初中数学《图形的全等》经典习题

平面图形的认识试卷副标题1．命题①邻补角互补；②对顶角相等；③同旁内角互补；④两点之间线段最短；⑤直线都相等；⑥任何数都有倒数；⑦如果a2=b2，那么a=b；⑧三角对应相等的两三角形全等；⑨如果∠A+∠B=90°，那么∠A与∠B互余．其中真命题有…（）A． 3个B． 4个C． 5个D． 6个2．下列条件中能判定△ABC≌△DEF的是（）A． AB=DE，BC=EF，∠A=∠D B．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠FC． AC=DF，∠B=∠F，AB=DE D．∠B=∠E，∠C=∠F，AC=DF3．下列说法中不正确的是（）A．全等三角形的周长相等B．全等三角形的面积相等C．全等三角形能重合D．全等三角形一定是等边三角形4．给出下列各命题：①有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形一定全等；②有两边和一角对应相等的两个三角形一定全等；③有两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等；④有两条边分别相等的两个直角三角形一定全等；其中假命题共有（）A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个5．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF6．如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A． 50 B． 62 C． 65 D． 687．如图所示，∠1=∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，交点为C，则图中全等三角形共有（）A． 2对B． 3对C． 4对D． 5对8．下列不能判定三角形全等的是（）A．如图（1），线段AD与BC相交于点O，AO=DO，BO=CO．△ABO与△BCOB．如图（2），AC=AD，BC=BD．△ABC与△ABDC．如图（3），∠A=∠C，∠B=∠D．△ABO与△CDOD．如图（4），线段AD与BC相交于点E，AE=BE，CE=DE，AC=BD．△ABC与△BAD 9．如图，AC=DF，∠ACB=∠DFE，点B、E、C在一条直线上，则下列条件中不能断定△ADC≌DEF的是（）A．∠A=∠D B． BE=CF C． AB=DE D． AB∥DE10．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）A． B． 4 C．D． 511．如图，已知△ACF≌△DBE，∠E=∠F，AD=9cm，BC=5cm，AB的长为cm．12．如图，在△ABC和△BAD中，若∠C=∠D，再添加一个条件，就可以判定△ABC≌△BAD 你添加的条件是．13．如图，已知AC=BD，则再添加条件，可证出△ABC≌△BAD．14．如图，已知∠ABC=∠DCB，现要说明△ABC≌△DCB，则还要补加一个条件是或或．15．如图，如果△ABC≌△DEF，△DEF周长是32cm，DE=9cm，EF=13cm，∠E=∠B，则AC= cm．16．如图，△ABC≌△EFC，CF=3cm，CE=4cm，∠F=36°，则BC= cm，∠B=度．17．如图，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是．18．如图，将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后，得到标号为N，P，Q，M的四个图形，试按照“哪个正方形剪开后与哪个图形”的对应关系填空：A与对应；B与对应；C与对应；D与对应．19．如图EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF．给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（填序号）．20．如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有对．21．如图，在△ABC中，已知∠DBC=60°，AC＞BC，又△ABC′、△BCA′、△CAB′都是△ABC形外的等边三角形，而点D在AC上，且BC=DC（1）证明：△C′BD≌△B′DC；（2）证明：△AC′D≌△DB′A；（3）对△A BC、△ABC′、△BCA′、△CAB′，从面积大小关系上，你能得出什么结论？22．如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．23．如图，已知：△ABC中，∠ACB=90°，D为AC边上的一点，E为DB的中点，CE的延长线交AB于点F，FG∥BC交DB于点G．试说明：∠BFG=∠CGF．24．