2020年天津市南开区高三高考二模数学(文)试题解析
天津市南开区高考数学二模试卷(文科)
高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设全集为R，若集合A={x|（x+2）（x-3）≥0}，集合B={x|x＞1}，则（∁R A）∪B=（）A. [3，+∞）B. （1，3]C. （1，3）D. （-2，+∞）2.已知实数x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值是（）A. -6B. -10C. 5D. 103.如图是一个算法流程图，若输入n的值是13，输出S的值是46，则a的取值范围是（）A. 9≤a＜10B. 9＜a≤10C. 10＜a≤11D. 8＜a≤94.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是说两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p是q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知a=，，c=，则（）A. B. C. D.6.设f（x）=sin3x-cos3x，把y=f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度后，恰好得到函数g（x）=-sin3x+cos3x的图象，则φ的值可以为（）A. B. C. D. π7.已知F1，F2分别是双曲线3x2-y2=3a2（a＞0）的左右焦点，P是抛物线y2=8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|+|PF2|=12，则抛物线的准线方程为（）A. x=-4B. x=-3C. x=-2D. x=-18.已知函数，若关于x的方程|f（x）-a|+|f（x）-a-1|=1有且仅有两个不同的整数解，则实数a的取值范围是（）A. ，B. ，C. [-1，D. [0，3]二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知复数，i为虚数单位，则|z|2=______．10.已知数列{a n}的前n项和为S n，若∀n∈N*，a n=20-3n，则S n的最大值为______．11.球O是正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球，若正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积为S1，球O的表面积为S2，则=______．12.已知圆C：（x-3）2+（y+1）2=4与直线l：x+y-2=0交于M、N两点，则|MN|=______．13.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AC与BD交于点M，AB=2CD=4．若•=-1，则cos∠BMC=______．14.已知函数，其中e为自然对数的底数，若f（2a2）+f（a-3）＜0，则实数a的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分），已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75．（1）求x，y的值；（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）．16.在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，若b=3，c=4，C=2B，且a≠b．（1）求cos B及a的值；（2）求的值．17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC=AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点．（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；（2）求二面角P-AC-E的余弦值；（3）直线PB上是否存在一点F，使得PD∥平面ACF，若存在，求出PF的长，若不存在，请说明理由．18.已知数列{a n}的前n项和S n=-a n-（）n-1+2（n∈N*），数列{b n}满足b n=2n a n．（Ⅰ）求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=log2，数列{}的前n项和为T n，求满足T n（n∈N*）的n的最大值．19.已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F（c，0），直线l：与x轴相交于点T，且F是AT的中点．（1）求椭圆的离心率；（2）过点T的直线与椭圆相交于M、N两点，M、N都在x轴上方，并且M在N、T之间，且N到直线l的距离是M到直线l的距离的2倍．①记△NFM、△NFA的面积分别为S1、S2，求；②若原点O到直线TN的距离为，求椭圆方程．20.已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+2（a≠0）在点（-1，f（-1））处的切线斜率为0．函数（1）试用含a的代数式表示b；（2）求g（x）的单调区间；（3）令a=-1，设函数g（x）在x1、x2（x1＜x2）处取得极值，记点A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2）），证明：线段AB与曲线g（x）存在异于A，B的公共点．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={x|（x+2）（x-3）≥0}={x|x≥3或x≤-2}，∁R A={x|-2＜x＜3}，则（∁R A）∪B={x|x＞-2}=（-2，+∞），故选：D．求出集合的等价条件，结合补集并集定义进行计算即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，结合补集并集的定义是解决本题的关键．比较基础．2.【答案】A【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，-3），化目标函数z=2x+4y为y=，由图可知，当直线y=过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为-6．故选：A．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3.【答案】B【解析】解：依次运行流程图，结果如下：n=13，S=0满足判断框内的条件n≥a，S=13，n=12满足判断框内的条件n≥a，S=25，n=11满足判断框内的条件n≥a，S=36，n=10满足判断框内的条件n≥a，S=46，n=9此时，不满足判断框内的条件n≥a，退出循环，所以a的取值范围是9＜a≤10．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查了祖暅原理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用祖暅原理可得：A、B在等高处的截面积恒相等”，可得：A、B的体积相等．即可判断出p与q的关系．【解答】解：设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等．由“A、B在等高处的截面积恒相等”，由祖暅原理，可得：A、B的体积相等．因此可得：A、B的体积不相等，必然：A、B在等高处的截面积不恒相等．即p⇒q，反之不成立．∴p是q的充分不必要条件．故选A．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查指数函数和对数函数的性质,属于基础题.解题的关键是借助指数函数和对数函数的单调性得出与0, 1这样的特殊值的大小关系, 从而得出答案.【解答】解: ∵,, ,∴,故选C.6.【答案】D【解析】解：将y=f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度得：g（x）=sin3（x+φ）-cos3（x+φ）=sin（3x+3φ）-cos（3x+3φ），①当φ=时，g（x）=sin3x+cos3x，不合题意，②当φ=时，g（x）=cos3x，不合题意，③当φ=时，g（x）=-sin3x-cos3x，不合题意，④当φ=π时，g（x）=-sin3x+cos3x，满足题意，综合①②③④得：选项D满足题意，故选：D．三角函数图象的平移及诱导公式，两角和与差的正，余公式逐一检验即可得解本题考查了三角函数图象的平移及诱导公式，属中档题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了双曲线、抛物线的性质，属于中档题．求出P点坐标，计算|PF1|，|PF2|，列方程计算a的值即可得出答案．【解答】解：双曲线的标准方程为-=1，∴双曲线的右焦点F2（2a，0）为抛物线y2=8ax的焦点，联立方程组，消元可得3x2-8ax-3a2=0，解得x=3a或x=-（舍）．不妨设P在第一象限，则P（3a，2a），又F1（-2a，0），∴|PF1|==7a，|PF2|==5a，∴|PF1|+|PF2|=12a=12，即a=1．∴抛物线的准线方程为x=-2．故选：C．8.【答案】A【解析】解：要使方程|f（x）-a|+|f（x）-a-1|=1，则当且仅当f（x）-a≥0，且f（x）-a-1≤0时，方程等价为f（x）-a-f（x）+a+1=1，即f（x）≥a，且f（x）≤a+1，得a≤f（x）≤a+1，作出函数f（x）的图象如图：∵f（0）=-1，f（1）=0，f（-1）=，f（-2）=，∴要使a≤f（x）≤a+1的整数解只有两个，则其中一个整数解为x=0，另外一个整数解为x=-1，即满足，得，即-≤a＜，即实数a的取值范围是[-，），故选：A．本题主要考查函数与方程的应用，绝对值不等式，函数图象的应用，是中档题．由题意得，方程当且仅当f（x）-a≥0，且f（x）-a-1≤0成立，即a≤f（x）≤a+1的整数解只有两个，利用数形结合建立不等式关系进行求解即可．9.【答案】【解析】解：∵=，∴|z|2=．故答案为：．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．10.【答案】57【解析】解：令a n=20-3n≥0，解得n≤=6+．则S n的最大值为S6==57．故答案为：57．令a n=20-3n≥0，解得n≤=6+．可得S n的最大值=S6．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】【解析】【分析】本题考查了正方体的表面积和正方体的外接球的表面积，考查空间想象能力，属于基础题．设棱长为a，易得正方体表面积，结合正方体外接球直径为其体对角线长可得球的表面积，即可得解．【解答】解：设正方体棱长为a，则正方体表面积为：S1=6a2，球O的半径为：，所以，∴=．故答案为：．12.【答案】4【解析】解：根据题意，圆C：（x-3）2+（y+1）2=4，圆心为（3，-1），半径r=2，直线l的方程为x+y-2=0，圆心C在直线l上，则|MN|=2r=4；故答案为：4．根据题意，由圆的方程分析圆的圆心与半径，分析可得圆心C在直线l上，则|MN|=2r，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相交时弦长的计算，属于基础题．13.【答案】【解析】解：如图，由题意可知，△MCD∽△MAB∵AB=2CD=4，∴AM=2MC，BM=2MD，设MD=MC=m，则AC=BD=3m，由•=-1，得9m2cos∠CMD=-1，∴cos，在△CMD中，有22=m2+m2-2m2cos∠CMD，即，解得：．∴cos∠CMD=．则cos∠BMC=cos（π-∠BMD）=-cos∠CMD=．故答案为：．由题意画出图形，结合△MCD∽△MAB，可设MD=MC=m，则AC=BD=3m，由•=-1，求得cos，在△CMD中，利用余弦定理求出m2，进一步求得cos∠CMD，则答案可求．本题考查平面向量的数量积运算，训练了利用数量积求斜率的夹角，是中档题．14.【答案】（-）【解析】解：∵，∴f（-x）=e-x-e x+2sin x=-f（x），∵f（x）′=≥2=0∴f（x）在R上单调递增且为奇函数由f（2a2）+f（a-3）＜0，可得f（2a2）＜-f（a-3）=f（3-a），∴2a2＜-a+3，解可得，-，故答案为：（-，1）．先对函数求导，结合导数可判断函数的单调性，进而结合函数的奇偶性即可求解．本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，进而求解不等式，解题的关键是灵活利用导数知识．15.【答案】解：（1）因为甲代表队的中位数为76，其中已知高于76的有77，80，82，88，低于76的有71，71，65，64，所以x=6，因为乙代表队的平均数为75，其中超过75的差值为5，11，13，14，和为43，少于75的差值为3，5，7，7，19，和为41，所以y=3，（2）甲队中成绩不低于80的有80，82，88；乙队中成绩不低于80的有80，86，88，89，甲乙两队各随机抽取一名，种数为3×4=12，其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88．种数为3+1+1=5，所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为p=，（3）因为甲的平均数为：=（64+65+71+71+76+76+77+80+82+88）=75，所以甲的方差S2甲=[（64-75）2+（65-75）2+2×（71-75）2+2×（76-75）2+（77-75）2+（80-75）2+（82-75）2+（88-75）2]=50.2，又乙的方差S2乙=[（56-75）2+2×（68-75）2+（70-75）2+（72-75）2+（73-75）2+（80-75）2+（86-75）2+（88-75）2+（89-75）2]=100.8，因为甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定．【解析】本题考察了茎叶图的运用，求解方差，进行数据的分析解决实际问题，考察了计算能力，准确度．（1）按大小数列排列得出x值，运用平均数公式求解y；（2）判断甲乙两队各随机抽取一名，种数为3×4=12，列举得出甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88．种数为3+1+1=5，运用古典概率求解；（3）求解甲的平均数，方差，乙的平均数，方差，比较方差越小者越稳定，越大，波动性越大．得出结论：甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定．16.【答案】（本题满分为13分）解：（1）在△ABC中，由正弦定理，可得：，…2分∵C=2B，∴=，解得：cos B=，…4分在△ABC中，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，可得：a2-a+7=0，解得a=3，或a=，∵a≠b，∴a=…7分（2）∵cos B=，可得sin B=，∴sin2B=2sin B cosB=，cos2B=2cos2B-1=-，…11分∴cos（2B+）=cos2B-sin2B=-…13分【解析】（1）由正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos B的值，由余弦定理可得a 的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值，利用二倍角公式可求sin2B，cos2B 的值，根据两角和的余弦函数公式可求cos（2B+）的值．本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.【答案】解：（1）证明：四边形ABCD是直角梯形，AB=2CD=2AD=2，∴AC=BC=，AC⊥BC，∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PC⊥AC，又PC∩BC=C，PC,BC⊂平面PBC,∴AC⊥平面PBC，又AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．（2）由（1）可知AC⊥平面PBC，∴AC⊥PC，AC⊥CE，∴∠PCE为二面角P-AC-E的平面角，∵PC=2，BC=，∴CE=PE=PB=•=，∴cos∠PCE==．∴二面角P-AC-E的余弦值为．（3）连接BD交AC于O，过O作OF∥PD交PB于F，连接AF，CF．则PD∥平面ACF．∵AB∥CD，∴，又OF∥PD，∴=2，∴PF=PB=．【解析】本题考查了面面垂直的判定，线面平行的判定，考查二面角的计算，属于中档题．（1）根据直角梯形可得AC⊥BC，再根据AC⊥PC即可得出AC⊥平面PBC，于是平面EAC⊥平面PBC；（2）∠PCE为所求二面角的平面角，利用余弦定理计算cos∠PCE；（3）连接BD交AC于O，过O作OF∥PD，可得PD∥平面ACF，利用相似三角形即可得出PF的长．18.【答案】（Ⅰ）证明：∵S n=-a n-（）n-1+2（n∈N+），当n≥2时，S n-1=-a n-1-（）n-2+2（n∈N+），∴a n=S n-S n-1=-a n+a n-1+（）n-1，化为2n a n=2n-1a n-1+1．∵b n=2n a n．∴b n=b n-1+1，即当n≥2时，b n-b n-1=1．令n=1，可得S1=-a1-1+2=a1，即a1=．又b1=2a1=1，∴数列{b n}是首项和公差均为1的等差数列．于是b n=1+（n-1）•1=n=2n a n，∴a n=．（Ⅱ）解：∵c n=log2=n，∴=-，∴T n=（1-）+（-）+…（-）=1+--，由T n，得1+--，即+＞，∵f（n）=+单调递减，f（4）=，f（5）=，∴n的最大值为4．【解析】（Ⅰ）利用“当n≥2时，a n=S n-S n-1”及其等差数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）先求通项，再利用裂项法求和，进而解不等式，即可求得正整数n的最大值．本题综合考查了“当n≥2时，a n=S n-S n-1”及其等差数列的通项公式、“裂项法”等基础知识与基本方法，考查恒成立问题，正确求通项与数列的和是关键．19.【答案】解：（1）由F是AT的中点，可得-a+=2c，即（a-2c）（a+c）=0，又a、c＞0，则a=2c，可得e=；（2）①过M，N作直线l的垂线，垂足分别为M1，N1，由NN1=2MM1，得M是NT的中点，可得，又F是AT中点，即有S△ANF=S△TNF，故；②设F（c，0），则椭圆方程为，由①知M是N，T的中点，不妨设M（x0，y0），则N（2x0-4c，2y0），又M，N都在椭圆上，即有，即，两式相减得：，解得，可得，故直线MN的斜率为k=，直线MN的方程为y=-（x-4c），即x+6y-4c=0，原点O到直线TN的距离为d=，依题意，解得c=，故椭圆方程为．【解析】（1）由题意列关于a，c的方程，求解即可得到椭圆的离心率；（2）①过M，N作直线l的垂线，垂足分别为M1，N1，由N到直线l的距离是M到直线l的距离的2倍结合三角形底面积公式计算即可得到所求比值；②设F（c，0），则椭圆方程为，运用点差法求得直线MN的斜率和方程，运用点到直线的距离公式求解c，计算即可得到所求椭圆方程．本题考查椭圆的离心率的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算能力，属于难题．20.【答案】解：（1）由f（x）=ax2+（b+1）x+2（a≠0），得f'（x）=2ax+b+1，∵f（x）在点（-1，f（-1））处的切线斜率为0，∴f'（-1）=-2a+b+1=0，∴b=2a-1；（2）由（1）得g（x）=，则g'（x）=x2+2ax+（2a-1）=（x+1）（x+2a-1），令g'（x）=0，则x=-1或x=1-2a，①当a＞1时，1-2a＜-1，当x∈（1-2a，-1）时，g'（x）＜0，此时g（x）递减；当x∈（-∞，1-2a）∪（-1，+∞）时，g'（x）＞0，此时g（x）在（-∞，1-2a）和（-1，+∞）上递增；②当a=1时，1-2a=-1，此时g'（x）≥0恒成立，∴g（x）在R上单调递增；③当a＜1时，1-2a＞-1，同理可得g（x）的增区间为（-∞，-1）和（1-2a，+∞），单调减区间为（-1，1-2a）；综上，当a＞1时，f（x）的单调减区间为（1-2a，-1），单调增区间为（-∞，1-2a）和（-1，+∞）；当a=1时，f（x）的单调增区间为R；当a＜1时，f（x）的单调减区间为（-1，1-2a），单调增区间为（-∞，-1）和（1-2a，+∞）；（3）当a=-1时，g（x）=，令g'（x）=0，则x=-1或x=3，由（2）得g（x）的单调增区间为（-∞，-1）和（3，+∞），单调减区间为（-1，3），∴函数g（x）在-1和3处取得极值，∴A（-1，），B（3，-9），∴直线AB的方程为y=，由得x3-3x2-x+3=0，令F（x）=x3-3x2-x+3，易得F（0）=3＞0，F（2）=-3＜0，而F（x）的图象在（0，2）内是一条连续不断的曲线，故F（x）在（0，2）内存在零点x0，即线段AB与曲线g（x）有异于A，B的公共点．【解析】（1）求导后利用f'（-1）=0，即可；（2）求导后分a＞1，a=1和a＜1三种情况求出单调区间即可；（3）由g（x）的极值得到A，B两点的坐标，进一步得到直线AB的方程，联立方程求解即可．本题考查了利用导数求函数的单调区间和极值，考查了分类讨论思想，属难题．。
