高中数学4.1函数的单调性与极值4.1.1导数与函数的单调性课件北师大版选修1_1
北师大版数学高二选修1-1课件 第四章 1.1 导数与函数的单调性
33，
33，则
a
的取值范围是
(_0_，__＋__∞__).
解析
f′(x)＝a(3x2－1)＝3ax＋
33x－
33，
令
f′(x)<0，由已知得－
3 3 <x<
33，
可得a>0.
12345
解析 答案
5.已知a>0且a≠1，证明：函数y＝ax－xln a在(－∞，0)上是减少的. 证明 y′＝axln a－ln a＝ln a(ax－1)， 当a>1时，因为ln a>0，ax<1， 所以y′<0，即y在(－∞，0)上是减少的； 当0<a<1时，因为ln a<0，ax>1， 所以y′<0，即y在(－∞，0)上是减少的. 综上，函数y＝ax－xln a在(－∞，0)上是减少的.
(√) 4.若f(x)在区间(a，b)上可导，则“f′(x)>0”是“f(x)在(a，b)上是增加的” 的充要条件.( × ) 5.若f(x)的图像在[a，b]上是一条连续曲线，且f(x)在(a，b)上f′(x)<0，则 f(x)在[a，b]上是减少的.( √ )
题型探究
类型一 原函数和导函数图像之间的关系 例1 已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f′(x)的图像可能是 图中的
解答
类型三 含参数函数的单调性 例3 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上是增加的，则k的取值范 围是_[1_，__＋__∞__). 解析 由于 f′(x)＝k－1x，f(x)＝kx－ln x 在区间(1，＋∞)上是增加的， 得 f′(x)＝k－1x≥0 在(1，＋∞)上恒成立. 因为 k≥1x，而 0<1x<1，所以 k≥1， 即k的取值范围为[1，＋∞).
2018学年高中数学北师大版选修1-1课件：4.1.1 导数与函数的单调性 精品
(3)由 f(x)＝－x3＋3x2. 得 f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)． 由 f′(x)>0，解得 0<x<2，因此，函数在区间(0,2)上是单调递增的； 由 f′(x)<0，解得 x>2 或 x<0，因此，函数在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上是 单调递减的． 故函数 f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(－∞，0)和(2，＋∞)．
1－3x2>0，解得－
3 3 <x<
Байду номын сангаас
3 3.
因此，函数 f(x)的单调增区间为－ 33， 33.
令 1－3x2<0，解得 x<－ 33或 x> 33.
因此，函数 f(x)的单调减区间为－∞，－ 33，
33，＋∞.
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
x
＝1－xl2n x，
又∵x∈(0,2)．
∴ln
x<ln
2<1.故
f′(x)＝1－xl2n
x >0.
即函数在区间(0,2)上是单调递增函数．
利用导数证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是证明不等式 f′x>0 或 f′x<0 恒成立，这时一般是先将函数的导数求出来，然后对其进行 整理、化简、变形，根据不等式的相关知识，在给定区间上判断导数的正负， 从而得证.
高中数学北师大版选修1-1课件：第4章 §1 1.1 导数与函数的单调性
【解析】1.∵f'(x)=3x2+a，a≥0. ∴f'(x)≥0对一切实数R都恒成立且只有x=0，a=0时，f'(x)=0， ∴函数f(x)的递增区间为(-∞，+∞).
答案：(-∞，+∞)
第十五页，编辑于星期日：二十三点 三十三分。
2.(1)
f '(x) 2(x 1)2 (2x b) 2(x 1) 2x 2b 2 2[x (b 1)] (x 1).
答案：(-∞，a)，(-2a，+∞)
第二十一页，编辑于星期日：二十三点 三十三 分。
类型三 已知函数的单调性求参数的取值范围
【典型例题】
1.函数f(x)=ax3-x在R上是减少的，则 ( )
A.a≤0
B.a<1
C.a<2
D.a≤ 1
2.已知函数f(x)=2ax- x∈(0，1].若f3(x)在x∈(0，1)上 1
第二十页，编辑于星期日：二十三点 三十三分。
【变式训练】
函数f(x)= x13+ ax12-2a2x+1(a<0)的递增区间为
.
