霍夫变换在幂函数型曲线检测中的应用_曾接贤
霍夫变换(详解)
给定具体的五个点：
(a)image space
(b)hough space
选择由尽可能多直线汇成的点，如A和B。
y=x-1 y=1 (a)image space (b)hough translation
A,B确定了两组参数(k,q)，代入直线方程y=kx+q， 可以描述图像空间中对应的直线。
特殊情况，
hough translation 霍夫变换检测直线
基本原理
霍夫变换利用点和线之间的对偶性，将 图像空间中直线上离散的 像素点 通过参数方 程映射为霍夫空间中的 曲线 ，并将霍夫空间 中多条曲线的 交点 作为直线方程的参数 映射 为图像空间中的 直线。 给定直线的参数方程，可以利用霍夫变 换来检测图像中的直线。
原图
二值化
canny边缘检测
霍夫变换直线检测
谢谢！
给定具体的三个点：
y=x-1
(1,-1) (a)image space 图像空间中共线的点， 在霍夫空间对应的直线相交于一点。 (b)hough space
点和线的对偶性
（1）图像空间中的点，对应霍夫空间中的直 线。 （2）图像中的直线，对应霍夫空间中的点。 （3）共点的直线，在霍夫空间中对应的点在 一条直线上。 （4）共线的点，在霍夫空间中对应的直线交 与一点。
(b)hough space
过同一点的直线，在霍夫空间中所对应的点在一条直线上。
两个点的情况：
y=kx+q
(k,q)
(a)image space 霍夫空间中的交点，确定了一组参数(k,q) 。 将(k,q)代入直线方程 y=kx+q ， 可以描述图像空间中过A,B两点的直线。
(b)hough space
霍夫变换(hough transform)
一、概述霍夫变换是一种常用的图像处理技术，它可以用于检测图像中的直线、圆或者其他形状。
它具有很好的鲁棒性，可以应对图像中存在的噪声和其他干扰。
霍夫变换在计算机视觉、图像处理和模式识别领域有着广泛的应用，成为了处理图像中几何形状的重要工具。
二、霍夫变换的原理霍夫变换最初是由美国科学家保罗·霍夫在1962年提出的，用于检测图像中的直线。
后来，霍夫变换被扩展到检测圆或者其他形状。
霍夫变换的基本原理是将空间域中的坐标转换到参数域中，在参数域中对应的曲线经过的点在空间域中具有共线的特点。
通过累加空间域中的点的参数，可以找到曲线或者形状的参数方程，从而实现对图像中形状的检测。
具体来说，对于检测直线来说，可以通过霍夫变换将直线表示为参数空间中的斜率和截距，从而可以在参数空间中进行累加，最终找到直线的参数方程。
三、霍夫变换在直线检测中的应用1. 边缘检测在使用霍夫变换检测直线之前，通常需要对图像进行边缘检测。
边缘检测可以帮助找到图像中明显的过渡区域，这些过渡区域通常对应着直线的轮廓。
常用的边缘检测算法包括Sobel算子、Canny算子等。
2. 参数空间的设置为了使用霍夫变换来检测直线，需要设定参数空间的范围。
对于直线检测来说，一般可以设定直线的斜率和截距的取值范围。
3. 累加过程在设定好参数空间后，需要对图像中的边缘点进行霍夫变换的累加过程。
对于每一个边缘点，都可以在参数空间中找到对应的直线，通过对参数空间的累加，可以找到参数空间中的峰值，这些峰值对应着图像中的直线。
4. 直线检测可以根据参数空间中的峰值来确定图像中的直线。
通常可以设定一个阈值来筛选参数空间中的峰值，从而得到最终的直线检测结果。
四、霍夫变换在圆检测中的应用除了直线检测，霍夫变换也可以用于检测图像中的圆。
与直线检测类似，圆检测也需要进行边缘检测和参数空间的设定。
不同的是，在圆检测中，需要设定圆心和半径的参数空间范围。
五、霍夫变换的改进和应用1. 累加数组的优化在传统的霍夫变换中，需要对参数空间进行离散化，这会导致计算量较大。
霍夫变换直线检测
霍夫变换直线检测霍夫变换（HoughTransform）是计算机图形学中重要的一种技术，它可以定位直线曲线或其他形状的边缘。
它的发明者John Hough，在1962年的一篇论文中提出了这个概念。
霍夫变换是一种经典的图像处理技术，用于检测图像中的直线曲线轮廓与边缘，可以将数字图像转换为数学模型，从而提取和描述图像中的特征。
