2018-2019学年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高一(下)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.化简：--=（）A. B. C. D.2.等差数列{a n}前n项的和为S n，若a4+a6=12，则S9的值是（）A. 36B. 48C. 54D. 643.向量=（-4，5），=（λ，1），若（-）∥，则λ的值是（）A. B. C. D.4.已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x），则（）A. 是奇函数B. 是奇函数C. 是偶函数D. 是偶函数5.函数f（x）=log3（x2-2x）的单调递增区间是（）A. B. C. D.6.函数y=tan（x+）的定义域是（）A. B.C. D.7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为S=sin A sin B sin C，则△ABC外接圆半径的大小是（）A. B. C. 1 D. 28.将函数y=sin2x的图象经过何种变换可得到y=sin x cosx+的图象（）A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度9.已知，是两个单位向量，与，共面的向量满足-（）•+=0，则||的最大值为（）A. B. 2 C. D. 110.如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为75°的扇形，点A，B，C分别是半径OP，OQ及扇形弧上的三个动点（不同于O，P，Q三点）．则△ABC周长的最小值是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知数列{a n}的首项a1=1，a n+1=（n=1，2，3，…），则a4=______，猜想其通项公式是a n=______．12.设函数f（x）=，则f（f（））=______，若f（a）=-27，则a=______．13.已知正方形ABCD的边长为2，点M，N分别是边BC，CD的中点，若=x+y，则xy=______，•=______．14.如图，在△ABC中，∠C=90°，内角A的平分线AD的长为7，且sin B=，则cos∠CAD=______．AB的长是______．15.已知向量，的夹角为，=（-3，4），=-10，则的模长是______．16.实数x，y满足2x+cos2y=1，则x+cos y的取值范围是______．17.数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a i[0，4]，1≤i≤2019，设函数f（x）=3sin（x-），若f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2019）=0，则a1+a2+a3+…+a2019=______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知，且α为第二象限角．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．19.已知向量，，，，ω＞0，设函数，且f（x）的最小正周期是π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间．20.设函数f（x）=4x-2a+x-a，a R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）＞30；（Ⅱ）当x（-1，1）时，f（x）存在最小值-2，求a的值．21.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=7，且a7+4是S1与S5的等差中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足，求{b n}的前n项和T n．22.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）记z=，求z的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：．故选：A．可知，，从而得出．考查向量数乘和加法的几何意义，向量加法的运算．2.【答案】C【解析】解：由等差数列{a n}的性质可得：a4+a6=12=a1+a9，则S9==9×=54．故选：C．由等差数列{a n}的性质可得：a4+a6=12=a1+a9，再利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.【答案】C【解析】解：向量=（-4，5），=（λ，1），则-=（-4-λ，4），又（-）∥，所以-4-λ-4λ=0，解得λ=-．故选：C．由平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值．本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理应用问题，是基础题．4.【答案】D【解析】解：A．若f（x）=x，g（x）=2，满足条件，则f（x）+g（x）不是奇函数，故A错误，B．|f（-x）|g（-x）=|-f（x）|g（x）=|f（x）|g（x）是偶函数，故B错误，C．f（-x）•g（x）=-f（x）•g（x），则函数是奇函数，故C错误，D．f（|-x|）•g（-x）=f（|x|）•g（x），则f（|x|）•g（x）是偶函数，故D正确故选：D．根据函数奇偶性的定义和性质进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性的判断，结合函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键．5.【答案】B【解析】解：函数y=log3（x2-2x）的定义域为（-∞，0）∪（2，+∞），令t=x2-2x，则y=log3t，∵y=log3t为增函数，t=x2-2x在（-∞，0）上为减函数，在（2，+∞）为增函数，∴函数y=log3（x2-2x）的单调递增区间为（2，+∞），故选：B．先求出函数的定义域，然后将复合函数分解为内、外函数，分别讨论内外函数的单调性，进而根据复合函数单调性“同增异减”的原则，得到函数y=log3（x2-2x）的单调递增区间本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调性，其中复合函数单调性“同增异减”是解答本题的关键．6.【答案】A【解析】解：令x+（k Z），解得：x（k Z），故函数的定义域为{x|x，k Z}故选：A．直接利用整体思想求出函数的定义域．本题考查的知识要点：正切函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7.【答案】B【解析】解：△ABC中，面积为S=sinAsinBsinC，即absinC=sinAsinBsinC，∴ab=sinAsinB；∴=；由正弦定理得=，∴=；设=t，则t＞0，∴t=，解得t=1；设△ABC外接圆半径为R，则2R=1，解得R=．故选：B．由三角形的面积公式得出ab=sinAsinB，再由正弦定理得出=，设=t，得出t=，求得t的值，即可得出△ABC外接圆半径R的值．本题考查了三角形的面积公式和正弦定理的应用问题，是基础题．8.【答案】D【解析】解：∵函数y=sin2x==-cos2x+=sin（2x-）+，函数y=sinxcosx+=sin2x+，故将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度可得函数y=sinxcosx+= sin2x+的图象，故选：D．利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由-（）•+=0得：（）•（-）=0，即（）⊥（-），设=，=，=，则=，-=，则点C在以AB为直径的圆O周上运动，由图知：当DC⊥AB时，|DC|≥|DC′|，设∠ADC=θ，则|DC|=|DO|+|AO|=sinθ+cosθ=sin（），所以当时，|DC|取最大值，故选：C．由平面向量数量积的性质及其运算得：由-（）•+=0得：（）•（-）=0，即（）⊥（-），设=，=，=，则=，-=，则点C在以AB为直径的圆O周上运动，由图知：当DC⊥AB时，|DC|≥|DC′|，由三角函数求最值问题得：设∠ADC=θ，则|DC|=|DO|+|AO|=sinθ+cosθ=sin（），所以当时，|DC|取最大值，得解．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及三角函数求最值问题，属中档题．10.【答案】B【解析】解：作点C关于线段OQ，OP的对称点C1，C2．连接CC1，CC2．则C△ABC=C1B+BA+AC2≥C1C2．又∵C1C2=而∠C1OC2=∠C1OQ+∠QOC+∠COP+∠POC2=2（∠QOC+∠POC）=2∠QOP=150°∴==．∴△ABC的周长的最小值为．故选：B．先根据对称性将边BC，边AC转移，再根据三角形三边在一直线时周长最小的思路即可解答．本题主要考查数形结合，余弦定理的运用，解题关键是：三边转成一线时三角形周长最小．11.【答案】【解析】解：数列{a n}的首项a1=1，a n+1=（n=1，2，3，…），∴a2==，同理可得：a3=，a4=．猜想其通项公式是a n=．故答案为：，．数列{a n}的首项a1=1，a n+1=（n=1，2，3，…），代入a2==，同理可得：a3，a4．即可猜想其通项公式是a n．本题考查了数列递推关系、通项公式、猜想能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】-3【解析】解：根据题意，函数f（x）=，则f（）=log2=，则f（f（））=f（）=（）3=，对于f（a）=-27，当a＜1时，f（a）=a3=-27，解可得a=-3，符合题意，当a≥1时，f（a）=log2a=-27，解可得a=＜1，不符合题意；则a=-3；故答案为：，-3根据题意，由函数的解析式可得f（）=log2=，进而可得f（f（））=f （），计算可得答案；对于f（a）=-27，分a＜1与a≥1两种情况讨论，求出a的值，综合即可得答案．本题考查分段函数的应用，注意分段函数解析式的形式，属于基础题．13.【答案】-1【解析】解：由正方形ABCD的边长为2，点M，N分别是边BC，CD的中点，则==（），又因为=x+y，所以x=-，y=，所以xy=，=（）•（）=（）•（）=2--=-1，故答案为：-1．由平面向量的线性运算及平面向量的数量积运算得：由正方形ABCD的边长为2，点M，N分别是边BC，CD的中点，则==（），又因为=x+y，所以x=-，y=，所以xy=，=（）•（）=（）•（）=2--=-1，得解．本题考查了平面向量的线性运算及平面向量的数量积运算，属中档题．14.【答案】15【解析】解：∵∠C=90°，内角A的平分线AD的长为7，则sinB=sin（-A）=，∴cosA=，可得：2cos2-1=，解得：cos=，∴cos∠CAD=，∴cos∠DAB=，sin∠DAB==，又∵cosB==，∴sin∠ADB=sin（∠B+∠DAB）=sin∠Bcos∠DAB+cos∠Bsin∠DAB=+=，∴在△ADB中，由正弦定理，可得：，解得：AB=15．故答案为：，15．由已知利用诱导公式可求cosA=，利用角平分线的性质及二倍角的余弦函数公式可求cos∠CAD的值，利用同角三角函数基本关系式进而可求sin∠DAB，cosB的值，根据两角和的正弦函数公式可求sin∠ADB的值，在△ADB中，由正弦定理即可求得AB的值．本题主要考查了诱导公式，角平分线的性质及二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．15.【答案】【解析】解：由向量，的夹角为，=（-3，4），=-10，得=||||cos=-10，即||==2，故答案为：2．由平面向量模的运算及数量积的运算得：由向量，的夹角为，=（-3，4），=-10，得=||||cos=-10，即||==2，得解．本题考查了平面向量模的运算及数量积的运算，属中档题．16.【答案】，【解析】解：由2x+cos2y=1，得x=，则x+cosy==．∵cosy[-1，1]，∴当cosy=时，x+cosy有最大值为；当cosy=-1时，x+cosy有最小值-1．∴x+cosy的取值范围是[-1，]．故答案为：[-1，]．由条件可得x=，代入x+cosy化为关于cosy的二次函数，结合二次函数的对称轴和区间的关系，即可得到所求范围．本题考查余弦函数的值域和二次函数在闭区间上的最值求法，考查变形能力和运算能力，属于中档题．17.【答案】4038【解析】解：根据题意，f（x）=3sin（x-）=-3cos x，则函数f（x）是偶函数，且f（x）关于点（2，0）对称，则有f（x）+f（4-x）=0，又由a i[0，4]，1≤i≤2019且f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2019）=0，则a1+a2019=4，a2+a2018=4，……则a1+a2+a3+…+a2019==4038；故答案为：4038．根据题意，分析可得f（x）=3sin（x-）=-3cos x，进而可得f（x）关于点（2，0）对称，即f（x）+f（4-x）=0，据此分析可得a1+a2019=4，结合等差数列的前n项和公式分析可得答案．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】（本小题满分为14分）解：（Ⅰ）由已知，得，…………（2分）∴．…………（7分）（Ⅱ）∵，得，…………（10分）∴ ．…………（14分）注：先求，得类似给分，公式给出正确可酌情给分，结果计算错误扣（2分）．【解析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，利用诱导公式，二倍角公式即可计算得解；（Ⅱ）由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos2α的值，根据同角三角函数基本关系式可求tan2α的值，根据两角和的正切函数公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角公式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）向量，，，，ω＞0，设函数，所以：，=，所以：，ω=2．（Ⅱ）令：，解得，k Z，当k=0时，；当k=1时，，所以f（x）在[0，π]上的单调递增区间是，，，．【解析】（Ⅰ）首先利用向量的数量积求出函数的关系表达式，进一步把函数的关系式转换为正弦型函数，进一步确定结果．（Ⅱ）利用整体思想求出函数的单调区间．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．20.【答案】解：设2x=t（t＞0），则y=t2-2a t-a，…………（2分）（Ⅰ）当a=2时，f（x）＞30⇔t2-4t-32＞0，即t＜-4或t＞8，…………（5分）∵t＞0，∴2x＞8，即x＞3，∴不等式的解集是：{x|x＞3}．…………（7分）（Ⅱ）当x（-1，1）时，必有对称轴，，即0＜a＜2，…………（9分）最小值为，化简得4a=8-4a，即4a-1=2-a，…………（13分）分别作函数y=4x-1，y=2-x的图象，可知4a-1=2-a的解为a=1（0，2），∴a的值为1．…………（15分）【解析】设2x=t（t＞0），则y=t2-2a t-a．（Ⅰ）当a=2时，把f（x）＞30转化为t2-4t-32＞0，求解t的范围，进一步求解指数不等式可得原不等式的解集．（Ⅱ）当x（-1，1）时，必有对称轴，即0＜a＜2，由最小值为-2可得4a=8-4a，即4a-1=2-a，分别作函数y=4x-1，y=2-x的图象，数形结合得答案．本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由条件，得，即，，所以{a n}的通项公式是a n=2n+1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，（1）当n=2k-1（k=1，2，3，…）即n为奇数时，b n=-a n，b n+1=a n+1，；（2）当n=2k（k=1，2，3，…）：即n为偶数时，b n=a n，b n-1=-a n-1，；综上所述，．注：（Ⅰ）中前面计算正确，最后结果通项公式错误扣（2分）；（Ⅱ）中奇偶性讨论各（4分）．【解析】（Ⅰ）直接利用已知条件求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用分类讨论思想和数列的通过项公式求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分类讨论思想的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．22.