2016河南数学中考22题的争议
2016河南中考数学22题及解答
22．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．填空：当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为a+b（用含a，b的式子表示）（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b，故答案为：CB的延长线上，a+b；（2）①CD=BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB，∴CD=BE；②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值，由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD+BC=AB+BC=4；（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN=PA=2，BN=AM，∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），∴OA=2，OB=5，∴AB=3，∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值=AB+AN，∵AN=AP=2，∴最大值为2+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE=AE=，∴OE=BO﹣﹣3=2﹣，∴P（2﹣，）．。
2016年河南中考数学试题及答案-难点解析
2016年河南省普通高中招生考试试卷数 学注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。
一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内．1．31-的相反数是（ ） （A ）31- （B ）31（C ）3-（D ）32．某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095用科学记数法表示为（ ）（A ）7105.9-⨯（B ）8105.9-⨯（C ）71095.0-⨯（D ）51095-⨯3．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（ ）（A ） （B ）（C ）（D ）4．下列计算正确的是（ ） （A ）228=- （B ）()632=-（C ）22423a a a =- （D ）()523a a =-5．如图，过反比例函数)0(>=x xky 的图像上一点A 作AB ⊥x 轴 于点B ，连接AO ，若S △AOB =2，则k 的值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）56．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10. DE 垂直平分AC 交AB 于点E ，则DE 的长为（ ） （A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ）37．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） （A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）丁8．如图，已知菱形OABC 的顶点O （0,0），B （2,2），若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时， 菱形的对角线交点D 的坐标为（ ） （A ）（1，-1） （B ）（-1，-1） （C ）（2，0）（D ）（0，-2）二、填空题（每小题3分，共21分）9．计算：._________8)2(30=--10. 如图，在□ABCD 中，BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ， 若∠1=20°，则∠2的度数是_________.11.若关于x 的一元二次方程032=-+k x x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围__________________.12.在“阳光体育”活动期间，班主任将全班同学随机分成了4组进行活动，则该班小明和小亮被分在同一组的概率是_________.13.已知A （0,3），B （2,3）是抛物线c bx x y ++-=2上两点， 该抛物线的顶点坐标是_________.14.如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，以点A 为圆心， OA 的长为半径作⌒OC 交⌒AB 于点C. 若OA=2，则阴影 部分的面积为___________.15.如图，已知AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=3. 点E 为射线BC 上 一个动点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点B ′处， 过点B ′作AD 的垂线，分别交AD ，BC 于点M ，N. 当点B ′ 为线段MN 的三等分点时，BE 的长为__________________. 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （8分）先化简，再求值：121)1(222++-÷-+x x x x x x ，其中x 的值从不等式组⎩⎨⎧<-≤-4121x x 的整数解中选取。
2016年河南省中考数学试卷分析
2016年河南省中考数学试卷分析巩义市第二初级中学李荣有一、命题的指导思想：2016年中考数学试卷依照《新课程标准》为出题依据，坚持从学生实际出发，考查学生在义务教育阶段学习的基础知识、基本技能、基本数学思想与方法；考查学生的运算能力、思维能力、空间想象能力；考查学生用数学知识和思维方法分析解决生活问题的应用能力。
试卷全面落实《课程标准》所设立的课程目标，改善学生学习数学的方式，提高学习效率。
