高考数学大一轮复习 5.2 平面向量基本定理及坐标表示试题(含解析)新人教A版
5.2 平面向量基本定理及坐标表示一、选择题1．设平面向量a ＝(－1,0)，b ＝(0,2)，则2a －3b ＝( ) A ．(6,3) B ．(－2，－6)C ．(2,1)D ．(7,2)解析：2a －3b ＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)． 答案：B2．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )． A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析 由题意得a ＋b ＝(x －x,1＋x 2)＝(0,1＋x 2)，易知a ＋b 平行于y 轴． 答案 C3．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( )． A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)解析 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)． 答案 C4. 设点A (2,0)，B (4,2)，若点P 在直线AB 上，且|AB →|＝2|AP →|，则点P 的坐标为( ) A ．(3,1) B ．(1，－1) C ．(3,1)或(1，－1) D ．无数多个解析 设P (x ，y )，则由|AB →|＝2|AP →|，得AB →＝2AP →或AB →＝－2AP →，AB →＝(2,2)，AP →＝(x －2，y )，即(2,2)＝2(x －2，y )，x ＝3，y ＝1，P (3,1)，或(2,2)＝－2(x －2，y )，x ＝1，y ＝－1， P (1，－1)． 答案 C5.若向量AB=（1,2），BC =（3,4），则AC =( )A （4,6）B (-4，-6)C (-2，-2)D (2,2) 答案 A解析 因为AC =AB +BC=(4,6),所以选A.6．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )．A ．[－2,2]B ．[－2,3]C ．[－3,2]D ．[－3,3]解析 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，所以2x ＋3y ＝z ，不等式|x |＋|y |≤1 可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1 x ≥0，y ≥0 ，x －y ≤1 x ≥0，y ＜0 ，－x ＋y ≤1 x ＜0，y ≥0 ，－x －y ≤1 x ＜0，y ＜0 ，由图可得其对应的可行域为边长为2，以点(1,0)，(－1,0)，(0,1)，(0，－1)为顶点的正方形，结合图象可知当直线2x ＋3y ＝z 过点(0，－1)时z 有最小值－3，当过点(0,1)时z 有最大值3.所以z 的取值范围为[－3,3]． 答案 D7．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)和b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2＋sin α，其中λ，m ，α为实数．若a ＝2b ，则λm的取值范围是( )．A ．[－6,1]B ．[4,8]C ．(－∞，1]D ．[－1,6]解析 由a ＝2b ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝2m ，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α.由λ2－m ＝cos 2α＋2sin α＝2－(sin α－1)2，得 －2≤λ2－m ≤2，又λ＝2m －2，则－2≤4(m －1)2－m ≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m 2－9m ＋2≤0，4m 2－9m ＋6≥0.解得14≤m ≤2，而λm ＝2m －2m ＝2－2m ，故－6≤λm≤1，即选A.答案 A 二、填空题8. 设a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________. 解析 ∵λa ＋b ＝(λ＋2,2λ＋3)与c ＝(－4，－7)共线，∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝0，解得λ＝2.答案 29．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________．解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0， 即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.答案 1210．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________． 解析 设a ＝λb (λ＜0)，则|a |＝|λ||b |， ∴|λ|＝|a ||b |，又|b |＝5，|a |＝2 5. ∴|λ|＝2，∴λ＝－2.∴a ＝λb ＝－2(2,1)＝(－4，－2)． 答案 (－4，－2)11．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b . 解析 由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b .又因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案 23 －1312．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________．解析 由条件中的四边形ABCD 的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD 是平行四边形．设D (x ，y )，则有AB →＝DC →，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x ，y )，解得(x ，y )＝(0，－2)．答案 (0，－2) 三、解答题13．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标．解析 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)，DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2，和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而CD →＝(－2，－4)． 14．已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )． (1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式；(2)若AC ＝2AB，求点C 的坐标．解析：(1)由已知得AB＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB ∥AC.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．15．已知向量OA →＝(3,4)，OB →＝(6，－3)，O C →＝(5－m ，－3－m )．若点A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 满足的条件．解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(3，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(2－m ，－7－m )，又A ，B ，C 能构成三角形，故点A ，B ，C 不共线，即AB →，AC →不共线， ∴3×(－7－m )－(－7)×(2－m )≠0， 得m ≠－710，故m 应满足m ≠－710.16．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，求 (1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由． 解析 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23；若P 在y 轴上，只需1＋3t ＝0，∴t ＝－13；若P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0.∴－23＜t ＜－13.(2)因为OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )．若OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →，∵⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2无解．所以四边形OABP 不能成为平行四边形．。
高三数学一轮复习 平面向量的基本定理及坐标表示练习
必修Ⅳ－07 平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理：如果12,e e u u r u u r是同一平面内的两个 ，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数12,λλ，使 ，不共线的向量12,e e u u r u u r 叫做表示这一平面内所有向量的一组 .2．向量的夹角与垂直：已知两个 a b r r 和，作,OA a OB b AOB θ==∠=u u u r r u u u r r ,则叫做向量a b r r 与的 .向量a b r r 与的夹角的范围是 .当0θ=时，向量a b r r 与 ，当θπ=时，向量a b r r 与 ，当2πθ=时，向量a b r r 与 . 3．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量 .4．向量的坐标表示：在平面直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴同方向的两个单位向量,i jr r作为基底，对于平面内的一个向量a r ，有且只有一对实数,x y 使得 ，我们把有序实数对(,)x y 叫做a r 的坐标，记作 ， 叫做向量的坐标表示. 5．向量的坐标运算：已知1122(,),(,)a x y b x y ==r r 则a b +r r = ，a b -r r = ；若实数λ，则a λr = .一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 的坐标减去的坐标，即：若1122(,),(,)A x y B x y ，则AB =u u u r .6．向量相等的坐标关系：若1122(,),(,)a x y b x y ==r r 且a b =r r ，则有 .7．向量共线的坐标表示：若1122(,),(,)a x y b x y ==r r ，且0b ≠r r ，那么当且仅当 时，向量a b r r 与共线，即12210a b x y x y ⇔-=r r P . 8．设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ===只要证明向量 （答案不唯一），即可判断,,A B C 三点共线.例1．设12,e e u u r u u r是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ）A 1212e e e e +-u u r u u r u u r u u r 和B 1221326e e e e --u u r u u r u u r u u r和4 C 122122e e e e ++u u r u u r u u r u u r 和 D 212e e e +u u r u u r u u r和例2．（2008，安徽）若(2,4),(1,3),AB AC ==u u u r u u u r 则BC =u u u r （ ） A (1,1) B (1,1)-- C (3,7) D (3,7)-- 例7．设O 为ABC ∆内一点，且满足0AO BO CO ++=u u u r u u u r u u u r r ，则O 为ABC ∆的（ ）A 外心B 内心C 重心D 垂心 例3．（2004，浙江）已知向量(3,4),(sin ,cos ),a b αα==r r 且a b r r P ，则tan α= . 例4．若向量(1,2),(,1),2,2,a b x u a b v a b u v ===+=-r r r r r r r r r r P 且，则x = . 例5．已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r ，且,,A B C 三点共线，求实数k 的值.例6．设向量(2,3),(1,2),(9,4)a b c =-==r r r ，若c ma nb =+r r r ，则求实数,m n 的值.。
高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析