【答案】解：（I）已知等式=，利用正弦定理化简得：=，即2sin A cos B-sin B cos C=cos B sin C，可得：2sin A cos B=sin B cos C+sin C cos B=sin（B+C）=sin A，∵sin A≠0，∴cos B=，∵B（0，π），∴B=．（II）∵B=，∴A+C=．∴（-，）．令cos=t（，1]．z====g（t），g′（t）==．可得t=时，g（t）取得极小值即最小值，g（）=．g（）=，g（1）=．∴z的取值范围时，．【解析】（I）已知等式利用正弦定理化简，整理后根据sinA不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数；（II）B=，可得A+C=.（-，）．令cos=t（，1]．z====g（t），利用导数研究其单调性即可得出范围．本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数的单调性、换元法、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2018-2019学年浙江“七彩阳光”新高考研究联盟高一下学期期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江“七彩阳光”新高考研究联盟高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．化简：AB DC CB --=（ ） A ．AD B ．AC C ．DA D ．DB【答案】A 【解析】【详解】AB DC CB AB BC CD AD --=++=.故选：A ． 【点睛】考查向量数乘和加法的几何意义，向量加法的运算．2．等差数列{}n a 前n 项的和为n S ，若1264=+a a ，则9S 的值是（ ） A ．36 B ．48C ．54D ．64【答案】C【解析】由等差数列{a n }的性质可得：a 4+a 6=12=a 1+a 9，再利用求和公式即可得出． 【详解】由等差数列{a n }的性质可得：a 4+a 6=12=a 1+a 9， 则S 9==9×=54． 故选：C ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3．向量，若，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值． 【详解】 向量=（-4，5），=（λ，1），则-=（-4-λ，4）， 又（-）∥，所以-4-λ-4λ=0， 解得λ=-． 故选：C ． 【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理应用问题，是基础题． 4．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x ，则（ ） A ．()()f x g x +是奇函数 B ．()()f x g x ⋅是奇函数 C ．()()f x g x ⋅是偶函数 D ．()()fx g x ⋅是偶函数【答案】D【解析】逐个选项去判断是否是奇函数或者偶函数。
【详解】A ．若f （x ）=x ，g （x ）=2，满足条件，则f （x ）+g （x ）不是奇函数，故A 错误，B ．|f （-x ）|g （-x ）=|-f （x ）|g （x ）=|f （x ）|g （x ）是偶函数，故B 错误，C ．f （-x ）•g （-x ）=-f （x ）•g （x ），则函数是奇函数，故C 错误，D ．f （|-x|）•g （-x ）=f （|x|）•g （x ），则f （|x|）•g （x ）是偶函数，故D 正确 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，结合函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键． 5．函数()25()log 2f x x x =-的单调递增区间是（ ） A ．()1,+∞ B ．()2,+∞ C ．(),1-∞ D ．(),0-∞【答案】B【解析】先求出函数的定义域，然后将复合函数分解为内、外函数，分别讨论内外函数的单调性，进而根据复合函数单调性“同增异减”的原则，得到函数y=log 3（x 2-2x ）的单调递增区间 【详解】函数y=log 5（x 2-2x ）的定义域为（-∞，0）∪（2，+∞）， 令t=x 2-2x ，则y=log 5t ，∵y=log 5t 为增函数，t=x 2-2x 在（-∞，0）上为减函数，在（2，+∞）为增函数， ∴函数y=log 5（x 2-2x ）的单调递增区间为（2，+∞）， 故选：B ． 【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调性，其中复合函数单调性“同增异减”是解答本题的关键． 6．函数的定义域是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用复合函数求定义域的方法求出函数的定义域． 【详解】令x+（k ∈Z ）， 解得：x（k ∈Z ），故函数的定义域为{x|x ，k ∈Z}故选：A ． 【点睛】本题考查的知识要点：正切函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为1sin sin sin 2S A B C =，则ABC ∆外接圆半径的大小是（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】B【解析】由三角形的面积公式得出ab=sinAsinB ，再由正弦定理得出=，设=t ，得出t=，求得t 的值，即可得出△ABC 外接圆半径R 的值．【详解】△ABC 中，面积为S=sinAsinBsinC ， 即absinC=sinAsinBsinC ， ∴ab=sinAsinB ； ∴=；由正弦定理得=，∴=；设=t ，则t ＞0，∴t=，解得t=1；设△ABC 外接圆半径为R ，则2R=1，解得R=． 故选：B ． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式和正弦定理的应用问题，是基础题． 8．将函数x y 2sin =的图象经过何种变换可得到1sin cos 2y x x =+的图象（ ） A ．向右平移2π个单位长度 B ．向左平移2π个单位长度 C ．向右平移4π个单位长度D ．向左平移4π个单位长度【答案】D【解析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用函数y=Asin （ωx+ϕ）的图象变换规律，得出结论． 【详解】∵函数y=sin 2x==-cos2x+=sin （2x-）+，函数y=sinxcosx+=sin2x+，故将函数y=sin 2x 的图象向左平移个单位长度可得函数y=sinxcosx+=sin2x+的图象， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin （ωx+ϕ）的图象变换规律，属于基础题．9．已知a ，b 是两个单位向量，与a ，b共面的向量c 满足2()0c a b c a b -+⋅+⋅=，则c的最大值为（）A．22B．2 C D．1【答案】C【解析】由平面向量数量积的性质及其运算得：由-（）•+=0得：（）•（-）=0，即（）⊥（-），设=，=，=，则=，-=，则点C在以AB为直径的圆O上运动，由图知：当DC⊥AB 时，|DC|≥|DC′|，由三角函数求最值问题得：设∠ADC=θ，则|DC|=|DO|+|AO|=sinθ+cosθ=sin（），所以当时，|DC|取最大值，得解．【详解】由-（）•+=0得：（）•（-）=0，即（）⊥（-），设=，=，=，则=，-=，则点C在以AB为直径的圆O上运动，由图知：当DC⊥AB时，|DC|≥|DC′|，设∠ADC=θ，则|DC|=|DO|+|AO|=sinθ+cosθ=sin（），所以当时，|DC|取最大值，故选：C．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及三角函数求最值问题，属中档题．10．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，点分别是半径及扇形弧上的三个动点（不同于三点）,则周长的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先根据对称性将边BC，边AC转移，再根据三角形三边在一直线时周长最小的思路即可解答．【详解】作点C关于线段OQ，OP的对称点C1，C2．连接CC1，CC2．则C△ABC=C1B+BA+AC2≥C1C2．又∵C1C2=而∠C1OC2=∠C1OQ+∠QOC+∠COP+∠POC2=2（∠QOC+∠POC）=2∠QOP=150°∴==．∴△ABC的周长的最小值为．故选：B．【点睛】本题主要考查数形结合，余弦定理的运用，解题关键是：三边转成一线时三角形周长最小．二、填空题11．已知数列{}n a 的首项111,(1,2,3,...)1n n na a a n a +===+，则4a =______；猜想其通项公式是n a =______． 【答案】14 1n【解析】数列{a n }的首项a 1=1，a n+1=（n=1，2，3，…），代入a 2==，同理可得：a 3，a 4．即可猜想其通项公式是a n ． 【详解】数列{a n }的首项a 1=1，a n+1=（n=1，2，3，…），∴a 2==，同理可得：a 3=，a 4=．猜想其通项公式是a n =．故答案为：，．【点睛】本题考查了数列递推关系、通项公式、猜想能力，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题． 12．设函数，则______，若，则______．【答案】【解析】根据题意，由函数的解析式可得f （）=log 2=，进而可得f （f （））=f （），计算可得答案；对于f （a ）=-27，分a ＜1与a≥1两种情况讨论，求出a 的值，综合即可得答案． 【详解】根据题意，函数f （x ）=，则f （）=log 2=，则f （f （））=f （）=（）3=，对于f（a）=-27，当a＜1时，f（a）=a3=-27，解可得a=-3，符合题意，当a≥1时，f（a）=log2a=-27，解可得a=＜1，不符合题意；则a=-3；故答案为：，-3【点睛】本题考查分段函数的应用，注意分段函数解析式的形式，属于基础题．13．已知正方形的边长为2，点分别是边的中点，则______；______．【答案】【解析】由平面向量的线性运算及平面向量的数量积运算得：由正方形ABCD的边长为2，点M，N分别是边BC，CD的中点，则==（），又因为=x+y，所以x=-，y=，所以xy=，=（）•（）=（）•（）=2--=-1，得解．【详解】由正方形ABCD的边长为2，点M，N分别是边BC，CD的中点，则==（），又因为=x+y，所以x=-，y=，所以xy=，=（）•（）=（）•（）=2--=-1，故答案为：,-1．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算及平面向量的数量积运算，属中档题．14．如图，在中，，内角的平分线的长为7，且，则_____；的长是______．【答案】15【解析】由已知利用诱导公式可求cos∠CAB=，利用角平分线的性质及二倍角的余弦函数公式可求cos∠CAD的值，利用同角三角函数基本关系式进而可求sin∠DAB，cosB的值，根据两角和的正弦函数公式可求sin∠ADB的值，在△ADB中，由正弦定理即可求得AB的值．【详解】∵∠C=90°，内角A的平分线AD的长为7，则sinB=sin（-A）=，∴cosA=，可得：2cos2-1=，解得：cos=，∴cos∠CAD=，∴cos∠DAB=，sin∠DAB==，又∵cosB==，∴sin∠ADB=sin（∠B+∠DAB）=sin∠Bcos∠DAB+cos∠Bsin∠DAB=+=，∴在△ADB中，由正弦定理，可得：，解得：AB=15．故答案为：，15．【点睛】本题主要考查了诱导公式，角平分线的性质及二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．15．已知向量，的夹角为，，则的模长是______．【答案】【解析】由平面向量模的运算及数量积的运算得：由向量，的夹角为，=（-3，4），=-10，得=||||cos=-10，即||==2，得解．【详解】由向量，的夹角为，=（-3，4），=-10，得=||||cos=-10，即||==2，故答案为：2．【点睛】本题考查了平面向量模的运算及数量积的运算，属中档题．16．实数满足，则的取值范围是______．【答案】【解析】由条件可得x=，代入x+cosy化为关于cosy的二次函数，结合二次函数的对称轴和区间的关系，即可得到所求范围．【详解】由2x+cos2y=1，得x=，则x+cosy==．∵cosy∈[-1，1]，∴当cosy=时，x+cosy有最大值为；当cosy=-1时，x+cosy有最小值-1．∴x+cosy的取值范围是[-1，]．故答案为：[-1，]． 【点睛】本题考查余弦函数的值域和二次函数在闭区间上的最值求法，考查变形能力和运算能力，属于中档题．17．数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且[0,4],12019i a i ∈剟，设函数()3sin 42x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若12342019()()()()()0f a f a f a f a f a ++++⋅⋅⋅+=，则=++++2019321a a a a ______．【答案】4038【解析】由题目得知12342019()()()()()0f a f a f a f a f a ++++⋅⋅⋅+=，而()3cos4f x x π=-是周期函数，关于(2,0)中心对称，所以猜120194a a +=.【详解】设{}n a 的公差为d,12342019()()()()()f a f a f a f a f a ++++⋅⋅⋅+= 12320192sin423(cos cos cos cos )44442sin 42da a a a d ππππππ⋅-++⋅⋅⋅+∙⋅ = 1220193(2sin cos 2sin cos 2sin cos )4244244242sin 42d d d a a a d πππππππ-⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=1122201920193[sin()sin()sin()sin()sin()sin()]2222222sin 42d d d dd d a a a a a a d π---++--++---++⋅= 120193[sin()sin()]222sin 42d d a a d π---++⋅= 12019201932sin()cos()42422sin 42a ad d πππ+-⋅⋅∙⋅⋅=0 （因为1sin()sin()22i i d d a a ++=-），又因为0≠d 所以12019cos()42a a π+⋅=0 而[0,4]i a ∈，又因为0≠d ，所以12019(0,8)a a +∈，12019(0,)42a a ππ+⋅∈ 所以12019422a a ππ+⋅=，即120194a a +=.根据等差数列求和公式=++++2019321a a a a 4038. 【点睛】本题考查了三角函数的积化和差公式，和处理三角函数和的一些技巧,还有等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于有难度题．三、解答题 18．已知，且为第二象限角．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，利用诱导公式，二倍角公式即可计算得解；（Ⅱ）由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos2α的值，根据同角三角函数基本关系式可求tan2α的值，根据两角和的正切函数公式即可计算得解． 【详解】 （Ⅰ）由已知，得，∴．（Ⅱ）∵，得，∴．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角公式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 19．已知向量，，，设函数，且的最小正周期是．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求在上的单调递增区间．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）首先利用向量的数量积求出函数的关系表达式，进一步把函数的关系式转换为正弦型函数，进一步确定结果．（Ⅱ）利用整体思想求出函数的单调区间．【详解】（Ⅰ）向量，，ω＞0，设函数，所以：，=，所以：，ω=2．（Ⅱ）令：，解得，k∈Z，当k=0时，；当k=1时，，所以f（x）在[0，π]上的单调递增区间是，．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．20．设函数．（Ⅰ）当时，解不等式：；（Ⅱ）当时，存在最小值，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.【解析】设（t＞0），则y=t2-2a t-a．（Ⅰ）当a=2时，把f（x）＞30转化为t2-4t-32＞0，求解t的范围，进一步求解指数不等式可得原不等式的解集．（Ⅱ）当x∈（-1，1）时，必有对称轴，即0＜a＜2，由最小值为-2可得4a=8-4a，即4a-1=2-a，分别作函数y=4x-1，y=2-x的图象，数形结合得答案．【详解】设2x=t（t＞0），则，（Ⅰ）当时，，即或∵t＞0，∴2x＞8，即x＞3，∴不等式的解集是：{x|x＞3}．（Ⅱ）当时，必有对称轴，即0＜＜2，最小值为，化简得，由于关于的函数单调递增，故最多有一个实根。
