细致方能入微——一道不等式试题的微探究
导数题型五-利用导数证明不等式
导数习题题型分类精选题型五利用导数证明不等式（学生用）不等式的证明问题是中学数学教学的一个难点,传统证明不等式的方法技巧性强,多数学生不易想到,并且各类不等式的证明没有通性通法.随着新教材中引入导数,这为我们处理不等式的证明问题又提供了一条新的途径,并且在近年高考题中使用导数证明不等式也时有出现,但现行教材对这一问题没有展开研究,使得学生对这一简便方法并不了解.利用导数证明不等式思路清晰,方法简捷,操作性强,易被学生掌握。
下面介绍利用单调性、极值、最值证明不等式的基本思路，并通过构造辅助函数，证明一些简单的不等式。
通过作辅助函数并对辅助函数求导来证明不等的的方法对相当广泛的一类不等式是适用的。
用此方法证明f(x)≧g(x)(a ≦x ≦b)的一般步骤是：1.作辅助函数Ｆ（x ）=f(x)-g(x),原不等式f(x)≧g(x)(a ≦x ≦b)归结为：Ｆ（x ）≧0(a ≦x ≦b),这等价于Ｆ(x)在［a,b ］上的最小值大于等于0.2.对Ｆ（x ）求导，确定F ＇(x)在所考虑的区间上的符号，从而确定Ｆ(x)的增减性、极值、最值等性质（主要是单调性），如象例３F ＇(x)的符号直接确定不了，这时一般需计算Ｆ＇＇（x ）,直到符号能够确定为止．注意：作辅助函数Ｆ(x)不同，确定F ＇(x)符号难易程度可能不同，所以作辅助函数要不拘一格，可对原题作适当变更．不同辅助函数构造一般来源对原不等式的不同同解变形． 一般来说:辅助函数构造方法主要有下面两种:(1) 由欲证形式构造“形似”函数。
例如：)1ln(22x x x +<-构造出 ())1ln(22x x x x g +--=(2) 对含两个变量的不等式，由欲证形式做恒等变形，变成初等函数四则运算的形式，再将其中一个变量改为x ，移项使等式一端为0，则另一端即为所求作的辅助函数F （x ）例如：b a ba b a b a ≤++)2(两边可取对数，变为求证：2ln)(ln ln ba b a b b a a ++≥+ 令=)(x f )(2ln)(ln ln a x xa x a x x a a ≥++-+ 一．构造形似函数型1．对证明形如f(x)≧g(x)(a ≦x ≦b)的不等式构造形如Ｆ（x ）=f(x)-g(x)的函数型并通过一阶求导达到证明目的的不等式。
一道预赛题解法的探究--例谈“小题大做”
贝 ０ Ｘ ＋ｚ ＝ ，Ｘ ＋ ｚ 一 ＝０，
Ｙ ・ Ｙ
可 看作 是直 角 坐标 系 ０ 一 Ｘ Ｚ 下 的一 条直线 方 程 ． 因为 方程 ｘ ＋ ｚ ＝１ 一 Ｙ 和 方程 ＋ｚ 一 ：０ 组 成
Ｙ
２ （ １ ＿ ｙ ２ ） ＜２ （
） ｚ ： １
∑（ ＋ ２ １ － Ｉ ， ） 的 最大 值为 ．
１ ＝１ ， ≠
同理得Ｙ ≥ ３ ｙ ￣ ３ １ ２ 一 ２ ４；ｚ ３ ｚ ￣ ３ １ ２ 一 ２ ４．
三式相力 Ⅱ 得 ＋ Ｙ ＋ ｚ ≥ ３ ￣ ３ １ ２ （ ＋ Ｙ ＋ ｚ ） 一 ７ ２ ，
当且仅当 ＝Ｙ ＝ ｚ ＝ ｌ ２，不等式取等号 ．
即 当且 仅 当 ａ ＝ｂ＝ｃ ＝２时不等 式取 等号 ，
所 以 的最大 值 为 ３ ￣ ３ ／ １ ２．
由 琴生 不等 式， 得 ＝ ∑ｆ （ ａ ＋ ２ 兀 ， ）
Ｊ ＝ｌ ｉ ． ｋ ≠ｌ
从 以上 的解 法 中 ，不 能将 这 一竞赛 题 作 出推 广 ．
视 角下 给 出这 道 题 的多种 解法 ，以飨读 者 ． ２题 目
在 平 时 的学 习 中 ，如 果 遇 到填 空 题 等 小题 时 ，
