天津市南开区2017届高三毕业班联考数学(文)试题Word版含答案
天津市南开区2017届高三一模数学(文)试题Word版含答案
南开区2016— 2017学年度第二学期高三年级总复习质量检测 （一）数学试卷（文史类）第I 卷一、选择题（本大题共 8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）1、 若复数z 满足（-3 4i ）z =25i ，其中i 为虚数单位，则 z = A . 4 -3i B . 3 4i C . -5 3i D . 4 3i2、 口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球 45个，从中袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为 A . 0.45 B . 0.32 C . 0.64 D . 0.673、已知p,q 是简单命题，那么“ p q 是真命题”是“ —p 是真命题”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 2 24、已知双曲线才計的右焦点与抛物线2y =12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A .、、5B . 3C . 5D . 4、25、我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损术的算法思路与右图类似，记R（a b）为a除以b所得的余数，执行程序，若输入a,b分别为266,63 , 则输出的b的值为A . 1B . 3C . 7D . 216、已知函数f x AT nx2-x，则关于的不等式f(丄厂：2(1 n丄-1)的解集为m 2A. (0, 1) B . ^1,0^J(0,1) C . (0,2) D . (-2,0)U(0,2)2 2 2—I T T T T T 17、在ABC 中，AB =AC =1, AM =MB,BN = NC,CM AN ，则ABC =45■: 12Jl Tt —D .-4 6最小值是/输乜b /a且f (x 2^ f x 对任意的x • R 恒成立，若函数g x 二f x ］；「m(x • 1)在区间［「1,5］内有6个 零点，则实数m 的取值范围 _________ .三、解答题：本大题共 5小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、(本小题满分13分)»oo o3T在匚ABC 中，角A, B,C 所对的边为a,b,c ，已知c = a b —4bccosC ，且A —C .2(1 )求cosC 的值；n(2 )求 cos(B)的值•316、(本小题满分13分)某厂拟输出甲乙两种适销产品，每件销售收入分别为A . 8B . 9C . 11D . 12二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答△«u13、 圆心在直线2x-y=0上的圆C 与x 轴的正半轴相切，圆 C 截y 轴所得的弦的长为 2. 3 , 则圆C 的标准方程为14、已知定义域为 R 的函数f x 满足：当(-1,1］时,，一1 ：：x 02-x-2,0 ：： x_13000元、2000元，甲乙产品都需要在 A 、B两种设备上加工，在每台A、B设备上加工一件甲所工时分别为1h,2h，加工一件乙设备所需工时分别为2h,1h ,A,B两种设备每月效使用台数分别为400h和500h，分别用x,y表示计划每月生产甲乙产品的件数•（1 ）用x, y累成满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问分别生产甲乙两种产品各多少件，可使收入最大？并求出最大收入17、（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA = PB,PA _ PB, F为CE 上的点，且BF _平面PAC .（1）求证：平面PAB _平面ABCD ；（2）求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值；（3）在棱PD上是否存在一点G，使GF //平面PAB，若存在，求PG的长；若不存在，说明理由•18、（本小题满分13分）等比数列祐鳥的各项均为正数，成等差数列，且满足a^4a f.（1）求数列Ca n 1的通项公式；（2）设b n色口，n，N ，求数列匕』的前n项和S n.（1—a n）（1 ~a n 十）21、（本小题满分14分）2 2已知过点（0, -2.3），斜率为3的直线l过椭圆C:令匕-1（a b 0）的焦点，椭圆C的中心a b22关于直线l 的对称点在直线X 二’上.2(1)求椭圆C 的方程;点)，求直线m 的方程.20、(本小题满分14分)已知函数 f (x )=仮卜-a,a^ R, g(x) = 16x 3 +mx 2 _15x - 2，且 g(2)=0. (1) 求函数g x 的极值； (2)若函数f x 为单调函数，求实数 a 的取值范围；(3) 设a • 0 ,若存在实数t(t 0)，当x • ［0, t ］时函数f x 的值域为［0,丄］， 求实数a 的取值范围(2)过点E(2,0)的直线m 交椭圆于点M,N ，且满足ta n. MON =(O 为坐标原3OM ON南开区2016〜2017学年度第二学期离三年级总复习质量检测（一）9(13) (X -1)2+(^2)M ；(14) [j, j)三.解答题：（其他正礎解法请比照给分）（15） H ： （I ） •••c 2=o 2+y-46ccosG 由余弦定理可得"2G：•由正弦定理得siiU=2sinC.又 T A-C- £ ■ sinX =sin (C+—) =cosC ・ -2 2/•2sinC=cosC» X V sin 2C+cos 2C=l,解得cosC=座5(D)由(I )知sinC*y,/.sin2C=2sinCcosC= j, cos2C=2cos J C-l=-, •*.cos(B+i) =co S (—-2O， 68=005cos2C+sin —sin2C6 6J 迺丄丄红上迈2 5 2 510 -•** •7 ‘2 • •扣(9) {x|-2©<7}；(10)尸4x-3訂(11) V3： (12) [-2, 4]； 13分b+”500, =+2ys400, "0, 丿20, 该二元一次不等式畅赫的区域为右图中的阴形部分；・•・・•・•・・・・・6分（U ）设毎月收入为z千元.则目标函数为"3x+2y. 考虔z=3x+幼 将它变形为『〜討峙.这是斜 率为弓・随z 变化的一族平行直线.彳为直线在丁 轴上的截距，当彳取得量大值时，z 的值最大.又 因为工，y 满足约束条件，所以由右图可知，z=3x+却在点M 处取得最大值.2x +y = 500> />得点M 坐标为（200, 100）-x+2y = 400>所以 ^=600+200=800.答：生产甲产品200件，乙产品100件，可便收入量大，且最大收入为80万元............ ・・13分(17) M ： (I) TBF 丄平面 PAC. ：^BFLPA.又 VE41PB- •••比丄平面FBG•••£4 丄 BC.又・••底面M3是正方形,•VXB 丄 BG・・・BC 丄平面如， ・・•平面"BCD 丄平面£4B ・5）作PE±M?垂足为'电警;+案CXJ 脚却真如頁八烏开区高斗复习咖E:（⑹斛⑴由己知&曲”11分”12分由（I）知.PEJL平面XBCD■•・.直线PC与平面XBCD所成角即为ZPCE・• ........................... 6分•:吩PB. B4丄PB, AB^2,:・PE=l, PB二逅,・••在R1APBC中，由勾股定OPC=V6,.•曲“EC中，5=胃.即貢銭PC与平而肋CD所成角的正號值为嬰・、 (9)■(IH)作FG//CD，交PD 于G・. .■:・；• … • •・••:FG7/CP. AB//CD,:.FG//AB.又VFGcr平面⑷，Mu平面RL8・■:.FG〃平面E4B. •/•・•・ ........... 11 分7BF1平面刃C.\BFLPC.由（II）知，在R1MBC中，PF=卷,・3从而,PG=¥即棱PD上存在一点G,使GF〃平面刃B,且PG的长为半. .............. 13分（18）解，（I）设等比数列口｝的公比为仆TUJ KS*"S 2o<—2u5r4a^t.................. *............ I 分■•山4=舸+汝乳........ .................... 2分•・q>0，•“>0,且2^+^lM),庖开区高三总复习电检利（-）（以知M3X（共70解探尸*奏旷-匕(會》・J4・・.. .1 y 于所以数列｛心｝的通项公式为a 产□由⑴卄心忒石ED,1 - 1_莎二1_2”匸1・(19) Mt (I )依题意.宜线7：尸街X-2VL:•直线/过捕B8焦点，二该焦点坐标为(2, 0),即c=2. •・•过原点垂直于I 的直线方程为y~旦, ......3•••橢圆中心0(0, 0)关于直钱/的对称点在宜线“工卜2上4-2x r x•••/%从而，护=2.审口吋* 一如3粘(如*页希必乜故«0C 的方程为4+v = 1-o Z(U)由题设知直线加的斜杯为零，故SS 线加的方程为尸X' 代入捕圆C 的方程并整理得(F+3)FN"-2=0, 则知*島・wy 萨焉, ・•」側=J1 + F 1比》|71+卩7以f )2-伽》□分••6分_2R(1+F)，7tanZW^=-^Z ： _ .30M ON•sinZWN _ 4^6 */cosZMON '3\OM\^\ON\W3£MON，・•・［亦|・|页|sinZMON=还，3即.…3- ............................... . ...._ ••276-71+7 2^6••- —=—■.F + 3 3解得e±V5或E).泗护(1)%⑵T6・2%・2匚15・2-27 Am=-24,• i •• :. ■・・・g(r) =16?_24?-15辽令glx) M&?-48x-15=0. «得工—1 54*少变化时，g'S和g(x)的变化倩况如下表：X (-C0, -丄)443 4}~5~4r__________G，+«>)4+0■0,+/ w / 极大值\极小值/A/U) •*«=/(—)=0» /(x)«x«=/(^)=-27.当aWO 时，fix)*= 7x (x-a), /z(r) = -x^--or 1 ^0,2 2・J&)在[0, +«>)上单调递增，符合题意；业 a ■fVxffl —x)>OMxVa纸>0时，/(x)=：W °[Vx(x-a)> x>a,此时，XWZ为心)的零点.显然不单调；此实数a的取值范围是go.5)瓯当x>a时・/(x)单调递增・•W,护5当询訂嘗<。
2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试题 (文科)解析版
绝密★启用前【试题点评】2017年天津高考数学试题考点变化不大,题型结构与2016年相同,从知识结构角度看,试题考查内容覆盖面广,与往年基本一致。
与此同时,试题命题中出现地综合与创新,体现了能力立意地命题思路与稳中求变地命题特点。
整卷难度分布正确,具有较好地区分度,整体难度与去年相比稍有降低。
纵观整篇试题,命题严格按照《考试说明》与课程标准,双基内容占了相当大地比例,体现了命题人回归教材，突出主干地思路,重视对考生基本数学素养地考查。
对于此部分题目,只要考生熟练掌握基本概念和定理,就可以轻松得分。
试题在知识点选择上与去年相比略有改变,考验学生基础知识掌握地全面性。
试题命题风格稳定,试题布局正确,利于考生发挥自身真实水平,具有较好地信度和效度。
每年天津高考命题都会给予应用问题一定地关注,对中学数学教学重视数学应用有很好地导向作用,第16题以大家熟悉地电视剧与广告以及收视人次为命题背景,选材正确,将线性规划与实际问题相结合,考查学生地理解能力以及应用数学知识解决实际问题地能力,体现了数学地应用价值与人文特色。
知识难度不大,审清题后可较容易地得到结果,体现了新课标地教育理念。
在注重基础和应用地同时,今年天津高考试题也加强了综合性与创新性地考查,以提高试题区分度,如第8题,主要考查基本初等函数地图象和性质,设问综合了分段函数单调性，函数零点以及图象变换等典型考点,充分考查了考生地数形结合思想与转化化归思想,考验学生地知识理解深度与思路问题解决问题地能力。
第19题设问较为新颖,命题具有一定地抽象性与综合性,需要学生基于三次函数单调性与极值最值地关系进行探索思路,考查函数与方程，分类讨论，转化等数学思想,问题思路环环相扣,逻辑严密,难度较大,充分考验学生地心理素质,具有较好地区分度,体现了高考地选拔性,另外也给优秀学生提供了展示自身能力地平台,也引导我们数学教学工作需注重数学能力与创新意识地培养。
第20题总地来说需要考生熟练掌握思路几何中常见几何图形性质地代数表达并正确选择参数简化运算,对考生地运算和解题技巧要求较高。