如图（1），A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，试证明BD平分EF，若将△DEC的边EC沿AC方向移动变为图（2）时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．25．如图，两个全等的直角三角形△ABC和△A1B1C1中，∠ACB=∠A1C1B1=90°，两条相等的直角边AC，A1C1在同一直线上，A1B1与AB交于O，AB与B1C1交于E1，A1B1与BC交于E．（1）写出图中除△ABC≌△A1B1C1外的所有其它各组全等三角形（不再连线和标注字母）；（2）求证：B1E1=BE．26．（1）在图1中，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．∠ABC=∠ADC=90°，则能得如下两个结论：①DC=BC；②AD+AB=AC．请你证明结论②；（2）在图2中，把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．27．如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于F．若∠1=∠2=∠3，AC=AE，请说明△ABC≌△ADE的道理．28．用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合．将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由．29．已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．（1）求证：BF=AC；（2）求证：CE=BF；（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论．30．如图，AD=BC，请添加一个条件，使图中存在全等三角形并给予证明．你所添加的条件为：；得到的一对全等三角形是△≌△．参考答案1．B【解析】试题分析：根据邻补角互补，对顶角相等的性质，线段的性质，直线的性质，倒数的特殊规定，绝对值的选择性，全等三角形的判定，余角的定义对各小题分析判断后即可求解．解：①邻补角互补，正确；②对顶角相等，正确；③被截线不平行则同旁内角不互补，故本小题错误；④两点之间线段最短，是线段的性质，正确；⑤直线是向两方无限延伸的，没有长短，故本小题错误；⑥0没有倒数，故本小题错误；⑦如果a2=b2，那么a=b或a=﹣b，故本小题错误；⑧三角对应相等的两三角形相似但不一定全等，故本小题错误；⑨如果∠A+∠B=90°，那么∠A与∠B互余，是定义，正确．综上所述，真命题有①②④⑨共4个．故选B．考点：对顶角、邻补角；倒数；线段的性质：两点之间线段最短；全等三角形的判定．点评：本题是对基础知识的综合考查，熟记概念与性质是解题的关键．2．D【解析】试题分析：全等三角形的判定方法有：SAS，ASA，AAS，SSS，而SSA，AAA都不能判定两三角形全等，根据以上内容判断即可．解：A、根据AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，不能判断△ABC≌△DEF，故本选项错误；B、根据∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，不能判断△ABC≌△DEF，故本选项错误；C、根据AC=DF，∠B=∠F，AB=DE，不能判断△ABC≌△DEF，故本选项错误；D、∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（AAS），故本选项正确；故选D．考点：全等三角形的判定．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目，全等三角形的判定方法有：SAS，ASA，AAS，SSS．3．D【解析】试题分析：根据全等三角形的性质得出AB=DE，AC=DF，BC=EF，即可判断A；根据全等三角形的性质得出△ABC和△DEF放在一起，能够完全重合，即可判断B、C；根据图形即可判断D．解：A、∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，AC=DF，BC=EF，∴AB+AC+BC=DE+DF+EF，故本选项错误；B、∵△ABC≌△DEF，即△ABC和△DEF放在一起，能够完全重合，即两三角形的面积相等，故本选项错误；C、∵△ABC≌△DEF，即△ABC和△DEF放在一起，能够完全重合，故本选项错误；D、如图△ABC和DEF不是等边三角形，但两三角形全等，故本选项正确；故选D．考点：全等三角形的性质．点评：本题考查了全等三角形的定义和性质的应用，能运用全等三角形的有关性质进行说理是解此题的关键，题目较好，但是一道比较容易出错的题目．4．B【解析】试题分析：根据三角形全等的判定方法即可解得，做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．