调动所学知识 ，认真审视小题 ，精彩解法就会像雨 后春 笋一 样 涌现 出来 ．本 文把 ２ ０ １ ２年全 国高 中数 学 联赛甘肃预赛试卷填空题第 ８ 题“ 小题大做” ， 在不同
９ ４
福建中学数学
２ ０ １ ４ 年第 １ 、 ２ 期
三元 均值 不 等式处 理 ．
解法 ５注意到等号成立的条件配上数字，
命题２已 知 ＞ ０ 且∑ａ ， ＝ Ａ ， ０ ≤ ｍ ｌ ， 则Ｓ ＝
细品方知味 深研便得法——高考试题中数列和不等式的定积分证明赏析
＝ （ ２ ｘ ］ ５ － － ４ ｋ ） ２
．
．
＞０且 ≠１．
正解 由 △＞０ 得一 ４ ＜ｋ＜０；
・ ．
．
［ ２ 】 王后雄 ．高 考完 全解 读一王 后雄 考案 （ 数学 ） ．中 国青 年 出版社 ，２ ０ １ ２
＝
５ ＜后＜０ ） ，
１ ６
解
５ （ １ ）略离心率为 — － ４
＝ ＿ ＿
ｊ
．
√ ５ ＋ １ ） ５ （ ＋４
“
（ ２ ） 由 椭 圆 的 定 义 可 得 ： ６ ： 拿 ： ２ ，
． ） Ｊ
令Ｖ ＝
．
一
１ ０， 一
，
ａ ＝ ３，故点 的坐标 为 （ ４ ｇ ， ０ ） ，则 圆的方 程为
‘
“ 世上无难事 ， 只怕有心人” ， 只要我们做教学的 有 心 人 ，就能 帮 助 学 生长 出慧 眼 ，明辨 是非 ，告 别 偷换 ，真 正成 为数 学学 习的主 人 ！
参考 文献
［ １ 】 单蝉 ．普通 高 中课程 标准 实验教 科书 数学 （ 选修 ２ —３ ） ．江苏教 育 出版 社 ，２ ０ ０ ９
梯形用相应 的小矩形 （ 或梯形）近似代替 ，把这些 小矩形 （ 或梯 形 ）面 积累 加 （ 求和 ）起 来 ，就 得 到 曲边 梯 形 的一 个近 似值 ，当分 割无 限变 细 时 ，这 个 近 似值 无 限趋 近于 所 要 求 的 曲边 梯 形 的面 积 ．而 数 列是 自变量取正整数集的一特殊 函数 ．若对数列和 不等式的条件、结构做仔细的观察 ，深入 的剖析 ， 联想到定积分定义 ，结合 函数性质 ，借助 图形，数 列和 不等 式 的证 明便得 心应 手 ，明 了顺 畅 ．
浙江省温州市龙湾中学2010年优秀学生小论文集之九
由一道不等式题谈数学思维训练高一（3)王乐洁、朱伊琳指导老师：南建朋一、说背景中学数学的教育的目的不仅仅是传授给我们学生多少的数学知识，更重要的是培养我们的数学学习能力，尤其是培养我们解题时灵活的思维及良好的心态。
除了课堂中的例题，更大更广阔的思维舞台在课外的解题中。
事实上，每一到题都是培养我们良好的思维品质的好机会，我们不仅要在教师的引导下做好解题训练,更要经常进行自主的思维训练。
二、说来源已知a,b为正实数,三、论题目本题是浙江省新教材配套作业本必修5中的第54页第9题第一问。
虽然此题解答起来不是很难，但事实上，通过对本题的解答，反思和引申,确实能对同学们解题时思维的严密性、灵活以及做大时的规范性骑起着较好的培训。
四、说解法：解法（直接做差）解：2=+-===a，b为正实数∴2＞０∴2≥,当且仅当a＝b时,等号成立．∴≥五、说题目本题许多同学看到如此根号的阵势,就无从下手,即使想到解题方法,也由于无法将式子灵活的转化而半路放弃。
六、说题意1.思维的仔细性：因本题涉及到几个根号，运算量在一定程度上会加大，许多同学虽然有正确的思路，但也会在运算中出错，这体现了思维的不仔细，同时也反映出对此类题目的不熟悉。
2．思维的勇敢性：同学们在理解题意的基础上想到将式子转化到+,甚至转化到后，无法继续完成解题，则是思维怯懦的表现,惟恐再转化下去会带来更多的根号，使题目愈加麻烦，这会阻碍同学们进行进一步的思考和探索。
3。
