中南大学算法实验报告

中南大学算法分析与设计实验报告学生姓名涂茂麟学号专业班级计算机科学与技术1303指导老师学院信息科学与工程学院目录实验一 DFS与BFS 3实验二最近点对问题 7实验三拓扑排序 10实验四 N皇后问题 12实验五 0-1背包问题 16实验六最短路径 20实验一 DFS与BFS实验目的：实现深度优先算法、宽度优先算法实现原理：深度优先搜索：从图中某顶点v出发：（1）访问顶点v；（2）依次从v的未被访问的邻接点出发，对图进行深度优先遍历；直至图中和v有路径相通的顶点都被访问；（3）若此时图中尚有顶点未被访问，则从一个未被访问的顶点出发，重新进行深度优先遍历，直到图中所有顶点均被访问过为止。

广度优先搜索：已知图G=(V,E)和一个源顶点s，宽度优先搜索以一种系统的方式探寻G的边，从而“发现”s所能到达的所有顶点，并计算s到所有这些顶点的距离(最少边数)，该算法同时能生成一棵根为s且包括所有可达顶点的宽度优先树。

对从s 可达的任意顶点v，宽度优先树中从s到v的路径对应于图G中从s到v的最短路径，即包含最小边数的路径。

该算法对有向图和无向图同样适用。

具体设计：1. 数据结构采用邻接链表作为图的数据结构。

public class Graph {//图public VNode[] arrVnode=new VNode[100] ;//头结点数组public int vexmun,arcmun;//节点总数、边界总数public int time;//记录打开、关闭节点的时间}public class VNode {//节点类public int data;//节点的内容public boolean visited=false;//是否访问过public boolean ifclosed=false;//是否被放在关闭的表中public int distance=10000;//距离某一点的最短距离public int front=10000;//前驱节点public ArcNode nextarc=null;//下一条边public int entertime,exittime;//打开、关闭节点的时间}public class ArcNode{//边类public int adjvex;//该弧所指向的顶点的位置public int weight=0;//该边的权值public ArcNode nextarc=null;//下一条边}2. DFSpublic void DFS(Graph G){//DFS的起始调用方法int vexmun=G.vexmun;G.time=0;for(int v=1;v<=vexmun;v++){if(G.arrVnode[v].visited==false){DFS_VISIT(G,v);}}}public void DFS_VISIT(Graph G,int v){//应用递归的DFS访问G.arrVnode[v].visited=true;G.time++;//time是给后面的拓扑排序实验用的G.arrVnode[v].entertime=G.time;System.out.println(G.arrVnode[v].data);ArcNode node=G.arrVnode[v].nextarc;while(node!=null){int p=node.adjvex;if(G.arrVnode[p].visited==false&&G.arrVnode[p]!=null){ DFS_VISIT( G , p);}node=node.nextarc;}G.time++;G.arrVnode[v].exittime=G.time;}3. BFSpublic void BFS(Queue Queue , Graph G ,int v){if(visited[v]==false){visited[v]=true;System.out.print(G.arrVnode[v].data);System.out.print(" "); ArcNode node =G.arrVnode[v].nextarc;// QueueFunction.EnQueue(Queue, v);// while(Queue!=null){while(node!=null){if(visited[node.adjvex]==false&&queueed[node.adjvex]==false){ QueueFunction.EnQueue(Queue, node.adjvex);queueed[node.adjvex]=true;}node=node.nextarc;}BFS(Queue,G,QueueFunction.DeQueue(Queue));}}实验结果：数据说明：5个节点，10条边，每行数字分别是起始节点、终止节点、权值。

