第13章电势及场势习题课

1）电势的空间变化率
U
考 方虑 向任 一
电势沿 l 方向
考虑任一 l 方向，在两个 等势面之间有 l 矢量。
ˆ 电势沿 n 方向 U 的空间变化率 n
l
P n
Q
U 的空间变化率 l
U U
l
n
l 与 n方向之 间的夹角是 。
U
考 方虑 向任 一
dq
r
p
Up=?
例1、电量分别为q1、q2、q3的三个点电荷位于边 长为a的正三角形的三个顶点上，求该三角形中 心O的电势；若在O点放一电量为q0的点电荷， 求该电荷在电场中的电势能；若将该点电荷从O 点移到无限远处，求电场力所做的功。 a 解： a 2 q1 r1 r2 r3
U i

a
等势面上处处有 E dl
2).电力线指向电势降落的方向
点电荷的电场线与等势面
+
电偶极子的电场线与等势面
+
平行板电容器的电场线与等势面
+ +
+ +
+
+
+
+
+
2. 电势梯度 电势分别为U 和 U + △U（ △U >0）的邻近等势面，其
电力线与二等势面分别相交于P、Q，两点间的垂直距离 为PQ= △n ，并规定等势面法向指向电势升高的方向。
a b
a
b q0 E2 dl q0 En dl a a a b n q E d l 0 i qi 1 1 a q0 ( ) q q 1 1 4 r r 0 i 0 ia ib i 1 ( ) 40 ria rib 由上可得如下 结论
单个点电荷的场的电势 U
2）电势叠加原理（标量叠加）
p
q 4 0 r
q 1 U p E dl p Ei dl

r1 r2 q2
p
r3
ri qi
q3
4
q
qi
0 ri
或对连续分布带电体 dq Up 4 0 r

给出求电场的又一方法：
由电荷分布 U E
例5（电磁学教材 P75例3.6）根据均匀带电细圆环轴 线上任一点的电势公式，求轴线上任一点的场强。 解：均匀带电细圆环轴线上任一点的电势为： Z
U ( z)
q
4 0 ( z R )
2 2
1
p
2
由于的电荷分布是轴对称的，所以轴线上各 点的场强在垂直于轴线方向的分量为零，因而 轴线上任一点的场强方向沿Z轴。

dr 2 0 r
r p ro po
由此例看出，当电荷分布扩展到无穷 远时，电势零点不能再选在无穷远处。
（电场的图示法） 四、等势面、电势梯度
1. 等势面：将电场中电势相等的点连接起来组成的 面叫做等势面.即 U ( x , y , z ) C 的空间曲面称为等 势面。等势面上的任一曲线叫做等势线或等位线。 等势面的性质： 1)电力线处处垂直等势面 b dl E 在等势面上任取两点 a、b，则 b a E dl U a U b = 0 a、b 任取
2.电势计算：
1）单个点电荷产生的电场中的电势分布。 （选U∞=0，用场强分布和电势的定义直接积分。）
E

q
Up
p
E dl
p
4 0 r
2
ˆ r
q rp
p
E dr
∞
q 4 0 r
2
dr
q 4 0 rp
正点电荷周围的场电势为正 离电荷越远，电势越低。 负点电荷周围的场电势为负 离电荷越远，电势越高。
、B两平面上的电荷面密度分别为A＝_____ ,
B＝__________．
A
B
E0/3 E0
E0/3
2.一带电细线弯成半径为R 的半圆形，电荷线密度为 0sinj，式中0为一常数，j 为半径R与X轴所成的夹角， 如图所示。试求环心O处的 电场强度。 3.如图所示，一半径为R的无 限长半圆柱面形薄筒，均匀带 电，单位长度上的带电量为 ， 试求圆柱面轴线上一点的电场 强度．
1.定义：电场中某点a的电势
a·
Wa 零点 零点 Ua E dl E cos dl a a q
Ua

