2019年重庆市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(解析版)
2019年重庆市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足=1，其中i是虚数单位，则=（）A. B. C. D.2.已知集合A=[2，+∞），B={x|1≤x≤a}，A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.3.已知函数f（x）=x3-2x，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的倾斜角是（）A.B.C.D.4.某中学数学竞赛培训班共有10人，分为两个小组，在一次模拟测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，已知甲乙两组同学成绩的平均数相同，则甲乙两组同学成绩的中位数之差为（）A. 2B. 4C. 6D. 85.已知两条不同的直线a，b和一个平面α，则使得“a∥b”成立的一个必要条件是（）A.且B.且C. 且D. a，b与所成角相同6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.7.执行如图所示的程序框图，若输出i的值为7，则框图中①处可以填入（）A.B.C.D. 8.已知等腰梯形ABCD中，=2，E，F分别为AD，BC的中点，G为EF的中点，若记=，=，则=（）A. B. C. D.9.函数f（x）=A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈（-π，0）的部分图象如图所示，要得到函数y=A sinωx的图象，只需将函数f（x）的图象（）A. 向左平移B. 向左平移C. 向右平移D. 向右平移10.某地区甲、乙、丙三所单位进行招聘，其中甲单位招聘2名，乙单位招聘2名，丙单位招聘1名，并且甲单位要至少招聘一名男生，现有3男3女参加三所单位的招聘，则不同的录取方案种数为（）A. 36B. 72C. 108D. 14411.若函数f（x）=（cos x-sin x）e x，x∈（0，10π），则f（x）的所有极大值点之和与所有极小值点之和的差为（）•A. B. C. D.12.已知直线1与椭圆C1：=1切于点P，与圆C2：x2+y2=16交于点AB，圆C2在点AB处的切线交于点Q，O为坐标原点，则△OPQ的面积的最大值为（）A. B. 2 C. D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在平面直角坐标系内，若角α的终边经过点P（1，-2），则sin2α=______．14.在圆x2+y2=1上任取一点，则该点到直线x+y+2=0的距离不小于的概率为______15.双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F1，过点F1作斜率为的直线与y轴及双曲线的右支分别交于AB两点，若=，则双曲线的离心率为______．16.已知数列{a n}中，a2=2，对任意k∈N*，a2k，a2k+1，a2k+2成等差数列，公差为2k+1，则a101=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A-cos C（sin B+cos B）=0．（1）求角C；（2）若b=，c=，求AB边上的高长．18.中国国际智能产业博览会（智博会）每年在重庆市举办一届，每年参加服务的志愿者分“嘉宾”、“法医”等若干小组.2018年底，来自重庆大学、西南大学、重庆医科大学、西南政法大学的500名学生在重庆科技馆多功能厅参加了“志愿者培训”，如图是四所大学参加培训人数的不完整条形统计图，现用分层抽样的方法从中抽出50人作为2019年中国国际智博会服务的志愿者．（1）若“嘉宾”小组需要2名志愿者，求这2人分别来自不同大学的概率（结果用分数表示）（2）若“法医”小组的3名志愿者只能从重庆医科大学或西南政法大学抽出，用5表示抽出志愿者来自重庆医科大学的人数，求的分布列和数学期望．19.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，M是AB的中点，AC与DM交于点O，SO平面ABCD；AB=2，AD=2，SO=2．（1）求证；平面SAC平面SDM（2）求直线SB与平面SAD所成角的正弦值．20.已知点P在椭圆=1上，过点P作PP′x轴于点P′（1）求线段PP′的中点的轨迹C的方程（2）设A、B两点在（1）中轨迹C上，点M（0，1），两直线MA与MB的斜率之积为-，且（1）中轨迹C上存在点D满足|DA|=|DB|，当△ABD面积最小时，求直线AB的方程．21.已知a∈R，函数f（x）=x2+2ax+（4-a）1nx有两个不同的极值点x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）证明：f（x1）+f（x2）＜16ln2-24．22.在直角坐标系x0y中，曲线C1的参数方程为（t为参数且t≠0，a∈[0，π）），曲线C2的参数方程为（θ为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）求C2的普通方程及C3的直角坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2C3分别交于点A，B，求|AB|的最大值．23.设函数f（x）=|x-1|+|x+a|，a∈R．（1）若不等式f（x）≥6的解集为（-∞，-4]∪[b，+∞）（b＞-4），求a，b的值；（2）若f（x）≥a|x|对任意x∈R恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由=1，得z-i=zi，∴z=，∴．故选：D．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵集合A=[2，+∞），B={x|1≤x≤a}，A∩B≠∅，∴a≥2，∴实数a的取值范围是[2，+∞）．故选：B．利用集合A=[2，+∞），B={x|1≤x≤a}，A∩B≠∅，能求出实数a的取值范围．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f（x）=x2-2x，设切线的斜率为k，其倾斜角是θ，函数f（x）=x3-2x，则f′（x）=x2-2，则有k=f′（1）=-1，则tanθ=-1，又由0≤θ＜π，则θ=，故选：D．设切线的斜率为k，其倾斜角是θ，求出函数f（x）的导数，利用导数的几何意义可得k=f′（1），即tanθ，结合θ的范围，分析可得答案．本题考查利用导数分析切线的方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：甲乙两组同学成绩的平均数相同，由在一次模拟测试中两个小组成绩的茎叶图，知：（64+71+80+x+90+91）=（69+70+70+y+88+95），解得y=4+x，甲组同学的中位数为：80+x，乙同学的中位数为70+y∴甲乙两组同学成绩的中位数之差为|（80+x）-（70+y）|=|10+x-y|=|10+x-4-x|=6．故选：C．甲乙两组同学成绩的平均数相同，得y=4+x，甲组同学的中位数为：80+x，乙同学的中位数为70+y，由此能求出甲乙两组同学成绩的中位数之差．本题考查平均数、方差、中位数的求法，考查茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】D【解析】解：若a∥b，若a∥α则b∥α或bα，故A错误，若a∥b，当a∥α时b∥α或bα，故B错误，若a∥b，aα且bα不一定成立，故C错误，若a∥b则a，b与α所成角相同，即D正确，故选：D．根据直线平行的性质结合必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线平行的性质是解决本题的关键．6.【答案】D【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，底面ABCD为边长是2的正方形，侧棱PA底面ABCD，且PA=2．∴该几何体的表面积为：=8+．故选：D．由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCD为边长是2的正方形，侧棱PA底面ABCD，且PA=2．则几何体的表面积可求．本题考查由三视图求面积，体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．7.【答案】C【解析】解：第一次循环：S=1，不满足条件，i=2；第二次循环：S=3，不满足条件，i=3；第三次循环：S=6，不满足条件，i=4；第四次循环：S=10，不满足条件，i=5；第五次循环：S=15，不满足条件，i=6；第六次循环：S=21，不满足条件，i=7；第七次循环：S=28，满足条件，输出i的值为7．所以判断框中的条件可填写“S≥28”．故选：C．据程序框图写出几次循环的结果，直到i=7，即可得出①满足的条件．本题考查了程序框图中的循环结果，常通过写出前几次循环的结果找出规律，是基础题．8.【答案】B【解析】解：∵等腰梯形ABCD 中，=2，E，F分别为AD，BC的中点，G为EF的中点，∴====，∵=，=，∴=，故选：B．利用向量的共线定理、平行四边形法则即可得出．本题考查了平面向量加减混合运算，熟练掌握向量的共线定理、平行四边形法则是解题的关键，属基础题．9.【答案】C【解析】解：由函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜0）的部分图象，可得A=2，由f（0）=1，f （）=-2可得，ω=2，φ=-，∴f（x）=2cos（2x-）=2sin（2x+）=2sin[2（x+）]，故可将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度得到y=2sin2x的图象．故选：C．由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，可得凹函数f（x）的解析式，再利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，关键是掌握y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：根据题意，分3步进行分析：①，单位甲在6人中任选2人招聘，要求至少招聘一名男生，有C62-C32=12种情况，②，单位乙在剩下的4人中任选2人招聘，有C42=6种情况，③，单位丙在剩下的2人中任选1人招聘，有C21=2种情况，则有12×6×2=144种不同的录取方案；故选：D．根据题意，分3步进行分析：①，单位甲在6人中任选2人招聘，要求至少招聘一名男生，②，单位乙在剩下的4人中任选2人招聘，③，单位丙在剩下的2人中任选1人招聘，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=e x（cosx-sinx），∴f′（x）=（e x）′（cosx-sinx）+e x（cosx-sinx）′=-2e x sinx，∵x∈（2kπ+π，2kπ+2π）（k∈Z）时，f′（x）＞0，x∈（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）时，f′（x）＜0，∴x∈（2kπ+π，2kπ+2π）（k∈Z）时f（x）递增，x∈（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）时f（x）递减，∴当x=2kπ+π（k∈Z）时，f（x）取极小值，当x=2kπ（k∈Z）时，f（x）取极大值，则f（x）的所有极大值点之和与所有极小值点为计算sinx=0x∈（0，10π）时可得；f（x）的所有极大值点：x=2π，4π，6π，8π，f（x）的所有极小值点：x=π，3π，5π，7π，9π，故：（2π+4π+6π+8π）-（π+3π+5π+7π+9π）=-5π，故选：A．由函数f（x）=（cosx-sinx）e x，x∈（0，10π）求导可得极值点，对极值大值点和极小值点进行求和讨论可得．考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：设P（x0，y0），Q（m，n），由AQ AO，BQ BO，可得四点Q，A，O，B共圆，可得以OQ为直径的圆，方程为（x-）2+（y-）2=，联立圆C2：x2+y2=16，相减可得AB的方程为mx+ny-16=0，又AB与椭圆相切，可得过P的切线方程为+=1，即为2x0x+4y0y-16=0，由两直线重合的条件可得m=2x0，n=4y0，由于P在椭圆上，可设x0=2cosα，y0=2sinα，0≤α＜2π，即有m=4cosα，n=8sinα，可得•=mx0+ny0=16cos2α+16sin2α=16，且||==2，||==4，即有S△OPQ=||•||•sin＜，＞=====2|sin2α|≤2，当sin2α=±1即α=或或或时，S△OPQ的面积取得最大值2．故选：A．设P（x0，y0），Q（m，n），运用四点Q，A，O，B共圆，求得以OQ为直径的圆，与已知圆相减求得AB的方程，再与过P的椭圆的切线方程重合，可得m=2x0，n=4y0，再由椭圆的参数方程和向量数量积的坐标表示和向量的模，结合三角形的面积公式和三角函数的变换和性质，可得所求最大值．本题考查椭圆和圆的方程的运用，考查直线和椭圆、直线和圆相切的条件，以及运用参数方程和三角函数的恒等变换公式是解题的关键，考查运算能力，属于难题．13.【答案】-【解析】解：∵角α的终边经过点P（1，-2），∴x=1，y=-2，r=|OP|=，∴sinα==，cosα==，则sin2α=2sinαcosα=2••=-，故答案为：-．利用任意角的三角函数的定义求得sinα、cosα的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：如图，圆x2+y2=1的圆心O（0，0）到直线x+y+2=0的距离为1，设AB所在直线与直线x+y+2=0平行，由O到AB的距离为，OA=OB=1，得∠AOB=120°，∴P 在劣弧上，∴在圆x2+y2=1上任取一点，则该点到直线x+y+2=0的距离不小于的概率为P=．故答案为：．由题意画出图形，求出满足到直线x+y+2=0的距离不小于的点的位置，由弧长比得答案．本题考查几何概型概率的求法，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．15.【答案】【解析】解：设双曲线的右焦点为F2，连接BF2，|F1A|=|AB|，可得A为F1B的中点，即有BF2x轴，由题意可得tan∠BF1F2==，即有|BF2|=2c，可得|BF1|==2c，由双曲线的定义可得|BF1|-BF2|=2c-2c=2a，可得e===+．故答案为：+．设双曲线的右焦点为F2，连接BF2，运用中位线定理和双曲线的定义、勾股定理和离心率公式，可得所求值．本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，考查中位线定理和勾股定理的运用，属于中档题．16.