | ( x 与 1同号，故取等 ) 2xx x三、利用均值不等式求最值的方法均值不等式abab (a 0，b 0， 当且仅当 a ＝ b 时等号成立〕 是一个重要2的不等式，利用它可以求解函数最值问题。
高三不等式必背知识点总结
高三不等式必背知识点总结高中数学学科中，不等式是一个重要的内容，也是学习中的重点和难点之一。
在高三阶段，不等式的掌握和运用变得更加关键，它是解析几何、数列等各种数学内容的基础。
下面将对高三不等式的必背知识点进行总结与归纳。
一、基本的不等式关系在不等式学科中，最基础、最重要的关系就是大小关系。
通常使用的符号有大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）。
大于号和小于号用于表示严格的大小关系，大于等于号和小于等于号则包含了等于的情况。
二、绝对值不等式绝对值不等式是高三阶段需要掌握的一个重要知识点。
对于任意的实数a，绝对值不等式可以分为三种情况：1. 当a > 0时，|x| > a的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞)；2. 当a = 0时，|x| > a的解集为全体实数集R；3. 当a < 0时，|x| > a的解集为空集。
绝对值不等式的求解需要根据以上三种情况进行分类讨论。
三、一元一次不等式一元一次不等式是最基础的一类不等式之一，在高三阶段需要非常熟练地掌握。
一元一次不等式的求解大致可以分为以下几个步骤：1. 将不等式两边的式子整理为一个多项式，注意保持不等式的方向不变；2. 描述不等式的解集，可以通过解析法或图像法等方式确定解集的范围。
四、二次不等式二次不等式在高三学习中也是一个重点，它的解集常常与多项式的图像、方程的根等有关。
1. 解二次不等式需要先将二次不等式整理为标准形式，即要使得二次项系数大于0。
2. 利用二次不等式的图像特点，以及平方的非负性质，确定解集的范围。
五、分式不等式分式不等式是高三学习中较为复杂的一类不等式，求解分式不等式的一般步骤如下：1. 找到分式不等式的定义域，即分母不能为0的条件；2. 利用分式的性质化简不等式，使其变为分子和分母均不为0的形式；3. 对分子和分母分别进行讨论，找出使得不等式成立的范围。
六、不等式的基本性质在高三学习中，还需要深入了解不等式的一些基本性质，这些性质在解决不等式问题时起到了重要的指导作用。
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高中数学不等式专题教师版一、高考动态考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│二、不等式知识要点1.不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：.-=<⇔a<⇔=>-⇔>-ba0ba;;baabbab（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.（3）同向不等式与异向不等式.（4）同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质（1）a⇔>（对称性）a<bb（2）c⇒>a>>,（传递性）acbb（3）c+⇒>（加法单调性）a+>cabb（4）d>+⇒a+>,（同向不等式相加）>cbabcd（5）d-⇒>,（异向不等式相减）a-<>cbabdc（6）bc>0,.>accba>⇒（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除）11(10),0a b ab a b>>⇒<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则）（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈aa R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.,3a b c a b c R +++∈(4)若、、则a=b=c 时取等号）0,2b aab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4.几个著名不等式（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么2112a ba b ++（当仅当a=b 时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）：特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b时，222()22a b a b ab ++==）⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++ 注：例如：22222()()()ac bd abcd +≤++.常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n nn n n n n n n n-==-≥++--p p1)n ==≥pp（2）柯西不等式： 时取等号当且仅当（则若nn n n n n n n b a b a b ab a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ΛΛΛΛΛΛ332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有 则称f(x)为凸（或凹）函数. 5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 （3）无理不等式：转化为有理不等式求解 （4）.指数不等式：转化为代数不等式 （5）对数不等式：转化为代数不等式 （6）含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○3应用化归思想等价转化 注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： ①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=②2222232(1)(1)124(1)()22327x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2x x x xxx+=+≥与同号，故取等三、利用均值不等式求最值的方法均值不等式a bab a b +≥>>200(，，当且仅当a ＝b 时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。