二、试卷的结构和特点：1.试卷的整体结构：全卷共有三种题型，23个题目，其中选择题8个，填空题7个，解答题8个，这与以往的中考试卷相同。
但今年的选择题和填空题相对去年较为简单，尤其是选择题，填空题虽然也出现了折叠和分类讨论题（15题），但难度有所降低。
题号分值分布如下：2016年中考数学试卷总体保持稳定，稳中有变、变中有新。
例如21题就给人耳目一新的感觉，虽然中学阶段不断渗透数形结合思想，但以这种大视角重分数出现还是第一次。
由于数形结合是一种重要的数学思想，对学生的思维训练有着重要的意义，从这个角度来讲试卷体现了义务教育课程改革的新理念。
另外试卷的22题和23题的第3问难度偏大，能够正确写出答案的的学生很少，从选拔的角度讲。
试卷需要有难度的试题，但难度过大就失去了选拔的意义。
2.试卷的具体特点：（1）注重基础，突出对基础知识、基础技能的考查，有较好的教学导向作用。
在命题方向上，中考试题没有太多的起伏,从内容和知识点上看，试题覆盖面广，涉及到初中六册教材的核心内容，比如填空题中考查科学计数法、勾股定理、实数的运算等，选择题中考查平行四边形、一元二次方程、概率等，计算题中考查圆的证明和计算、方程组、三角函数、化简求值等。
对这些知识点的考查，并不是对概念、性质的记忆上进行考查，而是对概念、性质的理解与运用上进行考查。
始终体现了“基础知识、基本技能”的基础要求，有利于引导学生摆脱题海，落实“减负”要求，试题设计循序渐进，坡度缓，有层次，有节奏，难易适中。
关于河南中考数学22题的解题心得
关于河南中考数学22题的解题心得：纵观近几年的22题发现解题的基本思路是和我们平时学习的过程一样，即发现问题，探究问题，应用解决问题。
一般这种类型题往往是有一般到特殊的数学思想，那么这类题目如何处理呢?首先要把问题弄清楚，已知是什么，结论是什么，其次，在应用该结论解决问题时，一定要把已知搞清楚，看是否符合已知条件，如果不符合已知条件，那么还要添加辅助线，使其符合已知条件，才能直接应用结论解决问题，例题22.（10分）（1）问题如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC=a,AB=b 。
填空：当点A 位于 时线段AC 的长取得最大值，且最大值为（用含a ，b 的式子表示）分析：∵a+b ＞AC ∴只有AC=a+b 时，AC 才最大。
∴A 位于CB 的延长线上，且最大值是a+b（2）应用点A 为线段B 除外一动点，且BC=3,AB=1.如图2所示，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE ，连接CD,BE.①请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由②直接写出线段BE 长的最大值.（1)这一问较简单，这很明显是连体图形问题，只需证明两个三角形全等即可， (2)求BE 的最大值就是求CD 的最大值，这样就符合了问题中的条件， CD=DB+BC=3+1=4（3）拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（5，0），点P 为线段AB 外一动点，且PA=2，PM=PB ，∠BPM=900.请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标。
分析：欲求AM 的最大值，结合已知条件，就应该考虑A 、B 、P 三点，可以把△MPA 绕点P 旋转，使PM 与PB 重合即可在求点P 的坐标时，关键要理解题目中的“此时”两个字的含义，此时也就是图2CD 图1bA B CAM 取得最大值时，即点N 在BA 的延长线上时，△APN 是等腰直角△解：（1）CB 的延长线上，a+b ；………………………………………2分（2）①DC=BE,理由如下∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形，∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=600,∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB, ……………5分∴△CAD ≌△EAB （SAS ）,∴DC=BE ………………………………6分②BE 长的最大值是4. …………………………………………………8分（3）AM 的最大值为3+，点P 的坐标为（）……10分【提示】如图3，构造△BNP ≌△MAP,则NB=AM,由（1）知，当点N 在BA 的延长线上时，NB 有最大值（如备用图）。
16年河南中招数学试题分析
2016年河南省中招数学试题解析中考数学命题研究组（一）试卷综述本试卷满分120分，考试时间100分钟，闭卷笔试形式.试卷题型结构仍是8+7+8的设计，8道选择题、7道填空题和8道解答题。
试题的难易度呈梯度上升，符合学生的思维特征，既面对全体，又兼顾了选拔区分功能，有利于教师教学和学生答题。
和往年试卷相比，核心命题点（题型）的考查在本试卷中都有体现，往年的高频点在2016试卷中也做了重点考查。
2016年考查学生对基础知识和基本技能的掌握程度，同时考查学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析能力、运算能力、建模思想、应用意识和创新意识。
难度适中，整体难度控制在0.7左右。
但是灵活性要求更高。
2016年中招紧扣考纲，体现新课标的理念，突出素质立意，能力立意，关注学生情感、态度、价值观的同时，注重考查学生基础知识、基本技能，同时加大解决实际问题能力的考查力度和对数学思想、方法和学生综合分析和解决问题能力的考察。
（二）、试题比例：1、从各能力层次上看，了解约占10%，理解约占20%，掌握约占60%，灵活运用约占10%，分值分别为：12分、24分、72分、12分，总体上易中难所占比例7：2：12、从各知识板块上看，数与代数约43%(50分以上)，几何与图形约占44%(50分以上)，统计与概率约占13%（15分右左），其中函数占30分以上，图形变化占20分以上。
3、从各学段上看，七年级知识约占15%，八年级约占25%，九年级占60%。
（三）中考数学试卷解析特点（1）命题基调：立足双基注重能力从命题趋势与内容来看，初一是基础、初二是关键、初三是冲刺。
