郑君里《信号与系统》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】讲义 第2章 连续时间系统的时域分析 【圣才
信号与系统(郑君里第二版)讲义第二章 连续时间系统的时域分析
2.1 连续时间系统的数学模型
一、连续时间系统数学模型的建立 原则上，具体问题的数学模型，由具体物理定律列写。 在电学系统中，由电网络结构的约束特性：基尔霍夫第一定律（KCL）和基 尔霍夫第二定律（KVL） ，以及元件的约束特性来建立描述连续时间系统（线性 电路）的数学模型。 电网络结构的约束特性，即各支路电流、电压的关系： KCL： ∑ ± i (t ) = 0
若其特征根均为单根则设零输入响应为zikzi若其特征方程中有一个m阶重根时则设零输入响应为zimzizizi确定个待定常数二零状态响应的定义及其求法1定义不考虑起始时刻系统储能的作用起始状态等于零由系统的外加激励信号所产生的响应称为零状态响应零状态响应满足的微分方程为
第二章
连续时间系统的时域分析
江禹生
⎧原方程的齐次方程 ⎨ (k ) ⎩起始状态r (0 − )
2、全响应 r ( t ) ＝自由响应 rh ( t ) ＋强迫响应 rp ( t ) 微分方程的齐次解就是自由响应，微分方程的特解就是强迫响应。 3、全响应 r ( t ) ＝瞬态响应＋稳态响应 系统响应中随着时间增长而趋于零的部分称为瞬态响应分量， 随着时间增长 而趋于稳定的部分称为稳态响应分量。
rzi (t ) = H [{x(0 − )}]
零输入响应 rzi ( t ) 满足的微分方程为：
dn d n −1 d ( ) r t + a r (t ) + L + a1 rzi (t ) + a 0 rzi (t ) = 0 n −1 n zi n −1 zi dt dt dt
2、零输入响应 rzi ( t ) 的求解步骤 （1）写出特征方程 α n + a n −1α n −1 + L + a1α + a 0 = 0 ， 求出特征根 α 1 ， α 2 ， L ， α n （2）根据特征根的不同形式，写出所对应的齐次解形式。 若其特征根均为单根，则设零输入响应为
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第2章 连续时间系统的时域分析【圣才
Ri(t) v1(t) e(t)
Ri(t)
1 C
t
i(
)d
v1 (t )
e(t)
vo (t) v1(t)
消元可得微分方程：
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1
台
C
d
dt
vo (t)
1 R
vo (t)
R
e(t)
2-2 图 2-2-2 所示为理想火箭推动器模型。火箭质量为 m1，荷载舱质量为 m2，两 者中间用刚度系数为 k 的弹簧相连接。火箭和荷载舱各自受到摩擦力的作用，摩擦系数分 别为 f1 和 f2。求火箭推进力 e（t）与荷载舱运动速度 v2（t）之间的微分方程表示。
M
di1 (t ) dt
Ri2 (t)
0
化简方程组可得微分方程：
(L2
M
2
)
d4 dt 4
vo
(t)
2RL
d3 dt 3
vo
(t)
2L C
R2
d2 dt 2
vo
(t)
2R C
d dt
vo
(t)
1 C2
vo
(t)
MR
d2 dt 2
e(t)
（3）由图 2-2-1（c）所示列写电路方程，得：
C
dv1 (t ) dt
b．自由响应由两部分组成，其中，一部分由起始状态决定，另一部分由激励信号决 定，二者都与系统的自身参数有关；当系统 0－状态为零，则零输入响应为零，但自由响应 可以不为零。
c．零输入响应在 0－时刻到 0＋时刻不跳变，此时刻若发生跳变，可能为零状态响应分 量。
郑君里《信号与系统》(第3版)(上册)(名校考研真题 连续时间系统的时域分析)【圣才出品】
0
0
1 [(1 cos t)u(t) (1 cos t)u(t 1)]
将 y0 (t) 代入，可得所求系统输出为
y1(t)
y0 (t)
y0 (t
1)
1
(1
cost)[u(t)
u(t
2)]
y1(t) 的波形如图 2-5 所示。
图 2-5
3．离散时间系统如图 2-6 所示，其中 D 为单位延时器。要求在时域求解。
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第 2 章 连续时间系统的时域分析
一、选择题 1．下列表达式中正确的是（ ）。[中山大学 2010 研] A．δ（2t）＝δ（t） B．δ（2t）＝1/2δ（t） C．δ（2t）＝2δ（t） D．δ（2t）＝δ（2/t） 【答案】B 【解析】根据单位冲激函数的时间尺度变换性质，有 (at) 1 (t) 。
