两点间的距离公式 ppt课件
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两点间的距离公式 PPT
P2
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
M
o
P1
x
思考5:当直线P1P2与坐标轴垂直时，上述结论是否成立？
P2
y
P1
P2
o
x
P1
平面内两点之间的距离公式：若P1(x1 ，y1)和P2(x2 ，y2)，
则
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
例1：在直线2x-y=0上求一点P，使它到点M（5，8）的距离为 5，并求直线PM的方程。
两点间的距离公式
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和P2(x2，0)，那么点P1和P2的 距离为多少？
y
|P1P2|=|x1-x2|
P2 (x2，0) o
P1 (x1，0) x
思考2:在y轴上，已知点P1(0，y1)和P2(0，y2)，那么点P1和P2的
距离为多少？
|P1P2|=|y1-y2|
P（2，4）或P (32 , 64) 55
PM：4x-3y+4=0 或24x-7y-64=0
例2：证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
y D (b, c) C (a+b, c)
A(0,0) B(a,0) x
用“坐标法”（解析法）解决有关几何问题的基本步骤：
第一步；建立坐标系， 用坐标系表示有关的量
y
P2 (0,y2)
o
x
P1 (0,y1)
思考3:已知x轴上一点P1(x0，0)和y轴上一点P2(0，y0)，那么点P1
和P2的距离为多少？
y
P2
| P1P2 | x02 y02
o
P1
x
思考4:一般地，已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，利用 上述方法求点P1和P2的距离可得什么结论？ y
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
M
o
P1
x
思考5:当直线P1P2与坐标轴垂直时，上述结论是否成立？
P2
y
P1
P2
o
x
P1
平面内两点之间的距离公式：若P1(x1 ，y1)和P2(x2 ，y2)，
则
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
例1：在直线2x-y=0上求一点P，使它到点M（5，8）的距离为 5，并求直线PM的方程。
两点间的距离公式
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和P2(x2，0)，那么点P1和P2的 距离为多少？
y
|P1P2|=|x1-x2|
P2 (x2，0) o
P1 (x1，0) x
思考2:在y轴上，已知点P1(0，y1)和P2(0，y2)，那么点P1和P2的
距离为多少？
|P1P2|=|y1-y2|
P（2，4）或P (32 , 64) 55
PM：4x-3y+4=0 或24x-7y-64=0
例2：证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
y D (b, c) C (a+b, c)
A(0,0) B(a,0) x
用“坐标法”（解析法）解决有关几何问题的基本步骤：
第一步；建立坐标系， 用坐标系表示有关的量
y
P2 (0,y2)
o
x
P1 (0,y1)
思考3:已知x轴上一点P1(x0，0)和y轴上一点P2(0，y0)，那么点P1
和P2的距离为多少？
y
P2
| P1P2 | x02 y02
o
P1
x
思考4:一般地，已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，利用 上述方法求点P1和P2的距离可得什么结论？ y
人教版《必修2》4..空间两点间的距离公式课件63PPT完美课件
人教版《必修2》4..空间两点间的距 离公式 课件63P PT完美 课件
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
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2.3.2 两点间的距离公式 (共25张PPT)
求证:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.
思路分析:建立适当的直角坐标系,设出各顶点的坐标,应用两点间的距离公式证明.
证明:如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系.
设A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b).
则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,
)
解析：|AB|＝|AC|＝ 17，|BC|＝ 18，故△ABC 为等腰三角形．
答案：B
5.已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为
________．
[解析] 设点 P 的坐标为(x,0)，由 d(P，A)＝10 得 (x－3)2＋(0－6)2＝10，
解得 x＝11 或 x＝－5.
人教2019 A版 选择性必修 一
第二章
直线和圆的方程
2.3.2 两点间的距离公式
学习目标
1.掌握平面上两点间的距离公式
2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题
情境导学
在一条笔直的公路同侧有
两个大型小区,现在计划在公路
上某处建一个公交站点C,以方
便居住在两个小区住户的出行.
如何选址能使站点到两个,
∴B
-2,0
,C
,0
2
|PA|2+|PB|2+|PC|2
,A 0, 3a .设 P(x,y),由两点间的距离公式,得
2
2 2
2 2
=x +
x+2 +y + x-2 +y
52
2
2
=3x +3y - 3ay+ 4
思路分析:建立适当的直角坐标系,设出各顶点的坐标,应用两点间的距离公式证明.
