霍夫变换+最小二乘法 直线检测

霍夫变换中直线拟合的最小二乘法

ichriZ 1.基本概念

（1）霍夫变换

霍夫变换(Hough Transform) 是图像处理中从图像中识别几何形状的基本方法之一，应用很广泛，也有很多改进算法。最基本的霍夫变换是从黑白图像中检测直线或线段。

（2）最小二乘法

曲线拟合方法的一种，通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

2.适用情况

霍夫变换是基于统计的方法，能将图像中的噪声或干扰点的影响消除，但其结果存在精度不够与直线有效区间不易控制的问题；最小二乘法是直线拟合的有效方法，但直接用于拟合时易受干扰点或噪声点影响。在检测图像中的直线段时，先利用霍夫变换消除无效点的影响，再结合最小二乘法法进行拟合，可以提高检测效果。

3.霍夫变换原理与实现方法

(一)霍夫变换原理

在平面直角坐标系中一条直线，任取其上一点，有

表示参数平面中的一条直线。再取上另一点则有

表示参数平面中的一条直线。与相交于一点，对应于坐标系

中直线

即：同一直线上的不同的点在对应的参数平面中对应不同的直线，但都交于同一点，所以可以通过坐标系中的交点来寻找坐标系中的直线。当坐标系中的直

线数量为R时，坐标系中对应R个峰值交点，它们对应于坐标系中的R 条直线。

此种方法不能够表示这类直线，实际中常将原有直线表示为参数方程

此直线上的点对应坐标系中的一族三角函数曲线，它们在有效区间内交于一点

，对应于坐标系中的。下图是一个具体例子：

交点坐标

(二)最小二乘法原理

对于给定数据，要求在某个函数类

中寻求一个函数

，使

本文中讨论的是直线的最小二乘法，故均取一次多项式。

设具有如下格式

霍夫变换—>

其中是待定参数，求具有这种形式的最小二乘法的实

质，就是要适当的选择参数，使相应的函数

满足条件。也就是说，点是多元函数

的极小点，从而满足方程组

因此，可以通过解此方程组（称为法方程组）来求取，以便

获得最小二乘解。

当讨论的曲线为代数多项式时，不妨取

则有

令得方程组

即

本文中模拟的是直线，使用一次多项式，则约束条件为

其中直线表达式为

(三)霍夫变换的实现方法

图像处理中的二值边缘图，一般是处理离散数据，则根据霍夫变换可按下列步骤实现直线检测：

（1）参数空间量化成m*n（m为的等分数，n为的等分数）个单元，并设置累加器矩阵；

（2）给参数空间中的每个单元分配一个累加器，并把累加器的初始值置为0；

（3）取出直角坐标系中的点

带入式，并以量化的值计算出；

（4）在参数空间中，找到和所对应的单元，并将该单元的累加器加1，即

（5）当直角坐标系中的点都经过（3）（4）两步遍历后，检测参数空间中每个累加

器的值，累加器最大的单元所对应的和即为直角坐标系中直线方程式的参数。

由上述霍夫变换过程可知，如果参数空间中的和量化过粗，则参数空间中的

凝聚效果较差，找不出直线的准确参数和；反之，和量化过细，那么计算

量将增大。

另外，当直角坐标系中的点分布在R条直线附近时，可在第5步检测累加器时，

取出累加器中前R个值最大的单元所对应的和，以和为直角坐标系中直

线方程式的参数，即可同时实现多条直线的拟合。

4.霍夫变换与最小二乘法相结合的直线拟合方法

假设采集到的数据为，s为数据集中的数据点数，M中改的数据点分布在R调直线附近，根据实验目的要求给定误差阈值为d k。

（1）霍夫变换。将式改写成

根据式，对M作霍夫变换，可得拟合直线的参数。

（2）找出拟合直线附近的点集。将式表示的法线式直线方程改写成斜截式

其中

计算M中的点到由式确定的直线的距离

如果

则

为符合误差阈值要求的第k条霍夫变换直线附近的点集。

（3）以点集为拟合数据，分别拟合各直线，可得直线方程式的参数。

以和为端点，可确定各直线段的区间，

即

5.简单实现

编程环境：Windows7+Qt5+OpenCV2.4.3

实验测得数据：

X坐标36 48 63 72 84 97 108 120 143

Y坐标78 88 101 109 119 130 140 150 170

原图像经过二值化处理的图像检测结果

6.参考文献

曾接贤, et al. "霍夫变换与最小二乘法相结合的直线拟合." 南昌航空工业学院学报(自然科学版) 4 (2003).

Hough, Paul VC. "Method and means for recognizing complex patterns." U.S. Patent No. 3,069,654.

18 Dec. 1962.