平面向量的模与夹角
利用向量的模和夹角求解平面几何问题
利用向量的模和夹角求解平面几何问题平面几何作为数学的一个重要分支，研究平面内的点、线、面以及它们之间的关系和性质。
在解决平面几何问题时，向量的模和夹角是非常有用的工具。
本文将通过几个具体例子，介绍如何利用向量的模和夹角来解决平面几何问题。
一、利用向量模解决平面几何问题1. 平行线段判定在平面几何中，有时需要判定两条线段是否平行。
若给定线段的两个端点的坐标，可以利用向量的模来解决此问题。
假设有线段AB和线段CD，其坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)和C(x3, y3)、D(x4, y4)。
可以求得向量AB = (x2-x1, y2-y1)和向量CD = (x4-x3, y4-y3)，然后比较两个向量的模是否相等，若相等，则可以判定两条线段平行。
2. 判断三角形形状对于给定的三个点A、B、C，用向量的模可以判断出三角形的形状。
假设三个点的坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)。
可以求得向量AB = (x2-x1, y2-y1)和向量AC = (x3-x1, y3-y1)，然后比较两个向量的模，若模相等，则可以判定三角形为等边三角形；若模不相等，还需比较两个向量的夹角，若夹角等于90度，则可以判定三角形为直角三角形；否则为一般三角形。
二、利用向量夹角解决平面几何问题1. 判断点是否在直线上在平面几何中，判断一个点是否在直线上是一个常见的问题。
给定直线上两点的坐标A(x1, y1)和B(x2, y2)，以及待判断的点C(x3, y3)，可以利用向量的夹角来解决此问题。
求得向量AB = (x2-x1, y2-y1)和向量AC = (x3-x1, y3-y1)的夹角，若夹角等于0度或180度，则可判定点C在直线AB上。
2. 判断两条直线的夹角给定两条直线的方程，可以利用向量的夹角来判断两条直线的夹角。
以直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，根据向量的性质，可以求得直线L1的方向向量为(1, k1)，直线L2的方向向量为(1, k2)。
平面向量的单位向量与夹角计算
平面向量的单位向量与夹角计算向量是数学中非常重要的概念，在平面几何和解析几何中都有广泛应用。
在平面向量的研究中，单位向量和夹角计算是两个基本的概念。
本文将针对这两个概念进行详细阐述和说明。
一、单位向量的定义和计算方法单位向量是向量的一种特殊形式，具有长度为1的性质。
任意非零向量a，若其长度为r，则单位向量可以表示为a/r。
即单位向量u=a/r。
下面介绍几种常见单位向量的计算方法。
1.1 直角坐标系下的单位向量在直角坐标系中，向量可以表示为坐标分量的形式。
若向量a的坐标分量为(a1, a2)，则单位向量u的计算公式为u=(a1/|a|, a2/|a|)，其中|a|表示向量a的长度。
1.2 极坐标系下的单位向量在极坐标系中，向量可以表示为极坐标形式的向量。
若向量a的极坐标形式为(a, θ)，则单位向量u的计算公式为u=(cosθ, sinθ)。
1.3 组合向量的单位向量在某些情况下，需要计算由两个或多个向量组合而成的向量的单位向量。
若向量a、向量b分别为要组合的向量，则组合向量的单位向量u的计算公式为u=(a+b)/|a+b|。
二、夹角的定义和计算方法夹角是指平面上两条射线之间的角度。
在向量的研究中，夹角的计算是一个重要的问题。
下面将介绍几种常见的夹角计算方法。
2.1 使用向量的点积计算夹角向量的点积运算可以得到两个向量的数量积，通过数量积的计算可以得到两个向量之间的夹角。
设向量a和向量b的夹角为θ，则夹角的计算公式为cosθ=a·b/|a||b|，其中·表示向量的点积运算。
2.2 使用向量的坐标分量计算夹角在直角坐标系下，向量可以表示为坐标分量的形式。
若向量a的坐标分量为(a1, a2)，向量b的坐标分量为(b1, b2)，则夹角的计算公式为cosθ=(a1b1+a2b2)/(|a||b|)。
2.3 使用向量的模长计算夹角如果只知道两个向量的模长，而不知道其坐标分量，则可以使用向量的模长计算夹角。
平面向量的坐标与向量的夹角
平面向量的坐标与向量的夹角平面向量是数学中的重要概念，用来表示有大小和方向的量。
在二维平面内，我们可以使用坐标系来表示平面向量的坐标，同时还可以通过计算得出向量之间的夹角。
本文将介绍平面向量的坐标表示方法以及向量之间的夹角计算公式。
一、平面向量的坐标表示方法平面向量可以用一个有序数对来表示。
在二维直角坐标系中，我们通常使用两个实数表示一个平面向量的坐标。
假设有一个平面向量v，它的x轴坐标为x，y轴坐标为y，则可以表示为v=(x, y)。
对于平面向量的坐标表示，我们可以通过底边和高边的坐标差来计算。
