安徽大学期末试卷离散数学上卷及参考答案.doc

安徽大学20 09 — 20 10 学年第 1 学期 《离散数学（上）》考试试卷（A 卷）（时间120分钟）院/系 专业 姓名 学号题 号 一 二 三 四 五 总分得 分一、单选题（每小题2分，共20分）1. 设A={a,b,c}，A 上二元关系R={〈a,a 〉，〈b,b 〉,〈a,c 〉}，则关系R 的对称闭包S(R)是( )A.R ∪I AB.RC.R ∪{〈c,a 〉}D.R ∩I A 2. 设X={a,b,c},I x 是X 上恒等关系，要使I x ∪{〈a,b 〉，〈b,c 〉，〈c,a 〉，〈b,a 〉}∪R 为X 上的等价关系，R 应取( ) A. ｛〈c,a 〉，〈a,c 〉｝ B.{〈c,b 〉，〈b,a 〉} C. {〈c,a 〉，〈b,a 〉} D.{〈a,c 〉，〈c,b 〉} 3. 下列式子正确的是( )A. ∅∈∅B.∅⊆∅C.{∅}⊆∅D.{∅}∈∅ 4. 设解释R 如下：论域D 为实数集，a=0, f(x,y)=x-y, A(x,y):x<y.下列公式在R 下为真的是( )A.(∀x)(∀y)(∀z)(A(x,y)→A(f(x,z),f(y,z)))B.(∀x)A(f(a,x),a)C.(∀x)(∀y)（A(f(x,y),x))D.(∀x)(∀y)(A(x,y)→A(f(x,a),a))5. 设B 是不含变元x 的公式，谓词公式(∀x)(A(x)→B)等价于( )A.(∃x)A(x)→BB.(∀x)A(x)→BC.A(x)→BD.(∀x)A(x)→(∀x)B6. 谓词公式(∀x)(P(x,y))→(∃z)Q(x,z)∧(∀y)R(x,y)中变元x( )A.是自由变元但不是约束变元B.既不是自由变元又不是约束变元C.既是自由变元又是约束变元D.是约束变元但不是自由变元7. 若P ：他聪明；Q ：他用功；则“他虽聪明，但不用功”，可符号化为( )A.P ∨QB.P ∧┐QC.P →┐QD.P ∨┐Q 8. 以下命题公式中，为永假式的是( )A.p →(p ∨q ∨r)B.(p →┐p)→┐pC.┐(q →q)∧pD.┐(q ∨┐p)→(p ∧┐p)9. 设1π和2π是非空集合A 的划分，则下列集合一定是A 的划分的是（ ）A.12ππUB.12ππIC.12ππ-D.1211()ππππ-I U10. 设N 和R 分别为自然数和实数集合，则下列集合中与其他集合的基数不同的集合是（ ）A.RB.N NC.()N ρD.nN （n N ∈）得分二、判断题（每小题1分，共10分。

对的打√，错的打×）1. （ ）命题联结词{⌝，∧，∨}是最小联结词组。

2. （ ）（P ∧Q ）∧⌝P 为矛盾式。

3. （ ）（（⌝P ∨Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）为重言式。

4.（ ）A 、B 、C 是任意命题公式，如果A ∨C ⇔B ∨C ，一定有A ⇔B 。

5. （ ）若集合A 上的二元关系R 是对称的，R 的绝对补R 一定是对称的。

6. （ ）R 是A 上的二元关系，R 是自反的，当且仅当r(R)=R 。

7. （ ）集合A 上的等价关系确定了A 的一个划分。

8. （ ）有理数集是可数的。

9. （ ）若函数f ，g 为单射的则其复合函数也为单射的。

10. （ ）R 是集合A 上的关系，R 有传递性的充要条件是RoR ⊆R 。

三、填空题（每小空2分，共20分）1. 命题: ∅ ⊆ {{a}} ⊆ {{a},3,4,1} 的真值 = __ __ 。

2. 设A={a,b}, B={x | x 2－(a+b)x+ab = 0}, 则两个集合的关系为: A B 。

3. 设集合A ＝{a,b,c},B={a,b}, 那么 ρ(B)－ρ(A)= ____ __ 。

4. 公式))(),(()),()((x S z y R z y x Q x P x →∃∨→∀的自由变元是 , 约束变元是 。

5. n 个命题变元的真值有＿＿ ＿种不同的组合；n 个命题变元可构造＿ ＿＿个不同的主析取范式。

6. 集合{1,2,3,4}A =上有＿＿ ＿个不同的二元关系，＿＿ ＿个不同的等价关系。

7. 集合A 上的关系{1,2,2,1,2,3}<><><>的传递闭包为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

四、计算题（每小题10分，共30分）1. 先化简含P 、Q 、R 三个命题变元的命题公式G: ((P →Q)∧(P →R))→P ，然后求G 的主析取范式和主合取范式。

