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2017-2018学年高二数学北师大版选修2-1教师用书：第1章 2-1+2-2+2-3 充分条件与必要条件 含答案 精品

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高二数学北师大版选修2-1教师用书第1章 1 命题 Word版含答案

高二数学北师大版选修2-1教师用书第1章 1 命题 Word版含答案

§命题.了解命题的概念.(重点).掌握四种命题的结构形式.会写出命题的逆命题、否命题、逆否命题.(难点).熟练判断命题的真假性.(易混点)教材整理命题及相关概念阅读教材“问题提出”以上的部分，完成下列问题..定义：可以判断()，用文字或符号表述的语句叫命题真假()分类(\\(真命题：判断为真的语句.,假命题：判断为假的语句.))()形式：通常把命题表示为“若则”的形式，条件其中是结论，是..判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()“＞”是命题.( )()“一个实数不是正数就是负数”是真命题.( ) ()若两个命题为互否命题，则它们的真假性肯定不相同.( )【解析】()×，因为没有给定变量的值，无法确定其真假，故不是命题.()×，因为既不是正数也不是负数，所以是假命题.()√，互否命题的真假性相反.【答案】()×()×()√.下列语句是命题的是( )不是无限不循环小数＞.请同学们用好《非常学案》！.三角形是平面图形吗？【解析】不能判断其真假，、分别是祈使句、疑问句不是命题.【答案】教材整理四种命题及关系阅读教材“问题提出”～“例”以上的部分，完成下列问题..四种命题互为逆命题、互为否命题、互为逆否命题都是说的两个命题之间的关系.图­­.命题：“两对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的( ).否命题.逆命题.等价命题.逆否命题【解析】根据逆命题的定义知，选项正确.【答案】.将下列命题改写成“若则”的形式，并写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断相应命题的真假.()正数的平方根不等于；()两条对角线不相等的平行四边形不是矩形.【解】()“若是正数，则的平方根不等于”逆命题是：“若的平方根不等于，则是正数”，假命题；否命题是“若不是正数，则它的平方根等于”，假命题；逆否命题是：“若的平方根等于，则不是正数”，真命题. ()“若平行四边形的两条对角线不相等，则它不是矩形”，逆命题是：“若平行四边形不是矩形，则它的两条对角线不相等”，真命题；否命题是“若平行四边形的两条对角线相。

高二数学北师大版选修1-2教师用书第1章 2 2.1 条件概率与独立事件 Word版含答案

高二数学北师大版选修1-2教师用书第1章 2 2.1 条件概率与独立事件 Word版含答案

§独立性检验．条件概率与独立事件．了解条件概率的概念及计算．(重点)．理解相互独立事件的意义及相互独立事件同时发生的概率乘法公式．(重点)．掌握利用概率的知识分析解决实际问题的方法．(难点)教材整理条件概率阅读教材～部分，完成下列问题．．概念已知事件发生的条件下，发生的概率，称为发生时发生的条件概率．，记为()．公式当()＞时，()＝.从中任取两个不同的数，事件＝“取到的个数之和为偶数”，事件＝“取到的个数均为偶数”，则()＝( )．．．．【解析】从中任取两个数共有种取法，事件包含()，()，()，()共个基本事件，事件包含()一个基本事件，故()＝，()＝.所以()＝＝.【答案】教材整理相互独立事件阅读教材“练习”以上部分，完成下列问题．．定义()＝对两个事件，，如果()()，则称，相互独立．．性质如果，相互独立，则与，与，与也相互独立．，相互独立，则有…．如果，，＝(…)．()()…()甲袋中装有个白球，个黑球，乙袋中装有个白球，个黑球，从甲、乙两袋中各取一球均为白球的概率为( )．．．．【解析】记“从甲袋中任取一球为白球”为事件，“从乙袋中任取一球为白球”为事件，则事件，是相互独立事件，故()＝()()＝×＝.【答案】预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：,条件概率一个袋中有个黑球和个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为，事件“第二次抽到黑球”为．()分别求事件，，发生的概率；()求()．【精彩点拨】解答本题可先求()，()，()，再用公式()＝求概率．【自主解答】由古典概型的概率公式可知：()()＝，()＝＝＝，()＝＝.()()＝＝＝.用定义法求条件概率()的步骤是：()分析题意，弄清概率模型；()计算()，()；()代入公式求()＝.。