高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析1.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，椭圆上的点到焦点距离的最大值为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）设所求的椭圆方程为：由题意：所求椭圆方程为：．（2）若过点的斜率不存在，则．若过点的直线斜率为，即：时，直线的方程为由因为和椭圆交于不同两点所以，所以①设由已知，则②③将③代入②得：整理得：所以代入①式得，解得．所以或．综上可得，实数的取值范围为：．2.（2013•湖北）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，故选A．3.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量．【答案】【解析】以为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设正方形的边长为，则设 .又向量所以，∴，∴，∴．由题意得∴当时，同时，时，取最小值为.【考点】平面向量的坐标运算，三角函数的性质.4.如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，，则的取值范围是．【答案】【解析】解：建立平面直角坐标系如图所示，则因为，所以所以，, 所以， 故答案应填.【考点】1、平面向量基本定理；2、向量的坐标表示；3、向量的数量积；4、一元二次函数的最值.5. 如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD 的中点，过点G 任作一直线MN 分别交AB 、AC 于M 、N 两点．若＝x ，＝y ，求的值．【答案】4 【解析】设＝a ，＝b ，则＝x a ，＝y b ，＝＝ (＋)＝ (a ＋b )．∴＝－＝ (a ＋b )－x a ＝a ＋b ，＝－＝y b －x a ＝－x a ＋y b . ∵与共线，∴存在实数λ，使＝λ.∴a ＋b ＝λ(－x a ＋y b )＝－λx a ＋λy b .∵a 与b 不共线，∴消去λ，得＝4.6. 已知点O (0,0)，A 0(0,1)，A n (6,7)，点A 1，A 2，…，A n －1(n ∈N ，n ≥2)是线段A 0A n 的n 等分点，则| ＋＋…＋OA n －1＋|等于( ) A ．5n B ．10n C ．5(n ＋1) D ．10(n ＋1)【答案】C【解析】取n ＝2，，则＋＋＝(0,1)＋(3,4)＋(6,7)＝(9,12)，所以| ＋＋|＝＝15，把n ＝2代入选项中，只有5(n ＋1)＝15，故排除A 、B 、D ，选C.7. 已知向量a=(cosθ,sinθ),b=(,-1),则|2a-b|的最大值为( ) A ．4 B ．4 C ．16D ．8【答案】B【解析】∵2a-b=(2cosθ-,2sinθ+1), ∴|2a-b|===故最大值为4.8. 已知向量a=(1,-2),b=(m,4),且a ∥b,那么2a-b=( )A．(4,0)B．(0,4)C．(4,-8)D．(-4,8)【答案】C【解析】由a∥b,得4=-2m,∴m=-2,∴b=(-2,4),∴2a-b=2(1,-2)-(-2,4)=(4,-8).9.已知向量a=(cosα,-2),b=(sinα,1)且a∥b,则tan(α-)等于()A．3B．-3C．D．-【答案】B【解析】选B.∵a=(cosα,-2), b=(sinα,1)且a∥b,∴=(经分析知cosα≠0),∴tanα=-.∴tan(α-)===-3,故选B.【方法技巧】解决向量与三角函数的综合题的方法向量与三角函数的结合是近几年高考中出现较多的题目,解答此类题目的关键是根据条件将所给的向量问题转化为三角问题,然后借助三角恒等变换再根据三角求值、三角函数的性质、解三角形的问题来解决.10.已知向量a＝(3,1)，b＝，若a＋λb与a垂直，则λ等于________．【答案】4【解析】根据向量线性运算、数量积运算建立方程求解．由条件可得a＋λb＝，所以(a＋λb)⊥a⇒3(3－λ)＋1＋λ＝0⇒λ＝4.11.设向量，，若满足，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为,所以, ,解得：，故选D.【考点】向量共线的条件.12.在所在的平面内，点满足，，且对于任意实数，恒有，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】过点作，交于，是边上任意一点，设在的左侧，如图，则是在上的投影，即，即在上的投影，，令，，，，故需要，，即，为的中点，又是边上的高，是等腰三角形，故有,选C.【考点】共线向量，向量的数量积.13.已知向量，若,则的最小值为．【答案】4【解析】,所以.【考点】1、向量的平行关系；2、向量的模；3、重要不等式14.已知向量，向量，且，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】，，即得．【考点】向量的坐标运算.15.已知点，，则与共线的单位向量为（）A．或B．C．或D．【答案】C【解析】因为点，，所以，，与共线的单位向量为.【考点】向量共线.16.已知向量，，若，则实数等于．【答案】.【解析】，两边平方得，则有，化简得，即，解得.【考点】平面向量的模、平面向量的坐标运算17.在中,已知,且,则( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以，，，故选A。
高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析
高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析1.设平面向量，，若，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，故，则，故=．【考点】1、向量共线；2、向量的模和坐标运算.2.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量．【答案】【解析】以为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设正方形的边长为，则设 .又向量所以，∴，∴，∴．由题意得∴当时，同时，时，取最小值为.【考点】平面向量的坐标运算，三角函数的性质.3.已知向量，则向量的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为,则根据向量加法的坐标运算可得,故选D.【考点】向量的坐标运算4.在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是()A．=2--B．=++C．++=0D．+++=0【答案】C【解析】++=0,即=-(+),所以M与A,B,C共面.5.已知平面向量，，，则下列说法中错误的是( )A．∥B．C．对同一平面内的任意向量，都存在一对实数，使得D．向量与向量的夹角为【答案】C【解析】选项A正确，因为，所以；选项B正确，因为，所以；选项C 错误，因为，所以向量与向量是共线向量，由平面向量的基本定理可知，它们的线性组合不能表示出同一平面内的任意向量；选项D正确，，所以，，，所以，所以向量与向量的夹角为.【考点】1.平面向量的基本定理；2.平面向量的坐标运算；3.平面向量的夹角6.如图,在等腰三角形中,底边, , , 若, 则= ．【答案】【解析】以BC为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则设，可得，，故=，解得（负值舍去），故，，则 .【考点】1.平面向量的数量积；2.坐标法在向量中的运用.7.如图，在中，已知为线段上的一点，（1）若，求，的值；（2）若，，，且与的夹角为60°时，求的值。
【答案】（1），；（2）.【解析】（1）本题的背景是三点共线向量定理，我们都熟悉当为的中点时，，本题重在考查证明过程，切不可直接应用结论，证明思路就是把向量拆成向量表示，结论自然得证；（2）由于已知向量的模和夹角，很自然得联想到平面向量基本定理，将其它向量用基底表示，将所有向量的运算转化为基底的运算，问题不难解决.试题解析：（1）∵，∴，即， 3分∴，即， 5分（2）∵，∴，即 7分∴ 8分∴， 9分10分12分14分【考点】向量的线性运算、平面向量基本定理、向量的数量积.8.在中，点在上，且，点是的中点，若，，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】设 .因为是的中点，所以，即,解得，.【考点】1.平面向量的基本定理；2.向量运算的坐标表示.9.如图所示，是圆上的三点，线段的延长线于线段的延长线交于圆外的一点，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】线段的延长线与线段的延长线的交点为，则，在圆外，，又、、共线，故存在，使得，且，又，.，.选D.【考点】圆的性质，平面向量基本定理.10.已知向量在x轴上一点P使有最小值，则P的坐标为（）. A．（-3，0）B．（2，0）C．（3，0）D．（4，0）【答案】C【解析】设P的坐标为，则，，当时，值最小，此时P的坐标为，选C.【考点】1.向量的坐标运算；2.向量的数量积.11.已知向量，若与垂直，则______.【答案】【解析】，，.【考点】1.向量的模；2.向量垂直.12.已知向量，向量，则的最大值为．【答案】4【解析】因为向量，向量，所以=4+4－4（）=8-8sin(),其最大值为16，所以的最大值为4.【考点】本题主要考查平面向量的坐标运算，向量模的计算，向量的数量积，三角函数的性质。
2020年高考数学一轮复习专题5.2平面向量的基本定理练习(含解析)
5.2 平面向量的坐标运算一、平面向量的坐标运算 1．向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）. 2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ＋b =（x 2+x 1，y 2+y 1），a －b =（x 1－x 2，y 1－y 2），λa =（λx 1，λy 1）， |a |a ＋b 3．平面向量共线的坐标表示设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1=0. 4．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB =θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a 与b 的夹角.如果向量a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .考向一 坐标运算【例1】（1）已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为．(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，a ＝m b ＋n c (m ，n ∈R )，则m ＋n ＝ 【答案】（1）(2,0) （2）-2【解析】（1） 设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0. （2）由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.∴m ＋n ＝－2.【举一反三】1.设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a＋2b的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】 D【解析】 由题意可得，OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，所以AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)．又∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →，即(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，又∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥4＋4＝8，当且仅当b a ＝4a b时，取“＝”．故选D.2．已知点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)．若向量PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，则λ＝________. 【答案】 －23【解析】 点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)， ∴向量PQ →＝2PM →＝2(1＋1，－1－2)＝(4，－6)．又PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，∴4×1＋6λ＝0，即λ＝－23.3.已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，83 C.⎝⎛⎭⎪⎫133，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43【解析】 由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43.考向二 平面向量在几何中 的运用【例2】已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (0，1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足|CM →|＝1，则|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是( )A.2＋1B.7＋1C.2－1D.7－1 【答案】 A【解析】 设点M 的坐标是(x ，y )，∵C (0，－2)，且|CM →|＝1，∴x 2＋(y ＋2)2＝1，则x 2＋(y ＋2)2＝1， 即动点M 的轨迹是以C 为圆心、1为半径的圆， ∵A (0,1)，B (1,0)，∴OA →＋OB →＋OM →＝(x ＋1，y ＋1)，则|OA →＋OB →＋OM →|＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2，几何意义表示：点M (x ，y )与点N (－1，－1)之间的距离，即圆C 上的点与点N (－1，－1)的距离，∵点N (－1，－1)在圆C 外部，∴|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是|NC |＋1＝(0＋1)2＋(－2＋1)2＋1＝2＋1.