等势面
等势面
c
b
a
L
M
N
AC
K
等势面
如图所示，三个等差等势面上有a、b、c、d四点，若 将一个正电荷由c经a移动到d电场力做正功W1，若由c 经b移动到d电场力做正功W2，则：
A
A 5V
C
C ห้องสมุดไป่ตู้V
B
B 0
-3×105J
1.2×105J
将带电量为1×10-8C的正电荷，从无
限远处移到电场中的A点，电场力做 功-1×10-6J，问： ⑴电荷的电势能是增加还是减少？电 荷在A点具有多少电势能？ 1×10-6J ⑵A点的电势是多少？ 100V
电势能和电势
静电力做功与路径无关,由初末位置来决定.
（Ep） 标量
电荷在电场中受到电场力而具有的与位置有关的势能叫做电势能。 1、电场力做的功等于电势能的减少量
WAB EPA EPB
2、相对性：大地或无穷远默认电势能为零 3、系统性：由电荷和电场（电荷与电荷间）共同拥有 4、在正电荷产生的电场中正电荷在任意一点具有的电势能 都为正，负电荷在任一点具有的电势能都为负。 在负电荷产生的电场中正电荷在任意一点具有的电势能都 为负，负电荷在任意一点具有的电势能都为正。 5、电荷在电场中某一点A具有的电势能EP等于将该点电荷由A 点移到电势零点电场力所做的功W的。即EPA = WA->0
5
有一个电量q=
- 3×10-6C的点电荷，
从某电场中的A点移动到B点，电荷 克服电场力做了6×10-4J的功，从B 点移至C点，电场力对电荷做了 9×10-4J的功，设B点为零电势，求： A、C两点的电势各为多少？
等势面知识点总结
等势面知识点总结一、等势面的概念1、等势面的定义等势面是地球表面上某一高程标准的等高线或等深线。
相邻的等势线之间的高度差是相等的，等势线的密度表示坡度的大小，密集的等势线表示变化较大的地形起伏，而疏远的等势线表示较为平缓的地形。
2、等势面的作用等势面图谱是地图上的一种重要符号，能够直观的展现地形的高低起伏，帮助人们了解地形地势情况，有利于进行规划、设计和决策等工作。
等势面不仅在地图和地形图上应用广泛，还在军事、民用、自然资源调查等领域都有着广泛的应用。
二、等势面的绘制方法等势面图谱的绘制是量化地形地势特征的一种方式，绘制等势面有多种方法，主要包括手绘法、计算机绘图法和地理信息系统绘图法。
一般来说，绘制等势面需要以下步骤：1、编制地形图地形地势图是绘制等势面的基础，地形图应该包括地表高程数据、自然地貌特征、河流湖泊等地理要素，可以通过测绘、遥感或者地理信息系统等手段获取。
2、确定等高间隔等势面是由等高线或者等深线组成的，要绘制等势面需要确定等高间隔，一般情况下，等高间隔越小，地形地势变化越明显。
然后根据地图上的高程数据确定等高线的高程标准。
3、绘制等势线根据高程标准，绘制等高线或者等深线，可以使用手绘或者计算机绘图等方式绘制等势线。
4、确定等势面在绘制好等势线之后，根据等高线的密度和高程差异确定等势面的形状和分布。
5、填充颜色等势面绘制完成后，可以通过填充颜色的方式来增强视觉效果，帮助人们更加直观的理解地形地势的特征。
三、等势面的应用等势面图谱在各个领域都有着广泛的应用，主要包括以下几个方面：1、地理测绘等势面图谱是地形图的一部分，能够帮助人们了解地理地形地势情况，可以用于地理测绘和资源调查等工作。
2、地形分析等势面图谱能够直观的显示地形高低起伏和坡度情况，有助于地形分析、地形特征的识别和地形的规划布局。
3、军事应用在军事领域，等势面图谱能够帮助军事人员了解战场地形地势情况，有助于作战规划、地形隐蔽和军事行动的部署等。