32
【解析】f'(x)=x2+ax-2a2=(x+2a)(x-a)，
∵a<0，∴-2a>a，由f'(x)>0得x<a或x>-2a.
∴函数的递增区间为(-∞，a)，(-2a，+∞).
与抽象函数相关的单调性问题
【典型例题】
1.若在区间(a，b)内有f'(x)>0，且f(a)≥0，则在区间
(a，b)内有 ( )
A.f(x)>0
41函数的单调性与极值(第二课时)课件(北师大选修1-1)
3 3
y + 0
0+
3 3
,
y f (x) 极
极
大
小
根据上表 x1可 3知 3为函f(数 x)3x33x1的极大 值点 ,函数在该点的: f极 大 33值 1为 233;
x2
3为函f数 (x)3x33x1的极小 3
值点 ,函数在该点的:极 f 大 33值 1为 233;
函数的图像如下页图:
y
注：导数为0的点不一定是极值点．
用图表示如下:
x (a, x0)
x0
f (x)
0
y f(x)递增 极大 递减
值
x (a, x0)
x0
f (x)
0
y f(x)递减 极小 递增
值
y
( x0 , b)
O a x0 b x
y
( x0 , b)
O a x0 b x
例题讲解
例 2求函 f(x) 数 2x33x23x65的极 . 值
例 3求函 f(x)数 3x33x1的极 . 值
解:首先求出导,由函导数数公式表和则求可导得 : 法 f(x)9x2 3.
解方程 : f(x)0,得:x1
3, 3
x2
3. 3
根x1据 ,x2列出 ,分 下 f析 (x表 )的符 ,f(x)的 号单调
极值 . 点
x ,
北师大版高中数学选修1-1课件4-1.1导数与函数的单调性
的
单
调
递
减
区
间
为
－∞，－
3 3
和
33，＋∞.
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－2x＝2·3x2x－1. 令 f′(x)＞0，即 2·3x2x－1＞0.
解得－
33＜x＜0
或
x＞
33.又∵x＞0，∴x＞
3 3.
令 f′(x)＜0，即 2·3x2x－1＜0，
减区间是－
－3 3a，
－3 3a.
综上可知：当 a≥0 时，函数 y＝x3＋ax 在(－∞，＋∞)
上单调递增．
当
a<0
时，函数
y ＝ x3 ＋ ax
在 －∞，－
－3a
3
和
－3 3a，＋∞
上单调递增，在－
－3 3a，
－3 3a上单调递减．
在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
导数
函数的单调性
f′(x)>0 f′(x)<0
单调 单调
增函数 减函数
f′(x)＝0 常数函数
1．函数 f(x)＝5x2－2x 的单调增区间是( )
A.15，＋∞ C.－15，＋∞
B.－∞，15 D.－∞，－15
答案： C
求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝x4－2x2＋5； (2)f(x)＝x3＋3x.