，即 a0＝4，a1＝3。
（2）设系统对激励
的零输入响应和零状态响应分别为 rzi（t）和 rzs（t），则
由于
，则由线性时不变系统的微分特性可知
同时，设系统的单位冲激响应为 h（t），则由线性时不变系统的叠加性可知
由式（1）、式（2），并设
，可得：
则
，解得：A1＝－2，A2＝1，A3＝1，故：
代入式（1），可得：
a
2．序列和 A．1 B．[k] C．k u [k] D．（k＋1）u[k] 【答案】D
等于（ ）。[北京交通大学研]
【解析】由于
。
3．已知一个 LTI 系统起始无储能，当输入
，系统输出为
，当输入
时，系统的零状态响应 r（t）是（ ）。
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十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台y(t) x(t) h(t)
e3tu(t) u(t 1)
t e3tdt (t 1) 0
1 [1 e3t ]u(t) (t 1) 3
e－（t－r）x（τ－2）dτ，则
该系统的单位冲激响应 h（t）＝（ ）。
【答案】 e( t2 )
【解析】零输入 x( 2 ) ( 2 )；则输出为
h( t ) e( t ) ( 2 )d e( t2 ) ( 2 )d e( t2 )
3．已知 f1（t）＝u（t）－u（t－3）和 f2（t）＝u（t），则 f（t）＝f1（t） ×○ f2（t）＝（ ）。
t
d d
f1
f2
d
t
2
4
2
6
f2
d
t
f2
2
f2
4
2
f2
6d
所以得 y 6 6
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8．下列叙述中正确的是（ ）。
（1）若 y（t）＝f（t）*h（t），则 y（2t）＝2f（2t）*h（2t）。
（2）若 f1（t）和 f2（t）均为奇函数，则 f1（t）*f2（t）为偶函数。
dr( t )
当激励为 dt 时，响应为 dt ，r2（t）＝
[r1(t)]= δ（t）－3e－3tu（t）。
5．
。则 f（t）*h（t）＝______。
【答案】 1 et1U t 1 et2U t 2
【解析】因为 f t t t0 f t0 ，且
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解：对汽车底盘进行受力分析。
图 2-4
图 2-5
设汽车底盘运动速度为 v(t) ，方向向上； Fk 为弹簧对汽车底盘的拉力，方向向下； Ff 为减震器阻尼力，方向向下。
汽车底盘的加速度：
a(t)
dv(t) dt
d dt
[ dy(t)] dt
d
2 y(t) dt 2
①
因弹簧的位移量为 x(t) y(t) ，所以拉力： Fk (t) k[ y(t) x(t)]
②
减震器对汽车底盘的作用力： Ff
(t)
f
d [ y(t) x(t)] dt
③
由牛顿第二定律知： Fk (t) Ff (t) ma(t)
将式①②③代入上式，可得微分方程
2-6 给定系统微分方程
若激励信号和起始状态为： 试求它的完全响应，并指出其零输入响应、零状态响应，自由响应、强迫响应各分量。
解：方程的特征方程为
特征根为
（1）设零输入响应
①
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由已知条件可得
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rzi (0 ) rzi (0 ) r(0 ) 1
台
（2）
d dt
r
t
2r
t
3
d dt
et
,r
0
0,et
ut
。
试判断在起始点是否发生跳变，据此对（1）（2）分别写出其 r0 值。
解：当微分方程右端包含 (t) 及其各阶导数时，系统从 0 状态到 0 状态发生跳变。
（1）将 e(t) u(t) 代入原方程得：
信号与系统第三版郑君里课后习题答案
信号与系统第三版郑君里课后习题答案第一章习题参考解1，判刑下列信号的类型解：()sin [()];y t A x t = 连续、模拟、周期、功率型信号 。
()()tt y t x ed τττ--∞=⎰连续、模拟、非周期、功率型信号。
()(2y n x n =） 离散、模拟、非周期、功率型信号。
()()y n n x n = 离散、模拟、非周期、功率型信号。
1－6，示意画出下列各信号的波形，并判断其类型。