应用霍夫变换来检测图像中的直线曲线，通常采用基于投票和阈值技术来检测。
图像处理系统上运行霍夫变换，可以检测出图像中的直线曲线，并检测出图像中的边缘。
霍夫变换可以提取图像中的细微内容，主要是提取图像中的线性结构。
霍夫变换的核心是基于投票和阈值技术来检测边缘，这会将图像中的所有边缘（直线曲线或其他）进行分类。
为了提取图像中的边缘，霍夫变换会采用空间变换和梯度变换的方法，将图像转换为极坐标系。
然后，它会检测极坐标系中相关边缘的投票，用于提取边缘。
霍夫变换直线检测可以在图像中检测出直线或其他形状，提取出图像中的轮廓特征。
这是一种经典的图像处理技术，可以将图像转换为数学模型，主要用于线性结构的检测，如线段曲线或线条的检测，用于图形和图像的分析、识别和跟踪。
在印刷体识别、图像识别和计算机视觉等多个领域都有应用。
霍夫变换直线检测是一种效果良好的技术，可以有效检测复杂的线性结构，识别精确的特征。
它也有一些弊端，比如它可能无法检测出特定角度的线条，这可能会影响到它的检测效率。
霍夫变换直线检测是一种技术，可以有效的检测出图像中的线条结构，提取出图像的特征信息。
它广泛应用于图像处理和计算机视觉领域，是图像处理中非常重要的一种技术。
它可以有效的处理图像的细节内容，不仅提供了检测精确的特征，还可以有效减少计算量，是一种十分有用的图像处理技术。
霍夫变换(详解)
基本原理
霍夫变换利用点和线之间的对偶性，将 图像空间中直线上离散的 像素点 通过参数方 程映射为霍夫空间中的 曲线 ，并将霍夫空间 中多条曲线的 交点 作为直线方程的参数 映射 为图像空间中的 直线。 给定直线的参数方程，可以利用霍夫变 换来检测图像中的直线。
原图
二值化
canny边缘检测
霍夫变换直线检测
谢谢！
给定具体的五个点：
(a)image space
(b)hough space
选择由尽可能多直线汇成的点，如A和B。
y=x-1 y=1 (a)image space (b)hough translation
A,B确定了两组参数(k,q)，代入直线方程y=kx+q，况，
q q=-2k+4 q=-2k+3 q=-2k+1
(a)Image space q = -xk+y 无法确定图像空间中的垂线。
(b) hough space
k
转化为极坐标下的参数方程：
x1cosθ+y1sinθ=ρ
x1cosθ=ρcos2θ y1sinθ=ρsin2θ
图像空间中的点，对应了霍夫空间中的曲线。 曲线的交点确定了一组参数，能够描述图像空间中的特定直线。
给定具体的三个点：
y=x-1
(1,-1) (a)image space 图像空间中共线的点， 在霍夫空间对应的直线相交于一点。 (b)hough space
点和线的对偶性
（1）图像空间中的点，对应霍夫空间中的直 线。 （2）图像中的直线，对应霍夫空间中的点。 （3）共点的直线，在霍夫空间中对应的点在 一条直线上。 （4）共线的点，在霍夫空间中对应的直线交 与一点。
HOUGH变换及其在几何特征检测中的应用
Hough变换及其在几何特征检测中的应用王彬生黄乡生(东华理工大学电子工程学院, 抚州344000)摘要：介绍Hough变换原理,分析应用Hough变换检测直线的原理,并对Hough变换进行推广，用于检测圆的圆心、半径。
Hough变换在几何特征检测中用着独特的性能，它将检测目标从目标空间转换到参数空间，避免了在目标空间检测时的目标分类、目标编码等复杂运算，使得被测参数的测量变得简单易行。
关键词：Hough变换，直线和圆的检测，计算机实现Hough Transform and Application in Geometrical Property MeasurementWang bin sheng(College of Electronic Engineering, East China University of Tecnology , Fu Zhou, 344000) 【Abstract】The paper introduces the principle of The Hough Transform,and analyzed the theory of detecting the