2017年高考天津文科数学试题及答案(word解析版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2017年天津，文1，5分】设集合{}1,2,6A =，{}2,4B =，{}1,2,3,4C =，则()A B C =（ ）（A ）{}2 （B ）{}1,2,4 （C ）{}1,2,3,4 （D ）{}1,2,3,4,6 【答案】B【解析】{}1,2,4,6A B =，(){1,2,4,6}{1,2,3,4}{1,2,4}A B C ==，故选B ． （2）【2017年天津，文2，5分】设x R ∈，则“20x -≥”是“11x -≤”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】20x -≥解得：2x ≤；11x -≤解得：02x ≤≤，2x ≤⇐02x ≤≤，故选B ．（3）【2017年天津，文3，5分】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）（A ）45 （B ）35 （C ）25 （D ）15【答案】C【解析】“从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔”基本事件总个数：25C ，而事件“取出的2支彩笔中含有红色彩笔”包含基本事件个数：14C ；42105P ==，故选C ．（4）【2017年天津，文4，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入的N 的值为19，则输出的N 的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】C【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下：首先初始化数值为19N =，第一次循环：118N N =-=，不满足3N ≤；第二次循环：63NN ==，不满足3N ≤；第三次循环：23NN ==，满足3N ≤；此时跳出循环体，输出3N =，故选C ．（5）【2017年天津，文5，5分】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ） （A ）221412x y -= （B ）221124x y -= （C ）2213x y -= （D ）2213y x -=【答案】D【解析】因为OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点）所以2OF =，60AOF ∠=︒，所以直线OA 方程为3y x =，所以渐近线方程by x a=±其中一条为3y x =，所以，23c ba=⎧⎪⎨=⎪⎩，解之得：1,3,2a b c ===，故选D ． （6）【2017年天津，文6，5分】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21(log )5a f =-，2(log 4.1)b f =，0.8(2)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ）（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b << 【答案】C【解析】因为()f x 在R 上是奇函数，所以有()()f x f x -=-，即21(log )5a f =-2(log 5)f =；又因为()f x 在R 上是增函数，且0.8122222log 4log 4.1log 5<=<<，所以c b a <<，故选C ．（7）【2017年天津，文7，5分】设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><，若511()2,()088f f ππ==，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）（A ）2,312πωϕ== （B ）211,312πωϕ==- （C ）111,324πωϕ==- （D ）17,324πωϕ==【答案】A【解析】函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，511()2,()088f f ππ==，振幅为2，所以如图所示：若函数图象如图表1所示，3115488T ππ=-，解得T π=，不满足最小正周期大于2π，所以函数图象如图表2所示，115488T ππ=-，解得3T π=，23ω=，又因为5()28f π=，所以25382ππϕ⨯+=，所以12πϕ=，故选A ．（8）【2017年天津，文8，5分】已知函数2,1()2,1x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，设a R ∈，若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）（A ）[2,2]- （B ）[23,2]- （C ）[2,23]- （D ）[23,23]- 【答案】A【解析】函数()f x 的图象如下图（左），若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，则不妨设()2x g x a =+，“()2xf x a ≥+在R 上恒成立”表示()y f x =图 象与()yg x =图象应如下图（右）所示找到两个临界位置: ①()f x 与()g x 相切时，1x >，221'()12f x x =-=，解得02x =，03y =，代入(2)3g =，解得232a +=，2,4a a ==-（舍）；②()g x 过点(0,2)，代入(0)2g =，2a =，解得2,2a a =-=（舍），故a 的取值范围在2-与2之间，故选A ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2017年天津，文9，5分】已知a R ∈，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 ．【答案】2-【解析】解法一：i (i)(2i)21(2)i2i (2i)(2i)5a a a a -----+==++-为实数，所以20a +=，2a =-． 解法二：i2ia -+为实数⇔i a -与2i +成比例，比例为1-，所以2a =-．（10）【2017年天津，文10，5分】已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 ．【答案】1【解析】函数()f x 的导函数1'()f x a x=-，所以(1),'(1)1f a f a ==-，切点(1,)a ，斜率为1a -，所以代入切线点斜式：(1)(1)y a a x -=--，l 在y 轴上的截距为：0,1x y ==，所以答案为1．（11）【2017年天津，文11，5分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．【答案】92π 【解析】球的表面积公式2618S a ==，所以棱长3a =，计算得：233R a ==，32R =，34932V R ππ==． （12）【2017年天津，文12】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ，若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 ．【答案】22(1)(3)1x y ++-=【解析】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，准线为:1l x =-，所以可设(1,)C b -，OA b =，120FAC ∠=︒，所以60AFH ∠=︒，在直角三角形OAF 中，1OF =，所以3OA =，所以圆的圆心(1,3)-， 半径等于1，所以圆22:(1)(3)1C x y ++-=．（13）【2017年天津，文13，5分】若,a b R ∈，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 ．【答案】4【解析】4422414144a b a b abab ab ab+++≥≥=（0ab >），当且仅当“444a b =”、“2241a b =”同时成立时，等号成立，解之得：13442,2a b --==．（14）【2017年天津，文14，5分】在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =，若2BD DC =，AE AC AB λ=- ()R λ∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ． 【答案】311【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+，则122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）【2017年天津，文15，13分】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin 4sin a A B =，2225()ac a b c =--．（1）求cos A 的值；（2）求sin(2)B A -的值．解：（1）sin 4sin a A b B =可化为224a b =，解得：2a b =，余弦定理：222cos 2b c a A bc +-=25bc=5=-． （2）根据5cos A =-，解得25sin A =，所以5sin B =，25cos B =，4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos22cos 15B B =-=，sin(2)B A -45325sin 2cos cos2sin ()55B A B A =-=⨯--⨯10525--==． （16）【2017年天津，文16，13分】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告，已知连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万） 甲 70 5 60 乙 60 5 25分钟， 且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用,x y 表示每周计划播出的甲、乙两套电视 剧的次数．（1）用,x y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：（1）分别用,x y 表示每周计划播出的甲、乙两套电视剧的次数766062,x y x y x y x y N+≤⎧⎪+≥⎪⎨≤⎪⎪∈⎩．（2）设总收视人次为z 万，则目标函数为6025z x y =+．考虑6025z x y =+，将它变形为12525z y x =-+，这是斜率为125-，随z 变化的一族平行直线．25z为直线在y 轴上的截距， 当25z 取得最大值时，z 的值最大．又因为,x y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线6025z x y =+经 过可行域上的点M 时，截距25z最大，即z 最大．解方程组766020x y x y +=⎧⎨-=⎩，得点M 的坐标为()6,3．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．（17）【2017年天津，文17，13分】如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =． （1）求异面直线AP 与BC 所成的角的余弦值； （2）求证：PD ⊥平面PBC ；（3）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值． 解：（1）因为AD ∥BC ，所以PAD ∠等于异面直线AP 与BC 所成的角，AD ⊥平面PDC ，所以90PDA ∠=︒，5PA =，5cos 5AD PAD AP ∠==． （2）因为AD ⊥平面PDC ，所以AD PD ⊥，又因为AD ∥BC ，所以PD BC ⊥，PD PB ⊥，且PB BC B =，所以PD ⊥平面PBC ．（3）取BC 上三分点，3BE BC =，//BE AD ，1AD BE ==，PD ⊥平面PBC ，所以DEP ∠等于直线AB 与平面PBC 所成角90DPE ∠=︒，25AB =，25DE =，4PE =，25sin 525PD DEP DE ∠===．（18）【2017年天津，文18，13分】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为n S *()n N ∈，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}2n n a b 的前n 项和*()n ∈N ．解：（1）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，所以1(1)n a a n d =+-，1112n n n b b q q --==，22212q q +=，解之得：2,3q q ==-（舍），118311(5)1116a da d =-+⎧⎨+=⨯⎩，解之得：11,3a d ==所以31n a n =-，2n n b =．（2）2(62)2n n n a b n =-⨯，不妨设数列{}2n n a b 的前n 项和为n T ，2142632212n n n n n T a b a b a b a b a b --=+++++，123142102162(68)2(62)2n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯① 2n T =231142102(614)2(68)2(62)2n n n n n n -+⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯ ②①-②得：123142626262(62)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯，整理得：216(34)2n n T n +=+-⨯．（19）【2017年天津，文19，14分】设,a b R ∈，1a ≤，已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()x g x e f x =．（1）求()f x 的单调区间；（2）已知函数()y g x =和函数x y e =的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切线．（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）若关于x 的不等式()x g x e ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围．解：（1）32'()()'6()'3(4)'f x x x a a x =---，2'()3123(4)f x x x a a =---，2'()3123(4)3()(4)f x x x a a x a x a =---=-+-，因为1a ≤，所以4a a <-，ABCDP E所以，()f x 的单调增区间(,),(4,)a a -∞-+∞，()f x 的单调减区间[,4]a a -．