对于有些题目，可以直接利用公式求解。
但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。
下面是一些常用的变形方法。
一、配凑 1. 凑系数例1. 当04<<x 时，求y x x =-()82的最大值。
解析：由04<<x 知，820->x ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2828x x +-=()为定值，故只需将y x x =-()82凑上一个系数即可。
当且仅当282x x =-，即x ＝2时取等号。
所以当x ＝2时，y x x =-()82的最大值为8。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
2. 凑项例2. 已知x <54，求函数f x x x ()=-+-42145的最大值。
解析：由题意知450x -<，首先要调整符号，又()42145x x --·不是定值，故需对42x -进行凑项才能得到定值。
∵x x <->54540， ∴f x x x x x()()=-+-=--+-+42145541543≤---+=-+=2541543231()x x ·当且仅当54154-=-x x，即x =1时等号成立。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
3. 分离例3. 求y x x x x =+++-271011()≠的值域。
解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。
当x +>10，即x >-1时y x x ≥+++=214159()·（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。
当x +<10，即x <-1时y x x ≤-++=521411()·（当且仅当x ＝－3时取“＝”号）。
∴y x x x x =+++271011()≠－的值域为(][)-∞+∞，，19Y 。
评注：分式函数求最值，通常化成y mg x Ag x B A m =++>>()()()00，，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
二、整体代换例4. 已知a b a b >>+=0021，，，求t a b=+11的最小值。
解法1：不妨将11ab+乘以1，而1用a ＋2b 代换。
当且仅当2b a a b =时取等号，由22121122b a ab a b a b =+=⎧⎨⎪⎩⎪=-=-⎧⎨⎪⎩⎪，得 即a b =-=-⎧⎨⎪⎩⎪21122时，t a b =+11的最小值为322+。
解法2：将11a b+分子中的1用a b +2代换。
评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到t b a a b =++32，而2b a 与ab的积为定值，即可用均值不等式求得t a b=+11的最小值。
三、换元例5. 求函数y x x =++225的最大值。
解析：变量代换，令t x =+2，则x t t y t t =-≥=+222021()，则当t ＝0时，y ＝0 当t >0时，y t tt t=+≤=121122124·当且仅当21t t=，即t =22时取等号。
故x y =-=3224时，max 。
评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。
四、取平方例6. 求函数y x x x =-+-<<21521252()的最大值。
解析：注意到2152x x --与的和为定值。
又y >0，所以022<≤y 当且仅当2152x x -=-，即x =32时取等号。
故y max =22。
评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。
总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。
高中数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：基本不等式一、选择题1．若a ＞0，b ＞0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是( )A.14B ．1C ．4D ．8 解析：由a ＞0，b ＞0，ln(a ＋b )＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0.故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝4.当且仅当a ＝b ＝12时，上式取等号.答案：C2．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．9D ．16解析：(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋x y ·a ＋yx ＋a .∵x ＞0，y ＞0，a ＞0，∴1＋ax y ＋yx＋a ≥1＋a ＋2a .由9≤1＋a ＋2a ，得a ＋2a －8≥0， ∴(a ＋4)(a －2)≥0.∵a ＞0，∴a ≥2，∴a ≥4，∴a 的最小值为4. 答案：B3．已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋45x ＋m 的值域为R ，则m 的取值范围是( )A ．(－4，＋∞) B．[－4，＋∞) C ．(－∞，－4) D ．(－∞，－4]解析：设g (x )＝5x＋45x ＋m ，由题意g (x )的图像与x 轴有交点，而5x＋45x ≥4，故m ≤－4，故选D.答案：D4．当点(x ，y )在直线x ＋3y －2＝0上移动时，表达式3x＋27y＋1的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．1D ．7解析：方法一：由x ＋3y －2＝0，得3y ＝－x ＋2. ∴3x ＋27y ＋1＝3x ＋33y ＋1＝3x ＋3－x ＋2＋1 ＝3x ＋93x ＋1≥23x ·93x ＋1＝7.