【答案】299【解析】解：∵数列{a n}中，a2=2，对任意k∈N*，a2k，a2k+1，a2k+2成等差数列，公差为2k+1，∴a2=2，a3=5，a4=8，∴a1=-1，∴a101=a1+100d=-1+300=299．故答案为：299．推导出a2=2，a3=5，a4=8，从而a1=-1，由此能求出a101．本题考查等差数列的第101项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】解：（1）∵sin A-cos C（sin B+cos B）=0，∴sin（B+C）-cos C（sin B+cos B）=0，∴cos B（sin C-cos C）=0，∴tan C=，∴C=．（2）由余弦定理可得：c2=a2+b2-2ab cos C，可得：a2-a-1=0，可得：a=，由等面积可得：S=ab sin C=ch，可得：h=．【解析】（1）由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanC=，可求C=．（2）由余弦定理可得a2-a-1=0，求得a的值，根据三角形的面积公式即可解得AB边上的高的长．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：（1）由题意知：用分层抽样从重庆大学、西南大学、重庆医科大学、西南政法大学抽取的志愿者分别为20，15，10，5所求概率为：===（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，E（ξ）=0×+1×+2×+3×==2．【解析】（1）由题意知：用分层抽样从重庆大学、西南大学、重庆医科大学、西南政法大学抽取的志愿者分别为20，15，10，5，根据对立事件概率公式求得．（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，根据古典概型概率公式求得概率，分布列，期望．本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．19.【答案】证明：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0），M（2，，0），∴=（-2，2，0），=（2，，0），=0，∴AC DM，∵SO平面ABCD，DM平面ABC，∴SO DM，∵AC∩SO=O，∴DM面SAC，∵DM平面SDM，∴平面SAC平面SDM（2）以O为原点，OC，OD，OS分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵AC DM，∴DO=2OM=2，OC=2OA=4，∴==（2，-2，-2），=（2，2，0），=（2，0，2），设平面SAD的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，，），设直线SB与平面SAD所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==．∴直线SB与平面SAD所成角的正弦值为．【解析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面SAC平面SDM（2）以O为原点，OC，OD，OS分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线SB与平面SAD所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（1）设线段PP′的中点为（x，y），则P（x，2y），∴，即；（2）设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0．，．==，得到m=0．则AB为y=kx，解得，同理．∵S△ABD=2S△OAD，△ •|x A|•|x D|==．∴当，即k=±1时，S△ABD有最小值为．此时直线AB的方程为y=±x．【解析】（1）设出线段PP′的中点为（x，y），得到P（x，2y），把P的坐标代入已知椭圆方程，可得线段PP′的中点的轨迹C的方程；（2）设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及两直线MA与MB的斜率之积为-，得m=0，则AB为y=kx ，解得，，由S△ABD=2S△OAD，写出三角形OAD的面积，利用基本不等式求最值，同时得到AB的方程．本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.【答案】解：（1）a∈R，函数f（x）=x2+2ax+（4-a）1nx定义域：{x|＞0}．，∴f′（x）=2x+2a+（4-a）=，函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2．对于f′（x）中的2x2+2ax+（4-a）应满足①②③三个条件：∴x对=-＞0，①△=4a2-4×2×（4-a）＞0，②4-a＞0，③由①②③可得a的取值范围：{a|a＜-4}，（2）证明：∵f′（x）=2x+2a+（4-a）=，得：x1+x2=-a，x1．x2=，f（x1）+f（x2）=（x1+x2）2-2x1x2+2a（x1+x2）+（4-a）1nx1x2=-a2+a-4+（4-a）1n，令t=＞4，则f（x1）+f（x2）=2t1nt-4t2+14t-16，将其令为h（t）即：h（t）=f（x1）+f（x2）则有：h′（t）=21nt-8t+16，h″（t）=-8，∵h″（t）=-8＜0，∴h′（t）=21nt-8t+16在定义域是单调递减的函数，∴h′（t）＜h′（4）＜0，∴h（t）在定义域也是单调递减的函数，∴h（t）＜h（4）=16ln2-24．即：f（x1）+f（x2）＜16ln2-24得证．【解析】利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，体会“转化思想”在解题中的应用，属于中档题．22.【答案】解：（1）由消去参数θ得C2的普通方程为：x2+（y-1）2=1；由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ得C3的直角坐标方程为：x2+y2=4x，即（x-2）2+y2=4．（2）C1的极坐标方程为：θ=α，C2的极坐标方程为：ρ=2sinθ将θ=α分别代入C2，C3的极坐标方程得：ρA=2sinα，ρB=4cosα，∴|AB|=|ρA-ρB|=|2sinα-4cosα|=|2sin（α+φ）|．【解析】（1）由消去参数θ得C2的普通方程为：x2+（y-1）2=1；由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ得C3的直角坐标方程为：x2+y2=4x，即（x-2）2+y2=4．（2）C1的极坐标方程为：θ=α，C2的极坐标方程为：ρ=2sinθ，将θ=α分别代入C2，C3的极坐标方程后利用极径的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）∵不等式f（x）≥6的解集为（-∞，-4]∪[b，+∞）（b＞-4），∴f（-4）=5+|a-4|=6，f（b）=|b-1|+|b+3|=6，由5+|a-4|=6得，a=3或a=5，∵当a=5时，f（x）=|x-1|+|x+5|≥6的解为x≤0或x≥6，不符合条件，∴a=3，由|b-1|+|b+3|=6，得b=2或b=-4（舍），∴a，b的值分别为：3，-4；（2）当a≤0时，f（x）≥a|x|对任意x∈R恒成立，当a＞0时，由f（x）≥a|x|对任意x∈R恒成立，有，所以＜＜，综上，a的取值范围为：（-∞，]．【解析】（1）根据-4，b都是方程f（x）=0的根，然后解方程即可；（2）分a≤0，和a＞0两种情况讨论即可．本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了数形结合的解题思想，属中档题．。
2019年高考数学(理)模拟试题(三)含答案及解析
2019年高考数学(理)模拟试题(三)含答案及解析2019年高考数学（理）模拟试题（三）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足(1-i)z=2+i，则z的共轭复数在复平面内对应的点在（）A。
第一象限B。
第二象限C。
第三象限D。
第四象限2.设集合M={x|x<36}，N={2,4,6,8}，则M∩N=（）A。
{2,4}B。
{2,4,6}C。
{2,6}D。
{2,4,6,8}3.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）A。
1/4B。
1/3C。
1/2D。
2/34.将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A。
42种B。
48种C。
54种D。
60种5.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（）A。
32π/3B。
64π/3C。
32πD。
64π/26.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后入称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，AC=BC，则△ABC的欧拉线方程为（）A。
2x+y-3=0B。
2x-y+3=0C。
x-2y-3=0D。
x-2y+3=07.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A。
2019届重庆高三下学期5月月考数学（理）试题
2019届重庆一中高三下学期5月月考数学（理）试题一、单选题1．已知复数z 满足i i z +=-1)1(（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．0 B ．12C ．1D ．23 【答案】C【解析】先求出复数z,再求|z|得解. 【详解】由题得21(1)2,||11(1)(1)2i i iz i z i i i ++====∴=--+ 故选：C 【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2．已知集合{|A x y ==，2{|230,}B x x x x Z =--<∈，则()RC A B =（ ） A ．{1} B ．{2}C ．}2,1{D ．}3,2,1{【答案】C【解析】先化简集合A,B ，再求()R C A B 得解.【详解】由题得A={x|x ＜1},B={x|-1＜x ＜3，x ∈Z}={0,1,2}, 所以{|1}R C A x x =≥， 所以()={1,2}R C A B .故选：C 【点睛】本题主要考查集合的化简，考查集合的补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 3．若4log 3=a ，0.40.6b =，2log 21=c ，则实数a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．a c b >>C ．a c b >>D ．b a c >>【答案】A【解析】先求出a,b,c 的范围，再比较大小即得解. 【详解】由题得33log 4log 31,a =>=0.400.60.61,0b b =<=>，2log 21=c 12log 10<=，所以a>b>c. 故选：A 【点睛】本题主要考查对数函数和指数函数的单调性的应用，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 4．下列说法正确的是（ ）A ．设m 是实数，若方程22112x ym m+=--表示双曲线，则2m >.B ．“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件.C ．命题“x R ∃∈，使得2230x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，2230x x ++>”.D ．命题“若0x 为()y f x =的极值点，则0'()0f x =”的逆命题是真命题. 【答案】B【解析】逐一分析每一个命题的真假得解. 【详解】A. 设m 是实数，若方程22112x ym m+=--表示双曲线，则(m-1)(2-m)＜0，所以m ＞2或m ＜1,所以该命题是假命题；B. “p q ∧为真命题”则p 真且q 真，“p q ∨为真命题”则p,q 中至少有个命题为真命题，所以“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件.所以该命题是真命题；C. 命题“x R ∃∈，使得2230x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，0322≥++x x ”.所以该命题是假命题；D. 命题“若0x 为()y f x =的极值点，则0'()0f x =”的逆命题是“0'()0f x =则0x 为()y f x =的极值点”，如函数3()f x x =，(0)0f '=，但是00=x 不是函数的极值点.所以该命题是假命题. 故选：B 【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程和复合命题的真假，考查充要条件和导数，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（ ）A ．5i ≤B ．6≤iC ．7i ≤D ．8i ≤【答案】B【解析】根据程序框图，逐步执行，直到S 的值为63，结束循环，即可得出判断条件. 【详解】 执行框图如下： 初始值：0,1S i ==，第一步：011,112S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第二步：123,213S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第三步：347,314S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第四步：7815,415S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第五步：151631,516S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第六步：313263,617S i =+==+=，此时要输出，结束循环；故，判断条件为6≤i . 故选B 【点睛】本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型.6．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论。
2019普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)-数学(理)解析版
2019普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）-数学（理）解析版注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