2017-2018学年高二数学北师大版选修2-1教师用书：第2

2017-2018学年高二数学北师大版选修2-1教师用书：第2

§5 夹角的计算 5．1 直线间的夹角 5．2 平面间的夹角 5．3 直线与平面的夹角1．能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的计算问题．(重点) 2．体会向量方法在研究立体几何问题中的作用．(难点)教材整理1 直线间的夹角阅读教材P 43“例1”以上的部分，完成下列问题． 设直线l 1与l 2的方向向量分别为s 1，s 2.已知向量a ＝(－1，－1,0)，b ＝(－1,0，－1)，则向量a 与b 的夹角是( ) A.π3 B ．23π C.π2D ．π4【解析】 cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝12·2＝12，∴〈a ，b 〉＝π3. 【答案】 A教材整理2 平面间的夹角阅读教材P 44“例2”以上的部分，完成下列问题． (1)平面间夹角的概念如图2­5­1，平面π1和π2相交于直线l ，点R 为直线l 上任意一点，过点R ，在平面π1上作直线l 1⊥l ，在平面π2上作直线l 2⊥l ，则l 1∩l 2＝R ，我们把直线l 1和l 2的夹角叫作平面π1与π2的夹角．图2­5­1(2)平面间夹角的求法设平面π1与π2的法向量分别为n 1与n 2.当0≤〈n 1，n 2〉≤π2时，平面π1与π2的夹角等于〈n 1，n 2〉；当π2＜〈n 1，n 2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于π－〈n 1，n 2〉． 事实上，设平面π1与平面π2的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|.已知平面α的法向量为n 1＝(1,1,1)，平面β的法向量是n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－62，62.求平面α与平面β的夹角．【解】 cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－3－62＋621＋1＋1·9＋64＋64＝－33·12＝－12，∴〈n 1，n 2〉＝120°，∴平面α与平面β的夹角为60°.教材整理3 直线与平面的夹角阅读教材P 45“思考交流”以上的部分，完成下列问题．设直线l 的方向向量为s ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α的夹角为θ.若直线的方向向量为u1＝(1,1,1)，平面的法向量为u2＝(2,2,2)，则直线与平面所成角的正弦值为________．【解析】∵u2＝2u1，∴u1∥u2，∴u1与平面垂直，所成角的正弦值为1.【答案】 1预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________如图2­5­2所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，∠PDA＝30°，AE⊥PD，E为垂足．图2­5­2(1)求证：BE⊥PD；(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值．【精彩点拨】要证明两直线垂直，或求两直线的夹角，只要适当地建立空间直角坐标系，求出两直线对应的方向向量，然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得．【自主解答】以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，a,0)，D(0,2a,0)．又∵∠PDA ＝30°， ∴AP ＝AD ·tan 30°＝2a ·33＝233a ， AE ＝AD ·sin 30°＝2a ·12＝a .过E 作EF ⊥AD ，垂足为F ，在Rt △AFE 中，AE ＝a ，∠EAF ＝60°，∴AF ＝a 2，EF ＝32a .∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，233a ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，32a .(1)证明：BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，12a ，32a ，PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a ，－233a ， ∴BE →·PD →＝0＋a 2－a 2＝0. ∴BE →⊥PD →，∴BE ⊥PD .(2)AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，32a ，CD →＝(－a ，a,0)．则cos 〈AE →，CD →〉＝AE →·CD →|AE →||CD →|＝12a 22a ·a ＝24，即AE 与CD 的夹角的余弦值为24.1．建立恰当的空间直角坐标系，准确求出相关点的坐标是解决这类题的关键．2．求线线夹角时，应注意线线夹角范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以若求得余弦值为负数，则线线夹角为其补角．1．已知正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 是AA 1的中点，则异面直线D 1C 与BE 所成角的余弦值为( )【导学号：32550043】A.15 B ．31010C.1010D ．35【解析】 建系如图，设AA 1＝2AB ＝2. 则B (1,1,0)，C (0,1,0)D 1(0,0,2)，E (1,0,1)．∴D 1C →＝(0,1,0)－(0,0,2)＝(0,1，－2)． BE →＝(1,0,1)－(1,1,0)＝(0，－1,1)．cos 〈D 1C →，BE →〉＝D 1C →·BE →|D 1C →||BE →|＝－1－25·2＝－31010∴异面直线D 1C 与BE 所成角的余弦值为31010.【答案】 B如图2­5­3，直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1，底面ABCD 是菱形，AD ＝AA 1，∠DAB ＝60°，F 为棱AA 1的中点．求平面BFD 1与平面ABCD 所成的二面角的大小．图2­5­3【精彩点拨】 本题依据条件可采用综合法(非向量法)或空间向量法求解，通过本题可体会二面角的求解方法的综合应用．【自主解答】 法一：如图，延长D 1F 交DA 的延长线于点P ，连接PB ，DB ，则直线PB 就是平面BFD 1与平面ABCD 的交线．∵F 是AA 1的中点，∴可得A 也是PD 的中点，∴AP ＝AB . 又∠DAB ＝60°，且底面ABCD 是菱形， ∴可得△ABD 为正三角形，故∠DBA ＝60°. ∵∠P ＝∠ABP ＝30°，∴∠DBP ＝90°，即PB ⊥DB . 又ABCD ­A 1B 1C 1D 1是直棱柱， ∴DD 1⊥PB ， ∴PB ⊥平面DD 1B .故∠DBD 1就是二面角D 1­PB ­D 的平面角． 显然BD ＝AD ＝DD 1， ∴∠DBD 1＝45°.法二：(向量法)建系如图：设这个四棱柱各棱长均为2，则D (0,0,0)，D 1(0,0,2)，B (1，3，0)，F (－1，3，1)， ∴BF →＝(－2,0,1)，D 1B →＝(1，3，－2)．显然，DD 1→就是平面ABCD 的法向量，再设平面BFD 1的一个法向量为向量u ＝(x 0，y 0，z 0)，则u ⊥BF →且u ⊥D 1B →，∴－2x 0＋z 0＝0且x 0＋3y 0－2z 0＝0.令x 0＝1可得z 0＝2，y 0＝3，即u ＝(1，3，2)．设所求二面角的平面角为θ，则cos θ＝u ·DD 1→|u |·|DD 1→|＝22，∴所求二面角大小为45°.求两平面的夹角有两种方法：(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n 1，n 2，则两平面的夹角为〈n 1，n 2〉⎝ ⎛⎭⎪⎫当〈n 1，n 2〉∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时或π－〈n 1，n 2〉⎝ ⎛⎭⎪⎫当〈n 1，n 2〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时.2.如图2­5­4所示，在底面为直角梯形的四棱锥S ­ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 与平面SAB 所成二面角α的正切值．图2­5­4【解】 如图，以AD 、AB 、AS 为x 轴、y 轴、z 轴，以AB 的长为单位长度建立空间直角坐标系，则各点坐标为D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0、C (1,1,0)、B (0,1,0)、S (0,0,1)．于是有AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，它是平面SAB 的法向量．设平面SCD 的法向量为n ，并设n ＝(x ，y ，z )，由DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，SD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－1及n ⊥DC →，n ⊥SD →，得⎩⎨⎧n ·DC →＝0，n ·SD →＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y ＝0，12x －z ＝0，令x ＝1，则y ＝－12，z ＝12，从而n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，12，∴cos α＝AD →·n|AD →||n |＝63，从而tan α＝22.1与侧面ABB 1A 1所成的角．【精彩点拨】 利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，取A 1B 1的中点M ，连接C 1M ，证明∠C 1AM 是AC 1与平面A 1B 所成的角；另一种是利用平面A 1B 的法向量求解．【自主解答】 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0，a,0)，A 1(0,0，2a )，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，a 2，2a ，AA 1→＝(0,0，2a )设侧面A 1B 的法向量n ＝(λ，x ，y )， 所以n ·AB →＝0，且n ·AA 1→＝0.所以ax ＝0，且2ay ＝0，令x ＝y ＝0， 故n ＝(λ，0,0)．又因为AC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，a 2，2a ， 所以cos 〈AC 1，n 〉＝n ·AC 1→|n |·|AC 1→|＝－λ32a |λ|·3a＝－λ2|λ|＝±12. 所以AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.计算直线l 与平面α的夹角为θ的方法有：(1)利用法向量计算θ的步骤如下：(2)利用定义计算θ的步骤如下：3．把本例条件改为“侧棱与底面边长相等”，求AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值．【导学号：32550044】【解】 建立如图直角坐标系，设底面边长为1，则A 1(0,0,1)，B 1(0,1,1)，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，1设A 1C 1的中点为D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，14，1，∵B 1D ⊥平面ACC 1A 1， ∴B 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－34，0是平面ACC 1A 1的一个法向量． 又∵AB 1→＝(0,1,1)，∴cos 〈AB 1→，B 1D →〉＝－342×1216＝－64， ∴AB 1与侧面AAC 1A 1所成角的正弦值为64.探究1 【提示】 异面直线所成角与这两直线的方向向量的夹角范围不同，其中异面直线所成的角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，向量夹角的范围是．当应用向量法求两异面的夹角时，若求得余弦值为正数，夹角即为所求；若求得余弦值为负数，则夹角为其补角．探究2 两平面的夹角与二面角的平面角有什么不同？【提示】 两平面的夹角范围是0≤θ≤π2，二面角的大小是指其两个半平面的张开程度，这可以用其平面角θ的大小来定义，它的取值范围为0≤θ≤π，其余弦值取n 1·n 2|n 1||n 2|还是－n 1·n 2|n 1||n 2|应结合具体情况而定．探究3 利用向量法求直线与平面所成的角时，要注意什么？【提示】 (1)直线与平面成所角θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.斜线和平面所成角的定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的锐角．(2)向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线l 与平面α所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有：①当φ为锐角时，θ＝π2－φ，sin θ＝cos φ，cos θ＝sin φ②当φ为钝角时，θ＝φ－π2，sin θ＝－cos φ，cos θ＝sin φ 综上所述，sin θ＝|cos φ|＝|a·u ||a |·|u |或cos θ＝sin φ.图2­5­5如图2­5­5，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝AB ＝2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点．求BD 与平面ADMN 的夹角θ.【自主解答】 如图所示，建立空间直角坐标系，设BC ＝1，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)， 则N (1,0,1)， ∴BD →＝(－2,2,0)， AD →＝(0,2,0)，AN →＝(1,0,1)．设平面ADMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎨⎧n ·AD →＝0，n ·AN →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋z ＝0，取x ＝1，则z ＝－1，∴n ＝(1,0，－1)．∵cos 〈BD →，n 〉＝BD →·n |BD →||n |＝－28·2＝－12，∴sin θ＝|cos 〈BD →，n 〉|＝12.又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．( )(2)若向量n 1，n 2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|.( )(3)直线与平面所成角的范围为⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.( )【解析】 (1)两直线的方向向量所成的角可能为钝角，而异面直线所成的角是锐角或直角，故不相等．(2)余弦值也可以是⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|.(3)直线与平面所成角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.【答案】 (1)× (2)× (3)×2．(2014·广东高考)已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 与60°夹角的是( )【导学号：32550045】A ．(－1,1,0)B ．(1，－1,0)C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)【解析】 对于A 中的向量a 1＝(－1,1,0)，cos 〈a ，a 1〉＝a ·a 1|a ||a 1|＝－12·2＝－12，a 1与a 的夹角为120°，不合题意；对于B 中的向量a 2＝(1，－1,0)，cos 〈a ，a 2〉＝a ·a 2|a ||a 2|＝12·2＝12，a 2与a 的夹角为60°，符合题意；对于C 中的向量a 3＝(0，－1,1)，cos 〈a ，a 3〉＝a ·a 3|a ||a 3|＝－12·2＝－12，a 3与a 的夹角为120°，不合题意；对于D 中的向量a 4＝(－1,0,1)，cos 〈a ，a 4〉＝a·a 4|a ||a 4|＝－22·2＝－1，a 4与a 的夹角为180°，不合题意，故选B.【答案】 B3．直线l 的方向向量为s ，平面α的法向量为n ，若〈s ，n 〉＝5π6，则直线l 与平面α所成的角为( )A.π6 B ．π3C.5π6D ．2π3【解析】 ∵〈s ，n 〉＝5π6＞π2，∴l 与α所成的角为5π6－π2＝π3.【答案】 B4．在一个二面角的两个面内分别有向量m ＝(－1,2,0)，n ＝(3,0，－2)，且m ，n 都与二面角的棱垂直，则该二面角的余弦值为________．【导学号：32550046】【解析】 由题意知，m ，n 所成的锐角即为二面角的平面角．∴cos 〈m ，n 〉＝m·n|m ||n |＝－35×13＝－36565.∴二面角的余弦值为36565.【答案】365655．如图2­5­6，在棱长为a 的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，求异面直线BA 1和AC 的夹角．图2­5­6【解】 分别以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，A 1(a,0，a )，∴BA 1→＝(0，－a ，a )，AC →＝(－a ，a,0)．∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝BA 1→·AC →|BA 1→|·|AC →|＝－a 22a 2·2a 2＝－12. ∴〈BA 1→，AC →〉＝120°.∴异面直线BA 1和AC 的夹角为60°.我还有这些不足：(1)________________________________________________ (2)________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________ (2)________________________________________________。