故选A. 【举一反三】1.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数（ ）A ．B ．C ．D ．O :10l x ky -+=22:4C x y +=, A B OM OA OB =+M C k =2-1-01考向三 向量中的坐标【例3】给定两个长度为1的平面向量,OA OB ，它们的夹角为120.如图1所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈，则x y +的最大值是______. 【答案】2【解析】解法1（ 考虑特值法） 当C 与A 重合时，10,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=，当C 与B 重合时，01,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=， 当C 从AB 的端点向圆弧内部运动时，1x y +>， 于是猜想当C 是AB 的中点时，x y +取到最大值.当C 是AB 的中点时，由平面几何知识OACB 是菱形， ∴,OC OA OB =+∴11 2.x y +=+= 猜想x y +的最大值是2.解法二（考虑坐标法）建立如图3，所示的平面直角坐标系，设AOC α∠=，则1(1,0),((cos ,sin )2A B C αα-.于是OC xOA yOB =+可化为：1(cos ,sin )(1,0)(,22x y αα=+-，∴1cos ,2sin .x y y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（1）解法2 函数法求最值由方程组（1）得：cos ,.x y ααα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴cos 2sin(30)x y ααα+=+=+，又0120α≤≤， ∴当30α=时，max () 2.x y += 解法3 不等式法求最值由方程组（1）得：222221sin cos ()3x y xy x y xy αα=+=+-=+-，∴211()33xy x y =+-， 由0,0x y >>，及x y +≥2()4x y xy +≥， ∴2()4x y +≤，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号. ∴max () 2.x y +=思考方向三 考虑向量的数量积的运算 解法4 两边点乘同一个向量∵,OC xOA yOB =+∴,.OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩ 设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-，又||||||1OC OA OB ===，∴1cos ,21cos(120).2x y x y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩∴2[cos cos(120)]2sin(30)x y ααα+=+-=+， ∴当30α=时，max () 2.x y += 解法5 两边平方法∵,OC xOA yOB =+∴22(),OC xOA yOB =+∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-222()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=， ∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号， ∴max () 2.x y +=思考方向四 考虑平行四边形法则过C 作CM ∥OB 交OA 于M ，作CN ∥OA 交OB 于N ，则OM CN 是平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得：OC OM ON =+，在OMC ∆中，设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-， 且||,||.OM x MC y == 解法6 利用正弦定理sin sin sin OM MC OCOCM COM OMC==∠∠∠， 1sin(60)sin sin 60x y αα==+，由等比性值得：1sin(60)sin sin 60x y αα+=++，∴2sin(30)x y α+=+，∴当30α=时，max () 2.x y += 解法7 利用余弦定理222||||||2||||cos60,OC OM MC OM MC =+-⋅∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-222()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号， ∴max () 2.x y += 【举一反三】1.如图，已知平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．【答案】6【解析】 方法一 如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC →＝OB 1→＋OA 1→，因为OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°， 所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC →|＝23， 所以|OB 1→|＝2，|B 1C →|＝4，所以|OA 1→|＝|B 1C →|＝4， 所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二 以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (3，3)．由OC →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ－12μ，3＝32μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.2.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ＝.【答案】 52【解析】 由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B (1,0)，E (－1,1)， ∴AB →＝(1,0)，AE →＝(－1,1)， ∵AP →＝λAB →＋μAE →＝(λ－μ，μ)， 又∵P 为CD 的中点，∴AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝12，μ＝1，∴λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52.1．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________． 【答案】 (－3，－5)【解析】 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．2.已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________. 【答案】 1【解析】 ∵a －2b ＝(3，3)，且a －2b ∥c ，∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1.3.线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝. 【答案】 －2或6【解析】 由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝6，－4＝2－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6.综上可知，x ＋y ＝－2或6.4. 已知O 为坐标原点，点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为． 【答案】 (3,3)【解析】 方法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．5.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝.【答案】 4【解析】 ∵向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，∴a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，x2－2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，∵(a －2b )∥(2a ＋b )，∴(8－2x )(x ＋1)－(16＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－2＝0，即－52x 2＋40＝0，又∵x >0，∴x ＝4.6．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为． 【答案】 3【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连结CE ，则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255， 当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.7.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动(如图所示)．若AP →＝λED →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，12 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，E (2,0)，D (0,2)，F (3,1)，P (cos α，sin α)⎝⎛⎭⎪⎫－π2≤α≤π2，即AP →＝(cos α，sin α)，ED →＝(－2,2)，AF →＝(3,1)． ∵AP →＝λED →＋μAF →，∴(cos α，sin α)＝λ(－2,2)＋μ(3,1)， ∴cos α＝－2λ＋3μ，sin α＝2λ＋μ，∴λ＝18(3sin α－cos α)，μ＝14(cos α＋sin α)，∴2λ－μ＝12sin α－12cos α＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4.∵－π2≤α≤π2，∴－3π4≤α－π4≤π4.∴－22≤22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4≤12.8.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD (含端点)上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AP →＝mAB →＋nAF →(m ，n 为实数)，求m ＋n 的最大值．【答案】5【解析】如图所示，①设点O 为正六边形的中心， 则AO →＝AB →＋AF →.当动圆Q 的圆心经过点C 时，与边BC 交于点P ，点P 为边BC 的中点．连结OP ， 则AP →＝AO →＋OP →， ∵OP →与FB →共线，∴存在实数t ，使得OP →＝tFB →， 则AP →＝AO →＋tFB →＝AB →＋AF →＋t (AB →－AF →) ＝(1＋t )AB →＋(1－t )AF →，∴此时m ＋n ＝1＋t ＋1－t ＝2，取得最小值．②当动圆Q 的圆心经过点D 时，取AD 的延长线与圆Q 的交点为P ，则AP →＝52AO →＝52()AB →＋AF →＝52AB →＋52AF →，此时m ＋n ＝5，为最大值．9.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 是△ABC 内一点(含边界)，若AP →＝23AB →＋λAC →，则|AP →|的最大值为________． 【答案】2133【解析】 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°， ∴A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)，设点P 为(x ，y )，0≤x ≤3，0≤y ≤3， ∵AP →＝23AB →＋λAC →，∴(x ，y )＝23(3,0)＋λ(1，3)＝(2＋λ，3λ)，∴⎩⎨⎧x ＝2＋λ，y ＝3λ，∴y ＝3(x －2)，① 直线BC 的方程为y ＝－32(x －3)，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝73，y ＝33，此时|AP →|最大，∴|AP →|＝499＋13＝2133. 10.已知三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，BE →＝3EC →，若点P 是BC 边上的动点，则AP →·AE →的取值范围是________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103 【解析】 因为AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，所以∠ABC ＝30°，AB ＝433.