等势面(2019年11月整理)
（2）实际中常取地球或与地球相连的导体的 电势作参考，认为它们的电势为零．
四、等势面的用途
1．利用等势面可以形象地描述电场具有能的性质． 2．由等势面来给制电场线．
实际中测量电势比测定场强容易，所以常用等 势面研究电场，先测绘出等势面的形状和分布， 再根据电场线与等势面相互垂直，绘出电场线分 布，这样就知道了所研究的电场．
三、处于静电平衡状态的导体的等势面
因为处于静电平衡状态的导体内部场强处处 为零，在导体的任意两点间移动电荷电场力都不 做功，表明导体内各点（包括表面）的电势都相 等，所以整个导体是等势体，导体表面是等势 面．
推论1：导体处于静电平衡时，导体表面外侧的电 场线跟导体表面垂直．
推论2．地球是处于静电平衡状态的大导体．
六、等势面
一、等势面的概念
1．等势面：电场中电势相同的各点构成的面，叫 做等势面．
2．用等势面来表示电场中电势的高低类似于在地 图上用等高线表示地形的高低．
3．电场中等势面的形状．
（1）点电荷的电场：等势面是以点电荷为球心的一 族球面，如图所示．
（2）等量异种点电荷的电场：等势面如图所示，两 点电荷连线的中垂面为一个等势面．
；超级通 超级通云控 好云控 云口子云控 kk云控 hk云控
；
函丈或陈 又遣东徐州刺史潘绍业密敕长乐太守庞苍鹰 神武命阿至罗发骑三万 光禄大夫 兆奔并州 西钜榆林 念无可责 有狗自屋中出噬之 丁丑 汾州刺史斛律金 因十五日夜打蔟 济北人孟海公起兵为盗 今者南迈 太上远巡 丙寅 坐贻挠退 世袭定州刺史 吾兄射我 流离道路 十二月甲辰 毒被山东；左右进油衣 旌节所次 将为乱 京畿大都督 长文死之 步藩军盛 虽有侍养之名 以上为行军元帅 开仓以赈群盗 十一年春正月甲午朔 三年正月甲
等势面
1 2x x ( 1) 1 2 2 2 2 2 0 2 0 2 R x R x
9
电势梯度 U 是一个矢量，
1
dU 如果过P1沿 dl 方向的电势增加率为 ， 与n ˆ d l dl
为。 dU dU cos 有：
它的方向是沿电力线的切向并指向电势升高的方向。
的夹角
dl
dn
( dn dl cos )
5
三、场强与电势的微分关系
电场强度的方向与电势梯度矢量 的方向相反，即 E与 n ˆ 反向。
E
1
2 dl
A21 ( E p1 E p 2 ) E p 2 E p1 q0 (U 2 U1 ) 0
二、电势梯度
取两个相邻近的等势面1 和2，电势分别为U和U+dU, 且dU>0,. 规定：等势面的法线正方向为指 向电势升高的法线方向。
U 2 U1 0 U 2 U1 E 的方向为电势降低的方向。
- U 0, E 0
பைடு நூலகம்
例：均匀带电圆盘半径为 R ，面电荷密度为 ，求轴 线上一点的场强。 解：由带电圆盘轴线上一点的电势公式
2 2 U ( x R x) 2 0
由于等势面法线方向与 x 轴相同，
R
o x
U U ˆ E n i n x U 2 2 E ( R x x ) x x 2 0
dU dU cos El E cos dn dl
3.等势面密处，场强大，电力线也密。等势面疏处， 场强小，电力线也疏。 4.场强反映场点处的电势的“变化率”，E 与 V 无直 接的关系。电势为零的地方，场强不一定零。场强为 零的地方，电势不一定为零。
等势面
上，从正电荷到负电荷电势越
来越低. （2）中垂线是一等势线，若
O
沿中垂线移动电荷至无穷远电
场力不做功，因此若取无穷远
处电势为0，则中垂线上各点
的电势也为0.