假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则向量AB的坐标表示为v=(x2-x1, y2-y1)。
二、向量的夹角向量的夹角是描述向量之间夹角大小的概念。
对于平面中的两个向量v1=(x1, y1)和v2=(x2, y2)，它们的夹角可以通过以下公式计算得出：cosθ = (x1*x2 + y1*y2) / (|v1| * |v2|)其中θ表示向量v1和向量v2之间的夹角，|v1|和|v2|表示向量v1和v2的模（长度）。
通过夹角的计算公式，我们可以得知向量之间的夹角大小。
若夹角大于90度，则表示两个向量之间为钝角；若夹角等于90度，则表示两个向量之间为直角；若夹角小于90度，则表示两个向量之间为锐角。
三、示例问题为了更好地理解平面向量的坐标和向量的夹角，我们来看一个示例问题。
问题：已知向量u=(3, 4)和向量v=(2, -1)，求两个向量之间的夹角。
解析：首先计算向量u和向量v的模（长度）：|u| = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5|v| = √(2^2 + (-1)^2) = √(4 + 1) = √5然后计算向量u和向量v的点积：u*v = (3*2 + 4*(-1)) = 6 - 4 = 2将计算结果代入夹角的计算公式：cosθ = (2) / (5 * √5)通过计算可得cosθ的值为2 / (5 * √5)。
平面向量的模长与向量的夹角
平面向量的模长与向量的夹角平面向量是数学中的重要概念，在几何学和物理学等领域都有广泛的应用。
本文将讨论平面向量的模长与向量的夹角之间的关系。
一、平面向量的定义及表示方法平面向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
平面向量常用字母加箭头（如→AB）表示，箭头的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
平面向量还可以使用坐标表示法，其中(x, y)表示向量在坐标轴上的投影长度。
当两个平面向量相等的时候，它们具有相同的大小和方向。
二、平面向量的模长平面向量的模长表示向量的大小。
对于一个平面向量→AB，它的模长表示为|→AB|或者AB。
对于一个平面向量→AB(x, y)，它的模长可以通过勾股定理计算得到：|→AB| = √(x² + y²)。
三、平面向量的夹角平面中的两个非零向量→AB和→CD，它们之间的夹角用符号θ表示。
夹角θ可以通过两向量的点积公式计算得到：cosθ = (→AB·→CD) / (|→AB| * |→CD|)。
在平面中，夹角θ的取值范围为0到π（弧度）之间。
四、模长和夹角的关系在平面向量中，模长和夹角之间有以下关系：1. 如果两个向量的模长相等，即|→AB| = |→CD|，则它们之间的夹角θ可能是0度、180度或其他角度。
当且仅当两个向量的方向相同时，夹角为0度；当且仅当两个向量的方向相反时，夹角为180度。
2. 如果两个向量的夹角为90度，即θ = π/2，那么它们之间的模长可能相等，也可能不相等。
3. 如果两个向量的夹角为0度，即θ = 0，那么它们之间的模长必然相等。
综上所述，平面向量的模长与向量的夹角之间的关系是复杂而多样的，取决于具体的向量和夹角大小。
五、案例分析为了更好地理解平面向量的模长与向量的夹角之间的关系，我们举例进行分析。
假设有两个平面向量→AB(3, 4)和→CD(-1, 2)：1. 计算模长：|→AB| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5|→CD| = √((-1)² + 2²) = √(1 + 4) = √52. 计算夹角：cosθ = (3 * (-1) + 4 * 2) / (5 * √5) = (3 * (-1) + 4 * 2) / (5 * 5) = (6 - 3) / 25 = 3 / 25由于夹角θ的取值范围为0到π之间，无法通过此结果得到夹角的具体值。
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1 / 1 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【知识点的知识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量a →，b →如果以O 为起点，作OA →=a →，OB →=b →，那么射线OA ，OB 的夹角θ叫做向量a →与向量b →
的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量a →，b →的夹角为θ，那么我们把|a →||b →|cos θ叫做a →与b →的数量积，记做a →⋅b → 即：a →⋅b →=|a →||b →|cos θ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：0→•a →=0．