解题的严密性:许多同学们会解出此题，但陈述得十分不严密,必要条件的疏落会导致解题的片面。
例如在转化后对题的进一步解析—-a ，b 为正实数2＞０20≥，当且仅当a ＝b 时，等号成立．∴≥这就是思维不严谨的表现。
七、说新法解法一（平方作差）解:222a b b a =++＝a+b+=22- 22a b b a=++33()a b ab a b ab+-+= 2()()a b a b ab+-= ａ，ｂ为正实数∴2()()a b a bab +-≥０,于是2+≥2〉0，。
高考数学复习备战：最新真题解析—不等式选讲
（3）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即 ，当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立.
（2）法一：利用基本不等式得到 ，再利用不等式的基本性质证明；法二：利用Cauchy不等式证明.
(1)∵ ， ， 都为正整数，且 ．
∴ ，
当且仅当 时“=”成立．
(2)法一：由题意得
①+②+③，得 ，
当且仅当 时“=”成立．
法二：由Cauchy不等式，得 ．
令 ，
则 ．
令 ，则 在 上单调递增．
∴ ，即 ．
(1)当 时， 等价于 ，
该不等式恒成立，所以 ；
当 时， 等价于 ，
解得 ，此时不等式无解；
当 时， 等价于 ，解得 ，所以 ．
综上所述，不等式的解为 ．
(2)由 ，得 ，
当 时， 恒成立，所以 ；
当 时， 恒成立，
因为 ，
当且仅当 时取等号，所以 ．综上所述， 的取值范围是 ．
2．（2022·青海·模拟预测（理））已知函数 ．
当 时， ，解得 ，
故不等式 的解集为 或 ；
(2)由（1）可知：
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故 的最小值为3，即 ，则 ，即
则 ，
当且仅当 时取等号，
故 的最小值为 .
3．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)设 时， 的最小值为M.若正实数a，b，满足 ，求 的最小值.
平实中见方法 细微处蕴思想——浙江省绍兴市中考数学试卷亮点赏析.doc
平实中见方法细微处蕴思想——2016年浙江省绍兴市中考数学试卷亮点赏析绍兴市柯桥区实验中学 xxx摘要：2016年浙江省绍兴市中考数学试题在继续保持前几年中考命题所形成的清新风格的基础上,以创新的手法进行精心设计,与生活结合紧密,创新气息浓郁,考查层次丰富,体现数学的实用价值.尤其在当前严格规范办学行为,切实减轻学生过重学业负担,全面推进素质教育的背景之下, 试题特别重视基础的考查,能力立意，关注过程应用,渗透思想方法. 为学生水平发挥提供了广阔的空间,有利于甄别学生的思维层次和数学素养,具有较高的信度、较好的效度和恰当的区分度.这不仅有利于高一级学校选拔合格的新生,而且对初中数学教学和减轻学生的课业负担都具有良好的导向作用。
关键词：中考创新试卷评析2016年浙江省绍兴市中考数学试题在继承前几年中考命题整体思路的基础上，坚持立足基础，关注过程，渗透思想，突出能力，重视应用，注重创新的命题原则，突出对基础知识，基本技能和基本数学思想方法的考查，关注学生的数学基础知识和能力、数学学习过程和数学应用与创新意识，涌现出大量新颖别致的特色亮点题，试题尽显新课标教学理念，对今后日常教学必将产生深远的影响。
一、创新考查角度，落实“三基”要求数学基础知识和基本技能是学好数学的基石，在不同的环境中灵活运用它们是学好数学的反映，试卷在关注对基础知识和基本技能考查的同时，特别注意让考察方式的多样化和考查角度的新颖性。