beeline based on The Hough transform. Especially, detecting the centre and radius of a circle since the extended of the Hough Transform..The Hough Transform has peculiarity in detecting the geometrical property, it can transform the detection target to the parameter space from the target space, and it will avoid the complex arithmetic on the target classfication and encoding in object space detection, therefore it make the parameter measurement become simpler and easier to solve.【Key words】Hough Transform, Detect the Beeline and Circle, Computer Implementation.0 引言模式识别是在一组目标中识别出特定的目标，它包括目标分割、目标测量和目标分类几个部分，整个过程可以在目标空间进行，也可以将目标变换到其它空间进行。
houghpeaks函数
houghpeaks函数HoughPeaks是一种图像处理算法，用于在霍夫变换中找到明显的峰值。
霍夫变换是一种用于检测直线、圆等形状的图像处理技术，它将原始图像转换为参数空间中的一组点，使得在该空间中的峰值表示了原始图像中的形状。
HoughPeaks将霍夫变换输出中的峰值作为输入，并返回一组坐标，这些坐标与原始图像中找到的形状相关联。
HoughPeaks的核心思想是找到霍夫变换输出的极大值。
霍夫变换输出的每个点都表示了一条直线或圆的参数。
如果这条直线或圆在原始图像中出现了多次，那么它在霍夫变换输出中对应的点就会比其他点更亮。
我们可以通过寻找这些亮点来找到原始图像中的形状。
为了实现这一目标，HoughPeaks算法中使用了两个参数：thresh和NhoodSize。
Thresh参数是一个阈值，用于确定哪些点应该被认为是峰值。
只有霍夫变换输出中的点亮度大于这个阈值，才被认为是峰值。
NhoodSize参数是一个邻域大小，用于定义一个点周围的邻域。
如果一个点是峰值，并且它的邻域内有其他点的亮度也大于thresh，则这些点被认为是属于同一峰值。
HoughPeaks算法的具体实现如下：1. 给定霍夫变换输出矩阵H。
2. 对于每个点(x,y)在H中，如果它的亮度大于thresh，则将其标记为峰值。
3. 对于每个峰值，检查它的邻域大小是否为NhoodSize。
如果是，则将它们归为同一峰值。
4. 返回所有峰值的坐标。
该算法在计算机视觉领域有广泛的应用，包括图像分割、形状检测以及模式识别等方面。
在实际应用中，参数thresh和NhoodSize的值需要根据具体的问题进行调整，以获得最佳的效果。
除了HoughPeaks算法以外，还有一些其他的霍夫变换的应用，例如霍夫直线变换和霍夫圆变换。
在霍夫直线变换中，一条直线可以表示为(x,y)坐标系中的极坐标(r,θ)。
通过建立一张(r,θ)空间的表格，计算Hough变换并找出极值，可以检测到原始图像中的直线。
!!霍夫变换原理
!!霍夫变换原理一、简单介绍Hough变换是图像处理中从图像识别几何形状的基本方法之一，霍夫变换寻找直线和圆的方法相比其他方法，可以更好的减少噪声干扰。
经典的霍夫变换常用来检测直线，圆，椭圆等。
Hough变换的基本原理在于利用点与线的对偶性，将原始图像空间的给定曲线通过曲线表达形式变为参数空间的一个点。
这样就把原始图像给定曲线的检测问题，转化为检测参数空间的峰值问题。
也就是把检测整体特性转化为检测局部特性。
比如直线，椭圆，圆，弧线等。
二、Hough变换的基本思想设已知一黑白图像上画了一条直线，要求出这条直线所在的位置。
