2018届陕西省西工大附中高三下学期四模考试理科数学试题及答案

高考综合练习数学(理科)试卷（时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．）1．已知全集U =R ，集合2{0}M x x x =->，则=M C U （ ）A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x ≤≤C ．{|01}x x x <>或D ．{|01}x x x ≤≥或2．如图，在复平面内，若复数12,zz 对应的向量分别是,OA OB，则复数12z z +所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若一个几何体的三视图，其正视图和侧视图均为矩形、俯视图为正三角形，尺寸如图所示，则该几何体的体积为( )第2题图A. BCD．4．下列命题正确的个数有( )（1）命题“p q ∧为真”是命题“p q ∨为真”的必要不充分条件（2）命题“Rx∈∃,使得210x x ++<”的否定是:“对x R ∀∈, 均有210x x ++>”（3）经过两个不同的点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线都可以用方程121()()y y x x --=12()(x x y -1)y -来表示（4）在数列{}n a 中, 11=a ,n S 是其前n 项和,且满足2211+=+n n S S ,则{}n a 是等比数列 （5）若函数223-)(a bx ax x x f ++=在1=x 处有极值10，则114==b a ，A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，执行程序框图后，输出的结果为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．32第3题图第5题图1 6.在锐角三角形ABC中，已知A>B>C,则cos B的取值范围为（）A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,0 B. ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡22,21 C. ()1,0 D.⎪⎪⎭⎫⎝⎛1,227．已知0AB BC⋅=，1AB=，2BC=，0AD DC⋅=，则BD的最大值为（）A.B. 2C.D.8．若从区间(0,)e于．e的概率为（）A．11e- B. 21e- C. 1e9．如图，在正方体1111ABCD A B C D-中，若平面11A BCD上一动点P到1AB和BC的距离相等，则点P的轨迹为（）A．椭圆的一部分 B．圆的一部分C．一条线段 D．抛物线的一部分10．已知双曲线22221x ya b-=的左、右焦点分别为1F、2F，过1F作圆222x y a+=的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且2||||BC CF=，则双曲线的渐近线方程为（）A..3y x=± B．y=±C．1)y x=±+D．1)y x=±11.已知定义在R上的函数()f x满足:⑴()(2)0f x f x+-=，⑵(2)()f x f x-=-，(3)在[1,1]-上表达式为[1,0]()cos()(0,1]2xf xx xπ∈-=⎨∈⎪⎩，则函数()f x与第9题图函数20()10x x g x x x ≤⎧ =⎨- >⎩ 的图像在区间[3,3]-上的交点个数为（ ）A.5B.6 C .7 D.8 12．定义空间两个向量的一种运算sin ,⊗=⋅<>a b a b a b ，则关于空间向量上述运算的以下结论中： ①⊗=⊗a b b a； ②()()λλ⊗=⊗a b a b； ③()()()+⊗=⊗+⊗a b c a c b c ；④若1122(,),(,)x y x y ==a b ，则1221x y x y ⊗=-a b 。

其中恒成立的有（ ）A ．①④ B.①③ C.②③ D.②④第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知多项式10102210102)1()1()1(++∙∙∙+++++=+x a x a x a a x x 则=9a _______14．已知三次函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则(3)(1)f f '-=' ．15.已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，（x R ∈），则函数()f x 的单调增区间为16. 定义函数I x x f y ∈=),(，若存在常数M ，对于任意I x ∈1，存在唯一的I x ∈2，使得M x f x f =+2)()(21，则称函数)(x f 在I 上的“均值”为M ，已知]2,1[,log )(20142∈=x x x f ，则函数x x f 2log )(=在]2,1[2014上的“均值”为______．三、解答题：本大题共共70分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：*1(N )n n a a n +>∈，11a =，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列,22log 1n n a b +=-. （Ⅰ）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式; （Ⅱ）求证：数列{}n n b a ⋅的前n 项和n T 3<. 18．（本小题满分12分）西安市某中学在每年的11月份都会举行“文化艺术节”，开幕式当天组织举行大型的文艺表演，同时邀请36名不同社团的社长进行才艺展示.其中有43的社长是高中学生，41的社长是初中学生，高中社长中有31是高一学生，初中社长中有32是初二学生.第14题图（Ⅰ）若校园电视台记者随机采访3位社长，求恰有1人是高一学生且至少有1人是初中学生的概率；（Ⅱ）若校园电视台记者随机采访3位初中学生社长，设初二学生人数为X ，求X 的分布列及数学期望EX .19．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2,6AB AC ==, 点D 在线段1BB 上，且113BD BB =，11A C AC E = ．