2020年6月天津市南开中学2020届高三毕业班高考模拟考试数学答案解析
天津市南开中学
2020届高三毕业班下学期高考模拟考试
数学试题参考答案解析
2020年6月
第一部分
1. D【解析】因为 ，
所以 ．
2. A
3. C
4. C
5. D
【解析】由图可知 最小正周期为 ；又可推得图中 的一个最低点为 ,一个最高点为 ,所以 的单调递减区间为 , ．
6. A【解析】由题意 ,
则直线 的方程为 ．
令 ，得点 的横坐标 ．
又 ，从而 ．
同理， ．
由 得 ．
则 ， ．
所以
又 ，
所以 ．
解得 ，所以直线 经过定点 ．
20. （1） ，则 ，
令 ，得 ，
所以 在 上单调递增．
令 ，得 ，
所以 在 上单调递减．
（2） 因为 ，
所以 ，
所以 的方程为 ．
依题意， ， ．
于是 与抛物线 切于点 ，
如图，过 作 于 ，连接 ．
∴ 是 在平面 内的射影，
∴ ，
∴ 为二面角 的平面角．
在 中， ， ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴二面角 的大小为 ．
方法二：
过 作 于 ，连接 ，设 ，则 ， ， ．
∵ ，
∴
∵ 共线，
∴
由①、②，解得 ， ， ，
∴ 点的坐标为 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ 为二面角 的平面角．
∵ ， ，
∴ ，
∴二面角 的大小为 ．
18. （1） 设数列 的公差为 ，
令 ，得 ，所以
令 ，得 ，所以
天津市南开区2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析
天津市南开区2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．12B ．12-C ．12i D ．12i -【答案】A 【解析】 【分析】由()1i z i +=得1z ii=+,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数z ,从而可得z 的虚部. 【详解】 因为(1)i z i +=,所以22(1)1111(1)(1)11221i i i i i i z i i i i i --+=====+++-+-, 所以复数z 的虚部为12. 故选A. 【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.2．已知{}1A x x =<，{}21xB x =<，则A B =U （ ） A ．()1,0- B ．()0,1C ．()1,-+∞D ．(),1-∞【答案】D 【解析】 【分析】分别解出集合,A B 、然后求并集. 【详解】解：{}{}111A x x x x =<=-<<，{}{}210xB x x x =<=<A B =U (),1-∞故选：D 【点睛】考查集合的并集运算，基础题.3．已知复数z 满足i•z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（）A ．﹣1﹣2iB ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．1+2i【答案】D 【解析】 【分析】两边同乘-i ，化简即可得出答案． 【详解】i•z ＝2+i 两边同乘-i 得z=1-2i,共轭复数为1+2i ，选D. 【点睛】(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为z a bi =-4．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，对称轴与准线的交点为T ，P 为C 上任意一点，若2PT PF =，则PTF ∠=（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．75°【答案】C 【解析】 【分析】如图所示：作PM 垂直于准线交准线于M ，则PM PF =，故2PT PM =，得到答案. 【详解】如图所示：作PM 垂直于准线交准线于M ，则PM PF =， 在Rt PTM ∆中，2PT PM =，故30PTM ∠=︒，即60PTF ∠=︒. 故选：C .【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.5．已知等差数列{}n a 的公差为-2，前n 项和为n S ，若2a ，3a ，4a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，则n S 的最大值为（ ） A ．5 B ．11 C ．20 D ．25【答案】D 【解析】 【分析】由公差d=-2可知数列单调递减，再由余弦定理结合通项可求得首项，即可求出前n 项和，从而得到最值. 【详解】等差数列{}n a 的公差为-2，可知数列单调递减，则2a ，3a ，4a 中2a 最大，4a 最小， 又2a ，3a ，4a 为三角形的三边长，且最大内角为120︒，由余弦定理得22223434a a a a a =++，设首项为1a ，即()()()()()222111112a 4a 6a 4a 60a -=-+-+--=得()()11490a a --=，所以14a =或19a =，又41a 60a ，=->即1a 6>,14a =舍去，19a =故，d=-2 前n 项和()()()219n 25252n n n S n -=+⨯-=--+.故n S 的最大值为525S =. 故选：D 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查求前n 项和的最值问题，同时还考查了余弦定理的应用.6．若双曲线22214x y a -= ）A ．B ．C ．6D ．8【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得24b =，再根据离心率求出2a ，即可求出c ，从而得解； 【详解】解：∵双曲线22214x y a -=所以22413e a=+=，∴22a =，∴6c =，双曲线的焦距为26. 故选：A 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.7．已知ba b c a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】利用函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数12log y x =互为反函数，可得01a b <<<，再利用对数运算性质比较a,c 进而可得结论. 【详解】依题意，函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数12log y x =关于直线y x =对称，则0.21210log 0.22⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即01a b <<<，又0.211220.2log 0.2log 0.20.20.20.211110.22252bc a a ⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====<= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，c a b <<. 故选：B. 【点睛】本题主要考查对数、指数的大小比较，属于基础题. 8．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n 1=时，当n=k+1时左端应在n=k 的基础上加上的式子，可以分别使得n=k ，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k 时等式的左端，即可得到答案． 【详解】当n=k 时，等式左端=1+1+…+k 1，当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k 1+k 1+1+k 1+1+…+（k+1）1，增加了项（k 1+1）+（k 1+1）+（k 1+3）+…+（k+1）1． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( ) A ．9 B ．12C ．15-D ．18-【答案】A 【解析】 【分析】由80S =，33a =-可得1,a d 以及9a ，而989S S a =+，代入即可得到答案. 【详解】设公差为d ，则1123,8780,2a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得17,2,a d =-⎧⎨=⎩ 9189a a d =+=，所以9899S S a =+=.故选：A. 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题. 10．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（ ）A ．[32]-，B ．[42]-，C ．[0]2，D ．2[3]e -，【答案】B 【解析】 【分析】由题意，框图的作用是求分段函数[]222321ln 1t t t S t t t e ⎧+-∈-⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩，，（），，的值域，求解即得解. 【详解】 由题意可知，框图的作用是求分段函数[]222321ln 1t t t S t t t e ⎧+-∈-⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩，，（），，的值域， 当[2,1),[4,0)t S ∈-∈-； 当2[1,],[0,2]t e S ∈∈综上：[]42S ∈-，. 故选：B 【点睛】本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.11．已知1F ，2F 是双曲线222:1xC y a-=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B两点，若AB =△2ABF 的内切圆的半径为（ ）A．3 B．3CD【答案】B 【解析】 【分析】设左焦点1F 的坐标， 由AB 的弦长可得a 的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF 2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径. 【详解】由双曲线的方程可设左焦点1(,0)F c -，由题意可得22b AB a==，由1b =，可得a =所以双曲线的方程为: 2212x y -=所以12(3,0),(3,0)F F -， 所以21211223622ABF S AB F F =⋅⋅=⋅⋅=V 三角形ABF 2的周长为()()22112242422262C AB AF BF AB a AF a BF a AB =++=++++=+=+=设内切圆的半径为r ，所以三角形的面积11623222S C r r r =⋅⋅=⋅⋅=， 所以326r =，解得33r =， 故选：B 【点睛】本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.12．半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．4C ．163D ．203【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积. 【详解】如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，2，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，∴该几何体的体积为11202228111323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选：D.【点睛】本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年天津市南开区高考数学二模试卷(含答案解析)
2020年天津市南开区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.复数是虚数单位在复平面内对应点的坐标为A. B. C. D.2.某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为6：5：7，防疫站欲对该校学生进行身体健康调查，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为n的样本，样本中高三年级的学生有21人，则n等于A. 35B. 45C. 54D. 633.方程表示圆的一个充分不必要条件是A. B.C. D.4.设，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.5.如图，长方体的底面是面积为2的正方形，该长方体的外接球体积为，点E为棱AB的中点，则三棱锥的体积是A. B. C. D. 16.已知双曲线C：的离心率为，以双曲线C的右焦点F为圆心，a为半径作圆F，圆F与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，则A. B. C. D.7.某学校食堂为了进一步加强学校疫情防控工作，降低学生因用餐而交叉感染的概率，规定：就餐时，每张餐桌如图至多坐两个人，一张餐桌坐两个人时，两人既不能相邻，也不能相对即二人只能坐在对角线的位置上现有3位同学到食堂就餐，如果3人在1号和2号两张餐桌上就餐同一张餐桌的4个座位是没有区别的，则不同的坐法种数为A. 6B. 12C. 24D. 488.已知函数，的图象关于直线对称，且与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，则函数的导函数的一个单调减区间为A. B. C. D.9.如图，在边长的等边三角形ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，O为的中心，过点O的直线与直线BC交于点P，与直线DE交于点Q，则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.已知集合，或，则______．11.若的二项展开式中的系数为，则______用数字作答．12.过点的直线l与圆相切，则直线l在y轴上的截距为______．13.一袋中装有6个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则袋中白球的个数为______；从袋中任意摸出2个球，则摸到白球的个数X的数学期望为______．14.已知，则的最小值为______．15.已知定义在R上的偶函数在上单调递增，且若，则x的取值范围是______；设函数若方程有且只有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，已知．Ⅰ求cos B及tan2B的值；Ⅱ若，，求c的值．17.如图所示，平面平面ABCD，且四边形ABCD为平行四边形，，四边形CDEF为直角梯形，，，，，．求证：；Ⅱ若线段CF上存在一点M，满足平面BDM，求的值；Ⅲ若，求二面角的余弦值．18.已知，为椭圆C：的左、右焦点，椭圆C过点，且．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ经过点的直线交椭圆C于A，B两点，若存在点，使得．求实数m的取值范围：若线段的垂直平分线过点Q，求实数m的值．19.设是各项都为整数的等差数列，其前n项和为，是等比数列，且，，，．Ⅰ求数列，的通项公式；Ⅱ设，．求；求证：．20.设函数．Ⅰ若是函数的一个极值点，求k的值及单调区间；Ⅱ设，若在上是单调增函数，求实数k的取值范围；Ⅲ证明：当，及时，．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：，复数是虚数单位在复平面内对应点的坐标为．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.答案：C解析：解：某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6：5：7，高三年级学生的数量占总数的，分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本，若已知高三年级被抽到的人数为21人，．故选：C．由某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6：5：7，知高三年级学生的数量占总数的，再由分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本，高三年级被抽到的人数为21人，能求出n．本题考是查分层抽样的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．3.答案：D解析：解：由，得，若方程表示圆，则，即．，B为方程表示圆的既不充分也不必要条件，C为充要条件，而，，则D为充分不必要条件．故选：D．化为，由求得k的范围，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查圆的一般式方程，考查充分必要条件的判定，是基础题．