通过今年的试题可以看出，对学生动手能力有更高的要求。
试卷中对函数、方程与不等式、图形的变换、概念与统计等主干知识进行了重点考查。
例如：几何方面，考查的题目有：3、5、6、8、10、14、15、18、19、22、23共计60分右左，重点突出了三角形、四边形、圆、图形的变换投影与视图知识的考查；例如：代数方面，考查的题目有：1、2、4、7、9、11、12、13、16、17、20、21共计60分右左，重点考查了数与式、方程与不等式、函数、统计与概率等。
2024年河南省中考真题数学试卷含答案解析
2024年河南省中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，数轴上点P表示的数是（）A．1-B．0C．1D．2【答案】A【分析】本题考查了数轴，掌握数轴的定义是解题的关键．根据数轴的定义和特点可知，点P表示的数为1-，从而求解．【详解】解：根据题意可知点P表示的数为1-，故选：A．2．据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元，数据“5784亿”用科学记数法表示为（）A．8⨯D．12⨯0.5784105.78410⨯C．11⨯B．105784105.784103．如图，乙地在甲地的北偏东50︒方向上，则∠1的度数为（）A ．60︒B ．50︒C ．40︒D ．30︒【答案】B 【分析】本题主要考查了方向角，平行线的性质，利用平行线的性质直接可得答案．【详解】解：如图，由题意得，50BAC ∠=︒，AB CD ∥，∴150BAC ∠=∠=︒，故选：B ．4．信阳毛尖是中国十大名茶之一．如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】本题主要考查简单几何体的三视图，根据主视图的定义求解即可． 从正面看，在后面的部分会被遮挡，看见的为矩形，注意有两条侧棱出现在正面．【详解】解：主视图从前往后看（即从正面看）时，能看得见的棱，则主视图中对应为实线，且图形为矩形，左右两边各有一个小矩形；故选A ．5．下列不等式中，与1x ->组成的不等式组无解的是（ ）A ．2x >B ．0x <C ．<2x -D ．3x >-【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．根据此原则对选项一一进行判断即可．【详解】根据题意1x ->，可得1x <-，A 、此不等式组无解，符合题意；B 、此不等式组解集为1x <-，不符合题意；C 、此不等式组解集为<2x -，不符合题意；D 、此不等式组解集为31x -<<-，不符合题意；故选：A6．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为OC 的中点，EF AB ∥交BC 于点F ．若4AB =，则EF 的长为（ ）A ．12B ．1C ．43D ．2故选：B ．7．计算3···a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 个的结果是（ ）A ．5a B ．6a C ．3a a +D ．3aa 【答案】D 【分析】本题考查的是乘方的含义，幂的乘方运算的含义，先计算括号内的运算，再利用幂的乘方运算法则可得答案．【详解】解：()()333···a a a a a a a a == 个，故选D8．豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ）A ．19B ．16C ．15D ．13【答案】D【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数．根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可．【详解】解：把3张卡片分别记为A 、B 、C ，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种，9．如图，O 是边长为ABC 的外接圆，点D 是 BC的中点，连接BD ，CD ．以点D 为圆心，BD 的长为半径在O 内画弧，则阴影部分的面积为（ ）A ．8π3B ．4πC ．16π3D ．16π∵O 是边长为43∴43B C =，A ∠=∴120BDC ∠=︒，∵点D 是 BC的中点，10．把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I 与使用电器的总功率P 的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q 与I 的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）A ．当440W P =时，2A I =B ．Q 随I 的增大而增大C ．I 每增加1A ，Q 的增加量相同D ．P 越大，插线板电源线产生的热量Q 越多【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可．【详解】解∶根据图1知：当440W P =时，2A I =，故选项A 正确，但不符合题意；根据图2知：Q 随I 的增大而增大，故选项B 正确，但不符合题意；根据图2知：Q 随I 的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C 错误，符合题意；根据图1知：I 随P 的增大而增大，又Q 随I 的增大而增大，则P 越大，插线板电源线产生的热量Q 越多，故选项D 正确，但不符合题意；故选：C ．二、填空题11．请写出2m 的一个同类项： ．【答案】m （答案不唯一）【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案．【详解】解：2m 的一个同类项为m ，故答案为：m12．2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”.某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分情况如图，则得分的众数为 分．【答案】9【分析】本题考查了众数的概念，解题的关键是熟知相关概念，出现次数最多的数叫做众数．根据众数的概念求解即可．