证明:如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系.
设A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b).
则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,
)
解析：|AB|＝|AC|＝ 17，|BC|＝ 18，故△ABC 为等腰三角形．
答案：B
5.已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为
________．
[解析] 设点 P 的坐标为(x,0)，由 d(P，A)＝10 得 (x－3)2＋(0－6)2＝10，
解得 x＝11 或 x＝－5.
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第二章
直线和圆的方程
2.3.2 两点间的距离公式
学习目标
1.掌握平面上两点间的距离公式
2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题
情境导学
在一条笔直的公路同侧有
两个大型小区,现在计划在公路
上某处建一个公交站点C,以方
便居住在两个小区住户的出行.
如何选址能使站点到两个,
∴B
-2,0
,C
,0
2
|PA|2+|PB|2+|PC|2
,A 0, 3a .设 P(x,y),由两点间的距离公式,得
2
2 2
2 2
=x +
x+2 +y + x-2 +y
52
2
2
=3x +3y - 3ay+ 4
两点间的距离公式 课件
坐标法的应用
△ABC 中，D 是 BC 边上的任意一点(D 与 B，C 不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.求证：△ABC 为等腰三角形．
[分析]
建立适当 的坐标系
→
设出各点 的坐标
→
根据已知中所 给的边与边之 间的关系
确定各点的坐标 作出 → 标间的关系 → 判断
[解析] 作 AO⊥BC，垂足为 O，以 BC 所在的直线为 x 轴，OA 所在的直线为 y 轴， 建立如右图所示的平面直角坐标系．
法一：∵|AB|＝ －1－12＋[3－－1]2＝ 20＝2 5， |AC|＝ 3－12＋[0－－1]2＝ 5， |BC|＝ [3－－1]2＋0－32＝ 25＝5， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， 即△ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形．
法二：∵kAB＝3－－1－－11＝－2，kAC＝0－3－－11＝12， ∴kAB·kAC＝－1， ∴AB⊥AC， ∴△ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形． (2)∵∠A＝90°， ∴S△ABC＝12|AB|·|AC|＝5| ， 即 △ABC 为 等 腰 三 角 形．
在直角坐标系中，我们求线段的长度时，常常使用两点间 的距离公式．
两点间距离公式的应用
已知△ABC 的三个顶点坐标是 A(1，－1)，B(－ 1,3)，C(3,0)．
(1)判定△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．
● [分析] 可按照以下流程进行思考：
● [解析] (1)如图，△ABC可能为直角三角形，下面进行验证
两点间的距离公式
求平面上两点间距离
已知 A(a,3)和 B(3,3a＋3)的距离为 5，求 a 的值．
● [分析] 利用两点间距离公式列方程解得a的值．
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4．空间两点间的距离公式 空间中两点 P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)的距离公式 |P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22. 特别地，点 P(x，y，z)与原点间的距离公式为 |OP|＝ x2＋y2＋z2.
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自学导引 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相 同单位长度的数轴： x轴、y轴、z轴 ，这样就建立了空间直角 坐标系 Oxyz. ②相关概念： 点O 叫做坐标原点， x轴、y轴、z轴 叫做坐标 轴．通过每两个坐标轴 的平面叫做坐标平面，分别称为 xOy 平 面、 yOz 平面、 zOx 平面．
变，竖坐标 z 变为原来的相反数，所以对称点为 P2(－2,1，－ 4)．
(3)设对称点为 P3(x，y，z)，则点 M 为线段 PP3 的中点，由中 点坐标公式，可得 x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12.
所以 P3(6，－3，－12)．
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解 以 BC 的中点为原点，BC 所在的直线为 y 轴，以射线 OA 所在的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系，如下图．
由题意知，AO＝ 23×2＝ 3，从而可知各顶点的坐标分别为 A( 3，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1( 3，0,3)，B1(0,1,3)， C1(0，－1,3)．
151平面上两点间的距离共17张PPT
第1讲 I 描述m 运动的N 第基1本章概a 念直o 线g 与方程 e
解析 (1)设点A关于直线l的对称点为A'(m,n),
则
n m m
0 2 2 2
2, 2 n
2
0
8
0,
解得 mn 8,2,故A'(-2,8).
因为P为直线l上一点,所以PA+PB=PA'+PB≥A'B,当且仅当B,P,A'三点共线时,PA+
第1讲 I 描述m 运动的N 第基1本章概a 念直o 线g 与方程 e
直线关于点的对称 直线关于点的对称实际上可以转化为点关于点的对称.
