一元二次不等式的解法、集合及运算
一元二次不等式的解集
一元二次不等式的解集一元二次不等式是指一个包含一个未知数的二次方程不等式。
解集指的是满足不等式条件的所有实数值的集合。
在本文中，我们将讨论一元二次不等式的性质、解法和解集的表示方法。
一、一元二次不等式的性质1. 一元二次不等式的基本形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
2. 当a > 0时，一元二次不等式的图像为开口向上的抛物线；当a < 0时，一元二次不等式的图像为开口向下的抛物线。
3. 一元二次不等式有零个、一个或两个解，解的个数取决于不等式的形式和系数的取值。
二、一元二次不等式的解法1. 通过图像法求解：通过绘制一元二次不等式的图像，可确定其解集的范围。
在绘制图像时，注意抛物线的开口方向和顶点的坐标。
2. 通过因式分解求解：对于特定的一元二次不等式，可以通过因式分解将其转化为多个一次因式相乘的形式，然后利用每个因式的符号确定不等式的解集。
3. 通过配方法求解：对于特定的一元二次不等式，可以通过配方法将其转化为一个平方差或完全平方式，然后利用平方差或完全平方式的性质求解不等式。
三、一元二次不等式解集的表示方法1. 解集的表示方法有三种常用形式：区间表示法、集合表示法和图像表示法。
a) 区间表示法：用区间形式表示解集，如(a, b)、[a, b]、(a, +∞)、(-∞, b]等。
b) 集合表示法：用集合的形式表示解集，如{x ∈ R | a < x < b}表示一个开区间。
c) 图像表示法：用图形的方式表示解集，通过绘制坐标轴上的区间来表示解集的范围。
2. 解集的界限问题：解集的上下界取决于不等式的形式和系数的取值。
对于开口向上的抛物线，解集的下界是抛物线的顶点坐标；对于开口向下的抛物线，解集的上界是抛物线的顶点坐标。
4. 解集的无解情况：有些一元二次不等式没有实数解，这意味着不等式在实数范围内不成立。
一元二次不等式及其解法
2 1 ∴原不等式的解集为{x|－ ≤ x≤ }． 3 2 (2)∵ Δ＝(－ 4)2－ 4× 2× 7＝－ 40<0 ∴原不等式的解集为 Ø.
例2
1 1 已知不等式 ax ＋bx＋2>0 的解为－ <x< ， 2 3
2
求 2x2＋bx＋a<0 的解．
1 1 变式练习 2 已知不等式 ax ＋5x＋c>0 的解集为{x| <x< }， 3 2
2．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是(
)
A．(0,2)
C．(2，＋∞)
B．(－∞，0)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的 解集，解得0<x<2，故选A. 答案：A
3．不等式－ 6x2－ x＋ 2≤ 0 的解集为( 2 1 A． {x|－ ≤ x≤ } 3 2 1 C． {x|x≥ } 2
2
1 1 故①当 0<a<1 时，(x－1)(x－ )<0⇔1<x< ； a a 1 ②当 a＝1 时，(x－1)(x－ )<0⇔(x－1)2<0⇔x∈Ø； a 1 1 ③当 a>1 时，(x－1)(x－ )<0⇔ <x<1. a a
1 综上所述：当 a<0 时，解集为{x|x< 或 x>1}；当 a a 1 ＝0 时， 解集为{x|x>1}； 当 0<a<1 时， 解集为{x|1<x< }； a 1 当 a＝1 时，解集为 Ø；当 a>1 时，解集为{x| <x<1}． a
)
2 1 B．{x|x≤－ 或 x≥ } 3 2 2 D． {x|x≤－ } 3
一元二次不等式及其解法
∵ 32 4 2 2 7 0
∴方程 2x 2 3x 2 0 无实数根 ∴原不等式的解集为 R.
习题 1: 解下列不等式: （1） x 2 5x 6 0 ;
（2） x 2 7x 6 ;
x 2 6x 10 0
（3） 2 xx 3 0 ;
;
当 a 1 ,即 a 1或0 a 1 时,原不等式的解集为 x a x 1 .
原不等式可化为 x 22 0 或 x 22 0 ,所以原不等式的解集为 x x 2或 x x 2;
当 0 ,即 4 a 4 时 方程 x 2 ax 4 0 无实数根,所以原不等式的解集为 R.
例 7. 解不等式 m2 1x 2 4x 1≥0 m R.
第1页
（2）一元二次不等式 ax 2 bx c 0 （≤0）的解集就是二次函数 y ax 2 bx c 0a 0
的图象位于 x 轴下方（包括 x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围.
表（1）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:
判别式 b 2 4ac
解:∵ m 2 ≥0 ∴m2 1 0
42 4m2 1 12 4m2
当 0 ,即
一元二次不等式的解法全
2 . (1) 当x 2 3或x 2 3时，y 0
(2) 当x〉2 3或x〈2 3时，y〉0
(3) 当2 〈3 x〈2 3时，y〈0
3. x | x 4或x 3
y
五、小结
o ●x1
● x2 x
（1）一元二次不等式的解集与一元二次方程
的解及其相应的二次函数的图像相对于轴的
位置密切相关.解题时要注意解题格式，头脑
有两个相
有两个不等实 根 x1,x2(x1<x2)
等实根 x1=x2
ax2+bx的+c解>0集（a>0）﹛x|x<x1或x>x2﹜﹛x|x≠x1﹜
ax2+bx+c<0 (a>0) 的解集
﹛x|x1<x<x2﹜
Φ
无实根 R Φ
∆＝b2-4ac ∆>0
y
y∆=0 y ∆<0
二次函数 y=ax2+bx+c
以上四个不等式中我们规定了 a 0
如果题目中给出的不等式中二次项系 数小于0，哪怎么办呢？ 对了，我们只要在不等式两边同乘-1， 然后把不等式的方向改变一下，就可 化为以上四种形式中的一种。
三、例题讲解
例1 解不等式2x2－3x－2>0 o －1/2 ●
●
2
x
解： 因为∆>0， 方程2x2－3x－2＝0 的解是
中要想象图像或划出草图.
