【数学】2.3.2 平面与平面垂直的判定课件(人教A版必修2)1
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课件《平面与平面垂直的判定》
A
AD⊥BC AD⊥BD
AD⊥面BCD
B C
D
２．如图，正方形中，Ｅ，Ｆ分别是，的中点，Ｄ是 ＥＦ的中点，现在沿ＳＥ，ＳＦ及ＥＦ把这个正方形 折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为Ｇ， 则在四面体中必有（ A ） (Ａ)ＳＧ⊥ＥＦＧ所在平面. (Ｂ)ＳＤ⊥ＥＦＧ所在平面. (Ｃ)ＧＦ⊥ＳＥＦ所在平面. (Ｄ)ＧＤ⊥ＳＥＦ所在平面.
例3：AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面， C是圆周上不同于A, B的任意一点， 求证：平面PCA 平面PBC。
p
C
A
O
B
证明: 设已知⊙O所在平面为α PA 面 , BC 面 PA BC 又 AB为圆的直径
AC BC PA BC AC BC PA AC A PA 面PAC AC 面PAC BC 面PAC 面PAC BC 面PBC
课本P73习题2.3 1、2、3、4、6
织女湖
发射人造地球卫星时，根据需要，使卫星轨道平面 与地球赤道平面成一定的角度。
如何从数学的观点认识这些现象？
思考1:直线上的一点将直线分割成两部分， 每一部分叫什么？ 平面上的一条直线将平 面分割成两部分，每一部分叫什么名称？
射线 射线
半平面
半平面
“从一 点出发的两条射线所组成的图形 叫做角”，按照这种定义方式，你认
空间中两平面的位置关系有几种？
12月25日，搭载印度新型通信卫星GSAT-5P的 运载火箭发射升空后不久爆炸。
人教A版《普通高中新课程标准实验教科书·数学》必修2
§2.3.2 平面与平面垂直的判定
欢迎各位领导老师光临指导
制作: 石玉台
修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水 坝面与水平面成适当的角度.
AD⊥BC AD⊥BD
AD⊥面BCD
B C
D
２．如图，正方形中，Ｅ，Ｆ分别是，的中点，Ｄ是 ＥＦ的中点，现在沿ＳＥ，ＳＦ及ＥＦ把这个正方形 折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为Ｇ， 则在四面体中必有（ A ） (Ａ)ＳＧ⊥ＥＦＧ所在平面. (Ｂ)ＳＤ⊥ＥＦＧ所在平面. (Ｃ)ＧＦ⊥ＳＥＦ所在平面. (Ｄ)ＧＤ⊥ＳＥＦ所在平面.
例3：AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面， C是圆周上不同于A, B的任意一点， 求证：平面PCA 平面PBC。
p
C
A
O
B
证明: 设已知⊙O所在平面为α PA 面 , BC 面 PA BC 又 AB为圆的直径
AC BC PA BC AC BC PA AC A PA 面PAC AC 面PAC BC 面PAC 面PAC BC 面PBC
课本P73习题2.3 1、2、3、4、6
织女湖
发射人造地球卫星时，根据需要，使卫星轨道平面 与地球赤道平面成一定的角度。
如何从数学的观点认识这些现象？
思考1:直线上的一点将直线分割成两部分， 每一部分叫什么？ 平面上的一条直线将平 面分割成两部分，每一部分叫什么名称？
射线 射线
半平面
半平面
“从一 点出发的两条射线所组成的图形 叫做角”，按照这种定义方式，你认
空间中两平面的位置关系有几种？
12月25日，搭载印度新型通信卫星GSAT-5P的 运载火箭发射升空后不久爆炸。
人教A版《普通高中新课程标准实验教科书·数学》必修2
§2.3.2 平面与平面垂直的判定
欢迎各位领导老师光临指导
制作: 石玉台
修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水 坝面与水平面成适当的角度.