解：①符合SAS，成立；②SSA不符合三角形全等的条件；③符合SAS，是真命题；④没有对应相等不符合三角形全等的条件，是假命题．则正确的是①和③．故选B．考点：全等三角形的判定．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5．B【解析】试题分析：全等三角形的判定方法SAS是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，已知AB=DE，BC=EF，其两边的夹角是∠B和∠E，只要求出∠B=∠E即可．解：A、根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；B、∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确；C、∵BC∥EF，∴∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；D、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．故选B．考点：全等三角形的判定．点评：本题考查了对平行线的性质和全等三角形的判定的应用，注意：有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形才全等，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．6．A【解析】试题分析：由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF=∠ABG，而AE=AB，∠EFA=∠AGB，由此可以证明△EFA≌△ABG，所以AF=BG，AG=EF；同理证得△BGC≌△DHC，GC=DH，CH=BG．故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．解：∵AE⊥AB且AE=AB，EF⊥FH，BG⊥FH⇒∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°，∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90°⇒∠EAF=∠ABG，∴AE=AB，∠EFA=∠AGB，∠EAF=∠ABG⇒△EFA≌△ABG∴AF=BG，AG=EF．同理证得△BGC≌△DHC得GC=DH，CH=BG．故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16故S=（6+4）×16﹣3×4﹣6×3=50．故选A．考点：全等三角形的判定与性质．点评：本题考查的是全等三角形的判定的相关知识．作辅助线是本题的关键．7．C【解析】试题分析：根据已知条件可以找出题目中有哪些相等的角以及线段，然后猜想可能全等的三角形，然后一一进行验证，做题时要由易到难，循序渐进．解：①△ODC≌△OEC∵BD⊥AO于点D，AE⊥OB于点E，OC平分∠AOB∴∠ODC=∠OEC=90°，∠1=∠2∵OC=OC∴△ODC≌△OEC（AAS）∴OE=OD，CD=CE；②△ADC≌△BEC∵∠CDA=∠CEB=90°，∠3=∠4，CD=CE∴△OBE≌△OCD（AAS）∴AC=BC，AD=BE，∠B=∠A；③△OAC≌△OBC∵OD=OE∴OA=OB∵OA=OB，OC=OC，AC=BC∴△ABO≌△ACO（SSS）；④△OAE≌△OBD∵∠ODB=∠OEA=90°，OA=OB，OD=OE∴△AEC≌△ADB（HL）．故选C．考点：全等三角形的判定．点评：本题考查了全等三角形的判定方法；全等三角形的判定方法一般有：AAS、SAS、ASA、SSS、HL．应该对每一种方法熟练掌握做到灵活运用，做题时要做到不重不漏．提出猜想，证明猜想是解决几何问题的基本方法．8．C【解析】试题分析：全等三角形的判定定理有：SAS、ASA、AAS、SSS，只要具备以上四种方法中的一种，即可判定联三角形全等．解：A、因为∠AOB=∠DOC，根据SAS可判断△ABO≌△DCO，故本选项错误；B、AB=AB，根据SSS可证出△ABC≌△ABD，故本选项错误；C、全等三角形的判定定理有SAS、ASA、AAS、SSS，根据已知不能得出以上三个条件，即两三角形不全等，故本选项正确；D、∵AE=BE，CE=DE，∴AD=BC，∵AB=AB，AC=BD，根据SSS可证出△ABC≌△BAD，故本选项错误．故选C．考点：全等三角形的判定．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定有：SAS、ASA、AAS、SSS，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．9．C【解析】试题分析：根据全等三角形的判定ASA推出三角形全等，即可判断A；求出BC=EF，根据SAS 即可判断B；根据有两边和其中一边的对角相等不能判断两三角形全等，即可判断C；根据平行线性质推出∠B=∠DEF，根据AAS即可判断D．