（2）（i ）()()x g x e f x =与x y e =在公共点00(,)x y 处有相同的切线，首先，00()x g x e =；其次，00'()x g x e =，0()1f x =，00()'()1f x f x +=，所以0'()0f x =．（ii ）()x g x e ≤等价于()1f x ≤，0'()0f x =，0()1f x =，所以0x a =极大值点，若关于x 的不等式()x g x e ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，等价于()1f x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，等价于max ()1f x ≤，00[1,1]x x x ∈-+，当0x a =，()f x 在[1,]a a -递增，在[,1]a a +递减，()f a 为最大值， ()1f a =，32261a a b -++≤，32261b a a ≤-+，令32()261h x x x =-+，2'()6126(2)h x x x x x =-=-，()h x 在[1,0]-递增，在[0,1]递减，所以7()1h x -≤≤，71b -≤≤．（20）【2017年天津，文20，14分】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为(,0)F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA ∆的面积为22b．（1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段PQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为，四边形PQNM 的面积为3c ； （i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程．解：（1）12AEF S AF OE ∆=⨯⨯21()22b a c c =+⨯=，因为222b a c =-，所以c a c =-，故2a c =，12c e a ==．（2）（i ）45EFO ∠=︒，设1EQ EA λλ=+(01)λ<<，所以(1)FQ FE FA λλ=-+，2FE c =，3FA c =，因为32c FQ =，两边平方，解之得：910λ=，32λ=（舍）代入(1)FQ FE FA λλ=-+，得69(,)510c c FQ =，直线FP 的斜率等于34y x =（ii ）直线FP 的方程：30()4y x c -=-；为求点P 的坐标，联立方程解方程组：2224333412y x c x y c=-⎧⎨+=⎩，解之得：13,7c x c x ==-（舍），所以3(,)2c P c ，因为69(,)510c c FQ =，所以9(,)510c cQ ， 即PQ c =，而PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，所以直线PM 与直线QN 垂直于PF ，由（i ）直线FP 的斜率等于34，可得335154428c c PM PF ==⨯=，33394428c cQN FQ =⨯=⨯=， MNPQ FPM FQN S S S ∆∆=- 1()2PM PF QN QF =⨯⨯-⨯232c =，所以2332c c =，解之得2c =，所以4,23a b ==，所以2211612x y +=．。
2017年高考天津文科数学试题与答案(word解析版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2017年天津，文1，5分】设集合{}1,2,6A =，{}2,4B =，{}1,2,3,4C =，则()A B C =（ ）（A ）{}2 （B ）{}1,2,4 （C ）{}1,2,3,4 （D ）{}1,2,3,4,6 【答案】B【解析】{}1,2,4,6A B =，(){1,2,4,6}{1,2,3,4}{1,2,4}A B C ==，故选B ． （2）【2017年天津，文2，5分】设x R ∈，则“20x -≥”是“11x -≤”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】20x -≥解得：2x ≤；11x -≤解得：02x ≤≤，2x ≤⇐02x ≤≤，故选B ．（3）【2017年天津，文3，5分】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）（A ）45 （B ）35 （C ）25 （D ）15【答案】C【解析】“从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔”基本事件总个数：25C ，而事件“取出的2支彩笔中含有红色彩笔”包含基本事件个数：14C ；42105P ==，故选C ．（4）【2017年天津，文4，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入的N 的值为19，则输出的N 的值为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】C【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下：首先初始化数值为19N =，第一次循环：118N N =-=，不满足3N ≤；第二次循环：63NN ==，不满足3N ≤；第三次循环：23NN ==，满足3N ≤；此时跳出循环体，输出3N =，故选C ．（5）【2017年天津，文5，5分】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ）（A ）221412x y -= （B ）221124x y -= （C ）2213x y -= （D ）2213y x -=【答案】D【解析】因为OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点）所以2OF =，60AOF ∠=︒，所以直线OA 方程为3y x =，所以渐近线方程by x a=±其中一条为3y x =，所以，23c ba=⎧⎪⎨=⎪⎩，解之得：1,3,2a b c ===，故选D ． （6）【2017年天津，文6，5分】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21(log )5a f =-，2(log 4.1)b f =，0.8(2)c f =， 则,,a b c 的大小关系为（ ） （A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b <<【答案】C【解析】因为()f x 在R 上是奇函数，所以有()()f x f x -=-，即21(log )5a f =-2(log 5)f =；又因为()f x 在R 上是增函数，且0.8122222log 4log 4.1log 5<=<<，所以c b a <<，故选C ．（7）【2017年天津，文7，5分】设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><，若511()2,()088f f ππ==，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）（A ）2,312πωϕ== （B ）211,312πωϕ==- （C ）111,324πωϕ==- （D ）17,324πωϕ==【答案】A【解析】函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，511()2,()088f f ππ==，振幅为2，所以如图所示： 若函数图象如图表1所示，3115488T ππ=-，解得T π=，不满足最小正周期大于2π，所以函数图象如图表2所示，115488T ππ=-，解得3T π=，23ω=，又因为5()28f π=，所以25382ππϕ⨯+=，所以12πϕ=，故选A ．（8）【2017年天津，文8，5分】已知函数2,1()2,1x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，设a R ∈，若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）（A ）[2,2]- （B ）[23,2]- （C ）[2,23]- （D ）[23,23]- 【答案】A【解析】函数()f x 的图象如下图（左），若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成 立，则不妨设()2x g x a =+，“()2xf x a ≥+在R 上恒成立”表示()y f x =图 象与()yg x =图象应如下图（右）所示找到两个临界位置: ①()f x 与()g x 相切时，1x >，221'()12f x x =-=，解得02x =，03y =，代入(2)3g =，解得 232a +=，2,4a a ==-（舍）；②()g x 过点(0,2)，代入(0)2g =，2a =，解得2,2a a =-=（舍），故a的取值范围在2-与2之间，故选A ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2017年天津，文9，5分】已知a R ∈，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 ． 【答案】2-【解析】解法一：i (i)(2i)21(2)i2i (2i)(2i)5a a a a -----+==++-为实数，所以20a +=，2a =-． 解法二：i2ia -+为实数⇔i a -与2i +成比例，比例为1-，所以2a =-．（10）【2017年天津，文10，5分】已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 ．【答案】1【解析】函数()f x 的导函数1'()f x a x=-，所以(1),'(1)1f a f a ==-，切点(1,)a ，斜率为1a -，所以代入切线点斜式：(1)(1)y a a x -=--，l 在y 轴上的截距为：0,1x y ==，所以答案为1．（11）【2017年天津，文11，5分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ． 【答案】92π【解析】球的表面积公式2618S a ==，所以棱长3a =，计算得：233R a ==，32R =，34932V R ππ==．（12）【2017年天津，文12】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ，若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 ． 【答案】22(1)(3)1x y ++-=【解析】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，准线为:1l x =-，所以可设(1,)C b -，OA b =，120FAC ∠=︒，所以60AFH ∠=︒，在直角三角形OAF 中，1OF =，所以3OA =，所以圆的圆心(1,3)-，半径等于1，所以圆22:(1)(3)1C x y ++-=．（13）【2017年天津，文13，5分】若,a b R ∈，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 ．【答案】4【解析】4422414144a b a b abab ab ab+++≥≥=（0ab >），当且仅当“444a b =”、“2241a b =”同时成立时，等号成立，解之得：13442,2a b --==．（14）【2017年天津，文14，5分】在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =，若2BD DC =，AE AC AB λ=-()R λ∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ．【答案】311【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+，则122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）【2017年天津，文15，13分】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin 4sin a A B =，2225()ac a b c =--．（1）求cos A 的值； （2）求sin(2)B A -的值．解：（1）sin 4sin a A b B =可化为224a b =，解得：2a b =，余弦定理：222cos 2b c a A bc +-=25ac bc -=55=-． （2）根据5cos 5A =-，解得25sin 5A =，所以5sin 5B =，25cos 5B =，4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos22cos 15B B =-=，sin(2)B A -45325sin 2cos cos2sin ()5555B A B A =-=⨯--⨯10525255--==． （16）【2017年天津，文16，13分】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告，已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万）甲 70 5 60 乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟， 且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用,x y 表示每周计划播出的甲、乙两套电视 剧的次数．