因为BE →＝3EC →，所以BE →＝34BC →.设BP →＝tBC →，则0≤t ≤1，所以AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋tBC →，又AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋34BC →，所以AP →·AE →＝(AB →＋tBC →)·⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋34BC →＝AB →2＋tBC →·AB →＋34BC →·AB →＋34tBC →2＝163＋t ×4×433cos150°＋34×4×433cos150°＋34t ×42＝4t －23， 因为0≤t ≤1，所以－23≤4t －23≤103，即AP →·AE →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103.11在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则5λ＋3μ的最大值为______． 【答案】102【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，B (5，0)，C (5，3)，D (0，3)．∵AP ＝52，∴x 2＋y 2＝54. 点P 满足的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，0≤y ≤3，x 2＋y 2＝54，∵AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )， ∴(x ，y )＝λ(5，0)＋μ(0，3)，∴⎩⎨⎧x ＝5λ，y ＝3μ，∴x ＋y ＝5λ＋3μ.∵x ＋y ≤2(x 2＋y 2)＝2×54＝102， 当且仅当x ＝y 时取等号， ∴5λ＋3μ的最大值为102. 12.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．【答案】 (－1,0)【解析】 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)， 又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0.又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴mOA →＋nOB →＝k λOA →＋k (1－λ)OB →， ∴m ＝k λ，n ＝k (1－λ)， ∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．。
高考数学第一轮复习 42 平面向量基本定理及坐标表示题组训练 理(含14年优选题,解析)新人教A版
高考数学第一轮复习 42 平面向量基本定理及坐标表示题组训练 理（含14年优选题，解析）新人教A 版基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·华东师大附中模拟)如图，设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )．A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④解析 ①中AD →与AB →不共线，可作为基底；②中DA →与BC →为共线向量，不可作为基底；③中CA →与DC →是两个不共线的向量，可作为基底；④中OD →与OB →在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．综上，只有①③中的向量可以作为基底，故选C. 答案 C2．(2014·揭阳二模)已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为( )． A ．(7,4) B ．(7,14) C ．(5,4)D ．(5,14)解析 设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5)． 由AB →＝3a ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14.答案 D3. 如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝x OA →＋y OB →，且BP →＝2 P A →，则 ( )．A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析 由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2 P A →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13.答案 A4．(2013·惠州模拟)已知向量a ＝(－1,1)，b ＝(3，m )，a ∥(a ＋b )，则m ＝( )．A ．2B ．－2C ．－3D ．3解析 a ＋b ＝(2，m ＋1)，由a ∥(a ＋b )，得(－1)×(m ＋1)－2×1＝0，解得m ＝－3. 答案 C5．(2014·许昌模拟)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于 ( )． A ．(－2,7) B ．(－6,21) C ．(2，－7)D ．(6，－21)解析 BC →＝3 PC →＝3(2 PQ →－P A →)＝6 PQ →－3 P A →＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)． 答案 B 二、填空题6．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________．解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)， 依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.答案 127．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________．解析 由题意得AB →＝(－3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，若A ，B ，C 能构成三角形，则AB →，AC →不共线，则－3×(1－m )≠1×(2－m )，解得m ≠54.答案 m ≠548．(2013·江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1 AB →＋λ2 AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23， 即λ1＋λ2＝12.答案 12三、解答题9．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，法一 当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )，由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝λ＝－13，∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )．∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．法二 ∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时k a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )． ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．10．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1 OA →＋t 2 AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线．(1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0， 故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0， (2)证明 当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)． ∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2 AB →， ∴AM →与AB →共线，又它们有公共点A ， ∴A ，B ，M 三点共线．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2013·保定模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C的大小为( )． A ．30° B ．60° C ．90°D ．120°解析 由p ∥q ，得(a ＋c )(c －a )＝b (b －a )，整理得b 2＋a 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0°<C <180°，∴C ＝60°. 答案 B2. (2014·中山模拟)如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC →＝m OA →＋n OB →，则m ＋n 的取值范围是( )．A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,0)解析 由点D 是圆O 外一点，可设BD →＝λ BA →(λ＞1)，则 OD →＝OB →＋λ BA →＝λ OA →＋(1－λ)OB →.又C ，O ，D 三点共线，令OD →＝－μ OC →(μ＞1)，则OC →＝－λμOA →－1－λμOB →(λ＞1，μ＞1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，且m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1,0)．答案 D 二、填空题3．(2014·南京质检)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b的最小值为________．解析 AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →∥AC →.∴2(a －1)－(－b －1)＝0， ∴2a ＋b ＝1.∴1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b (2a ＋b ) ＝4＋b a ＋4ab≥4＋2b a ·4a b＝8. 当且仅当b a ＝4a b ，即b ＝12，a ＝14时取等号．∴1a ＋2b 的最小值是8. 答案 8 三、解答题4. 如图，已知点A (1,0)，B (0,2)，C (－1，－2)，求以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标．解 以A ，B ，C 为顶点的平行四边形可以有三种情况： ①▱ABCD ；②▱ADBC ；③▱ABDC . 设D 的坐标为(x ，y )，①若是▱ABCD ，则由AB →＝DC →，得 (0,2)－(1,0)＝(－1，－2)－(x ，y )， 即(－1,2)＝(－1－x ，－2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－x ＝－1，－2－y ＝2，∴x ＝0，y ＝－4. ∴D 点的坐标为(0，－4)(如题图中所示的D 1)． ②若是▱ADBC ，由CB →＝AD →，得 (0,2)－(－1，－2)＝(x ，y )－(1,0)， 即(1,4)＝(x －1，y )，解得x ＝2，y ＝4. ∴D 点的坐标为(2,4)(如题图中所示的D 2)．③若是▱ABDC ，则由AB →＝CD →，得 (0,2)－(1,0)＝(x ，y )－(－1，－2)，即(－1,2)＝(x ＋1，y ＋2)．解得x ＝－2，y ＝0. ∴D 点的坐标为(－2,0)(如题图中所示的D 3)，∴以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标为(0，－4)或(2,4)或(－2,0).。
高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第2讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算 理-人教版高三全册数学