零点
a
E dl

零点
a
E cos dl
意义：将单位正电荷从a点沿任意路径移到电势为 零的点时，静电力所做的功。
1）.ab两点之间的电势差Uab=Ua-Ub 零点 零点 U ab U a U b E dl E dl
2)场强为该点电势降落最快的方向
U E n
En U
U U
P
Q
n
n
gradU
b.分量形式： E l E cos
U n U n l l
E
U
P n l Q
l
U U 即电场强度在l 方向的分量值
4 0 ri
qi
cos 30

3
Uo
3 4 0 a
q2
(q1 q 2 q 3 )
·
r2
·
O
r1
·
r3
·
q3
例2、试计算均匀带电圆环轴线上任一点P的电势。 设已知带电量为 q Z
解： dU
dq
p
4 0 r
dU 4 r
L 0
dq
r
R

L
dq 40 ( z R )
O
例5、求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布
若仍然选取无穷远为电势零点，则由积分可知各点电势将为 无限大而失去意义。此时，我们可以选取某一距带电直导线 为 r0的 p0 点为电势零点，则距带电直线为 r 的 p 点的电势： p0 r0
U
p
E dl
r
r0 ln 2 0 r ln r ln r0 2 0 2 0
由此可说明电力线不可闭合的性质 若电力线可闭合，则 E dl 0 与环路定理矛盾

L
二、电势能： W（J） 将电荷q0 从电场中 a 点移到 b
q
b
点,静电场力所做的功，等于相 应的静电势能增量的负值。
Aab

b
a
q0 E dl (Wb Wa )
零点
Aab 0 Wb Wa Aab 0 Wb Wa
2 2 1 2
dq
U ( z)
q 4 0 ( z R )
2 2 1 2
例3、求均匀带电球面的电场中的电势分布。 设球面半径为R，总带电量为Q
rR
U (r )

Q 4 0 r
2
r
dr
Q 4 0 r
U
·
r
rR
U (r ) Edr
r
· ·
r
Q 4 0 r

E
dA q0 E dl
q0 q
q
r
q0
ˆ dr ) q0 E | dr | cos(E
4 0 r
2
dr
dA q0
q 4 0 r
2
dr
点电荷 qo 从 a到 b
rb
q
b
点，电场所做的功为：
q0 q 1 1 ( ) A dA dr 4 0 ra rb a ra 4 r 2 0
第13章
电势
一、静电场力的功
元功 dA f dl q E dl q E cos dl 0 0 A dA q0 E cos dl
r dr
1. 单个点电荷 q 的场中移动点电荷q0 从 r 到 r dr ,电场做的功：
dr
r
R
dq U q E Ez [ ] 1 z 4 ( z 2 R 2 ) 2 z 0
与场强叠加原理 求解结果相同

qz
2
4 0 ( z R )
2
3
2
真空中静电场小结 1. 两个物理量： E 2. 两个基本方程
U

3. 两种计算思路
S
E ds
零点
Q
零点 Wa (q1 ) q1E dl q1E cos dl a a 零点 零点 Wa (q2 ) q2 E dl q2 E cos dl a a 零点 零点 Wa (q1 ) Wa (q2 ) E dl E cos dl a a q1 q2
n
等于电势在 l 方向的方向导数的负值 U 在直角坐 E U E U Ez y x 标系中： y z x 直角坐标系中梯度梯度算符
grad i j k x y z
E U
U ˆ U ˆ U ˆ E U ( i j k) x y z

a

b

b
a
E dl
意义：单位正电荷从电场中a点移到b点，静电力所做的功.
2）. 沿电力线方向电势逐点降低或场强总是从电势高
处指向电势低处。
3）. 电势能与电势关系 Wa=qUa
Aab= -(Wb- Wa)=q(Ua- Ub)
4）.电势零点选取：原则上可任选场中一点。 一般为方便可如下选取 a.当电荷只分布在有限区域时，零点通常选在无穷远处。 b.在实际问题中，也常常选地球的电势或机器外 壳为零电势。 c.电势差与电势的零点选取无关。