浙江省杭州地区七校2018-2019学年高一下学期期中联考数学试题(解析版)
杭州地区七校2018-2019学年高一第二学期期中联考数学试题一、选择题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1.的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意利用诱导公式和特殊角的三角函数值可得所求三角函数的值.【详解】由题意可得：.故选：B.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题.2.下列结论正确的是（）A. B.C. ，D.【答案】A【解析】【分析】逐一考查所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给的说法：若，则，选项A说法正确；若，则由不一定能得到，选项B说法错误；若，则由，不一定能得到，选项C说法错误；两个向量无法比较大小，故结论错误，选项D说法错误；故选：A.【点睛】本题主要考查向量的定义与向量的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知向量，且，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量垂直的充分必要条件得到关于的方程，解方程可得的值.【详解】由向量平行的充分必要条件可得：，解得.故选：B.【点睛】本题主要考查向量平行的充分必要条件，由向量平行求参数的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.已知函数，为了得到函数的图象，只要将的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数的解析式可得函数图像的平移变换方法.【详解】注意到，故得到函数的图象，只要将的图象向右平移个单位长度.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，属于基础题.5.已知为等差数列，，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用等差数列的性质可得的值.【详解】由等差数列的性质有：. 故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质及其应用，属于基础题. 6.函数（）是（）A. 最小正周期是 B. 区间上的增函数C. 图象关于点对称 D. 偶函数【答案】D 【解析】【分析】首先对函数的解析式进行恒等变形，然后考查函数的性质即可. 【详解】函数的解析式：，绘制函数图像如图所示：结合函数图像可知函数的最小正周期为，选项A说法错误；在区间上是减函数，选项B说法错误；函数不存在对称点，选项C说法错误；，选项D说法正确.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数式的化简，三角函数的性质，三角函数图像的绘制等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.数列满足，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先确定数列的周期性，然后结合周期性可得的值.【详解】由题意可得：，，故数列是周期为的周期数列，则.故选：C.【点睛】本题主要考查数列的递推关系，周期数列的概念与性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.在中，角、、的对边分别为，，，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由正弦定理边化角，然后结合两角和差正余弦公式和同角三角函数基本关系可得的值，据此可得的值.【详解】由题意利用正弦定理边化角可得：，.故选：D.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.在中，角、、的对边分别为，，，若，，成等差数列，，的面积为，那么的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定b的值.【详解】由题意可得：，求解方程组可得：.故选：A.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，三角形面积公式，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.在中，已知是延长线上一点，若，点为线段的中点，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合向量的运算法则和平面向量基本定理整理计算可得的值.【详解】由题意可得：，注意到，故，故选C.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题。
浙江省七彩阳光新高考研究联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题含答案
绝密★考试结束前2023学年第二学期浙江七彩阳光新高考研究联盟期中联考高一年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{A x y ==，{}23100B x xx =+-≥，则A B = （）A.[)1,+∞ B.[]1,2 C.[)2,+∞ D.(][),52,-∞-+∞ 【答案】C 【解析】【分析】先化简集合A ，B ，再利用集合的交集运算求解.【详解】解：因为集合{{}1A x y x x ===≥，{}23100B x x x =+-≥={|2x x ≥或}5x ≤-，所以A B = [)2,+∞，故选：C2.已知复数z 满足()1i 12i z +=-，则z 的虚部为（）A.3i 2- B.32-C.12-D.1i2-【答案】B 【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z ，再判断其虚部即可.【详解】因为()1i 12i z +=-，所以()()()()212i 1i 12i 1i 2i 2i 13i 1i 1i 1i 222z -----+====--++-，所以z 的虚部为32-.故选：B3.下列函数在(),0∞-上单调递增的是（）A.32y x = B.23y x = C.53y x = D.11y x =-+【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数与反比例函数的定义及性质逐一判断即可.【详解】由于函数32y x =的定义域为[0,)+∞，不符合已知条件，故A 不符合题意；根据幂函数的性质得函数23y x =在(,0)-∞单调递减，故B 不符合题意；根据幂函数的性质得函数53y x =在(,0)-∞单调递增，故C 符合题意；由于11y x =-+是1y x=-向左平移1个单位得到，所以11y x =-+在(,1),(1,)-∞--+∞单调递增，故D 不符合题意，故选：C.4.如图是ABC 用斜二测画法得到的直观图A B C ''' ，2,A B A C B C ''''''===，A C x '''∥，其中D ¢是A B ''的中点，则在原图中最长的是（）A.BCB.BAC.CAD.CD【答案】B 【解析】【分析】根据数量关系画出原图，在原图中比较长度即可.【详解】因为在直观图中，2,A B A C B C ''''''===，所以222A B A C B C ''''''+=，所以90B A C '''∠= 且45B C A '''∠= ，所以B C y '''∥.作出原图，如图所示.在原图中，2,4AC BC ==，90BCA ∠=o ，所以AB ==，又因为D 为AB 中点，所以12CD AB ==所以原图中最长的是BA .故选：B.5.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin :sin :sin 2A B C =，且ABC 的最短边与最长边的长度和为6，则ABC 的面积为（）A. B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】由正弦定理得出:::2a b c =，再根据最短边与最长边的长度和为6求出各边长，计算面积即可．【详解】因为sin :sin :sin 2A B C =，所以由正弦定理得:::2a b c =，所以最长边为c ，最短边为a ，设,,2(0)a x b c x x ===>，则36a c x +==，解得2x =，所以2,4a b c ===，由余弦定理22241683cos 02164a cb B ac +-+-===>，故B 为锐角，所以sin 4B ===，所以11sin 24224ABC S ac B =⋅=⨯⨯⨯= 故选：D ．6.已知向量a ，b 满足1a = ，()1,1b =，a b +=a 在b 上的投影向量的坐标为（）A.11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.()1,1D.,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的定义以及向量的坐标运算求解即可.【详解】因为(1,1)=b ，所以222||112b =+= ，又||1,a =把||a b +=两边平方得22||||25a b a b ++⋅= ，即1225a b ++⋅=，解得1a b ⋅=，所以a 在b 的投影向量坐标为2111(1,1),222||a b b b ⋅⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭，故选：A.7.下列各数中最大的数是（）A.122-B.64log 7C. D.sin 30︒【答案】A 【解析】【分析】首先得到121222-=>，641log 72<，1sin 302︒=，1lg112=，再比较6510与11的大小关系，即可得到122->.【详解】因为1212112222-==>，64641log 7log 82<=，1sin 302︒=，121lg11lg112==，又因为56656551010101000000⨯⎛⎫===⎪⎝⎭，511161051=，所以56551011⎛⎫>⎪⎝⎭，即651011>，所以656lg11lg105<=，61.4145≈>，所以161lg112252>⨯>，即122->故这个几个数最大的是122-.故选：A8.已知实数a，b，满足310ab+=（1b>），则131ba++的取值范围是（）A.()(),04,-∞⋃+∞ B.()4,+∞ C.(][),04,-∞+∞U D.[)4,+∞【答案】D【解析】【分析】借助已知可变形得1121311b ba b+=++-+-，借助基本不等式可求范围.【详解】根据已知310ab+=，可得13ab=-，则11121131111bb b b ba b bb+=+=+=++-+---，因为1b>，所以10b->，所以上式24≥+，当且仅当111bb=--，即2b=时等号成立，所以131ba++的取值范围是[)4,+∞.故选：D二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（）A.若A B>，则sin2sin2A B>B.若π6C=，2c=，则ABC外接圆的半径为2C.若2220a b c+-<，则ABC为钝角三角形D.若0OA OB OC ++=，则点O 是ABC 的重心【答案】BCD 【解析】【分析】利用特殊值判断A ，利用正弦定理判断B ，利用余弦定理判断C ，根据重心的定义判断D.【详解】对于A ：若π2A =，π4B =，满足A B >，但是sin 20A =，sin 21B =，故A 错误；对于B ：由正弦定理224πsin sin 6c R C ===，所以2R =，即ABC 外接圆的半径为2，故B 正确；对于C ：由余弦定理222cos 02a b c C ab+-=<，又()0,πC ∈，所以C 为钝角，故ABC 为钝角三角形，故C 正确；对于D ：取BC 中点D ，则2OB OC OD +=，又0OA OB OC ++= ，所以2OA OD =-，所以O 在中线AD 上，且2OA OD =，所以O 为ABC 的重心，故D正确；故选：BCD10.已知函数的定义域为x ∈R ，()()22f x f x +=，且当(]0,2x ∈时，()2221f x x x =+-+，则下列说法正确的是（）A.当(]2,4x ∈时，()42823f x x x =+--B.当(]2,4x ∈时，()42421f x x x =+-+C.若对任意的(],x m ∈-∞，都有()23f x ≥-，则m 的取值范围是13,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.若()()1244g x x x=-<-，则()()f x g x =有3个互不相等的实数根【答案】AC 【解析】【分析】由已知，可得()()22f x f x =-，从而可得当(]2,4x ∈时，()f x 的解析式，即可判断A ，B 选项；由函数()y f x =在(]0,2上的图象平移变换，结合()y f x =的图象，对任意的(],x m ∞∈-，都有()23f x ≥-，可得m 的取值范围，进而判断C 选项；由()g x 在(),4∞-上的单调性，作出函数()y f x =和()y g x =的图象，可得两函数交点个数，则可判断D 选项.【详解】当(]0,2x ∈时，()221252212212x f x x x x +=+-=+-++，因为(]0,2x ∈，所以(]211,5x +∈，所以2125512221222x x ++-≥-=+，当且仅当212221+=+x x ，即12x =时，等号成立，函数()f x 的定义域为R ，满足()()22f x f x +=，即()()22f x f x =-，且当(]0,2x ∈时，()()2f x x x =-,当(]2,4x ∈时，2(0,2]x -∈，故()()()()2422222222822123f x f x x x x x =-=-+⨯-⨯=+--+-，故A 正确，B 错误；将函数()y f x =在(]0,2上的图象每次向右平移2个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍即可得函数在()()2,44,6 、，上的图象，同理可得函数()y f x =在(]0,2上的图象每次向左平移2个单位，再将纵坐标缩短为原来的12倍即可得函数在()()2,04,2--- 、，上的图象，作出函数()y f x =的图象，如图所示：由此可令()23f x =-，即有4228233x x +-=--，解得1213,36x x ==，又因为对任意的(],x m ∞∈-，都有()23f x ≥-，由图象可得13,6m ∞⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，故C 正确；因为()()1244g x x x=-<-，易知()g x 在(),4∞-上单调递增，且()()23133g f =-<-=，作出函数()y f x =和()y g x =的图象，如图所示：由此可得两函数只有一个交点，所以()()f x g x =只有1个实数根，故D 错误.故选：AC.11.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．如图在一个棱长为4的正方体中，111111B E B F B G a ===，121212A E A F A G a ===，……，()0,4a ∈，过111E FG 三点可做一截面，类似地，可做8个形状完全相同的截面．关于截面之间的位于正方体正中间的这个几何体，下列说法正确的是（）A.当此半正多面体是由正八边形与正三角形围成时，边长为2B.当此半正多面体是由正方形与正三角形围成时，表面积是48+C.当此几何体为半正多面体时4a =-，或2a =D.当此几何体是半正多面体时，可能由正方形与正六边形围成【答案】BD 【解析】【分析】根据不同的半正多面体，a 取不同的数值，画出几何图形，并根据半正多面体的概念进行计算求解即可.