实验总结：DFS与BFS较为简单，是图论的基础。

在以后的实验中，不管是动态规划、贪心算法、回溯法都会以DFS或BFS为基础，应当是我们每个人都要掌握的。

实验二最近点对问题实验目的：运用分治算法，解决最近点对问题。

实现原理：使用分治法解决最近点对问题就是将集合S分成两个子集是S1和S2,每个子集中有N/2个点。

然后再每个子集中递归的求其最接近的点对，求出每个子集的最接近点对后，如果集合S中最接近的点对都在两个子集中，问题解决。

当两个点分别在两个子集中时，则最近点对为S1和S2的最接近点。

其时间复杂度为O(nlogn)。

具体设计：1. 排序第一步是将所有从文件获取的点按照X轴升序排列，若X坐标相同则按Y轴坐标由小到大排列。

// 按照X轴坐标升序排序Arrays.sort(point, new Comparator<Neighborpoint>() {public int compare(Neighborpoint o1, Neighborpoint o2) {if (o1.x < o2.x)return -1;if (o1.x > o2.x)return 1;if (o1.y < o2.y)return -1;if (o1.y > o2.y)return 1;return 0;}});2. 分治法求最近点对public static double Close_pair(Neighborpoint[] point,int left, int right){double d = 1e20;if(right == left)//同一点，返回很大值return d;if(left+1 == right)return distance(left,right);int mid =(left+right)>>1;//除以2double d1 = Close_pair(point,left,mid); double d2 = Close_pair(point,mid+1,right);d = min(d1,d2);int i,j,k=0;tmpt = new int[10000];//分离d区域for(i=left;i<=right;i++){if(Math.abs(point[mid].x-point[i].x) < d) tmpt[k++] = i;}实验结果：数据文件：点的显示：结果显示：实验总结：按照分治法，可以很方便的解决这个问题。

虽然心里还是很排斥递归，但是真正用到的话还是比较简洁的。

另外最开始做这个实验的时候，还不太熟悉比较器，本来是可以直接把点记录下来的，但当时是将点的值存入到数组以后再排序的，所以没能很方便的读出最近点的坐标，这个有时间再进行改进。

实验三拓扑排序实验目的：实现一个拓扑排序实现原理：由AOV网构造拓扑序列的拓扑排序算法主要是循环执行以下两步，直到不存在入度为0的顶点为止。

(1) 选择一个入度为0的顶点并输出之；(2) 从网中删除此顶点及所有出边。

循环结束后，若输出的顶点数小于网中的顶点数，则输出“有回路”信息，否则输出的顶点序列就是一种拓扑序列。

具体设计：1. 数据结构与DFS拓扑排序基本上和DFS没什么区别，它的本质其实就是DFS关闭节点的倒序输出。

所以在数据结构上，和第一个实验用的是相同的数据结构来保存图。

public int time;//记录打开、关闭节点的时间public int entertime,exittime;//打开、关闭节点的时间值得注意的是，以上两个变量，是用来实现拓扑排序的关键部分。

2. 拓扑排序的实现public void Toposortmethod(Graph G){MaxPQ<VNode> pq1= new MaxPQ<VNode>(new Comparator<VNode>() { public int compare(VNode o1, VNode o2) {if (o1.exittime < o2.exittime) return -1;else if (o1.exittime == o2.exittime) return 0;else return 1;}});GrahpFuntion.DFS1(G);for(int i=1;i<=G.vexmun;i++){pq1.insert(G.arrVnode[i]);}System.out.println("拓扑排序顺序:");VNode Vnode;for(int i=1;i<=G.vexmun;i++){ Vnode=pq1.delMax();System.out.println(Vnode.data); }}实验结果：数据文件：结果显示：上面那个是因为调用了DFS而产生的DFS输出结果实验总结：由于有了之前的铺垫，所以拓扑排序相对来说比较简单，我只是在图的设计类中添加了一个时间变量，而在节点的打开、关闭的过程中增加了时间。

拓扑排序是计算机网络的基础，在很多地方都有体现，值得我们注意。

实验四 N皇后问题实验目的：应用回溯法解决N皇后问题实现原理：（1）针对所给问题，定义问题的解空间；（2）确定易于搜索的解空间结构；（3）以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

首先找出解空间：给棋盘的行和列都编上1到N的号码，皇后也给编上1到N的号码。

由于一个皇后应在不同的行上，为不失一般性，可以假定第i个皇后将放在第i行上的某列。