第2讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算一、选择题1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )．A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析 由题意得a ＋b ＝(x －x,1＋x 2)＝(0,1＋x 2)，易知a ＋b 平行于y 轴．答案 C2．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( )．A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)解析 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．答案 C3．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为( )．A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．故选D.答案 D4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )．A.14B.12C ．1D ．2 解析 依题意得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c ，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12. 答案 B5. 若向量AB =（1,2），BC =（3,4），则AC =( )A （4,6）B (-4，-6)C (-2，-2)D (2,2)解析 因为AC =AB +BC =(4,6),所以选A.答案 A6．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )．A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)解析 ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2.∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．答案 D二、填空题7．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________． 解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12. 答案 128．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________． 解析 设a ＝λb (λ＜0)，则|a |＝|λ||b |，∴|λ|＝|a ||b |， 又|b |＝5，|a |＝2 5.∴|λ|＝2，∴λ＝－2.∴a ＝λb ＝－2(2,1)＝(－4，－2)．答案 (－4，－2)9．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C三点共线，则1a ＋2b的最小值为________． 解析 AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴2(a －1)－(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1.∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b ) ＝4＋b a ＋4a b ≥4＋2 b a ·4a b＝8. 当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝14，b ＝12时取等号． ∴1a ＋2b的最小值是8. 答案 810．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________．解析 由条件中的四边形ABCD 的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD 是平行四边形．设D (x ，y )，则有AB →＝DC →，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x ，y )，解得(x ，y )＝(0，－2)．答案 (0，－2)三、解答题11．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标． 解析 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． 因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2，和⎩⎪⎨⎪⎧ －1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，和⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－2，y 2＝0. 所以点C ，D 的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而CD →＝(－2，－4)．12．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )，由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎪⎨⎪⎧ k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝λ＝－13，∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )．∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．法二 由法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )．∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A (1,0)，B (cosθ，t )， (1)若a ∥AB →，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标；(2)若a ∥AB →，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值．解 (1)∵AB →＝(cos θ－1，t )，又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0.∴cos θ－1＝2t .①又∵|AB →|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.②由①②得，5t 2＝5，∴t 2＝1.∴t ＝±1.当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t ＝－1时，cos θ＝－1，∴B (－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)．(2)由(1)可知t ＝cos θ－12，∴y ＝cos 2θ－cos θ＋cos θ－124＝54cos 2θ－32cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ－65cos θ＋14＝54⎝⎛⎭⎪⎫cos θ－352－15， ∴当cos θ＝35时，y min ＝－15. 14．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，求(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．解 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23；若P 在y 轴上，只需1＋3t ＝0，∴t ＝－13；若P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3t ＜0，2＋3t ＞0.∴－23＜t ＜－13. (2)因为OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )．若OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →，∵⎩⎪⎨⎪⎧ 3－3t ＝1，3－3t ＝2无解．所以四边形OABP 不能成为平行四边形．。
高考数学一轮复习考点平面向量基本定理及坐标表示必刷题理含解析
考点25 平面向量基本定理及坐标表示1、已知向量a ＝(3，－4)，b ＝(x ，y )．若a ∥b ，则( ) A ．3x －4y ＝0 B ．3x ＋4y ＝0 C ．4x ＋3y ＝0 D ．4x －3y ＝0【答案】C【解析】∵a ∥b ，∴3y ＋4x ＝0.故选C.2、已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )．若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23,12) C ．(7,0) D ．(－7,0)【答案】A【解析】由题意可得3a －2b ＋c ＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x ，y )＝(23＋x ，12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)．3、若AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB →＝(3,5)，AC →＝(2,4)，则AD →＝( ) A ．(－1，－1) B ．(5,9) C ．(1,1) D ．(3,5)【答案】A【解析】由题意可得AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)． 4、已知平面向量a ＝(1，－2)，b ＝(2，m )．若a ∥b ，则3a ＋2b ＝( ) A ．(7,2) B ．(7，－14) C ．(7，－4) D ．(7，－8)【答案】B【解析】∵a ∥b ，∴m ＋4＝0，∴m ＝－4，∴b ＝(2，－4)，∴3a ＋2b ＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)． 5、设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．0【答案】B【解析】因为a 与b 方向相反，故可设b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0，所以m ＝－2，x ＝m ＝－2.6、设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( ) A ．(2,6) B ．(－2,6) C ．(2，－6) D ．(－2，－6)【答案】D【解析】设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝4(1，－3)＝(4，－12)，4b －2c ＝4(－2,4)－2(－1，－2)＝(－6,20)，2(a －c )＝2[(1，－3)－(－1，－2)]＝(4，－2)．又4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．7、已知平行四边形ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO →的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5 【答案】D【解析】AC →＝AB →＋AD →＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴OC →＝12AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5.∴CO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5. 8、在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC →|＝2.若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝( ) A ．2 2B ． 2C ．2D ．42【答案】A【解析】因为|OC →|＝2，∠AOC ＝π4，所以点C 的坐标为(2，2)．又OC →＝λOA ＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝22.9、已知向量，()cos ,1x =b ，满足∥a b ，则__________．【解析】因为向量，()cos ,1x =b ，∥a b ，，tan 2x =，10、若A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)三点共线，则实数a 的值为________． 【答案】－54【解析】AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，由题意知AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.11、已知向量()12，=-m ，(),4x =n ，若⊥m n ，则2+=m n __________． 【答案】10【解析】由题意可得：，8x ∴=，即()1,2=-m ，()8,4=n ，则，据此可知：．12、在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点．若 PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝________. 【答案】(－6,21)【解析】∵AQ →＝PQ →－PA →＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴AC →＝2AQ →＝2(－3,2)＝(－6,4)．又PC →＝PA →＋AC →＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴BC →＝3PC →＝3(－2,7)＝(－6,21)．11．(2018青海西宁质检)已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示．若AC →＝λAB →＋μAD →，则λμ＝________. 【答案】－3【解析】建立如题图所示的平面直角坐标系xAy ，则AC →＝(2，－2)，AB →＝(1,2)，AD →＝(1,0)．