【详解】由题意得，11E G =，1242E F a =-，对于A ，当此半正多面体是由正八边形与正三角形围成时，42a =-，(24a +=，(4242a ===-A 错误；对于B ，当此半正多面体是由正方形与正三角形围成时，12420E F a =-=，所以2a =，表面积为26484⨯⨯=+，正确；对于C ，D ，当3a =时，如下图所示，此半正多面体是由正方形与正六边形围成，此时几何体也是半正多面体，故C 错误，D 正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题考查半正多面体的几何性质.本题关键点是根据a 取不同的数值，画出对应的几何图形，并根据半正多面体的概念进行计算.非选择题部分三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知z 为复数，且1z =，则i z +的最大值为__________．【答案】2【解析】【分析】设i z x y =+，由复数模的计算公式可解.【详解】设i ,R z x y x y ∈=+，，由于1z =，所以221x y +=，则i z +====由于11y -≤≤2=.故答案为：213.化简()2151515155log 91log 3log 5log log 155⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭______.【答案】1【解析】【分析】利用换底公式、对数的运算性质计算可得结果.【详解】原式()()()()22221515151515151515log 3log 9log 5log 5log 32log 3log 5log 5=+⋅+=+⋅+()21515log 3log 5=+()215log 151==.故答案为：1.14.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”（1弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）.类比，可构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的一个较大的等边三角形，设AD AB AC λμ=+且3DF AF =，则可推出λμ+=___________.【答案】2021【解析】【分析】设2AB =，根据3DF AF =与120ADB ∠=︒，利用余弦定理求出22121DB =，82121AD =，设出AG =m ，DG =n ，利用勾股定理求出m 与n 的值，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求出λ与μ的值，进而求出λμ+的值.【详解】设2AB =，DB AF x ==，则3DF x =，4AD x =，因为ABC 和DEF 是等边三角形，故120ADB ∠=︒，由余弦定理得：2222cos120AB AD BD AD BD =+-⋅⋅︒，解得：2121x =，故821421AD x ==，2121DB =，过点D 作DG ⊥AB 于点G ，设AG =m ，DG =n ，则BG =2-m ，由勾股定理得：()2222222121221221m n m n ⎧⎛⎪+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：1274321m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，垂直AB 的直线为y 轴建立直角坐标系，则()0,0A ，()2,0B ，1243,721D ⎛ ⎝⎭，(3C ，则123,721AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0AB =uu u r ，(3AC = ，由AD AB AC λμ=+ 得：()(123,2,01,3721λμ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，即12273321λμμ⎧+=⎪⎪=，解得：1621421λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2021λμ+=故答案为：2021四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知a 、b为单位向量，且夹角为60︒.（1）若()()a kb a b +⊥-，求k 的值；（2）若()R c a tb t =+∈ ，求c r的最小值.【答案】（1）1（2）32【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的定义，平面向量数量积的运算性质进行求解即可；（2）由模长公式、数量积公式以及二次函数的性质得出最小值.【小问1详解】由a 、b 为单位向量，且夹角为60︒，则1cos 602a b a b ⋅=︒=由已知()()a kb a b +⊥-，得()()22a kb a b a a b ka b kb +⋅-=-⋅+⋅-= 所以1k =【小问2详解】已知()R c a tb t =+∈，所以()22222c a tba tab t b=+=+⋅+ 221331242t t t ⎛⎫=++=++≥⎪⎝⎭c ∴的最小值为2.16.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()22sin A b c a =+-.（1）求角A 的大小；（2）若2cos a b B =，a =b a <，求BC 边上中线的长.【答案】（1）π3A =（2）2【解析】【分析】（1）直接用余弦定理化简，最后再用辅助角公式即可；（2）先利用正弦定理得到ABC 为直角三角行，在用勾股定理求解即可.【小问1详解】已知()22sin A b c a =+-，得222sin 2A b c a bc =+-+，由余弦定理得2222cos b c a bc A +-=，则sin 2cos 2A bc A bc =+由0bc ≠cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭又()0,πA ∈，则ππ5π666A -<-<，ππ66A ∴-=，则π3A =【小问2详解】由2cos a b B =可得sin 2sin cos A B B =，则sin sin2A B =，由b a <，所以π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π6B =，ABC 为直角三角形因为a =1b =，2c =，则BC 2=.17.已知锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量()cos m A A =，()2sin cos n C B B =- ，且m 与n共线．（1）求角A 的值；（2）若2b =，求a c -的取值范围．【答案】（1）6A π=（2）,13⎛-- ⎝【解析】【分析】（1）由m 与n共线，得到()sin cos cos sin 2sin sin 0A B A B C A +-=，法一：利用正弦定理和余弦定理求解；法二：利用两角和的正弦公式求解；（2）利用正弦定理得到sin 1sin sin b A a B B ==，cos sin B c B =，从而由1cos tan sin 2B B a c B --=-=-求解.【小问1详解】解：因为m 与n共线，()sin 2sin cos A B A C B --，)sin cos cos sin sin 0A B A B C A =+-=，法一：由正弦定理得cos cos 2sin 0a B b A c A +-=，又由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2b c a A bc+-=，∴2sin 0c c A -=，则1sin 2A =，又ABC 为锐角三角形，故π6A =．法二：由两角和的正弦公式得：()sin 2sin sin sin 2sin sin 0A B C A C C A +-=-=，因为sin 0C ≠，所以1sin 2A =，又ABC 为锐角三角形，故π6A =．【小问2详解】sin 1sin sin b A a B B==，52sin πsin cos cos 6sin sin sin sin B b C B B B c B B BB⎛⎫- ⎪+⎝⎭====，由于ABC 为锐角三角形，则π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且5ππ062C B <=-<，解得ππ,32B ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以22sin 1cos 1cos 2tan sin sin sin 22cos sin22B B B B a c B B B B B -⎫-=-=--⎪⎭而ππ,264B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即tan ,123B ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，∴a c -的取值范围为,13⎛-- ⎝．18.已知函数()f x 在R 上有定义，且()1f x +关于()1,0-中心对称，若()e e 1axax bf x -=+．（1）求实数b 的值；（2）若存在[],x m n ∈，使()f x 的值域为e ,e am ana a ⎡⎤⎣⎦，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1b =（2）03a <<-或1a =-【解析】【分析】（1）根据题意可知()f x 关于()0,0中心对称，结合奇函数的性质分析求解；（2）换元令e 0ax t =>，可得()()211f xg t t ==-+，分类讨论，结合函数单调性和最值分析求解.【小问1详解】因为()1f x +关于()1,0-中心对称，可知()f x 关于()0,0中心对称，且()f x 的定义域为R ，则()10011bf -==+，解得1b =，此时()e 1e 1ax ax f x -=+，且()()e 1e 1e 11e 0e 1e 1e 1e 1ax ax ax axax ax ax ax f x f x ------+-=+=+=++++，可知()f x 为奇函数，关于原点对称，即1b =符合题意，综上所述：1b =.【小问2详解】令e 0ax t =>，可得()()11221111t t f x g t t t t -+-====-+++，可知函数()g t 在()0,t ∈+∞单调递增，①当0a >时，e ,e amant ⎡⎤∈⎣⎦，则()e 1e 1,e 1e 1am an an an g t ⎡⎤--∈⎢++⎣⎦，可得e 1e e 1e 1e e 1am amam an anan a a ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，可知e am ，e an 均为11t at t -=+的实根，即21at at t +=-有两个不相等的正根，等价于()2110at a t +-+=有两个不相等的正根，可得()20102Δ140a a aa a ⎧>⎪-⎪->⎨⎪⎪=-->⎩，解得03a <<-；②当a<0时，e ,e anamt ⎡⎤∈⎣⎦，则()e 1e 1,e 1e 1an am an am g t ⎡⎤--∈⎢++⎣⎦可得e 1e e 1e 1e e 1am anam an aman a a ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，即e 1e e e e 1e e e am an am an an am an ama a a a ⎧-=+⎨-=+⎩，可得()ee e e aman an am a -=-，则1a =-，可得()()ee 121mn --+=+，此方程能成立，即1a =-；③0a =，则e 1ax =，()0g t =，不合题意；综上所述：03a <<-或1a =-.19.祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是立体的高.意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图是一个半径为R 的球体，平面ABC 与球相交，截面为圆B ，延长BO ，交球于点D ，则BO 垂直于圆B （BO 垂直于圆B 内的所有直线）.（1）若圆锥DB 的侧面展开图扇形的圆心角为10π5，求圆锥DB 的表面积和体积；（2）如图平面ABC 上方与球体之间的部分叫球冠，若45BO R =，请你利用祖暅原理求球冠的体积.【答案】（1）表面积为2910π25R +，体积为327π125R （2）314π375R 【解析】【分析】（1）利用圆心角等于弧长除以半径来计算，再结合直角三角形中的三角函数定义，即可计算得到35r R =，从而去求圆锥的高和母线长，最后利用表面积和体积公式即可求出结果；（2）利用祖暅原理，利用半球的体积与底面半径和高都等于球的半径的圆柱里面挖掉一个圆锥的体积相等，再利用球冠对应的部分体积转化到圆柱减去圆台的体积计算即可.【小问1详解】设BC r =，则22BO R r =-，由圆锥DB 的侧面展开图扇形的圆心角为105，则102ππ5rCD =，又因为10sin 10r BDC CD ∠==，则210310cos 11010BDC ⎛⎫∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭，又因为2∠=∠BOC BDC ，所以103103sin sin 22sin cos 210105BOC BDC BDC BDC ∠=∠=∠⋅∠=⨯⨯，而sin r BOC R ∠=，所以35r R =，35Rr ∴=，则2245OB R r R =-=，即95BD R =，则22229811025255CD r BD R R =+=+所以圆锥DB 表面积：22333109910πππ55525DBS R R R R ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，圆锥DB 体积：2313927ππ355125DB V R R R ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】如右图构造一个与半球同底等高的圆柱，内部挖去一个倒装的等底等高的圆锥,取同一高度h 的截面.令球冠截面半径为1r ，面积为1S 圆锥截面半径为2r ，面积为2S ，221r R h =-，()221S R hπ=-2222πr hr h S h R R=⇒=⇒=，212πS S R +=所以球冠的截面与上图（2）的截面面积相同，根据祖暅原理两者体积相等.2222323114411161114πππππππ5355553255375V R R R R R R R R R ⎛⎫⎛⎫=⨯-++=-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。