4.答案：A解析：解：，，，，．故选：A．根据即可得出，并得出，从而可得出a，b，c的大小关系．本题考查了指数函数和对数函数的单调性，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．5.答案：C解析：解：长方体的底面是面积为2的正方形，该长方体的外接球体积为，设长方体的外接球的半径为R，则，解得该长方体的外接球半径为，，解得，，三棱锥的体积．故选：C．由该长方体的外接球体积为，求出该长方体的外接球半径为，从而求出，由此能求出三棱锥的体积．本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了学生运用数学基础知识解决实际问题的能力，是中档题．6.答案：C解析：解：离心率，，由题意可知，双曲线的渐近线方程为，点，不妨设与圆F相交的渐近线为，则点F到直线MN的距离为，，，．故选：C．因为离心率，所以，不妨设与圆F相交的渐近线为，则点到直线MN的距离为，所以，，所以．本题考查双曲线的性质，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：若在2人在1号餐桌，1人在2号餐桌，则有种，若在1人在1号餐桌，2人在2号餐桌，则有种，则共有不同的坐法种．故选：B．根据分类计数原理即可求出．本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题．8.答案：A解析：解：函数，的图象关于直线对称，且与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，故函数的周期为，．故，，，则函数的导函数令，可得，故的减区间为，，故选：A．先根据三角函数的图象和性质求出的解析式，可得它的导数，再利用余弦函数的单调性，得出结论．本题主要考查三角函数的图象和性质，三角函数的导数，属于基础题．9.答案：D解析：解：由题意，如图建立平面直角坐标系：因为三角形ABC边长为，故，故：DE：；，．所以直线PQ：，由对称性，不妨设．所以由得；由得所以，所以，特别的，当轴时，，，．故．故选：D．因为是等边三角形，所以可建立平面直角坐标系，设出PQ的方程，解出P，Q的坐标，即可将问题转化为直线PQ斜率k的函数，求其值域即可．本题考查平面向量在几何问题中的应用，基本思路是：建立坐标系，将问题转化为关于k的函数，然后求其最值．属于中档题．10.答案：解析：解：或，，且，．故答案为：．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．11.答案：2解析：解：通项，当时，，所以系数为，得．故答案为2利用二项展开式的通项公式求出展开式的第项，令x的指数为3，求出展开式中的系数，列出方程求出a．本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．12.答案：4解析：解：根据题意，圆，对于点，有，即点在圆上，则切线l的方程为，变形可得，直线l在y轴上的截距为4；故答案为：4根据题意，分析可得点在圆上，由圆的切线方程可得切线l的方程为，变形分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线方程的计算，属于基础题．13.答案：3 1解析：解：设袋中有白球m个，则有黑球个，设事件A：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球，则，，即，解得或舍．，，，．故答案为：3，1．设白球个数为m，根据古代概型概率公式和对立事件概率公式列方程计算m，计算X的各种取值对应的概率，再计算数学期望．本题考查了组合数公式计算，离散型随机变量的分布列与数学期望，属于基础题．14.答案：4解析：解：根据题意，，则有，当且仅当时等号成立，则原式，又由，则，则有，当且仅当，即时等号成立，综合可得：的最小值为4，当且仅当时等号成立故答案为：4．根据题意，由基本不等式的性质分析可得，进而可得，据此由基本不等式的性质分析可得的最小值，即可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，注意放缩法的应用，属于基础题．15.答案：，解析：解：是偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，且，由可得：，，即．由可得或．由函数解析式可知在和上均为增函数，故当时，，当时，，若，则有1解，有2解，不符合题意；，此时有2解，有1解，不符合题意；若，则有1解，有1解，符合题意；若，则有1解，有1解，符合题意；若，则有2解，有1解，不符合题意；若，则有2解，有1解，不符合题意；综上，或，解得或．故答案为：，，．根据的奇偶性和单调性列不等式求出x的范围，根据的单调性和最值，分情况讨论最值和的关系，从而确定a的范围．本题考查了函数零点与方程的关系，函数单调性与零点个数判断，属于中档题．16.答案：解：Ⅰ，由余弦定理可得：，，，，；Ⅱ．由正弦定理，可得．解析：Ⅰ由已知利用余弦定理可得cos B，利用同角三角函数基本关系式可求sin B，利用二倍角公式可求sin2B，cos2B，进而根据同角三角函数基本关系式可求tan2B的值．Ⅱ由已知利用两角和的正弦函数公式可求sin C的值，进而由正弦定理可得c的值．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17.答案：解：平面平面ABCD，，平面ABCD，如图，以D为原点，DC所在直线为y轴，过点D垂直于DC的直线为x轴，建立空间直角坐标系，，，，，2，，3，，0，，1，，，，；设，则，设平面BDM的法向量为，则，取，则，若平面BDM，则，即，解得，线段CF上存在一点M，满足平面BDM，此时；设平面BCF的法向量为，则，取，则，又平面BCD的一个法向量为，，由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为．解析：建立空间直角坐标系，求出直线AD及直线BF的方向向量，利用两向量的数量积为0，即可得证；设，根据题设数据，求出平面BDN的一个法向量，以及直线AE的方向向量，利用平面BDM，建立关于的方程，解出即可；求出平面BCF及平面BCD的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．本题主要考查空间向量在立体几何中的运用，考查利用空间向量求证线线垂直以及线面平行，求解二面角等问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题．18.答案：解：Ⅰ因为椭圆过，，所以解得：，，所以椭圆的方程为：；Ⅱ设直线的方程为：，代入椭圆的方程，整理可得：，因为直线l与椭圆C由两个交点，所以，解得；设，，则有，，设AB中点为，则有，，当时，因为，，，解得，，当，可得，综上所述：由题意，且，由，整理可得：，所以，也是此方程的两个根，所以，，所以，解得，所以．所以m的值为．解析：Ⅰ由椭圆过M点，及且，可得，可得a，b的值，求出椭圆的方程；Ⅱ设直线AB的方程与椭圆联立求出两根之和，可得AB的中点N的坐标，由可得直线可得斜率之积为，可得m的表达式，进而可得m的范围；由题意，且，可得：，所以，，可得，解得，进而求出m的值．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中难题．19.答案：解：Ⅰ设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由，，，可得，，解得，或，，由于是各项都为整数的等差数列，所以，，从而，，；Ⅱ，，，；证明：，而，，，由于，可得．则．解析：Ⅰ设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；Ⅱ运用对数的运算性质和等差数列的求和公式可得，，再由数列的分组求和，结合等差数列的求和公式，计算可得所求和；推得，再由数列的裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的裂项相消求和、放缩法的运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20.答案：解：Ⅰ，是函数的一个极值点，，解得：，，当，即或时，递增，当，即时，递减，在递增，在递减，在递增；Ⅱ，，若在上是单调增函数，则对恒成立，令，，若，则，在递减，，不合题意；若，由解得：，，当时，，时，，递减，，不合题意，；当时，，时，，递增，，即对任意恒成立，综上，时，在是单调递增函数；Ⅲ，．，，不妨设，则，构造函数，，其中，，由Ⅱ知，，，，，，，，在递减，，，，故原不等式成立．解析：Ⅰ求出函数的导数，得到关于k的方程，求出k，求出函数的单调区间即可；Ⅱ求出函数的导数，问题转化为恒成立，求出的导数，通过讨论k的范围，求出函数的最小值，求出k的范围即可；Ⅲ问题转化为证明，不妨设，构造函数，，其中，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
2020-2021学年天津市高三第二次模拟考试数学试题(文)及答案解析
高考二模考试数学试卷（文史类）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数i t z +=21,i z 212-=,若21z z 为实数,则实数t 的值是( ) A ．41- B ．-1 C ．41 D ．1 2. 设集合}01{2<-=x x A ,},2{A x y y B x ∈==,则=B A I ( )A ．(0,1)B ．(-1,2)C ．),1(+∞-D ．)1,21( 3. 已知函数⎩⎨⎧<≥•=-0,20,2)(x x a x f x x (R a ∈).若1)]1([=-f f ,则=a ( ) A ．41 B ．21 C ．2 D ． 1 4. 若a ,R b ∈，直线l :b ax y +=,圆C :122=+y x .命题p :直线l 与圆C 相交；命题q ：12->b a .则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件5. 为丰富少儿文体活动，某学校从篮球，足球，排球，橄榄球中任选2种球给甲班学生使用，剩余的2种球给乙班学生使用，则篮球和足球不在同一班的概率是( )A ．31B ．21 C. 32 D ．65 6. 已知抛物线x y 82=的准线与双曲线116222=-y a x 相交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，ABF ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．12+ C.2 D ．37. 若数列}{n a ，}{n b 的通项公式分别为a a n n •-=+2016)1(，nb n n 2017)1(2+-+=，且n n b a <，对任意*∈N n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．)21,1[- B ．[-1,1） C.[-2,1) D ．)23,2[- 8. 已知函数⎩⎨⎧≤++<+=a x x x a x x x f ,25,2)(2，若函数x x f x g 2)()(-=恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[-1,1)B ．[-1,2) C. [-2,2) D ．[0,2]第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间为 ．10.执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 值分别为0和9，则输出的i 值为 ．11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．12.已知0>a ，0>b ，且42=+b a ，则ab1的最小值是 ． 13.已知0>ω，在函数x y ωsin =与x y ωcos =的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为3，则ω值为 ．14.如图，已知ABC ∆中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上，且满足2==PB MP MC AM ，若2=AB ，3=AC ，︒=∠120BAC ，则BC AP •的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.投资人对甲乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？最大盈利额为多少？16. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，已知2)4tan(=+A π.（Ⅰ）求)32cos(π+A 的值；（Ⅱ）若4π=B ，3=a ，求ABC ∆的面积.17. 如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，BC AD //，且，3===AC AD AB ，4==BC PA ，M 为线段AD 上一点，MD AM 2=，且N 为PC 的中点.（Ⅰ）证明：//MN 平面PAB ；（Ⅱ）求证：平面⊥PMC 平面PAD ；（Ⅲ）求直线AN 与平面PMC 所成角的正弦值.18. 已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 832+=，}{n b 是等差数列，且1++=n n n b b a .（Ⅰ）求数列}{n b 的通项公式； （Ⅱ）令nn n n n b a c )2()1(1++=+，求数列}{n c 的前n 项和n T . 19. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，直线x y =被椭圆C 截得的线段长为5104. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点），点D 在椭圆C 上，且AB AD ⊥.直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点.设直线BD ，AM 的斜率分别为1k ，2k ，证明存在常数λ使得21k k λ=，并求出λ的值.20.选修4-4：坐标系与参数方程 设函数xm x x f +=ln )(，R m ∈. （Ⅰ）当e m =时，求函数)(x f 的极小值； （Ⅱ）讨论函数3)()(x x f x g -'=零点的个数； （Ⅲ）若对任意的0>>a b ，1)()(<--ab b f a f 恒成立，求m 的取值范围.数学试卷（文史类）参考答案一、选择题1-5:ADABC 6-8:ADB二、填空题9. ),2(+∞ 10.3 11.335 12. 21 13. π 14.-2三、解答题15.解：设甲、乙两个项目的投资分别为x 万元，y 万元，利润为z （万元），由题意有：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,8.11.03.0,10y x y x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,8.113,10y x y x y x y x z 5.0+=.作出不等式组的平面区域：当直线z x y 22+-=过点M 时，纵横距最大，这时z 也取得最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+18310y x y x .得4=x ，6=y ，即)6,4(M .765.041=⨯+⨯=z .故投资人投资甲项目4万元，投资乙项目6万元，可能的盈利最大，最大盈利7万元.16.解：（Ⅰ）∵2)4tan(=+A π，则2tan 4tan 1tan 4tan =-+A Aππ，∴31tan =A . ∵A 为三角形内角，则),0(π∈A ，则1010sin =A ，10103cos =A ， ∴53cos sin 22sin ==A A A ，541cos 22cos 2=-=A A ， ∴3cos 2cos )32cos(ππA A =+1010343sin 2sin -=-πA . （Ⅱ）由正弦定理可知，Aa Bb sin sin =∴53=b . ∵B A B A C cos sin )sin(sin =+=552sin cos =+B A . ∴9sin 21==C ab S . 17.解：（1）取PB ，BC 中点E ，F ，连EN ，AE ，AF ，由N 为PC 中点，所以BC EN //，且221==BC EN .由MD AM 2=，3=AC ，则2=AM ，又BC AD //，则AM EN //. 所以四边形ENMA 为平行四边形，所以AE MN //，且⊂AE 面PAB ，⊄MN 面PAB ，则//MN 面PAB .（2）∵AC AB =，∴BC AF ⊥，又FC AM //，2==FC AM 所以四边形AFCM 为平行四边形，故AD CM ⊥.又∵⊥PA 面ABCD .⊂CM 面ABCD ，∴⊥CM PA .又A PA AD =I ，所以⊥CM 面PAD ，∵⊂CM 面ABCD ，∴面⊥PMC 面PAD .（3）过A 作PM AG ⊥，垂足为G .由（2）知面⊥PMC 面PAD ，面I PMC 面PAD PM =，⊂AG 面PAD ，∴⊥AG 面PMC ，连接AN ，GN .则GN 为AN 在平面PMC 上的射影，∴ANG ∠为AN 与平面PMC 所成角. ANG Rt ∆中==PC AN 21252122=+AC PA ， 55422=+•=AM PA AMPA AG ，2558sin ==∠AN AG ANG ， ∴AN 与平面PMC 所成角正弦值为2558.18. 解：（Ⅰ）由题知，当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ；当1=n 时，1111==S a ，符合上式.所以56+=n a n .设数列}{n b 的公差d ，由⎩⎨⎧+=+=,,322211b b a b b a 即为⎩⎨⎧+=+=,3217,21111d b d b ，解得41=b ，3=d ，所以13+=n b n .（Ⅱ）112)1(3)33()66(+++=++=n nn n n n n c ，n n c c c T +++=...21，则 +⨯+⨯⨯=322322[3n T ]2)1(...1+⨯++n n ，+⨯+⨯⨯=432322[32n T ]2)1(...2+⨯++n n ，两式作差，得+++⨯⨯=-4322222[3n T ]2)1(2...21++⨯+-+n n n]2)1(21)21(44[32+⨯+---+⨯=n n n223+•-=n n .所以223+•=n n n T .19. 解：（Ⅰ）∵23=e ，∴23=a c ，4322222=-=a b a a c ，∴224b a =.① 设直线x y =与椭圆C 交于P ，Q 两点，不妨设点P 为第一象限内的交点.∴5104=PQ ，∴)552,552(P 代入椭圆方程可得222245b a b a =+.② 由①②知42=a ，12=b ，所以椭圆的方程为：1422=+y x . （Ⅱ）设)0)(,(1111≠y x y x A ),(22y x D ，则),(11y x B --，直线AB 的斜率为11x y k AB =，又AD AB ⊥，故直线AD 的斜率为11x y k -=.设直线AD 的方程为m kx y +=，由题知 0≠k ，0≠m 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y ，得mkx x k 8)41(22++0442=-+m . ∴221418k mk x x +=+，)(2121x x k y y +=+24122km m +=+，由题意知021≠+x x ， ∴1121211441x y k x x y y k =-=++=，直线BD 的方程为)(41111x x x y y y +=+. 令0=y ，得13x x =，即)0,3(1x M ，可得=2k 112x y -，∴2121k k -=，即21-=λ. 因此存在常数21-=λ使得结论成立. 20. 解：（1）由题设，当e m =时，x e x x f +=ln )(，易得函数)(x f 的定义域为),0(+∞，221)(xe x x e x xf -=-='.∴当),0(e x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 在),0(e 上单调递减； ∴当),(+∞∈e x 时，0)(>'x f ，)(x f 在),(+∞e 上单调递增；所以当e x =时，)(x f 取得极小值2ln )(=+=ee e ef ，所以)(x f 的极小值为2. （2）函数=-'=3)()(x x f x g 312x x m x --)0(>x ，令0)(=x g ，得x x m +-=231)0(>x . 设)0(31)(2≥+-=x x x x ϕ，则=+-='1)(2x x ϕ)1)(1(+--x x . ∴当)1,0(∈x 时，0)(>'x ϕ，)(x ϕ在（0,1）上单调递增；∴当),1(+∞∈x 时，0)(<'x ϕ，)(x ϕ在),1(+∞上单调递减；所以)(x ϕ的最大值为32131)1(=+-=ϕ，又0)0(=ϕ，可知： ①当32>m 时，函数)(x g 没有零点； ②当32=m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点； ③当320<<m 时，函数)(x g 有2个零点； ④当0≤m 时，函数)(x g 有且只有1个零点.综上所述： 当32>m 时，函数)(x g 没有零点；当32=m 或0≤m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点；当320<<m 时，函数)(x g 有2个零点. （3）对任意0>>a b ，1)()(<--a b a f b f 恒成立，等价于a a f b b f -<-)()(恒成立. )(*.设=-=x x f x h )()()0(ln >-+x x xm x ，∴)(*等价于)(x h 在),0(+∞上单调递减. ∴011)(2≤--='x m x x h 在),0(+∞上恒成立， ∴=+-≥x x m 241)21(2+--x )0(>x 恒成立， ∴41≥m （对41=m ，0)(='x h 仅在21=x 时成立）. ∴m 的取值范围是),41[+∞.。