求函数单调区间步骤： 求 f(x)的定义域→求 f′(x)→求解不等式 f′(x)>0， f′(x)<0→求 f′(x)>0，f′(x)<0 与定义域的交集或求 f(x)的 值域→求 f′(x)→令 f′(x)＝0 求 xi→用 xi 将定义域分成 n 个 区间→列表考查各个区间内 f′(x)的符号→确定单调区间
高中数学第四章导数应用4.1函数的单调性与极值4.1.1导数与函数的单调性导学案北师大版选修1-1
4.1.1 导数与函数的单调性学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断(证明)函数单调性的方.法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间思考观察下列各图，完成表格内容函数及其图像切线斜率k正负导数正负单调性正正[1，＋∞)上单调递增正正R上单调递增负负(0，＋∞)上单调递减负负(0，＋∞)上单调递减负负(－∞，0)上单调递减梳理一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上(1)如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上是增加的.(2)如果f′(x)<0，则f(x)在该区间上是减少的.导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性>0>0锐角上升单调递增<0<0钝角下降单调递减知识点二函数的变化快慢与导数的关系思考我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？答案如图所示，函数y＝f(x)在(0，b)或(a，0)内导数的绝对值较大，图像“陡峭”，在(b，＋∞)或(－∞，a)内导数的绝对值较小，图像“平缓”.梳理一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些.类型一原函数与导函数的关系例1 已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f′(x)的图像可能是图中的( )答案 C解析由函数y＝f(x)的图像的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：x (－1，b)(b，a)(a，1)f(x)↘↗↘f′(x)－＋－由表可知函数y＝f′(x)的图像，当x∈(－1，b)时，函数图像在x轴下方；当x∈(b，a)时，函数图像在x轴上方；当x∈(a，1)时，函数图像在x轴下方.故选C.反思与感悟(1)对于原函数图像，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区间内导数值大于零.在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图像.(2)对于导函数的图像可确定原函数的增减区间及增减快慢.跟踪训练 1 已知y ＝f ′(x )的图像如图所示，则y ＝f (x )的图像最有可能是如图所示的( )答案 C解析 由f ′(x )>0(f ′(x )<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图像的上升和下降趋势.由已知可得x 的取值范围和f ′(x )的正、负，f (x )的增减变化情况如下表所示：x (－∞，0)(0，2) (2，＋∞)f ′(x ) ＋ － ＋ f (x )↗↘↗由表可知f (x )在(－∞，0)上是增加的，在(0，2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的，满足条件的只有C ，故选C.类型二 单调区间的求解及单调性证明 命题角度1 求函数的单调区间 例2 求f (x )＝3x 2－2ln x 的单调区间. 解 f (x )＝3x 2－2ln x 的定义域为(0，＋∞). f ′(x )＝6x －2x ＝23x 2－1x＝23x －13x ＋1x， 由x >0，解f ′(x )>0，得x >33. 由x <0，解f ′(x )<0，得0<x <33. ∴函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调递增区间为(33，＋∞)， 单调递减区间为(0，33). 反思与感悟 求函数y ＝f (x )的单调区间的步骤(1)确定函数y ＝f (x )的定义域.(2)求导数y ′＝f ′(x ).(3)解不等式f ′(x )>0，函数在定义域内的解集上为增函数. (4)解不等式f ′(x )<0，函数在定义域内的解集上为减函数. 跟踪训练2 求函数f (x )＝exx －2的单调区间.解 函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞). f ′(x )＝exx －2－e x x －22＝e x x －3x －22.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x>0，(x －2)2>0. 由f ′(x )>0，得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)； 由f ′(x )<0，得x <3.又函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3).命题角度2 证明函数的单调性例3 证明函数f (x )＝ln xx在区间(0，2)上是单调递增函数.证明 由题意，得f ′(x )＝1x·x －ln xx2＝1－ln x x2. ∵0<x <2，∴ln x <ln 2<1，1－ln x >0， ∴f ′(x )＝1－ln xx2>0. 根据导数与函数单调性的关系，可得函数f (x )＝ln x x在区间(0，2)上是单调递增函数.反思与感悟 利用导数证明不等式的一般步骤 (1)构造函数：F (x )＝f (x )－g (x ). (2)求导：F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x ). (3)判断函数的单调性.