2019-2020学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高一(下)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高一(下)期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 角α终边上有一点(−a,2a)(a <0)，则sinα=( )A. −2√55B. −√55C. √55D. 2√552. 化简AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. OA⃗⃗⃗⃗⃗ C. AC⃗⃗⃗⃗⃗ D. AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 3. 已知△ABC 中，a =4√2，b =4，A =45°，则B 等于( )A. 30°B. 30°或150°C. 60°D. 60°或120°4. 设函数f(x)=cos(x +π3)，则下列结论错误的是( )A. f(x)的一个周期为−2πB. y =f(x)的图象关于直线x =8π3对称C. f(x +π)的一个零点为x =π6D. f(x)在(π2,π)单调递减5. 已知等比数列{a n }满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为( )A. 32B. 64C. 128D. 2566. 若a >b >c ，且a +b +c =0，下列不等式恒成立的是( )A. ac >bcB. ab >acC. a |b |>c |b |D. a 2>b2>c27. 方程x 2+7x +8=0的两根为tanα，tanβ，且α,β∈(−π2,π2)，则α+β=( )A. −3π4B. π4C. 5π4D. π4或−3π48. 在等差数列{a n }中，若2a 8=4+a 11，则a 5等于( )A. 6B. 2C. 8D. 49. 设θ为两个非零向量a ⃗ ,b ⃗ 的夹角．已知对任意实数t ，|b ⃗ +t a ⃗ |的最小值为1.( )A. 若θ确定，则|a⃗ |唯一确定 B. 若θ确定，则|b ⃗ |唯一确定 C. 若|a⃗ |确定，则θ唯一确定 D. 若|b ⃗ |确定，则θ唯一确定10. 已知数列{a n }是等差数列，若a 9+3a 11<0，a 10⋅a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么S n 取得最小正值时n 等于( )A. 20B. 17C. 19D. 21二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ ，满足a ⃗ ⋅b ⃗ =2，且b ⃗ =(1,√3)，则a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为______________； 12. tan300°+cos(−405°)sin750°的值为______ ．13. 在△ABC 中，若a:b:c =1:2:√6，则最大角的余弦值等于________． 14. 若sin(π+x)+cos(π+x)=12，则sin2x =_____，1+tanxsinxcos(x−π4)= _________．15. 设等比数列{a n }的前n 项之积为T n ，若a 5=2，则T 9=________．16. 已知函数f(x)=x 2+mx −1(x ∈[m,m +1])，若对于任意x ∈[m,m +1]，都有f(x)<0成立，则实数m 的取值范围是________．17. 设向量a ⃗ 与向量b ⃗ 的夹角为θ，且a ⃗ =(3,3),2b ⃗ −a ⃗ =(−1,1)，则___________．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分） 18. 设函数f(x)=cos(2x +π3)+sin 2x.(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)若0<α<π2<β<π，f(π4−β2)=1，f(α+β2)=0，求cosα的值．19. 已知向量a ⃗ =(−2,3)，b ⃗ =(3,4)，c ⃗ =a ⃗ −2b ⃗ ．(1)求b ⃗ ⋅c ⃗(2)若a⃗−λb⃗ 与3a⃗−b⃗ 垂直，求实数λ的值．20.在等差数列{a n}中，a2+a3=7，a4+a5+a6=18．(1)求数列{a n}的通项公式．(2)设b n=1，求数列{b n}的前n项和S n．a n a n+121.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a+b+c)(a−b+c)=ac．(1)求B；(2)若sin Asin C=√3−1，求C．422.已知数列{a n}满足：S n=2a n−2(n∈N∗).(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)令b n=(n−1)a n，求数列{b n}的前n项和T n．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值． 解：根据角α终边上有一点(−a,2a)(a <0)， 可得x =−a ，y =2a ，r =−√5a ， 故sinα=y r=−√5a=−2√55， 故选A ．2.答案：D解析：本题主要考查向量的加减运算.属于基础题． 利用平面向量的加减法则，即可得答案．解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选D ．3.答案：A解析：解：在△ABC 中，∵a =4√2，b =4，A =45°， ∴由正弦定理可得：sinB =bsinA a=4×√224√2=12， 又∵a >b ，B 为锐角， ∴B =30°． 故选：A ．由已知利用正弦定理可求sin B 的值，结合大边对大角可得B 为锐角，利用特殊角的三角函数值即可解得．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.答案：D解析：本题考查与余弦函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键，属于基础题．根据余弦函数的图象和性质分别进行判断即可．解：对于A，函数的周期为2kπ，k∈Z，当k=−1时，周期T=−2π，故A正确；对于B，当x=8π3时，cos(x+π3)=cos(8π3+π3)=cos9π3=cos3π=cosπ=−1为最小值，此时y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称，故B正确；对于C，，则f(x+π)的一个零点为x=π6，故C正确；对于D，当π2<x<π时，5π6<x+π3<4π3，此时函数f(x)有增有减，不是单调函数，故D错误．故选D．5.答案：B解析：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a3=10，a2+a4=5，∴q(a1+a3)=10q=5，解得q=12，a1=8．∴a n=8×(12)n−1=24−n．则a1a2…a n=23+2+⋯+(4−n)=2n(3+4−n)2=2−(n−72)2+4942，当且仅当n=3或4时，取得最大值为26=64．故选：B．利用等比数列的通项公式与二次函数的单调性即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：B解析：∵a>b>c，且a+b+c=0，∴a>0，c<0，∴ab>ac，故选B．7.答案：A解析：解：方程x 2+7x +8=0的两根为tanα，tanβ， ∴{tanα+tanβ=−7tanαtanβ=8， ∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−71−8=1， 且tanα<0，tanβ<0， 又α，β∈(−π2,π2)， ∴α，β∈(−π2,0)， ∴α+β∈(−π,0)， ∴α+β=−3π4．故选A ．根据根与系数的关系得出tanα+tanβ和tanαtanβ的值，计算tan(α+β)，根据α、β的取值范围求出α+β的值．本题考查了两角和的正切值公式与应用问题，也考查了根与系数的应用问题，是基础题．8.答案：D解析：本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．由等差数列{a n }中，2a 8=4+a 11，可得a 5=2a 8−a 11，即可得出． 解：由等差数列{a n }中，根据等差数列的性质，a 5+a 11=2a 8， 若2a 8=4+a 11， 可得a 5=2a 8−a 11=4， 故选D ．9.答案：B解析：由于|b ⃗ +t a ⃗ |2=b ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ t +t 2a ⃗ 2，令f(t)=a ⃗ 2t 2+2a ⃗ ⋅b⃗ t +b ⃗ 2，而t 是任意实数，所以可得f(t)的最小值为4a ⃗ 2⋅b ⃗ 2−(2a ⃗ ⋅b⃗ )24a ⃗2=4a ⃗ 2⋅b ⃗ 2−4a ⃗ 2⋅b ⃗2⋅cos 2θ4a ⃗2=b ⃗ 2⋅sin 2θ=1，则知若θ确定，则|b ⃗|唯一确定．故选B ．10.答案：C解析：本题主要考查等差数列的定义和性质．等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．由条件求得−9b<a1<−9.5b,d>0.令S n>0，且S n+1≤0，可得n<−2a1d +1，且n≥−2a1d．再由−9b<a1<−9.5b，可得18<−2a1d<19，故有19≤n≤19，从而得到n 的值．解：∵数列{a n}是等差数列，若a9+3a11<0，设公差为d ，则有4a1+38d<0，即2a1+19d<0，故有(a1+9d)+(a1+10d)=a10+a11<0，且a1<−9.5d，再由前n 项和S n有最大值，可得数列为递减数列，公差d<0，结合a10·a11<0，可得a10=a1+9d>0,a11=a1+10d<0，故−9d<a1<−10d，综上可得−9b<a1<−9.5b，令S n>0，且S n+1≤0，可得na1+n(n−1)2d>0，且(n+1)a1+n(n+1)2d≤0，化简可得a1+n−12d>0，且a1+n2d≤0，即−n<−2a1d+1，且n≥−2a1d．再由−9b<a1<−9.5b，可得18<−2a1d<19，∴19≤n≤19，∴n=19．故选C ．11.答案：1解析：根据b⃗ =(1,√3)求出|b⃗ |，再根据平面向量数量积与投影的定义，计算a⃗在b⃗ 方向上的投影即可．本题考查了平面向量的数量积运算以及向量投影的应用问题，是基础题．解：∵a⃗·b⃗ =2，且b⃗ =(1,√3)，∴|b⃗ |=√12+(√3)2=2，∴a⃗在b⃗ 方向上的投影为：|a⃗|cos<a⃗，b⃗ >=|a⃗|×a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |×|b⃗|=22=1．故答案为1．12.答案：√2−√3。
浙江省“七彩阳光”新高考联盟2018-2019学年高一上学期期中联考数学试题(含解析)
浙江省“七彩阳光”新高考联盟2018-2019学年高一上学期期中联考数学试题一、选择题（本大题共10小题）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的交集的运算，也可借助数轴运算，即可得到答案．【详解】由题意，集合，，根据集合的交集的运算，得．故选：C．【点睛】本题主要考查了集合交集的概念及其运算，其中解答中熟记集合交集的概念，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2.下列四个选项中与函数相等的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数，得到答案．【详解】由题意，对于A中，函数，其定义域是R，但与的对应关系不同，所以不是同一函数；对于B中，函数，定义域是，所以的定义域不同，所以不是同一函数；对于C中，函数，定义域为，与的定义域不同，所以不是同一函数；对于D中，函数，定义域是R，与的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数．故选：D．【点睛】本题主要考查了两个函数是否是同一函数的应用，其中解答中熟记两个函数是同一函数的判定方法是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．3.二次函数在上的最小值为A. 0B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分析函数的图象和性质，得到函数的单调性，即可求解函数的最小值，得到答案．【详解】由题意，可知二次函数图象开口向上，且关于直线为对称，故在上，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以当时，取最小值，故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，其中解答中熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.已知，若，则实数t的取值集合是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的解析式，分类讨论，由此能求出实数t的取值集合，得到答案．【详解】由题意，函数，且，当时，，解得，或，当时，，解得，所以实数t的取值集合是故选：D．【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中涉及到含绝对值方程的求解，以及指数函数的性质的应用，着重考查了推理与运算能，属于基础题．5.既是奇函数又在上为增函数的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据函数的奇偶性的定义，进行判定是否成立，然后再根据函数单调性的定义进行判断，即可得到答案．【详解】由奇函数的性质可知，对于A中，函数为偶函数，不符合条件；对于B中，函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于C中，函数为奇函数，但在上单调递减，上单调递增，不符合题意；对于D中，函数，满足，则函数是奇函数，且在上单调递增，符合题意，故选：D．【点睛】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的定义的简单应用，其中解答中熟记函数的单调性和奇偶性的定义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6.已知，若且，则下列说法正确的是A. B.C. D. ab与1的大小不确定【答案】B【解析】【分析】先画出函数的图象，利用对数的性质得出，即可得出的值，得到答案．【详解】由题意，可得函数，画出的图象，如图所示，因为且，所以，所以，，．故选：B．【点睛】本题主要考查了函数的图象的应用，以及对数函数的图象与性质，其中解答中结合函数的图象，熟练应用对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题．7.已知，，则下列说法正确的是A. 时，恒有B. 与函数图象仅有唯一交点C. 时，图象在图象下方D. 存在使得【答案】C【解析】【分析】由题意，根据反例可判断A、B的正误，利用函数的差的值的大小判断C，利用幂函数的图象，可判断D的正误，得到答案．【详解】由题意，当时，，所以A不正确；当，时，，所以B不正确；令，由，可得，解得，所以当时，图象总在图象下方，所以C正确；当时，总有，不存在使得，所以D不正确，故选：C．【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记幂函数的图象与性质，以及合理利用反例法进行判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．8.记，，，，则a，b，c，的大小关系为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较与0和1的大小得答案．【详解】由题意，可知，，所以，又由，，所以．则．故选：A．【点睛】本题主要考查了指数式、对数式的比较大小问题，其中解答中根据指数幂的运算和对数的运算，求得，d的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9.函数，定义域为，有以下命题：若，，则是D上的偶函数；若，则一定不是奇函数；若，则是D上的递增函数；若对任意，，，都有，则是D上的递增函数；其中正确的个数有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】【分析】根据奇偶性和单调性的定义，结合已知逐一分析给定四个结论的真假，可得答案．【详解】由题意，可知函数，定义域为关于原点对称，对于中，若，，但不一定恒成立，则不一定是D上的偶函数，故错误；对于中，若，则f有可能恒成立，此时可能是奇函数，故错误；对于中，若，但，且时，不一定恒成立，则不一定是D上的递增函数，故错误；对于中，若对任意，，，都有，则时，一定恒成立，是D上的递增函数，故正确；故选：B．【点睛】本题主要考查了以命题的真假判断为载体，考查了函数奇偶性和单调性的定义其中解答中熟记函数奇偶性和函数单调性的定义，合理运算作答是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．10.函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，，记，则下列说法正确的是A. 为R上的减函数B. 为偶函数C. 的值域为D. 方程有无数个解【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义，讨论x的范围，求得的表达式，作出的图象，可判断不是偶函数，也不是R上的减函数，值域为Z，的解有无数个，得到答案．【详解】由题意，函数的定义，可得满足：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；作出函数的图象，如图所示，可得不是偶函数，也不是R上的减函数；的值域不为，应为整数集；方程的解集为，方程有无数个解，所以A，B，C均错，D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，涉及到函数的单调性和奇偶性，值域的求法和方程的解个数问题，其中解答中根据函数的定义，正确作出函数的图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.若，则______；若，则______．【答案】 (1). 14 (2).【解析】【分析】根据实数指数幂和对数的运算性质，合理运算，即可得到答案．【详解】由题意，知，则，又由，所以，则，，所以．故答案为：14，【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算和对数的运算性质的应用，其中解答中熟记实数指数幂的运算和对数的运算性质，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12.设函数，则函数的定义域为______；值域为______．