2020年天津市南开区高考数学二模试卷(解析版)
2020年高考数学二模试卷、选择题（共9小题）.1 .复数？?= 4-4??（?是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为（行身体健康调查，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 样本中高三年级的学生有 21人，则n 等于（3.方程x 2+y 2- kx+2y+k 2-2 = 0表示圆的一个充分不必要条件是C . k ∈ (- 2, 2)5.如图，长方体 ABCD - A I B I C I D I 的底面是面积为圆心，a 为半径作圆F ,圆F 与双曲线C 的一条渐近线交于A . k ∈ (-∞, 2)∪( 2, +∞)B . k ∈ ( 2, + ∞) 4.设??= ????，???=-??????? ?? ???陀?则a , b , C 的大小关系是A . b > a > CB . a > b >C b > c > aa > c >b 32T ∏点E 为棱AB的中点，则三棱锥D i - ACE 的体积是（■*■• ■iJ■ ■ ■■ ■■ « Φ■・ ■ A * ■ • 4 I-i∕f > ■I ■ F: H ■ 4■ B >■ * *;J-E2 √2B 3A .2√??C l6.已知双曲线?? C:—????菸=1 (a > 0,b > 0）的离心率为√6 ,以双曲线C 的右焦点F 为 2A . 45B .60° C . 90°D . 120°A . ( 1, 0)B . ( 0, 1)43、C . (5 , -S )2.某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为6: 5：防疫站欲对该校学生进n 的样本,A . 35B . 45C . 54 63D . k ∈ (0, 1]2的正方形，该长方体的外接球体积为M,N 两点，则∠ MFN =()7•某学校食堂为了进一步加强学校疫情防控工作，降低学生因用餐而交叉感染的概率，规定：就餐时，每张餐桌(如图)至多坐两个人，一张餐桌坐两个人时， 两人既不能相邻， 也不能相对(即二人只能坐在对角线的位置上)•现有 3位同学到食堂就餐，如果 3人在1号和2号两张餐桌上就餐(同一张餐桌的 4个座位是没有区别的)，则不同的坐法9 9A . [3 , + ∞)B .(-∞, 3)C . (- ∞, -)D . (- ∞,-]二、填空题：本大题共 6个小题，每小题5分，共30分•请将答案填在题中横线上.10. _____________________________________________________________________ 已知集合 A = {x| (x+1 )( X - 2)≤ 0}, ?R B = {x∣x ≤ 0 或 x >3},贝U A ∩ B = ___________ 11. __________________________________________________ 若(X 2+ ????6的二项展开式中X 3的系数为5 ,则a = __________________________________________ (用数字作答).12. __________________________________________________________________ 过点(-B . 12 C . 24 D . 48&已知函数 f (X ) = Sin ( ωx+ φ)ω> O , ∣φ∣V ?? , y = f (X )的图象关于直线 X= 5??寸称，且与X 轴交点的横坐标构成一个公差为的一个单调减区间为()??的等差数列，贝U 函数f( X )的导函数f ' (X )2B ■[-挣 1?]?? 7??C. [；，g?? ??D . [-& 39•如图，在边长？"的等边三角形 ABC 中，D , E 分别是边AB , AC 的中点, O ABC的中心，过点 O 的直线与直线BC 交于点P ,与直线DE 交于点Q ,则？????；?的取值范种数为()A . 6 ?? 7??√? ??的直线I与圆x2+y2= 4相切，则直线l在y轴上的截距为 _______________________ .13. 一袋中装有6个大小相同的黑球和白球•已知从袋中任意摸出4白球的概率是―，则袋中白球的个数为；从袋中任意摸出 2个球，则摸到白球的5个数X 的数学期望为 _________ .14•已知ab >0,则西⑷?2)2^??2+4??2)+5的最小值为 ___________________ •4????+115.已知定义在 R 上的偶函数f (X )在(-∞, 0］上单调递增，且f ( - 1)=- 1.若f (X(√??+ ????- ??- ?? ?> ??;设函数??(??= {(√" ■■)■■ ? ■ ?+ ??- ??+ ?? ??≤ ??方程f (g ( x )) +1 = 0有且只有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为 ________三、解答题：(本大题共 5个小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16.在△ ABC 中，角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .已知a 2+c 2= b 2+ √0ac .5(I)求 cosB 及 tan2B 的值；??(∏)若b = 3, A=才，求C 的值.17.如图所示，平面CDEF 丄平面ABCD ,且四边形 ABCD 为平行四边形，∠ DAB = 45四边形 CDEF 为直角梯形，EF // DC , ED 丄 CD , AB = 3EF = 3, ED = a , AD= √? (1)求证：AD 丄BF ;????(∏)若线段 CF 上存在一点 M ,满足AE //平面BDM ,求—的值；???? (川)若a = 1,求二面角 D - BC - F 的余弦值.18.已知F 1, F 2为椭圆C ： — + — = ??(?> ?>??的左、右焦点，椭圆C 过点M(?? ―2), ?■ ?字2 ,且 MF 2⊥ F 1F 2.(I)求椭圆C 的方程；(∏)经过点P (2, 0)的直线交椭圆 C 于A , B 两点，若存在点 Q ( m , 0),使得IQAl = ∣QB∣.(i )求实数m 的取值范围：2个球，至少得到 1个-1) +1≥ 0,则X 的取值范围是(i)若线段F1A的垂直平分线过点Q,求实数m的值.(-1)19.设｛a n ｝是各项都为整数的等差数列， 其前n 项和为S n , ｛b n ｝是等比数列，且a ι = b ι= 1,a 3+b 2= 7, S 5b 2= 50, n €N . (I)求数列{a n } , {b n }的通项公式；(∏ ) 设 C n = Iog 2b 1+log 2b 2+log 2b 3+ … +l0g 2b n , T n = a ??+??+ a ??-+??+ a ??+?? ++a ???■??•(ii )求证： ∑??=?? 1 V 2 √????? 2.(i )求 T n ; 20.( 16 分)设函数 f (x ) = ?????- 2???- ?? ??€??32(I)若X = 1是函数f (X )的一个极值点，求 k 的值及f (X )单调区间;(∏)设 g (x ) = ( x+1) ln (x+1) +f (χ),若 g (X )在[0, +∞)上是单调增函数, 求实数k 的取值范围;(川)证明：当 P >0, q >0 及 mv n(m , n€N *)时，[ ?? + ??p ????-????-??????-??-??/??-??????-??????-I ∑??=?? (-??)?? ??]??+??∑?同？？-1 ∑????-?? ?=?? i -1 2n - 1-i i -^2m -1P q ]3.【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 解∙∙ ∙ Z = 4+3??_ (4+3??)(3+4??) = 25??Z ??3-4??(3-4??)(3+4??)25??故选：B .、选择题:1. 复数2? A .( 1,参考答案 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 4+3?? E??（?是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为（ 3-4?? 0) B . ( 0, 1)•••复数？?= 4+??（?是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为（ 0, 1).2. 某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为6: 5:防疫站欲对该校学生进行身体健康调查，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 n 的样本,样本中高三年级的学生有 21人，则n 等于（3.得k 的范围，然后逐一核对四个选项得答案.A . 35B . 45C . 54D . 63【分析】由某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6: 5: 7知高三年级学生的数量占总数的17r ，再由分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为 n 的样本,高三年级被抽到的人数为 21人，能求出n .解：•••某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为 6: 5: 7, •高三年级学生的数量占总数的 —,18•••分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为 n 的样本，若已知高三年级被抽 到的人数为21人,∙∙∙ n= 21÷ 右=54 .故选：C .方程x 2+y 2- kx+2y+k 2- 2 = 0表示圆的一个充分不必要条件是A . k ∈ (-∞,- 2)∪( 2, +∞)B . k ∈ ( 2, + ∞)C . k ∈ (- 2, 2)D . k ∈ (0, 1]【分析】化 x 2+y 2- kx+2y+k 2- 2= 0 为(??- ????+(??+ ????= ??. 2-???由??- - ???> 0 求4 43解：由 x 2+y 2- kx+2y+k 2- 2= 0, 得（??- ????+ （??+ ????= ??号??? 若方程 x 2+y 2- kx+2y+k 2- 2= 0 表示圆，贝U ??- #???>0,即-2< k V 2..∙. A, B 为方程x 2+y 2 - kx+2y+k 2- 2 = 0表示圆的既不充分也不必要条件， C 为充要条件，而（0，1]?（- 2，2），则D 为充分不必要条件. 故选：D .4.设??= ????,???= -??????? ??= ???遂则 a , b , C 的大小关系是（）2A . b >a >CB . a > b >CC . b >c >aD . a >c > b【分析】根据0< ln2< 1即可得出1< 2ln2< 2,并得出-???????= ?? ?????< ??从而可2得出a , b , C 的大小关系.解: 0< In 2< 1, 1 < 2ln2<2, -???????= ?? log 32< log 33= 1, .b > a > c . 故选：A .5.如图，长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1的底面是面积为解：•••长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的底面是面积为2的正方形,2的正方形，该长方体的外接球体积为的体积是（A . 2√23B . 2√??√3【分析】由该长方体的外接球体积为 32∏, 求出该长方体的外接球半径为 R = 2,从而求出AA 1= 2√??由此能求出三棱锥D 1- ACE 的体积.D 1- ACE该长方体的外接球体积为 一∏设长方体的外接球的半径为R ,34 32则一 ？????= ??解得该长方体的外接球半径为R = 2,3……3…• ∙ √2+2+????1 2 2,解得 AA i = 2√??2 =1 1 1 _ _ 1S ^ ACE = 2 ?△ ?????? 2 × 2 ×√??= 2，.∙.三棱锥 DI - ACE 的体积 V= - × ?△ ???????????= - × — × ??y??=空.3 ' .... • • . 3 2 ' ' 3 故选：C .【分析】因为离心率 e= √?2= V??, ??= √l 所以？?= √2 ,不妨设与圆F 相交的渐近?? …？22 ?? 2|-???|MN 的距离为d —Ξ …，所以Sin ∠ NMF = —?=√1+ ?Z ???????? ??由题意可知，双曲线 一-—=1的渐近线方程为？?=?? ??不妨设与圆F 相交的渐近线为？?= ????则点F 到直线• Sin ∠ NMF =需?=??=汀 NMF= 45°=∠ MNF ,∙∠ MFN = 180°-(∠ NMF +∠ MNF )= 90° 故选：C .7.某学校食堂为了进一步加强学校疫情防控工作，降低学生因用餐而交叉感染的概率，规定：就餐时，每张餐桌（如图）至多坐两个人，一张餐桌坐两个人时， 两人既不能相邻， 也不能相对（即二人只能坐在对角线的位置上）.现有3位同学到食堂就餐，如果 3人6.已知双曲线???- =1 (a > 0, b > 0)的离心率为 √6 ,以双曲线 ?? 2C 的右焦点F 为圆心，a 为半径作圆F ,圆F 与双曲线C 的一条渐近线交于 M ,N 两点，则∠ MFN =(A . 45°B . 60°C . 90°D . 120°线为？?= ????则点F （c, 0）到直线 ?? ??√2, ∠ NMF = 45°=∠ MNF , 2所以∠ MFN = 180°-(∠ NMF + ∠ MNF )= 90°.解: •••离心率 e= √? = V??, ?I=√6- ? ?? VT—= ?? 2?? 」±????点 F (c , 0),= Jh= ??MN 的距离为d= —W ?√1+??在1号和2号两张餐桌上就餐（同一张餐桌的4个座位是没有区别的），则不同的坐法A . 6B . 12C . 24D . 48【分析】根据分类计数原理即可求出∙解：若在2人在1号餐桌，1人在2号餐桌，则有 C 32× 2= 6种， 若在1人在1号餐桌，2人在2号餐桌，则有 C 32× 2 = 6种， 则共有不同的坐法 6+6= 12种. 故选：B .的一个单调减区间为(弦函数的单调性，得出结论.称,??且与X 轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，故函数的周期为2?? ?? . . ??故 2×才+ φ= k ∏+ 2?k€Z ,・.φ= - 6? f (X) = Sin (2x- θ).则函数 f (x )的导函数 f '( X ) = 2cos ( 2x- ■??.6?? ?? 700 ?? 7QQ令2k ∏≤ 2x- 6≤2k ∏+ ∏可得k π+右≤x ≤ k ∏+齐；故f' (X)的减区间为[k ∏+右，k ∏+右], k∈Z,&已知函数 f ( X ) = Sin ( ωX+ φ)( ω> 0, ∣φ∣v ?? , y = f (χ)的图象关于直线 X=称，且与X 轴交点的横坐标构成一个公差为??的等差数列，贝U 函数(X )的导函数f ' (X )2?? 7??A.[存 12???B. [- 12?-]?? 7??C.[；，〒?? ?? D .[-6? 3]【分析】先根据三角函数的图象和性质求出f ( X )的解析式, 可得它的导数，再利用余解：∙.∙函数 f (X ) = Sin ( ωX+φ) ( ω> 0, ??IΦ∣v ：), y = f (X )的图象关于直线X= 5P 寸?? 2??2×2=转 Jω种数为( )故选：A.9.如图，在边长7√?勺等边三角形 ABC 中，D , E 分别是边AB , AC 的中点，O 为厶ABC所以????????=-的中心，过点 O 的直线与直线BC 交于点P ,与直线DE 交于点Q ,则？??????的取值范C.(-∞,∙∣)D . (-∞, 2 【分析】因为是等边三角形，所以可建立平面直角坐标系，设出 PQ 的方程，解出P , Q的坐标，即可将问题转化为直线PQ 斜率k 的函数，求其值域即可.解：由题意，如图建立平面直角坐标系：因为三角形ABC 边长为？"？故高为？?/??xJ= ?? 故：DE : y= 2 ； O (0, 1), A (0, 3).所以直线PQ ： y = kx+1 ,(由对称性，不妨设 k > 0)??= ???+ ??所以由｛ 3??