人教版高中数学必修2(A版) 2.3.2平面与平面垂直的判定 PPT课件
类似地，下面的这个二面角应该如何表示？
Q l
B P
二面角的表示
(1)二面角－AB－ (2)二面角P AB Q (3)二面角 l (4)二面角P l Q
A
三.新知的探索 思考4：我们常说“把门开得大一些”，是指哪个角
大一些？
三.新知的探索
在上述变化过程中，图形在变化，形成的二面角也在变化， 我们应该怎样刻画二面角的大小？
2.3.2平面与平面垂直的判定
一.复习与回顾
1.1如何作出两条异面直线的夹角？ 1.2如何作出斜线与平面的夹角？ “空间问题平面化” 1.3在研究上述两个问题时，我们采用了相同的方法，即将 空间角的问题转化为平面角进行处理.
P
a
a
O
a
b/
A
B
b
二.新知的引入
三.新知的探索
我们知道直线上的一点将直线分割成两部分， 每一部分分别叫射线. 那么平面上的一条直线将整个平面一分为二， 每一部分应该叫做什么呢？
（2）角的两边分别在两个面内
（3）角的两边都要垂直于二面角的棱
三.新知的探索 观察：
1.教室相邻的两个墙面分别与地面所成的二面角是多少度？ 相邻的两个墙面所成的二面角又是多少度？
2.教室相邻的两个墙面分别与地面有什么样的位置关系？ 相邻的两个墙面又有什么位置关系呢？
三.新知的探索 3.4定义：
线线垂直
线面垂直
面面垂直
3.转化与化归思想：空间问题平面化处理 习题2.3 必做题A组 第1题、第2题 选做题B组 第1题
P
PA BC PA AC A
BC AC
《面面垂直的判定》人教版高中数学必修二PPT课件(第2.3.2课时)
新知探究
2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线,在空间任选一点O,分别引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成 的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角。 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这外,如何判定两个平面互相垂直呢? (2)日常生活中平面与平面垂直的例子? 为什么教室的门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？
新知探究
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 已知：AB⊥β，AB∩β=B，AB α
∪ ∪
∪
求证：α⊥β.
α
A
C
B
D
人教版高中数学必修二
第2章 关系 点、直线、平面之间的位置关系
感谢你的凝听
MENTAL HEALTH COUNSELING PPT
讲授人： 时间：20XX.6.1
A
新知探究
练习： 指出下列各图中的二面角的平面角：
A, B l
AC
BD
AC⊥l BD ⊥l
Bl
C
D
AO
二面角 --l--
D’
C’
A
A’ D
A
B’ O
CB B
D
O
E
C
二面角B--B’C--A
二面角A--BC-D
新知探究
二面角的计算： 1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角 3、说明此角即为所求二面角的平面角 4、 求出此角的大小 5、回答此角的大小
高中数学 2.3.2平面与平面垂直的判定课件 新人教A版必修2
Q T
a
18
证明：法一：取 CD 的中点 E，连接 NE，ME，MC、PM. PA⊥平面 ABCD⇒PA⊥AD，
∠PDA＝45°⇒PA＝AD＝BC， 又 M 是 AB 的中点，
Rt△PAM≌Rt△NC是BMPC⇒的M中P＝点MC⇒MN⊥PC.
PA⊥CD AD⊥CD ⇒CD⊥平面 PAD⇒ PA∩AD＝A
C
在平面α内过B点作直线BE⊥CD，则 ∠ABE就是二面角α-CD-β的平面角，
α
B E
D
∵AB⊥ α ，BE α ，
∴AB⊥BE. ∴二面角α-CD-β是直二面角，∴α⊥β.
a
13
平面与平面垂直的判定
证一证
例2.如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平
面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点.
D1 A1
C1 D1 B1 A1
C1 B1
D A
D
C
B
A
a
O
C B
9
平面与平面垂直的判定
找一找
例1. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，找出下列二面角的平面角：
（1） 二面角 A1-DC-1 B
你能求其余弦值吗？
D1
C1
C1
A1
E B1 A1
D A
CD B
a
B 10
平面与平面垂直的判定
找一找
例1. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，找出下列二面角的平面角： （2） 二面角 A1-AB-D 和 D1-BD-C的大小？
D1 A1
C1 D1 B1 A1
o1
C1
B1
D A
C
D
B aA
【数学】2.3.2 平面与平面垂直的判定课件(人教A版必修2)1
观察1：为了解决实际问题，人们需要研 究两个平面所成的角。 请同学们观察下 面的水坝，水坝在修建的时候，为了坚固 耐用，水坝的坡面与水平面要成一个适当 的角度，这个角就是两个面所成的角。 观察2：当我们把教 室的门打开到一定位 置，门所在的面与墙 所在的面也形成一个 角。 我们把类似这样的角成为二面角.