数学理一.填空题：本大题共10小题，每题5分，共计50分。
在每题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的1.在等差数列}{n a 中，52=a 那么}{n a 的前5项和5S =A.7B.15C.20D.25【答案】B【解析】422514d a a d=-=-,523167a a d =+=+=,故155()5651522a a S +⨯⨯===. 【考点定位】此题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式,解题时要认真审题,仔细解答. 2.不等式0121≤+-x x 的解集为A.⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121,【答案】A【解析】(1)(21)01101212210x x x x x x -+≤⎧-⎪≤⇒⇒<≤⎨++≠⎪⎩【考点定位】此题主要考察了分式不等式的解法，解题的关键是灵活运用不等式的性质，属于基础试题3.对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆222=+y x 的位置关系一定是 A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心 【答案】C【解析】圆心(0,0)C 到直线10kx y -+=的距离为11d r=<<=,且圆心(0,0)C 不在该直线上.法二:直线10kx y -+=恒过定点(0,1),而该点在圆C 内,且圆心不在该直线上,应选C. 【考点定位】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:两点间接距离公式,点与圆的位置关系,以及恒过定点的直线方程.直线与圆的位置关系利用d 与r 的大小为判断.当0d r ≤<时,直线与圆相交,当d r =时,直线与圆相切,当d r >时,直线与圆相离.4.321⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项为A.1635B.835C.435D.105【答案】B【解析】841881()2r rrr r r r T C C x--+==,令404r r -=⇒=,故展开式中的常数项为4458135()28T C ==.【考点定位】此题考查利用二项展开式的通项公式求展开公的常数项. 〔5〕设tan ,tan αβ是议程2320x x -+=的两个根，那么tan()αβ+的值为 （A ）-3〔B 〕-1〔C 〕1〔D 〕3 【答案】A 【解析】tan tan 3tan tan 3,tan tan 2tan()31tan tan 12αβαβαβαβαβ++==⇒+===-+- 考点定位】此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切公式化简求值. 〔6〕设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且,a c b c ⊥，那么a b +=〔ABC〕D 〕10 【答案】B【解析】由02402a c a c x x ⊥⇒⋅=⇒-=⇒=,由//422b c y y ⇒-=⇒=-,故||(21)a b +=+=【考点定位】此题主要考查两个向量垂直和平行的坐标表示,模长公式.解决问题的关键在于根据a c ⊥、//b c ,得到,x y 的值,只要记住两个向量垂直,平行和向量的模的坐标形式的充要条件,就不会出错,注意数字的运算.〔7〕()f x 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，那么“()f x 为[0，1]上的增函数”是“()f x 为[3，4]上的减函数”的〔A 〕既不充分也不必要的条件〔B 〕充分而不必要的条件 〔C 〕必要而不充分的条件〔D 〕充要条件 【答案】D【解析】由()f x 是定义在R 上的偶函数及[0,1]双抗的增函数可知在[-1,0]减函数，又2为周期，所以【3,4】上的减函数【考点定位】此题主要通过常用逻辑用语来考察函数的奇偶性，进而来考察函数的周期性，根据图像分析出函数的性质及其经过的特殊点是解答此题的关键。
2019届重庆市高考模拟（5月份）数学（理）试题
2019届重庆市高考模拟（5月份）数学（理）试题一、单选题 1．若复数z 满足1z izi-=，其中是虚数单位，则z =（ ） A.1122i + B.1122i - C.1122-+i D.1122i -- 【答案】D 【解析】由1z izi -=变形得出1=-i z i，利用复数的除法法则得出复数z 的一般形式，利用共轭复数的定义得出复数z 。
【详解】 由1z i zi -=，得z i zi -=，(1)111(1)(1)22i i i z i i i i +∴===-+--+，∴1122z i =--． 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的除法、共轭复数的概念，解决复数的问题，一般要利用复数的四则运算法则得出复数的一般形式，明确复数的实部与虚部，再根据复数的实部与虚部求解。
2．已知集合[2A =，)+∞，{|1}B x x a =，A B φ⋂≠，则实数a 的取值范围是（ ） A.(2,)+∞ B.[2，)+∞C.(1,2)D.(1，2]【答案】B【解析】考查a 与2的大小关系，结合条件A B ⋂≠∅并利用数轴可得出实数a 的取值范围。
【详解】集合[2A =，)+∞，{|1}B x x a =，A B φ⋂≠，2a ∴，∴实数a 的取值范围是[2，)+∞．故选：B ． 【点睛】本题考查利用集合的交集运算求参数的取值范围，这类问题的求解就是利用数轴，考查端点之间的位置关系结合已知条件得出有关参数的不等式进行求解，属于中等题。
3．已知函数()3123f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角是（ ） A.6π B.4π C.23π D.34π【答案】D【解析】利用导数求出()1f '，作为切线的斜率，再由斜率求出切线的倾斜角。
【详解】根据题意，函数21()23f x x x =-，设切线的斜率为k ，其倾斜角是θ，函数31()23f x x x =-，则2()2f x x '=-，则有k f ='（1）1=-，则tan 1θ=-，又由0θπ<，则34πθ=， 故选：D ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线的倾斜角，求切线倾斜角抓住以下两点： （1）函数在切点处的导数值等于切线的斜率；（2）在倾斜角不是直角时，倾斜角的正切值等于直线的斜率。
重庆市2019届高三三诊考试理科数学试卷【含答案及解析】
重庆市2019届高三三诊考试理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，，那么（）A. B. C. D.2. 等差数列满足，，则（）A. 7B. 14C. 21D. 283. 已知，，且，则实数（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 设是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（）A. ，则________B. ，则C. ，则________D. ，则5. 实数满足且，则的最大值为（）A. -7B. -1C. 5D. 76. 若，则二项式展开式中的常数项是（）A. 20B. -20C. -540D. 5407. 已知流程图如图所示，该程序运行后，若输出的值为16，则循环体的判断框内①处应填（）A. 2B. 3C. 4D. 58. 设，，则下列结论不正确的是（）A. B. C. D.9. 函数，设的最大值是，最小正周期为，则的值等于（）A. B. C. 1 D. 010. 如图，某几何体的三视图都是直角三角形，若几何体的最大棱长为2，则该几何体的外接球的体积是（）A. B. C. D.11. 等比数列的前项和（为常数），若恒成立，则实数的最大值是（）A. 3B. 4C. 5D. 612. 设是双曲线的右顶点，是右焦点，若抛物线的准线上存在一点，使，则双曲线的离心率的范围是（）A. B. C. D.二、填空题13. 已知为虚数单位，复数满足，则 __________ ．14. 已知是集合所表示的区域，是集合所表示的区域，向区域内随机的投一个点，则该点落在区域内的概率为 __________ ．15. 设直线与圆相交于两点，若点关于直线对称，则 __________ ．16. 若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是__________ ．三、解答题17. 在三角形中，角所对边分别为，满足.（1）求角；（2）若，，求三角形的面积.18. 渝州集团对所有员工进行了职业技能测试从甲、乙两部门中各任选10名员工的测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图所示.（1）若公司决定测试成绩高于85分的员工获得“职业技能好能手”称号，求从这20名员工中任选三人，其中恰有两人获得“职业技能好能手”的概率；（2）公司结合这次测试成绩对员工的绩效奖金进行调整（绩效奖金方案如下表），若以甲部门这10人的样本数据来估计该部门总体数据，且以频率估计概率，从甲部门所有员工中任选3名员工，记绩效奖金不小于的人数为，求的分布列及数学期望.19. 如图，正三棱柱中，侧棱，，分别为棱的中点，分别为线段和的中点.（1）求证：直线平面；（2）求二面角的余弦值.20. 已知点在圆：上，而为在轴上的投影，且点满足，设动点的轨迹为曲线 .（1）求曲线的方程；（2）若是曲线上两点，且，为坐标原点，求的面积的最大值.21. 已知函数，其中 .（1）设是的导函数，求函数的极值；（2）是否存在常数，使得时，恒成立，且有唯一解，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线过定点，且倾斜角为（），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为 .（1）写出的参数方程和的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，且，求的值.23. 选修4-5：不等式选讲设函数的最小值是 .（1）求的值；（2）若，是否存在正实数满足？并说明理由.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第23题【答案】。
2019年重庆市高考理科数学试卷及答案解析
2019年普通高校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.在复平面内表示复数i（1 2i）的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限［核心考点］考查复数的运算，复数的几何意义。
［解析］i（1 2i） 2 i，其在复平面上对应的点为Z（2,1），位于第一象限。
［答案］A2.对任意等比数列a n ,下列说法一定正确的是（）A. 31、玄3、89成等比数列B. a?、83、*6成等比数列C. *2、*4、38成等比数列D. *3、*6、*9成等比数列［核心考点］考查等比数列的性质应用。
［解析］根据等比数列的性质，a：a3*9，故a3、a6、a9成等比数列。
［答案］D3.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本的平均数x 3，y 3.5，则由观测的数据得线性回归方程可能为（）A. $ 0.4x 2.3B. $ 2x 2.4C. $ 2x 9.5D. $ 0.3x 4.4［核心考点］考查两个变量的相关关系以及两个变量间的回归直线方程等知识的应用。
［解析］由变量x与y正相关可排除选项C、D,由样本中心点2.5,3.5在回归直线方程上可得回归直线方程可能为$ 0.4x 2.3［解析］由题知，2a 3b （2k 3, 6）,因为（2a 3b） c ,所以（2a 3b）gp 0，所以C. p qD. p q［核心考点］考查复合命题的真值表的应用，全称命题真假的判定以及充件的判定。
［解析］由题知，命题p为真命题，命题q为假命题，q为真命题，p q为真命题。
［答案］D7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.54B.60C.66D.72［核心考点］根据几何体的三视图求该几何体的表面积。
［解析］根据三视图可得该几何体如右图所示，1 13 4 3 5 2 212(2 5) 42(25) 5 3 5 60。
重庆市2019年高考理科数学模拟试题及答案 (二)
重庆市2019年高考理科数学模拟试题及答案（二）（试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U =R ，{}10A x x =+<，集合{}2|log 1B x x =<，则集合()U A B =I ð A ．[1,2]- B ．(0,2) C ．[1,)-+∞ D ．[1,1)-2. 若复数232018|34|134i z i i i ii-=++++++-…，则z 的共轭复数的虚部为A ．15-B ．95-C ．95D ．95i -3. 已知实数,x y 满足条件04010x y x y x -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则y x 的最大值是A. 1B.2C.3D.44. 如右图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的 三视图，则该几何体的体积为A ．83B ．2C ．8D ．65．在直角坐标系中，若角α的终边经过点()22sin ,cos sin 33P πππα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则A ．12B．2C ．12-D．2-6．按如上图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是A ．5B ．6C ．7D ．87. 某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概率为0.75，两个红绿灯路口都遇到红灯的概率为0.60，则在第一个路口遇到红灯的前提下，第二个路口也遇到红灯的概率为A ．0.85B ．0.80C ．0.60D ．0.568. 某天，甲、乙同桌两人随机选择早上7:00—7:30的某一时刻到达学校自习，则甲比乙提前到达超过10分钟的概率为 A.23 B. 13 C. 29 D.799．已知定义域为R 的奇函数()f x 在(0，+∞)上的解析式为()()()23log 5,0233,,2x x f x f x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩,则()()32018f f += A. －2B.－1C.1D.210．设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF OP ，则C 的离心率为 AB ．2CD11. 将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移()0a a >个单位得到函数()cos 24g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，则a 的值可以为A ．512π B ．712π C.1924π D ．4124π 12．已知函数)0(4)(>+=x xx x f ，P 是)(x f y =图象上任意一点，过点P 作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为B A ,，又过点P 作曲线)(x f y =的切线，交直线x y =和y 轴于点H G ,.给出下列四个结论：①||||PB PA ⋅是定值；②⋅是定值；③||||OH OG ⋅（O 是坐标原点）是定值；④⋅是定值. 其中正确的是A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②③④ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设0sin a xdx π=⎰，则二项式6(的展开式中常数项是 。