【详解】解：根据得分情况图可知：9分数的班级数最多，即得分的众数为9．故答案为：9．13．若关于x 的方程2102x x c -+=有两个相等的实数根，则c 的值为 ．14．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，点A 的坐标为()20-，，点E 在边CD 上．将BCE 沿BE 折叠，点C 落在点F 处．若点F 的坐标为()06，，则点E 的坐标为 ．【答案】()3,10【分析】设正方形ABCD 的边长为a ，CD 与y 轴相交于G ，先判断四边形AOGD 是矩形，得出OG AD a ==，DG AO =，90EGF ∠=︒，根据折叠的性质得出BF BC a ==，CE FE =，在Rt BOF △中，利用勾股定理构建关于a 的方程，求出a 的值，在Rt EGF 中，利用勾股定理构建关于CE 的方程，求出CE 的值，即可求解．【详解】解∶设正方形ABCD 的边长为a ，CD 与y 轴相交于G ，则四边形AOGD 是矩形，∴OG AD a ==，DG AO =，90EGF ∠=︒，∵折叠，∴BF BC a ==，CE FE =，∵点A 的坐标为()20-，，点F 的坐标为()06，，∴2AO =，6FO =，∴2BO AB AO a =-=-，在Rt BOF △中，222BO FO BF +=，∴()22226a a -+=，解得10a =，∴4FG OG OF =-=，8GE CD DG CE CE =--=-，在Rt EGF 中，222GE FG EF +=，∴()22284CE CE -+=，解得5CE =，∴3GE =，∴点E 的坐标为()3,10，故答案为：()3,10．【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键．15．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3CA CB ==，线段CD 绕点C 在平面内旋转，过点B 作AD 的垂线，交射线AD 于点E ．若1CD =，则AE 的最大值为 ，最小值为 .则CD AE ⊥，∴90ADE CDE ∠=∠=︒，∴222231AD AC CD =-=-∵ AC AC =，∴45CED ABC ==︒∠∠，∵90CDE ∠=︒，则CD AE ⊥，∴90CDE ∠=︒，∴222231AD AC CD =-=-=∵四边形ABCE 为圆内接四边形，∴180135CEA ABC =︒-=︒∠∠，∴18045CED CEA =︒-=︒∠∠，∵90CDE ∠=︒，三、解答题16．（1(01；（2）化简：231124a a a +⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭．【答案】（1）9（2）2a +【分析】本题考查了实数的运算，分式的运算，解题的关键是：17．为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下．技术统计表队员平均每场得分平均每场篮板平均每场失误甲26.582乙26103根据以上信息，回答下列问题．(1)这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分．(2)请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好．(3)规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误()1⨯-，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好．18．如图，矩形ABCD 的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC ，BD 相交于点E ，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点A ．(1)求这个反比例函数的表达式．(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．(3)将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________．（3）解：∵()6,4E 向左平移后，E 在反比例函数的图象上，∴平移后点E 对应点的纵坐标为4，当4y =时，64x=，解得32x =，∴平移距离为39622-=．故答案为：9．19．如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，∥B E DC 交AC 的延长线于点E ．(1)请用无刻度的直尺和圆规作ECM ∠，使ECM A ∠=∠，且射线CM 交BE 于点F （保留作图痕迹，不写作法）．(2)证明（1）中得到的四边形CDBF 是菱形【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是：（2）证明：∵ECM A ∠=∠∴CM AB ∥，∵∥B E DC ，∴四边形CDBF 是平行四边形，∵在Rt ABC △中，CD 是斜边20．如图1，塑像AB 在底座BC 上，点D 是人眼所在的位置．当点B 高于人的水平视线DE 时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A ，B 两点的圆与水平视线DE 相切时（如图2），在切点P 处感觉看到的塑像最大，此时APB ∠为最大视角．(1)请仅就图2的情形证明APB ADB ∠>∠．(2)经测量，最大视角APB ∠为30︒，在点P 处看塑像顶部点A 的仰角APE ∠为60︒，点P 到塑像的水平距离PH 为6m ．求塑像AB 的高（结果精确到0.1m 1.73≈）．则AMB APB ∠=∠．∵AMB ADB ∠>∠，∴APB ADB ∠>∠．（2）解：在Rt AHP 中，APH ∠∵tan AH APH PH∠=，答：塑像AB的高约为6.9m．21．为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为50g，营养成分表如下．(1)若要从这两种食品中摄入4600kJ热量和70g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g，且热量最低，应如何选用这两种食品？