P
Ｃ
B
A
O
分析：要证平面PAC 平面PBC， 即证平面PBC经过平面PAC的一条 垂线
即证BC 平面PBC.
例3
证明: 设已知⊙O平面为α PA 面 , BC 面
PA BC 又 AB为圆的直径 AC BC PA BC AC BC PA AC A PA 面PAC
l
门框AB与地 面垂直, 门与地面垂直吗？
平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面互相垂直
l α 符号表示： αβ l β
E B
C D
l
A
线线 垂直
线面 垂直
面面 垂直
例题：如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O 所在的平面，Ｃ是圆周上不同于A，B的任意一 点，求证：平面PAＣ⊥平面PBＣ
几个重要概念：
半平面
定义：从一条直线出发
l
P α β
棱
的两个半平面所组成的 图形叫做二面角
记为：二面角α-l-β
Q
简记：P-l-Q
面
二面角的平面角
A
/
• ∠AOB即为二面角α-l-β的
α
O
A
O/
l
B/
平面角
β
B
说明: 1.平面角的大小与棱上点的选取无关 2. 平面角的两边分别在二面角的两个面内，分别 垂直于二面角的棱。
人教A版必修二高一数学《2.3.2面面垂直的判定》课件
线线垂直
线面垂直
面面垂直
例2：如图，AB是⊙O的直径，PA垂直⊙O所在 的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC. P
证明：设⊙O所在的平面为，由已知
PA BC PA BC
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°即BC⊥AC
A
C
·O
B
又PA AC A PA 平面PAC AC 平面PAC BC 平面PAC
∪
√
二、填空题： 1.过平面α的一条垂线可作__无__数_个平面与平面α垂直.
2.过一点可作_无__数__个平面与已知平面垂直.
3.过平面α的一条斜线，可作___1_个平面与平面α垂
直.
4.过平面α的一条平行线可作___1_个平面与α垂直.
3、已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平 面互相垂直，为什么？
一、两个平面垂直的定义
[情境［问探题索]研究］ （1）竖电1．线平杆面时与，平电面线垂杆直所的在定的义直线与地面应满足怎样的位置呢？
（2）如为果了两让个一平面墙所砌成得的稳二固面，角不是易直倒角塌（，即墙成面直所二在面的角平）面，与就 地面说又这应两该个满平足面怎互样相的垂位直置．关系呢？
容易2得．出两结个论平：面电垂线直杆的与判地定面定应理该垂直，否则容易倾倒；如果 墙面发生提倾出斜问，题墙：就如容果易你倒是塌一，个所质以检砌员墙，时你，怎不样能去让检墙测面、倾判斜断．建
三、二面其角逆12、、定的找证理到明平作1或出中面作来的出角角二就：面是角所的求3它小平、的的来面二角平度角面面量角角的的大大小用
二二面面四角角C、－－二AABB－－面D角3、的计算平所面求的角角的作法：
【数学】2.3.2-2《平面与平面垂直的判定》课件(新人教版A必修2).pptx
观察: 教室里的墙面所在平面与地面所在平 面相交,它们所成的二面角及其度数.
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面 角，就说这两个平面互相垂直。
两个平面互相垂直的画法及其表示: 两个平面互相垂直通过画成：直立平面的竖边画 成与水平平面的横边垂直。平面α与β垂直，记 作：α⊥β。
思考4:根据上述分析，可以得到两 个平面互相垂直的判定定理，用文 字语言如何表述这个定理？
探究：你还能发现哪些面互
相垂直？
例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面
为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，M
为AB的中点，求证：平面PMC⊥平面
PCD.