例1（第8题）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A．312B．36C．33D．32【评析】此题运用选择题型，巧妙考察尺规作图的同时，进一步考察直角三角形性质和锐角三角函数概念的应用，要求学生在理解题意的基础上作出正确的图形，否者要顺利选出正确答案是有一定难度的，由于结合图形进行考察，这为进行抽象思维提供了方便，在一定程度上降低了考查内容的难度，就考察形式而言，如此设计，考题更具新颖性。
5.看似无法实有法构造函数解汝忧_浅析用导数证明不等式_孙红梅
1 ＞ 2014
2013
1
1
x2 x2 x2 1 + 2 +…+ n 则 1+x1 1+x2 1+xn
∈
∈ ∈ ∈∈ ∈
1 ≥ 1+n
n
1 ＞ 2014
2013
．
评 注 ： 本 例 第 （2 ） 问 中 的 不 等 式 为 幂 指 函 数 型 不 等 式 ， 常常 通 过取 对 数 构 造 函数 ， 然 后通 过 求 导方 法 加 以 证 明 . 第 （3 ） 问 利 用 第 （2） 问 中 的 结 论 发 掘待 证 不等 式 的 结 构 特 征 ， 合 理 变 形 ， 在 已 知 和 求证 之 间 进 行 不 断 探 索 ， 问题 即 可 得 证 . FH
2
2 2 2 n
评 注 ： 本 题 第 （3 ） 问 不 等 式 的 证 明 是 在 前 两 问 的 结 论 下 完 成 的.求 导 是 研 究 函 数 性 质 的 基 本 方 法 ，函 数 的 性 质 是 研 究 不等 式 的重 要 工 具 ， 因 此 ， 根 据 函数的 导 数 确 定 函数的 性 质 及 根 据 函数的 性 质 研 究 不等 式 成 为 命 制 高考导数题的一 种 基 本 思 路 .
% % % % %
%
%
（2 ） 设（ f x ） 的最小值为g （a ） ， 证明-
解题探究 ： 本题是函数 、 导数、 不等式的综合题， 考
查利用导数研究函数的单调性和证明不等式等知识.
证明： （1 ）设 φ （x ）=ln （x +1 ）-
x ， x∈ ［0， +∞ ） ， 则 1+x
φ′（x ）=
评 注 ：本 题 中 对 函数 单 调 性 的 讨 论 、构 造 函数 利 用 导 数方 法 证 明 不等 式 都是 难 点 ，达 到 了对综合能力 的考 查 .
“小题”也能“大作”——对一道中考嗔空题的分析与探究
得， 即③ ， ④都可作为推出 ＡＡ Ｃ是等腰 三角形 的条件． Ｂ
综上所述本题答案应是②③（
・
复习参考 ・
中。教・ （１年 期・ 版 ？ ２０ 第９ 初中 ） ０
过程 中渗透了分类 讨论和反证法 的数 学 思想 １
４ ９
上Ｂ ” Ｃ 的作用 ， 故应在边 Ｂ Ｃ所在的直线上截取．
４ ８
十。擞 ・ （ １年 ９ 初 版 ７ ？ ２０ 第 期・ 中 ） ０
・ 复习参考 ・
“ 题’ 小 ’ 也能 “ 作 ’ 大 ’
一
对 一道 中考嗔 空题 的 分析 与探 究
汪 宗兴
２ ３０ 安徽 省马鞍 山市成 功 中学 ４ ００
今 年， 笔者有幸参与安徽省 马鞍 山市 中考数学 的阅 卷 工作 ， 最后 一道填空题 引起 了我 的注意 ， 我眼前 一 让 亮． 首先这一道题 比较“ ” 因为 以前 没有见过 ， 新 ， 凭直观 感觉后两个结论都能判定该三角形 是等腰 三角形 ； 其次 是仅凭 观察难 以严格证 明， 动手操 作 尝试才 可． 须 笔者 经过研究 发现 ， 小题 目也大有文章 可作 ， 现整理 成文 ， 和 大家分享 ， 不妥之处 ， 同仁批评指正． 请