（Ⅰ）求证：直线DE 与平面ABC 不平行；（Ⅱ）设平面1ADC 与平面ABC 所成的锐二面角为θ，若cos θ=，求1AA 的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设平面1ADC 平面ABC l =，求直线l 与DE 所成的角的余弦值．20．（本小题满分12分）如图，圆C 与y 轴相切于点()0,2T ，与x 轴正半轴相交于两点,M N（点M 在点N 的左侧），且3MN =．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）过点M 任作一条直线与椭圆22:148xy Γ+=A B 、，连接AN BN 、，求证：ANM BNM∠=∠．第19题图21．（本小题满分12分） 已知函数x e x f =)(（Ⅰ）当a ex x f +≥)(对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围； （Ⅱ）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++<--∈<)2(2)()(21)()(求证：,,,b a f b f a f a b a f b f R b a b a .请考生从22、23、24题中任选一题做答.多答按所答的首题进行评分. 22．（本题满分10分) 选修4—4：极坐标与参数方程 在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点A 、B 的极坐标分别为(1,)3π、2(3,)3π，曲线C 的参数方程为cos ,(sin x r y r ααα=⎧⎨=⎩为参数）．（Ⅰ）求直线AB 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线AB 和曲线C 只有一个交点，求r 的值． 23.（本题满分10分) 选修4—5：不等式选讲 已知关于xm +<对于任意的[1,2]x ∈-恒成立（Ⅰ）求m 的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下求函数()21(2)f m m m =+-的最小值．24.（本题满分10分) 选修4—1：几何问题选讲如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 垂直，垂足为M ，E 是CD 延长线上的一点，且第20题图AB=10,CD=8,3DE=4OM ，过F 点作⊙O 的切线EF ，BF 交CD 于G（Ⅰ）求EG 的长；（Ⅱ）连接FD,判断FD 与AB 是否平行，为什么？高考综合练习数学(理科)理数学试题参考答案及评分参考一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.B 2.A 3. D 4. B 5.B ； 6.A 7. C 8. B 9.D. 10. C ；11. B. 12.A二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)13. -10 14. 5- 15. 3[,]()88k k k Z ππππ-+∈16.1007三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）设d 为等差数列{}n a 的公差，且0d > 由,21,1,1321d a d a a +=+==分别加上1，1，3成等比数列，得),24(2)2(2d d +=+0d >，所以2=d ，所以122)1(1-=⨯-+=n n a n ， 又因为212log n n a b =--，第24题图所以nb n -=2log 即nn b 21=.…………… .............................6分（Ⅱ）,21225232132n nn T -++++=① .212252321211432+-++++=n n n T ② ①—②，得 )212121(212132n n T ++++= .2121+--n n ……………. ..................10分121121121232133 3.1222212n n n n n n n n n T -----+∴=+-=--=-<-……….. ..............12分18．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）由题意得，高中学生社长有27人，其中高一学生9人；初中学生社长有9人，其中初二学生社长6人。

事件A 为“采访3人中，恰有1人是高一学生且至少有1人是初中学生”。

1190297)(33629193361181919=+=C C C C C C C A P ……………………........ 6分（Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2，3841)0(3933===C C X P , 143)1(392316===C C C X P2815)2(391326===C C C X P ， 215)3(==X P ，所以X 的分布列为2214318410⨯+⨯+⨯=EX ……………………12分19．（本小题满分12分）【解析】依题意，可建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设1AA h =，则()()()()112,0,0,0,6,0,2,0,,0,0,,0,6,,0,3,32h h B C D A h C h E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．.......................2分（Ⅰ）证明：由1AA ⊥平面ABC 可知()10,0,1n =为平面ABC的一个法向量．∴ ()12,3,0,0,1066h hDE n ⎛⎫⋅=-⋅=≠ ⎪⎝⎭． ·· 3分 ∴ 直线DE 与平面ABC 不平行． 4分 （Ⅱ）设平面1ADC 的法向量为()2,,n x y z =，则()()()221,,2,0,2033,,0,6,60h h n AD x y z x z n AC x y z h y hz ⎧⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩ ， 5分取6z =-，则x y h ==，故()2,,6n h h =-．