=-1 3OO- 得Q⅛?, /;由｛??=?????+ ? 所以????=(2??, -3)???=(- 2--??) ??特别的，当PQ ⊥ X 轴时，P (0,30), Q (0,-),2.∙. ????????= (?? - ??)?(??9)=2—→ —→ —故????????< 9. 故选：D .A . [3B .(—∞, 3)二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分•请将答案填在题中横线上.10.已知集合A = {x∣（ x+1）（X - 2）≤ 0}, ?R B = {x∣x≤ 0 或x> 3},则A ∩ B =（0, 2].【分析】可以求出集合A, B,然后进行交集的运算即可.解：•••?R B = {x∣x≤ 0 或x> 3},∙∙∙ B = {x∣0 V x≤ 3},且A = {X∣- 1≤ X≤ 2},∙∙∙ A ∩ B =（0, 2].故答案为：（0, 2].11.若（x2+ L）6的二项展开式中x3的系数为5,则a= 2 （用数字作答）.【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第r+1项，令X的指数为3,求出展开式中x3的系数，列出方程求出a.解：通项T r+1= C6r? a-r x12-3r,当12- 3r = 3 时，r = 3,所以系数为C63? a-3= I,得a = 2.故答案为212.过点（-√?? ??的直线I与圆x2+y2= 4相切，则直线l在y轴上的截距为4 .【分析】根据题意，分析可得点（-√?? 1）在圆x2+y2= 4上,由圆的切线方程可得切线I的方程为-√7x+y= 4,变形分析可得答案.解：根据题意，圆x2+y2= 4,对于点（-√?? 1）,有（-√?? 2+12= 4 ,即点（-√?? 1）在圆x2+y2= 4上,贝U切线I的方程为-√x+y= 4,变形可得y= √7x+4 ,直线I在y轴上的截距为4;故答案为：413. 一袋中装有6个大小相同的黑球和白球•已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是―，则袋中白球的个数为 3 ;从袋中任意摸出 2个球，则摸到白球的个5-----数X 的数学期望为 1 .【分析】设白球个数为 m ,根据古代概型概率公式和对立事件概率公式列方程计算 m ,计算X 的各种取值对应的概率，再计算数学期望. 解：设袋中有白球 m 个，则有黑球6- m 个，设事件A ：从袋中任意摸出 2个球，至少得到1个白球， 则 P (A )= 1- -??? = 4,?? 5 ∙ ??P-PP = 3,即卩=3,解得 m = 3 或 m = 8 (舍).2 ×1(√??+ ????- ?? ??>??P (X = o )= 1-4=1，P (X = i )5 5? 926? ?5，P ( X =2)=4-v5131∙∙∙ E (X )= 0× 1+1 ×3 +2×1=1 .Vvv14.已知ab >0,则/WCT??2+4??2)+5的最小值为4????+1【分析】根据题意，由基本不等式的性质分析可得 a 2+4b 2≥ 2 ×√????=4ab , 进而可得(??2 +4??2)2 +2(?? 2 +4??2)+5 (4????2+2(4????)+5 (4????+1)2+4 _( 4ab+1) + ______________寸 ≥ = 4????+1 = 4????+1 4????+1 4????+1 据此由基本不等式的性质分析可得(4ab+1) +扁?石的最小值，即可得答案•解:根据题意，ab > 0,则有a 2+4b 2≥ 2 × √輕× ??丙=4ab ,当且仅当a = 2b 时等号成立, 则原式=(?卡 +4??2)2 +2(??2 +4??2)+5≥ (4????)+2(4????)+5 = (4????+廿+4 =( 4ab+1 )=4????+1≥ 4????+1 = 4????+1 ~ =4 4????+1又由 ab > 0，贝V 4ab+1 > 1， 则有(4ab+1) + —4≥2 × √(?????P ??) × 4—= 4 ,当且仅当 4ab+1 = 2，即 4ab = 14????+1、 ........) 4????+1，时等号成立， 综合可得：(??+4??2)2+2(??2+4??2)+5的最小值为4,当且仅当a = 2b= √L 时等号成立4????+1√2故答案为：4.15•已知定义在 R 上的偶函数f (X )在(-∞,0］上单调递增，且f ( - 1)=- 1•若f (X-1) +1 ≥ O,则X 的取值范围是[0,2];设函数??(??= {(√ …■- ■?+ ??. ??+ ?, ??≤ ?,若方程f(g(χ) )+1 = 0有且只有两个不同的实数解，贝U实数a的取值范围为(-∞, -1］ U( 3, + ∞).【分析】根据f f X)的奇偶性和单调性列不等式求出X的范围，根据g (X)的单调性和最值，分情况讨论最值和±1的关系，从而确定a的范围.解：∙∙∙ f (x)是偶函数，且f fX)在f-∞, 0］上单调递增，∙∙∙ f (X)在(0, + ∞)上单调递减，且f (1)= f (- 1)=- 1,由f (X - 1) +1 ≥ 0 可得：f ( X - 1 )≥ f ( 1),∙- 1≤X- 1≤ 1 ,即0≤ X≤ 2.由f (g (X)) +1 = 0 可得g (X) = 1 或g (x)=—1.由函数解析式可知g (X)在(-∞,0］和(0, +∞)上均为增函数，故当X ∈ (-∞,0］时，g (X) ≤ 2- a,当X ∈ (0, + ∞)时，g (X) >- a,(1)若1 > 2 - a >- 1 >- a ,则g (X)= 1有1解，g( x)= - 1有2解，不符合题意；(2)2- a > 1 >- a>- 1,此时g (X)= 1有2解，g (X )=- 1有1解，不符合题意；(3)若-a≥ 1,贝U g (X)= 1有1解，g ( X)=- 1有1解，符合题意；(4)若2 - av- 1,贝U g (X)= 1有1解，g (x)=- 1有1解，符合题意；(5)若2 - a= 1,则g (X )= 1有2解，g (X )=- 1有1解，不符合题意；(6)若2 - a=- 1,贝U g ( x)=- 1有2解，g (X)= 1有1解，不符合题意；综上，-a ≥ 1 或2 - a V - 1 ,解得a ≤- 1 或a > 3.故答案为：［0, 2］,(-∞,- 1］∪( 3, +∞).三、解答题：(本大题共5个小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16.在△ ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c.已知a2+c2= b2+√°ac.5(I)求cosB 及tan2B 的值；??(∏)若b= 3, A= ■■求C 的值.【分析】(I)由已知利用余弦定理可得cosB ,利用同角三角函数基本关系式可求Sin B , 利用二倍角公式可求Sin2B , cos2B,进而根据同角三角函数基本关系式可求tan2B的值.(∏)由已知利用两角和的正弦函数公式可求SinC的值，进而由正弦定理可得C的值.解：(I)： a2+c2= b2+ √0ac,5•••由余弦定理可得：CoSB= ?2+?乳??2 = √Q ,•SinB= √ ?? ??????= 3⅛0• Sin2B = 2sin BCoSB= 3, cos2B = 2cos 2B - 1= - 4,5 5• tan2B=竺??=?? 3；??????2?? 4??????SinC = sin[ ∏-( A+ B ) ] = Sin (A+B ) = Sin ( B + — )= Sin BCoA +COSBSin —= 4 4 4【分析】(1)建立空间直角坐标系，求出直线 AD 及直线BF 的方向向量，利用两向量的数量积为0,即可得证;(2)设???S= ?????*根据题设数据，求出平面BDN 的一个法向量，以及直线AE 的方向向量，利用AE //平面BDM ,建立关于 λ的方程，解出即可；(3)求出平面BCF 及平面BCD 的法向量，利用向量的夹角公式即可得解.解: (1)∙∙∙平面 CDEF 丄平面 ABCD , ED 丄 CD ,* ED 丄平面ABCD ,如图，以D 为原点，DC 所在直线为y 轴，过点D 垂直于DC 的直线为X 轴，建立空间 直角坐标系，∙.∙∠ DAB = 45 °, AB = 3EF = 3, ???? ?? ???? √??2???? 103 √10 √2 √10 √2 2 √510× 一 + -- × 一 = 一210 25?? ??•由正弦定理一一=一一，可得????????????????C=2√5???????? 3√1Q2√??TQ17.如图所示，平面 CDEF 丄平面 ABCD , 且四边形ABCD 为平行四边形，∠ DAB = 45°,四边形CDEF 为直角梯形，EF // DC , ED 丄 CD , AB = 3EF = 3, ED = a , AD= √?(1)求证：AD 丄BF ；(∏)若线段 CF 上存在一点 M ,满足十一 r ????,一AE //平面BDM ,求二-的值;????(川)若a = 1,求二面角 D - BC - F 的余弦值.∙∙∙ A (1,— 1, O ), B (1, 2, O ), C ( 0, 3, 0), E (0, 0, a ), F (0, 1, a ). -?? ??) ????=(?? - ?? ??) >,,?, ,D, , , ,k , ,> , ?, ,/• AD 丄EF ;????= ????=???(?? - ?? ??)= (?? - ???? ????), 贝y ????= ???? ????=,,,,............ k , >, ,?, ,/ k , ,>, , ,> ......... /,,,,.............(?? ?? ??)+ (?? - ???? ????= (?? ??- ???? ????)\ ■ ■ / \ ■ ■ > ■ ■ ................... / \ ................. ■ ■ ■ ■?/一 ,.,M →????????= ???+ ????= ??设平面 BDM 的法向量为？？?=(??? ??? ???,则{→???;? '??…？？" ,???????=(??- ????)??+ ?????= ??取 χ1= 2,则????= (?? - ?? 3???),•|???津宀 ∣=∣≡∣=√6 ,由图可知，二面角 D — BC — F 为锐角，故二面角 D — BC — F 的余弦值为√63?? ?? √∖18.已知F 1 , F 2为椭圆C :电+ W= ??(?△??>??)的左、右焦点，椭圆C 过点M(??, ~2=),且 MF 2⊥ F 1F 2.3-2?? _??=?? 解得 ??= I ,•线段 CF 上存在一点 M ,满足 AE //平面 BDM Ir r????,此时一=????3；一;5(3)设 平面BCF 的法向 量为？?>?= (??>?→ → ?3?????= {∙→∙∙∙→∙∙ ??>?????=(??? ???????(??,- -?? ??)= ???- ???= ??(??? ???, ???? ?(??,--?? ??)= -?????+ ???= ??取 X 2= 1 ,则？？?=(?? ?? ??)?? ■ 7若 AE // 平面 BDM ,则????????=(_??, ??)?(?? - ????? ???,则• ∙ ???= (-?? •∙???????= _?? + ??+ ??= ??(2 )设 3-2?? 3-2???) = ??即-?? - ??+又平面BCD 的一个法向量为？???=(??, ????,2??(I)求椭圆C 的方程；(∏)经过点P (2, 0)的直线交椭圆 C 于A , B 两点，若存在点 Q ( m , 0),使得IQAl = ∣QB∣.(i )求实数m 的取值范围：(i )若线段F i A 的垂直平分线过点 Q ,求实数m 的值.【分析】(I)由椭圆过 M 点，及且MF 2丄F 1F 2 ,可得C = 1,可得a , b 的值，求出椭 圆的方程； (∏)( i )设直线AB 的方程与椭圆联立求出两根之和，可得AB 的中点N 的坐标，由2|QA|=|QB|.可得直线 AB 丄QN 可得斜率之积为-1,可得m 的表达式 m= —2…C ，进而可得m 的范围;(ii )由题意 |QF 1|=|QA|= QB|, 且 F 1 (- 1, 0),可得：x 2- 4mx - 4m = 0,所以 X 1+x 2⑴设AB 中点为M ( X 0, y o ),-4^, y 0= k (X 0- 2) = -2,1+2??21+2??2当 k ≠ 0 时，因为 ∣QA∣ = ∣QB∣,∙∙∙ QM 丄 I ,21+2??2=4m=兰,x 1x 2=- 4m= 82¾ ,可得 8?夕 1+2??2 1+2??21+2??28??-2 ,解得k 2= 1,进而求出m8 1+2??2的值. 解：(I)因为椭圆过 M (1, √2), MF 2⊥ F 1F 2,2?歹= 所以青???- ???丄=??解得：a 2= 2, b 2= 1, 2?孑所以椭圆的方程为:(∏)设直线的方程为：y = k (X - 2),??= ??(?? ??)代入椭圆的方程｛???? ,整理可得：(1+2k2)+???= ??x 2 — 8k 2x+8k 2- 2 = 0,因为直线l 与椭圆C 由两个交点，所以△= 64k 4-4 ( 1+2k 2)( 8k 2-2)> 0, 解得2k 2v 1;设 A (X 1, y 1), B (x 2, y 2),则有X 什X 2= 8?? 2, X 1x 2= 8??-21+2??1+2??2'则有X o =I1+2??22?%∙∙∙k QM? k= 2 ----- ---- ? k =- 1,解得m= —,1+2??1+2??22?乡 1 1∙m= 2…2 = 1-2∈(O,-),1+2??21+2??2 2当k = 0,可得m= 0,1综上所述：m€[0，- )•2(ii)由题意IQF I l=IQAI = QB∣,且F i (- 1, 0),???+ ????= ??由｛ ..... ?? '?? ??整理可得：x2- 4mx - 4m= 0,(??- ??)??+ ???=(?? + ????所以X1, x2也是此方程的两个根，所以x1+x2= 4m= 8??2, x1x2=- 4m= 8??-22,1+2??21+2??2所以-8?L= 竺？1 ,解得k2=-, 1+2??2 1+2??2 8所以m= 2??2 = 5 •1+2??2 5其前n项和为S n, ｛b∏｝是等比数列，且aι = bι= 1, a3+b2= 7, S5b2= 50, n ∈—、选择题•(I)求数列｛a∏｝, ｛b n｝的通项公式;(∏ ) 设C n = log 2b1 +log 2b2+log 2b3+ …+log 2b∏, T n = a ??+??+ a ??，+??+ a ??+?? ++ a ---■--•(i)求T n(ii)求证：∑?-=-- 1V 2√?--??【分析】(I)设等差数列｛a n｝的公差为d,等比数列｛b n｝的公比为q,运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式;(∏) (i)运用对数的运算性质和等差数列的求和公式可得C n= 1n (n - 1) , a T^??= n2>0,√??+1-n - 1+2i ,再由数列的分组求和，结合等差数列的求和公式，计算可得所求和;1 1 1 1 1(ii )推得 =3=V - ,再由数列的裂项相消√????? √ ????V(??-1)??(??+1) √>7-1 √>7+1求和和不等式的性质，即可得证.解：(I)设等差数列｛a f l ｝的公差为d ,等比数列｛b n ｝的公比为q,由a 1= b 1= 1, a 3+b 2 =7, S 5b 2= 50,可得 1+2d+q = 7 5 (1+2d ) q = 50, 解得 d = 2, q = 2或 d= 1, q = 5,由于｛a n ｝是各项都为整数的等差数列，所以 d = 2, q = 2, 从而 a n = 2n — 1, b n = 2n 2, n ∈N* ;(∏)( i)τ∣0g 2b n = Iog 22n -1= n — 1,1• ∙ Cn = 0+1+2+ …+ ( n - 1) = ^n ( n - 1),?多_?? O . • a ??+??= 2 ( + i ) - 1 = n 3- n - 1+2i ,2• T n =( n 2- n - 1+2) + ( n 2- n - 1+4) + …+ ( n 2- n - 1+2n )1 1V 二√????? √??-11_ √+2√?? √??+1,=n (n 2- n-1) + ( 2+4+ …+2n )= n ( n 2- n - 1) +n ( n+1) = n 3. (ii )证明:√?????1√ ???? V(??-1)??(??+1)√*√??. (F- F) = —1√=)√??-1+ √??+1而 √??-1+ v??+1??-1+??+1+2 √ ??1??+2???? 1 ∑??=??√?????1√11 + √31+ √4 1 z31 —+ 51√4√6+?J_ √??-21 +由于4 +√??1 可得 1+ √2- √??V 2.√??+1?? 1V则％=??苓2.>0,√??+1(ii ) 若 k >0,由 h ' ( X ) = 0 解得：X = 0, X= 1-∣22 > - 1,?? ι 20.( 16 分)设函数 f (x ) = 3???- 2 ???- ?? ??€??• (I)若X = 1是函数f (x )的一个极值点，求 k 的值及f (X )单调区间；(∏)设 g (x )= ( x+1)In (x+1)+f (x ),若 g (X )在［0，+∞)上是单调增函数,求实数k 的取值范围;(H)证明：当 P>0,q>0 及 mv n(m,n∈N *)时，［笋∑^T(-??) ??-??????-??-????竽???-??> ［?JS Z 孚????？(- 1)I W 1］2m 「【分析】(I)求出函数的导数，得到关于 k 的方程，求出k ,求出函数的单调区间即可；(∏)求出函数的导数，问题转化为g '(X ) = h (X ) = In (x+1) +kx 2- X ≥ 0恒成立，求出h (X )的导数，通过讨论k 的范围，求出函数h (x )的最小值，求出k 的范围即可；(H)问题转化为证明 齐丁In[1+(弍…宀]〉2⅛∣n[1+(?P …],不妨设p >q >0,构 造函数 φ (x ) =Z n (1 + a x),( X > 0),其中a=齐(0, 1),根据函数的单调性证 明即可.解：(I) f'( X) = kx 2- X- 1,T X = 1是函数f (x )的一个极值点， .∙. f '( 1 )= k - 1 - 1 = 0,解得：k = 2, ∙∙∙ f '( X )= 2x 2- X - 1,当 f '( x )> 0,即 X V - 1 或 X > 1 时，f ( x )递增，2当 f '( X)V 0,即-* V XV 1 时，f (X )递减， ∙ f (X )在(-∞,- 1)递增，在(-1, 1)递减，在(1, +∞)递增；(∏) g (X ) = ( x+1) ∣n (x+1) + ?x 3-丄χ2- X ,32g ,( X )= In ( x+1) +kx 2- X ,若g (x )在［0 , + ∞)上是单调增函数，则 g '( X )≥ 0对？x€［0, + ∞)恒成立, 令 h ( X )= In (x+1) +kx 2- X , h ，( X ) =+ 2k x2- 1= ??(2????+2??-1) ??+1 ??+1(i )若 k ≤ 0,则 h '( X)V 0, h (X )在［0, + ∞)递减， ∙ h (x )≤ h (0)= 0 ,不合题意；.∙. h (x )≤ h (0)=0 ,不合题意,∙∙∙ g (x )> g (1) ②当 k ≥ 1时，12?? <0,22??•In (a X+1 )> a X- 2a 2X,d2????? 1??-------- 厶 ------- ???■/ a ∈ (0, 1) , x > 0,①当0< k < 1时,1-2??>0,1-2??• X ∈ (0,—) 2?? 时，h ' ( X ) < 0, h (X )递减, ∙ X ∈0 , + ∞)时,h ' (x )> 0, h (X )递增, ∙ h (x )≥ h (0)= 0,即 g '( X ) ≥ 0 对任意 X ∈[0 , +∞）恒成立, 综上，k ≥ 1时，g （x ）在［0, +∞）是单调递增函数;??+?? y^????-??i —12m— I — i i(川)T ?2??-1∑??=??( — 1) Pq????・？？?? T?=??(-彳?-??=空???? ?? •I-(Z??2??-1-(Z?? ??????-??—7^ =1+(II..........................• [?P?∑??????? (-??) ??-??????-??-????乎???-?>[背？?贮=???? (— 1) i - 1P2n _1 - i q i - 1]2m ~1? [1+( ?????”> [1+(??????-律-1,1 1? [??+(?? ????-??2??Z r > [??+(??????-?p TM1 Z ??????-?? 1 Z ??????-??站1n[1+(??……]> 2⅛l n[1+(1；??不妨设 p > q > 0 ,则 0 < ??<1, 构造函数φ??(X ) = ?灰(1+a x),( X > 0),其中 a= °∈ (0, 1),φ'( x)= ?11????? ????(1+??J nd+???- ??,由（∏）知 In (x+1 )> X- 1x 2,(ii ) 若 k >0,由 h ' ( X ) = 0 解得：X = 0, X= 1-∣22 > - 1, .∙∙ Ina V 0, a x > a 2x > 1a 2x, ∙∙∙ φ'( X)V 0, φ (x )在(0, + ∞)递减,■/ 0 V m V n,∙OV 2m - 1 V 2n — 1,Z??????-?? 1 Z ??????-??In [1+(??……]> 2??T ln[1+( ??……?故原不等式成立.12??-1。
