利用Matlab进行线性回归分析之欧阳歌谷创编
采用MATLAB的线性回归分析
i =1 m
,a n
m 2 xi1 i∑ =1 mx x i1 i 2 i∑ =1 m ∑ x i 1x in i =1
i =1
∑ x i 2 x i1
i =1
Λ Λ
∑ x2 i2
Μ
m
m
i =1
∑ x i 2 x in
Λ
i= 1
2 ∑ ε i = 最小 有
m m ∑ x in x i1 i =1 m ∑ x in x i 2 i =1 m 2 ∑ x in i =1
＋a nxin )= y i − ( a 0 + ∑ a j x ij ) (i
j =1
n
X 的子矩阵 S 有 则
m)
用最小二乘法来推定系数 a0,a 1,
运行程序 即可得 a0 19.8286 a1 2.7429 上述程序亦可用于多项式 y a 0＋ a 1x＋a 2x2＋ ＋a nxn xn xn 即可 的回归 只要把 x1 x x2 x2
3
结束语
MATLAB 语言有很强的矩阵处理能力 所编程 序简洁 明了 在工程中应用很广
参考文献
[1] 郁有文 , 常健 . 传感器原理及工程应用 [M]. 西安 : 西安 电 子 科 技 大 学 出 版 社 , 2000. ［２］ 蒙以正 . MATLAB 5． x 应用与技巧 [M]. 北京 : 科学出 版 社 , 1999.
兵工自动化 软件技术 O. I. Automation 2004 年第 23 卷第 1 期 Software Technique 2004, Vol. 23, No. 1
文章编号 1006 － 1576 2004 01 － 0068 － 02
利用MATLAB进行回归分析
利用MATLAB进行回归分析一、实验目的：1．了解回归分析的基本原理，掌握MATLAB实现的方法；2. 练习用回归分析解决实际问题。
二、实验内容：题目1社会学家认为犯罪与收入低、失业及人口规模有关，对20个城市的犯罪率y（每10万人中犯罪的人数）与年收入低于5000美元家庭的百分比1x、失业率2x和人口总数3x（千人）进行了调查，结果如下表。
（1）若1x~3x中至多只许选择2个变量，最好的模型是什么？（2）包含3个自变量的模型比上面的模型好吗？确定最终模型。
（3）对最终模型观察残差，有无异常点，若有，剔除后如何。
理论分析与程序设计：为了能够有一个较直观的认识，我们可以先分别作出犯罪率y与年收入低于5000美元家庭的百分比1x、失业率2x和人口总数x（千人）之间关系的散点图，根据大致分布粗略估计各因素造3成的影响大小，再通过逐步回归法确定应该选择哪几个自变量作为模型。
编写程序如下：clc;clear all;y=[11.2 13.4 40.7 5.3 24.8 12.7 20.9 35.7 8.7 9.6 14.5 26.9 15.736.2 18.1 28.9 14.9 25.8 21.7 25.7];%犯罪率（人/十万人）x1=[16.5 20.5 26.3 16.5 19.2 16.5 20.2 21.3 17.2 14.3 18.1 23.1 19.124.7 18.6 24.9 17.9 22.4 20.2 16.9];%低收入家庭百分比x2=[6.2 6.4 9.3 5.3 7.3 5.9 6.4 7.6 4.9 6.4 6.0 7.4 5.8 8.6 6.5 8.36.7 8.6 8.4 6.7];%失业率x3=[587 643 635 692 1248 643 1964 1531 713 749 7895 762 2793 741 625 854 716 921 595 3353];%总人口数（千人）figure(1),plot(x1,y,'*');figure(2),plot(x2,y,'*');figure(3),plot(x3,y,'*');X1=[x1',x2',x3'];stepwise(X1,y)运行结果与结论：犯罪率与低收入散点图犯罪率与失业率散点图犯罪率与人口总数散点图低收入与失业率作为自变量低收入与人口总数作为自变量失业率与人口总数作为自变量在图中可以明显看出前两图的线性程度很好，而第三个图的线性程度较差，从这个角度来说我们应该以失业率和低收入为自变量建立模型。
matlab线性回归
matlab线性回归
Matlab 线性回归是建立在线性模型的基础上的一种回归方法。
此技
术中，使用简单的线性函数来拟合输入和输出变量之间的关系。
Matlab
线性回归模型的输出主要用于预测未来的数据和分析数据的趋势。
Matlab 线性回归的过程包括定义变量，检查数据类型，计算线性方程系数，应用
线性模型，评估模型和比较结果。
Matlab 线性回归通常用于统计学分析，用于探究关联型数据及解释现象。
它有助于了解数据变化，衡量数据变化
的大小，预测未来变化趋势，也能用来检验关系是否线性。
用MATLAB求解回归分析
（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’, beta0，alpha） ） 2、预测和预测误差估计： 、预测和预测误差估计： [Y，DELTA]=nlpredci（’model’, x，beta，r，J） 求nlinfit 或nlintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显 著性为1-alpha的置信区间Y ± DELTA.