１ 试 题 与解 法 归纳
１ １ 题 目 ．
Hale Waihona Puke １ ３ 学 生 思 考 ．
选② 、 选②③ 、 选② ④ 的较 多 ， 于①② ， 对 学生 能作 出较准确 的判断 ， 但对于③④ ， 学生举棋 不定 ， 的靠举 有 特例 ， 的靠猜测 ， 的靠论证． 有 有 归纳起来 ， 方法 如下．
这种方法判定 Ａ Ａ Ｂ＝ Ｃ不 仅 简便 ， 且 可以一举两 而
式， 采取延 长补短 、 化曲为直 的 方法 ， 即找 一条 线 段 ， 使 之等 于条件 中两线 段的和 ， 如分别 延长 Ａ Ａ ， Ｂ， Ｃ 使延 长 的线段分别等于 Ｂ Ｃ 但 由于不 能发挥垂 直条件 “ Ｄ Ｄ，Ｄ， Ａ
理在课内,题在课外--2019年高考全国I卷不等式选讲试题的解析和启示
b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24 姨（abc）2 ， 在取等条件一致的情况下，
可得结论. 主要考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，
考查学生对于基本不等式的变形和应用能力， 需要注意的是
在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.
解析 2：
（1）
因为 abc=1，
所以
1 a
+
1 b
+
1 c
=
足题意的点．
责任编辑 徐国坚
广东教育·高中 2019 年第 7·8 期 47
应考方略 数学有数
∴ 2（a2+b2+c2）≥2（ 1 + 1 + 1 ），即： a2+b2+c2≥ 1 + 1 + 1 .
abc
abc
（2） ∵（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）（b+c）（c+a）， 当且
解析 1： （1）∵ abc=1，
∴
1 a
+
1 b
+
1 c
=（
高考数学命题热点名师解密：专题(33)解不等式的方法(理)(含答案)
专题33 解不等式的方法一．【学习目标】1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．结合“三个二次”之间的联系，掌握一元二次不等式的解法．3．熟练掌握分式不等式、含绝对值不等式、指数不等式和对数不等式的解法．二．【知识要点】1．一元一次不等式一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集为：(1)a>0时，b xa >(2)a<0时，bxa <．2．一元二次不等式一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c≤0(a>0)的解集的各种情况如下表一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)求解过程的程序框图如下．三．典例分析（一）分式不等式的解法1．设集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|x＞﹣1}；∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜4}．故选：D．练习1．若函数是奇函数，则使成立的的取值范围是( )A． B． C．D．【答案】D练习2．已知a∈R，不等式的解集为p，且－2∉p，则a的取值范围为( )A．(－3，＋∞) B．(－3,2)C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪[2，＋∞)【答案】D【解析】∵－2∉p，∴<1或－2＋a＝0，解得a≥2或a<－3.