（2）对于a<0的一元二次不等式可转化为
a>0的情形求解.
（3）一元二次不等式的解法是今后学习其他
不等式的基础，要求大家熟练掌握解法，准
确运算结果.
利用一元二次函数图象解一 元二次不等式
一元二次不等式的代数解法
8、解不等式组： 求一个不等式组的解集叫做解不等式组。
例1、解不等式：
x x 2 0
2
解： 将不等式左边因式分解
:
x x 2 0
2
(x+1)(x-2) >0 x 1 0 x 2 0 或
x x
1 x 1 2 或 x 2
x 1 0 x 2 0
一、有关定义：
1、一元二次不等式：
只含一个未知数，且未知数的最高次数为 2次的不等式，称为一元二次不等式。 2 ax bx c ＞0（a≠0） 标准形式： 注：其中的“＞”也可以换成“＜”或“≥”、 “≤”。 2、不等式的解： 使一个不等式成立的未知数x所取的每一个 值叫做这个不等式的一个解。 3、不等式的解集： 一个不等式的所有解组成的集合叫做这个 不等式的解集。 4、解不等式： 求一个不等式的解集叫做解不等式。
四、解不等式组。 五、写出原不等式的解集：两个不等 式组的解集的并集。
例2、解不等式： x2+x-6 ＜0
解： x2+x-6 ＜0 (x+3)(x-2)＜0
x 3 0 x 2 0 或
x 3 0 x 2 0
x 3 或 x 2
x 3 x 2
-3<x<2
x >2 或 x< -1
因此，不等式
x2 x 2 0
的解集是 :
{x|x>2}∪{x|x<-1} 即(2, ∞） ∪ （- ∞， 1)。
用因式分解法解一元二次不等式的 基本步骤：
一、移项：使不等式右边为零。 二、分解因式：将不等式左侧分解为一 次因式乘积的形式。
高考数学十年真题专题汇总—集合概念与运算
高考数学十年真题专题汇总—集合概念与运算年份题号考点考查内容2011文1集合运算两个离散集合的交集运算，集合的子集的个数2012理1与集合有关的新概念问题由新概念确定集合的个数文1集合间关系一元二次不等式解法，集合间关系的判断2013卷1理1集合间关系一元二次不等式的解法，集合间关系的判断文1集合运算集合概念，两个离散集合的交集运算卷2理1集合运算一元二次不等式解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算文1集合运算个连续集合与一个离散集合的交集运算2014卷1理1集合运算一元二次不等式解法，两个连续集合的交集运算文1集合运算两个连续集合的交集运算卷2理2集合元素一元二次不等式解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算文1集合元素一元二次方程解法，两个离散集合的交集运算2015卷1文1集合运算集合概念，两个离散集合的交集运算卷2理1集合运算一元二次不等式解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算文1集合运算两个连续集合的并集2016卷1理1集合运算一元二次不等式解法，一元一次不等式解法，两个连续集合交集运算文1集合运算一个连续集合与一个离散集合的交集运算卷2理1集合运算一元二次不等式解法，两个离散集合并集运算文1集合运算一元二次不等式解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算卷3理1集合运算一元二次不等式解法，两个连续集合的交集运算文1集合运算两个离散集合的补集运算2017卷1理1集合运算指数不等式解法，两个连续集合的并集、交集运算文1集合运算一元一次不等式解法，两个连续集合的并集、交集运算卷2理2集合运算一元二次方程解法，两个离散集合交集运算文1集合运算两个离散集合的并集运算卷3理1集合概念与表示直线与圆的位置关系，交集的概念．文1集合运算两个离散集合的交集运算2018卷1理1集合运算一元二次不等式解法，补集运算文1集合运算两个离散集合的交集运算卷2理2集合概念与表示点与圆的位置关系，集合概念文1集合运算两个离散集合的交集运算卷3文理1集合运算一元一次不等式解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算2019卷1理1集合运算一元二次不等式解法，两个连续集合的交集运算文2集合运算三个离散集合的补集、交集运算卷2理1集合运算一元二次不等式解法，一元一次不等式解法，两个连续集合的交集运算文1集合运算两个连续集合的交集运算卷3文理1集合运算一元二次不等式解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算2020卷1理2集合运算一元二次不等式的解法，含参数的一元一次不等式的解法，利用集合的交集运算求参数的值文1集合运算一元二次不等式解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算卷2理1集合运算两个离散集合的并集、补集运算文1集合运算绝对值不等式的解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算卷3理1集合运算二元一次方程及二元一次不等式混合组的整数解的解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算文1集合运算一个连续集合与一个离散集合的交集运算考点出现频率2021年预测集合的含义与表示37次考2次在理科卷中可能考查本考点集合间关系37次考2次可能在试卷中考查两个几何关系的判定或子集的个数问题集合间运算37次考32次常与一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、指数、对数不等式解法结合重点考查集合的交集运算，也可能考查集合的并集、补集运算与集合有关的创新问题37次考1次考查与集合有关的创新问题可能性不大考点1集合的含义与表示1．【2020年高考全国Ⅲ卷文数1】已知集合{}1,2,3,5,7,11A =，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为()A ．2B ．3C ．4D ．52．【2020年高考全国Ⅲ卷理数1】已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为()A ．2B ．3C ．4D ．63．【2017新课标3，理1】已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．04．【2018新课标2，理1】已知集合 = ，2+ 2≤3， ∈ ， ∈ ，则 中元素的个数为()A ．9B ．8C ．5D ．45．【2013山东，理1】已知集合A ={0，1，2}，则集合B ={}|,x y x A y A -∈∈中元素的个数是A ．1B ．3C ．5D ．96．【2013江西，理1】若集合{}2|10A x R ax ax =∈++=中只有一个元素，则a =A ．4B ．2C ．0D ．0或47．【2012江西，理1】若集合{1,1}A =-，{0,2}B =，则集合{|,,}z z x y x A y B =+∈∈中的元素的个数为()A ．5B ．4C ．3D ．28．【2011广东，理1】已知集合A ={(,)|,x y x y 为实数，且221}x y +=，B ={(,)|,x y x y 为实数，且1}x y +=，则A ⋂B 的元素个数为A ．4B ．3C ．2D ．19．【2011福建，理1】i 是虚数单位，若集合S ={－1，0，1}，则A ．i ∈SB ．2i ∈SC ．3i ∈SD ．2i∈S 10．【2012天津，文9】集合{}R 25A x x =∈-≤中的最小整数为_______．考点2集合间关系1．【2012新课标，文1】已知集合2{|20}A x x x =--<，{|11}B x x =-<<，则A ．A BÜB ．B AÜC ．A B=D ．A B =∅2．【2012新课标卷1，理1】已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则()A 、A∩B=∅B 、A ∪B=RC 、B ⊆AD 、A ⊆B3．