解：A、在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF，故本选项错误；B、∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF，故本选项错误；C、根据AB=DE，∠ACB=∠DFE，AC=DF，不能判定△ABC和△DEF全等，故本选项正确；D、∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF，故本选项错误；故选C．考点：全等三角形的判定；平行线的性质．点评：本题考查了平行线性质和全等三角形的判定的应用，熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中．10．B【解析】试题分析：由∠ABC=45°，AD是高，得出BD=AD后，证△ADC≌△BDH后求解．解：∵∠ABC=45°，AD⊥BC，∴AD=BD，∠ADC=∠BDH，∵∠AHE+∠DAC=90°，∠AHE+∠C=90°，∴∠AHE=∠BHD=∠C，∴△ADC≌△BDH，∴BH=AC=4．故选B．考点：全等三角形的判定与性质．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．由∠ABC=45°，AD是高，得出BD=AD是正确解答本题的关键．11．2【解析】试题分析：AB不是全等三角形的对应边，但它通过全等三角形的对应边转化为AB=CD，而使AB+CD=AD﹣BC可利用已知的AD与BC求得．解：∵△ACF≌△DBE，∠E=∠F，∴CA=BD，∴CA﹣BC=DB﹣BC，即AB=CD，∴AB+CD=2AB=AD﹣BC=9﹣5=4（cm），∴AB=2（cm）．故填2．考点：全等三角形的性质．点评：本题主要考查了全等三角形的对应边相等．难点在于根据图形得到线段AB=CD，也是解决本题的关键．12．∠DAB=∠CBA（答案不唯一）【解析】试题分析：由图可知，AB是公共边，然后根据全等三角形的判定方法选择添加不同的条件即可．解：∵∠C=∠D，AB是公共边，∴可添加∠DAB=∠CBA或∠DBA=∠CAB，故答案为：∠DAB=∠CBA（答案不唯一）．考点：全等三角形的判定．点评：本题考查了全等三角形的判定，根据∠D、∠C是公共边AB的对角，只能选择利用“角角边”证明两三角形全等添加条件．13．∠CAB=∠DBA@BC=AD【解析】试题分析：本题要判定△ABC≌△ADC，已知AC=BD，AB是公共边，具备了两组边对应相等，故添加BC=AD、∠CAB=∠DBA，后可分别根据SSS、SAS、能判定△ABC≌△ADC．解：AC=BD，AB是公共边，加∠CAB=∠DBA，就可以用SAS证出△ABC≌△BAD；加BC=AD就可以用SSS证出△ABC≌△BAD．故填∠CAB=∠DBA@BC=AD．考点：全等三角形的判定．点评：本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．14．∠A=∠D AB=CD ∠ACB=∠DBC【解析】试题分析：要证明△ABC≌△DCB，已知∠ABC=∠DCB，且有一个公共边BC=BC，则可以添加一组角从而利用AAS、ASA判定其全等；添加边从而利用SAS判定其全等．解：补充∠A=∠D．∵∠ABC=∠DCB，BC=BC，∠A=∠D∴△ABC≌△DCB（AAS）补充∠ACB=∠DBC．∵∠ABC=∠DCB，BC=BC，∠ACB=∠DBC∴△ABC≌△DCB（ASA）补充AB=CD．∵∠ABC=∠DCB，AB=CD，BC=BC∴△ABC≌△DCB（SAS）．∴故填∠A=∠D或AB=CD或∠ACB=∠DBC．考点：全等三角形的判定．点评：题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．15．10【解析】试题分析：根据△DEF周长是32cm，DE=9cm，EF=13cm就可求出第三边DF的长，根据全等三角形的对应边相等，即可求得AC的长．解：DF=32﹣DE﹣EF=10cm．∵△ABC≌△DEF，∠E=∠B，∴AC=DF=10cm．考点：全等三角形的性质．点评：本题考查全等三角形的性质，解题时应注重识别全等三角形中的对应边，要根据对应角去找对应边．16．3 36【解析】试题分析：运用“全等三角形的对应边相等，对应角相等”即可得，做题时要根据△ABC≌△EFC找对对应边．解：∵△ABC≌△EFC，CF=3cm，∠F=36，∴BC的对应边是CF，∠B的对应角是∠F，∴BC=FC=3cm，∠B=∠F=36°．故填3，36．考点：全等三角形的性质．点评：本题考查了全等三角形的性质及对应关系的找法；全等三角形书写时各对应顶点应在同一位置，找准对应关系是解决本题的关键．17．【解析】试题分析：根据图形得出当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n个点时，图中有个全等三角形即可．