6分∴121212cos cos ,n n n n n n θ⋅=<>==＝····· 7分解得h =． ∴1AA =··············· 8分第19题图（Ⅲ）在平面11BCC B 内，分别延长1CB C D 、，交于点F ，连结AF，则直线AF 为平面1ADC 与平面ABC 的交线． ··· 9分 ∵ 1//BD CC ，1111==33BD BB CC ，∴113BF BD FC CC ==． ∴ 12BF CB =，∴ ()()()112,0,02,6,03,3,022AF AB BF AB CB =+=+=+-=-． · 10分由（Ⅱ）知，h =，故(2,3,6h DE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ， ∴cos ,AF DE AF DE AF DE ⋅<>===． ····· 11分∴ 直线l 与DE． 12分20．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）设圆C 的半径为r （0r >），依题意，圆心坐标为(,2)r ．… ··················· 1分 ∵ 3MN =∴ 222322r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得2254r =． ·········3分 ∴圆C 的方程为()22525224x y ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭． ······ 5分（Ⅱ）把0y =代入方程()22525224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，解得1x =，或4x =， 即点()1,0M ，()4,0N ． ············ 6分 （1）当AB x ⊥轴时，由椭圆对称性可知ANM BNM ∠=∠．7分 （2）当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为()1y k x =-．联立方程()22128y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，消去y 得，()22222280k x k x k +-+-=．8分设直线AB 交椭圆Γ于()()1122,,A x y B x y 、两点，则212222kx x k +=+，212282k x x k -⋅=+． ·········· 9分∵()()11222,2y k x y k x =-=-，∴()()12121212114444AN BN k x k x y y k k x x x x --+=+=+----()()()()()()122112141444k x x k x x x x --+--=--． ·········· 10分∵()()()()()()221221121222281014142588022k k x x x x x x x x k k ---+--=-++=-+=++，····················· 11分 ∴0AN BN k k +=，ANM BNM∠=∠．综上所述，ANM BNM ∠=∠． ·········· 12分 21．（本小题满分12分）【解析】解：（Ⅰ）设g(x)=f(x)-ex-a ，则）上递增；，在（∞+<⇒<>⇒>-=1)(,10)(;10)(,)(g ''|x g x x g x x g e e x x0,0)1()(1,10)(min '≤≥-==∴∞-<⇒<a a g x g x x g 从而）为减函数，，在（……………………………………………………4分 （Ⅱ）设lnm,b lnn a == 也就是证明：4ln ln nm nm nm +<-- (6)分构造函数1()ln 21x h x x x -=-+ ， ………………………….8分可以证明h(x)在()∞+，1上为增函数，h(x)>h(1)=0,令x=nm,得即,112ln+->nm n m nm4nm nm n m +<+- (1)1分 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++<--)2(2)()(21)()(b a f b f a f a b a f b f (12)分22．（本小题满分10分) 选修4—4：极坐标与参数方程 【解析】（Ⅰ）∵点A 、B 的极坐标分别为(1,)3π、2(3,)3π，∴点A 、B的直角坐标分别为1(,2、3(,2-，3分∴直线AB 的直角坐标方程为40y +-=． · 5分 （Ⅱ）由曲线C 的参数方程cos ,(sin x r y r ααα=⎧⎨=⎩为参数）化为普通方程为222x y r += ………………………………………………………8分∵直线AB 和曲线C 只有一个交点， ∴半径r == ········ 10分23.（本小题满分10分) 选修4—5：不等式选讲 【解析】（Ⅰ）∵关于x m <对于任意的[1,2]x ∈-恒成立maxm ⇔>············· 3分根据柯西不等式，有222222(11[11]]6=+≤+⋅+=+≤，当且仅当12x =时等号成立，故m >5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得20m ->，则()221111(2)(2)2(2)22(2)f m m m m m m =+=-+-++-- ∴()22f m≥+= ····· 6分 当且仅当211(2)2(2)m m -=-，即2m =+>时取等号，8分所以函数()21(2)f m m m =+-的最小值为2+． ·· 10分24. （本小题满分10分) 选修4—1：几何问题选讲 【解析】（Ⅰ）连接AF,OF,，则A ，F ，G ，M 共园，因为EF ⏊OF, ∵∠FGE=∠BAF又∠EFG=∠BAF , ∴∠EFG=∠FGE ,有EF=EG …………………….3分由AB=10,CD=8知OM=3 ∴ED=43OM=448.2==EC ED EF∴EF=EG= (5)分（Ⅱ）连接AD, ∠BAD=∠BFD 及（Ⅰ）知GM=EM-EG=8-34 ∴tan ∠MBG=4MG MB=-, tan ∠BAD=4182MD MA==≠ tan ∠MBG∴∠BAD ≠∠MBG ，∠MBF ≠∠BFD ∴FD与AB不平行 ………………………………………….10分。