【2015重庆，理1】已知集合{}1,2,3A =，{}2,3B =，则A ．A ＝BB ．A B =∅∩C ．A BÜD ．B AÜ4．【2012福建，理1】已知集合{1,2,3,4}M =，{2,2}N =-，下列结论成立的是()A ．N M⊆B ．M N M= C ．M N N= D ．{2}M N = 5．【2011浙江，理1】若{|1},{|1}P x x Q x x =<=>-，则()A ．P Q⊆B ．Q P⊆C ．R C P Q⊆D ．R Q C P⊆6．【2011北京，理1】已知集合P =2{|1}x x ≤，{}M a =．若P M P = ，则a 的取值范围是A ．(-∞，-1]B ．[1，+∞)C ．[-1，1]D ．(-∞，-1] [1，+∞)7．【2013新课标1，理1】已知集合A ={x |x 2－2x ＞0}，B ={x |－5＜x ＜5＝，则()A ．A ∩B =∅B ．A ∪B =RC ．B ⊆AD ．A ⊆B8．【2012大纲，文1】已知集合A ={x ︱x 是平行四边形}，B ={x ︱x 是矩形}，C ={x ︱x 是正方形}，D ={x ︱x 是菱形}，则A ．A ⊆BB ．C ⊆BC ．D ⊆C D ．A ⊆D9．【2012年湖北，文1】已知集合2{|320,}A x x x x =-+=∈R ，{|05,}B x x x =<<∈N ，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4考点3集合间的基本运算1．【2011课标，文1】已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M ∩N ，则P 的子集共有(A)2个(B)4个(C)6个(D)8个2．【2013新课标2，理1】已知集合M={x ∈R|2(1)4x -<}，N={-1，0，1，2，3}，则M ∩N=A ．{0，1，2}B ．{-1，0，1，2}C ．{-1，0，2，3}D ．{0，1，2，3}3．【2013新课标2，文1】已知集合M=｛x|-3<x<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M ∩N=()(A)｛-2，-1，0，1｝(B)｛-3，-2，-1，0｝(C){-2，-1，0}(D){-3，-2，-1}4．【2013新课标I ，文1】已知集合A=｛1，2，3，4｝，2{|,}B x x n n A ==∈，则A∩B=()(A)｛1，4｝(B)｛2，3｝(C){9，16}(D)｛1，2}5．【2014新课标1，理1】已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2}，则A B ⋂=A ．[-2，-1]B ．[-1，2)C ．[-1，1]D ．[1，2)6．【2014新课标2，理1】设集合M=｛0，1，2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=()A ．｛1｝B ．｛2｝C ．｛0，1｝D ．｛1，2｝7．【2014新课标1，文1】已知集合M ={|13}x x -<<，N ={|21}x x -<<则M N = ()A.)1,2(-B ．)1,1(-C ．)3,1(D ．)3,2(-8．【2014新课标2，文1】设集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=，则A B = ()A.∅B ．{}2C ．{0}D ．{2}-9．【2015新课标2，理1】已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}(1)(20B x x x =-+<，则A B = ()A ．{}1,0A =-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,210．【2015新课标1，文1】已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为()(A)5(B)4(C)3(D)211．【2015新课标2，文1】已知集合{}|12A x x =-<<，{}|03B x x =<<，则A B = ()A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,312．【2016新课标1，理1】设集合}034|{2<+-=x x x A ，}032|{>-=x x B ，则B A ⋂=(A)3(3,2--(B)3(3,2-(C)3(1,2(D)3(,3)213．【2016新课标2，理2】已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B = ()(A){1}(B){12}，(C){0123}，，，(D){10123}-，，，，14．【2016新课标3，理1】设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=>，则T S ⋂=(A)[2，3](B)(-∞，2]U [3，+∞)(C)[3，+∞)(D)(0，2]U [3，+∞)15．【2016新课标2，文1】已知集合{123}A =，，，2{|9}B x x =<，则A B = ()(A){210123}--，，，，，(B){21012}--，，，，(C){123}，，(D){12}，16．【2016新课标1，文1】设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B = ()(A){1，3}(B){3，5}(C){5，7}(D){1，7}17．【2016新课标3，文1】设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ð=(A){48},(B){026}，,(C){02610}，，,(D){0246810}，，，，,18．【2017新课标1，理1】已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}A B x x => D ．A B =∅19．【2017新课标1，文1】已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则()A ．A B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．A B 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．A B=R20．【2017新课标2，理2】设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B = ，则B =()A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,521．【2017新课标2，文1】设集合{}{}123234A B ==，，， ，，， 则A B =()A ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，，22．【2017新课标3，文1】已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A ⋂B 中元素的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．423．【2018新课标1，理1】已知集合 = 2− −2>0，则∁ =A ． −1< <2B ． −1≤ ≤2C ． | <−1∪ | >2D ． | ≤−1∪ | ≥224．【2018新课标3，理1】已知集合 = | −1≥0， =0，1，2，则 ∩ =A ．0B ．1C ．1，2D ．0，1，225．【2018新课标1，文1】已知集合，，则()A ．B ．C ．D ．26．【2018新课标2，文1】已知集合，，则A ．B ．C ．D ．27．