2020年天津市部分区高考数学二模试卷
2020年天津市部分区高考数学二模试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合{1A =-，0，1}，{1B =-，2，3}，{|11}C x R x =∈-<„，则()(A B C =U I)A ．{1}-B ．{1-，0}C ．{1-，1}D ．{1-，0，1}2．（5分）已知命题:p x R ∃∈，2230x x ++<，则命题p 的否定是( ) A ．x R ∃∈，2230x x ++> B ．x R ∀∈，2230x x ++„C ．x R ∀∈，2230x x ++…D ．x R ∀∈，2230x x ++>3．（5分）已知i 为虚数单位，若复数1()2aiz a R i+=∈-的实部为1-，则||(z = ) A ．13BC ．53D4．（5分）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x …时，()2(x f x x a a =++为常数），则f （a ）(= )A ．12B ．32 C ．32-D ．2-5．（5分）若sin()3πθ-=，(0,)θπ∈，则cos()(6πθ-= )A ．0B ．12C ．1 D6．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，10100S =，则7(a = ) A ．11B ．13C ．15D ．177．（5分）已知3log 0.3a =，0.3log 2b =，0.23c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>8．（5分）若函数()cos(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<在区间[,]66ππ-上单调递减，且在区间(0,)6π上存在零点，则ϕ的取值范围是( ) A ．(,]62ππB ．25[,)36ππ C ．2(,]23ππD ．[,)32ππ9．（5分）已知函数2171,20,()6,0,x x x f x lnx x e ⎧++-<⎪=⎨⎪<⎩„„函数()g x kx =．若关于x 的方程()()0f x g x -=有3个互异的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．15(,)6eB ．11[,]3eC ．15[,]36D ．1(0,)e二、填空题：本大题共6小题，共30分；答题直接填写结果，不必写计算或推证过程.10．（5分）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为(5,0)F ，且一条渐近线方程是43y x =，则该双曲线的方程是 ．11．（5分）若6()ax x +的展开式中的常数项为160-，则实数a = ．12．（5分）已知点(,)P x y 在直线230x y +-=上，则24x y +的最小值为 ．13．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2sin cos()04a C c A π--=，则cos A = ．14．（5分）如图，点O 是长方体1111ABCD A B C D -的中心，E ，F ，G ，H 分别为其所在棱的中点，且1BC BB =．记棱AB 的长度为l ，点O 到平面11BCC B 的距离为0l ，则l = 0l ；若该长方体的体积为120，则四棱锥O EFGH -的体积为 ．15．（5分）在梯形ABCD 中，//AB CD ，90DAB ∠=︒，2AB =，1CD AD ==，若点M 在线段BD 上，则AM CM u u u u r u u u u rg的最小值为 ． 三、解答题：本大题共5个小题，共75分；解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤.16．（14分）天津市某中学为全面贯彻“五育并举，立德树人”的教育方针，促进学生各科平衡发展，提升学生综合素养．该校教务处要求各班针对薄弱学科生成立特色学科“兴趣学习小组”（每位学生只能参加一个小组），以便课间学生进行相互帮扶．已知该校某班语文、数学、英语三个兴趣小组学生人数分别为10人、10人、15人．经过一段时间的学习，上学期期中考试中，他们的成绩有了明显进步．现采用分层抽样的方法从该班的语文，数学，英语三个兴趣小组中抽取7人，对期中考试这三科成绩及格情况进行调查．（1）应从语文，数学，英语三个兴趣小组中分别抽取多少人？（2）若抽取的7人中恰好有5人三科成绩全部及格，其余2人三科成绩不全及格．现从这7人中随机抽取4人做进一步的调查．（ⅰ）记X 表示随机抽取4人中，语文，数学，英语三科成绩全及格的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（ⅱ）设M 为事件“抽取的4人中，有人成绩不全及格”，求事件M 发生的概率． 17．（15分）已知各项均为正数的数列{}n a ，满足*23(1)()n n S a n N =-∈． （1）求证：{}n a 为等比数列，并写出其通项公式； （2）设*(21)()n n b n a n N =-∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（15分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是直角梯形，PC ⊥底面ABCD ，//AB CD ，90BAD ∠=︒，1AD CD ==，45ABC ∠=︒，E 为PB 的中点． （1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）若直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值为3，求二面角P AC E --的余弦值．19．（15分）已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，其焦距为6，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长是122 （1）求C 的方程；（2）若0(M x ，0)y 是C 上的动点，从点(O O 是坐标系原点）向圆2200()()6x x y y -+-=作两条切线，分别交C 于P ，Q 两点．已知直线OP ，OQ 的斜率存在，并分别记为1k ，2k ． （ⅰ）求证：12k k 为定值；（ⅱ）试问22||||OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 20．（16分）已知函数()(sin cos 4)x f x e x x =-+，函数()2cos g x x x =-，其中 2.71828e =⋯。
2020年天津市部分区高考数学二模试卷(含答案解析)
2020年天津市部分区高考数学二模试卷(含答案解析)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12020年天津市部分区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.设集合0，，2，，，则A. B. C. D. 0，2.已知命题p：，，则命题p的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，3.已知i为虚数单位，若复数的实部为，则A. B. C. D.4.函数是定义在R上的奇函数，且当时，为常数，则A. B. C. D.5.若，，则A. 0B.C. 1D.6.设等差数列的前n项和为，若，，则A. 11B. 13C. 15D. 177.已知，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.8.若函数在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是A. B. C. D.9.已知函数函数若关于x的方程有3个互异的实数根，则实数k的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.双曲线的右焦点为，且一条渐近线方程是，则该双曲线的方程是______．11.若的展开式中的常数项为，则实数______．12.已知点在直线上，则的最小值为______．13.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，若，则______．14.如图，点O是长方体的中心，E，F，G，H分别为其所在棱的中点，且记棱AB的长度为l，点O到平面的距离为，则______；若该长方体的体积为120，则四棱锥的体积为______．15.16.17.在梯形ABCD中，，，，，若点M在线段BD上，则的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）18.天津市某中学为全面贯彻“五育并举，立德树人”的教育方针，促进学生各科平衡发展，提升学生综合素养．该校教务处要求各班针对薄弱学科生成立特色学科“兴趣学习小组”每位学生只能参加一个小组，以便课间学生进行相互帮扶．已知该校某班语文、数学、英语三个兴趣小组学生人数分别为10人、10人、15人．经过一段时间的学习，上学期期中考试中，他们的成绩有了明显进步．现采用分层抽样的方法从该班的语文，数学，英语三个兴趣小组中抽取7人，对期中考试这三科成绩及格情况进行调查．19.应从语文，数学，英语三个兴趣小组中分别抽取多少人？20.若抽取的7人中恰好有5人三科成绩全部及格，其余2人三科成绩不全及格．现从这7人中随机抽取4人做进一步的调查．21.记X表示随机抽取4人中，语文，数学，英语三科成绩全及格的人数，求随机变量X的分布列和数学期望；22.设M为事件“抽取的4人中，有人成绩不全及格”，求事件M发生的概率．23.24.25.26.27.28.29.30.已知各项均为正数的数列，满足31.求证：为等比数列，并写出其通项公式；32.设，求数列的前n项和．33.34.35.36.37.38.39.如图，四棱锥中，底面四边形ABCD是直角梯形，底面ABCD，，，，，E为PB的中点．40.求证：平面PAC；41.若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．42.43.44.45.已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，其焦距为6，过的直线与C交于A，B两点，且的周长是．46.求C的方程；47.若是C上的动点，从点是坐标系原点向圆作两条切线，分别交C于P，Q两点．已知直线OP，OQ的斜率存在，并分别记为，．48.求证：为定值；49.试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．50.51.52.53.54.55.56.57.已知函数，函数，其中是自然对数的底数．58.求曲线在点处的切线方程；59.设函数，讨论的单调性；60.若对任意，恒有关于x的不等式成立，求实数m的取值范围．61.62.64.65.66.-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】进行交集和并集的运算即可．本题考查了描述法和列举法的定义，交集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．【解答】解：0，，2，，，0，1，2，，．故选：B．2.答案：C解析：解：因为命题p：，，是特称命题，故命题p的否定是：，；故选：C．直接根据命题的特点，求出结论即可．本题考查命题的否定，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.答案：D解析：解：的实部为，，即．，则．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于求得a，进一步求得z，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．4.答案：D解析：解：根据题意，函数为定义在R上的奇函数，且时，则，解得，则当时，令，则，即有，所以当时，故，故选：D．根据题意，由奇函数的性质可得，进而求得当时函数的解析式，进而可得的值本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于中档题．5.答案：A解析：解：，，又，则，即，则，故选：A．由角的范围和，可求出，进而可求余弦值．本题考查三角函数给值求角，注意角的范围，以及给角求值，属于基础题．6.答案：B解析：解：设等差数列的公差为d，，，，，联立解得：，，则．故选：B．利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：C解析：解：，，，．故选：C．由，，可得a，b都小于0，再与比较大小即可得出关系，c大于0．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：D解析：解：由，，得，，即函数的单调递减区间为，，在区间单调递减，且，即，得，，即，，，当时，，由得，在区间有零点，满足，当时，，得综上：，故选：D．利用余弦函数的单调性和零点，求得的取值范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据余弦函数的单调性和零点性质建立不等式关系是解决本题的关键．9.答案：B解析：解：作出函数和的图象如图：由图可知，当时，不满足题意，则；当直线经过点B时，，此时与函数图象有3个交点，满足；当为的切线时，设切点，则，故有，解得，即有切点为，此时与有3个交点，满足题意；综上：当，故选：B．利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数零点个数的判断和应用，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．10.答案：解析：解：双曲线的右焦点为，，又有一条渐近线方程是，，，，解得，，双曲线的标准方程为．故答案为：．由题可知，，，再结合，解得，，于是求得双曲线的方程．本题考查双曲线标准方程的求法、基本几何性质，考查学生的运算能力，属于基础题．11.答案：解析：解：的展开式中的通项公式为，令，求得，可得的常数项为，则实数，故答案为：．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12.答案：解析：解：由题意可得，，则，当且仅当且即，时取等号，故答案为：由已知直接利用基本不等式即可求解．本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．13.答案：解析：解：，，即，由正弦定理可得：，，可得，即，．故答案为：．利用两角差的余弦函数公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tan A，进而可求cos A的值．本题主要考查了两角差的余弦函数公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.答案：2 10解析：解：如图，点O是长方体的中心，为的中点，平面，平面平面，在平面内，过O作则平面，则，且，又棱AB的长度为l，点O到平面的距离为，；设，则，，，即正方形EFGH的边长为，则面积为，则．故答案为：2；10．由点O是长方体的中心，得O为的中点，在平面内，过O作，证明平面，可得，且，得到；设，则，再把四棱锥的体积用含有a与l的代数式表示，即可求得四棱锥的体积．本题考查长方体与棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．15.答案：解析：解：因为在梯形ABCD中，，，，，，令，，，．．，代入上式得：，所以，当时，的最小值为．故答案为：．以为基底，并且设，，然后用基底将表示出来，最终把问题转化为关于的函数，求其最小值即可．本题考查平面向量基本定理以及数量积的运算问题．同时考查学生利用化归思想解决问题的能力和运算能力．属于中档题．16.答案：解：依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为2：2：3，因此，采用分层抽样方法从中抽取7人，应从语文、数学、英语三个兴趣小组中分别抽取2人、2人、3人．分依题意，得随机变量X的所有可能取值为2，3，分所以，分X 2 3 4P分故随机变量X的数学期望为分依题意，设事件B为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有2人，三科成绩不全及格的有2人”；事件C为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有3人，三科成绩不全及格的有1人”．则有，且B与C互斥．由知，，，所以分故事件M发生的概率为分解析：依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为2：2：3，采用分层抽样方法从中抽取7人，即可得出结论．