我们知道，直线的方程可以用y=k*x+b 来表示，其中k和b是参数，分别是斜率和截距。
也就是说，我们将原始图像需要检测的直线，表示成y = k*x + b, 只要找出唯一的k，b即可检测出该直线。
该直线在原始图中是一系列离散点的集合，过该直线上某一点(x0,y0)的所有直线的参数都会满足方程y0=kx0+b。
即点(x0,y0)确定了原始图像中一族(有不同k,b)直线。
这一族直线，对应参数k--b平面上的一条直线：b=-x0*k+y0.即点（x0,y0）在参数空间确定了一条直线。
这样，图像x--y平面上的一个前景像素点就对应到参数平面上的一条直线。
因此，图像x-y内需检测直线上的N个点，在参数平面会有N条直线。
假设这N条直线相交，则交点k，b满足所有直线的方程。
而图像x-y内的直线有唯一一个k，b，因此，相应的参数平面N 条直线必然有唯一一个交点。
我们举个例子说明解决前面那个问题的原理。
设图x-y内的直线y=x, 取上面的三个点：A(0,0), B(1,1), C(2,2)。
代入y=kx+b可以求出，过A点的直线的参数要满足方程b=0,过B点的直线的参数要满足方程1=k+b,过C点的直线的参数要满足方程2=2k+b,这三个方程就对应着参数平面上的三条直线，而这三条直线会相交于一点(k=1,b=0)。
霍夫变换, 正弦曲线 检测
霍夫变换（Hough Transform）是一种在图像处理中用于检测形状的技术。
它被广泛应用于边缘检测、线条检测和圆检测等领域。
在正弦曲线检测中，霍夫变换可以用来检测图像中的正弦曲线。
基本原理：
霍夫变换的基本原理是将原始图像空间中的形状转换为参数空间中的累加器，通过找到累加器峰值的位置来确定形状的参数。
对于正弦曲线检测，我们可以将正弦曲线的振幅、周期和相位作为参数，使用霍夫变换来检测图像中的正弦曲线。
实现步骤：
1.边缘检测：首先需要对图像进行边缘检测，提取出图像中的边缘像素点。
常用的边缘检测算法包括Sobel、Canny等。
2.参数空间转换：将边缘像素点的坐标转换为参数空间中的形式。
对于正弦曲线，可以将振幅、周期和相位作为参数，将边缘像素点的坐标转换为这些参数的形式。
3.累加器计算：在参数空间中，对于每个可能的参数组合，计算累加器的值。
累加器的值可以通过投票的方式计算，即将相同参数组合的边缘像素点计数加一。
4.峰值检测：在累加器中寻找峰值，峰值的位置对应于正弦曲线
的参数。
通过峰值的位置可以确定正弦曲线的参数，从而检测出正弦曲线。
应用场景：
霍夫变换在图像处理中有着广泛的应用，例如在医学图像处理中用于检测心电图信号、在机器视觉中用于检测物体轮廓和线条等。
在正弦曲线检测中，霍夫变换可以用于检测图像中的振动信号、波形等，具有重要的实际意义和应用价值。
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2 ! 霍夫变换原理与实现方法 !$% 霍夫变换原理
%&’! 年 ， ($)$*$+,-./ 根 据 数 学 对 偶 性 原 理 提 出 了 检 测 图
此后， 该方法被不断地研究和发展， 主要应用 象 直 线 的 方 法 0&1， 于模式识别领域中对二值图象进行直线检测。 其原理如图 % 所 示， 平面直角坐标系中的直线 * 表达为：
$+(!,其中， ( 为斜率， - 为截距。
（! ）
， 直线 * 上不同的点 （ !# ， 在参数空间中被变 根据式 （! ） $# ） 若能确定参数空 间 中 的 . 换为一族相交于 . 点的直线。显然， 点 （局部最大值） ， 就实现了直线检测。 由上述霍夫变换原理可知， 霍夫变换具有如下性质 0%"1： （%） 直角坐标系中的一个点映射到参数空间中为一条直线； 参数空间中的一个点对应直角坐标系中的一条直线； （! ） （2 ） 直角坐标系中的共点线映射到参数空间中为一条直 线； 直角坐标系中的共线点映射到参数空间中后为一个交 （# ） 于同一点的直线族。