【2019新课标1，理1】已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=()A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<28．【2019新课标1，文2】已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B A =()A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,729．【2019新课标2，理1】设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={x |x -1<0}，则A ∩B =A ．(-∞，1)B ．(-2，1)C ．(-3，-1)D ．(3，+∞)30．【2019新课标2，文1】．已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B =A ．(–1，+∞)B ．(–∞，2)C ．(–1，2)D ．∅31．【2019新课标3，理1】已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B ⋂=()A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,232．【2019浙江，1】已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B ð=A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-33．【2019天津，理1】设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R ，则()A C B =A ．{}2B ．{}2,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,2,3,434．【2011辽宁，理1】已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若 N ð=M I ∅，则=N M A ．MB ．NC ．ID ．∅35．【2018天津，理1】设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()=R I A B ðA ．{01}x x <≤B ．{01}x x <<C ．{12}x x <≤D ．{02}x x <<36．【2017山东，理1】设函数24y x =-的定义域A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则A B = ()A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(2,1)-D ．[2,1)-37．【2017天津，理1】设集合{1,2,6}A =，{2,4}B =，{|15}C x x =∈-R ≤≤，则()A B C = A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{|15}x x ∈-R ≤≤38．【2017浙江，理1】已知集合{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，那么P Q =A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,2)39．【2016年山东，理1】设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B =A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(1,)-+∞D ．(0,)+∞40．【2016年天津，理1】已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B =A ．{1}B ．{4}C ．{1,3}D ．{1,4}41．【2015浙江，理1】已知集合2{20},{12}P x x x Q x x =-=<≥≤，则()R P Q =ðA ．[0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．[1,2]42．【2015四川，理1】设集合{|(1)(2)0}A=x x x +-<，集合{|13}B x x =<<，则A B = A ．{|13}x x -<<B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x <<43．【2015福建，理1】若集合{}234,,,A i i i i =(i 是虚数单位)，{}1,1B =-，则A B 等于()A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．∅44．【2015广东，理1】若集合()(){}410M x x x =++=，()(){}410N x x x =--=，则M N = A ．{}1,4B ．{}1,4--C ．{}0D ．∅45．【2015陕西，理1】设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞46．【2015天津，理1】已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B =，则集合U A B =ðA ．{}2,5B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,847．【2014山东，理1】设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A A ．[0，2]B ．(1，3)C ．[1，3)D ．(1，4)48．【2014浙江，理1】设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U A ．∅B ．}2{C ．}5{D ．}5,2{49．【2014辽宁，理1】已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C A B = A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x <<50．【2013山东，】已知集合B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集，且(){4}U A B = ð，{1,2}B =，则U A B =ðA ．{3}B ．{4}C ．{3，4}D ．∅51．【2013陕西，理1】设全集为R ，函数()f x =的定义域为M ，则C M R 为A ．[－1，1]B ．(－1，1)C ．,1][1,)(∞-⋃+∞-D ．,1)(1,)(∞-⋃+∞-52．【2013湖北，理1】已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|680B x x x =-+≤，则()R A C B =A ．{}|0x x ≤B ．{}|24x x ≤≤C ．{}|024x x x ≤<>或D ．{}|024x x x <≤≥或53．【2011江西，理1】若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===，则集合{5,6}等于A ．M N⋃B ．M N⋂C ．()()n n C M C N ⋃D ．()()n n C M C N ⋂54．【2011辽宁】已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若 N ð=M I ∅，则=N M A ．MB ．NC ．ID ．∅55．【2017江苏】已知集合{1,2}A =，2{,3B a a =+｝，若{1}A B = ，则实数a 的值为_．56．