由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.13、P ＝{a|a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b|b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝________.【答案】{(－13，－23)}【解析】集合P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，集合Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)．14、已知点()4,1A ，()1,5B ，则与向量AB 方向相同的单位向量为________．【解析】5AB =，∴与向量AB 16．已知()2,3A ，()4,3B -，点P 在线段AB 的延长线上，且，则点P 的坐标是____________．【答案】()8,15-【解析】因为P 在AB 的延长线上，故AP ，PB 共线反向，故，设(),P x y ，则，解得815x y ==-⎧⎨⎩，P 的坐标为()8,15-，故填()8,15-．15、给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB →上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．【解】以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为(1,0)，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎪⎫α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，则点C 的坐标为(cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝2 33sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，则α＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.所以当α＋π6＝π2，即α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.16、已知向量()1,3=a ，()2,2=-b ， （1）设2=+c a b ，求()⋅b a c ； （2）求向量a 在b 方向上的投影．【答案】（1）()16,16--；（2）． 【解析】（1），．（2）向量a 在b 方向的投影．17、已知向量，（1）若⊥m n ，求tan x 的值；（2）若向量m ，n【答案】（1）tan 1x =；（2）12． 【解析】（1）由⊥m n 可得0⋅=m n ，即，化简可得sin cos x x =，则tan 1x =．（2，而由m ，n ，因此有，则．18、如图，在OAB △中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足AP AB λ=． （13，用向量OA ，OB 表示OP ； （2）若4OA =，3OB =，且，请问λ取何值时使得OP AB ⊥？【答案】（1）；（2【解析】（1）由题意得1AP AB =，∴，∴．（2）由题意知．∵AP AB λ=，∴，∴．∵OP AB ⊥，∴，∴，。
高考数学《平面向量的基本定理及坐标表示》一轮复习练习题(含答案)
高考数学《平面向量的基本定理及坐标表示》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．已知在平行四边形ABCD 中，()2,6AD =，()4,4AB =-，对角线AC 与BD 相交于点M ，AM =（ ）A ．()2,5--B ．()1,5--C ．2,5D ．()1,5-3．已知ABC 中，G 是BC 的中点，若2AB =，10AC =，则AG BC ⋅的值为（ ） A ．2B ．3C ．2-D ．3-4．在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =（ ） A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +5．已知a ，b 是不共线的向量，且2AB a b =+，2AC a b =+，33CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，C ，D 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，B ，D 三点共线 6．若M 为△ABC 的边AB 上一点，且52AB AM =，则CB =（ ） A ．3522CA CM --B ．3522CA CM -C ．3522CA CM +D ．3522CA CM -+7．如图，在斜棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点M ，AB a =，AD b =，1AA c =，则1MC =（ ）A ．1122a b c ++B ．1122---a b cC ．1122-++a b cD ．1122a b c --+8．如图，在ABC 中，4BD DC =，则AD =（ ）A ．3144ABAC B ．1455AB AC +C ．4155AB AC +D ．1344ABAC 9．已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP BP ⋅的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．2-D ．1-10．在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点M 满足2AM MD =，则CM =（ ）A ．1233AB AC -+B ．2133AB AC -+ C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -11．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB ，BC 分别为a ，b ，则AH =（ ）A ．2455a b -B ．2455a b +C ．2455a b -+D ．25a b --12．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且2CD BD =，E 是AD 的中点，则BE =（ ） A ．2136AB AC -B ．2136AB AC +C ．2136AB AC -- D ．2136AB AC -+二、填空题13．已知平面向量()2,1a =-，(),2b k =-，若ab ，则+=a b ________．14．锐角ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3tan tan aB C =+，若3c =，D 为AB 的中点，则中线CD 的范围为______________.15．已知向量()22OC =，,()2cos CA αα= ，则向量OA 的模的最大值是________.16．在ABC 中，M 为AB 的中点，N 为线段CM 上一点（异于端点），AN xAB yAC =+，则11x y+的最小值为______．三、解答题17．已知向量(),1a m =，()1,2b =-，()2,3c = (1)若a b +与c 垂直， 求实数m 的值; (2)若a b -与c 共线， 求实数m 的值.18．设向量()1,2a =-，()1,1b =-，()4,5c =-. (1)求2a b +；(2)若c a b λμ=+，,λμ∈R ，求λμ+的值；(3)若AB a b =+，2BC a b =-，42CD a b =-，求证：A ，C ，D 三点共线.19．已知()1,2,2a m m =-，()3,21,1b n =-． (1)若a b ∥，求m 与n 的值； (2)若()3,,3c m =-且a c ⊥，求a ．20．已知O 是平面直角坐标系的原点，()1,2A -，()1,1B ，记OA a =，OB b =. (1)求a 在b 上的投影数量；(2)若四边形OABC 为平行四边形，求点C 的坐标；21．已知向量(1,2),(,1),()//(2)a b x a b a b ==+-． (1)求x 的值；(2)若ka b +与ka b -相互垂直，求k 的值．22．在△ABC 中，P 为AB 的中点，O 在边AC 上，BO 交CP 于R ，且|AO |＝2|OC |，设AB a =，AC b =．(1)试用a ，b 表示AR ；(2)若H 在BC 上，且RH ⊥BC ，设|a |＝2，|b |＝1，a θ∈<,b >，若θ＝[3π,23π]，求CH CB 的取值范围．23．在①2cos cos cos a A b C c B =+；②tan tan 33tan B C B C +=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知______． (1)求角A 的大小；(2)若ABC 3G 为ABC 重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且2AN NB =，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求GP 的取值范围． 注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分。
高三数学大一轮复习 5.2平面向量基本定理及坐标表示教案 理 新人教A版
§5.2 平面向量基本定理及坐标表示2014高考会这样考 1.考查平面向量基本定理的应用；2.考查向量的坐标表示和向量共线的应用．复习备考要这样做 1.理解平面向量基本定理的意义、作用；2.运用定理表示向量，然后再进行向量运算． 1． 平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2． 平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3． 平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. [难点正本 疑点清源] 1． 基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a 都可被这个平面的一组基底e 1，e 2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．2． 向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA →＝(x ，y )．当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化．1． 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.答案 43解析 因为AC →＝AB →＋AD →，又AE →＝AD →＋12AB →，AF →＝AB →＋12AD →，所以AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μAD →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAB →，得到λ＋12μ＝1，12λ＋μ＝1，两式相加得λ＋μ＝43.2． 在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________．答案 (－3，－5)解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若k a ＋b 与b 平行，则k ＝________.答案 0解析 由k a ＋b 与b 平行得－3(2k ＋2)＝2(k －3)，∴k ＝0. 4． 若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c 等于( ) A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3bD ．a ＋3b答案 B解析 由已知可设c ＝x a ＋y b ，则⎩⎪⎨⎪⎧4＝x －y 2＝x ＋y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1.5． (2011·广东)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ等于( )A.14B.12C ．1D ．2答案 B解析 a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，而c ＝(3,4)，由(a ＋λb )∥c 得4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝12.题型一 平面向量基本定理的应用例1 已知点G 为△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，求1x ＋1y的值．思维启迪：以AB →，AC →为基底来表示向量，建立x ，y 的关系． 解 根据题意知G 为三角形的重心， 故AG →＝13(AB →＋AC →)，MG →＝AG →－AM →＝13(AB →＋AC →)－xAB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x AB →＋13AC →，GN →＝AN →－AG →＝yAC →－AG →＝yAC →－13(AB →＋AC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13AC →－13AB →，由于MG →与GN →共线，根据共线向量定理知 MG →＝λGN →⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x AB →＋13AC →＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13AC →－13AB →，∵AB →，AC →不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧13－x ＝－13λ13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13⇒13－x －13＝13y －13⇒x ＋y －3xy ＝0， 两边同除以xy 得1x ＋1y＝3.