$@2*1)(*： /0123 L56.7805, -7 6@R6M7 17BS L0 SBLBFL @-.B$Q. L3-7 N6NB5， 6 .BR 6NN@-F6L-0. 08 /0123 L56.7805, -7 N50T N07BS， R3-F3 -7 17BS L0 BDL56FL F15UB 850, ,6.M S-7F5BLB N0-.L7$43B 6NN506F3 F6. SBLBFL F15UB 850, L3B N0-.L7 %"， #" 8-L G * * N0RB5 81.FL-0.$43B 6@205-L3, -7 67 80@@0R7： V-57L@M ， L3B .BR S6L6 N0-.L7 &（% "， # "） 65B 20LLB. L350123 @0265-L3,-F L56.7805,T -.2 L0 L3B S-7F5BLB S6L6 N0-.L7， L3B 5B@6L-0. KBLRBB. %*"， #*" -7 @-.B65 6L L36L L-,B ； WBF0.S@M ， @-.B -7 SBLBFLBS KM 17-.2 /0123 L56.7805, 6.S N656,BLB57 )* ， -* 08 @-.B7 65B 6@70 20LLB.； WBX1B.FB ， L3B S-7L6.FB +," KBLRBB. N0-.L7 08 BS2B 6.S L3B @-.B7 -7 F6@F1@6LBS KM 17-.2 N656,BLB57 )* ， -* ， KM F0,N65-.2 L35B730@S +, R-L3 +,"， N0-.L7 -. L3B U-F-.-LM 08 S-88B5B.L @-.B7 65B BDL56FLBS 6.S -.LB58B5B.FB N0-.L7 6.S .0-7B 08 S6L6 N0-.L7 65B SB@BLBS L00； J67L@M ， @-.B -7 8-LLBS KM 17-.2 6 ,BL30S 08 @B67L 7X165B 6.S 6FF156LB N656,BLB57 ( 6.S ) 08 @-.B7 65B 0KL6-.BS$43B 6@205-L3, -7 -.7B.7-L-UB L0 .0-7B KBT F617B /0123 L56.7805, F6. 5B7-7L6.L .0-7B 6.S 7BN656LB N0-.L7 850, L3B U-F-.-LM 08 S-88B5B.L @-.B7$ A#B6+1C2： /0123 L56.7805,， @B67L 7X165B ， N0RB5 81.FL-0. ， 8-L F15UB
幂函数型曲线的检测方法
5 假设采集到的数据集为 %+ （!#， ， （#3% ， …， $#） !， 6， 6 为数据
集中的数据点数） ， % 中的数据点 !#， $# 满足幂函数关系， 4 表示 幂函数关系式方程个数 （曲线条数） ， 根据曲线检测的目的要求 给定阈值 &’ ， 则可采用如下方法检测幂函数型曲线。
2$%$!
) 数据集中的数据满足 $#,&+( （!#,7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ） 关系时的预处理
若数据集 % 中的数据 !#， $# 满足关系式：
) （!#,7 ） $#,&+(
（5 ）
则可通过作平移变换：
! " $ # +$# ,& # ! ! # +!# ,7 %
$ $
（’ ）
使式 （5 ） 变换成式 （2 ） 。 此时， 同样可以采用 2$%$% 节方法将 曲线方程变换成直线方程。
;* =* 和 椭 圆 )<， ， 对于其 线， 也 有 不 少 文 献 介 绍 用 霍 夫 变 换 检 测 圆 ):，
计数据分析、 计算机视觉中将离散形式的二值边缘轮廓拟合成 连续的曲线、 &’( 系统中获取三维物体图象的线图等。曲线拟 合在计算数学中有多种方法， 最常用的是平方逼近， 即最小二 乘法。最小二乘法的定义 是：
（!""# ） 文章编号 %""!?=99%? !!?"":;?"#
!"# $%%&’()*’+, +- .+/0" !1),2-+13 ’, *"# 4#*#(*’+, +- 5+6#1 7/,(*’+, 8/19#
:#,0 ;’#<’), :"),0 =/’3#’ 8"/ ;/, >/ ?/3’,0 （J6K056L05M 08 &0,N1LB5 O-7-0. ， P6.F36.2 Q.7L-L1LB 08 ’B50.61L-F6@ >.2-.BB5-.2 ， P6.F36.2 99""9#）