解：当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；当有4点时，有10个全等三角形；…当有n个点时，图中有个全等三角形．故答案为：．考点：全等三角形的判定．点评：本题考查了对全等三角形的应用，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度．18．M N Q P【解析】试题分析：能够完全重合的两个图形叫做全等形．按照剪开前后各基本图形是重合的原则进行逐个验证、排查．解：由全等形的概念可知：A是三个三角形，与M对应；B是一个三角形和两个直角梯形，与N对应；C是一个三角形和两个四边形，与Q对应；D是两个三角形和一个四边形，与P对应故分别填入M，N，Q，P．考点：全等图形．点评：本题考查的是全等形的识别，注意辩别组成图形的基础图形的形状．19．①②③【解析】试题分析：由已知条件，可直接得到三角形全等，得到结论，采用排除法，对各个选项进行验证从而确定正确的结论．解：∵∠B+∠BAE=90°，∠C+∠CAF=90°，∠B=∠C∴∠1=∠2（①正确）∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF∴△ABE≌△ACF（ASA）∴AB=AC，BE=CF（②正确）∵∠CAN=∠BAM，∠B=∠C，AB=AC∴△ACN≌△ABM（③正确）∴CN=BM（④不正确）．所以正确结论有①②③．故填①②③．考点：全等三角形的判定．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．得到三角形全等是正确解决本题的关键．20．4【解析】试题分析：根据已知条件可以找出题目中有哪些相等的角以及线段，然后猜想可能全等的三角形，然后一一进行验证．解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，且AO平分∠BAC，∴△ODA≌△OEA，∴∠B=∠C，AD=AE，∴△ADC≌△AEB，∴AB=AC，∴△OAC≌△OAB，∴△COE≌△OBD．故填4．考点：全等三角形的判定．点评：本题考查了三角形全等的判定方法；提出猜想，验证猜想是解决几何问题的基本方法，做题时要注意从已知条件开始思考结合全等的判定方法逐一判断，做到不重不漏，由易到难．21．（1）先证明：△C′BD≌△ABC，再证明△ABC≌△B′DC；（2）根据（1）的结论，可以证明：△AC′D≌△DB′A；（3）由角的不等，导出边的不等关系，这是探索面积不等关系的关键．【解析】试题分析：（1）先证明：△C′BD≌△ABC，再证明△ABC≌△B′DC；（2）根据（1）的结论，可以证明：△AC′D≌△DB′A；（3）由角的不等，导出边的不等关系，这是探索面积不等关系的关键．（1）△C′BD与△ABC中，BC=DC，AB=BC′，∠C′BD=60°+∠ABD=∠ABC，∴△C′BD≌△ABC，∴C′D=AC又在△BCA与△DCB′中，BC=DC，AC=B′C，∠ACB=∠B′CD=60°，∴△BCA≌△DCB′．∴DB′=BA．∴△C′BD≌△B′DC（2）由（1）的结论知：C′D=B′C=AB′，B′D=BC′=AC′，又∵AD=AD，∴△AC′D≌△DB′A．（3）S△AB′C＞S△ABC′＞S△ABC＞S△A′BC；S△AB′C=，S△A′BC=，S△ABC′=，S△ABC=，因为AB2=（AC2+BC2﹣2AC×BC×cos60°）整理得S△ACB′+S△BCA′=S△ABC′+S△ABC考点：全等三角形的判定；三角形的面积．点评：考查全等三角形的证明，考查在三角形中，已知两边和夹角求第三边的计算．22．有两种解法：①延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，则可证△BDF≌△CDM（SAS），可得MC=BF，∠M=∠BFM，再得∠M=∠MAC，得AC=MC=BF．②延长AD至点M，使DM=AD，连接BM，可证△ADC≌△MDB（SAS），方法与①相同．【解析】试题分析：有两种解法：①延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，则可证△BDF≌△CDM（SAS），可得MC=BF，∠M=∠BFM，再得∠M=∠MAC，得AC=MC=BF．②延长AD至点M，使DM=AD，连接BM，可证△ADC≌△MDB（SAS），方法与①相同．证明：方法一：延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，在△BDF和△CDM中，∴△BDF≌△CDM（SAS）．∴MC=BF，∠M=∠BFM．∵EA=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠AFE=∠BFM，∴∠M=∠MAC，∴AC=MC，∴BF=AC；方法二：延长AD至点M，使DM=AD，连接BM，在△ADC和△MDB中，，∴△ADC≌△MDB（SAS），∴∠M=∠MAC，BM=AC，∵EA=EF，∴∠CAM=∠AFE，而∠AFE=∠BFM，∴∠M=∠BFM，∴BM=BF，∴BF=AC．