【2020年高考全国Ⅰ卷文数1】已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = ()A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}57．【2020年高考全国I 卷理数2】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =()A ．–4B ．–2C ．2D ．458．【2020年高考全国II 卷文数1】已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =()A ．∅B ．{–3，–2，2，3)C ．{–2，0，2}D ．{–2，2}59．【2020年高考全国II 卷理数1】已知集合{}{}{}2,1,0,1,2,3,1,0,1,1,2U A B =--=-=，则()U A B =ð()A ．{}2,3-B ．{}2,2,3-C ．{}2,1,0,3--D ．{}2,1,0,2,3--60．【2020年高考浙江卷1】已知集合P ={|14}x x <<，{|23}Q x x =<<则P Q =()A ．{|12}x x <≤B ．{|23}x x <<C ．{|23}x x <≤D ．{|14}x x <<61．【2020年高考北京卷1】已知集合{1,0,1,2},{03}A B x x =-=<<，则A B = A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．{1,1,2}-D ．{1,2}62．【2020年高考山东卷1】设集合{|13}A x x =≤≤，{|24}B x x =<<，则=A B A ．{|23}x x <≤B ．{|23}x x ≤≤C ．{|14}x x ≤<D ．{|14}x x <<63．【2020年高考天津卷1】设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B = ð()A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---64．【2020年高考上海卷1】已知集合{}{}1,2,4,2,4,5A B ==，则A B = ．65．【2020年高考江苏卷1】已知集合{}{}1,0,1,2,0,2,3A B =-=，则A B =．考点4与集合有关的创新问题1．(2012课标，理1)．已知集合A ={1，2，3，4，5}，B ={(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x y -∈A }，则B 中所含元素的个数为()A ．3B ．6C ．8D ．102．【2015湖北】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,B x y x y =≤≤,}x y ∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为()A ．77B ．49C ．45D ．303．【2013广东，理8】设整数4n ≥，集合{}1,2,3,,X n = ，令集合{(,,)|,,S x y z x y z X =∈，且三条件,,x y z y z x z x y <<<<<<恰有一个成立}，若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中，则下列选项正确的是A ．(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉，(),,x y w S∈D ．(),,y z w S ∉，(),,x y w S∉4．【2012福建，文12】在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n k +丨n ∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a b -∈[0]”．其中正确的结论个数是()A ．1B ．2C ．3D ．45．【2013浑南，文15】对于E ={12100,,,a a a }的子集X ={12,,,kii i a a a }，定义X 的“特征数列”为12100,,,x x x ，其中121k i i i x x x ==== ，其余项均为0，例如子集{23,a a }的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0(1)子集{135,,a a a }的“特征数列”的前三项和等于；(2)若E 的子集P 的“特征数列”12100,,,p p p 满足11p =，11i i p p ++=，1≤i ≤99；E 的子集Q 的“特征数列”12100,,,q q q 满足11q =，121j j j q q q ++++=，1≤j ≤98，则P∩Q 的元素个数为_________．7．【2018北京，理20】设n 为正整数，集合12={|(,,,),{0,1},1,2,,}n k A t t t t k n αα=∈= ．对于集合A中的任意元素12(,,,)n x x x α= 和12(,,,)n y y y β= ，记(,)M αβ=111122221[(||)(||)(||)]2n n n n x y x y x y x y x y x y +--++--+++-- ．(1)当3n =时，若(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值；(2)当4n =时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，(,)M αβ是奇数；当,αβ不同时，(,)M αβ是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；(3)给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，(,)0M αβ=．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．。
一元二次不等式及其解法
2021年新高考数学总复习第七章《不等式》一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a{x|x∈R} ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1< x<x2} ∅∅概念方法微思考1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？提示ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围．2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件是什么？提示显然a≠0.ax2＋bx＋c>0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ<0；ax2＋bx＋c<0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ<0.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )(5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ )题组二 教材改编2．已知集合A ＝{x |x 2－x －6>0}，则∁R A 等于( )A ．{x |－2<x <3}B ．{x |－2≤x ≤3}C ．{x |x <－2}∪{x |x >3}D ．{x |x ≤－2}∪{x |x ≥3}答案 B解析 ∵x 2－x －6>0，∴(x ＋2)(x －3)>0，∴x >3或x <－2，即A ＝{x |x >3或x <－2}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－2≤x ≤3}．故选B.3． y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞ 解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73， ∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞. 题组三 易错自纠4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)答案 (－4，1)。