【答案】(1)选用A种食品4包，B种食品2包(2)选用A种食品3包，B种食品4包【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入4600kJ热量和70g蛋白质”列方程组求解即可；（2）设选用A种食品a包，则选用B种食品()7-a包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于90g”列不等式求解即可．【详解】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意，得7009004600, 101570.x yx y+=⎧⎨+=⎩解方程组，得4,2. xy=⎧⎨=⎩答：选用A种食品4包，B种食品2包．（2）解：设选用A种食品a包，则选用B种食品()7-a包，根据题意，得()1015790a a +-≥．∴3a ≤．设总热量为kJ w ，则()70090072006300w a a a =+-=-+．∵2000-<，∴w 随a 的增大而减小．∴当3a =时，w 最小．∴7734a -=-=．答：选用A 种食品3包，B 种食品4包．22．从地面竖直向上发射的物体离地面的高度()m h 满足关系式205h t v t =-+，其中()s t 是物体运动的时间，()0m /s v 是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．(1)小球被发射后_________s 时离地面的高度最大（用含0v 的式子表示）．(2)若小球离地面的最大高度为20m ，求小球被发射时的速度．(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3s ．”已知实验楼高15m ，请判断他的说法是否正确，并说明理由．23．综合与实践在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．(1)操作判断用分别含有30︒和45︒角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）．(2)性质探究根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形ABCD 是邻等对补四边形，AB AD =，AC 是它的一条对角线．①写出图中相等的角，并说明理由；②若BC m =，DC n =，2BCD θ∠=，求AC 的长（用含m ，n ，θ的式子表示）．(3)拓展应用如图3，在Rt ABC △中，90B Ð=°，3AB =，4BC =，分别在边BC ，AC 上取点M ，N ，使四边形ABMN 是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN 的长．∵四边形ABCD 是邻等对补四边形，∴180ABC D ∠+∠=︒，∵180ABC ABE ∠+∠=︒，∴ABE D ∠=∠，∵AE AC =，∴()()1112222m n CF CE BC BE BC DC +==+=+=，∵2BCD θ∠=，∴ACD ACB θ∠=∠=，∴22218AM AB BM =+=，在Rt AMN 中22MN AM AN =-在Rt CMN 中22MN CM CN =-∴()()22218435AN AN -=---∵AM AM =，∵90MNC ABC ∠=∠=︒，C ∠∴CMN CAB ∽△△，∴CN MN BC AB=，即543CN CN -=解得20CN =，∵AM AM =，∴Rt Rt ABM ANM ≌，∴AN AB =，故不符合题意，舍去；。
中考数学第21-22题(解答题中档题：锐角三角函数、反比例和一次函数综合)考前预测
押中考数学第21-22题（解答题中档题：锐角三角函数、反比例和一次函数综合）专题诠释：实数、整式与三视图是中考必考题型。
在历年的中考中，主要以选择题的形式出现，内容较为简单，因此是中考数学中必须做对的题型。
考法上上主要以识记和理解的考察为主，区分不同的定义和运算规律，练出手感，保证全对！知识点一：锐角三角函数〖押题冲关〗1．（2023·山东济宁·统考二模）酒驾猛于虎，但很多人不以为是，为了加强人们对酒驾危害的认识，交警部门加大了对酒驾的检查力度，某市交警在2023年2月28日这天对本市各大主要交通路口进行车辆检查，如图，AC是该市解放路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，与解放路AC的交叉路口分别是A，B，C．已知出警点D位于点A的北偏东45∘方向、点B的北偏东30∘方向上，BD=2km，∠DBC=30∘．(1)求A、B的距离；(2)第一组交警负责路口A，求该组从出警点D到路口A的路程（行驶路线为D−C−B−A）．（结果保留根号）2．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）小军与小明放学后看见楼前的小广场上有一架无人机正在定点拍摄小区全景，此时如图所示，小军在一楼B处测得无人机C的仰角∠CBE=60°，在楼顶A处的小明测得无人机C的仰角∠CAD=28°，他们所在的楼高约为120米，求此时无人机C离地面BE的高度．（参考数据：√3≈1.73，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）(1)求点B到点C之间的距离（结果保留根号）；5．（2023·浙江绍兴·统考一模）某次科学实验中，小王将某个棱长为10cm正方体木块固定于水平木板OM上，OB=50cm，将木板OM绕一端点O旋转40°至OM′（即∠MOM′=40°）（如图为该操作的截面示意图）．(1)求点C到C′竖直方向上升高度（即过点C，C′水平线之间的距离）；(2)求点D到D′竖直方向上升高度（即过点D，D′水平线之间的距离）．（参考数据：sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84，（1）（2）题中结果精确到个位）6．（2023·河南新乡·统考二模）图1是一款摆臂遮阳篷的实物图，图2是其侧面示意图．