（1）用,x y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解：（1）分别用,x y 表示每周计划播出的甲、乙两套电视剧的次数766062,x y x y x y x y N+≤⎧⎪+≥⎪⎨≤⎪⎪∈⎩．（2）设总收视人次为z 万，则目标函数为6025z x y =+．考虑6025z x y =+，将它变形为12525z y x =-+，这是斜率为125-，随z 变化的一族平行直线．25z为直线在y 轴上的截距，当25z取得最大值时，z 的值最大．又因为,x y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线6025z x y =+经过可行域上的点M 时，截距25z最大，即z 最大．解方程组766020x y x y +=⎧⎨-=⎩，得点M 的坐标为()6,3．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．（17）【2017年天津，文17，13分】如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =．（1）求异面直线AP 与BC 所成的角的余弦值； （2）求证：PD ⊥平面PBC ；（3）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．解：（1）因为AD ∥BC ，所以PAD ∠等于异面直线AP 与BC 所成的角，AD ⊥平面PDC ，所以90PDA ∠=︒，PAcos AD PAD AP ∠==． （2）因为AD ⊥平面PDC ，所以AD PD ⊥，又因为AD ∥BC ，所以PD BC ⊥，PD PB ⊥，且PBBC B =，所以PD ⊥平面PBC ．（3）取BC 上三分点，3BE BC =，//BE AD ，1AD BE ==，PD ⊥平面PBC ，所以DEP ∠等于直线AB 与平面PBC 所成角90DPE ∠=︒，AB =DE =4PE =，sin PD DEP DE ∠==． （18）【2017年天津，文18，13分】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为n S *()n N ∈，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}2n n a b 的前n 项和*()n ∈N ．解：（1）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，所以1(1)n a a n d =+-，1112n n n b b q q --==，22212q q +=，解之得：2,3q q ==-（舍），118311(5)1116a da d =-+⎧⎨+=⨯⎩，解之得：11,3a d ==所以31n a n =-，2n n b =．（2）2(62)2n n n a b n =-⨯，不妨设数列{}2n n a b 的前n 项和为n T ，2142632212n n n n n T a b a b a b a b a b --=+++++，123142102162(68)2(62)2n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯①2n T =231142102(614)2(68)2(62)2n n n n n n -+⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯ ②①-②得：123142626262(62)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯，整理得：216(34)2n n T n +=+-⨯．（19）【2017年天津，文19，14分】设,a b R ∈，1a ≤，已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()x g x e f x =．（1）求()f x 的单调区间；（2）已知函数()y g x =和函数xy e =的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切线．（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）若关于x 的不等式()xg x e ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围．解：（1）32'()()'6()'3(4)'f x x x a a x =---，2'()3123(4)f x x x a a =---，2'()3123(4)3()(4)f x x x a a x a x a =---=-+-，因为1a ≤，所以4a a <-，所以，()f x 的单调增区间(,),(4,)a a -∞-+∞，()f x 的单调减区间[,4]a a -．（2）（i ）()()x g x e f x =与xy e =在公共点00(,)x y 处有相同的切线，首先，00()x g x e =；其次，00'()x g x e =，0()1f x =，00()'()1f x f x +=，所以0'()0f x =．（ii ）()xg x e ≤等价于()1f x ≤，0'()0f x =，0()1f x =，所以0x a =极大值点，若关于x 的不等式()x g x e ≤ 在区间00[1,1]x x -+上恒成立，等价于()1f x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，等价于max ()1f x ≤，00[1,1]x x x ∈-+，当0x a =，()f x 在[1,]a a -递增，在[,1]a a +递减，()f a 为最大值， ()1f a =，32261a a b -++≤，32261b a a ≤-+，令32()261h x x x =-+，ABCDPE2'()6126(2)h x x x x x =-=-，()h x 在[1,0]-递增，在[0,1]递减，所以7()1h x -≤≤，71b -≤≤．（20）【2017年天津，文20，14分】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为(,0)F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA ∆的面积为22b．（1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段PQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为，四边形PQNM 的面积为3c ； （i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程．解：（1）12AEFS AF OE ∆=⨯⨯21()22b a c c =+⨯=，因为222b a c =-，所以c a c =-，故2a c =，12c e a ==．（2）（i ）45EFO ∠=︒，设1EQ EA λλ=+(01)λ<<，所以(1)FQ FE FA λλ=-+，2FE c =，3FA c =，因为32c FQ =，两边平方，解之得：910λ=，32λ=（舍） 代入(1)FQ FE FA λλ=-+，得69(,)510c c FQ =，直线FP 的斜率等于34y x =（ii ）直线FP 的方程：30()4y x c -=-；为求点P 的坐标，联立方程解方程组：2224333412y x c x y c=-⎧⎨+=⎩，解之得：13,7c x c x ==-（舍），所以3(,)2c P c ，因为69(,)510c cFQ =，所以9(,)510c cQ ， 即PQ c =，而PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，所以直线PM 与直线QN 垂直于PF ，由（i ）直线FP 的斜率等于34，可得335154428c c PM PF ==⨯=，33394428c c QN FQ =⨯=⨯=， MNPQ FPM FQN S S S ∆∆=- 1()2PM PF QN QF =⨯⨯-⨯232c =，所以2332c c =，解之得2c =，所以4,23a b ==，所以2211612x y+=．。
【天津市南开区】2017届高三上学期期末(文科)数学试卷
（Ⅰ）当 a 1 时，求 f x 的单调区间； （Ⅱ）当函数 f x 在 1, 2 上是减函数，求实数 a 的取值范围；
2 （Ⅲ）令 g x f x x ，是否存在实数 a ，当 x 0, e （ e 是自然对数的底数时，函数 g x 的最小值
7．如图，正方形 ABCD 中， M 是 BC 的中点，若 AC AM BD ，则 （
-1-/4
A．
4 3
B．
5 3
C．
15 8
D．2
2 x 2, x 0,1 8．已知函数 f x 的定义域为 R ，且 f x ， f x 1 f x 1 ，则方程 2 2 x , x 1, 0
U
S
T 等于（
）
D． 2, 4, 6
1 i3 （ i 是虚数单位）的虚部是（ 1 i B．1
3．如果命题“ ￢ p q ”为假命题，则（ A． p 、 q 均为真命题 C． p 、 q 至少有一个为真命题
4．在等差数列 an 中，若前 10 项的和 S10 60 ，且 a7 7 ，则 a4 （ A．4 B． 4 C．5
5．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
A． πcm3
6 5
B． 3πcm3
C． πcm3
2 3
D． πcm3
7 3
6．从抛物线 y 2 4 x 上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M ，且 PM 5 ，设抛物线的焦点为 F ，则
△MPF 的面积为（
2017届天津市十二区县重点学校高三毕业班联考(二)文科数学试题及答案
天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数 学（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！第I 卷（选择题，共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=. 其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高.一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一 个是正确的）1．i 是虚数单位，复数=++-ii 4321（ ）A. i 5251+ B. i 5251+- C. i 21-D. i 21--2．设变量y x ,满足约束条件30301x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则目标函数3z x y =+的最小值是( )A.3B.4C.5D.63．已知命题0:>∀x p ，总有1ln )1(>+x x ，则p ⌝为（ ） A.0000,(1)ln 1x x x ∃≤+≤使得 B.0000,(1)ln 1x x x ∃>+≤使得C.0000,(1)ln 1x x x ∃>+≤总有D.0000,(1)ln 1x x x ∃≤+≤总有4．已知31)43(=a ，31log 43=b ，43log 3=c ，则（ ） A.a b c >> B.a c b >> C.b a c >> D.c a b >>5．将sin(2)4y x π=-的图像上所有点向左平移4π后得到)(x f y =的图像，则)(x f y =在[-2π，0]上的最小值为（ ）A. 1-B. 22- C.0D. 23-6. 已知抛物线x y 42=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线交于点M （M 异于原点），且点M 到抛物线焦点的距离等于3，则双曲线的离心率是（ ） A ．25B ．26 C ．2D.37．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且在区间[)+∞,0上单调递增，若ba ,均为不等于1的正实数，则ba >是0)(log )2log 1(21>+b f f a 成立的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AD AB ⊥，2==AD AB ，1CD =，P 为线段BC 上一个动点，设BC BP λ=，则当PD PA ⋅取得最小值时λ的值是（ ）A. 21 B.54 C. 0D.1第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.9. 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥∈=15xN x S ，{}6,4,2=T ，则集合T S 中元素个数为________.10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．11. 执行如图所示的程序框图,则输出的S 的值是________. 12. 已知ba ,均为正实数，圆)1(2222=-+-+b a ax y x 与圆012222=-+-+b a y y x 外切，则ab 的最小值为________.13. 如图AB 是圆O 的直径，过B 作圆O 的切线交弦AD 的延长线于点P ，M 为AD 上一点，且6==PMPB ，4=PD ，连接BM 并延长交圆O 于点C ，连接OC 交AD 于点N ，则CN =________.11题图10题图13题图正视图俯视图侧视图14. 已知函数⎩⎨⎧>≤-+=)0(,ln )0(,513)(x x x x x f ，若函数2)(+-=kx x f y 恰有3个零点，则实数k 的取值范围为________.