一元二次不等式解法及集合运算练习题
必修5《一元二次不等式及其解法》演习卷 【1 】常识点：1.一元二次不等式：只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式．2.二次函数的图象.一元二次方程的根.一元二次不等式的解集间的关系：判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++ ()0a >的图象一元二次方程20ax bx c ++=()0a >的根有两个相异实数根1,22b x a -±∆=()12x x <有两个相等实数根122b x x a ==-没有实数根一元二次不等式的解集20ax bx c ++> ()0a >{}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭ R 20ax bx c ++<()0a >{}12x xx x <<∅∅同步演习：1.不等式2654x x +<的解集为（ ）A ．41,,32⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．41,32⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．14,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．14,23⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2.设聚集{}12x x A =≤≤,{}0x x a B =-<,若A B ≠∅,那么实数a 的取值规模是（ ）A ．()1,+∞ B ．[)2,+∞ C ．(],2-∞ D ．[)1,+∞3.若不等式210x mx ++>的解集为R ,则m 的取值规模是（ ） A ．RB ．()2,2- C ．()(),22,-∞-+∞D ．[]2,2-4.设一元二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,则ab 的值是（ ）A ．6-B ．5-C ．6D ．55.不等式()221200x ax a a --<<的解集是（ ）A ．()3,4a a - B ．()4,3a a - C ．()3,4- D ．()2,6a a6.不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,则a b -=（ ） A ．14-B ．14C ．10-D ．107.不等式222693191122x x x x -+++⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的解集是（ ）A ．[]1,10-B ．()[),110,-∞-+∞C ．RD ．(][),110,-∞-+∞8.不等式()()120x x --≥的解集是（ ）A ．{}12x x ≤≤ B ．{}12x x x ≥≤或C ．{}12x x <<D ．{}12x x x ><或9.不等式()20ax bx c a ++<≠的解集为∅,那么（ ）A ．0a <,0∆>B ．0a <,0∆≤C ．0a >,0∆≤D ．0a >,0∆≥ 10.设()21f x x bx =++,且()()13f f -=,则()0f x >的解集是（ ）A ．()(),13,-∞-+∞ B ．R C ．{}1x x ≠ D ．{}1x x =11.若01a <<,则不等式()10a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解是（ ）A ．1a x a <<B ．1x a a <<C ．x a <或1x a >D ．1x a <或x a >12.不等式()130x x ->的解集是（ ）A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．()1,00,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．10,3⎛⎫⎪⎝⎭13.二次函数()2y ax bx c x R =++∈的部分对应值如下表：x 3- 2- 1- 0 1 2 3 4 y60 4- 6- 6- 4- 0 6则不等式20ax bx c ++>的解集是____________________________． 14.若0a b >>,则()()0a bx ax b --≤的解集是_____________________________．15.不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x <<,则不等式20ax bx c -+>的解集是________________________．16.不等式2230x x -->的解集是___________________________． 17.不等式2560x x -++≥的解集是______________________________．18.()21680k x x --+<的解集是425x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或,则k =_________． 19.已知不等式20x px q ++<的解集是{}32x x -<<,则p q +=________． 20.不等式30x x +≥的解集为____________________． 21.求下列不等式的解集：⑴()()410x x +--<; ⑵232x x -+>; ⑶24410x x -+>． 22.已知不等式220ax bx ++>的解集为1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,求a .b 的值．23.已知聚集{}290x x A =-≤,{}2430x x x B =-+>,求AB ,A B ．聚集的运算一、常识点：1．交集：由所有属于聚集A 属于聚集B 的元素所构成的聚集,叫做A 与B 的交集.即：=B A .2．并集：由所有属于聚集A 属于聚集B 的元素所构成的聚集,叫做A 与B 的并集.即：=B A .3．性质：=A A ,=φ A ,=B A ;=A A ,=φ A ,=B A ;A （A C U ）=,A （A C U ）=;（AC U ） （BC U ）=,（AC U ） （BC U ）=.4．全集：假如聚集S 含有我们所要研讨的各个聚集的,这个聚集就可以看作一个全集,全集通经常应用U 暗示.5．补集：设S 是一个聚集,A 是S 的子集,由S 中所有A 元素构成的聚集,叫做S 中子集A 的补集.即：=A C S .6．Card （A ∪B ）=. 二、例题讲授：例1.已知全集U ＝R ,A ＝｛x ｜｜x －1｜≥1｝．B ＝｛x ｜23--x x ≥0｝,求：(1)A ∩B ; (2)(UA )∩(UB )．例2.已知聚集M ＝{y |y ＝x 2＋1,x ∈R },N ＝{y |y ＝x ＋1,x ∈R },则M ∩N 等于( ) A ．(0,1),(1,2) B ．{(0,1),(1,2)} C ．{y |y ＝1或y ＝2} D ．．{y |y ≥1} 例 3.已知聚集 A.B 是全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}的子集,A ∩B ＝{2},（UA ）∩（UB ）＝{1,9},（UA ）∩B ＝{4,6,8},求A,B ．