如图2，点A，O为墙壁上的固定点，AO=1.5m，摆臂OB可绕点O旋转，旋转过程中遮阳篷AB可自由伸缩，篷面始终保持平整，当摆臂OB与墙壁垂直时，身高为1.65m的同学（MN=1.65m）站在遮阳篷下距离墙角1.2m（EN=1.2m）处，刚好不被阳光照射到，测得此时AB与摆臂OB的夹角∠ABO=45°，光线与水平地面EF的夹角∠BNF=71°，求AE的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90，√2≈1.41）7．（2023·四川成都·统考二模）如图是一座人行天桥的示意图，已知天桥的高度CD=6米，坡面BC的倾斜角∠CBD=45°，距B点8米处有一建筑物NM，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面BC的坡度，把倾斜角由45°减至30°，即使得新坡面AC的倾斜角为∠CAD=30°．若新坡面底端A处与建筑物NM之间需要留下至少3米宽的人行道，那么该建筑物是否需要拆除？请说明理由．（结果精确到0．1米；参考数据：√2≈1.14，√3≈1.73）8．（2023·江苏宿迁·统考二模）如图，在坡角α为30°的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为18米，求大树AB的高．（结果精确到0.1米，√2≈1.414，√3≈1.732）9．（2023·四川成都·统考二模）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学综合实践小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的东偏北60°方向上，沿正东方向行走60米至观测点D，测得B在D的西偏北30°方向上，A在D的西偏北69°方向上．求A，B两点间的距离是多少米（精确到个位）？（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23，√3≈1.73）10．（2023·安徽滁州·统考二模）某学校数学活动小组决定利用所学的解直角三角形知识测量校园内一棵树AB的高度．如图，他们在地面上C处测得树顶A的仰角为30°，再往树的方向前进20m至D处，测得仰角为60°，点C，D，B在同一直线上，求树高AB．（身高忽略不计，结果保留根号）知识点二：反比例和一次函数综合模块二〖押题冲关〗(1)求一次函数的表达式：(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(1)求m，n的值及反比例函数的解析式；(1)求直线和双曲线的解析式及点B的坐标；(1)求m的值；(1)求k的值；(2)求△ODE的面积．(x<0)上，点B在x轴上．将7．（2023·四川南充·统考二模）如图，点A(m,1)在双曲线y=kx线段AB平移到CD，点C仍在双曲线上，点D在y轴上，OB=2OD=2．(1)求m和k的值；(2)直线AC与x轴交于E，与y轴交于F．求证：OE=2OF．8．（2023·河南洛阳·东方二中校考二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的的图象的两个交点为A(−1,3)和B．图象与反比例函数y=k2x(1)求反比例函数的关系式；=2；(2)若一次函数y=k1x+b与x轴交于点C，且ABBC①求出k1与b的值；的解集为__________；②直接写出不等式k1x+b>k2x(3)若点F是直线OA上一点，F点的横坐标为m，连接AF，BF，△ABF的面积记为S，当S=2时，请直接写出m值__________．9．（2023·江苏苏州·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y1=k1x+b与反比例函的图象交于A、B两点，已知A(1，3m−4)，B(m，1)．数y2=k2x(1)求k1与k2的值；(2)直线DE在直线AB的下方且与AB平行，与x轴、y轴分别交于点D、E，点P是直线AB上的一动点，当△PDE的面积为1时，求直线DE的解析式．0．（2023·河南安阳·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+2(k≠0)的(x>0)的图象交于点A(a，3)，与x轴交于点B(−4，0)，与y轴交图象与反比例函数y=mx于点C．求：(1)k，m的值；(2)直线OP过原点，交反比例函数于点P，且OP∥AB，△PAC的面积．。
波利亚“怎样解题”表在中学几何题中的运用——以2016年山西中考数学22题为例
波利亚“怎样解题”表在中学几何题中的运用——以2016年山西中考数学22题为例韩婷婷【摘要】波利亚“怎样解题”表广泛运用于数学解题教学中,解题表给予师生一种思维方式,能够高效帮助学生解答问题.以一道山西省中考题中典型的几何题目为例,以波利亚解题理论为支撑,分析解题思路,得到解题思路自然生成的启示,更好地辅助教师进行解题教学.【期刊名称】《甘肃高师学报》【年(卷),期】2017(022)012【总页数】5页(P63-67)【关键词】“怎样解题”表;解题反思;自然生成【作者】韩婷婷【作者单位】太原师范学院教师教育学院,山西长治030600【正文语种】中文【中图分类】G633.61 波利亚“怎样解题”表及分析数学是一门逻辑思维见长的学科，解题对于数学学习极其重要.图形与几何是课程标准中重要领域之一，中考几何证明题能够有效锻炼学生的思维,但同时是一个难点，怎样能使解题思路自然生成，在教学中就显得尤为重要.美籍匈牙利数学家、数学教育家乔治·波利亚在《怎样解题》一书中给出怎样解题的思路，在数学教学中被广泛使用.怎样解题表将解题过程分为四步.第一步：理解题目未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？条件有可能满足吗？条件是否足以确定未知量？或者它不够充分？或者多余？或者矛盾？画一张图，引入适当的符号.将条件的不同部分分开.你能把它们写出来么？第二步：拟定方案你以前见过它吗？或者你见过同样的题目以一种稍有不同的形式出现吗？你知道一道与它有关的题目吗？你知道一条可能有用的定理吗？观察未知量，并尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目.这里有一道题目和你的题目有关而且以前解过.你能利用它吗？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了有可能应用它,你是否应该引入某个辅助元素？