注意：
①a →⋅b → 表示数量而不表示向量，符号由cos θ决定；
②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：b →在a →上的投影是一个数量|b →|cos θ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若a →=（x 1，y 1），b →=（x 2，y 2），则a →⋅b →=x 1x 2+y 1y 2， 3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：a →与b →的数量积a →⋅b →等于a →的长度|a →|与b →在a →的方向上的投影|b →|cos θ的积．。
平面向量的坐标表示、模、夹角
（2） cos 2 a a = a
a b ab
a b a b=0 （a， b是非零向量）
cos =
我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应 的坐标来运算,那么怎样用 a和b的坐标表示a b呢？
探究（一）平面两向量数量积的坐标表示
思考1：已知 i 是x轴上的单位向量， j 是y轴上的单位向量，那么 a， b 用 i， j怎么表示？
a x1i y1 j ，b x2i y2 j
探究（一）平面两向量数量积的坐标表示
思考2：已知 i 是x轴上的单位向量， j 是y轴上的单位向量，那么
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ,
4. cos
x1 x2 y1 y2 x1 y1
2 2
x2 y2
2
2
5. a / / b x 1 y2 =x2 y1
6. a b x1 x2 y1 y2 0
练习 （1）已知 a=（4，3），向量
探究（四）两向量夹角公式的坐标运算
设a （x1 , y1 ), b=( x2 , y2 ), 且a与b夹角为， (0 180 )则 cos ？
思考：
向量夹角公式的坐标式：
cos
x1 x2 y1 y2 x y x y
2 1 2 1 2 2 2 2
2 i 1
2 j 1
i j j i
0
探究（一）平面两向量数量积的坐标表示
思考3：若向量
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的 和。
那么 a b 如何表示？ a b x1 x2 y1 y2 .
利用向量的数量积和向量积求解向量的模和夹角
利用向量的数量积和向量积求解向量的模和夹角向量是数学中非常重要的概念，它在物理学、几何学和工程学等领域发挥着重要的作用。
利用向量的数量积和向量积，我们可以求解向量的模和夹角，下面将详细介绍这两个概念及其应用。
一、向量的数量积向量的数量积也被称为点积或内积，用符号"·"表示。
给定两个向量a和b，它们的数量积可以通过以下公式计算：a·b = |a| |b| cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模的大小，θ表示向量a和b之间的夹角。
从公式中可以看出，向量的数量积可以帮助我们求解向量的模和夹角。
二、向量的模向量的模表示向量的长度或大小，并且始终为非负数。
根据向量的数量积公式，我们可以得到以下计算向量模的公式：|a| = √(a·a)这个公式表示，向量a的模等于向量a与自身的数量积的平方根。
通过这个公式，我们可以求解任意向量的模。
三、向量的夹角向量的夹角表示两个向量之间的夹角大小。
根据向量的数量积公式，我们可以得到以下计算夹角的公式：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)根据这个公式，我们可以通过求解向量的数量积来计算向量之间的夹角。
进一步地，通过取反余弦函数，我们可以得到夹角的具体数值。
四、向量的向量积另一方面，向量的向量积也被称为叉积或外积，用符号"×"表示。
给定两个向量a和b，它们的向量积可以通过以下公式计算：a×b = |a| |b| sinθ n其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模的大小，θ表示向量a和b之间的夹角，n表示一个垂直于a和b所在平面的单位向量。
从公式中可以看出，向量的向量积可以帮助我们求解向量所在平面的法向量。
五、应用举例下面通过一个例子来演示如何利用向量的数量积和向量积求解向量的模和夹角。
假设有两个向量a = (3, 4)和b = (2, 6)，我们要求解它们的模和夹角。
平面向量的模与夹角
平面向量的模与夹角平面向量是学习高中数学中的一个重要内容，它的模和夹角是基本概念之一。
在这篇文章中，我们将详细讨论平面向量的模与夹角。