2017-2018学年高中数学选修2-2全册教案北师大版149P

2017-2018学年高中数学选修2-2全册教案北师大版149P

2017~2018学年北师大版高中数学选修2-2全册教案汇编目录归纳推理 (1)类比推理 (4)演绎推理 (7)分析法1 (11)分析法2 (14)综合法1 (17)综合法和分析法的应用 (20)反证法1 (23)反证法2 (27)数学归纳法 (31)第一章推理与证明 (35)变化的快慢与变化率——平均变化率 (39)变化的快慢与变化率——瞬时变化率 (44)瞬时速度与瞬时加速度 (47)导数的概念及其几何意义 (50)计算导数（一） (54)计算导数（二） (57)导数的加法与减法法则 (60)导数的乘法与除法法则 (63)导数的乘法与除法法则2 (66)简单复合函数的求导法则 (69)导数与函数的单调性（一） (73)导数与函数的单调性（二） (79)导数与函数的单调性（三） (83)函数的极值 (86)函数的最大值与最小值（二） (91)导数的实际应用（一） (95)导数的实际应用（二） (98)导数的实际应用（三） (103)导数应用小结与复习 (109)曲边梯形的面积 (114)汽车行驶的路程 (119)曲边梯形的面积 (124)微积分基本定理 (129)微积分基本定理 (131)4.3.1平面图形的面积 (136)4.3.1平面图形的面积 (140)4.3.2简单几何体的体积 (144)定积分的简单应用 (147)定积分 (151)数系的扩充与复数的概念 (155)复数的几何意义 (160)复数复数的乘法与除法 (163)复数的加法与减法 (166)第五章数系的扩充与复数的引入 (169)归纳推理一、教学目标1．知识与技能：（1）结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；（2）能利用归纳进行简单的推理；（3）体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.2．方法与过程：归纳推理是从特殊到一般的一种推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

2017-2018学年高中数学北师大版选修2-1课件：本章整合3

2017-2018学年高中数学北师大版选修2-1课件：本章整合3

知识建构
综合应用
真题放送
专题一 圆锥曲线的定义、性质的应用 圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用,要注意灵活运用. 应用1 已知双曲线的焦点在x轴上,离心率为2,F1,F2为左、右焦 点.P为双曲线上一点,且∠F1PF2=60°, ������△������������1 ������2 =12 3 ,求双曲线 的标准方程.
10 , 3
|������������1 | + |������������2 | = 6,
解得
|������������1 | = |������������2 | =
14 , 3 4 . 3
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本章整合
专题一 专题二 专题三 专题四
知识建构
综合应用
真题放送
|������������1 | 7 所以 = . |������������2 | 2
������2 ������2 提示:要求双曲线的标准方程,可设出方程 ������2 − 2=1 .关键是求 ������
a,b的值.在△PF1F2中,可由余弦定理和三角形面积公式列出方程组, 从而求出a,b.
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专题一 专题二 专题三 专题四
知识建构
综合应用
真题放送
������2 解 :如图所示 ,设双曲线的方程为 2 ������ ������ 因为 e= =2,所以 c=2a. ������
������2 设 F1,F2 是椭圆 9
的值. 提示 :要求
|������������1 | 的值 ,可考虑利用椭圆的定义和△PF1F2 为直角 |������������2 |
三角形的条件,求出 |PF1|与 |PF2|的值.但 Rt△PF1F2 的直角顶点不确 定 ,故需要分类讨论.