考点：全等三角形的判定与性质．点评：本题考查了三角形全等的判定及性质、等腰三角形的性质．其中普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，解决此题的关键是作出巧妙的辅助线：倍长中线．23．本题首先通过∠ACB=90°，E为DB的中点，进而得到CE=EB=DE，又因为FG∥BC，则可证明△GEC≌△FEB，再通过角与角之间的关系求得∠BFG=∠CGF．【解析】试题分析：本题首先通过∠ACB=90°，E为DB的中点，进而得到CE=EB=DE，又因为FG∥BC，则可证明△GEC≌△FEB，再通过角与角之间的关系求得∠BFG=∠CGF．证明：∵∠ACB=90°，E为DB的中点，∴CE=DE=BE，（直角三角形斜边上的中线等于斜边一半）∴CE=EB，∴∠ECB=∠CBE，∵FG∥BC，∴∠GFE=∠ECB，∠EGF=∠CBE∴∠EGF=∠EFG，∴GE=EF，∵∠GEC=∠FEB，∴△GEC≌△FEB，∴∠EFB=∠EGC，∵∠BFG=∠EFB+∠EFG，∠CGF=∠EGC+∠EGF，∴∠BFG=∠CGF．考点：全等三角形的判定与性质．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．24．（1）先利用HL判定Rt△ABF≌Rt△CDE，得出BF=DE；再利用AAS判定△BFG≌△DGE，从而得出FG=EG，即BD平分EF．（2）结论仍然成立，同样可以证明得到．【解析】（1）先利用HL判定Rt△ABF≌Rt△CDE，得出BF=DE；再利用AAS判定△BFG≌△DGE，试题分析：从而得出FG=EG，即BD平分EF．（2）结论仍然成立，同样可以证明得到．（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG=∠BFE=90°．∵AE=CF，AE+EF=CF+EF．即AF=CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF=DE．在△BFG和△DEG中，∴△BFG≌△DGE（AAS），∴FG=EG，即BD平分EF．（2）FG=EG，即BD平分EF的结论依然成立．理由：因为 AE=CF，所以 AF=CE，因为 DE垂直于AC，BF垂直于AC，所以角AFB=角CED，BF∥DE，因为AB∥CD，所以角A=角C，所以三角形ABF全等于三角形CDE，所以 BF=DE，所以四边形BEDF是平行四边形，所以 GE=GF，即：BD平分EF，即结论依然成立．考点：全等三角形的判定与性质．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．25．（1）根据全等三角形的判定：三组对应边分别相等的两个三角形全等（简称SSS）；有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）可证得；（2）由1可证得△ACE≌△A1C1E1，可推出CE=C1E1，易证B1E1=BE．【解析】试题分析：（1）根据全等三角形的判定：三组对应边分别相等的两个三角形全等（简称SSS）；有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）可证得；（2）由1可证得△ACE≌△A1C1E1，可推出CE=C1E1，易证B1E1=BE．（1）解：△ACE≌△A1C1E1，△OBE≌△O1B1E1；（2）证明：∵△ABC≌△A1B1C1∴AC=A1C1，BC=B1C1∴AC1=A1C已知∠A=∠A1，∠ACE=∠A1C1E1=90°∴△ACE≌△A1C1E1∴CE=C1E1又∵BC=B1C1∴B1E1=BE．考点：全等三角形的判定与性质．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．26．（1）根据角平分线的性质可得∠DAC=∠BAC=60°，又已知∠ABC=∠ADC=90°，所以∠DCA=∠BCA=30°，根据直角三角形的性质可证AC=2AD，AC=2AB，所以AD+AB=AC．（2）根据已知条件可在AN上截取AE=AC，连接CE，根据AAS可证△ADC≌△EBC，得到DC=BC，DA=BE，所以AD+AB=AB+BE=AE，即AD+AB=AC．【解析】试题分析：（1）根据角平分线的性质可得∠DAC=∠BAC=60°，又已知∠ABC=∠ADC=90°，所以∠DCA=∠BCA=30°，根据直角三角形的性质可证AC=2AD，AC=2AB，所以AD+AB=AC．（2）根据已知条件可在AN上截取AE=AC，连接CE，根据AAS可证△ADC≌△EBC，得到DC=BC，DA=BE，所以AD+AB=AB+BE=AE，即AD+AB=AC．