6-03 定积分的计算方法(上)x31

注：一般称为“对称区间上奇偶函数积分的性质”。 一般称为“对称区间上奇偶函数积分的性质”
上述结论的几何解释： 上述结论的几何解释：
y y=f(x) y y=f(x)
0 –a
0 a x –a
+
a x
–
偶函数图形关于y轴对 上关于y轴 称，在[–a, a]上关于 轴 上关于 两边的图形面积相等. 两边的图形面积相等.
2.用于积分上限函数求导 用于积分上限函数求导 例7 设ϕ( x) =
∫
1
0
f (tx)dt, 求ϕ′( x)
1 1 解 令 tx = u, 则 t = u, dt = du x x 当 t = 0时, u = 0, 当 t = 1时, u = x
1 1 x ⋅ f (u)du = ∫ f (u)du 于于 ∫ f (tx)dt = ∫ 0 0 x x 0 1 x 故 ϕ ′( x) = ( ∫ f (u)du)′ x 0 1 x 1 = − 2 ∫ f (u)du + f ( x ) x 0 x
2 2 2 2
2 2
2
2
t ⋅ a cos tdt
a2 1 a2 = (t + sin 2t ) + C = (t + sin t cos t ) + C 2 2 2 a2 x x a2 − x2 )+C = (arcsin + ⋅ 2 a a a a2 x x a2 − x2 = arcsin + +C 2 a 2
引
∫
2
−a
1 2 2 2 a − x dx= πa 2
1 4 − x dx = π ⋅ 4 = π 4
2
−a
o
a
x
∫
0
例1
计算
∫
ln2
0
e x − 1dx.
2t dt 2 t +1
解： 令 e x − 1 = t , 则 x = ln( t 2 + 1) dx =
且x = 0 ⇒ t = 0, x = ln 2⇒ t = 1,
a
证 ∴
∫
a
−a
f ( x )dx = ∫ f ( − x )dx + ∫ f ( x )dx
0 0
a
a
② f ( x ) 为奇函数， 则 为奇函数，
f ( − x ) = − f ( x ),
a 0
∫
a
−a
f ( x )dx = ∫ f ( − x )dx + ∫ f ( x )dx = 0.
0
a
2 π π 且x = 0 ⇒ t = , x = ⇒ t = 0, 2 2 π 0 n n π 2
令x =
π
2 0
sinn xdx = ∫ 2 cosn xdx.
0
π
− t,
则dx = −dt
∫
Att:
在三角代换中，多用 在三角代换中，
π
2
± t或 π ± t 代换。 代换。
若等式左右被积函数均为同名三角函数， 若等式左右被积函数均为同名三角函数，则多用 若等式左右被积函数均为不同名三角函数， π ± t ；若等式左右被积函数均为不同名三角函数， 则多用
引例
∫
a
0
a − x dx
2 2
令x = a sin t , 则dx = a cos tdt
且当x = 0, a时, t = 0,
π
∫
π
2
2 0
a − a sin t ⋅ a cos tdt = ∫ a cos tdt
2 2 2 2 0 2 2
π
2 a2 1 2 2 1 + cos 2t dt = ( t + sin 2t ) =a ∫ 0 2 2 2 0 2 πa = 4
1.3、 1.3、换元法的应用
1.证明定积分恒等式 证明定积分恒等式
∫
b
a
f ( x )dx x = ϕ ( t ) ∫ f [ϕ ( t )] ′( t )dt ϕ
α
β
利用定积分换元法，证明定积分恒等式。 利用定积分换元法，证明定积分恒等式。 ——作合适的代换。 作合适的代换。 作合适的代换 2.用于积分上限函数求导 用于积分上限函数求导
1
偶函数
奇函数
= 4 ∫0
1
2 2 x2 1 x (1 − 1 − x ) dx = 4 ∫ dx 2 2 0 1+ 1− x 1 − (1 − x )
2
= 4 ∫0 (1 − 1 − x )dx = 4 − 4 ∫0
= 4 − π.