2017-2018学年高二数学北师大版选修2-1教师用书：第1

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2.4 充要条件1.理解充要条件的意义.(难点)2.掌握充分、必要、充要条件的应用.(重点、难点)3.区分充分不必要条件、必要不充分条件.(易混点)教材整理充要条件阅读教材P8～P9的内容，完成下列问题.1.充要条件如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q.2.常见的四种条件(1)充分不必要条件，即p⇒q而q⇒/_p.(2)必要不充分条件，即p⇒/_q而q⇒p.(3)充要条件，即p⇒q，q⇒p.(4)既不充分也不必要条件，即p⇒/_q，q⇒/_p.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当p是q的充要条件时，也可以说成q成立当且仅当p成立.( )(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.( )(3)若p q和q p有一个成立，则p一定不是q的充要条件.( ) 【答案】(1)√(2)√(3)√2.在△ABC中，“A＞B”是“a＞b”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】在△ABC中A＞B⇔a＞b，∴A＞B是a＞b的充要条件.【答案】 C3.用符号“⇒”“⇐”“⇔”填空.(1)x ＝0________x ＜1；(2)整数a 能被2整除________整数a 是偶数； (3)M ＞N ________log 2M ＞log 2N . 【解析】 利用这三种符号的意义求解. 【答案】 (1)⇒ (2)⇔ (3)⇐4.已知非零实数a ，b ，c ，则“b 2＝ac ”是“a ，b ，c 成等比数列”的____________条件.【解析】 b 2＝ac ⇒a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 成等比数列⇒b 2＝ac ，∴互为充要条件. 【答案】 充要预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________(1)“b 2R ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【自主解答】 当a ＝c ＝－1，b ＝0时，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为∅.反过来，由一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＝b 2－4ac ＜0，因此，b 2－4ac ＜0是一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R 的必要不充分条件. 【答案】 B(2)条件甲：“a ＞1”是条件乙：“a ＞a ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【自主解答】 方法一：甲⇒乙：a ＞1⇒a ＞1⇒a ＞a ，乙⇒甲：a ＞a ⇒a (a －1)＞0⇒a ＞1或a ＜0⇒a ＞1因此是充要条件.方法二：∵a ＞a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0a 2＞a ⇔a ＞1，∴选C.【答案】 C(3)已知p ：－1＜2x －3＜1，q ：x (x －3)＜0，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【自主解答】 由－1＜2x －3＜1，得1＜x ＜2，即x ∈(1,2). 由x (x －3)＜0，得0＜x ＜3，即x ∈(0,3).∵当1＜x ＜2时，能推出0＜x ＜3；但是0＜x ＜3不能推出1＜x ＜2.∴p 是q 的充分不必要条件.【答案】 A(4)p ：x ＝1或x ＝2，q ：x －1＝x －1，则p 是q 的________条件.【自主解答】 ∵当x ＝1或x ＝2成立时可得x －1＝x －1成立.反过来，当x －1＝x －1成立时可推出x ＝1或x ＝2.∴p 是q 的充要条件.【答案】 充要对充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判断要搞清楚它们的定义实质；①若p ⇒q ，但qp ，则p 是q 的充分不必要条件；②若q ⇒p ，但p q ，则p 是q 的必要不充分条件；③若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；④若pq ，且qp ，则p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件.(0)＝0”.【导学号：32550005】【精彩点拨】 分清条件和结论，证明充分性即证“条件⇒结论”，证明必要性即证“结论⇒条件”.【自主解答】 必要性：由f (x )＝sin(x ＋φ)是奇函数，得f (－x )＝－f (x )，即sin(－x＋φ)＝－sin(x＋φ)，∴sin(－x)cos φ＋cos(－x)sin φ＝－sin x cos φ－cos x sin φ，整理得2cos x sin φ＝0，由于上式对任意x∈R都成立，所以sin φ＝0，即f(0)＝sin φ＝0.充分性：由f(0)＝0，得sin φ＝0.∴f(－x)＝sin(－x＋φ)＝sin(－x)cos φ＋cos(－x)·sin φ＝－sin x cos φ，f(x)＝sin(x＋φ)＝sin x cos φ＋cos x sin φ＝sin x cos φ，∴f(－x)＝－f(x).∴f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数.综上，“f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数”的充要条件是“f(0)＝0”.1.首先分清条件和结论.本例中条件是“f(0)＝0”，结论是“f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数”.“p是q的……条件”，p是条件，q是结论；“p成立的……是q”，q是条件，p是结论.2.充要条件的证明分两步证明：证明充分性时把条件当已知去推证结论的正确性；证明必要性时，结论当已知去推证条件的正确性.1.求证：“f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数”的充要条件是“|f(0)|＝1”.【证明】必要性：由f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数得f(－x)＝f(x)，即sin(－x＋φ)＝sin(x＋φ)，∴sin(－x)cos φ＋cos(－x)sin φ＝sin x cos φ＋cos x sin φ整理得2sin x cos φ＝0.由于上式对任意x∈R都成立，所以cos φ＝0，即|f(0)|＝|sin φ|＝1.充分性：由|f(0)|＝1，得|sin φ|＝1，∴cos φ＝0.∵f(－x)＝sin(－x＋φ)＝sin(－x)cos φ＋cos (－x)·sin φ＝cos x sin φ，f(x)＝sin(x＋φ)＝sin x cos φ＋cos x sin φ＝cos x sin φ，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数，综上，“f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数”的充要条件是“|f(0)|＝1”.探究1 【提示】 若p 是q 的充要条件，q 是s 的充要条件，即p ⇔q ，q ⇔s ，则有p ⇔s ，即p 是s 的充要条件.探究2 从集合的角度判断充要条件、必要条件和充分条件适用于哪些题目？ 【提示】 当所要研究的p ，q 含有变量，即涉及方程的解集、不等式的解集，或者与集合有关或所描述的对象可以用集合表示时，可以借助集合间的包含关系利用Venn 图或数轴解题.探究3 在使用充分条件和必要条件时，要注意什么？【提示】 在求解与充分条件、必要条件有关的问题时，要分清条件p 和结论q .只有分清条件和结论才能正确判断p 与q 的关系，才能利用p 与q 的关系解题.在由条件p 与结论q 之间的关系求字母的取值范围时，将p 与q 之间的关系转化为集合之间的关系，是求解这一类问题的常用方法.探究4 如何求一个问题的充要条件？【提示】 求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合.这就要求我们转化的时候思维要缜密.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n＋q (p ≠0，p ≠1)，求数列{a n }是等比数列的充要条件.【精彩点拨】 由关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝1 ，S n －S n －1 n ≥2寻找a n 与a n ＋1的比值，但同时要注意充分性的证明.【自主解答】 a 1＝S 1＝p ＋q . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1).∵p ≠0，p ≠1，∴p n p －1p n －1 p －1 ＝p ， 若{a n }为等比数列，则a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ， ∴p p －1p ＋q ＝p .∵p ≠0，∴p －1＝p ＋q ，∴q ＝－1. 以上是{a n }为等比列的必要条件.下面证明q ＝－1是{a n }为等比数列的充分条件.当q ＝－1时，∴S n ＝p n －1(p ≠0，p ≠1)，a 1＝S 1＝p －1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －p n －1＝p n －1(p －1).∴a n ＝(p －1)p n －1(p ≠0，p ≠1)，a n a n －1＝ p －1 p n －1p －1 p n －2＝p 为常数，∴q ＝－1时，数列{a n }为等比数列. 即数列{a n }是等比数列的充要条件为q ＝－1.本题以等比数列的判定为主线，根据数列前n 项和通项之间的递推关系，严格利用等比数列定义判定.证明充要条件的命题，体现了思维的严谨性.2.求ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件.【解】 (1)当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0，即x ＝－12，符合要求.(2)当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a ≥0，∴a ≤1.①方程ax 2＋2x ＋1＝0有一个负根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1x 2＜0即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a ＜0，∴a ＜0.②方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2＜0，x 1x 2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，－2a ＜0，1a ＞0，∴0＜a ≤1.综上所述，ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件为a ≤1.1.若p ：|x |＝x ，q ：x 2＋x ≥0.则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 设p ：{x ||x ＝x }＝{x |x ≥0}＝A ，q ：{x |x 2＋x ≥0}＝{x |x ≥0或x ≤－1}＝B ，∵A B ，∴p 是q 的充分不必要条件. 【答案】 A2.“sin A ＞cos B ”是△ABC 为锐角三角形的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 当A ＝120°，B ＝45°时，△ABC 为钝角三角形；当△ABC 是锐角三角形时，A ＋B ＞90°，A ＞90°－B ，又0°＜A,90°－B ＜90°，则sin A ＞sin (90°－B )＝cos B .【答案】 B3.已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( ) A.x ＝－12 B.x ＝－1 C.x ＝5D.x ＝0【解析】 a ⊥b ⇔2(x －1)＋2＝0⇔x ＝0. 【答案】 D4.已知p ：x 2－x －2＜0，q ：x ∈(－1，m )且p 是q 的充分不必要事件，则实数m 的取值范围是( )A.m ＞2B.m ≥2C.－1＜m ＜2D.－1＜m ≤2【解析】 由x 2－x －2＜0，得x ∈(－1,2). ∵p 是q 的充分不必要条件，∴(－1,2) (－1，m )，∴m ＞2.故选A.【答案】 A5.若p ：x (x －3)＜0是q ：2x －3＜m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________.【导学号：32550006】【解析】 p ：x (x －3)＜0则0＜x ＜3，q ：2x －3＜m 则x ＜m ＋32，由题意知p ⇒q ，q p 则m ＋32≥3解得m ≥3.【答案】 [3，＋∞)我还有这些不足：(1)________________________________________________ (2)________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________ (2)________________________________________________。