你能重新叙述这道题目吗？你还能以不同的方式叙述它吗？回到定义上去.如果你不能解所提的题目，先尝试去解某道有关的题目.你能否想出一道更容易着手的相关题目？一道更为普遍化的题目？一道更为特殊化的题目？一道类似的题目？你能解出这道题目的一部分吗？只保留条件的一部分，而丢掉其它部分，那么未知量可以确定到什么程度，它能怎样变化？你能从已知数据中得出一些有用的东西吗？你能想到合适的已知数据来确定该未知量吗？你能改变未知量或已知数据,或者有必要的话把两者都改变，从而使新的未知量和新的已知数据彼此更接近吗？你用到所有已知数据了吗？你用到全部的条件了吗？你把题目中所有关键概念都考虑到了吗？第三步：执行方案执行你的解题方案，检验每一个步骤.你能清楚地看出这一步骤是正确的吗？你能否证明它是正确的？第四步：回顾你能检验这个结果吗?你能检验这个论证吗？你能以不同的方式推导这个结果吗？你能一眼就看出它来吗？你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？[1] “怎样解题”表中,宏观解题步骤分为四步，理解题目是解题的基础,理解题目、分析已知条件、挖掘隐含条件，才能更好将题目与之前所学内容形成联系；拟定方案环节是解题过程中最关键的一个环节，这个环节需要学生有一定的知识基础，需要将现有的题目与已有资源进行合理整合，方案拟定的合理,才能顺利解答题目；回顾是一个较容易被忽略却很重要的环节，回顾不仅是对本道题目的总结，更是提炼题目精髓的过程，需要通过对题目以及其变式总结出一类题目的解题思路，从而打开学生的思维.以山西省2016年中考数学题22题为例,来具体说明波利亚“怎样解题”在几何证明题中的应用.2 波利亚“怎样解题”表在解题中应用2.1 题目呈现问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片 ABCD（∠BAD＞90°）沿对角线 AC 剪开，得到△ABC和△ACD.操作发现：（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，逆时针方向旋转角α，使α=∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于 E，则四边形ACEC′的形状是_________；（2）创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=2∠BAC，得到如图3所示的△AC′D，连接 DB，C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形.请你证明这个结论；实践探究：（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC=13cm，AC=10cm，然后提出一个问题：将△AC′D 沿着射线 DB 方向平移 acm，得到△A′C″D′，连接BD′、CC″使四边形BCC″D′恰好为正方形，求 a 的值.请你解答此问题；（4）请你将图1中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D′，如图4是平移的一种情况，试再画出至少两种情况，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明.第22题图2.2 根据波利亚“怎样解题”表进行解题思路分析将上述题目的四问用波利亚“怎样解题”表的四个步骤来进行分析.2.2.1 第一问思路分析与解法展示（1）第一步:理解题意已知条件:图1中四边形ABCD为菱形，即图2中，AC=AC′.当△ACD以A为旋转中心，逆时针方向旋转角α，使α=∠BAC，即∠BAC=α=∠DAC′.求解问题：四边形ACEC′的形状.将已知角标在图2上（如图5）.图5（2）第二步：拟定计划将题目和图5中隐含条件列出：可用得上的定义、公理或公式：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.（3）第三步：执行方案因为四边形ABCD为菱形，所以根据菱形的定义可得四边形ACEC′为菱形.（4）第四步：回顾思考因为AC＝AC′，故解题思路可优先考虑用菱形的定义来判定图形为菱形，证明平行四边形时可采用不同判定方法,上述方案采用两组对边分别平行来判定四边形为平行四边形，除此之外根据题目给出的多角关系，也可用两组对角分别相等来判定四边形为平行四边形.2.2.2 第二问思路分析与解法展示（1）第一步:理解题意已知条件：图1中的四边形ABCD为菱形，即AC＝AC′，当△ACD以A为旋转中心，逆时针方向旋转角α，使α=2∠BCA.求解问题：连接 DB，C′C，证明四边形BCC′D 是矩形.将已知条件标在图3上，第一问已经设∠BCA=α，本题中不妨设旋转角为2α，如图6.图6图7（2）第二步：拟订方案将题目和图6中的隐含条件列出又∠BCC′和∠DC′C为同旁内角，即可证明.是否有与此相近的题目：如图7，在平行四边形ABCD 中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为 E、F.求证：四边形EBFD为矩形.学生对于此题很熟悉，比较容易发现，相似例题中也含有一组全等三角形，根据全等关系得出证明矩形的关键条件,对证明原题目有一定启发.可用得上的定义、公理或公式：同旁内角互补,两直线平行；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.（3）第三步：执行方案（如图6）同理得∠BCC′=90°.所以四边形BCC′D为平行四边形，且有一个内角为90°.根据矩形定义，四边形BCC′D为矩形.（4）第四步：回顾思考（如图6）究其本质，此题要证明一个四边形为矩形.矩形证明有多种思路，此题采用一个角为直角的平行四边形是矩形或三个角为直角的四边形是矩形的思路.上述执行方案中能证得两个角为直角,即再证明一个角为直角的方法也可行.题目中根据三角形内角和关系可将∠ADC′表示为180°－2α，根据周角为360°，将∠DAB 表示为360°-4α，在等腰△DAB 中由此证明第三个角为直角，四边形BCC′D为矩形.进一步思考本题，若绕A点旋转使AD和AB边重合，能得到筝形，根据筝形对角线互相垂直，筝形是轴对称图形等特征又可以有新的命题方式.2.2.3 第三问思路分析与解法展示（1）第一步：理解题意（如图8）已知条件：四边形BCC′D是矩形,△AC′D 沿射线 DB 方向平移，得到△A′C″D′，连接BD′，CC″使四边形BCC″D′为正方形.