2019年重庆市高考数学试卷(理科)(附详细答案)
2019年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是（）A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列2．（5分）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.44．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣ B．0 C．3 D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A．s＞B．s＞C．s＞D．s＞6．（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“ｘ＞1”是“ｘ＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q7．（5分）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）A．54 B．60 C．66 D．728．（5分）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|?|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．39．（5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．72 B．120 C．144 D．16810．（5分）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（）A．bc（b+c）＞8 B．ab（a+b）＞16C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24二、填空题：本大题共3小题，每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（?U A）∩B=．12．（5分）函数f（x）=log2?log（2x）的最小值为．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=．三、选做题：考生注意（14）（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14．（5分）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=．15．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝．16．若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是．四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）已知函数f（x）=sin（ωｘ+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．18．（13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．（Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（Ⅱ）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．）19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上的一点，且BM=，MP⊥AP．（Ⅰ）求PO的长；（Ⅱ）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值．20．（12分）已知函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c．（Ⅰ）确定a，b的值；（Ⅱ）若c=3，判断f（x）的单调性；（Ⅲ）若f（x）有极值，求c的取值范围．21．（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上．DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．22．（12分）设a1=1，a n+1=+b（n∈N*）（Ⅰ）若b=1，求a2，a3及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立，证明你的结论．2019年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是（）A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列【分析】利用等比中项的性质，对四个选项中的数进行验证即可．【解答】解：A项中a3=a1?q2，a1?a9=?q8，（a3）2≠a1?a9，故A项说法错误，B项中（a3）2=（a1?q2）2≠a2?a6=?q6，故B项说法错误，C项中（a4）2=（a1?q3）2≠a2?a8=?q8，故C项说法错误，D项中（a6）2=（a1?q5）2=a3?a9=?q10，故D项说法正确，故选：D．【点评】本题主要考查了是等比数列的性质．主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行判断．2．（5分）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．【解答】解：∵复数Z=i（1﹣2i）=2+i∵复数Z的实部2＞0，虚部1＞0∴复数Z在复平面内对应的点位于第一象限故选：A．【点评】本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，是解答本题的关键．3．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.4【分析】变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．【解答】解：∵变量x与y正相关，∴可以排除C，D；样本平均数=3，=3.5，代入A符合，B不符合，故选：A．【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．4．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣ B．0 C．3 D．【分析】根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可．【解答】解：∵=（k，3），=（1，4），=（2，1）∴2﹣3=（2k﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）?=0'∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）=0，解得，k=3．故选：C．【点评】本题考查数量积的坐标表达式，是一个基础题，题目主要考查数量积的坐标形式，注意数字的运算不要出错．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A．s＞B．s＞C．s＞D．s＞【分析】程序运行的S=××…×，根据输出k的值，确定S的值，从而可得判断框的条件．【解答】解：由程序框图知：程序运行的S=××…×，∵输出的k=6，∴S=××=，∴判断框的条件是S＞，故选：C．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键．6．（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“ｘ＞1”是“ｘ＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q【分析】由命题p，找到x的范围是x∈R，判断p为真命题．而q：“ｘ＞1”是“ｘ＞2”的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答．【解答】解：因为命题p对任意x∈R，总有2x＞0，根据指数函数的性质判断是真命题；命题q：“ｘ＞1”不能推出“ｘ＞2”；但是“ｘ＞2”能推出“ｘ＞1”所以：“ｘ＞1”是“ｘ＞2”的必要不充分条件，故q是假命题；所以p∧￢q为真命题；故选：D．【点评】判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断．7．（5分）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）A．54 B．60 C．66 D．72【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，∵AB⊥平面BEFC，∴AB⊥BC，BC=5，FC=2，AD=BE=5，DF=5∴几何体的表面积S=×3×4+×3×5+×4+×5+3×5=60．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．8．（5分）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|?|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【分析】不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex ﹣a，结合条件可得a=b，从而c==b，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|?|PF2|=ab，∴2ex=3b，（ex）2﹣a2=ab∴b2﹣a2=ab，即9b2﹣4a2﹣9ab=0，∴（3b﹣4a）（3b+a）=0∴a=b，∴c==b，∴e==．故选：B．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．9．（5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．72 B．120 C．144 D．168【分析】根据题意，分2步进行分析：①、先将3个歌舞类节目全排列，②、因为3个歌舞类节目不能相邻，则分2种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：分2步进行分析：1、先将3个歌舞类节目全排列，有A33=6种情况，排好后，有4个空位，2、因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，分2种情况讨论：①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C21A22=4种情况，排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48种；②将中间2个空位安排2个小品类节目，有A22=2种情况，排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72种；则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120，故选：B．【点评】本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便．10．（5分）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（）A．bc（b+c）＞8 B．ab（a+b）＞16C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24【分析】根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质进行证明即可得到结论．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，∴sin2A+sin2B=﹣sin2C+，∴sin2A+sin2B+sin2C=，∴2sinAcosA+2sin（B+C）cos（B﹣C）=，2sinA（cos（B﹣C）﹣cos（B+C））=，化为2sinA[﹣2sinBsin（﹣C）]=，∴sinAsinBsinC=．设外接圆的半径为R，由正弦定理可得：=2R，由S=，及正弦定理得sinAsinBsinC==，即R2=4S，∵面积S满足1≤S≤2，∴4≤R2≤8，即2≤R≤，由sinAsinBsinC=可得，显然选项C，D不一定正确，A．bc（b+c）＞abc≥8，即bc（b+c）＞8，正确，B．ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，但ab（a+b）＞16，不一定正确，故选：A．【点评】本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（?U A）∩B={7，9} ．【分析】由条件利用补集的定义求得?U A，再根据两个集合的交集的定义求得（?A）∩B．U【解答】解：∵全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，∴（?U A）={4，6，7，9 }，∴（?U A）∩B={7，9}，故答案为：{7，9}．【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．12．（5分）函数f（x）=log2?log（2x）的最小值为．