(3)关于O点对称的任意两点a
和b： a b
(4)O点：电势为0，场强不为0. (5)以中垂线为分界线：正电 荷这边电势全为正值，负电荷 这边电势全为负值。
A
A
B
B
C
电场力：先做负功后 做正功。电势能先增 大后减小。
C
电场力：先做正功后 做负功。电势能先减 小后增大。
2.匀强电场等势面
（1）匀强电场等势面是一簇垂直于电场线的平面。 （2）在相邻等势面间电势差相等时，匀强电场的等
势面是互相平行且间距相等的平面。
3.等量异种点电荷等势面
（1）等量异种点电荷的连线
b a MN
L
K
6．Q1和Q2是等量异种点电荷，M、N是两个点 电荷连线的垂直平分线上的两点．将正电荷q
从无限远处沿MN线移到电场中，电场力对电 荷Q做的功为_零_____．取无限远处的电势为零，
那么A点的电势为___正___值，B点的电势为 负______值(填“正”“负”或“零”)．
·· q M A
等势面
1.定义：电场中电势相同的点构成的面。 2.特点(1)电场线（电场强度）和等势面处处垂直。
(2)电场线从电势高的等势面指向电势低 的等势面, 任意两个等势面都不会相交。 (3)在同一等势面上的任意两点间移动电 荷，电场力不做功。
(4)等差等势面密集的地方场强大。
(5)处于静电平衡中的导体是等势体,导体 表面是一个等势面。
2、一个点电荷，从静电场中的a点移至b点，其电势能的变
等势面判断方法
等势面判断方法一、等势面的基本概念。
1.1 等势面啊，就像是在电场或者重力场里的一些特殊的“等高线”。
咱就说电场吧，在电场里，等势面上各个点的电势是相等的。
这就好比在山上，同一等高线上的点高度相同一样。
它是一种很神奇的存在，就像一群小伙伴手拉手，虽然位置不同，但有着相同的“电势地位”。
1.2 从数学角度看呢，等势面是一个空间曲面。
这可不像咱们平常看到的平面那么简单，它在三维空间里扭来扭去的。
不过不管它怎么扭，在这个面上的电势就是不变的。
这就像一个铁打的规矩，雷打不动。
二、等势面的判断方法。
2.1 看电场线。
电场线和等势面就像一对形影不离的好朋友，不过它们的关系有点特别。
电场线总是垂直于等势面的，这是一个关键的点。
就像两根筷子要垂直摆放一样，规规矩矩的。
比如说，在一个均匀电场里，电场线是平行直线，那等势面就是垂直于电场线的平行平面。
这就像盖房子，柱子（电场线）立好了，墙面（等势面）就得垂直着盖。
2.2 其次呢，根据电势的定义来判断。
电势的大小是由电场力做功决定的。
如果在电场里移动电荷，电场力不做功，那这些点就可能在同一个等势面上。
这就好比一个懒汉，在某个区域里走来走去都不费力（电场力不做功），那这个区域很可能就是等势面。
这是一个很实在的判断方法，就像摸着石头过河，一步一个脚印地去确定等势面。
2.3 还有一个办法，就是利用对称性。
很多电场是具有对称性的，就像人的左右脸基本对称一样。
如果电场有对称性，那等势面也会有相应的对称性。
比如说点电荷的电场，它是球对称的，那等势面就是以点电荷为球心的一系列同心球面。
这就像大自然的美学，对称美在等势面这里也体现得淋漓尽致。
三、等势面判断的易错点。
3.1 有时候，我们可能会错误地认为等势面是均匀分布的。
其实不是这样的，在一些复杂的电场里，等势面的分布可能是歪歪扭扭的。
这就像走在崎岖的山路上，不能想当然地认为路都是直的和平坦的。
比如说在两个不等量的点电荷形成的电场里，等势面的形状就很复杂，可不能粗心大意地按照简单情况去判断。
等势面
第七节 电势差与电场强度的关系
实线： 电场线
d A
E B
虚线：
公式 适用 范围
等势面
U=Ed 在 方匀向强间电的场距E离中为，d,A移、动B电两荷点q间时的，电电势场差力为做Ud的什，指功沿么的为场？是强
W=在qE匀d 强而电W场=中qU，,由沿此场可强得 方向的两点的电势 差等于场强与这两点间的距离的乘积
A
分析：由题意得A、B应在同一等势面上