1
1
1 − x 2 dx
单位圆的面积
例6
？ 2 sin3 xdx ∫ π (sin x) dx = ∫ π
2 − 2
2
x ) dx
3 2
3 2
π
= 2 ∫ 2 (cos 2 x − 1)d (cos x ) 0 π 1 4 3 2 = 2( cos x − cos x ) = 3 3 0
π
0
“对称区间上奇偶函数积分的性质”： 对称区间上奇偶函数积分的性质” 对称区间上奇偶函数积分的性质 1.碰到被积函数是奇函数的定积分就不必计算。 碰到被积函数是奇函数的定积分就不必计算。 碰到被积函数是奇函数的定积分就不必计算 2.避免一些可能的错误 避免一些可能的错误
d x −t 2 1. ∫0 e dt = ________ dx
2. 若x > 0时，有 ∫ f (t )dt = x (1 + x) 0
2 x2
则f (4) = _______
3.
∫
2
−1
x x dx = ________
微 积 分 电 子 教 案
Formula for Integration by Substitution
α
∫α
b
故有
∫
b
α 换元公式仍成立. 注意 当 > β 时，换元公式仍成立 ,从右到左为第一换元法 . 公式中从左到右为第二 换元法 从右到左为第一换元法
a
f ( x)dx = ∫ f [ϕ(t )]ϕ′(t )dt
α
β
= F (b) − F (a),
课前练习 一、定积分的换元法
1.1、 1.1、换元公式 1.2、 1.2、换元法两个要点∫ Nhomakorabeaa
证 设F (x)于 f (x)的一个原函数， f ( x)dx = F(b) − F(a), 的一个原函数， ∫ a 而 { F [ϕ ( t )]}′ = f [ϕ ( t )]ϕ ′( t ) β β 于是 ∫ f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )dt = F [ϕ ( t )] |α = F[ϕ ( β )] − F[ϕ (α )]
解：
且当 x = 0,2时，t
于于
0 −1
令 x − 1 = t , 则 x = t + 1 dx = dt
Way2.换元法 换元法
= − 1 ,1
1 −1
∫
2
0
f ( x − 1)dx = ∫ f ( t )dt
1 0 2 1 0 −1 0
= ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx = ∫ x dx + ∫ e x +1dx
π
π
课前练习 一、定积分的换元法
1.1、 1.1、换元公式
1.1、 1.1、换元公式 定理6.3 上连续, 满足: 定理6.3 设f(x)在[a,b]上连续,函数 ϕ(t)满足 在 上连续 函数x= 满足 上连续、 ⑴ϕ(t)在[α,β]上连续、单调,且ϕ(α)=a, ϕ(β)=b; 在 上连续 单调, 上连续. ⑵ ϕ′(t)在[α,β]上连续. 在 上连续 b β 则有 f ( x)dx = f [ϕ(t )]ϕ′(t )dt
1 3 0 x +1 1 = x +e 3 −1 0
1 2 = +e −e 3
课前练习 一、定积分的换元法
1.1、 1.1、换元公式 1.2、 1.2、换元法两个要点 1.3、换元法的应用 1.3、
1.3、 1.3、换元法的应用
1.证明定积分恒等式 证明定积分恒等式
∫
b
a
f ( x )dx x = ϕ ( t ) ∫ f [ϕ ( t )] ′( t )dt ϕ
2 2 −
π
3 2
π
2 解：Way1.
x ) dx π 0− = ∫ π (2− sin 3 x )dx + ∫ 2 ( − sin 3 x )dx = L
−
∫ π (sin
2
2 π
π
2
3 2
−
2
0
Way2.
= 2 ∫ 2 (sin 2 x ) dx = 2∫ 2 (sin 3 x )dx
0
∫ π (sin π
一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法
o a
y
y = f (x)
bx
2 2 引例： 引例： 求 a − x dx 解： 令 x = asint, 则dx = acostdt
∫
∫ a − x dx = ∫ a − a sin 1 + cos 2t dt = ∫ a cos tdt = a ∫ 2
a 0
a
上连续， 在 上连续 例4 当f(x)在[-a,a]上连续，且有 a a 为偶函数时有: ①f(x)为偶函数时有: ∫ f ( x )dx = 2 ∫ f ( x )dx； 为偶函数时有 −a 0 为奇函数时有: ②f(x)为奇函数时有: ∫ f ( x )dx = 0 . 为奇函数时有 −a