直线关于直线的对称 已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,求直线l1关于直线l2的对称直线的方程. 如果l1∥l2,则设所求直线的方程为A1x+B1y+m=0(m≠C1),然后在l1上找一点P,求出 点P关于直线l2的对称点P'(x',y'),再代入A1x+B1y+m=0,即可解出m. 如果l1与l2相交,则先找出l1与l2的交点P,然后在l1上确定一点M(不同于交点),找出 这一点关于l2的对称点M',由两点即可确定所求直线的方程.
将(x2,y2)代入直线l的方程得x'2+2y'2-4=0,所以直线l'的方程为x+2y-4=0. 方法技巧 关于对称问题,要充分利用“垂直平分”这个基本条件,“垂直”是 指两个对称点的连线与已知直线垂直,“平分”是指两个对称点连成的线段的中 点在已知直线上,可通过这两个条件列方程组求解.
第1讲 I 描述m 运动的N 第基1本章概a 念直o 线g 与方程 e
两点间的距离公式(上课课件)
人A数学选择性必修第一册
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2．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b＝( A )
A．0或8
B．0或－8
C．0或6
D．0或－6
3 ． 已 知 点 A(1 ， － 5) ， B( － 3 ， － 1) ， 线 段 AB 的 中 点 M ， 则 |OM| ＝ _____1_0____.
D(－b，h)．由两点间的距离公式，得 |AC|＝ －a－b2＋0－h2＝ a＋b2＋h2， |BD|＝ [a－－b]2＋0－h2＝ a＋b2＋h2， 所以|AC|＝|BD|.
人A数学选择性必修第一册
对称问题(2) 1．直线关于点的对称问题 直线l关于点P对称的直线l′满足：
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(1)直线l′与直线l平行；
由距离公式，得
|AE|＝
2c＋a2＋ 23c－02＝ a2＋ac＋c2，
|CD|＝
c＋2a2＋0－ 23a2＝ a2＋ac＋c2，
所以|AE|＝|CD|.
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2.已知等腰梯形ABCD，建立适当的坐标系，证明：对角线|AC|＝|BD|. 证明：如图，以等腰梯形ABCD的下底AB所在直线为x轴，以AB的中点 O为坐标原点建立平面直角坐标系，设梯形下底|AB|＝2a，上底|CD|＝ 2b，高为h，则A(－a,0)，B(a,0)，C(b，h)，
人A数学选择性必修第一册
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[例3] 已知点A(2，－3)，直线l：x－y＋1＝0.求： (1)直线l关于点A的对称直线l1的方程； (2)直线2x－y－3＝0关于直线l的对称直线l2的方程．
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人教版数学 空间两点间的距离公式 (共16张PPT)教育课件
学习目标
1.了解空间两点间的距离公式的推导过程，初步建 立将空间问题向平面问题转化的意识。 2.掌握空间两点间距离公式及其简单的应用.
新知自学：公式形成与推导：
借助课本P137图4.3-6
探究（一） 空间中的点与坐标原点的距离公式 问题 1:在空间直角坐标系中，坐标轴上的点 A（x，0，0），B（0，y，0）， C（0，0，z），与坐标原点 O 的距离分别是什么？ 问题 2: 在空间直角坐标系中，坐标平面上的点 A（x，y，0），B（0，y，z）， C（x，0，z），与坐标原点 O 的距离分别是什么？ 问题 3:在空间直角坐标系中，设点 P（x，y，z）在 xOy 平面上的射影为 B， 则点 B 的坐标是什么？|PB|,|OB|的值分别是什么？ 问题 4:基于上述分析，你能得到空间任意点 P（x，y，z）与坐标原点 O 的 距离公式吗？
之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。 在当今社会，大家都生活得匆匆忙忙， 比房子 、比车 子、比 票子、 比小孩 的教育 、比工 作，往 往被压 得喘不 过气来 。而另 外总有 一些人 会运用 自己的 心智去 分辨哪 些快乐 或者幸 福是必 须建立 在比较 的基础 上的， 而哪些 快乐和 幸福是 无需比 较同样 可以获 得的， 然后把 时间花 在寻找 甚至制 造那些 无需比 较就可 以获得 的幸福 和快乐 ，然后 无怨无 悔地生 活，尽 情欢乐 。一位 清洁阿 姨感觉 到快乐 和幸福 ，因为 她刚刚 通过自 己的双 手还给 路人一 条清洁 的街道 ；一位 幼儿园 老师感 觉到快 乐和幸 福，因 为他刚 给一群 孩子讲 清楚了 吃饭前 要洗手 的道理 ；一位 外科医 生感觉 到幸福 和快乐 ，因为 他刚刚 从死神 手里抢 回了一 条人命 ；一位 母亲感 觉到幸 福和快 乐，因 为他正 坐在孩 子的床 边，孩 子睡梦 中的脸 庞是那 么的安 静美丽 ，那么 令人爱 怜。。 。。。 。