2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2教师用书：第2

§1 变化的快慢与变化率1.了解函数的平均变化率和瞬时变化率的定义，会求简单函数的平均变化率.(重点)2.知道用平均变化率“逼近”瞬时变化率，知道变化率是描述函数变化快慢的量.(重点、难点)教材整理1 函数的平均变化率阅读教材P 25～P 27“练习1”以上部分，完成下列问题.1.定义：对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.通常我们把自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.2.作用：平均变化率用来刻画函数值在区间上变化的快慢.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由Δx ＝x 2－x 1，知Δx 可以为0.( )(2)Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零.( )(3)对山坡的上、下两点A ，B 中，Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可以近似刻画弯曲山路的陡峭程度.( )【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理2 函数瞬时变化率阅读教材P 27“练习1”以下至P 30“练习2”以上部分，完成下列问题.1.定义：对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，若设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0), 则函数的平均变化率是Δy Δx ＝f （x 1）－f （x 0）x 1－x 0＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率. 2.作用：瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.一质点运动规律是s ＝t 2＋3(s 的单位为m ，t 的单位为s)，则在t ＝1 s 时的瞬时速度估计是________m/s.【解析】 Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝(1＋Δt )2＋3－(12＋3)＝2Δt ＋(Δt )2，∴ΔsΔt＝2Δt ＋（Δt ）2Δt ＝2＋Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于2.【答案】 2预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑：( ) A.0.40 B.0.41 C.0.43D.0.44(2)已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快.【精彩点拨】 (1)由Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x ) ＝f (2＋0.1)－f (2)可得.(2)求Δx ＝x 2－x 1→求Δy ＝f （x 2）－f （x 1）→计算ΔyΔx【自主解答】 (1)Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41. 【答案】 B(2)自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为 f （2）－f （1）2－1＝2＋12－（1＋1）1＝12；自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为 f （5）－f （3）5－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋132＝1415.因为12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1x在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快.1.求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1. 第二步，求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1). 第三步，求平均变化率Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.2.求平均变化率的一个关注点 求点x 0附近的平均变化率，可用f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx的形式.1.函数y ＝x 2＋1在上的平均变化率是( )【导学号：94210031】A.2B.2xC.2＋ΔxD.2＋(Δx )2【解析】 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋Δx 2， ∴Δy Δx ＝2Δx ＋Δx 2Δx ＝2＋Δx ，故选C. 【答案】 C12两人的速度哪个快？图2­1­1【精彩点拨】比较相同的时间Δt内，两人走过的路程的平均变化率的大小即可得出结果.【自主解答】在t0处，s1(t0)＝s2(t0)，但s1(t0－Δt)>s2(t0－Δt)，故s1（t0）－s1（t0－Δt）Δt<s2（t0）－s2（t0－Δt）Δt.所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如题图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快.1.本题中比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过比较平均变化率的大小关系得出结论.2.平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢.2.某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s(单位：个)与时间t(单位：天)的关系如图2­1­2所示，则接近t0天时，下列结论中正确的是( )图2­1­2A.甲的日生产量大于乙的日生产量B.甲的日生产量小于乙的日生产量C.甲的日生产量等于乙的日生产量D.无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小【解析】由平均变化率的几何意义可知，当接近于t0时，曲线乙割线的斜率大于曲线甲割线的斜率，故乙的日产量大于甲的日产量.【答案】 B探究1 h (t )＝－4.9t2＋6.5t ＋10，求运动员在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，6549时间内的平均速度为多少？ 【提示】 易知h ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＝h (0)，v －＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549－h （0）6549－0＝0.探究2 物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？【提示】 不能.如高台跳水运动员从起跳高度到最高点后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态.探究3 如何描述物体在某一时刻的运动状态？【提示】 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态.要求物体在t 0时刻的瞬时速度，设运动方程为s ＝s (t )，可先求物体在(t 0，t 0＋Δt )内的平均速度Δs Δt ＝s （t 0＋Δt ）－s （t 0）Δt ，然后Δt 趋于0，得到物体在t 0时刻的瞬时速度.一辆汽车按规律s ＝3t 2＋1做直线运动，估计汽车在t ＝3 s 时的瞬时速度.(时间单位：s ；位移单位：m)【精彩点拨】 先求时间从3到3＋Δt 时的平均速度，再由Δt 趋于0求得瞬时速度. 【自主解答】 当时间从3变到3＋Δt 时，v －＝s （3＋Δt ）－s （3）Δt ＝3（3＋Δt ）2＋1－（3×32＋1）Δt ＝3Δt ＋18，当Δt 趋于0时，v －趋于常数18.∴这辆汽车在t ＝3 s 时的瞬时速度为18 m/s.求函数f (x )在点x ＝x 0处的瞬时变化率的步骤： (1)求Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)计算ΔyΔx ，并化简，直到当Δx ＝0时有意义为止；(3)将Δx ＝0代入化简后的ΔyΔx即得瞬时变化率.3.求函数y ＝f (x )＝3x 2＋x 在点x ＝1处的瞬时变化率.【导学号：94210032】【解】 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝3(1＋Δx )2＋(1＋Δx )－(3＋1)＝7Δx ＋3(Δx )2. ∴Δy Δx ＝7Δx ＋3（Δx ）2Δx＝7＋3Δx . ∴当Δx 趋于0时，ΔyΔx ＝7＋3Δx 趋于7＋3×0＝7.∴函数y ＝3x 2＋x 在点x ＝1处的瞬时变化率为7.1.在曲线y ＝x 2＋1的图像上取一点(1，2)及附近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则Δy Δx 为( )A.Δx ＋1Δx ＋2B.Δx －1Δx －2C.Δx ＋2D.2＋Δx －1Δx【解析】 Δy Δx ＝（1＋Δx ）2＋1－2Δx ＝2＋Δx ，故选C.【答案】 C2.一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在一段时间内相应的平均速度为( ) A.3Δt ＋6 B.－3Δt ＋6 C.3Δt －6D.－3Δt －6【解析】 Δs Δt ＝5－3（1＋Δt ）2－（5－3）Δt ＝－6－3Δt .【答案】 D3.已知函数y ＝2x，当x 由2变为1.5时，函数的改变量Δy ＝________.【导学号：94210033】【解析】 Δy ＝21.5－22＝13.【答案】 134.设某产品的总成本函数为C (x )＝1 100＋x 21 200，其中x 为产量数，生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为________.【解析】 ΔC Δx ＝C （1 000）－C （900）1 000－900＝1912. 【答案】19125.在F1赛车中，赛车位移s 与比赛时间t 存在函数关系s ＝10t ＋5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)，求：(1)t ＝20，Δt ＝0.1时Δs 与ΔsΔt ；(2)t ＝20时的瞬时速度.【解】 (1)Δs ＝s (20＋Δt )－s (20)＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－10×20－5×202＝1＋20＋5×0.01＝21.05(m)， Δs Δt ＝21.050.1＝210.5(m/s). (2)∵Δs Δt＝10（20＋Δt ）＋5（20＋Δt ）2－10×20－5×202Δt＝5Δt ＋210，当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于210，所以在t ＝20时的瞬时速度为210 m/s.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1)(2)。