【分析】利用对数的运算性质可得f（x）=，即可求得f（x）最小值．【解答】解：∵f（x）=log2?log（2x）∴f（x）=log（）?log（2x）=log x?log（2x）=log x（log x+log2）=log x（log x+2）=，∴当log x+1=0即x=时，函数f（x）的最小值是．故答案为：﹣【点评】本题考查对数不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的综合应用，考查二次函数的配方法，属于中档题．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=4±．【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．【解答】解：圆心C（1，a），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d=，平方得a2﹣8a+1=0，解得a=4±，故答案为：4±【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．三、选做题：考生注意（14）（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14．（5分）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=4．【分析】由题意，∠PAB=∠C，可得△PAB∽△PCA，从而，代入数据可得结论．【解答】解：由题意，∠PAB=∠C，∠APB=∠CPA，∴△PAB∽△PCA，∴，∵PA=6，AC=8，BC=9，∴，∴PB=3，AB=4，故答案为：4．【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判断，属于基础题．15．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝．【分析】直线l的参数方程化为普通方程、曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求出公共点的坐标，即可求出极径．【解答】解：直线l的参数方程为，普通方程为y=x+1，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0的直角坐标方程为y2=4x，直线l与曲线C联立可得（x﹣1）2=0，∴x=1，y=2，∴直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝=．故答案为：．【点评】本题考查直线l的参数方程、曲线C的极坐标方程，考查学生的计算能力，属于中档题．16．若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是[﹣1，] ．【分析】利用绝对值的几何意义，确定|2x﹣1|+|x+2|的最小值，然后让a2+a+2小于等于它的最小值即可．【解答】解：|2x﹣1|+|x+2|=，∴x=时，|2x﹣1|+|x+2|的最小值为，∵不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，∴a2+a+2≤，∴a2+a﹣≤0，∴﹣1≤a≤，∴实数a的取值范围是[﹣1，]．故答案为：[﹣1，]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，突出考查一元二次不等式的解法及恒成立问题，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）已知函数f（x）=sin（ωｘ+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．【分析】（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π 求得ω=2．再根据图象关于直线x=对称，结合﹣≤φ＜可得φ 的值．（Ⅱ）由条件求得sin（α﹣）=．再根据α﹣的范围求得cos（α﹣）的值，再根据cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]，利用两角和的正弦公式计算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．再根据图象关于直线x=对称，可得2×+φ=kπ+，k∈z．结合﹣≤φ＜可得φ＝﹣．（Ⅱ）∵f（）=（＜α＜），∴sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=．再根据0＜α﹣＜，∴cos（α﹣）==，∴cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]=sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin=+=．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωｘ+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题．18．（13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．（Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（Ⅱ）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．）【分析】第一问是古典概型的问题，要先出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数，然后代入古典概型概率计算公式即可，相对简单些；第二问应先根据题意求出随机变量X的所有可能取值，此处应注意所取三张卡片可能来自于相同数字（如1或2）或不同数字（1和2、1和3、2和3三类）的卡片，因此应按卡片上的数字相同与否进行分类分析，然后计算出每个随机变量所对应事件的概率，最后将分布列以表格形式呈现．【解答】解：（Ⅰ）由古典概型的概率计算公式得所求概率为P=，（Ⅱ）由题意知X的所有可能取值为1，2，3，且P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，所以X的分布列为：X123P所以E（X）=．【点评】本题属于中档题，关键是要弄清涉及的基本事件以及所研究的事件是什么才能解答好第一问；第二问的只要是准确记住了中位数的概念，应该说完成此题基本没有问题．19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上的一点，且BM=，MP⊥AP．（Ⅰ）求PO的长；（Ⅱ）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值．【分析】（Ⅰ）连接AC，BD，以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，分别求出向量，的坐标，进而根据MP⊥AP，得到?=0，进而求出PO的长；（Ⅱ）求出平面APM和平面PMC的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值，进而根据平方关系可得：二面角A﹣PM﹣C的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）连接AC，BD，∵底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，故AC∩BD=O，且AC⊥BD，以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，∵AB=2，∠BAD=，∴OA=AB?cos（∠BAD）=，OB=AB?sin（∠BAD）=1，∴O（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），C（﹣，0，0），=（0，1，0），=（﹣，﹣1，0），又∵BM=，∴=（﹣，﹣，0），则=+=（﹣，，0），设P（0，0，a），则=（﹣，0，a），=（，﹣，a），∵MP⊥AP，∴?=﹣a2=0，解得a=，即PO的长为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知=（﹣，0，），=（，﹣，），=（，0，），设平面APM的法向量=（x，y，z），平面PMC的法向量为=（a，b，c），由，得，令x=1，则=（1，，2），由，得，令a=1，则=（1，﹣，﹣2），∵平面APM的法向量和平面PMC的法向量夹角θ满足：cosθ＝==﹣故sinθ＝=【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．20．（12分）已知函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c．（Ⅰ）确定a，b的值；（Ⅱ）若c=3，判断f（x）的单调性；（Ⅲ）若f（x）有极值，求c的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，构造关于a，b的方程，可得a，b的值；（Ⅱ）将c=3代入，利用基本不等式可得f′（x）≥0恒成立，进而可得f（x）在定义域R为均增函数；（Ⅲ）结合基本不等式，分c≤4时和c＞4时两种情况讨论f（x）极值的存在性，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）∴f′（x）=2ae2x+2be﹣2x﹣c，由f′（x）为偶函数，可得2（a﹣b）（e2x﹣e﹣2x）=0，即a=b，又∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，即f′（0）=2a+2b﹣c=4﹣c，故a=b=1；（Ⅱ）当c=3时，f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣3≥2=1＞0恒成立，故f（x）在定义域R为均增函数；（Ⅲ）由（Ⅰ）得f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣c，而2e2x+2e﹣2x≥2=4，当且仅当x=0时取等号，当c≤4时，f′（x）≥0恒成立，故f（x）无极值；当c＞4时，令t=e2x，方程2t+﹣c=0的两根均为正，即f′（x）=0有两个根x1，x2，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣∞，x1）∪（x2，+∞）时，f′（x）＞0，故当x=x1，或x=x2时，f（x）有极值，综上，若f（x）有极值，c的取值范围为（4，+∞）．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档．21．（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上．DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．【分析】（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意，可求得c=1，易求得|DF1|==，|DF2|=，从而可得2a=2，于是可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由F1P1⊥F2P2，得x1=﹣或x1=0，分类讨论即可求得圆的半径．【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2，由=2，得|DF1|==c，从而=|DF1||F1F2|=c2=，故c=1．从而|DF1|=，由DF1⊥F1F2，得=+=，因此|DF2|=，所以2a=|DF1|+|DF2|=2，故a=，b2=a2﹣c2=1，因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由（Ⅰ）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣+=0，由椭圆方程得1﹣=，即3+4x1=0，解得x1=﹣或x1=0．当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；当x1=﹣时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C．由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，知CP1⊥CP2，又|CP1|=|CP2|，故圆C的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能力，属于难题．22．（12分）设a1=1，a n+1=+b（n∈N*）（Ⅰ）若b=1，求a2，a3及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立，证明你的结论．【分析】（Ⅰ）若b=1，利用a n+1=+b，可求a2，a3；证明{（a n﹣1）2}是首项为0，公差为1的等差数列，即可求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设f（x）=，则a n+1=f（a n），令c=f（c），即c=﹣1，解得c=．用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1＜1即可．【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，a n+1=+b，b=1，∴a2=2，a3=+1；又（a n+1﹣1）2=（a n﹣1）2+1，∴{（a n﹣1）2}是首项为0，公差为1的等差数列；∴（a n﹣1）2=n﹣1，∴a n=+1（n∈N*）；（Ⅱ）设f（x）=，则a n+1=f（a n），令c=f（c），即c=﹣1，解得c=．下面用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1＜1．n=1时，a2=f（1）=0，a3=f（0）=﹣1，∴a2＜c＜a3＜1，成立；设n=k时结论成立，即a2k＜c＜a2k+1＜1∵f（x）在（﹣∞，1]上为减函数，∴c=f（c）＞f（a2k+1）＞f（1）=a2，∴1＞c＞a2k+2＞a2，∴c=f（c）＜f（a2k+2）＜f（a2）=a3＜1，∴c＜a2k+3＜1，∴a2（k+1）＜c＜a2（k+1）+1＜1，即n=k+1时结论成立，综上，c=使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立．【点评】本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，难度大．。
2019届重庆市南开中学高考模拟(理科)数学试题(解析版)