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|P1P2|=|y1-y2|
两点间的距离公式
4
思考3:已知x轴上一点P1(x0，0)和y轴上 一点P2(0，y0)，那么点P1和P2的距离为 多少？
P2 y
o
P1 x
| P1P2 | x02 y02
两点间的距离公式
5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
思考4:在平面直角坐标系中，已知点
P1(2，-1)和P2(-3，2)，如何计算点P1和 P2的距离？P2 y
1 | y2 y1 | 1 k 2 思考3:上述两个结论是两点间距离公式的两 种变形，其使用条件分别是什么？
思考4:若已知 x1 x 2 和 x 1 x 2 ，如何 求 | x2 x1 | ？
|x2x1| (x1x2)24x1x2
• 完成课本练习 P74：1，2.
两点间的距离公式
11
理论迁移
|P 1P 2||x2x1| 1k2
两点间的距离公式
9
思考2:已知平面上两点P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 x2-x1可怎样表示？从而点P1和P2的距 离公式又可作怎样的变形？
| P1P2 || y2 y1|
1 1 k2
两点间的距离公式
10
| P1P2 || x2 x1 | 1 k 2
例1 已知点 A(1,2) 和 B(2, 7) , 在x轴上求一点P，使|PA|=|PB|，并求 |PA|的值.
例2：已知△ABC的三个顶点是A(-1，0), B(1，0),C(1/2，3/2),试判断三角形的形状
例3 设直线2x-y+1=0与抛物线
yx2 3x4相交于A、B两点，求|AB|的
值.
两点间的距离公式
般通过什么数量关系来反映？
两点间的距离公式
2
两点间的距离公式
3
知识探究（一）：两点间的距离公式
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和 P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？
|P1P2|=|x1-x2|
思考2:在y轴上，已知点P1(0，y1)和 P2(0，y2)，那么点P1和P2的距离为多少？
12
例4：证明平行四边形四条边的平方 和等于两条对角线的平方和.
y D (b, c) C (a+b, c)
A(0,0) B(a,0) x
两点间的距离公式
13
1.点p(x',y')关于点Q(x0,y0)的对 称点为
(2x0-x',2y0-y')
两点间的距离公式
14
用“坐标法”（解析法）解决有关几 何问题的基本步骤：
思考6:当直线P1P2与坐标轴垂直时，上 述结论是否成立？P2 y P1 P2
o
x
P1
思考7:特别地，点P(x，y)与坐标原点的 距离是什么？
|OP| x2 y2
两点间的距离公式
8
知识探究（二）：距离公式的变式探究
思考1:已知平面上两点P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 y2-y1可怎样表示？从而点P1和P2的距离 公式可作怎样的变形？
第一步；建立坐标系， 用坐标系表示有关的量
第二步：进行 有关代数运算
第三步：把代数运算结果 “翻译”成几何关系
两点间的距离公式
15
M
o
P1 x
|P 1 P 2|P 1 M 2 P 2 M 25 2 3 23 4
两点间的距离公式
6
思考5:一般地，已知平面上两点P1(x1， y1)和P2(x2，y2)，利用上述方法求点P1 和P2的距离可得y什么结论？
P2
M
o
P1 x
|P 1P 2|(x2x1)2(y2y1)2
两点间的距离公式
7
1.5 平面直角坐标系中的距离 一.两点间的距离公式
两点间的距离公式
1
问题提出
复习： 如何判定两条直线平行？垂直？
1.在平面直角坐标系中，根据直线的方
程可以确定两直线平行、垂直等位置关系，
以及求两相交直线的交点坐标，我们同样可
以根据点的坐标确定点与点之间的相对位置
关系.
2.平面上点与点之间的相对位置关系一