一、平面向量的模平面向量的模表示向量的大小，也可以看作是从原点到向量终点的距离。
对于平面上的向量v = (a, b)，其模记作|v|，可以通过勾股定理计算得到：|v| = √(a² + b²)例如，对于向量v = (3, 4)，可以计算得到|v| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5。
在计算向量模的过程中，我们需要注意向量的方向，并且模是非负的。
二、平面向量的夹角平面向量的夹角表示两个向量之间的夹角大小。
夹角可以使用点积或坐标法来进行计算。
1. 点积法设有两个非零向量u = (x₁, y₁)和v = (x₂, y₂)。
根据点积的公式，可以得到两个向量的夹角θ的余弦值为：cosθ = (x₁*x₂ + y₁*y₂) / (|u| * |v|)2. 坐标法设有两个非零向量u = (x₁, y₁)和v = (x₂, y₂)。
可以使用向量的内积公式，计算两个向量的夹角θ的余弦值为：cosθ = ((x₁, y₁)·(x₂, y₂)) / (|u| * |v|)这两种方法在计算时都需要注意向量的方向，并且返回的结果是夹角的余弦值，如果需要获得夹角的度数，可以使用反余弦函数进行进一步计算。
三、平面向量的相关性质除了模和夹角，平面向量还具有一些相关性质，如平移、伸缩和旋转等。
1. 平移对于平面上的向量u = (x, y)，如果将其起点平移至新的位置(α, β)，则得到的新向量v的坐标为v = (x-α, y-β)。
平移后向量的模和夹角不变。
2. 伸缩对于平面上的向量u = (x, y)和实数k，将向量u的长度伸缩k倍，则得到的新向量v的坐标为v = (kx, ky)。
伸缩后向量的模变为原来的k 倍，夹角不变。
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1、已知平面向量 ， ，若 ，则 ．
2、已知向量 与 的夹角为 ，且 ，那么 的值为
3、已知a＝（－4，3），b＝(5，6），则3|a|2－4a·b为（）
A.63B.83 C.23D.57
4、已知a＝（－2，1），b＝（－2，－3），求 。
例5：已知两单位向量 与 的夹角为 ，若 ，试求 与 的夹角。
（1）求点 、 及向量 的坐标；
（2）求证： ∥ ．
题型2：向量的模与夹角
例1．判断下列各命题正确与否：
（1） ；（2） ；（3）若 ，则 ；
（4）若 ，则 当且仅当 时成立；
（5） 对任意 向量都成立；
（6）对任意向量 ，有 。
例2：如果 互相垂直，则实数x等于（）
A． B． C． 或 D． 或－2
2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。
二、内容讲解：
题型1、平面向量的坐标运算；
题型2、平面向量的数量积；
题型3、平面向量的模；
题型4、模与夹角公式；
题型5、平面向量的简单应用。
三、课堂总结与反思：
带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结
四、作业布置：
安排少量具有代表性的题目让学生回家后巩固练习
例6：已知向量 与 的夹角为 ， 则 等于（）
A．5B．4C．3D．1
练习：
1、平面向量a与b的夹角为 ，a＝(2,0), | b |＝1，则| a＋2b |等于（）
A. B.2 C.4D.12
2、若非零向量 满足 ,则 夹角的余弦值为_______.
例7：若a＝（λ，2），b＝(－3，5），a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围为（）
管理人员签字：日期：年月日
作业布置
1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差
备注：
2、本次课后作业：
课堂小结
家长签字：日期：年月日
高中的教案
平面向量的模与夹角
学习要点：
1、向量的坐标运算：设 ，则：
（1）向量的加减法运算： ， 。
（2）实数与向量的积： 。
（3）若 ，则 ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
A．－3 B．－1 C．1 D．3
练习：
1、若A(－1，－1)，B(1，3)，C(x，5)三点共线，则x=．
2、若向量 =(－1，x)， =(－x，2)，且 与 同向，则 －2 =．
例5：已知点O是平行四边形ABCD的对角线交点， =(2，5)， =(-2，3)，则 坐标为， 坐标为， 的坐标为．
练习：
练习：
已知平面向量 =（1，－3）， =（4，－2）， 与 垂直，则 是（）
A.－1B. 1C.－2D. 2
例3：已知 （）
A．－13B．7C．6D．26
练习：
1、已知 （）
A． B． C． D．
2、已知a＝(1， )，b＝( ＋1， －1)，则a与b的夹角是多少?