(1) 0()s in ()x t A t ωθ=+ 连续、模拟、周期、功率型(2) ()t x t A e -= 连续、模拟、非周期、只是一个函数，不是物理量。
(3) ()c o s 0tx t ett -=≥ 连续、模拟、非周期、能量型 (4) ()2112,x t t t =+-≤≤ 连续、模拟、非周期、能量型(5) 4()(),0.5k x k k =≥ 离散、模拟、非周期、能量型(6) 0().j kx k eΩ= 离散、模拟、周期、功率型()s i n [()];()()()(2);()()tt y t A x t y t x ed y n x n y n n x n τττ--∞====⎰1－6题，1－4图。
t=-pi:1/200:pi;y1=1.5*sin(2*t+pi/6);subplot(4,1,1),plot(t,y1),title('1.5sin(2*t+pi/6)'),gridy2=2*exp(-t);subplot(4,1,2),plot(t,y2),title('2exp(-t)'),gridt1=0:1/200:2*pi;y3=10*exp(-t1).*cos(2*pi*t1);subplot(4,1,3),plot(t1,y3),title('10exp(-t1)cos(2*pi*t1)'),grid t2=-1:1/200:2;y4=2*t2+1;subplot(4,1,4),plot(t2,y4),title('2x+1'),grid习题1－6 5－6题n=0:pi/10:2*pi;y=(0.8).^n;subplot(4,1,1),stem(n,y,'fill'),title('(0.8)^n'),gridn1=0:pi/24:2*pi;y1=cos(2*pi*n1);y2=sin(2*pi*n1);subplot(4,1,2),stem3(y1,y2,n1,'fill'),title('exp[2*pi*n1'),gridsubplot(4,1,4),stem(n1,sin(2*pi*n1),'fill'),title('sin2pin1'),gridsubplot(4,1,3),stem(n1,cos(2*pi*n1),'fill'),title('cos2pin1)'),grid1－8，判断下列系统的类型。
郑君里信号与系统第二章
■ 第 14 页
全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e – 2t + C2e – 3t + e – t 其中 待定常数C1,C2由初始条件确定。
k
yh(t) Cit kieit
n
C jejt
i 1
jk 1
λi是k阶重根,λj是单根。Ci、Cj(常数)由系统初始状态决定。
（3）所有λj为一对共轭复根 j， 则微分方程的齐次解为：
yh (t ) et [C cos t D sin t]
▲
■
第 7页
uC
uS
uC (0 )，uC(0 )
L
uS(t)
R
uC(t)
C
二阶常系数线性微分方程。
抽去具有的物理含义，微分方程写成
a2
d
2
d
y(t) t2
a1
d
y(t) dt
a0
y(t)
f (t)
▲
■
第 2页
2. 离散系统的解析描述
例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为β元/
月，求第k个月初存折上的款数。
■ 第 20 页
aδ"(t)+bδ'(t)+cδ(t)+r1(t) + 3aδ'(t)+3bδ(t)+3r2(t) + 2aδ(t)+2r3(t)= 2δ"(t) + δ'(t)
《信号与系统》郑君里教学课件讲义
（４）１９世纪末，人们研究用电磁波传送无线电信号。 赫兹（Ｈ.Hertz）波波夫、马可尼等作出贡献。1901年 马可尼成功地实现了横渡大西洋的无线电通信。
（5）光纤通信 从此，传输电信号的通信方式得到广泛应用和迅速发展。 如今：（１）卫星通信技术为基础“全球定位系统（Global Positioning System, 缩写为GPS）用无线电信号的传输， 测定地球表面和周围空间任意目标的位置，其精度可达 数十米之内。 （２）个人通信技术：无论任何人在任何时候和任何地方 都能够和世界上其他人进行通信。 （３）“全球通信网”是信息网络技术的发展必然趋势。 目前的综合业务数字网（Integrated Services Digital Network,缩写为ISDN),Internet或称因特网，以及其他各 种信息网络技术为全球通信网奠定了基础。
信号与系统
郑君里
教学课件