2017-2018学年高中数学人教A版选修2-1教师用书：第1章

1.1 命题及其关系1.1.1 命题1.了解命题的概念.(难点)2.理解命题的构成，并能指出此类命题的条件和结论.(重点)3.能判断一些简单命题的真假.(难点)教材整理1 命题的概念阅读教材P2“例1”以上部分，完成下列问题.1.定义：用语言、符号或式子表达的，可以________的陈述句.【答案】判断真假2.分类：(1)真命题：判断为________的语句；(2)假命题：判断为________的语句.【答案】(1)真(2)假判断下列语句是命题的是________.(1)求证3是无理数；(2)x2＋2x＋1≥0(x∈R)；(3)你是高二学生吗？(4)并非所有的人都喜欢苹果；(5)一个正整数不是质数就是合数.【解析】判断一个语句是否为命题，关键符合两点：①陈述句，②能判断真假. 【答案】(2)(4)(5)教材整理2 命题的结构阅读教材P3，完成下列问题.命题的结构形式是“________”，其中______是命题的条件，______是命题的结论.【答案】若p，则q p q1.命题①若a>b，则a2>b2是________命题；命题②若x>－3，则x2＋x－6≤0是________命题(填“真”或“假”).【答案】假假2.指出下列命题中的条件p和结论q：(1)若x<0，则x2<0；(2)如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数.【解】(1)条件p：x<0，结论q：x2<0.(2)条件p：一个函数的图象是一条直线，结论q：这个函数为一次函数.①一个数不是正数就是负数；②0是自然数吗？③22 016是一个很大的数；④若x>2，则x2－3x＋2>0；⑤作△ABC≌△A′B′C′.【导学号：37792000】【精彩点拨】判断语句是否为命题，要看是否符合两条：(1)是否为陈述句.(2)能否判断真假.【自主解答】②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“很大”无法说明到底多大，不能判断真假，不是命题；⑤是祈使句，不是命题；①是命题，为假命题，因为0既不是正数，也不是负数；④是命题，为真命题.【答案】①④判断语句是否为命题的策略命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题.1.判断下列语句是不是命题，并说明理由. (1)函数f (x )＝3x(x ∈R )是指数函数； (2)x 2－3x ＋2＝0；(3)函数y ＝cos x 是周期函数吗？ (4)集合{a ，b ，c }有3个子集.【解】 (1)是命题，满足指数函数的定义，为真命题. (2)不是命题，不能判断真假.(3)不是命题，是疑问句，不能判断真假.(4)是命题.因为{a ，b ，c }有23＝8个子集，所以集合{a ，b ，c }有3个子集为假命题.a ＞b ＞0，c＞d ＞0，则ac ＞bd ；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy ＝0，则x 、y 中至少有一个为0.其中是真命题的是________.【精彩点拨】 命题――――――――→严格的逻辑推理真命题――――――→恰当的反例假命题【自主解答】 ①中Δ＝4－4(－k )＝4＋4k ＞0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题.【答案】 ①②④1.由命题的概念可知，一个命题要么是真的，要么是假的，不存在模棱两可的情况.2.如果要判断一个命题为真命题，需要依据条件进行严格的推理论证，而要判断一个命题为假命题，只要举出一个反例即可.2.判断下列命题的真假：(1)已知a ，b ，c ，d ∈R ，若a ≠c ，b ≠d ，则a ＋b ≠c ＋d ； (2)若x ∈N ，则x 3＞x 2成立；【导学号：37792001】(3)若m ＞1，则方程x 2－2x ＋m ＝0无实数根； (4)存在一个三角形没有外接圆.【解】(1)假命题.反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2.(2)假命题.反例：当x＝0时，x3＞x2不成立.(3)真命题.∵m＞1⇒Δ＝4－4m＜0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根.(4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆.探究.(1)等边三角形的三个内角相等；(2)当a＞1时，函数y＝a x是增函数；(3)已知x，y是正整数，当y－x＝2时，有x＝2，y＝4.【提示】(1)若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等.其中条件p：一个三角形是等边三角形，结论q：它的三个内角相等.(2)若a＞1，则函数y＝a x是增函数.其中条件p：a＞1，结论q：函数y＝a x是增函数.(3)已知x，y是正整数，若y－x＝2，则x＝2，y＝4.其中条件p：y－x＝2，结论q：x＝2，y＝4.将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假.(1)能被3整除的数一定能被6整除；(2)到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.【精彩点拨】(1)上述命题的条件与结论分别是什么？(2)怎样用“若p，则q”的形式改写命题？【自主解答】(1)命题改写成“若p，则q”的形式为：若一个数能被3整除，则这个数一定能被6整除.它是假命题，如9能被3整除，但不能被6整除.(2)命题改写成“若p，则q”的形式为：若一个点到已知线段两端点的距离相等，则这个点在这条线段的垂直平分线上.由平面几何知识知它是真命题.1.若一个命题有大前提，则在将其改写成“若p，则q”的形式时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中，如探究(3).2.“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，首先要把这个命题补充完整，然后确定命题的条件和结论.3.把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假. (1)当1a >1b时，a <b ；(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行； (3)同弧所对的圆周角不相等. 【解】 (1)若1a >1b，则a <b ，假命题；(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行，真命题； (3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等，假命题.1.命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( ) A.这个四边形的对角线互相平分 B.这个四边形的对角线互相垂直C.这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D.这个四边形是平行四边形【解析】 把命题改写成“若p ，则q ”的形式后可知C 正确.故选C. 【答案】 C2.若M 、N 是两个集合，则下列命题中的真命题是( ) A.如果M ⊆N ，那么M ∩N ＝M B.如果M ∩N ＝N ，那么M ⊆N C.如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝M D.如果M ∪N ＝N ，那么N ⊆M【解析】 由集合的包含关系知道，若M ⊆N ，则M ∩N ＝M . 【答案】 A3.“常数列是等差数列”是________命题，“常数列是等比数列”是________命题.(填“真”、“假”)【解析】 “常数列是等差数列”是真命题，“常数列是等比数列”是假命题. 【答案】 真 假4.将命题“a ＞0时，函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大”写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假.【导学号：37792002】【解】 “若p ，则q ”的形式：若a ＞0，则函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大.∵a＞0，∴函数y＝ax＋b为增函数，故该命题为真命题.。