(4)若F (x )在区间上的最小值大于等于0，则f (x )≥g (x )；若F (x )在区间上的最大值小于等于0，则f (x )≤g (x ).跟踪训练3 证明：函数f (x )＝sin x x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减少的.证明 f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 则cos x <0，所以x cos x －sin x <0，所以f ′(x )<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减少的.类型三 含参数函数的单调性例4 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上是增加的，则k 的取值范围是________. 答案 [1，＋∞)解析 由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立.由于k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞). 引申探究试求函数f (x )＝kx －ln x 的单调区间. 解 f (x )＝kx －ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝k －1x，当k ≤0时，函数的单调递减区间为(0，＋∞)；当k >0时，函数的单调递增区间为(1k ，＋∞)，单调递减区间为(0，1k).反思与感悟 (1)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准.(2)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；②先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f (x )是否满足题意.(3)恒成立问题的重要思路 ①m ≥f (x )恒成立⇒m ≥f (x )max ； ②m ≤f (x )恒成立⇒m ≤f (x )min .跟踪训练4 已知函数f (x )＝x 2＋2a ln x . (1)试讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝2x＋f (x )在[1，2]上是减函数，求实数a 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax，函数f (x )的定义域为(0，＋∞).①当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；②当a <0时，f ′(x )＝2x ＋－ax －－ax，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0，－a )－a (－a ，＋∞)f ′(x ) － 0＋ f (x )递减递增由上表可知，函数f (x )的单调递减区间是(0，－a )； 单调递增区间是(－a ，＋∞).(2)由g (x )＝2x ＋x 2＋2a ln x ，得g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2ax，由已知函数g (x )为[1，2]上的单调减函数， 则g ′(x )≤0在[1，2]上恒成立， 即－2x 2＋2x ＋2ax≤0在[1，2]上恒成立，即a ≤1x－x 2在[1，2]上恒成立.令h (x )＝1x－x 2，则h ′(x )＝－1x 2－2x ＝－(1x2＋2x )<0，x ∈[1，2]，所以h (x )在[1，2]上为减函数，h (x )min ＝h (2)＝－72，所以a ≤－72.故实数a 的取值范围为{a |a ≤－72}.1.f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A.(－∞，2)B.(0，3)C.(1，4)D.(2，＋∞)答案 D解析 f ′(x )＝e x＋(x －3)·e x＝(x －2)e x>0， 解得x >2.∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞).2.函数y ＝f (x )在定义域(－32，3)内可导，其图像如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集是( )A.[－13，1]∪[2，3)B.[－1，12]∪[43，83]C.(－32，12)∪[1，2]D.(－32，－1)∪[12，43]∪[83，3]答案 A解析 求f ′(x )≤0的解集，即求函数f (x )在(－32，3)上的单调减区间.由题干图像可知y＝f (x )的单调减区间为[－13，1]，[2，3).3.若函数f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)上是增加的，则m 的取值范围是( ) A.m ≥43B.m >43C.m ≤43D.m <43答案 A解析 ∵函数f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)上是增加的， ∴f ′(x )＝3x 2＋4x ＋m ≥0在R 上恒成立， 则判别式Δ＝16－12m ≤0，即m ≥43.4.若函数y ＝f (x )＝a (x 3－x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，则a 的取值范围是________. 答案 (0，＋∞)解析 f ′(x )＝a (3x 2－1)＝3a (x ＋33)(x －33)， 令f ′(x )<0，由已知得－33<x <33， 故a >0.5.已知a >0且a ≠1，证明：函数y ＝a x－x ln a 在(－∞，0)上是减少的. 证明 y ′＝a xln a －ln a ＝ln a (a x－1)， 当a >1时，因为ln a >0，a x<1，所以y ′<0，即y 在(－∞，0)上是减少的； 当0<a <1时，因为ln a <0，a x >1， 所以y ′<0，即y 在(－∞，0)上是减少的. 