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据分式的分母恒大于0可得定义域为R，然后分类利用基本不等式求最值，即可得到值域．【详解】由题意，函数有意义，满足，因为恒成立，所以函数的定义域为R；当时，；当时，；当时，．的值域为．故答案为：R；．【点睛】本题主要考查了函数的定义域、值域及其求法，其中解答中合理化简，利用基本不等式求解最值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．13.已知函数的对称中心为，则______；______．【答案】 (1). 1 (2). 6【解析】【分析】结合反比例函数的性质及函数的图象平移，求出对称中心，列出方程组，从而求得的值，得到答案．【详解】由题意，函数，将反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移a个单位，可得函数的图象，所以结合反比例函数的性质及函数的图象平移可知，函数的对称中心为又因为的对称中心为，所以，故答案为：1，6【点睛】本题主要考查了函数的图象的变换，以及函数的对称性的应用，其中解答中根据图象的平移变换，结合反比例函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．14.已知函数为R上的增函数，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式组，即可得到实数a的取值范围．【详解】由题意，函数为R上的增函数，根据分段函数的单调性，可得：，解得．故答案为：．【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的应用，其中解答中熟记分段函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．15.若实数x，y满足，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】化简题设条件，得到的取值范围，再化简为x的二次函数，借助二次函数的图象与性质，即可求解函数的最值，得到答案．【详解】由题意，实数x，y满足，即，可得．则，则函数的对称轴为，开口向下，所以在上，时函数取得最大值6，时，函数取得最小值．所以的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用问题，其中解答中根据题设条件得到变量的取值范围，再结合二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．16.已知t为实数，使得函数在区间上有最大值5，则实数t的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】令，若，即时，函数，配方利用二次函数的单调性即可得出．若，即时，由，解得，对t分类讨论，利用二次函数的图象与单调性即可得出．【详解】由题意，令，若，即时，函数，在区间上有最大值为，满足条件．若，即时，由，解得，．①时，即，，则在区间上有最大值为，不满足条件，舍去．②若时，即，时，，时，，函数的最大值为：，因此，又，解得．综上可得：实数t的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质性质、以及绝对值问题和函数与方程的综合应用问题，其中解答中正确利用二次函数的图象与性质，函数分类确定函数的最值是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题．三、解答题（本大题共4小题，共50.0分）17.设集合，．当时，求，；记，若集合C的子集有8个，求实数a的取值集合．【答案】（1），；（2）3，【解析】【分析】当时，，，由此能求出，．由，集合C的子集有8个，得到集合C中有3个元素，由此能求出实数a的取值集合．【详解】由集合，．当时，，，，，集合C的子集有8个，所以集合C中有3个元素而，故实数a的取值集合为【点睛】本题主要考查了交集、并集、实数的取值集合的求法，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的定义及运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18.已知函数，．试判断函数与的奇偶性；若，求函数的最小值．【答案】（1）见解析；（2）1【解析】【分析】可得，的定义域为R，运用奇偶性的定义，即可得到结论；求得的解析式，配方，结合完全平方数非负，即可得到所求最值．【详解】由题意，函数，，可得定义域为R，，，所以函数为奇函数，为偶函数；(2)，当时上式取得等号，则函数的最小值为1．【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判断，及函数的最值求法，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义，以及注意运用配方法和不等式的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19.设．解不等式；若函数在上为减函数，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得，解可得函数的定义域，进而分析等价于，解可得x的取值范围，即可得答案；根据题意，令，则，由复合函数的单调性判定方法可得函数在上为减函数，据此可得，即可得答案．【详解】根据题意，函数，有，解可得，即函数的定义域为；则，若，则，即有，解可得：，即不等式的解集为；根据题意，函数，；令，则，则，在上为减函数，而也为减函数，则函数在上为减函数，若函数在上为减函数，则必有，即的取值范围为．【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调的应用，其中解答中熟记对数函数的性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，同时特别注意对数函数的定义域的应用，是试题的一个易错点，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．20.已知．若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；求函数在上的值域．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】对不等式，分离参数，再构造函数求出最小值；利用偶函数性质，只需求出上的值域，然后按照二次函数对称轴讨论，即可求解．【详解】由题意，不等式恒成立，即恒成立，时，，时不等式可变为恒成立，所以，故实数a的取值范围为；由函数为上的偶函数，当时，，，当时，，当时，，当时，，，当时，【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，以及二次函数的最值问题，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，以及合理利用分类参数法求解不等式关系的恒成立问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题．。
浙江省杭州地区七校2018-2019学年高一下学期期中联考数学试题 PDF版含答案
2
2
(a − 2b)(a + b)= − 6 ……5 分
（2） 2a − b =
2 (2a − b)=
2 2 4a − 4a b + b ……8 分
a − 2b = 2 3 ……10 分
1
20.（本小题满分 12 分） （1）因为 a7 =6 ， a10 = − 3
π
3
a = 2sin A , c = 2sin C ……7 分
2
1 π 3 3 所以 a − = c 2sin A − sin C = 2sin A − sin( A + = ) sin A − cos A ……9 分 2 3 2 2
因为 b ≤ a ，所以 所以 a − c =
1 2
2π π π π ， ≤ A− < ……10 分 3 3 6 6 2 π 3 ………………………12 分 3 sin （A − ) ∈ ，3 6 2 ≤ A<
考生须知： 1．本卷满分 120 分，考试时间 100 分钟； 2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求。 1． sin
AE = AB +
2 AC ，则 的值为（ ） 3
A．
1 3
B． −
1 3
C． −
1 6
D．
1 6
高一数学试题 第2页（共 4 页）
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分。 11．已知向量 a = (1, 2) ， b = (2, −1) ， | a |= _____， a • b = ______． 12．函数 f ( x) = A sin( x + ) ( A, , 是常数，A 0, 0) 的部分图象如图，则
浙江省“七彩阳光”新高考联盟2018-2019学年高一上学期期中联考数学试题(附解析)
浙江省“七彩阳光”新高考联盟2018-2019学年高一上学期期中联考数学试题一、选择题（本大题共10小题）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的交集的运算，也可借助数轴运算，即可得到答案．【详解】由题意，集合，，根据集合的交集的运算，得．故选：C．【点睛】本题主要考查了集合交集的概念及其运算，其中解答中熟记集合交集的概念，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2.下列四个选项中与函数相等的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数，得到答案．【详解】由题意，对于A中，函数，其定义域是R，但与的对应关系不同，所以不是同一函数；对于B中，函数，定义域是，所以的定义域不同，所以不是同一函数；对于C中，函数，定义域为，与的定义域不同，所以不是同一函数；对于D中，函数，定义域是R，与的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数．故选：D．【点睛】本题主要考查了两个函数是否是同一函数的应用，其中解答中熟记两个函数是同一函数的判定方法是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．3.二次函数在上的最小值为A. 0B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分析函数的图象和性质，得到函数的单调性，即可求解函数的最小值，得到答案．【详解】由题意，可知二次函数图象开口向上，且关于直线为对称，故在上，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以当时，取最小值，故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，其中解答中熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.已知，若，则实数t的取值集合是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的解析式，分类讨论，由此能求出实数t的取值集合，得到答案．【详解】由题意，函数，且，当时，，解得，或，当时，，解得，所以实数t的取值集合是故选：D．【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中涉及到含绝对值方程的求解，以及指数函数的性质的应用，着重考查了推理与运算能，属于基础题．5.既是奇函数又在上为增函数的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据函数的奇偶性的定义，进行判定是否成立，然后再根据函数单调性的定义进行判断，即可得到答案．【详解】由奇函数的性质可知，对于A中，函数为偶函数，不符合条件；对于B中，函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于C中，函数为奇函数，但在上单调递减，上单调递增，不符合题意；对于D中，函数，满足，则函数是奇函数，且在上单调递增，符合题意，故选：D．【点睛】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的定义的简单应用，其中解答中熟记函数的单调性和奇偶性的定义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6.已知，若且，则下列说法正确的是A. B.C. D. ab与1的大小不确定【答案】B【解析】【分析】先画出函数的图象，利用对数的性质得出，即可得出的值，得到答案．【详解】由题意，可得函数，画出的图象，如图所示，因为且，所以，所以，，．故选：B．【点睛】本题主要考查了函数的图象的应用，以及对数函数的图象与性质，其中解答中结合函数的图象，熟练应用对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题．7.已知，，则下列说法正确的是A. 时，恒有B. 与函数图象仅有唯一交点C. 时，图象在图象下方D. 存在使得【答案】C【解析】【分析】由题意，根据反例可判断A、B的正误，利用函数的差的值的大小判断C，利用幂函数的图象，可判断D的正误，得到答案．【详解】由题意，当时，，所以A不正确；当，时，，所以B不正确；令，由，可得，解得，所以当时，图象总在图象下方，所以C正确；当时，总有，不存在使得，所以D不正确，故选：C．【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记幂函数的图象与性质，以及合理利用反例法进行判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．8.记，，，，则a，b，c，的大小关系为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较与0和1的大小得答案．【详解】由题意，可知，，所以，又由，，所以．则．故选：A．【点睛】本题主要考查了指数式、对数式的比较大小问题，其中解答中根据指数幂的运算和对数的运算，求得，d的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9.函数，定义域为，有以下命题：若，，则是D上的偶函数；若，则一定不是奇函数；若，则是D上的递增函数；若对任意，，，都有，则是D上的递增函数；其中正确的个数有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】【分析】根据奇偶性和单调性的定义，结合已知逐一分析给定四个结论的真假，可得答案．【详解】由题意，可知函数，定义域为关于原点对称，对于中，若，，但不一定恒成立，则不一定是D上的偶函数，故错误；对于中，若，则f有可能恒成立，此时可能是奇函数，故错误；对于中，若，但，且时，不一定恒成立，则不一定是D 上的递增函数，故错误；对于中，若对任意，，，都有，则时，一定恒成立，是D 上的递增函数，故正确；故选：B．【点睛】本题主要考查了以命题的真假判断为载体，考查了函数奇偶性和单调性的定义其中解答中熟记函数奇偶性和函数单调性的定义，合理运算作答是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．10.函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，，记，则下列说法正确的是A. 为R上的减函数B. 为偶函数C. 的值域为D. 方程有无数个解【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义，讨论x的范围，求得的表达式，作出的图象，可判断不是偶函数，也不是R上的减函数，值域为Z，的解有无数个，得到答案．【详解】由题意，函数的定义，可得满足：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；作出函数的图象，如图所示，可得不是偶函数，也不是R上的减函数；的值域不为，应为整数集；方程的解集为，方程有无数个解，所以A，B，C均错，D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，涉及到函数的单调性和奇偶性，值域的求法和方程的解个数问题，其中解答中根据函数的定义，正确作出函数的图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.若，则______；若，则______．【答案】 (1). 14 (2).【解析】【分析】根据实数指数幂和对数的运算性质，合理运算，即可得到答案．【详解】由题意，知，则，又由，所以，则，，所以．故答案为：14，【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算和对数的运算性质的应用，其中解答中熟记实数指数幂的运算和对数的运算性质，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12.