2017-2018学年高中数学北师大版 必修二教师用书：第1

6.2 垂直关系的性质1.理解直线与平面、平面与平面垂直的性质定理.(重点)2.理解并掌握空间“平行”与“垂直”之间的相互转化.(难点、易错点)3.能灵活地应用线面与面面垂直的性质定理证明有关问题.(难点)[基础·初探]教材整理1直线与平面垂直的性质定理阅读教材P39“练习2”以下至P40“例3”以上部分，完成下列问题.1.文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.2.符号语言：l⊥α，m⊥α⇒l∥m.3.图形语言：如图1-6-18所示.图1-6-184.作用：证明两直线平行.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.相交或平行【解析】圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正确.【答案】 B教材整理2平面与平面垂直的性质定理阅读教材P40“例3”以下至P41“例4”以上部分，完成下列问题.1.文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.2.符号语言：α⊥β，α∩β＝m，lβ，l⊥m⇒l⊥α.3.图形语言：如图1-6-19所示.图1-6-194.作用：证明直线与平面垂直.若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则()A.直线a必垂直于平面βB.直线b必垂直于平面αC.直线a不一定垂直于平面βD.过a的平面与过b的平面垂直【解析】α⊥β，aα，bβ，a⊥b，当α∩β＝a时，b⊥α；当α∩β＝b时，a⊥β，其他情形则未必有b⊥α或a⊥β，所以选项A，B，D都错误，故选C.【答案】 C[小组合作型]如图1111AC，A1D 都垂直相交.求证：EF∥BD1.图1-6-20【精彩点拨】连接AB1与CB1，证明EF，BD1都与平面AB1C垂直.，B1C，BD，B1D1，如图所示.【自主解答】连接AB∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点；(2)利用平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.[再练一题]1.如图1-6-21，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线aβ，a⊥AB.求证：a∥l.图1-6-21【证明】因为EA⊥α，α∩β＝l，即lα，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，aβ，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB，因此，a∥l.如图中，AB＝2，AC ＝BC＝ 2.等边三角形ADB以AB为轴转动.图1-6-22(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.【导学号：39292040】【精彩点拨】(1)利用面面垂直构造直角三角形，使所求线段为其一边，通过解三角形求解.(2)分D是否在平面ABC内进行讨论.【自主解答】(1)如图，取AB的中点E，连接DE，CE.因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.由已知可得DE＝3，EC＝1.在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2.(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.又CD平面CDE，所以AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.1.面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法.所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可利用面面垂直证明线面垂直.2.证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线面垂直的判定定理，另一种是利用面面垂直的性质定理.应用后者时要注意：(1)两个平面垂直；(2)直线在一个平面内；(3)直线垂直于交线.以上三点缺一不可.[再练一题]2.如图1-6-23，四棱锥V-ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.图1-6-23求证：平面VBC⊥平面VAC.【证明】∵平面VAB⊥平面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB，BC平面ABCD，∴BC⊥平面VAB，VA平面VAB，∴BC⊥VA，又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，∴VA⊥平面VBC，∵VA平面VAC，∴平面VBC⊥平面VAC.[探究共研型]探究1ABCD，BK⊥SC 于点K，连接DK.判断平面SBC与平面KBD是否垂直，并说明理由.图1-6-24【提示】垂直.连接AC.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BD，∴BD⊥平面SAC，∴SC⊥BD.又∵SC⊥BK，BK∩BD＝B，∴SC⊥平面KBD.又SC平面SBC，∴平面SBC⊥平面KBD.探究2在上述问题中，判断平面SBC与平面SDC是否垂直，并说明理由.【提示】不垂直.假设平面SBC⊥平面SDC.∵BK⊥SC，∴BK⊥平面SDC.∵DC平面SDC，∴BK⊥DC，又AB∥CD，∴BK⊥AB.∵ABCD是正方形，AB⊥BC，∴AB⊥平面SBC，又SB平面SBC，∴AB⊥SB，这与∠SBA是Rt△SAB的一个锐角矛盾，故假设不成立.∴原结论成立，即平面SBC不垂直于平面SDC.如图1-6-25所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.图1-6-25(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边的中点，能否在PC棱上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论.【精彩点拨】解答本题要首先从菱形、正三角形中找到其中所蕴含的垂直关系，联系所学的判定定理与性质定理，得出结论.【自主解答】(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，∵△P AD为正三角形，∴PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD.又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.∵PB平面PGB，∴AD⊥PB.(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.证明：取PC的中点F，连接DE，EF，DF，在△PBC中，FE∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE平面DEF，DE平面DEF，EF∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PGB.由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.立体几何中的垂直关系有三类：线线垂直、线面垂直、面面垂直.处理垂直问题时，要注意三者之间的内在联系.转化思想是立体几何中解决垂直问题的重要思想.垂直关系的转化如下：[再练一题]3.如图1-6-26，在三棱锥P-ABC中，E，F分别为AC，BC的中点.图1-6-26(1)求证：EF∥平面P AB；(2)若平面P AC⊥平面ABC，且P A＝PC，∠ABC＝90°，求证：平面PEF⊥平面PBC.【证明】(1)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.又EF⊆/平面P AB，AB平面P AB，∴EF∥平面P AB.(2)∵P A＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.又∵平面P AC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.又∵F为BC的中点，∴EF∥AB.∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.又∵BC平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEF.1.已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n与平面α的关系是()A.n∥αB.n∥α或nαC.nα或n与α不平行D.nα【解析】∵lα，且l与n异面，∴n⊆/α.又∵m⊥α，n⊥m，∴n∥α.【答案】 A2.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈l，给出下面四个结论：①过P与l垂直的直线在α内；②过P与β垂直的直线在α内；③过P与l垂直的直线必与α垂直；④过P与β垂直的平面必与l垂直.其中正确的命题是()A.②B.③C.①④D.②③【解析】因为α⊥β，α∩β＝l，P∈l，所以过点P作β的垂直直线必在平面α内且和l垂直，①③④的情况则可能成立，也可能不成立.【答案】 A3.已知a，b为直线，α，β为平面.在下列四个结论中，正确的是________.①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若α∥b，β∥b，则α∥β.【解析】由“垂直于同一平面的两直线平行”知①正确；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②错；由“垂直于同一直线的两平面平行”知③正确；④错.【答案】①③4.如图1-6-27，在三棱锥P-ABC内，侧面P AC⊥底面ABC，且∠P AC＝90°，P A＝1，AB＝2，则PB＝________.图1-6-27【解析】∵侧面P AC⊥底面ABC，交线为AC，∠P AC＝90°(即P A⊥AC)，∴P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB，∴PB＝P A2＋AB2＝1＋4＝ 5.【答案】 55.如图1-6-28，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE ＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC中点，求证：平面DMN∥平面ABC.【导学号：39292041】图1-6-28【证明】∵M，N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，AC平面ABC，MN⊆/平面ABC，∴MN∥平面ABC，∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形，∥BD，∴四边形BCND为矩形，∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC═∴DN∥BC，又∵DN⊆/平面ABC，BC平面ABC，∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，且MN、DN平面DMN，∴平面DMN∥平面ABC.。

高二数学北师大版选修2-1教师用书第1章 4 辑联结词“且”“或”“非” Word版含答案

§逻辑联结词“且”“或”“非”逻辑联结词“且”逻辑联结词“或”逻辑联结词“非”.通过数学实例，了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.(重点).会判断含逻辑联结词的命题的真假.(难点)教材整理逻辑联结词“且”阅读教材“抽象概括”的部分，完成下列问题.”““用且联结两个命题和，构成一个新命题真且当两个命题和都是命题时，新命题”.真是且命题；在两个命题和之中，只要有一个命题是假命题，新命题“”就是命题.“假”且用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断它们的真假：()既是的倍数，又是的倍数；()＝＋和＝都是单调增函数；()函数＝不仅是奇函数，还是周期函数.【解】()命题“既是的倍数，又是的倍数”可以改写为“是的倍数且是的倍数”，因为“是的倍数”是假命题，所以原命题是假命题. ()命题“＝＋和＝都是单调增函数”可以改写为“＝＋是单调增函数且＝是单调增函数”.因为“＝＋是单调增函数”与“＝是单调增函数”都是真命题，所以原命题是真命题. ()命题“函数＝不仅是奇函数，还是周期函数”可以改写为“函数＝是奇函数且是周期函数”.因为“函数＝是奇函数”与“函数＝是周期函数”都是真命题，所以原命题是真命题.教材整理逻辑联结词“或”阅读教材“抽象概括”的部分，完成下列问题.”或“用联结两个命题和，构成一个新命题“在两个命题和之中，只要有一个命题.或””就是是真命题时，新命题真“或或假命命题；当两个命题和都是假命题时，新命题是”“题.命题“≤”的构成形式是.【解析】≤含逻辑联结词“或”，形式为＜或＝.【答案】＜或＝教材整理逻辑联结词“非”阅读教材“抽象概括”的部分，完成下列问题.，读作对命题加以否定，就得到一个新命题，记作﹁非“命题与这个命题的否定﹁，”.必然一个是真命题，一个是假命题，一个命题的否定的否定仍是.原命题“＞”的否定是.【解析】对＞进行否定为≤.【答案】≤预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：()题.【自主解答】含逻辑联结词“且”是“且”形式命题.【答案】且且()命题“≥”中使用的逻辑联结词是，所以此命题是形式命题.【自主解答】“≥”即“＞或＝”，含逻辑联结词“或”是“或”形式。