4、预测及作图： [;,x',beta,r ,J)； plot(x,y,'k+',x,YY,'r')
例5 财政收入预测问题：财政收入与国民收入、工业总产值、 农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关。 下表列出了1952-1981年的原始数据，试构造预测模型。
得结果：b = -16.0730 0.7194 stats = 0.9282 180.9531 0.0000 bint = -33.7071 0.6047 1.5612 0.8340
ˆ ˆ ˆ ˆ 即 β 0 = −16.073, β 1 = 0.7194 ； β 0 的置信区间为[-33.7017，1.5612], β 1 的置信区间为[0.6047,0.834];
回 归 系 数 的 区 间 估 计 F 检验回归模型的 计 数 ： 系数r2、 、 F 的 p 差 区 间 时 为 水 0 平 05 ） . 性 残 信 省 著 置 （缺 显
系数 r2 F > F1F k 的 n-k-1
1
回归 H0 F H0 回归模型 回归 .
p< α
3、 、
区间： 区间：
rcoplot
r2=0.9282, F=180.9531, p=0.0000 p<0.05, 可知回归模型 y=-16.073+0.7194x 成立.
利用 Matlab作回归分析
利用 Matlab 作回归分析一元线性回归模型：2,(0,)y x N αβεεσ=++求得经验回归方程：ˆˆˆyx αβ=+ 统计量： 总偏差平方和：21()n i i SST y y ==-∑，其自由度为1T f n =-； 回归平方和：21ˆ()n i i SSR y y ==-∑，其自由度为1R f =； 残差平方和：21ˆ()n i i i SSE y y ==-∑，其自由度为2E f n =-；它们之间有关系：SST=SSR+SSE 。
一元回归分析的相关数学理论可以参见《概率论与数理统计教程》，下面仅以示例说明如何利用Matlab 作回归分析。
【例1】为了了解百货商店销售额x 与流通费率（反映商业活动的一个质量指标，指每元商品流转额所分摊的流通费用）y 之间的关系，收集了九个商店的有关数据，见下表1.试建立流通费率y 与销售额x 的回归方程。
表1 销售额与流通费率数据【分析】：首先绘制散点图以直观地选择拟合曲线，这项工作可结合相关专业领域的知识和经验进行，有时可能需要多种尝试。
选定目标函数后进行线性化变换，针对变换后的线性目标函数进行回归建模与评价，然后还原为非线性回归方程。
【Matlab数据处理】：【Step1】：绘制散点图以直观地选择拟合曲线x=[1.5 4.5 7.5 10.5 13.5 16.5 19.5 22.5 25.5];y=[7.0 4.8 3.6 3.1 2.7 2.5 2.4 2.3 2.2];plot(x,y,'-o')输出图形见图1。
510152025图1 销售额与流通费率数据散点图根据图1，初步判断应以幂函数曲线为拟合目标，即选择非线性回归模型，目标函数为：(0)b y ax b =< 其线性化变换公式为：ln ,ln v y u x == 线性函数为：ln v a bu =+【Step2】：线性化变换即线性回归建模（若选择为非线性模型）与模型评价% 线性化变换u=log(x)';v=log(y)';% 构造资本论观测值矩阵mu=[ones(length(u),1) u];alpha=0.05;% 线性回归计算[b,bint,r,rint,states]=regress(v,mu,alpha)输出结果：b =[ 2.1421; -0.4259]表示线性回归模型ln=+中：lna=2.1421，b=-0.4259；v a bu即拟合的线性回归模型为=-；y x2.14210.4259bint =[ 2.0614 2.2228; -0.4583 -0.3934]表示拟合系数lna和b的100(1-alpha)%的置信区间分别为：[2.0614 2.2228]和[-0.4583 -0.3934]；r =[ -0.0235 0.0671 -0.0030 -0.0093 -0.0404 -0.0319 -0.0016 0.0168 0.0257]表示模型拟合残差向量；rint =[ -0.0700 0.02300.0202 0.1140-0.0873 0.0813-0.0939 0.0754-0.1154 0.0347-0.1095 0.0457-0.0837 0.0805-0.0621 0.0958-0.0493 0.1007]表示模型拟合残差的100(1-alpha)%的置信区间；states =[0.9928 963.5572 0.0000 0.0012] 表示包含20.9928SSR R SST==、 方差分析的F 统计量/963.5572//(2)R E SSR f SSR F SSE f SSE n ===-、 方差分析的显著性概率((1,2))0p P F n F =->≈； 模型方差的估计值2ˆ0.00122SSE n σ==-。