综上，函数y ＝a x－x ln a 在(－∞，0)上是减少的.1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.2.利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.40分钟课时作业一、选择题1.函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) A.(π2，3π2)B.(π，2π)C.(3π2，5π2)D.(2π，3π)答案 B解析 y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ， 若y ＝f (x )在某区间内是增函数， 只需在此区间内y ′>0恒成立即可， ∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′>0恒成立.2.下列函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是( )A.y ＝sin xB.y ＝x e xC.y ＝x 3－x D.y ＝ln x －x答案 B解析 显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A ；对于函数y ＝x e x ，因为e x恒大于零，易知y ＝x e x在(0，＋∞)内为增函数； 对于C ，y ′＝3x 2－1＝3(x ＋33)(x －33)， 故函数在(－∞，－33)，(33，＋∞)上为增函数， 在(－33，33)上为减函数；对于D ，y ′＝1x－1 (x >0). 故函数在(1，＋∞)上为减函数，在(0，1)上为增函数.故选B.3.设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图像如图所示，则导函数f ′(x )的图像可能是( )答案 C解析 原函数的单调性是当x <0时，f (x )单调递增； 当x >0时，f (x )的单调性变化依次为增、减、增，故当x <0时，f ′(x )>0；当x >0时，f ′(x )的符号变化依次为＋，－，＋.故选C. 4.函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A.a ≤0 B.a <1 C.a <2 D.a ≤13答案 A解析 f ′(x )＝3ax 2－1，由题意知，对∀x ∈R ，3ax 2－1≤0，当a >0时，显然不合题意， 当a ≤0时，成立.故a ≤0.5.函数f (x )的导函数为f ′(x )，若y ＝f ′(x )的图像如图所示，则f (x )的解析式可能是( )A.y ＝x 2－2x B.y ＝13x 3＋x 2C.y ＝x 2＋2xD.y ＝13x 3－x 2答案 B解析 由题图知f ′(x )＝0时，x 1＝－2，x 2＝0，由此可知B 正确.6.已知函数f (x )在定义域R 上为增函数，且f (x )＜0，则g (x )＝x 2f (x )在(－∞，0)内的单调情况一定是( ) A.单调递减 B.单调递增 C.先增后减 D.先减后增答案 B解析 因为函数f (x )在定义域R 上为增函数， 所以f ′(x )≥0.又因为g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )， 所以当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )＞0恒成立， 所以g (x )＝x 2f (x )在(－∞，0)内单调递增.7.函数f (x )＝sin x ＋2xf ′(π3)，f ′(x )为f (x )的导函数，令a ＝－12，b ＝log 32，则下列关系正确的是( ) A.f (a )>f (b ) B.f (a )<f (b ) C.f (a )＝f (b ) D.f (|a |)<f (b )答案 A解析 ∵f ′(x )＝cos x ＋2f ′(π3)，∴f ′(π3)＝cos π3＋2f ′(π3)，解得f ′(π3)＝－12，∴f (x )＝sin x －x ，由f ′(x )＝cos x －1≤0知函数f (x )为减函数，而－12<log 32，则f (－12)>f (log 32)，即f (a )>f (b ).二、填空题 8.已知函数f (x )＝k ex －1－x ＋12x 2(k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行，则f (x )的单调递减区间为____________. 答案 (－∞，0) 解析 f ′(x )＝k ex －1－1＋x ，∵曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行， ∴f ′(0)＝k ·e －1－1＝0，解得k ＝e ， 故f ′(x )＝e x＋x －1. 令f ′(x )<0，解得x <0，故f (x )的单调递减区间为(－∞，0).9.若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围为__________. 答案 (－∞，52]解析 ∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6， 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立， 即x 2－mx ＋1≥0恒成立，∴m ≤x ＋1x恒成立.令g (x )＝x ＋1x ，g ′(x )＝1－1x2，∴当x >2时，g ′(x )>0，即g (x )在(2，＋∞)上是增加的， ∴m ≤2＋12＝52.10.函数f (x )的图像如图所示，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则不等式f ′xx<0的解集为________.答案 (－3，－1)∪(0，1)解析 由题图知，当x ∈(－∞，－3)∪(－1，1)时，f ′(x )<0，当x ∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 故不等式f ′xx<0的解集为(－3，－1)∪(0，1). 11.