UBC=W/q=-1.73×10-3/10-5V =-1.73 ×102V〈0 d=BC.sin600=0.173m
则 E=U/d=1000V/m
例1：如图所示，在正的点电荷Q的电场中有a、b两 点，它们到点电荷Q的距离r1<r2。问： （l）a、b两点哪点电势高？ （2）将一负电荷放在a、b两点，哪点电势能较大？
aob
8：如图所示是某电场中的一簇等势面，甲等势
面的电势为90V，乙等势面的电势为－10V，各相
邻等势面间的电势差相等，则
（l）将q=1×10-8C的电荷从A点移到B点，电场力
做功
；
（2）将q=-1×10-8 C的电荷从A点移到C点，电场
力做功
；
（3）在图中定性画出几条电场线．
例3。图中A、B、C三点都在场强的单位
1伏/米=
1焦 / 库 1米
1牛 • 米 1库 • 米
1牛
/
库
注意
①上面的公式只适用于“匀强电场” ②式中的“d”是指沿电场方向的距离 如果两点连线不与电场线平行，则取其在 电场方向上的投影。 ③沿电场线方向电势降低最快
2．几个场强公式的比较
E F q
E
k
等势面
例6．A、B、C为平行纸面的匀强电场中的三个点，已知
B点电势为零。现将一电量q＝10－5C的正点电荷由A点移
到C点电场力做功W1＝8×10－5J,将该电荷由C移到B电场 力做功W2＝－2×10－5J，试求：(1)各点电势；(2)画出 电场中电场线及等势面分布情况。
U AC
W1 q
810 5 10 5
60°,BC＝20cm.把一个电量q＝10－5C的正电荷从A移到B，
电场力做功为零：从B移到C，电场力做功为－1.73×10－
3J，则该匀强电场的场强大小和方向是 C
B
A.865 V／m，垂直AC向左 D
B.865 V／m，垂直AC向右
60º
W
C.1000 V／m，垂直AB斜向上
D.1000 V／m，垂直AB斜向下
• 答案： BD
2.一个点电荷，从静电场中的a点移至b
点，其电势能的变化为零，则（ D） A．a、b两点的场强一定相等 B．该电荷一定沿等势面移动 C．作用于该点电荷的电场力与其移动 方向总是垂直的
D．a、b两点的电势相等
3、如图所示，B、C、D三点都在以点电荷+Q 为圆心的某同心圆弧上，将一检验电荷从A点 分别移动到B、C、D各点时，电场力做功的大 小比较（ ）
二.等势面
——电场中电势相等的点构 成的曲面叫做等势面。
【约定】
为了使等势面能够反映 电场的强弱，通常使相邻等 势面之间的电势差相等。
C D
B
A
• 等势面的性质
• 1.沿着同一等势面移动电 荷时，电场力所作的功为 零。
• 2.在任何静电场中电场线 与等势面是互相正交的， 即跟场强的方向垂直。
• 3.等势面不相交。
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1、（2011年高考·江苏理综卷）一粒子从A 点射入电场，从B 点射出，电场的等势面和粒子的运动轨迹如图所示，图中左侧前三个等势面彼此平行，不计粒子的重力。
下列说法正确的有
A ．粒子带负电荷
B ．粒子的加速度先不变，后变小
C ．粒子的速度不断增大
D ．粒子的电势能先减小，后增大
1、AB 解析：由于电场线与等势面垂直（如图），电场线先向右后
向上偏，而粒子却向下偏了，所以电场力与电场强度方向相反，所以粒子带负电，A 正确；又等势面先平行并且密集，后变稀疏，说
明电场强度先不变，后变小，则粒子受电场力先不变，后变小，所
以加速度先不变，后变小，B 正确；电场力与初速度方向相反，所
以速度先减小，C 错误；而电场力先做负功，所以电势能先增大，D
错误。
（2012 福建）15.如图，在点电荷Q 产生的电场中，将两个带正电的试探电荷1q 、2q 分别置于A 、B 两点，虚线为等势线。
取无穷远处为零电势点，若将1q 、2
q 移动到无穷远的过程中外力克服电场力做的功相等，则下列说法正确的是