(完整版)Matlab线性回归(拟合)
Matlab 线性回归（拟合）对于多元线性回归模型：e x x y p p ++++=βββ 110设变量12,,,p x x x y 的n 组观测值为12(,,,)1,2,,i i ip i x x x y i n =．记 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=np n n p p x x x x x x x x x x 212222111211111，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y y y y 21，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p ββββ 10 的估计值为 y x x x b ')'(ˆ1-==β(11.2) 在Matlab 中，用regress 函数进行多元线性回归分析，应用方法如下：语法：b = regress(y, x)[b, bint, r, rint, stats] = regress(y, x)[b, bint, r, rint, stats] = regress(y, x, alpha)b = regress(y, x)，得到的1+p 维列向量b 即为(11.2)式给出的回归系数β的估计值．[b, bint, r, rint, stats]=regress(y, x) 给出回归系数β的估计值b ，β的95％置信区间（(1)2p +⨯向量）bint ，残差r 以及每个残差的95％置信区间（2⨯n 向量）rint ；向量stats 给出回归的R 2统计量和F 以及临界概率p 的值．如果i β的置信区间（bint 的第1i +行）不包含0，则在显著水平为α时拒绝0i β=的假设，认为变量i x 是显著的．[b, bint, r, rint, stats]=regress(y, x, alpha) 给出了bint 和rint 的100(1-alpha)%的置信区间．三次样条插值函数的MATLAB 程序matlab 的splinex = 0:10; y = sin(x); %插值点xx = 0:.25:10; %绘图点yy = spline(x,y,xx);plot(x,y,'o',xx,yy)非线性拟合非线性拟合可以用以下命令(同样适用于线形回归分析)：1.beta = nlinfit(X,y,fun,beta0)X给定的自变量数据,Y给定的因变量数据,fun要拟合的函数模型(句柄函数或者内联函数形式),beta0函数模型中系数估计初值,beta返回拟合后的系数2.x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)fun要拟合的目标函数,x0目标函数中的系数估计初值,xdata自变量数据,ydata 函数值数据X拟合返回的系数(拟合结果)nlinfit格式：[beta，r，J]=nlinfit（x，y，’model’, beta0）Beta 估计出的回归系数r 残差J Jacobian矩阵x，y 输入数据x、y分别为n*m矩阵和n维列向量，对一元非线性回归，x为n维列向量。
用MATLAB求解回归分析
1． 对回归模型建立M文件model.m如下: function yy=model(beta0,X) a=beta0(1); b=beta0(2); c=beta0(3); d=beta0(4); e=beta0(5); f=beta0(6); x1=X(:,1); x2=X(:,2); x3=X(:,3); x4=X(:,4); x5=X(:,5); x6=X(:,6); yy=a*x1+b*x2+c*x3+d*x4+e*x5+f*x6;
例 2 观测物体降落的距离 s 与时间 t 的关系，得到数据如下表， 求 s 关于 t 的回归方程 sˆ a bt ct 2 .
t (s)
1/30
2/30
3/30
4/30
5/30
6/30
7/30
s (cm) 11.86
15.67
20.60
26.69
33.71
41.93
51.13
t (s) s (cm)
回归系数 的初值
（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’, beta0，alpha）
2、预测和预测误差估计： [Y，DELTA]=nlpredci（’model’, x，beta，r，J）
求nlinfit 或nlintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显 著性为1-alpha的置信区间Y DELTA.