重庆南开中学高2019级理科数学高考模拟试题（8）一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在答题卡上.1.复数21iz i=-的共轭复数为（ ） A. 1i -- B. 1i -+C. 1122-+i D. 1122i -- 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算可求得z ，然后根据共轭复数的定义，可得本题答案. 【详解】22(1)11(1)(1)i i i z i i i i +===-+--+，因此z 的共轭复数为1i --. 故选：A【点睛】本题主要考查复数的除法运算及共轭复数.2.已知集合1A x x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，集合()(){}10B x x x x a =⋅-⋅+<，若A B A B =I U ，则a =（ ）A. 1-B. 1C. 0D. 2【答案】B 【解析】 【分析】由A B A B =I U ，得A B =，又由1x x>，得(1)(1)0x x x -+<，即可得到本题答案. 【详解】由A B A B =I U ，得A B =， 又由1x x>，得3x x >，即(1)(1)0x x x -+<， 所以，{|(1)(1)0}A x x x x =-+<， 因为A B =，所以1a =. 故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本运算及分式不等式.3.等差数列{}n a 满足12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，则数列{}n a 的公差为（ ） A. 4B. 4-C. 0D. 0或4【答案】D 【解析】 【分析】由题，得2(2)2(24)d d +=+，解方程即可得到本题答案.【详解】由125,,a a a 成等比数列，得2215a a a =，因为{}n a 为等差数列且12a =，设公差为d ，则2(2)2(24)d d +=+，解得0d =或4d =. 故选：D【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合应用问题.4.若cos 8tan 3αα=，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 13-B.13C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由cos 8tan 3αα=，得28cos sin 3αα=,联立22sin cos 1αα+=可求得sin α， 又由cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即可得到本题答案. 【详解】由cos 8tan 3αα=，得28cos sin 3αα=①，又22sin cos 1αα+=②，联立①，②得， sin 3α=-（舍去），或1sin 3α=，所以，1cos sin 23παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭. 故选：A【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系及诱导公式.5.有5名留学海外的南开毕业生回到母校的3个班去分享留学生活见闻，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（ ） A. 36 B. 72C. 90D. 150【答案】D 【解析】【分析】按2、2、1和1、1、3两种情况分别算出分派方法的种数，然后相加，即可得到本题答案.【详解】分两类：一类，3个班分派的毕业人数分别为2、2、1，则有223 5332290C CAA⋅=种分派方法；另一类，3个班分派的毕业生人数分别为1、1、3，则有335360C A⋅=种分派方法，所以不同分派方法种数为9060150+=种.故选：D【点睛】本题主要考查排列组合的综合问题.6.已知变量x，y满足约束条件1031010x yx yx y+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则23z x y=-的最大值为（）A. 1B. 2C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】先根据不等式组画出可行域，再利用几何意义求最值，即可得到本题答案.【详解】画出可行域，如下图的阴影部分所示，由图知，3z-是直线2133y x z=-在y轴上的截距，当直线2133y x z=-经过点(1,2)A--时，z取得最大值，此时1,2x y=-=-，则z的最大值是2(1)3(2)4⨯--⨯-=.故选：C【点睛】本题主要考查线性规划求最值问题.7.某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是（ ）A. 22B. 27C. 32D. 37【答案】B 【解析】 【分析】由三视图得到直观图，又由侧面积P BCP CD ADP ABP S S S S ∆∆∆∆=+++，即可得到本题答案. 【详解】该三视图的直观图为如下图的四棱锥P ABCD -，所以， 侧面积111134343535272222BCP CDP ADP ABP S S S S ∆∆∆=+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=V . 故选：B【点睛】本题主要考查三视图还原直观图及四棱锥侧面积的计算.8.函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，已知12,,2x x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，12x x ≠，且()()12f x f x =，则()12f x x +等于（ ）A. 1-B. 2-C. 1D. 2【答案】C 【解析】由题意可得2A =，函数的周期满足：332119,24412612T ππππωω=⨯=-=∴=， 当6x π=时，2262x k ππωϕϕπ+=⨯+=+，据此可得：()26k k Z πϕπ=+∈，令0k =可得6π=ϕ， 则()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 由12,,2x x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，12x x ≠，且()()12f x f x =，可得：1243x x π+=，则441712sin 22sin 2133662f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 本题选择C 选项.9.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切制圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的轴重合），已知两个圆锥的底面半径为12，记过圆锥轴的平面ABCD 为平面α（α与两个圆锥面的交线为AC 、BD ），用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的截线即为双曲线E 的一部分，且双曲线E 的两条渐近线分别平行于AC 、BD ，则双曲线E 的离心率为（ ）A.23B.2C.3D. 2【答案】B 【解析】 【分析】以矩形ABCD 的中心为原点，圆锥的轴为x 轴建立平面直角坐标系，由题，得1ba=，从而可得到本题答案.【详解】以矩形ABCD 的中心为原点，圆锥的轴为x 轴建立平面直角坐标系，设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，由题，得2,1OA AM ==，则1,tan 1OM AOM =∠=，即1ba=， 所以2222212a b b e a a+==+=.故选：B【点睛】本题主要考查数学史及双曲线的离心率.10.若P 是圆()()22:331C x y ++-=上任一点，则点P 到直线1y kx =-距离的最大值为（ ）A. 101B. 321C. 8D. 6【答案】D 【解析】 【分析】由图，得||||||d PQ PC CQ ≤≤+，所以当,,P C Q 成一直线时，d 取最大值，由此即可得到本题答案. 【详解】设点P 为圆上任意一点，直线1y kx =-交y 轴于点Q ，点P 到直线1y kx =-的距离为d ， 易得，||||||d PQ PC CQ ≤≤+，当,,P C Q 成一直线时，d 取最大值， 且有22max ||||1(3)(31)6d PC CQ =+=+-++=.故选：D【点睛】本题主要考查圆上一点到直线的最大距离.11.执行如图的程序框图，若输出的ln 2019S =，则正整数m 的值为（ ）A. 2017B. 2018C. 2019D. 2020【答案】C 【解析】 【分析】按照程序框图的定义，写到第2018次循环，即可得到本题答案. 【详解】第1次循环，ln 2,2S i ==；第2次循环，23231ln 2ln 2ln ln 3,3S dx x i x=+⎰=+==；L第2017次循环，20172018201720181ln 2017ln 2017ln ln 2018,2018S dx x i x=+⎰=+==； 第2018次循环，20182019201820191ln 2018ln 2018ln ln 2019,2019S dx x i x=+⎰=+==； 据此可得，2019m =. 故选：C【点睛】本题主要考查定积分与程序框图.12.已知函数()e x f x x =，要使函数2()[()]()1g x k f x f x =-+的零点个数最多，则k 的取值范围是A .2e k <-B. 2e e k <--C. 2e e k >--D. 2e k >-【答案】B 【解析】 【分析】利用导数判断函数()f x 的单调性，根据单调性可得，10t e-<<时，()f x t =最多有两个根，210kt t -+=即最多有2个根，即10t e-<<时原方程最多有四个根，根据一元二次方程根的分布列不等式组求解即可.【详解】因为()e xf x x =，所以()()'1xf x x e =+，可得()f x 在(),1-∞-上递减，在()1,-+∞递增， 所以，()e xf x x =有最小值()11f e-=-，且0x <时，()0f x <，当x 趋向于负无穷时，f(x)趋向于0，但始终小于0，所以，10t e-<<时，()f x t =最多有两个根， 210kt t ∴-+=最多有2个根，即()210h t kt t =-+=在1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭有两个根时，()0g x =的零点最多为4个，()2010111101401102g g k e e e k e k ⎧=>⎪⎛⎫⎪-=⨯++> ⎪⎪⎝⎭∴⎨∆=->⎪⎪⎪-<<⎩，解得2k e e <--， 故选B.【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.13.已知()sin 1f x x x =++，若()4f θ=，则()f θ-=________.【答案】2- 【解析】 【分析】由()sin g x x x =+为奇函数，得()()2f x f x +-=，由此即可得到本题答案. 【详解】设()sin g x x x =+，则()()1f x g x =+， 由()g x 为奇函数得，()()0g x g x -+=， 所以，()()()1()12f x f x g x g x +-=++-+=， 因为()4f θ=，所以()2f θ-=-. 故答案为：-2【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求值.14.设向量a r ，b r 满足2a =r ，1b =r ，且()b a b ⊥+r r r ，则向量a r ，b r的夹角为________.【答案】23π 【解析】【分析】由()b a b ⊥+r r r ，可算得a b ⋅r r ，然后利用cos ||||a ba b θ⋅=⋅r r r r，即可得到本题答案. 【详解】由()b a b ⊥+r r r ，得()0b a b ⋅+=r r r ，即22||1a b b b ⋅=-=-=-rr r r ，设向量,a b rr 的夹角为θ，则有，1cos 2||||a b a b θ⋅-==⋅r r r r， 所以向量,a b rr 的夹角为23π. 故答案为：23π【点睛】本题主要考查平面向量垂直的等价条件以及数量积.15.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，那么222212320192019a a a a a +++⋯+是斐波那契数列中的第________项.【答案】2020 【解析】 【分析】由21212111,n n n n n a a a a a a a ++++===+，得222222019202020192018201721a a a a a a a =++++L ，即可得到本题答案. 【详解】由题，得2122112111,,n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++++===+=+, 则220192020201920182019a a a a a =+，220182019201820172018a a a a a =+， 220172018201720162017a a a a a =+， 223212a a a a a =+，又因为2112a a a =，所以222222019202020192018201721a a a a a a a =++++L ，即2222123201920202019a a a a a a +++⋯+=， 所以，222212320192019a a a a a +++⋯+是斐波那契数列中的第2020项.故答案为：2020【点睛】本题主要考查斐波那契数列的应用，由21n n n a a a ++=+，得21211n n n n n a a a a a ++++=+，是解决此题的关键，主要考查学生的推理分析能力及计算能力.16.在底面是边长为6的正方形的四棱锥P ABCD -中，点P 在底面的射影H 为正方形ABCD 的中心，异面直线PB 与AD 所成角的正切值为53，则四棱锥P ABCD -的内切球与外接球的半径之比为___________. 【答案】617【解析】【详解】由题意，四棱锥P ABCD -为正四棱锥，PA PB PC PD ===，如图所示：因为AD BC ∥，所以异面直线PB AD 与所成的角为PBC ∠，取BC 中点E ，则5tan 3PE PBC BE ∠==. ∴5PE =∵132EH AB == ∴4HP =∴四棱锥的表面积165466962S =⨯⨯⨯+⨯=，四棱锥的体积为1664483V =⨯⨯⨯= ∴四棱锥的内切球半径332V r S == 设四棱锥外接球的球心为O ，外接球的半径为R ，则OP OA =∴()(2224R R -+=∴174R =∴617r R = 故答案为617.点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解决的关键是确定球心的位置.