例4．已知聚集}02|{2≤-+=x x x A ,B={x|2<x+1≤4},设聚集}0|{2>++=c bx x x C ,且知足φ=⋂⋃C B A )(,R C B A =⋃⋃)(,则b_________,c_________.演习：已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0},B＝{x|x2－5x＋8＝2},C＝{x|x2＋2x－8＝0},（1）若A∩B＝A∪B,求a的值;（2）若∅A∩B,A∩C＝∅,求a的值．例5．已知A＝｛x｜｜x－1｜＜b,b＞0},B＝｛x｜｜x－3｜＞4｝,且A∩B＝∅,求b的取值规模．演习：已知聚集A＝｛x｜x2－x－2≤0｝,B＝｛x｜a＜x＜a＋3｝且知足A∩B＝∅,则实数a的取值规模是_______．例6．已知聚集A＝{x|－2≤x＜－1或x＞1},B＝{x|x2＋ax＋b≤0},且A∩B＝{x|1＜x≤3},A∪B＝{x|x≥－2},试求a,b的值．例7．已知聚集A＝{x|x2－5x＋6＜0},B＝{x|x2－4ax＋3a2＜0}且A⊆B,求实数a的取值规模．本题考核含参数的一元二次不等式的解法,聚集的交.并运算及分类评论辩论的才能．思虑题：已知聚集2{|54A x x x=-+≤0},2{|22B x x ax a=-++≤0},且B A⊆,求实数a的取值规模.专项练习一.选择题1．已知全集U＝{a,b,c,d,e,f,g,h},A＝{c,d,e},B＝{a,c,f},那么聚集{b,g,h}等于（）A．A∪B B．A∩B C．（U A）∪（U B）D．（U A）∩（U B）2．已知聚集P={a,b,c,d,e},聚集Q P,且)(QPa⋂∈,)(QPb⋂∉,则知足上述前提的聚集Q的个数为（）A.7B.8C.15D.243．已知聚集M有3个真子集,聚集N有7个真子集,那么M∪N的元素个数为（）A.有5个元素B.至多有5个元素C.至少有5个元素D.元素个数不克不及肯定4．聚集A={（x,y）|y=a|x|},B={（x,y）|y=x+a},C=A∩B,且聚集C为单元素聚集,则实数a的取值规模为（）A .|a|≤1 B.|a|>1 C.a>1 D.a>0或a<0 5．聚集M={（x,y ）|x>0,y>0},N={（x,y ）|x+y>0,xy>0},则 （ ） A .M=NNC. MN D. φ=⋂N M6．设全集I={1,2,3,4,5},}2,1{=⋂B C A I ,则聚集B A C I ⋂的个数为 （ ） A.3 B.4 C.7 D .8 7．设U ＝{1,2,3,4,5},若A ∩B ＝{2},（UA ）∩B ＝{4},（UA ）∩（UB ）＝{1,5},则下列结论准确的是 （ ）A ．3∉A 且3∉BB ．3∉A 且3∈BC ．3∉B 且3∈AD ．3∈A 且3∈B8．已知聚集M ＝{（x,y ）|x ＋y ＝3},N ＝{（x,y ）|x －y ＝5},那么聚集M ∩N 为（ ） A ．x ＝4,y ＝－1B ．（4,－1） C ．{4,－1}D ．{（4,－1）}9．设聚集A ＝{x|－1<x ≤3},B ＝{y|y ⊆A},则A.B 之间的关系为 （ ） A ．B ∈A B ．A ⊆B C ．A ∈B D ．B ⊆A10．已知聚集A ＝{x|x 2－5x ＋6<0},B ＝{x|x<2a},若A B,则实数a 的规模为 （ ）A ．［6,＋∞)B ．（6,＋∞）C ．（－∞,－1）D ．（－1,＋∞）11．已知聚集A ＝{－1,1},B ＝{x|mx ＝1},且A ∪B ＝A,则m 的值为 （ ） A ．1B ．－1C ．1或－1D ．1或－1或012．若聚集P ＝{x|3<x ≤22},非空聚集Q ＝{x|2a ＋1≤x<3a －5},则能使Q ⊆（P ∩Q ）成立的所有实数a 的取值规模为 （ ）A ．（1,9）B ．［1,9］C ．（6,9）D ．［6,9) 三、填空题：13．高一某班有学生45人,个中介入数学比赛的有32人,介入物理比赛的有28人,别的有5人两项比赛均不介入,则该班既介入数学比赛又介入物理比赛的有__________人．14．已知A ＝｛x |x 2－2x －8＜0｝,B ＝｛x |x －a ＜0｝,A ∩B ＝φ．则a 的规模是________ 15．设T ＝{（x,y ）|ax ＋y －3＝0},S ＝{（x,y ）|x －y －b ＝0},若S ∩T ＝{（2,1）},则a ＝_______,b ＝_______．16．已知A ＝{x|x 2＋（p ＋2）x ＋1＝0},B ＝{x|x>0},若A ∩B ＝∅,则实数p 的取值规模为__________． 四、解答题：17．已知全集U ＝{x|－4≤x ≤4,x ∈Z },A ＝{－1,a 2＋1,a 2－3},B ＝{a －3,a －1,a ＋1},且A ∩B ＝{－2},求U （A ∪B ）．18．已知U ＝{x|x 2－3x ＋2≥0},A ＝{x||x －2|＞1},B ＝{x|21--x x ≥0},求A ∩B,A ∪B,（UA ）∪B,A∩（UB ）．19．设{}2|120A x x x =--=,{}2|20B x x ax b =-+=,B ≠∅,且A B A =∪求a,b 的值.20．已知聚集A ＝{x|－x 2＋3x ＋10≥0},B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1},若B ⊆A,求实数m 的取值规模．21*．聚集A={（x,y ）22=+-+y mx x },聚集B={（x,y ）1=+-y x ,且02≤≤x },又A φ≠⋂B ,求实数m 的取值规模．。
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第1课 一元二次不等式的解法、集合及运算一、一元二次不等式的解法1. 基本形式：①20(0)ax bx c a ++>> 或 20(0)ax bx c a ++≥> ②20(0)ax bx c a ++<> 或 20(0)ax bx c a ++≤> 2．当不等式可十字相乘时：设12x x <，则12()()0x x x x --≥的解集为12[,]x x ，12()()0x x x x --≤的解集为12(,][,)x x -∞+∞ 120x x x x -≥-的解集为12(,](,)x x -∞+∞，120x x x x -≤-的解集为12[,)x x ． 【例1】解下列不等式：①2820x x -+< ②22530x x +-≥ ③2619x x -<解：①原不等式可化为2280x x -->，∴(2)(4)0x x +->，∴4x >或2x <- ∴原不等式的解集为(,2)(4,)-∞-+∞（或写成原不等式的解集为{}42x x x ><-或） ②原不等式可化为23520x x --≤，∴(31)(2)0x x +-≤，∴123x -≤≤， ∴原不等式的解集为1[,2]3-．（或写成原不等式的解集为123x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭） ③原不等式可化为29610x x -+>，∴2(31)0x ->，∴x R ∈，且13x ≠， ∴原不等式的解集为13x x R x ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭,且．【变式】①21240x x --≥②22320x x +-<③2414x x ->④201x x -≤+ 解：①原不等式可化为24120x x +-≤，∴(6)(2)0x x +-≤，∴62x -≤≤ ∴原不等式的解集为[6,2]-（或写成原不等式的解集为{}62x x -≤≤）②原不等式可化为22320x x -->，∴(21)(2)0x x +->，∴2x >或12x <-， ∴原不等式的解集为1(,)(2,)2-∞-+∞．（或原不等式的解集为{|2x x >或1}2x <-） ③原不等式可化为24410x x -+<，∴2(21)0x -<，∴无实数解，∴原不等式的解集为Φ．