依题意，得随机变量X的所有可能取值为2，3，4，利用超几何分布列计算公式，即可得出分布列，进而得出数学期望依题意，设事件B为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有2人，三科成绩不全及格的有2人”；事件C为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有3人，三科成绩不全及格的有1人”，可得，且B与C互斥．由知，，，即可得出．本题考查了超几何分布列与数学期望、分层抽样、互斥事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：证明：因为，所以，当时，有，由得，即，所以，所以数列是公比为2的等比数列．又由得，解得：所以；解：由题意及得，所以，所以，由，得，故．解析：由，两式相减整理得所以，从而证明其为等比数列，进而可求其通项公式；由求得，再利用错位相减法求其和即可．本题主要考查等比数列的定义、通项公式及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．18.答案：解：证明：因为，，所以．又因为，所以是等腰直角三角形，所以，．又因为，，所以，即．因为底面ABCD，平面ABCD，所以．又，所以平面PAC．解：在中，，，所以．由知，平面PAC，所以是直线PB与平面PAC所成的角，则．在中，，所以．【方法一】以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．则．因为E为PB的中点，所以，所以．设平面ACE法向量为，则即令，得所以．由平面PAC，则为平面PAC的一个法向量．所以．故所求二面角的余弦值为．【方法二】以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．则．因为E为PB的中点，所以，所以．设平面ACE法向量为，则即令，得所以．由平面PAC，则为平面PAC的一个法向量．所以．故所求二面角的余弦值为．解析：推导出由此能证明平面PAC．法一：以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系由此利用向量法能求出二面角的余弦值．法二：以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系由此利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：设椭圆C：的焦距为，则，所以．因为直线AB过C的焦点，且的周长是，所以，所以．所以．所以，椭圆C的方程是．证明：由题意得，直线OP：，直线OQ：因为直线OP，OQ与圆M相切，所以，化简，得；同理，得．所以，是一元二次方程的两实数根，则有．又因为点在C上，所以，即，所以定值．解：是定值，且定值为27．理由如下：方法一设，由、联立方程组解得所以．同理，得．由知，所以，所以定值．方法二设，，由知，所以．因为，在C上，所以，即所以，整理得，所以．故有定值．解析：根据题意可得，解得a，b，进而得椭圆C的方程．由题意得，直线OP：，直线OQ：因为直线OP，OQ与圆M相切，得；同理，得．所以，是一元二次方程的两实数根，所以又因为点在C上，所以，进而定值．方法一设，联立方程组解得P点的坐标，进而得同理，得，由知，所以，化简可得出结论．方法二设，，由知，所以因为，在C上，所以，即两式相乘，化简，再代入化简即可得出结论．本题考查椭圆方程，定值问题，在解题过程中关键是细心进行运算化简，属于中档题．20.答案：解：由题意，得，所以．因为，所以，即所求曲线在点处的切线方程为．易知，函数的定义域为R，，且有．由于在上恒成立，所以当时，在上恒成立，此时，所以，在区间上单调递增．当时，由，即，解得；由，即，解得．所以，在区间上单调递减；在区间上单调递增．易知，等价于．设由题意，对时，不等式恒成立，只需．易得，．令，，所以．显然，当时，恒成立．所以函数在上单调递减，所以，即在恒成立．所以，函数在上单调递减．所以有．所以．故所求实数m的取值范围是．解析：求出，通过然后求解切线方程．求出，通过当时，当时，判断导函数的符号，得到函数的单调性即可．设转化为对时，不等式恒成立，只需利用函数的导数，构造函数，二次导函数，判断函数的单调性，求解函数的最值，然后推出结果．本题考查导数的应用，考查转化思想以及计算能力，分类讨论思想的应用，二次导函数的应用，是难题．。
2020年天津市南开区高考数学二模试卷2 (含答案解析)
2020年天津市南开区高考数学二模试卷2一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设全集U =R ，已知集合A ={−2,−1,0，1，2，3}，B ={x|x 2+x −2≥0}，则集合A ∩∁U B =( )A. {−1,0}B. {−1,0，1}C. {−2,−1,0，1}D. {−1,0，1，2}2. 已知实数x ，y 满足约束条件{x ≥2,x +y ≤4, 2x −y −12≤0,则目标函数z =3x +y 的最小值为( )A. −8B. −2C. 8D. 4433. 执行如图所示的程序框图，若输入a 的值为−1，则输出的S 的值是( )A. −12 B. 12 C. 74 D. 63204. 在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.其意思是，用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何体的体积必然相等．根据祖暅原理，“两几何体A 、B 的体积不相等”是“A 、B 在等高处的截面面积不恒相等”的( )条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要5. 设，b =log 1213，c =(12)0.3则( )A. a <c <bB. a <b <cC. b <c <aD. b <a <c6. 将函数y =cosx 的图象向左平移φ(0⩽φ<2π)的单位后，得到函数y =sin(x −π6)的图象，则φ等于( )A. π6B. 5π6C. 4π3 D. 5π37. 已知抛物线y 2=8x 与双曲线x 2a 2−y 2=1(a >0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF|=5，则该双曲线的渐近线方程为( )A. 5x ±3y =0B. 3x ±5y =0C. 4x ±5y =0D. 5x ±4y =08. 已知函数f(x)={x 2+1,−2≤x ≤1|x +1x −4|,1<x ≤5，若关于x 的方程f(x)−ax =0有两个解，则实数a 的取值范围是( )A. (0,625]∪[−52,−2)B. (0,625)∪[−52,−2] C. (−∞,−52)∪[625,+∞)∪{0,−2}D. (−∞,−52)∪[625,+∞)二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 9. 设i 为虚数单位，则(1+i i)2=__________．10. (√x 3−13√x 3)10的展开式中含x 2项的系数为______．11. 若正方体的外接球的表面积为6π，则该正方体的表面积为________． 12. 在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的极坐标方程为__________________。
2020年天津市南开区高考数学二模试卷(二)(有答案解析)
2020年天津市南开区高考数学二模试卷（二）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设全集为R，若集合A={x|（x+2）（x-3）≥0}，集合B={x|x＞1}，则（∁R A）∪B=（）A. [3，+∞）B. （1，3]C. （1，3）D. （-2，+∞）2.已知实数x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值是（）A. -6B. -10C. 5D. 103.如图是一个算法流程图，若输入n的值是13，输出S的值是46，则a的取值范围是（）A. 9≤a＜10B. 9＜a≤10C. 10＜a≤11D. 8＜a≤94.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是说两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p是q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知a=，，c=，则（）A. B. C. D.6.设f（x）=sin3x-cos3x，把y=f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度后，恰好得到函数g（x）=-sin3x+cos3x的图象，则φ的值可以为（）A. B. C. D. π7.已知F1，F2分别是双曲线3x2-y2=3a2（a＞0）的左右焦点，P是抛物线y2=8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|+|PF2|=12，则抛物线的准线方程为（）A. x=-4B. x=-3C. x=-2D. x=-18.已知函数，若关于x的方程|f（x）-a|+|f（x）-a-1|=1有且仅有两个不同的整数解，则实数a的取值范围是（）A. ，B. ，C. [-1，D. [0，3]二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知复数，i为虚数单位，则|z|2=______．10.在的展开式中，含x2项的二项式系数为______．11.球O是正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球，若正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积为S1，球O的表面积为S2，则=______．12.已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，直线l与圆C交于M、N两点，则|MN|=______．13.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AC与BD交于点M，AB=2CD=4．若•=-1，则cos∠BMC=______．14.已知函数，其中e为自然对数的底数，若f（2a2）+f（a-3）+f（0）＜0，则实数a的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，若b=3，c=4，C=2B，且a≠b．（1）求cos B及a的值；（2）求的值．16.甲、乙两人玩猜数字游戏，规则如下：①连续竞猜3次，每次相互独立；②每次竞猜时，先由甲写出一个数字，记为a，再由乙猜甲写的数字，记为b，已知a，b∈{0，1，2，3，4，5}，若|a-b|≤1，则本次竞猜成功；③在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人获奖．（Ⅰ）求甲乙两人玩此游戏获奖的概率；（Ⅱ）现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏：这6人中有且仅有2对双胞胎，记选出的4人中含有双胞胎的对数为X，求X的分布列和期望．17.在如图所示的几何体中，△ABC是边长为2的正三角形，AE＞1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．（1）若AE=2，求证：AC∥平面BDE；（2）若二面角A-DE-B为60°，求AE的长；（3）在（2）的条件下，求直线CD与平面BDE所成角．18.已知数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足．（1）求证：数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{c n}的前n项和为T n，求满足∈N*）的n的最大值．19.已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F（c，0），直线l：与x轴相交于点T，且F是AT的中点．（1）求椭圆的离心率；（2）过点T的直线与椭圆相交于M、N两点，M、N都在x轴上方，并且M在N、T之间，且N到直线l的距离是M到直线l的距离的2倍．①记△NFM、△NFA的面积分别为S1、S2，求；②若原点O到直线TN的距离为，求椭圆方程．20.已知函数f（x）=x log a x（a＞0），g（x）=（m+1）x-ln x-f（x），函数f（x）在点x=e-1处取得极小值-e-1（e为自然对数的底数）．（1）若g'（x）恰有一个零点，求m的取值范围；-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：A={x|（x+2）（x-3）≥0}={x|x≥3或x≤-2}，∁R A={x|-2＜x＜3}，则（∁R A）∪B={x|x＞-2}=（-2，+∞），故选：D．求出集合的等价条件，结合补集并集定义进行计算即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，结合补集并集的定义是解决本题的关键．比较基础．2.答案：A解析：【分析】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，-3），化目标函数z=2x+4y为y=，由图可知，当直线y=过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为-6．故选：A．3.答案：B解析：解：依次运行流程图，结果如下：n=13，S=0满足判断框内的条件n≥a，S=13，n=12满足判断框内的条件n≥a，S=25，n=11满足判断框内的条件n≥a，S=36，n=10满足判断框内的条件n≥a，S=46，n=9此时，不满足判断框内的条件n≥a，退出循环，所以a的取值范围是9＜a≤10．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.答案：A解析：【分析】利用祖暅原理可得：A、B在等高处的截面积恒相等”，可得：A、B的体积相等．即可判断出p与q的关系．【解答】解：设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等．由“A、B在等高处的截面积恒相等”，由祖暅原理，可得：A、B的体积相等．因此可得：A、B的体积不相等，必然：A、B在等高处的截面积不恒相等．即p⇒q，反之不成立．∴p是q的充分不必要条件．故选A．5.答案：C解析：【分析】本题考查指数函数和对数函数的性质,属于基础题.解题的关键是借助指数函数和对数函数的单调性得出与0, 1这样的特殊值的大小关系, 从而得出答案.【解答】解: ∵,, ,∴,故选C.6.答案：D解析：解：将y=f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度得：g（x）=sin3（x+φ）-cos3（x+φ）=sin（3x+3φ）-cos（3x+3φ），①当φ=时，g（x）=sin3x+cos3x，不合题意，②当φ=时，g（x）=cos3x，不合题意，③当φ=时，g（x）=-sin3x-cos3x，不合题意，④当φ=π时，g（x）=-sin3x+cos3x，满足题意，综合①②③④得：选项D满足题意，故选：D．三角函数图象的平移及诱导公式，两角和与差的正，余公式逐一检验即可得解本题考查了三角函数图象的平移及诱导公式，属中档题．7.答案：C解析：【分析】本题考查了双曲线、抛物线的性质，属于中档题．求出P点坐标，计算|PF1|，|PF2|，列方程计算a的值即可得出答案．【解答】解：双曲线的标准方程为-=1，∴双曲线的右焦点F2（2a，0）为抛物线y2=8ax的焦点，联立方程组，消元可得3x2-8ax-3a2=0，解得x=3a或x=-（舍）．不妨设P在第一象限，则P（3a，2a），又F1（-2a，0），∴|PF1|==7a，|PF2|==5a，∴|PF1|+|PF2|=12a=12，即a=1．∴抛物线的准线方程为x=-2．故选：C．8.答案：A解析：解：要使方程|f（x）-a|+|f（x）-a-1|=1，则当且仅当f（x）-a≥0，且f（x）-a-1≤0时，方程等价为f（x）-a-f（x）+a+1=1，即f（x）≥a，且f（x）≤a+1，得a≤f（x）≤a+1，作出函数f（x）的图象如图：∵f（0）=-1，f（1）=0，f（-1）=，f（-2）=，∴要使a≤f（x）≤a+1的整数解只有两个，则其中一个整数解为x=0，另外一个整数解为x=-1，即满足，得，即-≤a＜，即实数a的取值范围是[-，），故选：A．本题主要考查函数与方程的应用，绝对值不等式，函数图象的应用，是中档题．由题意得，方程当且仅当f（x）-a≥0，且f（x）-a-1≤0成立，即a≤f（x）≤a+1的整数解只有两个，利用数形结合建立不等式关系进行求解即可．9.答案：解析：解：∵=，∴|z|2=．故答案为：．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．10.答案：35解析：【分析】本题主要考查二项展开式的特定项的二项式系数，属于基础题．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得含x2项的二项式系数．【解答】解：在的展开式中，通项公式为T r+1=·（-2）r·x14-3r，令14-3r=2，求得r=4，可得含x2项的二项式系数为=35，故答案为：35．11.答案：解析：【分析】本题考查了正方体的表面积和正方体的外接球的表面积，考查空间想象能力，属于基础题．设棱长为a，易得正方体表面积，结合正方体外接球直径为其体对角线长可得球的表面积，即可得解．【解答】解：设正方体棱长为a，则正方体表面积为：S1=6a2，球O的半径为：，所以，∴=．故答案为：．12.答案：4解析：【分析】化圆的参数方程为普通方程，化直线的极坐标方程为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，由MN过圆心即可得|MN|等于圆C的直径．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题.解：由(为参数），消去θ得：（x-3）2+（y+1）2=4,由，得，即x+y-2=0．∴圆心（3，-1）到直线x+y-2=0的距离d=，即直线过圆C的圆心，∴|MN|=．故答案为：4．13.答案：解析：解：如图，由题意可知，△MCD∽△MAB∵AB=2CD=4，∴AM=2MC，BM=2MD，设MD=MC=m，则AC=BD=3m，由•=-1，得9m2cos∠CMD=-1，∴cos，在△CMD中，有22=m2+m2-2m2cos∠CMD，即，解得：．∴cos∠CMD=．则cos∠BMC=cos（π-∠BMD）=-cos∠CMD=．故答案为：．由题意画出图形，结合△MCD∽△MAB，可设MD=MC=m，则AC=BD=3m，由•=-1，求得cos，在△CMD中，利用余弦定理求出m2，进一步求得cos∠CMD，则答案可求．本题考查平面向量的数量积运算，训练了利用数量积求斜率的夹角，是中档题．14.答案：（-，1）解析：【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性的性质以及应用，关键是分析函数f（x）的奇偶性与单调性，属于中档题．