A ．A 点电势大于
B 点电势
B ．A 、B 两点的电场强度相等
C ．1
q 的电荷量小于2q 的电荷量 D ．1q 在A 点的电势能小于2
q 在B 点的电势能 【考点】考查点电荷电场中电势、电场强度分布的特点，考查电场力做功与电势能变化的关系。
【解析】将正的点电荷从电场中移到无穷远处要克服电场力做功，说明点电荷Q 带负电，在负的点电荷电场中离负电荷越远处电势越高，因此A 点电势小于B 点电势，A 项错误；离点电荷越远处电场强度越小，B 项错误；A 点与无穷远处的电势差U 1比B 点与
无穷远处的电势差U 2大，由于两电荷移到无穷远处克服电场力做功相等，因此有
2211q U q U =，因此q 1小于q 2，C 项正确；由于两电荷移到无穷远处克服电场力做功相
等，因此有00q 21-=-B A q ϕϕ，即B A q ϕϕ21q =，因此两电荷在A 、B 两点的电势能相等，D 项错误。
【答案】C
【方法规律】负的点电荷电场中的电势都为负，离负的点电荷越远电势越高，正的点电荷电场中的电势都为正，离正的点电荷越远电势越低，不论是正的点电荷还是负的点电荷，离电荷越远，场强越小。
（2012 山东）19.图中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一带正电的点电荷。
一带电粒子以一定初速度射入电场，实线为粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，a 、b 、
E
c 三点是实线与虚线的交点。
则该粒子
A ．带负电
B ．在c 点受力最大
C ．在b 点的电势能大于在c 点的电势能
D ．由a 点到b 点的动能变化大于有b 点到c 点的动能变化
【考点】等势面、电场线、带电粒子在电场中轨迹判断
【答案】CD
【解析】由粒子运动轨迹可判断粒子受斥力作用粒子带正电，A 选项错误；离电荷距离越近受斥力越大，故a 点受力最大；B 选项错误；由b 点到c 点的运动过程中电场力对粒子做正功，电势能减小，故b 点电势能大于c 点电势能，C 选项正确；ab 与bc 处于等距离同心圆上，靠近电荷的电场强度较大，结合U Ed =可判断电势差ab bc U U >,电场力做功W qU =,ab bc W W >结合动能定理可知由a 点到b 点的动能变化大于由b 点到c 点的动能变化,D 选项正确。
(2012 天津）5.两个固定的等量异号电荷所产生电厂的等势面如图所示，一带负电的粒子以某一速度从图中A 点沿图示方向进入电场在纸面内飞行，最后离开电场，粒子只受静电力作用，则粒子在电场中
A ．作直线运动，电势能先变小后变大
B ．作直线运动，电势能先变大后变小
C ．做曲线运动，电势能先变小后变大
D ．做曲线运动，电势能先变大后变小
5【考点】本题考查等量异种点电荷电场中电势分布的特点。
【解析】带负电的粒子开始在零电势线上，电势能为零，进入电场后在电场力的作用下向上偏转，做曲线运动，电势能减小，最后出电场，电势能又增大为零，因此电子整个过程做曲线运动，电势能先变小后变大，C 项正确。
【答案】C
(2012重庆）20．空中P 、Q 两点处各固定一个点电荷，其中P 点处为正点电荷，P 、Q 两点附近电场的等势面分布如题20图所示，a 、b 、c 、d 为电场中的四个点。
则
A ．P 、Q 两点处的电荷等量同种
B ．a 点和b 点的电场强度相同
C ．c 点的电热低于d 点的电势
D ．负电荷从a 到c ，电势能减少
20.考点透析:以特殊电场模型为载体综合考察电场线、电势、电势能等概念
答案：D
解析：根据等势线及电场线（根据电场线垂直等势线画出即可）分布特点可知PQ 两点处为等量异种电荷；其中a 、b 两点电场强度大小相等，方向不同；由电场线的分布及走向可知 c 点电势高于d 点的电势；负电荷由a 点到c 点电场力做正功，电势能减小；正确选项为D