设函数，则函数的定义域为______；值域为______．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据分式的分母恒大于0可得定义域为R，然后分类利用基本不等式求最值，即可得到值域．【详解】由题意，函数有意义，满足，因为恒成立，所以函数的定义域为R；当时，；当时，；当时，．的值域为．故答案为：R；．【点睛】本题主要考查了函数的定义域、值域及其求法，其中解答中合理化简，利用基本不等式求解最值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．13.已知函数的对称中心为，则______；______．【答案】 (1). 1 (2). 6【解析】【分析】结合反比例函数的性质及函数的图象平移，求出对称中心，列出方程组，从而求得的值，得到答案．【详解】由题意，函数，将反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移a个单位，可得函数的图象，所以结合反比例函数的性质及函数的图象平移可知，函数的对称中心为又因为的对称中心为，所以，故答案为：1，6【点睛】本题主要考查了函数的图象的变换，以及函数的对称性的应用，其中解答中根据图象的平移变换，结合反比例函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．14.已知函数为R上的增函数，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式组，即可得到实数a的取值范围．【详解】由题意，函数为R上的增函数，根据分段函数的单调性，可得：，解得．故答案为：．【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的应用，其中解答中熟记分段函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．15.若实数x，y满足，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】化简题设条件，得到的取值范围，再化简为x的二次函数，借助二次函数的图象与性质，即可求解函数的最值，得到答案．【详解】由题意，实数x，y满足，即，可得．则，则函数的对称轴为，开口向下，所以在上，时函数取得最大值6，时，函数取得最小值．所以的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用问题，其中解答中根据题设条件得到变量的取值范围，再结合二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．16.已知t为实数，使得函数在区间上有最大值5，则实数t的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】令，若，即时，函数，配方利用二次函数的单调性即可得出．若，即时，由，解得，对t分类讨论，利用二次函数的图象与单调性即可得出．【详解】由题意，令，若，即时，函数，在区间上有最大值为，满足条件．若，即时，由，解得，．①时，即，，则在区间上有最大值为，不满足条件，舍去．②若时，即，时，，时，，函数的最大值为：，因此，又，解得．综上可得：实数t的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质性质、以及绝对值问题和函数与方程的综合应用问题，其中解答中正确利用二次函数的图象与性质，函数分类确定函数的最值是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题．三、解答题（本大题共4小题，共50.0分）17.设集合，．当时，求，；记，若集合C的子集有8个，求实数a的取值集合．【答案】（1），；（2）3，【解析】【分析】当时，，，由此能求出，．由，集合C的子集有8个，得到集合C中有3个元素，由此能求出实数a的取值集合．【详解】由集合，．当时，，，，，集合C的子集有8个，所以集合C中有3个元素而，故实数a的取值集合为【点睛】本题主要考查了交集、并集、实数的取值集合的求法，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的定义及运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18.已知函数，．试判断函数与的奇偶性；若，求函数的最小值．【答案】（1）见解析；（2）1【解析】【分析】可得，的定义域为R，运用奇偶性的定义，即可得到结论；求得的解析式，配方，结合完全平方数非负，即可得到所求最值．【详解】由题意，函数，，可得定义域为R，，，所以函数为奇函数，为偶函数；(2)，当时上式取得等号，则函数的最小值为1．【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判断，及函数的最值求法，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义，以及注意运用配方法和不等式的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19.设．解不等式；若函数在上为减函数，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得，解可得函数的定义域，进而分析等价于，解可得x的取值范围，即可得答案；根据题意，令，则，由复合函数的单调性判定方法可得函数在上为减函数，据此可得，即可得答案．【详解】根据题意，函数，有，解可得，即函数的定义域为；则，若，则，即有，解可得：，即不等式的解集为；根据题意，函数，；令，则，则，在上为减函数，而也为减函数，则函数在上为减函数，若函数在上为减函数，则必有，即的取值范围为．【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调的应用，其中解答中熟记对数函数的性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，同时特别注意对数函数的定义域的应用，是试题的一个易错点，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．20.已知．若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；求函数在上的值域．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】对不等式，分离参数，再构造函数求出最小值；利用偶函数性质，只需求出上的值域，然后按照二次函数对称轴讨论，即可求解．【详解】由题意，不等式恒成立，即恒成立，时，，时不等式可变为恒成立，所以，故实数a的取值范围为；由函数为上的偶函数，当时，，，当时，，当时，，当时，，，当时，【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，以及二次函数的最值问题，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，以及合理利用分类参数法求解不等式关系的恒成立问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题．。
2018-2019学年浙江省“七彩阳光”新高考联盟高一上学期期中联考数学试题(解析版)
浙江省“七彩阳光”新高考联盟2018-2019学年高一上学期期中联考数学试题一、选择题（本大题共10小题）1.已知集合A={x|3≤x<7}，B={x|2<x<5}，则A∩B=()A. {x|2<x≤3}B. {x|3<x<5}C. {x|3≤x<5}D. {x|2<x<7}【答案】C【解析】解：A∩B={x|3≤x<7}∩{x|2<x<5}={x|3≤x<5}．故选：C．AB是无限集，可利用数轴进行运算．本题考查了交集及其运算，是基础题．2.下列四个选项中与函数f(x)=x相等的是()C. g(x)=(√x)2D. g(x)=log22xA. g(x)=√x2B. g(x)=x2x【答案】D【解析】解：对于A，g(x)=√x2=|x|，定义域是R，与f(x)=x(x∈R)的对应关系不同，不是同一函数；=x，定义域是{x|x≠0}，与f(x)=x(x∈R)的定义域不同，不是同对于B，g(x)=x2x一函数；对于C，g(x)=(√x)2=x，定义域为[0,+∞)，与f(x)=x(x∈R)的定义域不同，不是同一函数；对于D，g(x)=log22x=x，定义域是R，与f(x)=x(x∈R)的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．3.二次函数y=x2−2x−3在x∈[−1,2]上的最小值为()A. 0B. −3C. −4D. −5【答案】C【解析】解：二次函数y=x2−2x−3图象开口朝上，且以直线x=1为对称轴故在x∈[−1,2]上，当x=−1时，取最小值−4，故选：C．分析函数的图象和性质，进而可得函数的最小值．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．4. 已知f(x)={|x +1|,x <0(12)x ,x ≥0，若f(t)=12，则实数t 的取值集合是( )A. {1}B. {−12,−32}C. {1,−12}D. {1,−12,−32}【答案】D【解析】解：∵f(x)={|x +1|,x <0(12)x ,x ≥0，f(t)=12，∴当t <0时，f(t)=|t +1|=12，解得t =−12，或t =−32， 当t ≥0时，f(t)=(12)t =12，解得t =1， ∴实数t 的取值集合是{1,−12,−32}. 故选：D ．当t <0时，f(t)=|t +1|=12，解得t =−12，或t =−32，当t ≥0时，f(t)=(12)t =12，解得t =1，由此能求出实数t 的取值集合．本题考查函数值的求法，是基础题，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5. 既是奇函数又在(0,+∞)上为增函数的是( )A. y =x 2B. y =x−1xC. y =x +1x D. y =x −1x【答案】D【解析】解：由奇函数的性质可知， A ：y =x 2为偶函数，不符合条件； B ：y =f(x)=x−1x=1−1x 为非奇非偶函数，不符合题意；C ：y =x +1x 为奇函数，但在(0,1)上单调递减，(1,+∞)上单调递增，不符合题意；D ：y =x −1x ，f(−x)=−x +1x =−f(x)，为奇函数，而y =x −1x 在(0,+∞)上单调递增， 故选：D ．要判断函数是否为奇函数，只要检验f(−x)=−f(x)是否成立即可；然后再根据函数单调性的定义进行判断即可本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的定义的简单应用，属于基础试题．6. 已知f(x)=|lnx|，若0<a <b 且f(a)=f(b)，则下列说法正确的是( )A. 0<ab <1B. ab =1C. ab >1D. ab 与1的大小不确定【答案】B【解析】解：∵f(x)=|lnx|={lnx,x ≥1−lnx,0<x<1， 画出f(x)的图象：∵0<a <b 且f(a)=f(b)， ∴0<a <1<b ，−lna =lnb ， ∴ln(ab)=0，∴ab =1． 故选：B ．先画出函数f(x)=|lnx|的图象，利用对数的性质即可得出ab 的关系式．熟练掌握数形结合的思想方法、对数的图象和性质是解题的关键．7. 已知f(x)=x 3，g(x)=x 2，则下列说法正确的是( )A. x ∈(0,+∞)时，恒有f(x)≥g(x)B. f(x)与g(x)函数图象仅有唯一交点C. x ∈(0,1)时，f(x)图象在g(x)图象下方D. 存在x 0∈(1,+∞)使得f(x 0)=g(x 0)【答案】C【解析】解：当x =12时，(12)3<(12)2，所以A 不正确； x =0，x =1时，x 3=x 2，所以B 不正确；令ℎ(x)=x 3−x 2，ℎ(x)>0可得x 2(x −1)>0，当x >0时，x >1， 所以，x ∈(0,1)时，f(x)图象在g(x)图象下方.所以C 正确； 存在x 0∈(1,+∞)使得f(x 0)=g(x 0)，所以D 不正确， 故选：C ．反例判断A 的正误；反例判断B 的正误；利用函数的差的值的大小判断C 、判断D 的正误；本题考查函数的简单性质，命题的真假的判断，是基本知识的考查．8. 记a =2 13，b =3 12，c =log 123，d =log 132，则a ，b ，c ，的大小关系为( ) A. b >a >d >c B. b >a >c >d C. a >b >c >d D. a >b >d >c【答案】A【解析】解：∵a =2 13=√46，b =3 12=√276，∴b >a >1，c =log 123=−ln3ln2，d =log 132=−ln2ln3，∴c <d <0．则b>a>d>c．故选：A．利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较a，b，c，d与0和1的大小得答案．本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，是基础题．9.函数y=f(x)，定义域为D=[−2,2]，有以下命题：(1)若f(−1)=f(1)，f(−2)=f(2)，则y=f(x)是D上的偶函数；(2)若f(−1)=f(1)，则y=f(x)一定不是奇函数；(3)若f(−1)<f(0)<f(1)<f(2)，则y=f(x)是D上的递增函数；>0，则y=f(x)是D上的递增(4)若对任意x1，x2∈D，x1≠x2，都有f(x2)−f(x1)x2−x1函数；其中正确的个数有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】解：函数y=f(x)，定义域为D=[−2,2]关于原点对称，(1)若f(−1)=f(1)，f(−2)=f(2)，但f(−x)=f(x)不一定恒成立，则y=f(x)不一定是D上的偶函数，故错误；(2)若f(−1)=f(1)=0，则(−x)=−f(x)有可能恒成立，此时y=f(x)可能是奇函数，故错误；(3)若f(−1)<f(0)<f(1)<f(2)，但x1，x2∈D且x1<x2时，f(x1)<f(x2)不一定恒成立，则y=f(x)不一定是D上的递增函数，故错误；>0，则x1<x2时，f(x1)<f(x2)一(4)若对任意x1，x2∈D，x1≠x2，都有f(x2)−f(x1)x2−x1定恒成立，y=f(x)是D上的递增函数，故正确；故选：B．根据奇偶性和单调性的定义，结合已知逐一分析给定四个结论的真假，可得答案．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数奇偶性和单调性的定义，难度不大，属于基础题．10.函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[−3.5]=−4，[2,1]=2，记g(x)=[x]，则下列说法正确的是()A. g(x)为R上的减函数B. g(x)为偶函数C. g(x)的值域为[−1,0]D. 方程g(x)=0有无数个解【答案】D【解析】解：当0≤x<1时，g(x)=0；当1≤x<2时，g(x)=1；当2≤x<3时，g(x)=2；…当−1≤x<0时，g(x)=−1；当−2≤x <−1时，g(x)=−2；…作出函数y =g(x)的图象，可得g(x)不是偶函数，也不是R 上的减函数； g(x)的值域不为[−1,0]，应为整数集；方程g(x)=0的解集为[0,1)，方程有无数个解． 则A ，B ，C 均错，D 正确． 故选：D ．讨论x 的范围，求得g(x)的表达式，作出g(x)的图象，可判断g(x)不是偶函数，也不是R 上的减函数，值域为Z ，g(x)=0的解有无数个．本题考查函数的性质，主要是单调性和奇偶性、值域的求法和方程的解法，运用图象是解题的关键，属于基础题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11. 若a +a −1=4，则a 2+a −2=______；若xlog 43=1，则3x +3−x =______． 【答案】14 174【解析】解：a +a −1=4，则a 2+a −2=(a +a −1)2−2=14， ∵xlog 43=1， ∴x =log 34， ∴3x =4，3−x =14， ∴3x +3−x =174，故答案为：14，174根据指数幂的运算即可求出． 本题考查了指数幂的运算，属于基础题12. 设函数f(x)=2xx 2+1，则函数的定义域为______；值域为______． 【答案】R [−1,1]【解析】解：∵x 2+1>0恒成立， ∴函数f(x)=2xx 2+1的定义域为R ； 当x =0时，f(x)=0；当x >0时，0<f(x)=2x x 2+1=2x+1x≤2√x⋅1x=1； 当x <0时，0>f(x)=2x x 2+1=2x+1x=2−(x−1x)≥−1．∴f(x)的值域为[−1,1]． 故答案为：R ；[−1,1]．