点睛：解分式不等式时，一般是把分式不等式转化为整式不等式求解，如果不等号中含有“等号”，但在转化时特别要注意分母不为零，否则就是错误的结论．本题中－2不是题中不等式的解，则就有使分母为零的一种情形，不能遗漏．练习3．已知函数f(x)(x∈R)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集为( )A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B．(－∞，－2)∪(1,2)C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)【答案】D【解析】由f(x)的图象可知，在(－∞，－1)，(1，＋∞)上，f′(x)>0，在(－1,1)上，f′(x)<0.由(x2－2x－3)·f′(x)>0，得或即或，所以不等式的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．练习3．已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围是_______【答案】【解析】作出函数图像可知：当时有三个交点，故实数的取值范围是（三）抽象不等式例3．定义在R 上的函数()f x ，对任意的x R ∈都有且当0x ≥时，，则不等式()0xf x <的解集为__________．【答案】【解析】当0x ≥时，由，得2x >；由，得02x <<.∵，∴函数()f x 为奇函数。
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综上所 述 ， 实数 的取值 范 围为一 １ ≤ｎ ＜ 一÷ 或
９ ［
＜ｏ ， 因为集合 Ａ 中恰有两个整数， 所以Ｉ 一ｚ ｌ ＜３
（ ｚ １ 、 两 根 ） ， 可 得
￣ ／ （ ｚ １ ＋ ２ ） 一 ４ ｘ １ ｏ Ｚ ＂ ２ ＜３ ０ 一 ８ ａ＜ ９ 一１ ＜ｎ ＜９ ，
＜口 ≤９ 。
Ａ
数ｒ ｅ（ ｔ ） 一￡ ＋÷ ＋４ ， ｇ （ ｔ ） 一口 。由题意 可知 ， 集合 Ａ 中
恰有 两个 整数 等价 于 ｍ（ ￡ ） 的 图像 在 ｇ（ ￡ ） 的 图 像 下 方
４ 对称特征 ， 助 力排除
解法 ４ ： 设 函数 ＿ 厂 （ ｚ Ｉ ） 一ｚ 。 一ｎ ｚ ＋２ 口 ， 由题 意可 知
一
、
，
，
，
－ 厂 （ １ ） 一１ ＋ａ ＞Ｏ １ Ａ， 因 为集 合 Ａ 中恰 有 两个 整 数， 结合 图像 可知 ， 集 合 Ａ 中 的两 整数 只能 为 一１ 、 ０ 。 其 余 同上 ； 当８ ＜ａ ＜ ９时 ， 厂 （ ４ ） ＝ ＝ ＝ １ ６ —２ ｎ ＜０ ， 可得 ４ ∈Ａ， ｆ （ ３ ） 一９ 一ａ ＞０ ３ Ａ， 因 为 集 合 Ａ 中恰 有 两个 整 数， 结 合 图像 可 知 ， 集 合 Ａ 中 的两 整 数 只 能 为 ４ 、 ５ 。 其 余 同上 。
～
ｆ 厂 （ ） ＜ ０ ， 譬 ＜ ｎ ≤ ９ 。 两 个 整 数 ， 只 能 是 ４ 、 ５ ， 所 以 ｛ ５ ６ ≥
，
２
Ａ
【 － 厂 （ ３ ） ≥Ｏ
为ｎ ＞＿ 。 兰 ， 令 一２ 一ｔ （ ｔ ＞Ｏ ） ， 则ａ ＞ｔ ＋÷＋４ ， 设函
厶
综上所述 ， 实数 ａ的取值范围为一１ ≤ｎ ＜一÷或
ｒ 厂（ ５） ＜ ０，
ｌ ｎ Ｆ
５ ， 其 余 同上 。
图４
５ 缩小范围 ， 轻松破解