例4：若向量 ， 满足 且 与 的夹角为 ，则 。
8.已知向量 ， ，则 的最大值为_______。
9.已知向量 不超过5，则k的取值范围是_______。
10、已知两点A(4，－2)，B(－4，4)，C(1，1)，
(1)求方向与 一致的单位向量；
（2）过点C作向量 与 共线，且 ，求D点坐标；
（3）若A、B、C都是某个平行四边形的顶点，求另一个顶点D的坐标．
A.（ ，+∞）B.［ ，+∞）C.（－∞， ）D.（－∞， ］
例8：在平行四边形ABCD中,AD= 1, ,E为CD的中点.若 ,则AB的长为______.
练习：
在四边形 中, ,则该四边形的面积为（ ）
A． B． C．5D．10
题型3：平面向量的简单应用
例1：已知 ,且关于 的方程 有实根,则 与 的夹角的取值范围是( )
（4）平面向量数量积：
（5）向量的模：
2、平面向量的数量积：
（1）两个向量的夹角：对于非零向量 ， ，作 ， 称为向量 ， 的夹角，当 ＝0时， ， 同向，当 ＝ 时， ， 反向，当 ＝ 时， ， 垂直。
（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量 ， ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做 与 的数量积（或内积或点积），记作： ，即 ＝ 。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
龙文教育一对一个性化辅导教案
学生
陈家肃
学校
86中
年级
高一Βιβλιοθήκη 次数第4次科目数学
教师
肖瑶
日期
2016-3-26
时段
19：30-21：30
课题
平面向量的模与夹角
教学重点
平面向量的坐标运算
教学难点
平面向量的坐标的运用
教学目标
1、掌握平面向量的坐标运算；
2、掌握模的运算方法。
教
学
步
骤
及
教
学
内
容
一、课前热身：
1、检查学生的作业，及时指点；
（3）向量数量积的性质：设两个非零向量 ， ，其夹角为 ，则：
① ；
②当 ， 同向时， ＝ ，特别地， ；当 与 反向时， ＝－ ；当 为锐角时， ＞0，且 不同向， 可得 为锐角；当 为钝角时， ＜0，且 不反向， 不可得 为钝角；
③非零向量 ， 夹角 的计算公式： ；
④ 。
（4）乘法公式： ；
例题选讲：
题型1：向量的坐标运算法则
例1：已知 =(-2，4)， =(2，6)，则 = ( )
A．(0，5)B．(0，1) C．(2，5) D．(2，1)
例2：若向量 = (1，1)， = (1，－1)， =(－1，2)，则 等于（）
A．－ + B． － C． － D．－ +
例3：已知点 和向量 ，若 ，则点 的坐标是．
4.已知向量 与 的夹角为 ， 则 等于（）
（A）5（B）4（C）3（D）1
5.已知向量 ， 是不平行于 轴的单位向量，且 ，则 （）
A．（ ）B．（ ）C．（ ）D．（ ）
6.已知非零向量a、b，若a＋2b与a－2b互相垂直，则 （）
A. B. 4 C. D. 2
7.设向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 _______。
A.[0, ] B. C. D.
例2：已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－ ＜θ＜ ．
（1）若a⊥b，求θ；
（2）求｜a＋b｜的最大值．
平面向量的模与夹角作业
1． 等于（）
A． B． C． D．
2.若向量 满足 ， 的夹角为60°，则 =______；
3．已知 （）
A． B． C． D．
已知平行四边形 的顶点 、 、 ，求顶点 的坐标．
例6：已知向量 =（1， ）， =（ ，1）， = +2 ， =2 - 且 =2 ，求 、 的值．
练习：
已知向量 =（1，2）， =（x，1）， = +2 ， =2 - 且 ∥ ，求x．
例7：已知A、B、C三点坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)， = ， =
练习：
1、已知： 、 ，那么 ； ．
2、已知向量 =(3，-2)， =(-2，1)， =(7，-4)，且 =λ +μ ，则λ=，μ=．
3、设点A(-1，2)、B(2，3)、C(3，-1)，且 =2 -3 ，则点D的坐标为．
4、已知 =(5，-3)，C(-1，3)， =2 ，则点D坐标是．
例4：若A(x，－1)、B(1，3)、C(2，5)三点共线，则x的值为（）