三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）某市为缓解交通压力，计划在某路段实施“交通限行”，为了解公众对该路段“交通限行”的态度，某机构从经过该路段的人员中随机抽查了40人进行调查，将调查情况进行整理，制成下表：年龄（岁）[)30,15[)45,30[)60,45[)75,60人数 1213 87 赞成人数5 7x3（Ⅰ）如果经过该路段人员对“交通限行”的赞成率为45.0，则x 的值为；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若从年龄在[)60,45，[)75,60两组赞成“交通限行”的人中再随机选取2人进行进一步的采访，记选中的2人至少有1人来自[)75,60年龄段为事件M ，求事件M 的概率.16．（本小题满分13分） 在ABC∆中，内角C B A ,,所对边分别为cb a ,,,已知B cC a sin 2sin =,2b =,41cos -=A .（Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）求cos(2)3A π-.17.(本小题满分13分）如图四边形PDCE 是正方形，四边形ABCD为直角梯形，DCAB //，090=∠ADC ，且平面PDCE ^平面ABCD .（Ⅰ）若M 为PA 中点，求证：AC ∥平面MDE ；（Ⅱ）求证：直线⊥PC 平面ADE ；（Ⅲ）若正方形PDCE 边长为a 2，a AD AB ==，求直线BE 与平面PDCE 所成角的余弦.ABCDMPE18.（本小题满分13分）己知数列{}n a 前n 项的和为n S ，且满足n S 2(2)n n a -=-()n N *∈. （Ⅰ）证明数列}{1n a -为等比数列.（Ⅱ）若n n b a =⋅2log (1)n a - ,求数列{}n b 的前n 项和n T .19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为，其左顶点到上顶点的距离为3.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线l 是过椭圆右焦点F 且斜率为k 的直线，已知直线l 交椭圆于,M N 两点，若椭圆上存在一点P ,满足OM ON OP λ+=,求当2OP k =时,k 的值.20．（本小题满分14分）已知函数R x a ax x x f ∈>-=),0(23)(23（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间和极值； （Ⅱ）已知)('x f 是)(x f 的导函数，若[]1,0,21∈∃x x ，使得a x x f x f 23)(')(221-+≤，求实数a 的取值范围.天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数学试卷（文科） 评分标准二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．2； 10．320； 11．217 ； 12．21 ； 13．25；14．{}e k k k =≤<-或03|三、解答题：本大题共6小题，共80分．15. 某市为缓解交通压力，计划在某路段实施“交通限行”，为了解公众对该路段“交通限行”的态度，某机构从经过该路段的人员随机抽查了40人进行调查，将调查情况进行整理，制成下表：年龄（岁）[)30,15[)45,30[)60,45[)75,60频数 1213 87 赞成人数5 7x3（Ⅰ）如果经过该路段人员对“交通限行”的赞成率为45.0，则x 的值为；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若从年龄在[)60,45，[)75,60两组赞成“交通限行”的人中再随机选取2人进行进一步的采访，记选中的2人至少有1人来自[)75,60年龄段为事件M，求事件M的概率.解答：（1）经过该路段人员中赞成的人数为3+x+75+----------------2分-----------------3分解得3=x-----------------4分（2）设年龄在[]60,45的3位被调查者为C,,年龄在A,B[65,75]的3位被调查cb,，a,---------------5分则从6位调查者中抽出2人包括：)aBAa(Cb,a，aca(),((,),),,,(,),c，),(),Acc,,(CBABA共15个基,(),CB,(C(),C(),,,(),),(),,AbbB(Cbb，),(),本事件，且每个基本事件等可能。
天津市南开区2017届高三下学期毕业班联考数学(文)试题Word版含答案
天津市南开区2017届高三下学期毕业班联考数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！第I 卷（选择题，共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上.一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分）1. 已知复数z 满足11z i=+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．12i - B ．12i + C ．1i - D ． 1i +2. 已知直线l ：y kx b =+，曲线C ：22(1)1x y +-=，则“1b =”是“直线l 与曲线C 有公共点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3. 若ππ23sinlog ,3log ,552.0===c b a ，则（ ） A ．b c a >> B.b a c >> C.a b c >> D ．c a b >>4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为8，则判断条件是（ ）A ．2k <B ．4<kC ．3<kD ．3≤k 5. 点P 为ABC ∆边AB 上任一点，则使ABC PBC S S ∆∆≤31的概率是（ ） A.31 B.32 C.95D.946. 函数()sin(2)3f x x π=+的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位后关于原点对称，则ϕ的最小值为（ ）A ．56π B ．3π C ．4π D ．6π7. 已知12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于,A B 两点,若22::4:3:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为（ ）A ． B ．C ．2 D8. 在平行四边形ABCD 中，2=AB ，1=BC ，0120=∠ABC ，平面ABCD 内有一点P ，满足5=AP ，若),(R AD AB AP ∈+=μλμλ，则μλ+2的最大值为（ ）A ．35 BC ．453D ．615二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.9. 某学校小学部有270人，初中部有360人，高中部有300人，为了调查学生身体发育状况的某项指标，若从初中部抽取了12人，则从该校应一共抽取 人进行该项调查.10. 甲几何体（上）与乙几何体（下）的组合体的三视图如下图所示，甲、乙几何体的体积分别为1V 、2V ，则12:V V 等于 .11.ABC ∆是o 的内接三角形，PA 是o 的切线，PB 交AC 于点E ，交o 于点D .若PA PE =，060ABC ∠=，1PD =，9PB =，则EC = .12. 函数212log (43)y x x =-+-的单调增区间为 .13.已知数列{}n a ，11a =,23a =,21n n n a a a ++=-,则2016a = .14. 若函数22()26f x x a x a =++-的图像与x 轴有三个不同的交点，函数()()g x f x b =-有4个零点，则实数b 的取值范围是 ．三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分13分）已知函数)sin 3(cos cos )(x x x x f +=. （Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若1)(=C f 且4,7=+=b a c ，求ABC S ∆.第10题16.（本小题满分13分）某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A 、B 若干件，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过并且B 最大，最大收益是多少?17.（本小题满分13的正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，其中//AB CD ，AB BC ⊥，112CD BC AB ===，AE DF O = ,M 为EC 的中点.（Ⅰ）证明： //OM 平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角D AB E --的正切值；（Ⅲ）求BF 与平面ADEF 所成角的余弦值.18.（本小题满分13分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>.（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）设椭圆E 的焦距为，直线l 与椭圆E 交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥，求证：直线l 恒与圆2234x y +=相切.19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()22log 22nn na n n nb n n a ⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，n T 为{}n b 的前n 项和，求2n T .20.（本小题满分14分）已知函数x ax x f ln 1)(--=.（R a ∈） （Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性； （Ⅱ）若函数)(x f 在x=2处的切线斜率为12，不等式2)(-≥bx x f 对任意),0(+∞∈x 恒成立，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）证明对于任意n ∈N ，n≥2有：222222222ln 2ln3ln 4ln 212342(1)n n n n n --++++<+ .天津市南开区2017届高三下学期毕业班联考数学（文）试题评分标准9．31； 10．1:3； 11．4； 12．()2,3； 13． 2-； 14． ()6,0- 三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15. 解：（Ⅰ）2()cos (cos )cos cos f x x x x x x x ==……………….1分1cos 2222x x +=+ …………….3分 1sin(2)26x π=++ ……………….5分 当sin(2)16x π+=-时，()f x 取最小值为21-. ……………….6分（Ⅱ）1)62sin(21)(=++=πC C f ，∴ 1sin(2)62C π+= ………………. 7分()0,C π∈ ， 132,666C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭………………. .8分 ,3C π∴=………………. 9分又2222cos c a b ab C =+-， ………………. 10分2()37a b ab +-= ………………. 11分∴3=ab ………………. 12分 ∴433sin 21==∆C ab S ABC . …………….13分16．解：设搭载A 产品x 件，B 产品y 件，则预计收益z=1000x+1200y ……….2分则有2 1.5151.512200,0x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ …………….6分……….9分上述不等式组表示的平面区域如图，阴影部分（含边界）即为可行域． 作直线l ：1000x+1200y=0，即直线x+1.2y=0．把直线l 向右上方平移 到l 1的位置，直线l 1经过可行域上的点B ，此时z=1000x+1200y取得最大值． ……….10分由解得点M 的坐标为（3，6）． ……….11分∴当x=3，y=6时，z max =3×1000+6×1200=10200（百元）．……….12分答：所以搭载A 产品3件，B 产品6件，才能使总预计收益达到最大，最大预计收益为10200百元. ……….13分17 .解：（Ⅰ）,O M 分别为EA ，EC 的中点//OM AC ∴ ……………….2分 OM ⊄ 平面ABCD AC ⊂平面ABCD ………………….3分OM ∴||平面ABCD ………………….4分（Ⅱ）取AB 中点H ，连接,DH EHDA DB = ,DH AB ∴⊥ ………………………….5分又EA EB = EH AB ∴⊥ …………………………….6分 EHD ∴∠为二面角D AB E --的平面角 …………………………….7分H又1DH = tan EDEHD DH∴∠==…………………………….8分 （Ⅲ）∠=∠==t ,1R BCD BC DC 2=∴BD2,2==AB AD DA BD ⊥∴ …………………………….9分ABCD BD AD ABCD ADEF ABCD ADEF 平面,平面平面,平面平面⊂=⊥ ADEF BD 平面⊥∴ …………………………….10分 的余弦值即为所求BFD ∠∴ ……………………………11分在6,2,t ,中t ==∠=∠∆BF DF R BDF BDF R3662cos ===∠∴BF DF BFD …………………………….12分 36所成角的余弦值为与平面ADEF BF ∴ …………………………….13分 18 .