80
70
50
65
90
100 110 60
收入 1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300
价格 5
7
6
6
8
7
利用Matlab进行线性回归分析
利用Matlab举止线性返回分解之阳早格格创做返回分解是处理二个及二个以上变量间线性依存闭系的统计要领.不妨通过硬件Matlab真止.正在Matlab中，不妨间接调用下令真止返回分解，（1）[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)，其中b是返回圆程中的参数预计值，bint是b的置疑区间，r战rint分别表示残好及残好对于应的置疑区间.stats包罗三个数字，分别是相闭系数，F统计量及对于应的概率p值.（2）recplot(r,rint)做残好分解图.（3）rstool(x,y)一种接互式办法的句柄下令.以下通过简曲的例子去证明.例现有多个样原的果变量战自变量的数据，底下咱们利用Matlab，通过返回分解修坐二者之间的返回圆程.% 一元返回分解x=[1097 1284 1502 1394 1303 1555 1917 2051 2111 2286 2311 2003 2435 2625 2948 3, 55 3372];%自变量序列数据y=[698 872 988 807 738 1025 1316 1539 1561 1765 1762 1960 1902 2013 2446 2736 2825];%果变量序列数据X=[ones(size(x')),x'],pause[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',X,0.05),pause%调用一元返回分解函数rcoplot(r,rint)%绘出正在置疑度区间下缺点分散.% 多元返回分解% 输进百般自变量数据x1=[5.5 2.5 8 3 3 2.9 8 9 4 6.5 5.5 5 6 5 3.5 8 6 4 7.5 7]';x2=[31 55 67 50 38 71 30 56 42 73 60 44 50 39 55 7040 50 62 59]';x3=[10 8 12 7 8 12 12 5 8 5 11 12 6 10 10 6 11 11 9 9]';x4=[8 6 9 16 15 17 8 10 4 16 7 12 6 4 4 14 6 8 13 11]';%输进果变量数据y=[79.3 200.1 163.1 200.1 146.0 177.7 30.9 291.9 160 339.4 159.6 86.3 237.5 107.2 155 201.4 100.2 135.8 223.3 195]';X=[ones(size(x1)),x1,x2,x3,x4];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X)%返回分解Q=r'*rsigma=Q/18rcoplot(r,rint);%逐步返回X1=[x1,x2,x3,x4];stepwise(X1,y,[1,2,3])%逐步返回%X2=[ones(size(x1)),x2,x3];%X3=[ones(size(x1)),x1,x2,x3];%X4=[ones(size(x1)),x2,x3,x4];%[b1,b1int,r1,r1int,stats1]=regress(y,X2) %[b2,b2int,r2,r2int,stats2]=regress(y,X3); %[b3,b3int,r3,r3int,stats3]=regress(y,X4);。
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利用Matlab进行线性回归分析
欧阳歌谷（2021.02.01）
回归分析是处理两个及两个以上变量间线性依存关系的统计方法。
可以通过软件Matlab实现。
1.利用Matlab软件实现
在Matlab中，可以直接调用命令实现回归分析，
（1）[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)，其中b是回归方程中的参数估计值，bint是b的置信区间，r和rint分别表示残差及残差对应的置信区间。
stats包含三个数字，分别是相关系数，F统计量及对应的概率p值。
（2）recplot(r,rint)作残差分析图。
（3）rstool(x,y)一种交互式方式的句柄命令。
以下通过具体的例子来说明。
例现有多个样本的因变量和自变量的数据，下面我们利用Matlab，通过回归分析建立两者之间的回归方程。
% 一元回归分析
x=[1097 1284 1502 1394 1303 1555 1917 2051 2111 2286 2311
2003 2435 2625 2948 3, 55 3372];%自变量序列数据
y=[698 872 988 807 738 1025 1316 1539 1561 1765 1762 1960 1902 2013 2446 2736 2825];%因变量序列数据
X=[ones(size(x')),x'],pause
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',X,0.05),pause%调用一元回归分析函数rcoplot(r,rint)%画出在置信度区间下误差分布。
% 多元回归分析
% 输入各种自变量数据
x1=[5.5 2.5 8 3 3 2.9 8 9 4 6.5 5.5 5 6 5 3.5 8 6 4 7.5 7]';
x2=[31 55 67 50 38 71 30 56 42 73 60 44 50 39 55 7040 50 62 59]';
x3=[10 8 12 7 8 12 12 5 8 5 11 12 6 10 10 6 11 11 9 9]';
x4=[8 6 9 16 15 17 8 10 4 16 7 12 6 4 4 14 6 8 13 11]';
%输入因变量数据
y=[79.3 200.1 163.1 200.1 146.0 177.7 30.9 291.9 160 339.4 159.6 86.3 237.5 107.2 155 201.4 100.2 135.8 223.3 195]';
X=[ones(size(x1)),x1,x2,x3,x4];
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X)%回归分析
Q=r'*r
sigma=Q/18
rcoplot(r,rint);
%逐步回归
X1=[x1,x2,x3,x4];
stepwise(X1,y,[1,2,3])%逐步回归
%X2=[ones(size(x1)),x2,x3];
%X3=[ones(size(x1)),x1,x2,x3];
%X4=[ones(size(x1)),x2,x3,x4];
%[b1,b1int,r1,r1int,stats1]=regress(y,X2) %[b2,b2int,r2,r2int,stats2]=regress(y,X3); %[b3,b3int,r3,r3int,stats3]=regress(y,X4);。