对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球的半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.三.解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：共60分.17.在ABC V ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos ()cos b A c B c a B -=-. （1）求角B 的值；（2）若ABC V 的面积为b =，求a c +的值.【答案】（1）3B π=（2）7【解析】 试题分析：（1）由正弦定理把已知等式化为角的关系，再利用两角和与差的正弦公式及诱导公式求得1cos 2=，从而得3B π=；（2）由三角形面积公式1sin 2S ac B =及已知可得12ac =，再利用余弦定理2222cos b a c ac B =+-可求得a c +. 试题解析：（1）∵()cos cos cos b A c B c a B -=-.∴由正弦定理，得()sin cos sin cos sin sin cos B A C B C A B -=-. ∴sin cos cos sin 2sin cos A B A B C B +=.()sin 2sin cos A B C B ∴+=.又A B C π++=，∴()sin sin A B C +=. 又∵0C π<<，1cos 2B ∴=.又()0B π∈，，3B π∴=. （2）据（1）求解知3B π=，∴222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-.①又1sin 332S ac B ==，∴12ac =，② 又13b =Q ，∴据①②解，得7a c +=.18.已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，ABC 60∠=︒，E 是BC 中点，M 是PD 的中点，F 是PC 上的点．（Ⅰ）求证：平面AEF ⊥平面PAD ；（Ⅱ）当F 是PC 中点，且AB AP =时，求二面角F AE M --的余弦值． 【答案】310【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）利用菱形的对角线相互垂直和等腰三角形的“三线合一”得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到线面垂直，进而利用面面垂直的判定定理进行证明；（Ⅱ）利用第一问的垂直关系建立空间直角坐标系，写出相关点的点的坐标，求出相关直线的方向向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式进行求解. 试题解析：（Ⅰ）连接AC ，∵底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=o ， ∴ABC V 是正三角形， ∵E 是BC 中点，∴AE BC ⊥， 又//AD BC ，∴AE AD ⊥，∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA AE ⊥， 又PA AD A ⋂=，∴AE ⊥平面PAD ， 又AE ⊂平面AEF ， ∴平面AEF ⊥平面PAD ．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得AE ，AD ，AP 两两垂直，以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设2AB AP ==，则3AE =则()0,0,0A ，)3,1,0C，()0,2,0D ，()0,0,2P ，()3,0,0E，31,122F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,1M ∴)3,0,0AE =u u u v ，31,12AF ⎫=⎪⎪⎝⎭u u u v ，()0,1,1AM =u u u u v，设(),,m x y z r=是平面AEF 的个法向量，则303102m AE x m AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u uv r u u u v r ，取1z =，得()0,2,1m =-r ，同理可求，平面AME 的个法向量，()0,1,1n =-r则310cos ,10m n m n m n ⋅==⋅r rr rr r ． 观察可知，二面角的平面角为锐角 ∴二面角F AE M --的平面角的余弦值为310． 19.端午假期即将到来，永辉超市举办“浓情端午高考加油”有奖促销活动，凡持高考准考证考生及家长在端年节期间消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖箱里有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球有3个，黑球有7个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折. 方案二：从抽奖箱中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次（1）若小南、小开均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求他们均享受免单优惠的概率； （2）若小杰消费恰好满1000元，试比较说明小杰选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】（1）114400（2）小杰选择第一种抽奖方案更合算.【解析】 【分析】（1）先算出一人免单对应的概率为P ，则两个人都免单对应的概率为2P ；（2）选择方案一时，写出付款金额X 的各种可能取值，计算出对应的概率，得到分布列，求出其数学期望值；选择方案二时，设摸到的红球的个数为Y ，付款金额为Z 元，计算Z 的数学期望值，比较两个期望值的大小，即可得到本题答案.【详解】解：（1）方案一若享受到免单优惠，则需摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则()333101120C P A C ==. 所以小南、小开二人均享受到免单的概率为()()114400P P A P A =⋅=.（2）若小杰选择方案一，设付款金额为X 元，则可能的取值为0、600、700、1000.()3331010120C P X C ===，()2137310760040C C P X C === ()12373102170040C C P X C ===，()373107100024C P X C ===故X 的分布列为所以()172171060070010007641204040246E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）. 若小杰选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-. 由已知可得33,10Y B ⎛⎫⎪⎝⎭:，故()3931010E Y =⨯=， 所以()()()10002001000200820E Z E Y E Y =-=-=（元）. 因为()()E X E Z <，所以小杰选择第一种抽奖方案更合算. 【点睛】本题主要考查超几何分布与二项分布的数学期望求法.20.如图，在直角坐标系xoy 中，椭圆()2222:10y xC a b a b+=>>的上焦点为1F ，椭圆C 的离心率为12，且过点1,3⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程.（2）设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B （B 不在y 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与x 轴交于点H ，若110F B F H ⋅=u u u v u u u u v ，且MO MA =，求直线l 的方程. 【答案】（1）22143y x +=；（2）直线l 的方程为262y x =+.【解析】试题分析：（1）根据椭圆C 的离心率为12，且过点261,3⎛ ⎝⎭，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 、c ，即可求得椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 的方程为2y kx =+，由()2222234120134y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，求得B 点坐标，求得H 点坐标，根据向量数量积的坐标运算列方程求得283k =，即可求得直线l 的方程. 试题解析：（1）因为椭圆的离心率为12，所以122c a c a =⇒=即可得2234b a =，所以椭圆C 的方程为2222134y x a a +=， 把点26⎛ ⎝⎭代入C 中， 解得24a =所以椭圆方程为22143y x +=（2）设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为2y kx =+由()2222234120134y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩ 设由（1）知()02A ，，设(),B B B x y ， 则有21234B kx k -=+所以226834B k y k -+=+ 所以2221268,3434k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭因为MO MA =，所以M 在线段OA 的中垂线上. 所以1M y =，又2M M y kx =+， 所以1M x k =-，即1,1M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设(),0H H x ，又直线HM 垂直l∴111,1MH H k k k x k=-⇒=--- ∴1H x k k =-，即1,0H k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭又()10,1F ∴21221249,3434k k F B k k ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭u u u v ，11,1F H k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u v 又110F B F H ⋅=u u u v u u u u v ∴2221214903434k k k k k k --⎛⎫--= ⎪++⎝⎭ 283k ⇒=所以直线l的方程为2y x =+. 【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.21.已知函数()ln xf x ae x x =-，其中a R ∈，e 是自然对数的底数.（1）若()f x 是()0,∞+上的增函数，求实数a 的取值范围；（2）若22a e >，证明：()0f x >. 【答案】（1）1a e≥（2）见解析【解析】 【分析】（1）由()f x 是()0,∞+上的增函数等价于()0f x '≥恒成立，得1ln x x a e +≥，求()()1ln 0xxg x x e +=>的最大值，即可得到本题答案；（2）由()e 0ln 0x a f x x x >⇔->，证明当22a e ≥时，()()e ln 0xa F x x x x=->的最小值大于0，即可得到本题答案.【详解】解：（1）()()1ln x f x ae x '=-+，()f x 是()0,∞+上的增函数等价于()0f x '≥恒成立. 令()0f x '≥，得1ln x x a e +≥，令()()1ln 0xxg x x e+=>.以下只需求()g x 的最大值. 求导得()11ln xg x ex x -⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，令()11ln h x x x =--，()2110h x x x '=--<， ()h x 是()0,∞+上的减函数，又()10h =，故1是()h x 的唯一零点，当()0,1x ∈，()0h x >，()0g x '>，()g x 递增； 当()1,x ∈+∞，()0h x <，()0g x '<，()g x 递减； 故当1x =时，()g x 取得极大值且为最大值()11g e=，所以1a e ≥.（2）()e 0ln 0x a f x x x >⇔->，令()()e ln 0xa F x x x x=->，以下证明当22a e ≥时，()F x 的最小值大于0. 求导得()()()221e 111e x xa x F x a x x x x x -'⎡⎤=-=--⎣⎦. ①当01x <≤时，()0F x '<，()()10F x F ae ≥=>；②当1x >时，()()()211x a x x F x e x a x ⎡⎤-'=-⎢⎥-⎣⎦，令()()1xx G x e a x =--. 则()()2101x G x e a x '=+>-，又()222220ae G e a a-=-=≥，取()1,2m ∈且使()21m e a m >-，即2211ae m ae <<-，则()()2201m m G m e e e a m =-<-=-， 因为()()20G m G <，故()G x 存在唯一零点()01,2x ∈，即()F x 有唯一的极值点且为极小值点()01,2x ∈，又()0000ln x ae F x x x =-，且()()000001x x G x e a x =-=-，即()0001x x e a x =-，故()0001ln 1F x x x =--，因为()()0201101F x x x '=--<-，故()0F x 是()1,2上的减函数. 所以()()021ln 20F x F >=->，所以()0F x >. 综上，当22a e ≥时，总有()0f x >. 【点睛】本题主要考查已知函数在某区间的单调性求参数的取值范围以及导数与不等式的综合问题.（二）选考题：共10分.请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡相应题号处填涂，如果多做，则按所做的第一题计分.22.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为2sin 306πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．（1）求直线l 和曲线C 的普通方程；（2）直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB +． 