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§2充分条件与必要条件2.1 充分条件与必要条件2.2 充分条件与判定定理2.3 必要条件与性质定理1.理解充分条件、必要条件的概念.(重点)2.掌握充分条件、必要条件的判断.(难点)阅读教材P6～P7的部分，完成下列问题.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若p是q的必要条件，则q是p的充分条件.( )(2)若p是q的充分条件，则﹁p是﹁q的充分条件.( )(3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.( )【解析】(1)若p是q的必要条件，则p⇐q，∴q是p的充分条件，正确.(2)p⇒q﹁p⇒﹁q，错误.(3)两角不相等⇒两角不是对顶角，充分条件.【答案】(1)√(2)×(3)×2.“a＞1”是“a＞－1”的( )A.充分条件B.必要条件C.既不充分也不必要条件D.以上都不对【解析】a＞1⇒a＞－1，∴a＞1是a＞－1的充分条件.【答案】 A3.若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的________条件.【解析】∵p⇒q，q⇒r，∴p⇒r.【答案】充分4.p：a＜1，q：|a|＜1，则p是q的________条件.【解析】∵a≤|a|＜1，∴|a|＜1⇒a＜1，∴p是q的必要条件.【答案】必要预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：_______________________________________________________(1)下列各题中，p是q的充分条件的是________.①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；②p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；③p：m＜－2，q：方程x2－x－m＝0无实根.【自主解答】①∵(x－2)(x－3)＝0，∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.∴p不是q的充分条件.②∵两个三角形相似，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件.③∵m＜－2，∴12＋4m＜0，∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件.【答案】 ③(2)“a ＞b ，b ＞2”是“a ＋b ＞4，ab ＞4”的________条件. 【自主解答】 由a ＞b ，b ＞2⇒a ＋b ＞4，ab ＞4， ∴是充分条件. 【答案】 充分(3)设命题甲为0＜x ＜5，命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的________条件. 【自主解答】 解不等式|x －2|＜3得－1＜x ＜5， ∵0＜x ＜5⇒－1＜x ＜5， ∴甲是乙的充分条件. 【答案】 充分1.判定p 是q 的充分条件要先分清什么是p ，什么是q ，即转化成p ⇒q 问题.2.除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p 构成的集合为A ，q 构成的集合为B ，A ⊆B ，则p 是q 的充分条件.在以下各题中，分析p 与q 的关系：(1)p ：x ＞2且y ＞3，q ：x ＋y ＞5； (2)p ：y ＝x 2，q ：函数是偶函数；(3)p ：一个四边形的四个角都相等，q ：四边形是正方形. 【精彩点拨】 要判断p 与q 的关系，主要看是p ⇒q ，还是q ⇒p . 【自主解答】 (1)由于p ⇒q ，故p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件. (2)由于p ⇒q ，故p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件. (3)由于q ⇒p ，故q 是p 的充分条件，p 是q 的必要条件.1.判断p 是q 的什么条件，主要判断若p 成立时，能否推出q 成立，反过来，若q 成立时，能否推出p 成立；若p ⇒q 为真，则p 是q 的充分条件，若q ⇒p 为真，则p 是q 的必要条件.2.也可利用集合的关系判断，如果条件甲“x ∈A ”.条件乙“x ∈B ”.若A ⊇B ，则甲是乙的必要条件.1.分析下列各项中p 与q 的关系. (1)p ：α＝π3，q ：cos α＝12；(2)p ：(x ＋1)(x －2)＝0，q ：x ＋1＝0.【解】 (1)由于p ⇒q ，故p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件. (2)由于q ⇒p ，故q 是p 的充分条件，p 是q 的必要条件.是否存在实数p ，使“4x ＋p ＜0”是“x 2－x －2＞0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；若不存在，请说明理由.【导学号：32550003】【精彩点拨】 分别求出不等式的解集A ，B ，再根据条件判断A 与B 的关系即可. 【自主解答】 由x 2－x －2＞0⇒x ＞2或x ＜－1；4x ＋p ＜0⇒x ＜－p4，当－p 4≤－1，即p ≥4时，x ＜－p4≤－1⇒x ＜－1⇒x 2－x －2＞0，故当p ≥4时，4x ＋p ＜0是x 2－x －2＞0的充分条件.1.涉及求参数的取值范围与充分必要条件有关的问题，常借助集合的观点来处理.2.此类题的步骤为首先根据条件的充分性和必要性找到条件构成的集合之间的关系，然后构建满足条件的不等式组，再进行求解.2.将本例中的“充分条件”改为“必要条件”，其他不变.【解】 由x 2－x －2＞0/⇒4x ＋p ＜0，所以不存在实数p 使4x ＋p ＜0是x 2－x －2＞0的必要条件.探究1 【提示】 充分、必要条件都具有传递性，具体如下：若p 是q 的充分条件，q 是s 的充分条件，即p ⇒q ，q ⇒s ，则有p ⇒s ，即p 是s 的充分条件；若p 是q 的必要条件，q 是s 的必要条件，即q ⇒p ，s ⇒q ，则有s ⇒p ，即p 是s 的必要条件.探究2 从集合的角度如何判断充分条件、必要条件？【提示】 设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，若x 具有性质p ，则x ∈A ；若x 具有性质q ，则x ∈B .若A ⊆B ，就是说x 具有性质p ，则x 必具有性质q ，即p ⇒q ，p 是q 的充分条件.同理，若B ⊆A ，即q ⇒p ，p 是q 的必要条件.从集合的角度判断条件，可加深我们对充分条件与必要条件的理解. 探究3 在寻求条件时，要注意什么？【提示】 在判断充分条件、必要条件时，要特别注意哪一个是“条件”，哪一个是“结论”，否则将犯“张冠李戴”的错误.需注意：若p 是q 的……条件，则p 是条件，q 是结论；若p 的……条件是q ，则p 是结论，q 是条件.“0＜x ＜5”的一个必要条件是( )A.x ＞5B.x 2－5x ＞0 C.0＜x ＜4D.x ＜5【精彩点拨】 “p 的必要条件是q ”分不清哪是条件哪是结论，易出现q ⇒p 的错误情况.【自主解答】 ∵0＜x ＜5⇒x ＜5， ∴x ＜5是0＜x ＜5的一个必要条件.故选D. 【答案】 D3.使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分条件是( ) A.x ＜0 B.x ≥0 C.x ∈{－1,3,5} D.x ≤－12或x ≥2【解析】 因x ∈{－1,3,5}⇒2x 2－5x －3≥0， 故选C. 【答案】 C1.已知：p ：x ＞1；q ：x ＞2；则p 是q 的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.即不充分也不必要条件D.以上答案均不正确【解析】 ∵x ＞2⇒x ＞1，∴p ⇐q . ∴p 是q 的必要条件. 【答案】 B2.下列p 是q 的必要条件的是( ) A.p ：a ＝1，q ：|a |＝1 B.p ：a ＜1，q ：|a |＜1 C.p ：a ＜b ，q ：a ＜b ＋1 D.p ：a ＞b ，q ：a ＞b －1 【解析】 ∵|a |＜1，a ≤|a |， ∴a ＜1，即|a |＜1⇒a ＜1. 【答案】 B3.“tan α＝－1”是“α＝3π4”的( ) A.充分条件B.必要条件C.既不充分也不必要条件D.以上都不对 【解析】 因α＝3π4⇒tan α＝－1，故选B.【答案】 B4.已知p ：x 2－x ＜0，那么命题p 的一个充分条件是( )A.0＜x ＜2B.－1＜x ＜1C.12＜x ＜23D.12＜x ＜2 【解析】 ∵12＜x ＜23⇒x 2－x ＜0，∴p 的充分条件是12＜x ＜23.【答案】 C5.p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y ，则p 是q 的________条件. 【解析】 ∵x ＝y ⇒|x |＝|y |，即q ⇒p ， ∴p 是q 的必要条件. 【答案】 必要我还有这些不足：(1)________________________________________________(2)________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________(2)________________________________________________。

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