P
F
E
D
C
A
M
B
例3 在四面体ABCD中，已知AC⊥BD， BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°， 求证：平面ABC⊥平面ACD.
D
C
B
求证：α⊥β． 证明：设a∩β=CD，则B∈CD． α A
∴AB⊥CD．
C
B
D
β
E
在平面β内过点B作直线BE⊥CD，
则∠ABE是二面角α-CD-β的平
面角，又AB⊥BE，即二面角α-
CD-β是直二面角．
∴α⊥β．
特别注意：两个平面垂直的判定定理，不 仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且 是找出垂直于一个平面的另一个平面的依 据．如：建筑工人在砌墙时，常用一端系 有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平 面垂直，实际上，就是依据这个原理．另 外，这个定理说明要证明面面垂直，实质 上是转化为线面垂直来证明．
PAC⊥平面PBC
P
证明：设⊙O所在平面为α，
由已知条件，有
PA⊥α，BC在α内，
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面 角，就说这两个平面互相垂直。
两个平面互相垂直的画法及其表示: 两个平面互相垂直通过画成：直立平面的竖边画 成与水平平面的横边垂直。平面α与β垂直，记 作：α⊥β。
思考4:根据上述分析，可以得到两 个平面互相垂直的判定定理，用文 字语言如何表述这个定理？
探究：你还能发现哪些面互
相垂直？
例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面
为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，M
为AB的中点，求证：平面PMC⊥平面
PCD.
P
F
E
D
C
A
M
B
例3 在四面体ABCD中，已知AC⊥BD， BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°， 求证：平面ABC⊥平面ACD.
D
C
B
求证：α⊥β． 证明：设a∩β=CD，则B∈CD． α A
∴AB⊥CD．
C
B
D
β
E
在平面β内过点B作直线BE⊥CD，
则∠ABE是二面角α-CD-β的平
面角，又AB⊥BE，即二面角α-
CD-β是直二面角．
∴α⊥β．
特别注意：两个平面垂直的判定定理，不 仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且 是找出垂直于一个平面的另一个平面的依 据．如：建筑工人在砌墙时，常用一端系 有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平 面垂直，实际上，就是依据这个原理．另 外，这个定理说明要证明面面垂直，实质 上是转化为线面垂直来证明．
PAC⊥平面PBC
P
证明：设⊙O所在平面为α，
由已知条件，有
PA⊥α，BC在α内，
人教A版高中数学必修二课件2.3.2平面与平面垂直的判定(共34张PPT)
题型二
例2 SBC.
面面垂直的判定与证明
如图所示，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝
∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面
【证明】
法一：(利用定义证明)
∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC， ∴△ASB和△ASC是等边三角形， 则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC， 令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形． 取BC的中点D，如图所示，
【解析】
对于①，混淆了平面与半平面的概念，是错
误的；对于②，由于a，b分别垂直于两个平面，所以也 垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或
直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对于③，因为
从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角与该二 面角的平面角比较；大小不确定，所以是错误的． 【答案】 加以区别． B 结合定义对二面角及二面角的平面角要 【名师点评】
跟踪训练
1．自二面角棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β
的平面角，则必须具有条件( A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂β )
B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β D．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β 解析：选D.根据二面角的相关概念进行分析判断．在棱 的同一点分别在两个半平面作棱的垂线．
何求三棱锥S－ABC的体积呢？
解：由法一或法二可得 SD⊥ AD. 又∵ SD⊥ BC， AD∩ BC＝ D， ∴ SD⊥平面 ABC，即 SD 的长就是顶点 S 到底面 ABC 的距离． 1 1 ∵ S△ ABC＝ × BC× AD＝ × 2 2× 2＝ 2，SD＝ 2， 2 2 1 2 2 ∴ VS－ ABC＝ × S△ ABC×SD＝ . 3 3
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l
门框AB与地 面垂直, 门与地面垂直吗？
平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面互相垂直
l α 符号表示： αβ l β
E B
C D
l
A
线线 垂直
线面 垂直
面面 垂直
例题：如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O 所在的平面，Ｃ是圆周上不同于A，B的任意一 点，求证：平面PAＣ⊥平面PBＣ
观察1：为了解决实际问题，人们需要研 究两个平面所成的角。 请同学们观察下 面的水坝，水坝在修建的时候，为了坚固 耐用，水坝的坡面与水平面要成一个适当 的角度，这个角就是两个面所成的角。 观察2：当我们把教 室的门打开到一定位 置，门所在的面与墙 所在的面也形成一个 角。 我们把类似这样的角成为二面角.