2. 设R是集合{1,2,3,4,5}A=上的关系{(1,1),(1,3),(2,2),(2,5),(3,1),(3,3),(4,4),(5,2),(5,5)} R=（1）画出R的关系图;（2）证明R是等价关系；（3）写出R的所有等价类。

3. 设,A R<>为偏序集，其中{1,2,,10}A=L，R是A上整除关系。

(1) 画出,A R<>的哈斯图；(2) 求A的极大元和极小元；(3) 令{3,4,6}B=，求B的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确界和下确界。

五、证明题（每小题10分，共20分）1. 设I 为整数集合，函数:f I I I I ⨯→⨯定义为：(,),f x y x y x y <>=<+->， 证明：f 是单射的但不是满射的。

2. 用推理规则证明：{ P ∨Q, P →R, Q →S, R →(⌝P ∧⌝Q)}蕴涵S 。

安徽大学20 09 —20 10 学年第 1 学期《离散数学（上）》考试试题（A 卷）参考答案及评分标准一、单选题（每小题2分，共20分）1.C ；2.D ；3.B ；4.A ；5.A ；6.C ；7.B ；8.C ；9.D ；10.D 。

二、判断题（每小题1分，共10分。

对的打√，错的打×）1.×；2.√；3.√；4.×；5.√；6.√；7.√；8.√；9.√；10.√。

三、填空题（每小空2分，共20分）1. 1；2. =；3. ∅；4. y,x ； x,z ；5.2n ；22n； 6.162；15； 7.{1,1,1,2,1,3,2,1,2,2,2,3}<><><><><><>。

四、计算题（每小题10分，共30分）1. 化简命题公式G ⇔ ((P →Q) ∧ (P →R)) → P ⇔ ⌝ ((⌝P ∨Q) ∧ (⌝P ∨R)) ∨ P 2分 ⇔ ((P ∧⌝Q) ∨ (P ∧⌝R)) ∨ P2分⇔ (P ∧⌝Q) ∨ (P ∧⌝R) ∨ P ⇔ ((P ∧⌝Q) ∨ P) ∨ (P ∧⌝R) ⇔ P ∨ (P ∧ ⌝R)⇔ P2分 G ⇔ (P ∧⌝Q ∧⌝R)∨(P ∧⌝Q ∧R)∨(P ∧Q ∧⌝R)∨(P ∧Q ∧R)(主析取范式)2分⇔ m 4∨m 5∨m 6∨m 7⇔()∑7,6,5,4⇔()3,2,1,0π⇔ M 0∧M 1∧M 2∧M 3⇔ (P ∨Q ∨R)∧(P ∨Q ∨⌝R)∧(P ∨⌝Q ∨R)∧(P ∨⌝Q ∨⌝R)(主合取范式) 2分2. {(1,1),(1,3),(2,2),(2,5),(3,1),(3,3),(4,4),(5,2),(5,5)}R =.(1) R 的关系图4分 (2) 因为 R 满足自反、对称和传递性，所以R 是等价关系；3分 (3) 等价类：{1, 3}, {2, 5}, {4}。

3分3. (1) ,A R <>的哈斯图为4分(2) A 的极大元为：6,7,8,9,10，极小元为1； 2分 (3) B 的极大元为：4,6，极小元为3,4；B 的最大元和最小元都不存在； 2分B 的上界不存在，下界为1；B 的上确界不存在，下确界为1。

2分五、证明题（每小题10分，共20分）1. （1）1122,,,x y x y I I∀<><>∈⨯，若),(),(2211><=><y x f y x f ，即>-+>=<-+<22221111,,y x y x y x y x ，则⎩⎨⎧-=-+=+22112211y x y x y x y x ， 3分易得21x x =且21y y =，因此1122,,x y x y <>=<>，所以f 是单射函数。

2分 （2）取,0,1p q I I <>=<>∈⨯，对,x y ∀<>，若>=<><q p y x f ,),(，则有01x y p x y q +==⎧⎨-==⎩，易得1/21/2x y =⎧⎨=-⎩，但,1/2,1/2x y I I <>=<->∉⨯， 3分 所以对于,p q I I <>∈⨯，不存在,x y I I <>∈⨯，使得>=<><q p y x f ,),(，所以f 不是满射的。

2分 2. 证:(1) P ∨Q P (2) R →(⌝P ∧⌝Q) P (3) ⌝R ∨⌝ (P ∨Q) T(2) (4) (P ∨Q)→⌝R T(3) 1分 (5) ⌝R T(1)(4) 2分 (6) P →R P (7) ⌝R →⌝P T (6) 1分 (8) ⌝P T(5)(7) 2分 (9) Q T(1)(8) 2分 (10) Q →S P (11) S T(9)(10) 2分 所以 { P ∨Q, P →R, Q →S, R →(⌝P ∧⌝Q)}蕴涵S .。