④12x -<≤，解集为[1,2)-3．当不等式不可十字相乘时，可用求根公式求出20(0)ax bx c a ++=> 的两个根：1x =2b a --，2x =2b a-+，其中12x x <则①20(0)ax bx c a ++>>的解集为12(,)(,)x x -∞+∞，②20(0)ax bx c a ++<>的解集为12(,)x x 【例2】解下列不等式： 2220x x -++<原不等式可化为2220x x -->， ∵120∆=>，方程2220x x --=的两根是1211x x =={11x x x <->或．练习：解下列不等式：210x x --<解：∵214(1)50∆=-⨯-=>，方程210x x --=的两根是12x x ==∴原不等式的解集为x ⎧⎪<⎨⎪⎪⎩⎭二、集合的概念及运算 1．集合的含义与表示①集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．②集合中元素与集合的关系： 属于 与不属于，分别用符号∈与∉表示 ③常用数集的表示④集合的表示法：列举法、 描述法． 2．集合间的基本关系 ①集合相等： A B =②子集：A B ⊆，真子集：若A B ⊆ 且A B ≠ ，则A 叫B 的真子集，记作：AB③空集：不含任何元素的集合，记作Φ，规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集④若集合A 有n 个元素，则A 有 2n 个子集，有21n - 个真子集，有22n -非空真子集 【例3】（1）设集合{|21,}A x x k k Z ==-∈，若11x =，则下列关系正确的是（ ）A ．x AB ．A x ∈C ．A x ∈}{D ．{}x A ⊇ 【答案】B（2）满足00{}{}123A⊆，，，的集合A 的个数是（ ）A ．7B ．8C ．6D ．3【解析】集合A 的个数就是{123}，，的真子集的个数3217-=个，选A 3.集合的运算①交集的定义：}|{B x A x x B A ∈∈=，且 ． 并集的定义：A ∪B ={x |x ∈A ，或x ∈B }． 补集: },|{A x S x x A C S ∉∈=且②性质：⇔=A B A A B ⊆；⇔=A B A B A ⊆； 【例4】（1）全集2U {|90}x Z x =∈-≥，集合{|0}3xA x N x =∈≤- ，{|03}B x N x *=∈≤≤，则A B = ，A B = ，UB =【解析】U {0,1,2,3}=±±±，{0,1,2}A =，{1,2,3}B = 所以{12}AB =，，{012,3}A B =，，，U{0,1,2,3}B =---（2）已知全集U R =，集合{|A x y ==，集合{|B y y ==，则A B = ，A B = ，UB =【解析】∵{|1}(1,)A x x =>=+∞，{|02}[0,2]B y y =≤≤=，∴(1,2]A B =．[0,)A B =+∞，U(,0)(2,)B =-∞+∞（3）设{}{}(,)46,(,)38A x y y x B x y y x ==-+==-，则A B =( ){}{}{}{}.2,2.(2,2).(2,2).(4,2).A B C D ----【解析】由4638y x y x =-+⎧⎨=-⎩ 得22x y =⎧⎨=-⎩ ，所以{}(2,2)A B =-，选B第1课 一元二次不等式的解法、集合及运算的课后作业1．【2014·广东卷】已知集合M ＝{2，3，4}，N ＝{0，2，3，5}，则M ∩N ＝( ) A ．{0，2} B ．{2，3} C ．{3，4} D ．{3，5} 【答案】B2．【2014·湖北卷】已知全集1234567U {}=，，，，，， ，集合1356{}A =，，， ，则UA =A ．{1，3，5，6}B ．{2，3，7}C ．{2，4，7}D ．{2，5，7} 【答案】C3．【2014·辽宁卷】已知全集U=R ，{|0}A x x =≤，{|1}B x x =≥，则集合U()A B =A ．{|}0x x ≥B ．{|}1x x ≤C ．1|}0{x x ≤≤D ．1|}0{x x << 【答案】D4．【2014·江西卷】设全集为R ，集合29{|}0A x x -=<，15{|}B x x =<≤-，则()()A B =RA ．(－3，0)B ．(－3，－1)C ．(－3，－1]D ．(－3，3) 【答案】C5．【2014·全国卷】设集合12{}468M =，，，，，1235{67}N =，，，，，，则M N 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．5D ．7 【答案】B6．【2014·新课标全国卷Ⅱ】已知集合02{}2A =-，，，20{|}2B x x x -=-=，则()A B = A ．ΦB ．{2}C ．{0}D ．{－2} 【答案】B7. 【2014·全国卷】不等式组(2)0||1x x x +>⎧⎨<⎩的解集为( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－1＜x ＜0}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |x ＞1}【答案】C8.【2013·福建卷卷卷】若集合}4,3,1{},3,2,1{==B A ,则B A 的子集个数为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．16【答案】C9．【2009·广东卷】已知全集U=R ，则正确表示集合M=｛—1，0，1｝和2{10}N x x =-=关系的韦恩（Venn ）图是（ ）【解析】由N= { x|x 2{10}{1,0}N x x =-==-得N M ,选B. 【答案】B10．【2011·广东卷】已知集合(){,|A x y x y =、为实数，且}221x y +=，(){,|B x y x y=、为实数，且}1x y +=，则A B 的元素个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】∵⎩⎨⎧=+=+1122y x y x ，∴⎩⎨⎧==01y x ，或⎩⎨⎧==10y x ．【答案】C11．【2014·福建卷】已知集合012{}{}a b c =，，，，，且下列三个关系：①2a ≠ ；②2b =；③0c ≠有且只有一个正确，则10010a b c ++等于________． 【答案】20112.【2013·重庆卷卷】关于x 的不等式22280x ax a --<(0a >)的解集为12(,)x x ,且2115x x -=,求实数a 的值【答案】52解：22280x ax a --<，(4)(2)0x a x a ∴-+<，0420a a a >∴>->24a x a ∴-<<，x 的不等式22280x ax a --<(0a >)的解集为12(,)x x12x a ∴=-，24x a =，2115x x -=，615a ∴=，52a ∴=13. 已知函数())12f x x π=-，x ∈R ．（1）求()3f π的值； （2） 若3cos 5θ=，(0,)2πθ∈，求()6f πθ-． 【解析】（1）()2)2133124f ππππ=-==；（2） ∵3cos 5θ=，(0,)2πθ∈，∴4sin 5θ=， ()2)6612f πππθθ-=--2)cos sin 4πθθθ=-=+347555=+=．(选用)13.【2012·江苏】已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，求实数c 的值 【答案】9。
【解析】由值域为[0)+∞，，当2=0x ax b ++时有240a b =-=，即24a b =， ∴2222()42a a f x x ax b x ax x ⎛⎫=++=++=+ ⎪⎝⎭。
∴2()2a f x x c ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭解得2a c x c -+<22a a c x c -<。