解（1）依题意得：322=ba ，又222cb a +=， ………………….2分36==∴a c e …………………………….3分 （2）222，36==c a c1,322==∴b a ∴椭圆E 的方程为2213x y +=， …………………………….5分（Ⅰ）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+,联立方程得()()()22222136310,12130k x kmx m k m +++-=∆=+->，……….6分设()()1122,,,P x y Q x y ，由韦达定理，得()2121222316,1313m kmx x x x k k--+=⋅=++，….7分 所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ⋅=+⋅+=+++， ……………….9分结合韦达定理，得()2212122431013m k OP OQ x x y y k-+⋅=⋅+⋅==+ ，所以()22431m k =+，又原点O 到直线l的距离2d ==== ∴当直线l 的斜率存在时，l 恒与圆2234x y +=相切. …………………………….11分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，OPQ ∆是以PQ 为斜边的等腰直角三角形，,P Q 的坐标满足方程y x =，结合椭圆方程，得x =，从而原点O 到直线l的距离d =， ∴当直线l 的斜率不存在时，l 与圆2234x y +=相切. …………………………….12分 综上，直线l 恒与圆2234x y +=相切. …………………………….13分 19 . 解（1） 2n ≥,1122n n S a --=- ………………….2分 1122n n n n n a S S a a --=-=-12n n a a -= ………………….3分又1n = ,1122S a =- 12a = ………………….4分∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列2n n a ∴= ………………….5分（2）由（1）知()()2211log 222222n n n n nn n n n n n b b nn n n -⎧⎧⎪⎪++⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩为奇数为奇数为偶数为偶数……………….7分所以21232n n T b b b b =++++ =1111111213352121n n ⎛⎫-+-++- ⎪-+⎝⎭ 135212462222n n -⎡⎤+++++⎢⎥⎣⎦ ………………….9分 21n n =+135212462222n n -⎡⎤+++++⎢⎥⎣⎦设135212462222n nA -=++++ ， 则23572124622222n n A -+=++++ ， ………………….10分两式相减得3572121322221422222n n nA -+=++++- ， ………………….12分整理得211668992n n A -+=-⨯， ………………….13分 所以221166899221n n n n T n -+=-+⨯+． …………………14.分20．解：（1） 函数)(x f 的定义域为),0(+∞，xax x a x f 11)(-=-=' ………………1分 当0≤a 时，01<-ax ，从而0)(<'x f ，故函数)(x f 在),0(+∞上单调递减 …………2分 当0>a 时，若ax 10<<，则01<-ax ，从而0)(<'x f ， …………3分 若ax 1>，则01>-ax ，从而0)(>'x f ， …………4分 故函数)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在),1(+∞a上单调递增； …………5分（Ⅱ）求导数：1()f x a x'=-， ∴11(2)22f a '=-=，解得a=1． …………6分 所以2)(-≥bx x f ，即2ln 1-≥--bx x x ，由于0>x ，即xx x b ln 11-+≤. …………7分 令x x x x g ln 11)(-+=，则2222ln ln 11)(xx x x x x g -=---=' 当20e x <<时，0)(<'x g ；当2e x >时，0)(>'x g∴)(x g 在),0(2e 上单调递减，在),(2+∞e 上单调递增； …………9分故22min 11)()(ee g x g -==，所以实数b 的取值范围为]11,(2e --∞ …………10分 （3）证明：由当1a = ，1x > 时，11()10x f x x x-'=-=> ，()f x 为增函数， (1)0f = ()1ln 0f x x x ∴=--> 即ln 1x x <- …………11分 ∴当2n ≥时，221lnn n ＜﹣， …………12分2222ln 111111(1)1n n n n n n n n -∴<<-=-+++ …………13分 22222222ln 2ln 3ln 4ln 111111(1)(1)(1)23423341n n n n ++++<-++-+++-++211211212(1)n n n n n --=--+=++ ∴222222222ln 2ln 3ln 4ln 212342(1)n n n n n --++++<+ （*2n N n ∈≥， ）． …………14分。
2017年高考天津文科数学试题及答案(word解析版)
2017年一般高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． （1）【2017年天津，文1，5分】设集合{}1,2,6A =，{}2,4B =，{}1,2,3,4C =，那么()A B C =（ ）（A ）{}2 （B ）{}1,2,4 （C ）{}1,2,3,4 （D ）{}1,2,3,4,6 【答案】B【解析】{}1,2,4,6A B =，(){1,2,4,6}{1,2,3,4}{1,2,4}A B C ==，应选B ． （2）【2017年天津，文2，5分】设x R ∈，那么“20x -≥”是“11x -≤”的（ ）（A ）充分没必要要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也没必要要条件 【答案】B【解析】20x -≥解得：2x ≤；11x -≤解得：02x ≤≤，2x ≤⇐02x ≤≤，应选B ．（3）【2017年天津，文3，5分】有5支彩笔（除颜色外无不同），颜色别离为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，那么掏出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）（A ）45 （B ）35 （C ）25 （D ）15【答案】C【解析】“从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔”大体事件总个数：25C ，而事件“掏出的2支彩笔中含有红色彩笔”包括大体事件个数：14C ；42105P ==，应选C ．（4）【2017年天津，文4，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，假设输入的N 的值为19，那么输出的N 的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】C【解析】阅读流程图可得，程序执行进程如下：第一初始化数值为19N =，第一次循环：118N N =-=，不知足3N ≤；第二次循环：63NN ==，不知足3N ≤；第三次循环：23NN ==，知足3N ≤；现在跳出循环体，输出3N =，应选C ．（5）【2017年天津，文5，5分】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左核心为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点），那么双曲线的方程为（ ）（A ）221412x y -= （B ）221124x y -= （C ）2213x y -= （D ）2213y x -=【答案】D【解析】因为OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点）因此2OF =，60AOF ∠=︒，因此直线OA 方程为3y x =，因此渐近线方程by x a=±其中一条为3y x =，因此，23c ba=⎧⎪⎨=⎪⎩，解之得：1,3,2a b c ===，应选D ． （6）【2017年天津，文6，5分】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，假设21(log )5a f =-，2(log 4.1)b f =，0.8(2)c f =， 则,,a b c 的大小关系为（ ）（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b << 【答案】C【解析】因为()f x 在R 上是奇函数，因此有()()f x f x -=-，即21(log )5a f =-2(log 5)f =；又因为()f x 在R 上是增函数，且0.8122222log 4log 4.1log 5<=<<，因此c b a <<，应选C ．（7）【2017年天津，文7，5分】设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><，假设511()2,()088f f ππ==，且()f x 的最小正周期大于2π，那么（ ）（A ）2,312πωϕ== （B ）211,312πωϕ==- （C ）111,324πωϕ==- （D ）17,324πωϕ==【答案】A【解析】函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，511()2,()088f f ππ==，振幅为2，因此如下图：假设函数图象如图表1所示，3115488T ππ=-，解得T π=，不知足最小正周期大于2π，因此函数图象如图表2所示，115488T ππ=-，解得3T π=，23ω=，又因为5()28f π=，因此25382ππϕ⨯+=，因此12πϕ=，应选A ．（8）【2017年天津，文8，5分】已知函数2,1()2,1x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，设a R ∈，假设关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，那么a 的取值范围是（ ）（A ）[2,2]- （B ）[23,2]- （C ）[2,23]- （D ）[23,23]- 【答案】A【解析】函数()f x 的图象如以下图（左），假设关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，那么不妨设()2x g x a =+，“()2xf x a ≥+在R 上恒成立”表示()y f x =图象与()y g x =图象应如以下图（右）所示找到两个临界位置: ①()f x 与()g x 相切时，1x >，221'()12f x x =-=，解得02x =，03y =，代入(2)3g =，解得232a +=，2,4a a ==-（舍）；②()g x 过点(0,2)，代入(0)2g =，2a =，解得2,2a a =-=（舍），故a 的取值范围在2-与2之间，应选A ．二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．（9）【2017年天津，文9，5分】已知a R ∈，i 为虚数单位，假设i2ia -+为实数，那么a 的值为 ．【答案】2-【解析】解法一：i (i)(2i)21(2)i2i (2i)(2i)5a a a a -----+==++-为实数，因此20a +=，2a =-． 解法二：i2ia -+为实数⇔i a -与2i +成比例，比例为1-，因此2a =-．（10）【2017年天津，文10，5分】已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，那么l在y 轴上的截距为 ． 【答案】1【解析】函数()f x 的导函数1'()f x a x=-，因此(1),'(1)1f a f a ==-，切点(1,)a ，斜率为1a -，因此代入切线点斜式：(1)(1)y a a x -=--，l 在y 轴上的截距为：0,1x y ==，因此答案为1．（11）【2017年天津，文11，5分】已知一个正方体的所有极点在一个球面上，假设那个正方体的表面积为18，那么那个球的体积为 ．【答案】92π【解析】球的表面积公式2618S a ==，因此棱长3a =，计算得：233R a ==，32R =，34932V R ππ==． （12）【2017年天津，文12】设抛物线24y x =的核心为F ，准线为l ，已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ，假设120FAC ∠=︒，那么圆的方程为 ．【答案】22(1)(3)1x y ++-=【解析】抛物线24y x =的核心为(1,0)F ，准线为:1l x =-，因此可设(1,)C b -，OA b =，120FAC ∠=︒，因此60AFH ∠=︒，在直角三角形OAF 中，1OF =，因此3OA =，因此圆的圆心(1,3)-， 半径等于1，因此圆22:(1)(3)1C x y ++-=．（13）【2017年天津，文13，5分】若,a b R ∈，0ab >，那么4441a b ab++的最小值为 ．【答案】4【解析】4422414144a b a b abab ab ab+++≥≥=（0ab >），当且仅当“444a b =”、“2241a b =”同时成立时，等号成立，解之得：13442,2a b --==．