根据题意，由奇函数的定义分析可得f（x）为奇函数，求出f（x）的导数，利用函数的导数与单调性的关系分析可得f（x）在R上为增函数，据此可得f（2a2）+f（a-3）+f （0）＜0⇒f（2a2）＜f（3-a）⇒2a2+a-3＜0，解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，函数=e x--2sin x，其定义域为R，f（0）=1-1-0=0，有f（-x）=-e x+2sin x=-f（x），则函数f（x）在R上为奇函数，又由f′（x）=e x+-2cos x≥2-2cos x≥0，则f（x）在R上为增函数，f（2a2）+f（a-3）+f（0）＜0⇒f（2a2）+f（a-3）＜0⇒f（2a2）＜-f（a-3）⇒f（2a2）＜f（3-a）⇒2a2+a-3＜0，解可得：-＜a＜1，即a的取值范围为（-，1）.故答案为：（-，1）．15.答案：（本题满分为13分）解：（1）在△ABC中，由正弦定理，可得：，…2分∵C=2B，∴=，解得：cos B=，…4分在△ABC中，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，可得：a2-a+7=0，解得a=3，或a=，∵a≠b，∴a=…7分（2）∵cos B=，可得sin B=，∴sin2B=2sin B cosB=，cos2B=2cos2B-1=-，…11分∴cos（2B+）=cos2B-sin2B=-…13分解析：（1）由正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos B的值，由余弦定理可得a的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值，利用二倍角公式可求sin2B，cos2B 的值，根据两角和的余弦函数公式可求cos（2B+）的值．本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.答案：解：（I）由题意基本事件的总数为个，记事件A为“甲乙两人一次竞猜成功”，若|a-b|=0，则共有6种竞猜成功；若|a-b|=1，a=1，2，3，4时，b分别有2个值，而a=0或5时，b只有一种取值．利用古典概型的概率计算公式即可得出P（A）=．设随机变量ξ表示在3次竞猜中竞猜成功的次数，则甲乙两人获奖的概率P（ξ≥2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）=1--=．（II）由题意可知：从6人中选取4人共有种选法，双胞胎的对数X的取值为0，1，2．则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==．随机变量X的分布列为期望为E（X）=．解析：（I）由题意基本事件的总数为个，记事件A为“甲乙两人一次竞猜成功”，分|a-b|=0和|a-b|=1．利用古典概型的概率计算公式即可得出P（A）=．设随机变量ξ表示在3次竞猜中竞猜成功的次数，则ξ～B．则甲乙两人获奖的概率P（ξ≥2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）．（II）由题意可知：从6人中选取4人共有种选法，双胞胎的对数X的取值为0，1，2．X=0，表示的是分别从2对双胞胎中各自选取一个，再把不是双胞胎的2人都取来；X=1，表示的是从2对双胞胎中选取一对，另外2人的选取由两种方法，一种是把不是双胞胎的2人都选来，另一种是从另一双胞胎中选一个，从不是双胞胎的2人中选一个；X=2，表示的是把2对双胞胎2人都选来．据此即可得出X的分布列和EX．正确分类和熟练掌握古典概型的概率计算公式、二项分布、随机变量的分布列和数学期望是解题的关键．17.答案：（1）证明：取AB的中点M，BC的中点O，BE的中点N，连接OM，OD，DN，MN，∵O，M，N分别是BC，AB，BE的中点，∴OM∥AC，MN∥AE，MN=AE=1，∵BD=CD，O是BC的中点，∴OD⊥BC，∵平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，∴OD⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，∴OD∥AE，∵△BCD是等腰直角三角形，BC=2，∴OD=1，∴OD∥MN，OD=MN，∴四边形OMND是平行四边形，∴DN∥OM，∴DN∥AC，又DN⊂平面BDE，AC⊄平面BDE，∴AC∥平面BDE．（2）解：∵△ABC是等边三角形，∴OA⊥BC，以O为原点，以OB，OA，OD为坐标轴建立空间坐标系O-xyz，如图，则O（0，0，0），D（0，0，1），B（1，0，0），设AE=m（m＞0），则E（0，，m），∴=（-1，0，1），=（0，，m-1），设平面BDE的法向量为=（x，y，z），则，即，令x=1可得=（1，，1），又平面ADE的一个法向量为=（1，0，0），∴cos＜＞==，令=cos60°=，解得m=1+．∴AE=1+．（3）=（1，0，1），=（1，-，1），∴cos＜＞===，∴直线CD与平面BDE所成角的正弦值为，故直线CD与平面BDE所成角为45°．解析：（1）取AB的中点M，BC的中点O，BE的中点N，证明四边形OMND是平行四边形得出DN∥OM，又OM∥AC即可得出DN∥AC，于是AC∥平面BDE；（2）以O为原点建立空间坐标系，设AE=m，求出两平面的法向量，令法向量夹角余弦值的绝对值等于计算m的值即可；（3）计算与平面BDE的法向量的夹角余弦值得出所求的线面角．本题考查线面垂直性质定理、线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量求线面角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题．18.答案：解：（1）证明：∵S n=-a n-+2，①∴当x≥2时，S n-1=-a n-1-+2，②①-②得，a n=S n-S n-1=-a n+a n-1+，∴2n a n=2n-1a n-1+1，∵b n=2n a n，∴b n=b n-1+1∴当x≥2时，b n-b n-1=1，又当x=1时，S1=-a1-1+2=a1，∴a1=，∴b1=2a1=1，∴数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴b n=n=2n a n，∴a n=；（2）===∴T n==，∵∈N*），∴即＜，∴n＜5，∵n∈N*∴n的最大值为4．解析：（1）当x≥2时a n=S n-S n-1，化简可得b n-b n-1=1，然后根据等差数列的定义即可证明数列{b n}是等差数列；（2）将a n代入c n中，得c n的通项公式，然后利用裂项相消法可得c n的前n项和T n，解不等式可得n的范围，进一步得到n的最大值．本题主要考查等差数列的定义和求数列通项公式和前n项和，利用裂项相消法是解决本题的关键，属于中档题．19.答案：解：（1）由F是AT的中点，可得-a+=2c，即（a-2c）（a+c）=0，又a、c＞0，则a=2c，可得e=；（2）①过M，N作直线l的垂线，垂足分别为M1，N1，由NN1=2MM1，得M是NT的中点，可得，又F是AT中点，即有S△ANF=S△TNF，故；②设F（c，0），则椭圆方程为，由①知M是N，T的中点，不妨设M（x0，y0），则N（2x0-4c，2y0），又M，N都在椭圆上，即有，即，两式相减得：，解得，可得，故直线MN的斜率为k=，直线MN的方程为y=-（x-4c），即x+6y-4c=0，原点O到直线TN的距离为d=，依题意，解得c=，故椭圆方程为．解析：（1）由题意列关于a，c的方程，求解即可得到椭圆的离心率；（2）①过M，N作直线l的垂线，垂足分别为M1，N1，由N到直线l的距离是M到直线l的距离的2倍结合三角形底面积公式计算即可得到所求比值；②设F（c，0），则椭圆方程为，运用点差法求得直线MN的斜率和方程，运用点到直线的距离公式求解c，计算即可得到所求椭圆方程．本题考查椭圆的离心率的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算能力，属于难题．20.答案：解：（1）由f（x）=x log a x（a＞0），得f'（x）=，因为f（x）在点x=e-1处取得极小值-e-1，所以，所以a=e，所以g（x）=（m+1）x-ln x-f（x）=（m+1）x-ln x-x lnx，所以g'（x）=m-，令F（x）=g'（x），则F′（x）=，令F′（x）=0，得x=1．当x＞1时，F′（x）＜0，F(x)在（1，+∞）单调递减；当0＜x＜1时，F′（x）＞0，F(x)在（0，1）单调递增，故F（x）max=F（1）=m-1．①当m-1=0，即m=1时，因最大值点唯一，故符合题设；②当m-1＜0，即m＜1时，F（x）＜0恒成立，不合题设；③当m-1＞0，即m＞1时，一方面，∃e m＞1，F（e m）=-＜0；另一方面，∃e-m＜1，F（e-m）≤2m-e m＜0（易证：e x≥ex），于是，F（x）有两零点，不合题设．综上，m的取值范围为{1}．（2）证明：先证x1+x2＞2．依题设，有m=+ln x1=+ln x2，于是=ln．记=t，t＞1，则ln t=，故x1=．于是x1+x2=x1（t+1）=，x1+x2-2=．记函数G（x）=-ln x，x＞1．因G′（x）=＞0，故G（x）在（1，+∞）单调递增．于是，t＞1时，G（t）＞G（1）=0．又ln t＞0，所以x1+x2＞2．再证x1+x2＜3e m-1-1，F（x）=0⇔h（x）=mx-1-x lnx=0，故x1，x2也是h（x）=0的两个零点．由h′（x）=m-1-ln x=0，得x=e m-1（记p=e m-1）．由（1）知，p是h（x）的唯一最大值点，故有，作函数φ（x）=ln x--ln p，则φ′（x）=≥0，故φ（x）单调递增．当x＞p时，φ（x）＞φ（p）=0；当0＜x＜p时，φ（x）＜0．于是，mx1-1=x1ln x1＜+x1ln p．整理，得（2+ln p-m）x12-（2p+mp-p lnp-1）x1+p＞0，即x12-（3e m-1-1）x1+e m-1＞0．同理x22-（3e m-1-1）x2+e m-1＜0．故x22-（3e m-1-1）x2+e m-1＜x12-（3e m-1-1）x1+e m-1，即（x2+x1）（x2-x1）＜（3e m-1-1）（x2-x1），于是x1+x2＜3e m-1-1．综上，2＜x1+x2＜3e m-1-1．解析：（1）先求出a的值，然后求得单调区间和最大值，通过最大值的符号，讨论m 的大小，即可得到m的取值；（2）先证x1+x2＞2．依题设，有m=+ln x1=+ln x2，整理，构造函数G（x）=-ln x，x＞1．通过导数判断单调性，即可得证；再证x1+x2＜3e m-1-1，由（1）知，p是h（x）的唯一最大值点，故有，作函数φ（x）=ln x--ln p，通过导数判断单调性，整理，变形，即可得证．本题主要考查函数的零点的求法和取值范围，同时考查导数的运用，求单调区间和极值、最值，运用构造函数判断单调性是解题的关键，属难题．。
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________.
答案： 57
20
先判定数列 an 为等差数列， 再令 an 20 3n 0 ，解得 n
. 可得 Sn 的最大值为
3
S6 ，即得解 .
解：
因为 n N * ， an 20 3n ，
所以 an+1 an 3 ，
所以数列 an 为等差数列，
令 an
20 3n
0 ，解得 n
20
.
3
所以 a1, a2 ,L a6 0, a7 , a8 ,L , an 0
义解题 , 这个技巧大家要理解掌握并做到灵活运用 .
8．已知函数 f x
1
, x 0,
x1
若关于 x 的方程 f x a
x2 1,x>0,
f x a 1 1 有且
仅有两个不同的整数解，则实数 a 的取值范围是（
）
34
A．
,
23
11
B．
, 23
1 C． 1,
2
D． 0,3
答案： A
关于 x 的方程 f x a f x a 1 1有且仅有两个不同的整数解 , 等价于
答案：
分别计算正方体与外接球的表面积计算比值即可
.
解：
设正方体的棱长为 a, 其外接球的直径为正方体的体对角线
，即半径
，则外接
球的表面积
，正方体的表面积
6 ，则
.
故答案为： .
点评：
本题考查正方体的与球的组合体， 其中正方体的外接球的直径为正方体的体对角线，
内
切球的直径为正方体的棱长，与正方体各侧棱相切的球的直径为正方体的面对角线
AM AB BM 2
DCM ~ BAM ,
，
MC DC DM 1
设 CM x ，则 AC 3x, BD 3x ,
uuur uuur Q AC BD 1 ，
uuur uuur | AC || BD | cos AMB 1 ，
即 9x2 cos AMB 1 ，
cos AMB
1 9x2 ，
在 ABM 中， cos AMB
a f x a 1 有两个不同的整数解，
即 y f x 图象夹在 y a 与 y a 1之间的部分有且仅有两个点的横坐标为整数，
画出 y f x 的图象，如图，
Qf 1
1, f 2
1
，
2
3
由图象可知，当
1 a1 2
1
3
时，即
a
3
2
4
时，
3
y f x 图象夹在 y a 与 y a 1之间的部分有且仅有两个点的横坐标
）
A． x 4
B． x 3
C． x 2
D． x 1
答案： C
由题得双曲线的方程为
x2 a2
y2 3a2
1 ，所以 c 2
a2 3a2
4a2, c 2a .
所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合 .
PF1 PF2 12
由题得
, PF2 6 a .
PF1 PF2 2a
联立双曲线的方程和抛物线的方程得
3x2 8ax 3a2 0, x
0 ，则实数 a 的取值范围为 ________.
3
答案：
,1
2
先对函数求导，结合导数可判断函数的单调性，进而结合函数的奇偶性即可求解
围是（
）
A． 9 a 10
B． 9 a 10
C． 10 a 11
D． 8 a 9
答案： B
分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出
S 46 ，即可得到输，
第一次循环 S 13, n 12 ；
第二次循环 S 25, n 11；
.
12．已知圆 C ： x
2
3
2
y1
4 与直线 l ： x
y2
0 交于 M ? N 两点，则
MN ________.
答案： 4 根据题意，由圆的方程分析圆的圆心与半径，分析可得圆心
C 在直线 l 上，则
MN 2r ，即可得答案 .
解：
2
根据题意，圆 C ： x 3
2
y 1 4，
所以圆心为 3, 1 ，半径 r = 2 ，
因为直线 l 的方程为 x y 2 0 ，
所以圆心 C 在直线 l 上，则 MN 2r 4 .
故答案为： 4.
点评： 本题考查直线与圆的位置关系， 考查直线与圆相交时弦长的计算， 意在考查学生对这些
知识的理解掌握水平，属于基础题 .
13．在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB P DC ， AC 与 BD 交于点 M ， AB 2CD 4 ，
构还是循环结构； (3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构； (4) 处理循环结构的
问题时一定要正确控制循环次数； (5) 要注意各个框的顺序 , （6）在给出程序框图求解
输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即
可.
4．祖暅原理： “幂势既同，则积不容异” . 意思是说：两个同高的几何体，如在等高处
.
解：
解：由题意，若 A 、 B 的体积不相等，则 A 、 B 在等高处的截面积不恒相等，充分性
成立； 反之， A 、 B 在等高处的截面积不恒相等， 但 A 、 B 的体积可能相等， 例如 A 是
一个正放的正四面体， B 一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以
p 是 q的充分不必
要条件，
故选： A.
x3
x3
联立 {
，解得 {
，结合图象知，
xy0
y3
当直线 l 经过可行域上的点 A 3, 3 时，直线 l 在 y 轴上的截距最小，
此时 z 取最小值，即 zmin 2 3 4 3 6 ，故选 A.
【考点】线性规划 3．执行如图所示的程序框图，若输入
n 的值为 13，输出 S 的值是 46 ，则 a 的取值范
则 Sn 的最大值为 S6
6
17 20 3 6 2
57 .
故答案为： 57.
点评：
本题考查等差数列的判定， 考查等差数列的通项公式与求和公式， 考查了等差数列前 n
项和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力
.
11．球 是正方体
的外接球， 若正方体
的表面积为 ，
球 的表面积为 ，则 __________ ．
答案： D
先化简集合 A ，再结合补集并集定义进行计算即可得解 .
解：
A x x 2 x 3 0 { x | x 3 或 x ? 2} ，
所以 e R A { x | 2 x 3} ，
则 e R A B { x | x 2} ( 2, ) .
故选： D.
点评：
本题主要考查集合的基本运算， 考查一元二次不等式的解法， 结合补集并集的定义是解
a
c. 选 C．
3
23
【考点】比较大小
6．设 f ( x) sin3x cos3 x ，把 y f ( x) 的图象向左平移
0 个单位长度后，
恰好得到函数 g x sin3 x cos3x 的图象，则 的值可以为（ ）
A． 6
B．
4
C．
D．
2
答案： D
根据三角函数的图象变换，求得 g x
3
2 sin 3x
uuur uuur 若 AC BD 1，则 cos BMC __________.
1
答案：
17 设 CM x ，利用三角形相似的性质可得
AC
3x, BD
3
x
,
由
uuuv AC
uuuv BD
1可得
cos AMB
解：
1 9x2 ，再由余弦定理解得
x2
17
，进而可得结果 .
9
因为等腰梯形 ABCD 中， AB PDC ， AC 与 BD 交于点 M ， AB 2CD 4 ，
的截面积恒相等，则体积相等 . 设 A 、 B 为两个同高的几何体， p : A 、 B 的体积不相
等， q : A 、 B 在等高处的截面积不恒相等 . 根据祖暅原理可知， p 是 q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案： A
由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的 理解， 掌握纯虚数、 共轭复数、 复数的模这些重要概念， 复数的运算主要考查除法运算，
通过分母实数化转化为复数的乘法， 问题出错，造成不必要的失分 .
运算时特别要注意多项式相乘后的化简，
防止简单
10．已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 n N * ， an 20 3n ，则 Sn 的最大值为
二、填空题
9．已知复数 z
3 2i ， i 为虚数单位，则
2
z
__________.
1i
答案： 13 2
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数
结果 .
解：
3 2i Qz
1i
3 2i 1 i 1i 1i
5i
,
2
2 25 1 13
13
z
，故答案为 .
44 2
2
z ，从而可得
点评：
决本题的关键，比较基础 .
xy50 2．已知 x 、 y 满足约束条件 { x y 0 ，则 z 2x 4 y 的最小值是（ ）
x3
A． 6
B． 5