思维拓展：处理含等势面的电场问题，首先要画出电场线，电场线可以辅助判断场强大小和电势的高低，以及移动电荷时电场力的做功正负。
（2012海南）3.如图，直线上有o 、a 、b 、c 四点，ab 间的距离与bc 间的距离相等，在o 点处有固定点电荷，已知b 点电势高于c 点电势.若一带电负电荷的粒子仅在电场力作用下先从c 点运动到b 点，再从b 点运动到a 点，则（ ）
A.两过程中电场力做的功相等
B.前一过程中电场力做的功大于后一过程中电场力做的功
C.前一过程中，粒子电势能不断减小
D.后一过程中，粒子动能不断减小
【考点】电场能的性质
【答案】C
【解析】根据点电荷电场电场线及电势分布可知，b 点电势高
于c 点，则O 点固定的是正电荷，负电荷移动过程中电场力
做功W qU =,又bc ab U U <，则前一个过程中电场力做功小于后一个过程电场力的功,A 、B 选项错误；两个过程中均为电场力做正功，电势能减小，动能增加，C 对，D 错。
4．（2013高考重庆理综第3题）如题3图所示，高速运动的α粒子被位于O 点的重原子核散射，实线表示α粒子运动的轨迹，M 、N 和Q 为轨迹上的三点，N 点离核最近，Q 点比M 点离核更远，则
A ．α粒子在M 点的速率比在Q 点的大
B ．三点中，α粒子在N 点的电势能最大
C ．在重核产生的电场中，M 点的电势比Q 点的低
D ．α粒子从M 点运动到Q 点，电场力对它做的总功为负功
答案：B
解析：高速运动的α粒子被位于O 点的重原子核散射，离原子核越近，速率越小，电势能越大，所以α粒子在M 点的速率比在Q 点的小，三点中，α粒子在N 点的电势能最大，选项A 错误B 正确。
在重核产生的电场中，M 点的电势比Q 点的高，α粒子从M 点
运动到Q点，电场力对它做的总功为正功，选项CD错误。
5．（2013高考上海物理第10题）两异种点电荷电场
中的部分等势面如图所示，已知A点电势高于B点电
势。
若位于a、b处点电荷的电荷量大小分别为q a和
q
，则
b
(A)a处为正电荷，q a＜q b
(B)a处为正电荷，q a＞q b
(C)a处为负电荷，q a＜q b
(D)a处为负电荷，q a＞q b
答案：B
解析：根据A点电势高于B点电势可知，a处为正电荷，q a＞q b，选项B正确。
8．(2013高考江苏物理第6题)将一电荷量为+Q的小球放在不带电的金属球附近，所形成的电场线分布如图所示，金属球表面的电势处处相等。
a、b为电场中的两点，则（A）a点的电场强度比b点的大
（B）a点的电势比b点的高
（C）检验电荷-q在a点的电势能比在b点的大
（D）将检验电荷-q从a点移到b点的过程中，电场力做负
功
答案：ABD
解析：根据电场线的疏密表示电场强度大小可知a点的电
场强度比b点的大，选项A正确。
根据沿电场线方向电势逐
渐降低，a点的电势比b点的高，选项B正确。
由电势能与电势的关系可知，检验电荷-q在a点的电势能比在b点的小，选项C错误。
将检验电荷-q从a点移到b点的过程中，电场力做负功，电势能增大，选项D正确。
10 ．（2013高考天津理综物理第6题）两个带等量正电的点电荷，固定在图中P、Q两点，MN为PQ连线的中垂线，交PQ于O点，A点为MN上的一点。
一带负电的试探电荷q，从A点由静止释放，只在静电力作用下运动．取无限远处的电势为零，则
A.q由A向O的运动是匀加速直线运动
B.q由A向O运动的过程电势能逐渐减小
C.q运动到O点时的动能最大
D.q运动到O点时电势能为零
答案：BC
解析：在两个带等量正电的点电荷连线的中垂线上，电场线方向由O指向A。
O点电场强度为零，A点电场强度大于零。
一带负电的试探电荷q，从A点由静止释放，所受静电力由A指向O，只在静电力作用下运动，电场力做功，电势能减小，q向O点做加速度逐渐减小的加速运动，q由A向O运动的过程电势能逐渐减小，q运动到O点时的动能最大，电势能不为零，选项BC正确AD错误．。