P
Ｃ
B
A
O
分析：要证平面PAC 平面PBC， 即证平面PBC经过平面PAC的一条 垂线
即证BC 平面PBC.
例3
证明: 设已知⊙O平面为α PA 面 , BC 面 PA BC 又 AB为圆的直径 AC BC
PA BC AC BC PA AC A PA 面PAC AC 面PAC BC 面PAC BC 面PBC
复习与回顾
直线与平面垂直的判定定理： 一条直线与 一个平面内的两条相交 直 线都垂直 , 则这条直线与此平面垂直.
P
l
a b
符号语言: a b a b P la lb
l
P
A
O
直线和这个平面所成的角. 平面的一条斜线PA和它在平面的射影AO所成的锐角 PAO, 叫做这条直线和这个平面所成的角. （ 0， 0） . 0 90 注 : 1.斜线l与所成的角的范围为__________ 2.任意直线l与所成的角的范围为 ________. [00， 0 ] 90
记作α⊥β
图形表示 β α
平面与平面垂直的画法：
注意把直立平面 的竖边 画成与水平平面的横边 互相垂直.
(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂直呢? (2)日常生活中平面与平面垂直的例子?
两个平面互相垂直的判断 探究思考： 取一支铅笔与桌面垂直, 拿一张纸 紧贴铅笔, 与桌面相交，观察纸与 桌面的位置关系，并做出猜想.
面PAC 面PBC
探究1：
如图为正方体,问正方体中哪些表面与 面A1B 垂直?
D1 A1 B1 C1
面A1B 面A1C1 面A1B 面AD1
D A B
C
面A1B 面BC1
面A1B 面AC
探究2： 已知AB 面BCD, BC CD
请问哪些平面是互相垂直的,为什么?
3.二面角的范围：
4.直二角
[0 ， ] 180
0 0
寻找平面角
D1 B1 C1 A1
S
N M D C
A
A
B
B
D
中点
C
端点
寻找平面角
D1 B1 C1 A1
N M D C
E
A
G
F
B
中点Biblioteka 面面垂直的定义： 一般地，两个平面相交，
β a b α A
如果它们所成的二面角是直 二面角，就说这两个平面互 相垂直.
AB 面BCD 面ABC 面BCD AB 面BCD 面ABD 面BCD CD 面ABC 面ABC 面ACD
B D A
C
课堂练习： 1、判断： 1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β 内的一条直线，则α⊥β.（ ） × 2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β 内的两条直线，则α⊥β.（ ） ×
S G3 F D G1 E G
学完一节课或一个内容， 应当及时小结，梳理知识
1、二面角，二面角的平面角的定义 2，平面与平面垂直的定义及判定 3、证明面面垂直的方法： （1）证明二面角为直角 （2）用面面垂直的判定定理 4、线线垂直 线面垂直 面面垂直
3
. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内 √ 的两条相交直线, 则α⊥β.（ ） 4.若m⊥α，m β，则α⊥β.( ) √
∪
2.如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2， G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及 EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2， G3三点重合，重合后记为G- SEF，则四面体 S—EFG中必有( A ) (A)SG⊥△EFG所在平面 (B) SD⊥△EFG所在平面 (C) GF⊥△SEF所在平面 (D)GD⊥△SEF所在平面
几个重要概念：
半平面
定义：从一条直线出发
l
P α β
棱
的两个半平面所组成的 图形叫做二面角
记为：二面角α-l-β
Q
简记：P-l-Q
面
二面角的平面角
A
/
• ∠AOB即为二面角α-l-β的
α
O
A
O/
l
B/
平面角
β
B
说明: 1.平面角的大小与棱上点的选取无关 2. 平面角的两边分别在二面角的两个面内，分别 垂直于二面角的棱。