探究提高 利用基底表示未知向量，实质就是利用向量的加、减法及数乘进行线性运算；向量的表示是向量应用的前提．如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为_____．答案311解析 设|BP →|＝y ，|PN →|＝x ，则AP →＝AN →＋NP →＝14AC →－x x ＋yBN →，①AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋y x ＋yBN →，②①×y ＋②×x 得AP →＝x x ＋y AB →＋y 4x ＋yAC →，令y 4x ＋y ＝211，得y ＝83x ，代入得m ＝311.题型二 向量坐标的基本运算例2 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN→＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．解 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)．∴MN →＝(9，－18)．探究提高 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．已知平行四边形的三个顶点分别是A (4,2)，B (5,7)，C (－3,4)，则第四个顶点D 的坐标是__________________．答案 (－4，－1)或(12,5)或(－2,9) 解析 设顶点D (x ，y )．若平行四边形为ABCD ，则由AB →＝(1,5)， DC →＝(－3－x,4－y )，得⎩⎪⎨⎪⎧－3－x ＝1，4－y ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－1；若平行四边形为ACBD ，则由AC →＝(－7,2)， DB →＝(5－x,7－y )，得⎩⎪⎨⎪⎧5－x ＝－7，7－y ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝5；若平行四边形为ABDC ，则由AB →＝(1,5)， CD →＝(x ＋3，y －4)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝1，y －4＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝9.综上所述，第四个顶点D 的坐标为(－4，－1)或(12,5)或(－2,9)． 题型三 共线向量的坐标表示例3 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，请解答下列问题：(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(3)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 思维启迪：(1)向量相等对应坐标相等，列方程解之． (2)由两向量平行的条件列方程解之．(3)设出d ＝(x ，y )，由平行关系列方程，由模为5列方程，联立方程组求解． 解 (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝32m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∵(a ＋k c )∥(2b －a )，∴2×(3＋4k )－(－5)(2＋k )＝0， ∴k ＝－1613.(3)设d ＝(x ，y )，d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x －4－2y －1＝0x －42＋y －12＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝3，∴d ＝(3，－1)或d ＝(5,3)．探究提高 (1)运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合． (2)根据平行的条件建立方程求参数，是解决这类题目的常用方法，充分体现了方程思想在向量中的应用．(2011·北京)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若(a －2b )与c 共线，则k ＝________. 答案 1解析 a －2b ＝(3，1)－2(0，－1)＝(3，3)， 又∵(a －2b )与c 共线，∴(a －2b )∥c ， ∴3×3－3×k ＝0，解得k ＝1.忽视平面向量基本定理的使用条件致误典例：(12分)已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e＝t (a ＋b )，那么t 为何值时，C ，D ，E 三点在一条直线上？易错分析 本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决，但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时，容易忽视平面向量基本定理的使用条件，出现漏解，漏掉了当a ，b 共线时，t 可为任意实数这个解． 规范解答解 由题设，知CD →＝d －c ＝2b －3a ，CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ， 整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .[4分] ①若a ，b 共线，则t 可为任意实数；[7分]②若a ，b 不共线，则有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，2k －t ＝0，解之得t ＝65.[10分]综上，可知a ，b 共线时，t 可为任意实数；a ，b 不共线时，t ＝65.[12分]温馨提醒 平面向量基本定理是平面向量知识体系的基石，在解题中有至关重要的作用，在使用时一定要注意两个基向量不共线这个条件. 方法与技巧1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题．3．在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用． 失误与防范1．要区分点的坐标和向量坐标的不同，向量的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减始点坐标；向量坐标中既有大小的信息，又有方向的信息．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分) 1． 与向量a ＝(12,5)平行的单位向量为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1213，－513B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－513C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－513D.⎝ ⎛⎭⎪⎫±1213，±513答案 C解析 设e 为所求的单位向量， 则e ＝±a |a |＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513. 2. 如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2PA →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14答案 A解析 由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2PA →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13.3． 已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32bB.12a －32b C ．－32a －12bD ．－32a ＋12b答案 B解析 设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ2＝λ－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12μ＝－32，∴c ＝12a －32b .4． 在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)答案 B解析 BC →＝3PC →＝3(2PQ →－PA →)＝6PQ →－3PA → ＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)． 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b ) (ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________．答案 12解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)， 依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0， 即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.6． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．答案 12解析 因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ， 所以u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)，v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)，又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0， 即10x ＝5，解得x ＝12.7． 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足OC →＝23OA →＋13OB →，则|AC →||AB →|＝________.答案 13解析 ∵OC ＝23OA →＋13OB →，∴OC →－OA →＝－13OA →＋13OB →＝13(OB →－OA →)，∴AC →＝13AB →，∴|AC →||AB →|＝13.三、解答题(共22分)8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，是否存在实数k ，使得k a ＋b 与a －3b 共线，且方向相反？ 解 若存在实数k ，则k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)．a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．若向量k a ＋b 与向量a －3b 共线，则必有(k －3)×(－4)－(2k ＋2)×10＝0，解得k ＝－13. 这时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，43，所以k a ＋b ＝－13(a －3b )． 即两个向量恰好方向相反，故题设的实数k 存在．9． (12分)如图所示，M 是△ABC 内一点，且满足条件AM →＋2BM →＋3CM →＝0，延长CM 交AB 于N ，令CM →＝a ，试用a 表示CN →. 解 因为AM →＝AN →＋NM →，BM →＝BN →＋NM →， 所以由AM →＋2BM →＋3CM →＝0，得 (AN →＋NM →)＋2(BN →＋NM →)＋3CM →＝0， 所以AN →＋3NM →＋2BN →＋3CM →＝0.又因为A ，N ，B 三点共线，C ，M ，N 三点共线，由平面向量基本定理，设AN →＝λBN →，CM →＝μNM →， 所以λBN →＋3NM →＋2BN →＋3μNM →＝0. 所以(λ＋2)BN →＋(3＋3μ)NM →＝0.由于BN →和NM →不共线，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝0，3＋3μ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－1.所以CM →＝－NM →＝MN →，CN →＝CM →＋MN →＝2CM →＝2a .B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于( ) A ．(－3,6)B ．(3，－6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)答案 A解析 方法一 设b ＝(x ，y )，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝35，x －2y5 x 2＋y2＝－1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝45，x －2y ＝－15.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝6，∴b ＝(－3,6)．方法二 设b ＝(x ，y )，由已知条件⎩⎨⎧x 2＋y 2＝35，y ＋2x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－6，(舍去)，∴b ＝(－3,6)．