【答案】（1）30x +-=，224x y +=；（2）【解析】试题分析：（1）根据极直互化的公式得到直线方程，根据参普互化的公式得到曲线C 的普通方程；（2）联立直线的参数方程和曲线得到关于t 的二次，12PA PB t t +=+12t t =+=解析：（Ⅰ）2sin 306πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，化sin cos 30θρθ+-=，即l的普通方程为30x +-=，22x cos y sin ϕϕ=⎧⎨=⎩消去ϕ，得C的普通方程为224x y +=. （Ⅱ）在30x +-=中令0y =得()3,0P ，∵k =，∴倾斜角56πα=， ∴l 的参数方程可设为536506x tcos y tsin ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即312x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 代入224x y +=得250t -+=，70∆=>，∴方程有两解，12t t +=1250t t =>，∴1t ，2t 同号，12PA PB t t +=+ 12t t =+=23.已知()12019f x x =-+. （1）解关于x 的不等式()2019f x x >+；（2）若()()()24341f a f a -+>-+，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭（2）()2,6 【解析】【分析】 （1）把不等式1x x ->等价转化为()221x x ->，即可求得本题答案；（2）函数()12019f x x =-+在[)1,+∞上单调递增及()()()24341fa f a -+>-+，得()24341a a -+>-+，即()()41420a a -+⋅--<，解不等式即可得到本题答案.【详解】解：（1）()2019f x x >+可化为1x x ->，所以()221x x ->，所以12x <， 所以所求不等式的解集为12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭；（2）因为函数()12019f x x =-+在[)1,+∞上单调递增， 由431a -+>，()2411a -+≥及()()()24341f a fa -+>-+， 可知()24341a a -+>-+，即()()41420a a -+⋅--<， 所以42a -<，解得26a <<，即实数的取值范围是()2,6.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的求法.。
重庆市万州区2019-2020学年高考数学五月模拟试卷含解析
重庆市万州区2019-2020学年高考数学五月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在四面体P ABC -中，ABC V 为正三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ）A ．B ．C ．24D ．【答案】A 【解析】 【分析】推导出PB BC ⊥，分别取BC PC ，的中点,D E ,连结,,AD AE DE ，则,,AD BC AE PC DE BC ⊥⊥⊥，推导出AE DE ⊥，从而⊥平面AE PBC ，进而四面体P ABC -的体积为13P ABC A PBC PBC V V S AE --==⋅⋅V ，由此能求出结果. 【详解】解： Q 在四面体P ABC -中，ABC V 为等边三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，222PB BC PC ∴+=，PB BC ∴⊥，分别取BC PC ，的中点,D E ，连结,,AD AE DE ， 则,,AD BC AE PC DE BC ⊥⊥⊥，且AD 4DE AE ===，，222AE DE AD ∴+=，AE DE ∴⊥，PC DE E PC =⊂Q I ，平面PBC ，DE ⊂平面PBC ，∴⊥平面AE PBC ，∴四面体P ABC -的体积为：13P ABC A PBC PBC V V S AE --==⋅⋅V1111=863232PB BC AE ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=.故答案为：【点睛】本题考查四面体体积的求法，考查空间中线线，线面，面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力.2．已知直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（ ）A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．221169x y -= D ．221916x y -=【答案】A 【解析】 【分析】根据直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，得5c =，又和其中一条渐近线平行，得到2b a =，再求双曲线方程. 【详解】因为直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，所以()5,0F -，所以5c =， 又和其中一条渐近线平行， 所以2b a =，所以25a =，220b =，所以双曲线方程为221520x y -=.故选：A. 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-【答案】C 【解析】 【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=,故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础. 4．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】 根据为奇函数，得到函数关于中心对称，排除，计算排除，得到答案. 【详解】为奇函数，即，函数关于中心对称，排除.，排除.故选：. 【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数关于中心对称是解题的关键.5．正四棱锥P ABCD -6，侧棱长为23球的表面积为（ ） A ．4π B ．8πC ．16πD ．20π【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，在平面ABCD 的投影为正方形的中心E ，故球心O 在PE 上，计算长度，设球半径为R ，则()222PE R BE R -+=，解得2R =，得到答案.【详解】如图所示：P 在平面ABCD 的投影为正方形的中心E ，故球心O 在PE 上，223BD AB ==，故132BE BD ==，223PE PB BE =-=， 设球半径为R ，则()222PE R BE R -+=，解得2R =，故2416S R ππ==. 故选：C .【点睛】本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 6．已知整数,x y 满足2210x y +≤，记点M 的坐标为(,)x y ，则点M 满足5x y +≥的概率为（ ）A ．935B ．635C ．537D ．737【答案】D 【解析】 【分析】列出所有圆内的整数点共有37个，满足条件的有7个，相除得到概率. 【详解】因为,x y 是整数，所以所有满足条件的点(,)M x y 是位于圆2210x y +=（含边界）内的整数点，满足条件2210x y +≤的整数点有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),±±±±(2,0),(3,0),(1,1),(2,1),(3,1),(1,2),(2,2),(1,3)±±±±±±±±±±±±±±共37个，满足x y +≥7个，则所求概率为737. 故选：D . 【点睛】本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的应用能力.7．已知函数()f x 是奇函数，且22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x -=+----，若对11[,]62x ∀∈，(1)(1)f ax f x +<-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(3,1)--B ．(4,1)--C ．(3,0)-D ．(4,0)-【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数奇偶性求得()(),f x f x '，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数()f x 是奇函数， 所以函数'()f x 是偶函数.22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x ---=--+--， 即22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x --=--+--， 又22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x-=+----， 所以()ln(1)ln(1)f x x x =+--，22'()1f x x =-. 函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以22'()01f x x =>-， 则函数()f x 在(1,1)-上为单调递增函数.又在(0,1)上，()(0)0f x f >=，所以()f x 为偶函数，且在(0,1)上单调递增.由(1)(1)f ax f x +<-，可得11111ax x ax ⎧+<-⎨-<+<⎩，对11[,]62x ∈恒成立，则1120ax x a x⎧+<-⎪⎨-<<⎪⎩，21120a x a x⎧-<<-⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩对11[,]62x ∈恒成立，，得3140a a -<<-⎧⎨-<<⎩，所以a 的取值范围是(3,1)--. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式，根据方程组法求函数解析式，利用导数判断函数单调性，属压轴题.8．已知函数()2943,02log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ） A ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,5【答案】A 【解析】 【分析】首先求得0x ≤时，()f x 的取值范围.然后求得0x >时，()f x 的单调性和零点，令()()0ff x =，根据“0x ≤时，()f x 的取值范围”得到()32log 93xf x x =+-=，利用零点存在性定理，求得函数()()y f f x =的零点所在区间.【详解】当0x ≤时，()34f x <≤.当0x ≥时，()2932log 92log 9xxx f x x =+-=+-为增函数，且()30f =，则3x =是()f x 唯一零点.由于“当0x ≤时，()34f x <≤.”，所以 令()()0ff x =，得()32log 93xf x x =+-=，因为()303f =<，3377log 98 1.414log 39 3.312322f ⎛⎫=->⨯+-=> ⎪⎝⎭，所以函数()()y f f x =的零点所在区间为73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．24πB ．28πC ．32πD ．36π【答案】C 【解析】 【分析】由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为23，高为1的等腰三角形，侧棱长为4，利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球的表面积. 【详解】 由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为23，高为1的等腰三角形， 侧棱长为4，如图：由底面边长可知，底面三角形的顶角为120o ，由正弦定理可得2324sin120AD ==o，解得2AD =， 三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心， 所以222222OA =+=该几何体外接球的表面积为：(24232S ππ=⋅=.故选：C 【点睛】本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.10．双曲线﹣y 2=1的渐近线方程是（ ）A ．x±2y=0B ．2x±y=0C ．4x±y=0D ．x±4y=0【答案】A 【解析】试题分析：渐近线方程是﹣y 2=1，整理后就得到双曲线的渐近线．解：双曲线 其渐近线方程是﹣y 2=1整理得x±2y=1． 故选A ．点评：本题考查了双曲线的渐进方程，把双曲线的标准方程中的“1”转化成“1”即可求出渐进方程．属于基础题．11．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若312S a S +=，46a =，则5S =（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C 【解析】 【分析】利用等差通项，设出1a 和d ，然后，直接求解5S 即可 【详解】令()11n a a n d +-=，则11113232da a a a d ⨯⨯++=++，136a d +=，∴13a =-，3d =，∴()55310315S =⨯-+⨯=.【点睛】本题考查等差数列的求和问题，属于基础题12．已知实数,x y 满足,10,1,x y x y y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．32C ．1D ．0【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域，平移目标直线即可求解. 【详解】解：作出可行域：由2z x y =+得，1122y x z =-+ 由图形知，1122y x z =-+经过点时，其截距最大，此z 时最大10y x x y =⎧⎨+-=⎩得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，11,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 当1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，max 1232222z =+⨯=故选：B 【点睛】考查线性规划，是基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。