求解问题：求△AC′D平移的距离a.将已知条件标于图3上（如图8），本题涉及平移，故将平移后的情况都画出，如图9和图10，便于理解.图8图9图10四边形BCC′D是矩形.BC=13cm，是矩形的宽，AC=10cm是等腰三角形△ABC 的底边的长.△AC′D沿着射线DB方向平移，会出现两种情况，一种C″在线段C′C 上，D′在线段 BD 上（如图9）；另一种C″在线段C′C延长线上，D′在线段 DB 延长线上（如图 10）.（2）第二步：拟订方案（如图9、图 10）将题目中隐含条件列出：△AC′D沿射线DB方向平移会出现两种情况，即移动距离会有两个值;移动后CC″=BC=13cm；由图9、图10知，求a值还需求矩形BCC′D 的长CC′.题目的分析：经过理解题意，将隐含条件列出，不难发现题目最终聚焦于求矩形的长，矩形的长是定值，即题目由动态的平移变为静态的长度求解.如图8，CC′和DB分别为两等腰△ACC′与△ADB的底边，题目中已知AC=AC′=10cm，从而将求矩形边长又转化为求等腰三角形的底边长度.可能用到的定理、公理或公式：勾股定理；等腰三角形三线合一；相似三角形对应边的比等于相似比；两个角分别相等的两个三角形相似.（3）第三步：执行方案在图8中，过B作等腰△ABC底边上的高，交AC于F，F为AC的中点，过A作等腰△ACC′底边上高交CC′于E，E点为CC′的中点,由勾股定理得BF＝12cm.因为在△CBF中，∠CBF=90°-α，则∠CBF=∠ACE，又∠CFB=∠CEA＝90°，所以△BFC～△CEA，所以，可得.则C″在线段C′C 上，D′在线段DB上时，有C″在线段 C′C延长线上，D′在线段DB延长线上时，有综合上述，a的值为或.（4）第四步：回顾思考本题深度考察学生思维能力，首先针对分类讨论，要做到不重不漏，其次要明白图形平移过程中的变量和不变量，精准把握题目中要求平移的程度，最后是对相似三角形的证明.此题最终落足于求等腰三角形底边长，根据解题经验知，求解三角形底边长度时通常有等面积和相似三角形等方法，观察图8，目标三角形在矩形中，矩形中还包含多个其它等腰三角形，同时根据条件发现面积法不易求解，故将思维转向相似关系.2.2.4 第四问思路分析与解法展示（1）第一步：弄清题意已知条件：四边形ABCD为菱形，△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D′.求解问题：平移构造出新图形，说明平移构图方法.本题是开放性试题，画图方式不唯一.（2）第二步：拟定方案题目中隐含条件：平移时应注意菱形各边长度及对应关系不变.事实上，△ACD可以在平面上沿任意方向平移任意长度.题目的分析：通过平移的性质知，平移不改变图形的形状和大小，经过平移，图形对应线段相等，对应角相等，即线段间平行且相等的本质不会改变。
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2016河南中考第22题的争议(峻清）
2016河南中考题22题，题出得很质量很高，能充分考查学生综合运用能力，从简单的
(1)、(2)两问的类比探究到第(3)问的旋转构造全等，结合(1)、(2)两问解决问题，思维能力的考查上了两个台阶，这是本次试卷的一个亮点，得到了很多老师的好评，但也出现了美中不足的地方。
第(3)问中“如图3”叙述的不够准确，根据题意的叙述，并不排除PM 由PB 顺时针方向旋转90°得到，而评分标准里，只给了一种情况；当然也可理解为“如图”就是“PM 只是由PB 绕点P 逆时针旋转得到的”。
这个问题，不止出现在这里，许多涉及分类讨论的题目，出现“如图”字眼，是否还考虑另外的情况呢？这里应该明确的指出：“B 点绕P 点逆时针旋转90°得M 点”，或者干脆图中不出现线段PM ，这样就可避免了歧义了。
下面是本人的解析，偏向于尽管出现了“如图”还是应该分类讨论的。
22.(10分)(1)发现 如图1，点A 为线段BC 外一动点，且
BC ＝a ，AB ＝b .
填空：当点A 位于 CB 的延长线 时，线段AC 的长取得最
大值，且最大值为 a ＋b (用含a ，b 的式子表示).
(2)应用 点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝3，AB ＝1，如图2所示，分别以AB ，AC 为 边作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE .
①请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段BE 长的最大值.
(3)拓展
如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(5，0)点 P 为线段AB 外一动点，且P A ＝2，PM ＝PB ，PM ＝90°，请直接写出线段AM 长的最 大值及此时点P 的坐标.
A
B 图1 A D E
图2 图3 A 备用图
(2) 解：①CD ＝BE ,理由如下：
∵△ABD 、△ACE 是等边三角形，
∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠DAB ＝60°，∠CAE ＝60°
∴∠DAC ＝∠BAE ，
∴△ADC ≌△ABE (SAS )
∴CD ＝BE .
②BE 长的最大值为4.
(3)AM 长的最大值为3＋22 . P 点坐标为(2－2 ，2 )或(2－2 ，－2 )
提示：❶若点M 在点B 的逆时针方向90°把△P AB 绕点P 逆时针旋转90°到△P A ′M 位置，
显然A ′M ＝AB ＝3,AA ′＝22 ,AM ≤A ′M ＋ AA ′，当A ′点落在AM 时，AM 长的最大值为3＋22 .此时∠MA ′P ＝135°,如下图易知：P 点坐标为(2－2 ，2 )
❷若点M 在点B 的顺时针方向90°，在把△P AB 绕点P 顺时针旋转90°到△P A ′M 位置，显然A ′M ＝AB ＝3,AA ′＝22 ,AM ≤A ′M ＋ AA ′，当A ′点落在AM 时，AM 长的最大值为3＋22 .此时∠MA ′P ＝135°,如下图易知：P 点坐标为(2－2 ，－2 )。