当且仅当3x＝93x ，即3x ＝3，即x ＝1时取得等号．方法二：3x ＋27y ＋1＝3x ＋33y ＋1≥23x ·33y ＋1＝232＋1＝7. 答案：D5．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92D.112解析：∵2xy ＝x ·(2y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22， ∴原式可化为(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0.又∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋2y ≥4.当x ＝2，y ＝1时取等号． 答案：B6．(2013·苍山调研)已知x ＞0，y ＞0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析：由lg2x ＋lg8y ＝lg2，得lg2x ＋3y ＝lg2.∴x ＋3y ＝1，1x ＋13y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋x 3y ＋3yx≥4.答案：C 二、填空题7．设x 、y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋4y 2的最小值为__________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y 2≥1＋4＋24＝9.当且仅当4x 2y 2＝1x 2y 2时等号成立，即|xy |＝22时等号成立.答案：98．(2013·台州调研)若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a ＞1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为__________．解析：∵ab －4a －b ＋1＝0， ∴b ＝4a －1a －1，ab ＝4a ＋b －1.∴(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1 ＝6a ＋4a －1a －1·2＋1 ＝6a ＋[4a －1＋3]×2a －1＋1＝6a ＋8＋6a －1＋1＝6(a －1)＋6a －1＋15.∵a ＞1，∴a －1＞0.∴原式＝6(a －1)＋6a －1＋15≥26×6＋15＝27.当且仅当(a －1)2＝1，即a ＝2时等号成立． ∴最小值为27. 答案：279．(2013·聊城质检)经观测，某公路段在某时段内的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间有函数关系：y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0)，在该时段内，当车流量y最大时，汽车的平均速度v ＝__________千米/小时．解析：∵v ＞0， ∴y ＝920v ＋1 600v＋3≤9202v ·1 600v＋3＝92080＋3≈11.08， 当且仅当v ＝1 600v，即v ＝40千米/小时时取等号.答案：40 三、解答题10．已知x ＞0，y ＞0，z ＞0，且x ＋y ＋z ＝1. 求证：1x ＋4y ＋9z≥36.解析：∵x ＞0，y ＞0，z ＞0，且x ＋y ＋z ＝1，∴1x ＋4y ＋9z ＝(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z ＝14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋4x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋9x z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4z y＋9y z ≥14＋2y x ·4xy ＋2 z x ·9xz＋2·4z y ·9yz＝14＋4＋6＋12＝36.当且仅当x 2＝14y 2＝19z 2，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时等号成立．∴1x ＋4y ＋9z≥36.11．某学校拟建一块周长为400 m 的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽．解析：设中间矩形区域的长，宽分别为x m ，y m ， 中间的矩形区域面积为S m 2， 则半圆的周长为πy 2m.∵操场周长为400 m ，所以2x ＋2×πy 2＝400， 即2x ＋πy ＝400(0＜x ＜200,0＜y ＜400π)． ∴S ＝xy ＝12π·(2x )·(πy )≤12π·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋πy 22＝20 000π. 由⎩⎨⎧ 2x ＝πy ，2x ＋πy ＝400，解得⎩⎨⎧ x ＝100，y ＝200π.∴当且仅当⎩⎨⎧ x ＝100，y ＝200π时等号成立．即把矩形的长和宽分别设计为100 m 和200πm 时，矩形区域面积最大． 12．已知x ，y 都是正实数，且x ＋y －3xy ＋5＝0.(1)求xy 的最小值；(2)求x ＋y 的最小值．解析：(1)由x ＋y －3xy ＋5＝0，得x ＋y ＋5＝3xy .∴2xy ＋5≤x ＋y ＋5＝3xy .∴3xy －2xy －5≥0.∴(xy ＋1)(3xy －5)≥0.∴xy ≥53，即xy ≥259，等号成立的条件是x ＝y . 此时x ＝y ＝53，故xy 的最小值是259. (2)方法一：∵x ＋y ＋5＝3xy ≤3·⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝34(x ＋y )2， ∴34(x ＋y )2－(x ＋y )－5≥0. 即3(x ＋y )2－4(x ＋y )－20≥0.即[(x ＋y )＋2][3(x ＋y )－10]≥0.∴x＋y≥103.等号成立的条件是x＝y，即x＝y＝53时取得．故x＋y的最小值为103.方法二：由(1)知，x＋y＋5＝3xy，且(xy)min＝259，∴3(xy)min＝253.∴(x＋y)min＝253－5＝103，此时x＝y＝53.。