方法三 ∵|a |＝5，∴1|a |a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15，－25，则b ＝－35⎝⎛⎭⎪⎫1|a |a ＝(－3,6)． 2． 已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a∥b ，则2a ＋3b 等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)答案 C 解析 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a∥b ，得1×m ＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．3． 已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC →＝ λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ的值为( ) A ．1B.13C.12D.23答案 D解析 过C 作CE ⊥x 轴于点E (图略)．由∠AOC ＝π4，知|OE |＝|CE |＝2， 所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA →＋OB →，即OE →＝λOA →，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23. 二、填空题(每小题5分，共15分)4． △ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，且p∥q ，则角C ＝________.答案 60°解析 因为p∥q ，则(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，所以a 2＋b 2－c 2＝ab ，a 2＋b 2－c 22ab ＝12， 结合余弦定理知，cos C ＝12， 又0°<C <180°，∴C ＝60°.5． 已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________. 答案 2解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝21－x y －1＝24－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝3.∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ·3，∴a ＝2. 6． 设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A 、B 、C三点共线，则1a ＋2b的最小值是________． 答案 8解析 据已知得AB →∥AC →，又∵AB →＝(a －1,1)，AC →＝(－b －1,2)，∴2(a －1)－(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，∴1a ＋2b＝2a ＋b a ＋4a ＋2b b ＝4＋b a ＋4a b ≥4＋2b a ·4a b＝8， 当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝14，b ＝12时取等号， ∴1a ＋2b的最小值是8. 三、解答题7． (13分)已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线；(3)若t 1＝a 2，求当OM →⊥AB →且△ABM 的面积为12时a 的值．(1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明 当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →，∴A 、B 、M 三点共线．(3)解 当t 1＝a 2时，OM →＝(4t 2,4t 2＋2a 2)．又AB →＝(4,4)，OM →⊥AB →，∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0，∴t 2＝－14a 2，故OM →＝(－a 2，a 2)． 又|AB →|＝42，点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离 d ＝|－a 2－a 2＋2|2＝2|a 2－1|.∵S △ABM ＝12， ∴12|AB |·d ＝12×42×2|a 2－1|＝12， 解得a ＝±2，故所求a 的值为±2.。
高考数学一轮复习学案：5.2 平面向量基本定理及坐标表示(含答案)
高考数学一轮复习学案：5.2 平面向量基本定理及坐标表示（含答案）5.2平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示最新考纲考情考向分析1.了解平面向量基本定理及其意义2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3.会用坐标表示平面向量的加法.减法与数乘运算4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.主要考查平面向量基本定理.向量加法.减法.数乘向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力.数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性一般以选择题.填空题形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题.1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算1向量加法.减法.数乘及向量的模设ax1，y1，bx2，y2，则abx1x2，y1y2，abx1x2，y1y2，ax1，y1，|a|x21y21.2向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设Ax1，y1，Bx2，y2，则ABx2x1，y2y1，|AB|x2x12y2y12.3平面向量共线的坐标表示设ax1，y1，bx2，y2，其中b0.a，b共线x1y2x2y10.知识拓展1若a与b不共线，ab0，则0.2设ax1，y1，bx2，y2，如果x20，y20，则abx1x2y1y2.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1平面内的任何两个向量都可以作为一组基底2若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.3平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示4若ax1，y1，bx2，y2，则ab的充要条件可表示成x1x2y1y2.5当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标6平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变题组二教材改编2P97例5已知ABCD的顶点A1，2，B3，1，C5,6，则顶点D的坐标为________答案1,5解析设Dx，y，则由ABDC，得4,15x,6y，即45x，16y，解得x1，y5.3P119A组T9已知向量a2,3，b1,2，若manb与a2b共线，则mn________.答案12解析由向量a2,3，b1,2，得manb2mn,3m2n，a2b4，1由manb与a2b共线，得2mn43m2n1，所以mn12.题组三易错自纠4设e1，e2是平面内一组基底，若1e12e20，则12________.答案05已知点A0,1，B3,2，向量AC4，3，则向量BC________.答案7，4解析根据题意得AB3,1，BCACAB4，33,17，46xx全国已知向量am,4，b3，2，且ab，则m________.答案6解析因为ab，所以2m430，解得m6.题型一题型一平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用1在下列向量组中，可以把向量a3,2表示出来的是Ae10,0，e21,2Be11,2，e25，2Ce13,5，e26,10De12，3，e22,3答案B解析方法一设ak1e1k2e2，A选项，3,2k2,2k2，k23，2k22，无解；B选项，3,2k15k2,2k12k2，k15k23，2k12k22，解得k12，k21.故B中的e1，e2可以把a表示出来；同理，C，D选项同A 选项，无解方法二只需判断e1与e2是否共线即可，不共线的就符合要求2xx 济南模拟如图，在ABC中，AN13NC，P是BN上的一点，若APmAB211AC，则实数m的值为________答案311解析AN13NC，AC4AN，ADmAB211ACmAB811AN，又P，B，N三点共线，m8111，即m311.思维升华平面向量基本定理应用的实质和一般思路1应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加.减或数乘运算2用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决题型二题型二平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算典例1已知a5，2，b4，3，若a2b3c0，则c等于A.1，83B.133，83C.133，43D.133，43答案D解析由已知3ca2b5,28，613，4所以c133，43.2xx北京西城区模拟向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab，R，则等于A1B2C3D4答案D解析以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系设每个小正方形边长为1，则A1，1，B6,2，C5，1，aAO1,1，bOB6,2，cBC1，3cab，1，31,16,2，即61，23，解得2，12，4.引申探究在本例2中，试用a，c表示b.解建立本例2解答中的平面直角坐标系，则a1,1，b6,2，c1，3，设bxayc，则6,2x1,1y1，3即xy6，x3y2，解得x4，y2，故b4a2c.思维升华向量的坐标运算主要是利用加.减.数乘运算法则进行计算若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则跟踪训练1已知四边形ABCD的三个顶点A0,2，B1，2，C3，1，且BC2AD，则顶点D的坐标为A.2，72B.2，12C3,2D1,3答案A解析设Dx，y，ADx，y2，BC4,3，又BC2AD，42x，32y2，x2，y72，故选A.2已知平面向量a1,1，b1，1，则向量12a32b等于A2，1B2,1C1,0D1,2答案D解析12a12，12，32b32，32，故12a32b1,2题型三题型三向量共线的坐标表示向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求向量或点的坐标典例已知点A4,0，B4,4，C2,6，则AC与OB的交点P的坐标为________答案3,3解析方法一由O，P，B三点共线，可设OPOB4，4，则APOPOA44,4又ACOCOA2,6，由AP与AC共线，得446420，解得34，所以OP34OB3,3，所以点P的坐标为3,3方法二设点Px，y，则OPx，y，因为OB4,4，且OP与OB共线，所以x4y4，即xy.又APx4，y，AC2,6，且AP与AC共线，所以x46y20，解得xy3，所以点P的坐标为3,3命题点2利用向量共线求参数典例已知向量a1sin，1，b12，1sin，若ab，则锐角________.答案45解析由ab，得1sin1sin12，cos212，cos22或cos22，又为锐角，45.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略1利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若ax1，y1，bx2，y2，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便2利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为aR，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量跟踪训练1xx北京海淀区模拟已知向量a1,1，点A3，0，点B为直线y2x上的一个动点若ABa，则点B的坐标为________答案3，6解析设Bx,2x，则ABx3,2xABa，x32x0，解得x3，B3，62若三点A1，5，Ba，2，C2，1共线，则实数a的值为________答案54解析ABa1,3，AC3,4，根据题意ABAC，4a1330，即4a5，a54.解析法坐标法在向量中的应用典例12分给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为23.如图所示，点C在以O为圆心的AB上运动若OCxOAyOB，其中x，yR，求xy的最大值思想方法指导建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数特征规范解答解以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A1,0，B12，32.4分设AOC0，23，则Ccos，sin，由OCxOAyOB，得cosx12y，sin32y，所以xcos33sin，y233sin，8分所以xycos3sin2sin6，10分又0，23，所以当3时，xy取得最大值2.12分。