1、教材：信号与系统 郑君里 杨为理 应启珩编 2、信号与系统 Signals & Systems ALAN V.OPPENHEIM ALANS. WILLSKY 清华大学出版社（英文影印版） （中译本）刘树棠 西安交通大学出版社 3、信号与系统例题分析及习题 乐正友 杨为理 应启珩编 4、信号与系统习题集 西北工业大学
5. 系统的分类
系统可分为物理系统与非物理系统，人工系统以及自 然系统。 物理系统：包括通信系统、电力系统、机械系统等； 非物理系统：政治结构、经济组织、生产管理等； 人工系统：计算机网、交通运输网、水利灌溉网以及 交响乐队等； 自然系统：小至原子核，大如太阳系，可以是无生命 的，也可是有生命的（如动物的神经网络）。
4.信号、电路（网络）与系统的关系
离开了信号，电路与系统将失去意义。
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第2章连续时间系统的时域分析[视频讲解]
2.1本章要点详解
本章要点
■微分方程的建立与求解
■起始点的跳变
■零输入与零状态响应
■冲激响应和阶跃响应
■卷积
■卷积的性质
■利用卷积消除通信系统多径失真
重难点导学
一、引言
LTI系统分析方法包括时域分析和变换域分析。
1．时域分析方法
时域分析法不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。
2．变换域分析方法
变换域分析法简洁、方便，有利于研究新的信号处理技术和系统设计技术。
3．系统时域分析方法
系统时域分析方法包括经典法解微分方程、状态变量法和卷积积分。
二、微分方程的建立与求解1．微分方程的建立许多实际系统可以用线性系统来模拟。
若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述，即
1011110111()()()...()()()()...()n n n n n n m m m m m m d r t d r t dr t C C C C r t dt dt dt
d e t d e t de t E E E E e t dt dt dt
------++++=++++式中C，E 均为常数，方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。
对于电系统，构成微分方程的基本依据是电网络的元件特性和拓扑结构。
2．微分方程的求解
（1）微分方程时域经典法的解
微分方程时域经典法的解由两部分组成，即齐次解和特解。
一个线性系统，其激励信号e(t)与响应信号r(t)之间的关系，可以用下列形式的微分方程来描述，即
011110111...()()()()...()n n n n m m m m m m C C C C r t dt dt dt
d e t d e t de t E E E E e t dt dt dt
------++++=++++若系统为时不变的，则C，E 均为常数，此方程为常系数的n 阶线性常微分方程。
（2）微分方程时域经典法求解步骤
①求齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式；
②求特解：
特解的函数形式与系统的激励函数形式有关，根据激励函数设含待定系数的特解函数式，代入原方程，比较系数
定出特解，如表2-1所示；表
2-1几种典型激励函数相应特解
③借助初始条件求待定系数A。
三、起始点的跳变及初始条件的确定
1．起始点的跳变
利用微分方程的初始条件确定方程解中的系数A，初始条件取决于激励接入瞬时系统的状态，此状态可能发生跳变称为起始点的跳变。
（1）0－状态
一般在t＝0时刻加入激励信号，激励接入之前的状态称为起始状态（0－状态），表示为
（2）0＋状态
激励接入之后的状态称为初始状态（0＋状态），表示为
（3）响应区间
响应区间是指激励信号加入之后系统状态变化区间，从0＋时刻开始，如图2-1所示。
图2-1
（4）换路定则
一般情况下，换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。
这就是在电路分析中的换路定则，即
当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于电感时，0－到0＋状态就会发生跳变。
当系统用微分方程表示时，系统从0－到0＋状态有没有跳变取决于微分方程右端自由
项是否包含及其各阶导数项。
2．冲激函数匹配法确定初始条件
配平的原理：t＝0时刻微分方程左右两端的及各阶导数应该平衡。
四、零输入响应和零状态响应
1．零输入响应和零状态响应
（1）零输入响应
零输入响应是指与输入激励无关，由初始状态（起始时刻系统的储能）引起的响应。