如果函数y ＝f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，那么实数k 的取值范围是________. 答案 [1，32)解析 y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ＝2x ＋12x －1x，由f ′(x )>0，得x >12，f (x )的增区间是(12，＋∞)，由f ′(x )<0，得0<x <12，f (x )的减区间是(0，12)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12，k ＋1>12，k －1≥0，得1≤k <32.三、解答题12.若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1，4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，试求实数a 的取值范围.解 f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1＝(x －1)[x －(a －1)]， 令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝a －1. 因为f (x )在(1，4)内为减函数， 所以当x ∈(1，4)时，f ′(x )≤0； 因为f (x )在(6，＋∞)内为增函数， 所以当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )≥0. 所以4≤a －1≤6，解得5≤a ≤7. 所以实数a 的取值范围为[5，7].13.已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )的图像如图，f (x )＝6ln x ＋h (x ).(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间(1，m ＋12)上是单调函数，求实数m 的取值范围.解 (1)由已知，h ′(x )＝2ax ＋b ，其图像为直线，且过(0，－8)，(4，0)两点， 把两点坐标代入h ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧8a ＋b ＝0，b ＝－8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－8，∴h (x )＝x 2－8x ＋2，h ′(x )＝2x －8， ∴f (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋2. (2)f ′(x )＝6x＋2x －8＝2x －1x －3x(x >0).当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋ 0－ 0＋ f (x )↗↘↗∴f (x )的单调递增区间为(0，1)和(3，＋∞)，f (x )的单调递减区间为(1，3).要使函数f (x )在区间(1，m ＋12)上是单调函数，则⎩⎪⎨⎪⎧1<m ＋12，m ＋12≤3，解得12<m ≤52.即实数m 的取值范围为(12，52].。
高中数学北师大版选修1-1课件：第4章 §1 1.1 导数与函数的单调性
类型 一
求不含参数的函数的单调区间
【典型例题】
1.函数y=x4-2x2+5的单调减区间为
A.(-∞，-1)及(0，1)
(
)
B.(-1，0)及(1，+∞)
C.(-1，1)
2.求函数f(x)=x3-
D.(-∞，-1)及(1，+∞)
1 2 x -2x+5的单调区间. 2
【解题探究】1.题1中，求函数的单调递减区间与导数的联 系是什么? 2.解一元二次不等式主要与什么函数相联系?与此函数的什 么因素关系密切? 探究提示： 1.求函数的单调递减区间就是求不等式y'<0的解集.
x 1
,
≨函数f(x)在(-≦，1)和(1，+≦)上是减少的. 综上所述，当b<2时，函数f(x)的递增区间为(b-1，1)， 递减区间为(-≦，b-1)和(1，+≦). 当b>2时，函数f(x)的递增区间为(1，b-1)，递减区间为 (-≦，1)和(b-1，+≦). 当b=2时，函数f(x)的递减区间为(-≦，1)和(1，+≦).
类型 二
求含参数的函数的单调区间
【典型例题】
1.函数f(x)=x3+ax(a≥0)的单调递增区间为 2.已知函数 f (x) 2x b (x≠1).
(x 1) 2
.
(1)求导函数f'(x). (2)求函数f(x)的单调区间.
【解题探究】1.二次函数y=ax2+bx+c恒大于0的条件是什么? 2.单调区间的端点与方程f'(x)=0的根有什么关系? 探究提示： 1.二次函数y=ax2+bx+c恒大于0的条件是a>0且Δ<0. 2.单调区间的端点就是方程f'(x)=0的根.
北师大版高中数学选修(1-1)-4.1《导数与函数的单调性》参考课件1
比较以下几个函数的导数及其单调性.
(1) y f (x) x, f (x) 1;(2) y f (x) 2x 5, f (x) 2; 8
(3) y f (x) 3x 4, f (x) 3.函数图像如下:
6
函数(1)(2)的导数都是正的,
函数(1)(2)都是递增的,函数
义域内的什么实数都有f (x) 0,函数y f (x)是8递减的,
8
图像如下: 8 6
8 6
6
6 4
4
y log 1 x
4 2
y 2x 2
-10-54来自22y
1
x
- 10
-5 2
5
10
2
5
-10
5
-2
-5
y lo10g 3 x
5
-2
10
-2 -4
-2 -4
-4
(1) -6
-6
(3) -8
-4
(2) -6
-6
(4)
-8
-8 -8
观察以下两个函数的单调性与导数的关系.
f (x) x2 2x 4 f (x) 2x3 6x2 7
通过以上的实例可以看出,导函数的符号与 函数的单调性之间有如下的关系:
如果在某个区间内,函数y f (x)的导数f (x) 0,则在这个 区间内,函数y f (x)是递增的;
如果在某个区间内,函数y f (x)的导数f (x) 0,则在这个 区间内,函数y f (x)是递减的.
例题讲解
例1求函数f (x) 2x3 3x2 36 x 16的递增区间与递减区间 .