解法 ５ ： 设 函数 厂 （ ｚ ） 一ｚ 一ａ ｘ ＋２ ａ， 由题意 可知 △ ＞０ ｎ 一８ ａ ＞０ ｎ ＞ ８或 口
厂（ ６ ） ≥ ｏ， － ～ ５ － ＜ａ ≤９ 。 Ｉ 【 厂（ ３ ） ≥Ｏ ｕ
１ ， 计 算 可得 ＿ 厂 （ １ ） 一１ ＋ａ ， － 厂 （ 一１ ） 一１ ＋３ 口 ＝ ＞ 厂（ 一１ ）
￣ ０ ｆ（ － １ ）
，
＜厂 （ １ ） ， 从 而 要 使 集 合 Ａ 中恰 有 两 个 整 数 ， 只 能 是
所 以１ 一 １ 、 ｏ ， 所 以 ｌ ／ ｕ ， 一 一 １ ≤ 。 ａ ＜ 一 号 ÷ ； ＿ 厂 （ １ ） ≥０
△＞ ０ ｎ 一８ ｎ ＞０ 口 ＞ ８或 Ⅱ ＜０ 。
一
６ 数形结合 ， 快速解决
解法 ６ ： 设 函数 ｆ （ ｚ ） 一ｚ 一ｎ ｚ ＋２ ａ ， 由题 意可 知 △ ＞Ｏ ｎ 一８ 口 ＞Ｏ ｎ ＞８ 或 ｎ ＜０ 。 当ａ ＞ ８时 ， 不等 式 ｚ 。 一ａ ｘ＋２ 口 ＜０可化 为 ｚ ＜ ａ （ １ ｚ 一２ ） ， 由题 意 可 得 ｚ ＞２ ， ｚ ＜ｎ （ 一２ ） 可 进 一 步 化
ｌ
ｆ ｆ （ 一１ ） ＜Ｏ ｜
【 厂 （ １ ） ≥０
１
，（ 一２ ） ≥０ ， 一１ ≤口 ＜ 一÷ 。
当ｎ ＞８时 ， ， （ ４ ） 一１ ６ —２ ｎ ＜Ｏ ， 可得 ４ ∈Ａ， 因 为
ｌ
Ｂ ＼Ｃ
＝
７
集 合 Ａ 中恰有 两 个 整数 ， 又 因为 － 厂 （ ６ ） 与 ｆ （ ３ ） 同号 ， 从而集 合 Ａ 中的 两个 整数 只能 是 ４ 、 ５ ， 所 以
中 学 数 学教 学 参 考
．
ｚ ｈ ｏｎ ｇ ｓ ｈ ｕ ｃ ａ ｎ （ ￣ ＯＩ ｌ ／
厂 （ 一２ ） 与 厂 （ １ ） 同号 ； 当日 ＞ ８时 ， 厂（ ６ ） 与 － 厂 （ ３ ） 同号 。 所 以， 当ｎ ＜Ｏ时 ， ， （ Ｏ ） 一２ ｎ ＜０ ， 可得 ０ ＥＡ， 因为集 合 Ａ 中恰 有两 个整数 ， 又 因为 厂 （ 一２ ） 与 厂 （ １ ） 同号 ， 从 而 集 合 Ａ 中 的 两 个 整 数 只 能 是 一 １ 、０ ，所 以
当ａ ＞ ８时 ， － 厂 （ ４ ） 一１ ６ —２ 口 ＜Ｏ ， 可得 ４ ∈Ａ， 因为 集合 Ａ 中恰 有两 个 整 数 ， 另 一 个 整 数 可 能 为 ３或 ５ ， 计算 可得 厂 （ ３ ） 一９ －ａ ， 厂 （ ５ ） 一２ ５ —３ ｎ － 厂 （ ５ ） 一 （ ３ ） １ ６ —２ ａ ％０ ＝ ￣ ｆ （ ５ ） ＜厂 （ ３ ） ， 从 而要 使集 合 Ａ 中恰有
＜ｎ ≤ ９。
０
３ 找 准 目标 ， 直 接 比 较
解法 ３ ： 当ａ ％０时 ， 厂 （ Ｏ ） 一２ 口 ＜０ ， 可得 ０ ＥＡ， 因 为集 合 Ａ 中恰 有 两 个 整 数 ， 另 一 个 整 数 可 能 为 １或
一
所 以 一１ ＜口 ＜ ０或 ８ ＜口 ＜９ 。 当一１ ＜ａ ＜ ０时 ，ｆ（ ０ ） 一２ ａ＜ ０ ， 可得 ０ Ｅ Ａ，
当ａ ＞８时 ， 厂 （ ４ ） 一１ ６ —２ 口 ＜Ｏ ， 可得 ４ ＥＡ， 二 次
函 数 ， （ ｚ ） 的 对 称 轴 为． ｚ 一 号 ＞ ４ ， 因 为 集 合Ａ 中 恰 有
两个整数 ， 若 ３在 集 合 Ａ 中， 设 Ｃ点 的 坐 标 为 （ ４ ， ０ ） ， 可 知 图 ４中 Ｃ Ｂ＞ １ ， 由二 次 函数 图 像 的对 称性 可 得 Ｃ Ａ＞ １ ， 从 而 ５ ∈Ａ， 这与题 意矛 盾 ， 所以 ３ Ａ， 集合 Ａ 中两 整 数 只能 为 ４ 、