（14）【2017年天津，文14，5分】在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =，假设2BD DC =，AE AC AB λ=- ()R λ∈，且4AD AE ⋅=-，那么λ的值为 ． 【答案】311【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+，则122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=．三、解答题：本大题共6题，共80分．解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤． （15）【2017年天津，文15，13分】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边别离为,,a b c ．已知sin 4sin a A B =，2225()ac a b c =--．（1）求cos A 的值；（2）求sin(2)B A -的值．解：（1）sin 4sin a A b B =可化为224a b =，解得：2a b =，余弦定理：222cos 2b c a A bc +-=25bc=5=-． （2）依照5cos A =-，解得25sin A =，因此5sin B =，25cos B =，4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos22cos 15B B =-=，sin(2)B A -45325sin 2cos cos2sin ()55B A B A =-=⨯--⨯10525--==． （16）【2017年天津，文16，13分】电视台播放甲、乙两套持续剧，每次播放持续剧时，需要播放广告，已知连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万） 甲 70 5 60 乙 60 5 25分钟， 且甲持续剧播放的次数不多于乙持续剧播放次数的2倍，别离用,x y 表示每周打算播出的甲、乙两套电视 剧的次数．（1）用,x y 列出知足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问电视台每周播出甲、乙两套持续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：（1）别离用,x y 表示每周打算播出的甲、乙两套电视剧的次数766062,x y x y x y x y N+≤⎧⎪+≥⎪⎨≤⎪⎪∈⎩．（2）设总收视人次为z 万，那么目标函数为6025z x y =+．考虑6025z x y =+，将它变形为12525z y x =-+，这是斜率为125-，随z 转变的一族平行直线．25z为直线在y 轴上的截距， 当25z 取得最大值时，z 的值最大．又因为,x y 知足约束条件，因此由图2可知，当直线6025z x y =+经 过可行域上的点M 时，截距25z最大，即z 最大．解方程组766020x y x y +=⎧⎨-=⎩，得点M 的坐标为()6,3．因此，电视台每周播出甲持续剧6次、乙持续剧3次时才能使总收视人次最多．（17）【2017年天津，文17，13分】如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =． （1）求异面直线AP 与BC 所成的角的余弦值； （2）求证：PD ⊥平面PBC ；（3）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值． 解：（1）因为AD ∥BC ，因此PAD ∠等于异面直线AP 与BC 所成的角，AD ⊥平面PDC ，因此90PDA ∠=︒，5PA =，5cos 5AD PAD AP ∠==． （2）因为AD ⊥平面PDC ，因此AD PD ⊥，又因为AD ∥BC ，因此PD BC ⊥，PD PB ⊥，且PB BC B =，因此PD ⊥平面PBC ． （3）取BC 上三分点，3BE BC =，//BE AD ，1AD BE ==，PD ⊥平面PBC ，因此DEP ∠等于直线AB 与平面PBC 所成角90DPE ∠=︒，25AB =，25DE =，4PE =，25sin 525PD DEP DE ∠===．（18）【2017年天津，文18，13分】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为n S *()n N ∈，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}2n n a b 的前n 项和*()n ∈N ．解：（1）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，因此1(1)n a a n d =+-，1112n n n b b q q --==，22212q q +=，解之得：2,3q q ==-（舍），118311(5)1116a da d =-+⎧⎨+=⨯⎩，解之得：11,3a d ==因此31n a n =-，2n n b =．（2）2(62)2n n n a b n =-⨯，不妨设数列{}2n n a b 的前n 项和为n T ，2142632212n n n n n T a b a b a b a b a b --=+++++，123142102162(68)2(62)2n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯① 2n T =231142102(614)2(68)2(62)2n n n n n n -+⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯ ②①-②得：123142626262(62)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯，整理得：216(34)2n n T n +=+-⨯．（19）【2017年天津，文19，14分】设,a b R ∈，1a ≤，已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()x g x e f x =．（1）求()f x 的单调区间；（2）已知函数()y g x =和函数x y e =的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切线．（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）假设关于x 的不等式()x g x e ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围．解：（1）32'()()'6()'3(4)'f x x x a a x =---，2'()3123(4)f x x x a a =---，2'()3123(4)3()(4)f x x x a a x a x a =---=-+-，因为1a ≤，因此4a a <-，ABC DP E因此，()f x 的单调增区间(,),(4,)a a -∞-+∞，()f x 的单调减区间[,4]a a -．（2）（i ）()()x g x e f x =与x y e =在公共点00(,)x y 处有相同的切线，第一，00()x g x e =；第二，00'()x g x e =，0()1f x =，00()'()1f x f x +=，因此0'()0f x =．（ii ）()x g x e ≤等价于()1f x ≤，0'()0f x =，0()1f x =，因此0x a =极大值点，假设关于x 的不等式()x g x e ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，等价于()1f x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，等价于max ()1f x ≤，00[1,1]x x x ∈-+，当0x a =，()f x 在[1,]a a -递增，在[,1]a a +递减，()f a 为最大值， ()1f a =，32261a a b -++≤，32261b a a ≤-+，令32()261h x x x =-+，2'()6126(2)h x x x x x =-=-，()h x 在[1,0]-递增，在[0,1]递减，因此7()1h x -≤≤，71b -≤≤．（20）【2017年天津，文20，14分】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左核心为(,0)F c -，右极点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA ∆的面积为22b ．（1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段PQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为，四边形PQNM 的面积为3c ； （i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程．解：（1）12AEF S AF OE ∆=⨯⨯21()22b a c c =+⨯=，因为222b a c =-，因此c a c =-，故2a c =，12c e a ==．（2）（i ）45EFO ∠=︒，设1EQ EA λλ=+(01)λ<<，因此(1)FQ FE FA λλ=-+，2FE c =， 3FA c =，因为32c FQ =，两边平方，解之得：910λ=，32λ=（舍）代入(1)FQ FE FA λλ=-+，得69(,)510c c FQ =，直线FP 的斜率等于34y x =（ii ）直线FP 的方程：30()4y x c -=-；为求点P 的坐标，联立方程解方程组：2224333412y x c x y c =-⎧⎨+=⎩，解之得：13,7c x c x ==-（舍），因此3(,)2c P c ，因为69(,)510c c FQ =，因此9(,)510c cQ ， 即PQ c =，而PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，因此直线PM 与直线QN 垂直于PF ，由（i ）直线FP 的斜率等于34，可得335154428c c PM PF ==⨯=，33394428c cQN FQ =⨯=⨯=， MNPQ FPM FQN S S S ∆∆=- 1()2PM PF QN QF =⨯⨯-⨯232c =，因此2332c c =，解之得2c =，因此4,23a b ==，因此2211612x y+=．。
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天津市南开区2017届高三毕业班联考数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第I 卷（选择题，共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。
参考公式：∙锥体的体积公式Sh V 31=. 其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高.一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一 个是正确的）1．i 是虚数单位，复数=++-ii4321（ ）A. i 5251+B. i 5251+- C. i 21- D. i 21--2．设变量y x ,满足约束条件30301x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则目标函数3z x y =+的最小值是( )A.3B.4C.5D.63．已知命题0:>∀x p ，总有1ln )1(>+x x ，则p ⌝为（ ）A.0000,(1)ln 1x x x ∃≤+≤使得B. 0000,(1)ln 1x x x ∃>+≤使得C.0000,(1)ln 1x x x ∃>+≤总有D.0000,(1)ln 1x x x ∃≤+≤总有4．已知31)43(=a ，31log 43=b ，43log 3=c ，则（ ）A.a b c >>B.a c b >>C.b a c >>D.c a b >>5．将sin(2)4y x π=-的图像上所有点向左平移4π后得到)(x f y =的图像，则)(x f y =在[-2π，0]上的最小值为（ ）A. 1-B. 22-C.0D. 23- 6. 已知抛物线x y 42=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线交于点M （M 异于原点），且点M 到抛物线焦点的距离等于3，则双曲线的离心率是（ ）A ．25B ．26 C ．2 D.37．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且在区间[)+∞,0上单调递增，若b a ,均为不等于1的正实数，则b a >是0)(log )2log 1(21>+b f f a 成立的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AD AB ⊥，2==AD AB ，1CD =，P 为线段BC 上一个动点，设BC BP λ=，则当PD PA ⋅取得最小值时λ的值是（ ） A.21 B.54C. 0D.1第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9. 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥∈=15x Nx S ，{}6,4,2=T ，则集合T S 中元素个数为________. 10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．11. 执行如图所示的程序框图,则输出的S 的值是________.12. 