证明：（1）如图1∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∴∠DAC=∠BAC=60°，∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠DCA=∠BCA=30°，∵在Rt△ACD中，∠DCA=30°，Rt△ACB中，∠BCA=30°，∴AC=2AD，AC=2AB，∴AD+AB=AC．（2）判断是：（1）中的结论①DC=BC；②AD+AB=AC都成立．理由如下：如下图，在AN上截取AE=AC，连接CE，∵∠BAC=60°，∴△CAE为等边三角形，∴AC=CE，∠AEC=60°，∵∠DAC=60°，∴∠DAC=∠AEC∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠ADC=∠EBC，∴△ADC≌△EBC，∴DC=BC，DA=BE，∴AD+AB=AB+BE=AE，∴AD+AB=AC．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的定义；三角形内角和定理．点评：本题考查了角平分线的性质，直角三角形的性质，和全等三角形的判定等知识综合运用，是一道由浅入深的训练题．27．根据已知，利用有两组角对应相等的两个三角形相似得到△AEF∽△DCF，从而得到∠E=∠C，再由已知可得∠BAC=∠DAE，又因为AC=AE，所以根据AAS可判定△ABC≌△ADE．【解析】试题分析：根据已知，利用有两组角对应相等的两个三角形相似得到△AEF∽△DCF，从而得到∠E=∠C，再由已知可得∠BAC=∠DAE，又因为AC=AE，所以根据AAS可判定△ABC≌△ADE．解：△ADF与△AEF中，∵∠2=∠3，∠AFE=∠CFD，∴∠E=∠C．∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE．∵AC=AE，∴△ABC≌△ADE．考点：全等三角形的判定．点评：此题考查学生对相似三角形的判定及全等三角形的判定的理解及运用．三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．28．应先确定选择哪对三角形，再对应三角形全等条件求解．【解析】试题分析：本题是一道开放性题，应先确定选择哪对三角形，再对应三角形全等条件求解．解：（1）BE=CF．证明：在△ABE和△ACF中，∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠CAF．∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE=CF；（2）BE=CF仍然成立．证明：在△ACE和△ADF中，∵∠CAE+∠EAD=∠FAD+∠DAE=60°，∴∠CAE=∠DAF，∵∠BCA=∠ACD=60°，∴∠FCE=60°，∴∠ACE=120°，∵∠ADC=60°，∴∠ADF=120°，在△ACE和△ADF中，∴△ACE≌△ADF，∴CE=DF，∴BE=CF，考点：全等三角形的判定．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．29．（1）利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出BF=AC．（2）利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE=AE=AC，又因为BF=AC所以CE=AC=BF（3）利用等腰三角形“三线合一”）和勾股定理即可求解．【解析】试题分析：（1）利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出BF=AC．（2）利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE=AE=AC，又因为BF=AC所以CE=AC=BF（3）利用等腰三角形“三线合一”）和勾股定理即可求解．（1）证明：∵CD⊥AB，∠ABC=45°，∴△BCD是等腰直角三角形．∴BD=CD．∵∠DBF=90°﹣∠BFD，∠DCA=90°﹣∠EFC，且∠BFD=∠EFC，∴∠DBF=∠DCA．在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵∴Rt△DFB≌Rt△DAC（ASA）．∴BF=AC；（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE．在Rt△BEA和Rt△BEC中，∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA）．∴CE=AE=AC．又由（1），知BF=AC，∴CE=AC=BF；（3）证明：∠ABC=45°，CD垂直AB于D，则CD=BD．H为BC中点，则DH⊥BC（等腰三角形“三线合一”）连接CG，则BG=CG，∠GCB=∠GBC=∠ABC=×45°=22.5°，∠EGC=45°．又∵BE垂直AC，故∠EGC=∠ECG=45°，CE=GE．∵△GEC是直角三角形，∴CE2+GE2=CG2，∵DH垂直平分BC，。