由分母恒大于0可得定义域为R ，然后分类利用基本不等式求最值得值域．本题考查函数的定义域、值域及其求法，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．13. 已知函数f(x)=ax+2x−6的对称中心为(b,1)，则a =______；b =______．【答案】1 6 【解析】解：∵f(x)=ax+2x−6=a(x−6)+6a+2x−6=a +6a+2x−6，结合反比例函数的性质及函数的图象平移可知，函数f(x)的对称中心为(6,a) ∵f(x)的对称中心为(b,1)，∴{a =1b=6故答案为：1，6结合反比例函数的性质及函数的图象平移，求出对称中心，结合已知，从而求得a ，b 即可．本题主要考查了反比例函数的对称性及函数图象的平移，属于基础试题．14. 已知函数f(x)={2x ,x ≥1ax+1,x<1为R 上的增函数，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(0,1]【解析】解：函数f(x)={2x ,x ≥1ax+1,x<1为R 上的增函数， 可得：{a +1≤2a>0，解得0<a ≤1． 故答案为：(0,1]．利用分段函数的单调性，列出不等式组，即可得到实数a 的取值范围． 本题考查分段函数的单调性的应用，不等式组的求法，考查计算能力．15. 若实数x ，y 满足2x 2+y 2=8，则y 2+4x −4的取值范围是______． 【答案】[−12,6]【解析】解：实数x ，y 满足2x 2+y 2=8，即x 24+y 28=1，可得−2≤x ≤2．则y 2+4x −4=4−2x 2+4x =−2(x −1)2+6，g(x)=4−2x 2+4x 的对称轴为：x =1，开口向下，在−2≤x ≤2上，x =1时函数取得最大值6，x =−2时，函数取得最小值：−12．所以y 2+4x −4的取值范围是：[−12,6]． 故答案为：[−12,6]．利用椭圆的范围，化简y 2+4x −4为x 的二次函数，然后求解函数的最值即可． 本题考查椭圆的简单性质，二次函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．16. 已知t 为实数，使得函数f(x)=|x 2−4x −t|+t 在区间[2,5]上有最大值5，则实数t 的取值范围是______． 【答案】(−∞,12]【解析】解：令g(x)=x2−4x−t，(1)若△=16+4t≤0，即t≤−4时，函数f(x)=|x2−4x−t|+t=x2−4x−t+t= x2−4x=(x−2)2−4，在区间[2,5]上有最大值为f(5)=52−4×5=5，满足条件．(2)若△=16+4t≥0，即t≥−4时，由x2−4x−t=0，解得x1=2−√4+t≤2，x2= 2+√4+t．①√4+t≥3时，即t≥5，f(x)=|x2−4x−t|+t=−x2+4x+t+t=−(x−2)2+ 4+2t，则f(x)在区间[2,5]上有最大值为f(2)=4+2t≥14>5，不满足条件，舍去．②若√4+t<3时，即−4≤t<5，2≤x<x2时，f(x)=−x2+4x+t+t=−(x−2)2+4+2t，x2≤x≤5时，f(x)=x2−4x=(x−2)2+4，∴函数f(x)的最大值为：max{f(2),f(5)}=max{4+2t,5}，．因此4+2t≤5，又−4<t<5，解得−4≤t≤12]．综上可得：实数t的取值范围是(−∞,12]．故答案为：(−∞,12令g(x)=x2−4x−t，(1)若△≤0，即t≤−4时，函数f(x)=x2−4x，配方利用二次函数的单调性即可得出．(2)若△=16+4t≥0，即t≥−4时，由x2−4x−t=0，解得x1=2−√4+t，x2=2+√4+t.对t分类讨论，利用二次函数的图象与单调性即可得出．本题考查了二次函数的性质、分类讨论方法、绝对值问题、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共4小题，共50.0分）17.设集合A={x|(x−3)(x−a)=0,a∈R}，B={x|(x−4)(x−1)=0}．(1)当a=1时，求A∩B，A∪B；(2)记C=A∪B，若集合C的子集有8个，求实数a的取值集合．【答案】(本小题满分12分)解：(1)∵集合A={x|(x−3)(x−a)=0,a∈R}，B={x|(x−4)(x−1)=0}．∴当a=1时，A={1,3}，B={1,4}，…(2分)∴A∩B={1}，A∪B={1,3，4}.…(4分)(2)∵C=A∪B，集合C的子集有8个，∴集合C中有3个元素…(3分)而1，3，4∈C，故实数a的取值集合为{1,3，4}.…(3分)【解析】(1)当a=1时，A={1,3}，B={1,4}，由此能求出A∩B，A∪B．(2)由C=A∪B，集合C的子集有8个，得到集合C中有3个元素，由此能求出实数a 的取值集合．本题考查交集、并集、实数的取值集合的求法，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.已知函数f(x)=e x−e−x2，g(x)=ex+e−x2．(1)试判断函数f(x)与g(x)的奇偶性；(2)若M(x)=[f(x)]2+[g(x)]2，求函数M(x)的最小值．【答案】解：(1)函数f(x)=e x−e−x2，g(x)=ex+e−x2，可得定义域为R，f(−x)=e −x−e x2=−f(x)，g(−x)=e−x+e x2=g(x)，所以函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数；(2)M(x)=[f(x)]2+[g(x)]2=(e x−e−x2)2+(e x+e−x2)2=e2x+e−2x2=(e x−e−x)2+22≥1，当x=0时上式取得等号，则函数M(x)的最小值为1．【解析】(1)可得f(x)，g(x)的定义域为R，运用奇偶性的定义，即可得到结论；(2)求得M(x)的解析式，配方法，结合完全平方数非负，即可得到所求最值．本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法，考查函数的最值求法，注意运用配方法和不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．19.设f(x)=lg(x+1)−lg(x−1)．(1)解不等式f(x)<1；(2)若函数f(x)在(a,+∞)上为减函数，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)根据题意，f(x)=lg(x+1)−lg(x−1)，有{x−1>0x+1>0，解可得x>1，即函数的定义域为(1,+∞)；则f(x)=lg(x+1)−lg(x−1)=lg x+1x−1，若f(x)<1，则lg x+1x−1<1=lg10，即有x+1x−1<10，解可得：x>119，即不等式的解集为(119,+∞)；(2)根据题意，f(x)=lg(x+1)−lg(x−1)=lg x+1x−1，(x>1)；令t=x+1x−1，则y=lgt，t=x+1x−1=1+2x−1，在(1,+∞)上为减函数，而y=lgt也为减函数，则函数f(x)在(1,+∞)上为减函数，若函数f(x)在(a,+∞)上为减函数，则必有a≥1，即a的取值范围为[1,+∞)．【解析】(1)根据题意，由函数的解析式可得{x−1>0x+1>0，解可得函数的定义域，进而分析f(x)<1等价于x+1x−1<10，解可得x的取值范围，即可得答案；(2)根据题意，令t=x+1x−1，则y=lgt，由复合函数的单调性判定方法可得函数f(x)在(1,+∞)上为减函数，据此可得a≥1，即可得答案．本题考查函数的定义域以及复合函数的单调性的判定，涉及对数函数的性质，属于综合题．20.已知f(x)=x2−a|x|+1．(1)若x∈[−3,3]时，不等式f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；(2)求函数f(x)在x∈[−3,3]上的值域．【答案】解：(1)不等式f(x)>0恒成立，即x2−a|x|+1>0恒成立，x∈[−3,3]x=0时，a∈R，x≠0时不等式可变为a<x2+1|x|=|x|+1|x|恒成立，所以a<(|x|+1|x|)min=2，故实数a的取值范围为(−∞,2)；(2)函数为x∈[−3,3]上的偶函数，当x∈[0,3]时，f(x)=x2−ax+1，a<0时，f(x)∈[1,10−3a]，0≤a<3时，f(x)∈[1−a24,10−3a]，3≤a<6时，f(x)∈1−a24，1]，a≥6时，f(x)∈[10−3a,1]..【解析】(1)对不等式x2−a|x|+1>0，分离参数a，再构造函数求出最小值；(2)利用偶函数性质，只需求出x∈[0,3]上的值域.然后按照二次函数对称轴讨论．本题考查了不等式恒成立、二次函数最值.属难题．。
浙江省七彩阳光新高考研究联盟2019-2020学年高一下学期期中数学试题
四、解答题
18. 已知函数
(
)，它的图象的一条对称轴是直线x .
(1)求 的值及函数 的递增区间；
(2)若
，且
，求
.
19. 已知平行四边形
中，
(1)求
的值；
(2)若
，且
，
，
，求 的值.
，点 是线段 的中点.
20. 数列 前 项和为 ，满足
，数列 为等差数列且
，
.
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若
4. 已知函数
，下列结论错误的是（ ）
A．函数f（x）最小正周期为2π B．函数f（x）在区间（0，π）上是减函数 C．函数f（x）的图象关于（kπ，0）（k∈Z）对称 D．函数f（x）是偶函数
5. 等比数列 中，
，
A．
C．
，则
的值为（ ） B． D．
6. 对于实数 ， ， ，有下列命题：
①若 ，则
B．2
C．
恒成立，设 ， 的夹角为 ，则 D．
的值为（ ）
10. 数列{an}为递增的等差数列，数列{bn}满足bn＝anan+1an+2（n∈N*），设Sn为数列{bn}的前n项和，若a2 为（ ）
，则当Sn取得最小值时n的值
A．14
B．13
C．12
二、双空题
11. 已知向量 （1，2）， （2，﹣2），|2
|＝_____， 在 方向上的投影为_____.
D．11
12. 求值：
_____，cos275°+cos215°+cos75°cos15°＝_____.
13. 在△ABC中，三边长分别为a﹣2，a，a+2，最大角的余弦值为 ，则a＝_____，S△ABC＝_____.
2018-2019学年浙江省“七彩阳光”新高考联盟高一上学期期中联考数学试题(答案+解析)
浙江省“七彩阳光”新高考联盟2018-2019学年高一上学期期中联考数学试题一、选择题（本大题共10小题）1.已知集合，，则A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意，集合，，根据集合的交集的运算，得．故选：C．2.下列四个选项中与函数相等的是A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，对于A中，函数，其定义域是R，但与的对应关系不同，所以不是同一函数；对于B中，函数，定义域是，所以的定义域不同，所以不是同一函数；对于C中，函数，定义域为，与的定义域不同，所以不是同一函数；对于D中，函数，定义域是R，与的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数．故选：D．3.二次函数在上的最小值为A. 0B.C.D.【答案】C【解析】由题意，可知二次函数图象开口向上，且关于直线为对称，故在上，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以当时，取最小值，故选：C．4.已知，若，则实数t的取值集合是A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，函数，且，当时，，解得，或，当时，，解得，所以实数t的取值集合是故选：D．5.既是奇函数又在上为增函数的是A. B. C. D.【答案】D【解析】由奇函数的性质可知，对于A中，函数为偶函数，不符合条件；对于B中，函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于C中，函数为奇函数，但在上单调递减，上单调递增，不符合题意；对于D中，函数，满足，则函数是奇函数，且在上单调递增，符合题意，故选：D．6.已知，若且，则下列说法正确的是A. B.C. D. ab与1的大小不确定【答案】B【解析】由题意，可得函数，画出的图象，如图所示，因为且，所以，所以，，．故选：B．7.已知，，则下列说法正确的是A. 时，恒有B. 与函数图象仅有唯一交点C. 时，图象在图象下方D. 存在使得【答案】C【解析】由题意，当时，，所以A不正确；当，时，，所以B不正确；令，由，可得，解得，所以当时，图象总在图象下方，所以C正确；当时，总有，不存在使得，所以D不正确，故选：C．8.记，，，，则a，b，c，的大小关系为A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意，可知，，所以，又由，，所以．则．故选：A．9.函数，定义域为，有以下命题：若，，则是D上的偶函数；若，则一定不是奇函数；若，则是D上的递增函数；若对任意，，，都有，则是D上的递增函数；其中正确的个数有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】由题意，可知函数，定义域为关于原点对称，对于中，若，，但不一定恒成立，则不一定是D 上的偶函数，故错误；对于中，若，则f有可能恒成立，此时可能是奇函数，故错误；对于中，若，但，且时，不一定恒成立，则不一定是D上的递增函数，故错误；对于中，若对任意，，，都有，则时，一定恒成立，是D上的递增函数，故正确；故选：B．10.函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，，记，则下列说法正确的是A. 为R上的减函数B. 为偶函数C. 的值域为D. 方程有无数个解【答案】D【解析】由题意，函数的定义，可得满足：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；作出函数的图象，如图所示，可得不是偶函数，也不是R上的减函数；的值域不为，应为整数集；方程的解集为，方程有无数个解，所以A，B，C均错，D正确．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.若，则______；若，则______．【答案】(1). 14 (2).【解析】由题意，知，则，又由，所以，则，，所以．故答案为：14，.12.设函数，则函数的定义域为______；值域为______．【答案】(1). (2).【解析】由题意，函数有意义，满足，因为恒成立，所以函数的定义域为R；当时，；当时，；当时，．的值域为．故答案为：R；．13.已知函数的对称中心为，则______；______．【答案】(1). 1 (2). 6【解析】由题意，函数，将反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移a个单位，可得函数的图象，所以结合反比例函数的性质及函数的图象平移可知，函数的对称中心为，又因为的对称中心为，所以，故答案为：1，6.14.已知函数为R上的增函数，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】由题意，函数为R上的增函数，根据分段函数的单调性，可得：，解得．故答案为：．15.若实数x，y满足，则的取值范围是______．【答案】【解析】由题意，实数x，y满足，即，可得．则，则函数的对称轴为，开口向下，所以在上，时函数取得最大值6，时，函数取得最小值．所以的取值范围是．故答案为：．16.已知t为实数，使得函数在区间上有最大值5，则实数t的取值范围是______．【答案】【解析】由题意，令，若，即时，函数，在区间上有最大值为，满足条件．若，即时，由，解得，．①时，即，，则在区间上有最大值为，不满足条件，舍去．②若时，即，时，，时，，函数的最大值为：，因此，又，解得．综上可得：实数t的取值范围是．故答案为：．三、解答题（本大题共4小题，共50.0分）17.设集合，．当时，求，；记，若集合C的子集有8个，求实数a的取值集合．解：由集合，．当时，，，，.，集合C的子集有8个，所以集合C中有3个元素，而，故实数a的取值集合为.18.已知函数，．试判断函数与的奇偶性；若，求函数的最小值．解：由题意，函数，，可得定义域为R，，，所以函数为奇函数，为偶函数；(2)，当时上式取得等号，则函数的最小值为1．19.设．解不等式；若函数在上为减函数，求实数a的取值范围．解：根据题意，函数，有，解可得，即函数的定义域为，则，若，则，即有，解可得：，即不等式的解集为；根据题意，函数，；令，则，则，在上为减函数，而也为减函数，则函数在上为减函数，若函数在上为减函数，则必有，即的取值范围为．20.已知．若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；求函数在上的值域．解：由题意，不等式恒成立，即恒成立，，时，；时不等式可变为恒成立，所以，故实数a的取值范围为；由函数为上的偶函数，当时，，，当时，，当时，，当时，，，当时，。