平面向量等值线法

技巧八平面向量基本定理系数的等值线法
一、适用题型
在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和差积商、线性表达式及平方和时，可以用等值线法。

二、基本理论
（一）平面向量共线定理
三点共线；反之亦然
，则若已知C B A ,,1,=++=μλμλ（二）等和线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，()R ∈+=μλμλ,，若点P 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则)(定值k =+μλ,反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线成为等和线。

（1）当等和线恰为直线AB 时，1=k ；
（2）当等和线在O 点和直线AB 之间时，()1,0∈k ；
（3）当直线AB 在O 点和等和线之间时，
()∞+∈，1k ；（4）当等和线过O 点时，0=k ；
（5）若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；
（6）定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比；
（三）等差线平面内一组基底,及任一向量OP ，()R OB OA OP ∈+=μλμλ,，C 为
线段AB 的中点，若点P 在直线OC 上或在平行于OC 的直线上，则)(定值k =-μλ,反之也成立，我们把直线OC 以及与直线OC 平行的直线称为等差线。

（1）当等差线恰为直线OC 时，0=k ；
（2）当等差线过A 点时，1=k ；
（3）当等差线在直线OC 与点A 之间时，()1,0∈k ；
（4）当等差线与BA 延长线相交时，()∞+∈，
1k ；（5）若两等差线关于直线OC 对称，则两定值k 互为相反数；
（四）等积线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，()R OB OA OP ∈+=μλμλ,，若点P 在以直线OB OA ,为渐近线的双曲线上，则λμ为定值k ，反之也成立，我们把以直线OB OA ,为渐近线的双曲线称为等积线
（1）当双曲线有一支在AOB ∠内时，0>k ；
（2）当双曲线的两支都不在AOB ∠内时，0<k ；
（3）特别的，若()()b a OB b a OA -==,,,，点P 在双曲线
)0,0(12222>>=-b a b y a x 时，4
1=k ；（五）等商线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，()R OB OA OP ∈+=μλμλ,，
若点P 在过O 点（不与OA 重合）的直线上，则
)(定值k =μ
λ，反之也成立。

我们把过点O 的直线（除OA 外）称为等商线。

（1）当等商线过AB 中点时，1=k ；（2）当等商线与线段AC （除端点）相交时，()∞+∈，
1k ；
（3）当等商线与线段BC （除端点）相交时，()1,0∈k ；
（4）当等商线即为OB 时，0=k ；
（5）当等商线与线段BA 延长线相交时，()1,-∞-∈k ；
（6）当等商线与线段AB 延长线相交时，()0,1-∈k ；
（7）当等商线与直线AB 平行时，1-=k ；
（六）等平方和线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，()R OB OA OP ∈+=μλμλ,，且
OB OA =，
若点P 在以AOB ∠角平分线为半长轴的椭圆上，则22μλ+为定值k ，反之也成立，我们把以以AOB ∠角平分线为半长轴的椭圆称为等平方和线。

特别的，若()()b a OB b a OA -==,,,，点P 在双椭圆)0,0(122
22>>=+b a b
y a x 时，2
1=k ；三、解题步骤
1、确定等值线为1的线；
2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；
3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；
四、几点补充
1、平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；
2、若需要研究的是两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和或差；
五、典型例题
例1给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120°，如图所示，
点C 在以O 为圆心的圆弧 AB 上变动.若OB y OA x OC +=，其中R y x ∈，，则
y x +的最大值是___________.
答案：2
例2在正六边形ABCDEF 中，P 是三角形CDE 内（包括边界）的动点，设AP x AB y AF =+ ,则y x +的取值范围__________
答案：[]
4,3
例3如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 为CD 边的三等分点，S 为AM 与BN 的交点，P 为边AB 边上一动点，Q 为△SMN 内一点（含边界），若,BN y AM x PQ +=则y x +的取值范围是__________.
答案：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡341，例4梯形ABCD 中，AB AD ⊥，P AB DC AD ,3,1===为三角形BCD 内一点
（包括边界），AP x AB y AD =+ ，则y x +的取值范
围__________答案：⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡341，例5设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，AB AD 21=,BC BE 3
2=,若AC AB DE 21λλ+=(21,λλ为实数)，则21λλ+的值为__________.
（注：此题为13江苏高考题第8题，但点E 为三等分的条件其实没有必要，可舍）
答案：21
例5在正方形ABCD 中，E 为BC 中点，P 为以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设AE x AD y AP =+ ，则y x +2的最小值为___________.
答案：1
例6在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设AC xDE y AP =+
,则y x +的最小值为____________
答案：2
1
例7已知1==ON OM ，OP xOM yON =+ (y x ,为实数)．若△PMN 是以M 为
直角顶点的直角三角形，则y x -取值的集合为________．
答案：{
}1
例8已知椭圆125
100:2
2=+y x E 的上顶点为A ，直线4-=y 交椭圆于C B ,（B 在C 的左侧）
，点P 在椭圆E 上，若BC n BA m BP +=,求n m +的最大值答案：18
13
105+例9,3
2,1),0,2(),0,0(π=∠=∆BAC AC B A ABC O 的外心，若为已知且AC AB AO μλ+=，则_______
=+μλ答案：6
13
例10平面内有三个向量OA 、OB 、OC ,其中与OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°,且|OA |＝|OB |＝1，|OC |＝32，若OB n OA m OC +=,则n m +的值为__________
答案：6,0例11如图，C B A ,,是圆O 上的三点，
CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OB n OA m OC +=，则n m +的取值范围为_____________.答案：()
0,1-
例12在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为
(5,0)，1(2,1)e = 、2(2,1)e =- 分别是两条渐近线的方向向量。

任取双曲线Γ上的点P ，若12OP ae be =+ （a 、b R ∈），则a 、
b 满足的一个等式是_____________.答案：1
4=ab 例13已知,0,3,1=∙==OB OA OB OA 点030=∠∠AOC AOB C 内，且在，设OB n OA m OC +=，则
n
m 的值为_________.答案：3例14如图，倾斜角为θ的直线OP 与单位圆在第一象限的部分交于点P ，单位圆与坐标轴交于点)0,1(-A ，点)1,0(-B ，P A 与y 轴交于点N ，PB 与x 轴交于
点M ，设),(R y x PN y PM x PO ∈+=，
，求y x +的最小值。

答案：2
例15如图，在扇形OAB 中，∠AOB=60°，C 为弧AB 上且不与A 、B 重合的一个动点，OB y OA x OC +=，若)0(>+=λλy x u 存在最大值，则λ的取值范围为__________.
答案：⎪⎭
⎫ ⎝⎛2,21例16在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，两定点B A ,满足
,2=∙==OB OA OB OA 则点集{}R OB OA OP P ∈≤++=μλμλμλ,,1,|所表示的区域面积为__________.
答案：34。