已知b a ,均为正实数，圆0)1(2222=-+-+b a ax y x 与圆012222=-+-+b a y y x 外切，则ab 的最小值为________.13. 如图AB 是圆O 的直径，过B 作圆O 的切线交弦AD 的延长线于点P ，M 为AD 上一点，且6==PM PB ，4=PD ，连接BM 并延长交圆O 于点C ，连接OC 交AD 于点N ，则CN =________. 14. 已知函数⎩⎨⎧>≤-+=)0(,ln )0(,513)(x x x x x f ，若函数2)(+-=kx x f y 恰有3个零点，则实数k 的取值范围为________.三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11题图 10题图 13题图正视图 俯视图 侧视图在ABC ∆中，内角C B A ,,所对边分别为c b a ,,,已知B c C a sin 2sin =,2b =,41cos -=A . （Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）求cos(2)3A π-.17.(本小题满分13分）如图四边形P D C E 是正方形，四边形A B C D 为直角梯形，DC AB //，090=∠ADC ，且平面PDCE ^平面ABCD . （Ⅰ）若M 为PA 中点，求证：AC ∥平面MDE ； （Ⅱ）求证：直线⊥PC 平面ADE ；（Ⅲ）若正方形PDCE 边长为a 2，a AD AB ==，求直线BE 与平面PDCE 所成角的余弦.18.（本小题满分13分）己知数列{}n a 前n 项的和为n S ，且满足n S 2(2)n n a -=-()n N *∈. （Ⅰ）证明数列}{1n a -为等比数列.（Ⅱ）若n n b a =⋅2log (1)n a - ,求数列{}n b 的前n 项和n T .ABCDMP E已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>3.（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）直线l 是过椭圆右焦点F 且斜率为k 的直线，已知直线l 交椭圆于,M N 两点，若椭圆上存在一点P ,满足OM ON OP λ+= ,求当2OP k =时,k 的值.20．（本小题满分14分） 已知函数R x a ax x x f ∈>-=),0(23)(23（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间和极值；（Ⅱ）已知)('x f 是)(x f 的导函数，若[]1,0,21∈∃x x ，使得a x x f x f 23)(')(221-+≤，求实数a 的取值范围.天津市南开区2017届高三毕业班联考数学（文）试题评分标准9．2； 10．320； 11．217 ； 12．21 ； 13．25； 14．{}e k k k =≤<-或03|三、解答题：本大题共6小题，共80分．15. 某市为缓解交通压力，计划在某路段实施“交通限行”，为了解公众对该路段“交通限行”的态度，某机构从经过该路段的人员随机抽查了40人进行调查，将调查情况进行整理，制成下表：年龄（岁）[)30,15 [)45,30 [)60,45 [)75,60 频数 1213 8 7 赞成人数5 7 x 3 （Ⅰ）如果经过该路段人员对“交通限行”的赞成率为45.0，则x 的值为；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若从年龄在[)60,45，[)75,60两组赞成“交通限行”的人中再随机选取2人进行进一步的采访，记选中的2人至少有1人来自[)75,60年龄段为事件M ，求事件M 的概率.解答：（1）经过该路段人员中赞成的人数为375+++x ----------------2分解得3=x -----------------4分（2） 设年龄在[]60,45的3位被调查者为C B A ,,,年龄在[65,75]的3位被调查c b a ,,，---------------5分则从6位调查者中抽出2人包括：),(),,(),,(),,(),,(C a B a A a c a b a ，),(),,(),,(),,(C b B b A b C b ，),(),,(),,(C c B c A c ，),(),,(),,(C B C A B A 共15个基本事件，且每个基本事件等可能。
-----------------8分其中事件M 包括),(),,(),,(C a B a A a ,),(),,(),,(C b B b A b ，),(),,(),,(C c B c A c ,),(),,(),,(c b c a b a 共12个基本事件， -------11分16．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别为c b a ，，,已知sinC 2csinB a =,2b =,1cosA 4=-. （Ⅰ）求c 的值（Ⅱ）求cos(2)3A π-解（Ⅰ）在ABC ∆中,由sinC 2csinB a =得2ac cb =,2a b ∴=, ----------------------------2分又2,4b a =∴=, ---------------------------3分1cosA 4=-∴由2222cos a b c bc A =+-得211644()4c c =+-- ---------------------------4分∴2120c c +-=,又0,3c c >∴= ---------------------------5分（Ⅱ）在ABC ∆中，由1cos 4A =-得415cos 1sin 2=-=A A -------------7分sin 22sin cos A A A ∴==分 227cos 2cos sin 8A A A =-=- ---------------------------11分cos(2)cos 2cos sin 2sin 333A A A πππ∴-=+ ---------------------------12分71(82=-⋅+=分 17、如图，四边形PDCE 是正方形，四边形ABCD 为直角梯形，DC AB //，090=∠ADC ，且平面PDCE ^平面ABCD .（Ⅰ）若M 为PA 中点，求证：AC ∥平面MDE ；（Ⅱ）求证直线⊥PC 平面ADE ．（III ）若正方形PDCE 边长为a 2，a AD AB ==，求直线BE 与平面PDCE 所成角的余弦；证明：（Ⅰ）连接O DE PC =⋂，连接MO ，因为四边形PDCE 是正方形，所以O 是PC 的中点，M 为PA 中点，则AC MO //， -------------------------1分又⊂MO 平面MDE ， ----------------------------2分AC ⊄平面MDE ， ----------------------------3分所以AC ∥平面MDE 。
----------------------------4分（2）平面PDCE ^平面ABCD ，平面PDCE ⋂平面ABCD =CD .090=∠ADC所以DC AD ⊥ ----------------------------5分所以⊥AD 平面PDCE ----------------------------6分 又⊂PC 平面PDCE ，所以PC AD ⊥ ----------------------------7分 又正方形PDCE 中DE PC ⊥ ---------------------------8分D AD DE =⋂所以直线⊥PC 平面ADE ----------------------------9分 （3）取AD 的中点N ，连接BN ，则AD BN //则⊥BN 平面PDCE ----------------------------10分 连接NE ，则NE 是BE 在平面PDCE 内的射影，所以BEN ∠是直线BE 与平面PDCE 所成角 ----------------------------11分BCN Rt ∆中a CN BN BC 222=+=BCE Rt ∆中a CE BC BE 622=+=所以BEN Rt ∆中66sin ==∠BE BN BEN ----------------------------12分 直线BE 与平面PDCE 所成角的余弦630----------------------------13分 18：己知数列{}n a 前n 项的和为n S ，且满足n S 2(2)n n a -=-, ()n N *∈ (Ⅰ)证明数列}{1n a -为等比数列.(II)若n n b a =⋅2log (1)n a - ,数列{}n b 的前n 项和为n T ,求n T 解(Ⅰ) n S 2(2)n n a -=-2n ∴≥时1n S -1(1)2(2)n n a ---=-, ----------------------------1分两式相减得1122n n n a a a --=- 121n n a a -∴=- 112(1)n n a a -∴-=-----------------------------3分又由1112(2)a a -=-得113,12a a =-= ----------------------------4分 所以}{1n a -是以2为首项,2为公比的等比数列. ----------------------------5分 (II)由(Ⅰ)11222n n n a --=⨯= ,21n n a ∴=+, ----------------------------6分又n n b a =⋅2log (1)n a - (21)n n b n ∴=+ ----------------------------7分n T ∴=2(12222)n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅+(12)n ++⋅⋅⋅+ ----------------------------8分设n M =212222nn ⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅ 则2n M =23112222n n +⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅两式相减得n M -=2222n ++⋅⋅⋅+12n n +-⋅==12(12)212n n n +--⋅-=122n +-+-12n n +⋅ ∴n M =1(1)22n n +-⋅+， ---------------------------11分又12n ++⋅⋅⋅+(1)2n n +=---------------------------12分 ∴n T =1(1)22n n +-⋅+(1)2n n ++ ---------------------------13分 19、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线l 是过椭圆右焦点F 且斜率为k 的直线，已知直线l 交椭圆于,M N 两点，若椭圆上存在一点P ,满足OM ON OP λ+= ,求当2OP k =时,k 的值.解（Ⅰ）依题意分 解得2221a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ----------------------------3分所以椭圆方程为2212x y += ----------------------------4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知(1,0)F ,所以直线l 的方程为(1)y k x =-----------------------------5分设1122(,),(,)M x y N x y ,22222)4220k x k x k +-+-=-------7分2122412k x x k ∴+=+ ,1212(2)y y k x x +=+-2212k k -=+ --------8分所以1()OP OM ON λ=+= 12121(,)x x y y λ++=2221412(,)1212k kk k λλ-⋅⋅++ ----------------------------9分由点P 在椭圆上得4222222211161412(12)(12)k k k k λλ⋅⋅+⋅=++ (1)----------------------------10分由2OP k = 得422222222116144(12)(12)k k k k k λλ⋅+⋅=++ ........(2) ----------------------------11分由(1) (2)得 4228441k k k ∴+=+ ,----------------------------13分418k ∴= ,2k ∴=± ----------------------------14分20．已知函数R x a ax x x f ∈>-=),0(23)(23（1） 求函数)(x f 的单调区间和极值；（2） 已知)('x f 是)(x f 的导函数，[]1,0,21∈∃x x ，使得a x x f x f 23)(')(221-+≤，求实数a 的取值范围解答(1)由已知，有)0(),(333)('2>-=-=a a x x ax x x f ． -------------1分令0)('=x f ，解得0=x 或a x =. -------------2分当所以，f (x )的单调递增区间是，；单调递减区间是. -------------4分当x ＝0时，f (x )有极大值，且极大值f (0)＝0； -------------5分 当x ＝a 时，f (x )有极小值，且极小值321)(a a f -=. -------------6分 (2)法1：[]1,0,21∈∃x x ，使得a x x f x f 23)(')(221-+≤，等价于)(x f 在[]1,0上最小值M 与a x a x a x x f x g 2)33(323)(')(2---=-+=在[]1,0上最大值N 满足N M ≤。