2012考研数学三

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-渐近线的条数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2)设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)f = ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B)(1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3)设函数()f t 连续，则二次积分22202cos d ()d f r r r πθθ=⎰⎰( )(A) 222d ()d x x y y +⎰(B) 2220d ()d x f x y y +⎰(C) 222d ()d y x y x +⎰(D) 22201d ()d y f x y x +⎰(4)已知级数11 (1)n n α∞=-∑绝对收敛，级数21(1)na n n∞-=-∑条件收敛，则 ( )(A) 102a <≤(B) 112a <≤ (C) 312a <≤ (D)3 22a << (5)设1100C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0.1）上的均匀分布，则{}221P X Y +≤= ( )(A)14 (B) 12 (C) 8π (D)4π (8)设1234,,,X X X X 为来自总体2(1,)N σ（σ>0）的简单随机样本，则统计量1234|2|X X X X -+-的分布为 ( )(A) N （0,1） (B) t(1) (C) 2(1)χ (D)(1,1F ）二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)()1cos sin 4lim tan x xx x π-→=(10)设函数(),121,1x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩， ()()y f f x =，则x edy dx ==(11)设连续函数(,)z f x y =满足0x y →→=则()0,1d |z =(12)由曲线4y x=和直线y x =及4y x =在第一象限中围成的平面图形的面积为 (13)设A 为3阶矩阵，3A =，*A 为A 的伴随矩阵。

若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ,则*BA = (14)设A 、B 、C 是随机事件，A 与C 互不相容，1()2P AB =,1()3P C =,则(|)P AB = 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)求极限222cos 40lim x xx e e x -→-(16) 计算二重积分d d xe xy x y ⎰⎰，其中D是以曲线y y ==y 轴为边界的无界区域. (17)某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x （件）和y （件），且定两种产品的边际成本分别为202x+（万元/件）与6y +（万元/件）。

（1）求生产甲乙两种产品的总成本函数(,)C x y （万元）(2)当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可使总成本最小？求最小 成本 (3)求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。

(18)证明21ln cos 1,(11)12x x x x x x ++≥+-<<-(19)已知函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及''()()2x f x f x e +=（1）求()f x 的表达式 (2)求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点(20)设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1100β⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭（1）计算行列式A ； （2）当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解. (21)已知1010111001A a a⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2， （1）求实数a 的值；（2）求正交变换x Qy =将f 化为标准形. （22）设二维离散型随机变量、的概率分布为（Ⅰ）求{}2P X Y =； （Ⅱ）求Cov(,)X Y Y -. （23）设随机变量X 与Y 相互独立，且服从参数为1的指数分布. 记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y = （Ⅰ）求V 的概率密度()V f v ； （Ⅱ）求()E U V +.数三参考答案二、填空题9、e； 10、4； 11、2dx dy -； 12、4ln 2； 13、27-； 14、34三、解答题 15、解：16、解：17、解：（I ）(,)=20+2xxC x y '，对x 积分得：()2(,)204x C x y xD y =++ 再对y 求导有，()(,)6yC x yD y y ''==+ 再对y 积分有，()262y D y y c =++ 所以22(,)20642x y C x y x y c =++++，又(0,0)10000C =，所以10000c = 所以22(,)2061000042x y C x y x y =++++ （II ）x+y=50，把y=50-x 代入22(,)2061000042x y C x y x y =++++ 23()36115504x C x x =-+令23()361155004x C x x '⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭，得x=24，y=50-24=26， 这时总成本最小C （24,26）=11118万元（III ）()24,26(,)32xC x y '=（万元/件） 经济意义：总产量为50件，当甲产品的产量为24时，每增加一件甲产品，则甲产品的成本增加32万元。

18、证明：令()21ln cos 112x x f x x x x +=+---，()212lnsin 11x xf x x x x x +'=+----()00f '=()()()222221411cos 1111x x f x x x x x -+''=++--+--()()222244cos 12011x x x =--≥->-- 所以()()00f x f ≥=即证得：()21ln cos 11112x x x x x x ++≥+-<<-19、解：（I ）'''()()2()0f x f x f x +-=对应的特征方程为220r r +-=，r=-2，r=1所以()212xx f x C e C e -=+把()212xx f x C e C e -=+代入''()()2x f x f x e +=，得到()x f x e =（II ）同理，当x<0时，0y ''<可知（0,0）点是曲线唯一的拐点。

20、解： （I ）4141001000010=101(1)10100100101001a a a a A a a a a a a a+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⨯+⨯-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(II) 对方程组Ax β=的增广矩阵初等行变换：2321001100110010101010101010010001000100010001001a aa a a a a a a aa a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦42100101010010001a a a a a a ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥---⎣⎦可知，要使方程组Ax β=有无穷多解，则有410a -=且20a a --=，可知1a =-此时，方程组Ax β=的增广矩阵变为11001011010011000000-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，进一步化为最简形得10010010110011000000-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦可知导出组的基础解系为1111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，非齐次方程的特解为0100⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，故其通解为10111010k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21、解：（1）由二次型的秩为2，知()2Tr A A =，故()()2Tr A r A A == 对矩阵A 初等变换得101101101101011011011011100010010010*********a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦因()2r A =，所以1a =-（2）令202022224T B A A ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭202202102022(2)22(2)122(2)(6)022*******E B λλλλλλλλλλλλλλ------=--=----=----=--=-------所以B 的特征值为1230,2,6λλλ===对于10λ=，解1()0E B X λ-=得对应的特征向量为1(1,1,1)T α=-对于22λ=，解2()0E B X λ-=得对应的特征向量为2(1,1,0)T α=- 对于36λ=，解3()0E B X λ-=得对应的特征向量为3(1,1,2)T α=将123,,ααα单位化可得1211111,1,1102ηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪==-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎭⎭⎭正交矩阵0Q ⎛ =⎝，则026TQ AQ ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭ 因此，作正交变换x Qy =，二次型的标准形为2223()()26T T T f x x A A x y Ay y y ===+（Ⅰ）{}{}{}1120,02,1044P X Y P X Y P X Y ====+===+= （Ⅱ）cov(,)cov(,)cov(,)X Y Y X Y Y Y -=-cov(,)X Y EXY EXEY =-，其中2225,1,1,,33EX EX EY EY ====2245()199DX EX EX =-=-=2252()133DY EY EY =-=-=，23EXY =所以，22cov(,)0,cov(,),cov(,),033XY X Y Y Y DY X Y Y ρ===-=-=23、解：。