北师大选修导数与函数的单调性课件
2、讨论函数 y 2x sin x 在 0,2 的单调性
归纳小结
• 1、导数与函数单调性的关系； • 2、用导数求函数的单调性；
谢谢
新课活动二-----分析
函数
导数
函数单调性
函数在定义域上单调递增 函数在定义域上单调递增 函数在定义域上单调递增 函数在定义域上单调递增
在其定义域上,
f x 0
类似地
函数
y f x log1 x
2
导数
函数单调性
函数在定义域上单调递减 函数在定义域上单调递减
函数在定义域上单调递减
在其定义域上,
当 x (2，3) 时， f '(x) 0 ，
因此，在这个区Βιβλιοθήκη 上，函数是减少的.求导 判断导数正负
所以，函数 f (x) 2x3 3x2 36x 16 的递增区间为(, 2)和(3, ) ，
递减区间为 (2，3)
稳固练习
1、求以下函数的单调性
1y 2x2 5x 4
2y 3x x3
例 1、求函数 f (x) 2x3 3x2 36x 16 的单调区间.
解：由导数公式表和求导法则可得
f '(x) 6x2 6x 36 6(x 2)(x 3)
令 f x 0 ，解得 x 2 或 x 3
当 x (, 2)或x (3, ) 时， f '(x) 0 ，
因此，在这两个区间上，函数是增加的；
北师大选修导数与函数的单调性 课件
问题
？
导数 f x
函数单调性
y在x点的瞬时变化 刻画 率
刻画
y随x的增大而增大， 或y随x的增大而减小
函数变化
新课活动一-----计算
(教师用书)高中数学 4.1.1 导数与函数的单调性课件 北师大版选修1-1
2
.利用导数求函数单调区间的基本步骤
(1)确定函数 f(x)的定义域． (2)求导数 f′(x)． (3)确定 f′(x)>0(或 f′(x)<0)时相应的 x 的范围：当 f′(x)>0 时，f(x)在相应的区间上是增加的；当 f′(x)<0 时，f′(x)在相 应的区间上是减少的．
求下列函数的单调区间： 4 3 (1)f(x)＝ x －2x2＋8； 3 (2)f(x)＝3x2－2ln x.
(1)当 x0∈(－∞，1)时，函数在(x0，f(x0))处的切线斜率 f ′(x0)大于零还是小于零？ (2)函数 f(x)＝x2－2x－2 在(－∞，1)上的单调性如何？
【提示】 (1)小于零；(2)是减少的．
导函数的符号与函数的单调性之间的关系 如果在某个区间内，函数 y＝f(x)的导数 个某个区间内，函数 y＝f(x)的导数 个区间上，函数 y＝f(x)是 减少的 ． ，则在这 ，则在这
(2)f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)． 当 f′(x)>0 时，0<x<2，因此，函数 f(x)的增区间为(0，2)； 当 f′(x)<0 时，x<0 或 x>2，因此，函数 f(x)的减区间为(－ ∞，0)和(2，＋∞)．
1
.若函数的单调区间不止一个，则在写这些区间时，
应该用逗号分开或者用“及”、“和”连接，切忌用并集符 号或者“或”连接， 如本题第(2)小题的递减区间不能写成(－ ∞，0)∪(2，＋∞)．
●教学流程
演示结束
1. 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的 单调性与导数的关系. 课标解读 2. 正确理解利用导数判断函数单调性的思想方 法，并能灵活运用．(重点、难点) 3. 会求函数的单调区间(其中多项式函数一般 不超过三次)．(重点)
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟(1)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为: ①确定函数f(x)的定义域; ②求导数f'(x); ③在函数f(x)的定义域内解不等式f'(x)>0和f'(x)<0; ④根据③的结果确定函数f(x)的单调区间. (2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么这些 单调区间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字隔开.
(2)在区间(a,b)内函数的单调性与导数有如下关系:
函数的单调性 单调递增 单调递减 常函数 导 数 f'(0
名师点拨对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明 (1)若在某区间上有有限个点使f'(x)=0,在其余的点恒有f'(x)>0,则 f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似). (2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0,且在 (a,b)内的任一非空子区间上f'(x)不恒为0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1设f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图像如图所示,则 y=f(x)的图像最有可能的是 ( )
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:由f'(x)的图像知,当x∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,f'(x)>0,x∈(0,2) 时,f'(x)<0,则函数f(x)在区间(-∞,0)与(2,+∞)上是增加的,在区间(0,2) 上是减少的,对照选项知应选C. 答案:C
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的 打“×”. (1)函数f(x)在定义域上都有f'(x)>0,则函数f(x)在定义域上是增加 的.( ) (2)函数在某一点的导数的绝对值越大,函数在该点处的切线越“ 陡峭”.( ) (3)利用导函数判断函数的单调性时不能忽略定义域.( ) 答案:(1)√ (2)√ (3)√
令 f'(x)>0, 可得 x<-3 或 x>3; 令 f'(x)<0, 可得-3<x<3.