具有线性关系； 其次， 用霍夫变换检测 &* 中的直线， 可得直线参数； 然后， 利用霍夫变换所得的直线参数， 计算图象中的 并与给定阈值 +, 比较， 从而将分布在不同直线附近的点分离 出 来 ， 同 时 剔 除 数 据 点 集 &* 中 的 边缘点到直线的距离 +,"， 干扰点或噪声； 最后， 用最小二乘法拟合直线， 得到剔除干扰点或噪声后的拟合曲线方程参数 ( 和 ) 。 关键词 霍夫变换 最小二乘法 幂函数 曲线拟合 文献标识码 ’ 中图分类号 4H9I%$#%
（2 ）
（# ）
其中 $# +678$# 8 ， !# +678!# 8， - +678(8，将 !# ， $# 构成的数据集记 作 %9。 的数据集 经过取对数后， 将原数据集中满足曲线方程 （2 ） 变换成满足直线方程 （# ） 的数据集 %"。 在 %" 中， 就可利用霍 %， 夫变换检测出式 （2 ） 的参数 ( 和 ) 。
2$%
2$%$%
数据预处理
数据集中的数据满足关系时的预处理 若数据集 % 中的数据 !#， $# 满足关系式： （#3% ， …， $# +(!# ， !， 6） 两边求对数， 得： 则对式 （2 ） （#3% ， …， $# +)!# ,- ， !， 6 ； 6 !6 ）
" " " " " " " " " " )
霍夫变换在幂函数型曲线检测中的应用
曾接贤 张桂梅 储 王君 鲁宇明 （南昌航空工业学院计算机视觉研究室， 南昌 99""9# ）
>?,6-@： AB.2CD:=E%;9$F0,
摘 要 利用霍夫变换抗噪声能力强和能分离出属于不同直线附近点的特性， 研究离散数据点集 & 中 %"， #" 满足幂函数
G 得到新的数据点集 &（ ， 此时， 关系时的曲线检测问题。首先， 对离散数据点集 & 中的数据 %"， #" 作对数变换， %*"， #*"） %*"， #*"
2$!
图% 直线检测中的霍夫变换
霍夫变换
将式 （# ） 改写成： （#3% ， …， …， - ’ +$# 8) ’ !# ， !， 6 "； ’ 3% ， !， 4）
" " " " "
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霍夫变换实现方法
工程中的实验数据和图象处理中的二值边缘图， 通常都是
（: ）
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， 对 %" 作霍夫变换， 可得拟合直线的参数 （-’ ， 。 根据式 （:） )’ ）
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（% ） * +,-. !)# $!
"+% " "
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为已知数据点； （% ） 为拟合函数。 其中 （ %" ， #" ） ! 显然， 最小二乘法考虑的是已知数据点到拟合函数 （直 线 拟合时为直线） 的距离平方和为最小。 这里存在三个问题， 一是 已知数据点集中若存在干扰点或噪声时， 拟合函数并不通过最 （% ） 为 多的数据点， 拟合误差较大； 二是最小二乘法拟合函数 ! 多项式， 拟合时， 需要给定 ! （% ） 的形式； 三是已知数据点集中 的数据满足于多条曲线关系时， 需事先对已知数据进行分离预
由上述霍夫变换过程可知， 如果参数空间中的 ( 和 - 量化 过粗， 则参数空间中的凝聚效果较差， 找不出直线的准确参数 反之， 那么计算量将增大。 ( 和 -； ( 和 - 量化过细， 另外， 当直角坐标系中的 点 分 布 在 4 条 直 线 附 近 时 ， 可在 第 5 步检测累加器时，取出 累 加 器 中 前 4 个 值 最 大 的 单 元 所 对应的 (’ 和 -（ …， ， 以 (’ 和 - ’ 为 直 角 坐 标 系 中 直 线 !， 4） ’ ’ 3% ， 的参数， 即可同时实现多条直线的检测。 方程式 （! ）