1
1
∴函数 f (x)的递增区间为(-∞,-3),
1 , 3
+ ∞ ,递减区间为 -3, 3 .
4.1.1 导数与函数的单调性
学
习 目
标
思
维 脉
络
1 .理解 在某区间上函数的单 调性与导数的关系. 2 .掌握 利用导数判断函数单 调性的方法. 3 .能够 根据函数的单调性求 参数.
1.函数的单调性与导数的关系 (1)在区间(a,b)内函数的导数与单调性有如下关系:
导 数 f'(x)>0 f'(x)<0 f'(x)=0 函数的单调性 单调递增 单调递减 常函数
∴x> ������ 或 x<- ������. ∴函数的递增区间为(-∞, - ������ )和( ������ , +∞).
令 f'(x)<0, 则 2 (x+ ������ )(x- ������ )<0,
1 ������
∴- ������ <x< ������, 且 x≠0. ∴函数的递减区间为(- ������,0)和(0, ������).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二
求函数的单调区间
【例2】 求下列函数的单调区间: (1)f(x)=x3-3x+1;
(2)f (x)=x+ (b>0).
分析直接求导数,然后解关于导数的不等式. 解(1)函数f(x)的定义域为R, f'(x)=3x2-3,令f'(x)>0,则3x2-3>0, 即3(x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<-1. ∴函数f(x)的递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞). 令f'(x)<0,则3(x+1)(x-1)<0,解得-1<x<1. ∴函数f(x)的递减区间为(-1,1).
������ ������
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)函数 f (x)的定义域为(-∞,0)∪(0, +∞),
������ f'(x)= ������ '=1-������2 , 1 令 f'(x)>0, 则 2 (x+ ������ )(x������ ������ + ������
������ )>0,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图像过点P(1,2),且 在点P处的切线斜率为8. (1)求a,b的值; (2)求函数f(x)的单调区间.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解(1)∵函数f(x)的图像过点P(1,2),∴f(1)=2. ∴a+b=1.① 又函数图像在点P处的切线斜率为8, ∴f'(1)=8,又f'(x)=3x2+2ax+b, ∴2a+b=5.② 解由①②组成的方程组,可得a=4,b=-3. (2)由(1)得f'(x)=3x2+8x-3=(3x-1)(x+3),
【做一做1】 f(x)在(a,b)内可导,若f'(x)<0,则f(x)在(a,b)内是( ) A.增函数 B.减函数 C.奇函数 D.偶函数 答案:B 【做一做2】 函数y=x2-4x+a的递增区间为 ,递减区间 为 . 解析:y'=2x-4,令y'>0,得x>2;令y'<0,得x<2,所以y=x2-4x+a的递增 区间为(2,+∞),递减区间为(-∞,2). 答案:(2,+∞) (-∞,2)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
函数与导函数图像之间的关系
【例1】 函数f(x)的图像如图所示,则导函数y=f'(x)的图像可能是 ( )
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:从原函数y=f(x)的图像可以看出,其在区间(-∞,0)上是减少 的,f'(x)<0;在区间(0,x1)上是增加的,f'(x)>0;在区间(x1,x2)上是减少 的,f'(x)<0;在区间(x2,+∞)上是增加的,f'(x)>0.结合选项可知,只有D 项满足. 答案:D 反思感悟1.利用导数符号判断单调性的方法: 利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多, 只需判断导数在该区间内的正负即可. 2.通过图像研究函数单调性的方法: (1)观察原函数的图像重在找出“上升”“下降”产生变化的点,分析 函数值的变化趋势; (2)观察导函数的图像重在找出导函数图像与x轴的交点,分析导 数的正负.