平面向量表示的夹角
解答平面向量夹角问题的三个“妙招”
探索探索与与研研究究平面向量的夹角问题重点考查平面向量的四则基本运算，对同学们的数学思维与计算能力有一定的要求.本文主要探讨一下解答平面向量问题的三种小措施.一、采用公式法公式法是求解平面向量夹角问题的常用方法.由向量的数量积公式可得向量a→、b→的夹角的余弦值为cosθ=a→∙b→||||||a→||||||b→，且夹角的范围为[0,π].将向量的坐标直接代入上述公式，即可求得两个向量的夹角的余弦值.通过余弦值cosθ的符号，可以判断出该角为锐角、钝角或直角.例1.已知非零向量a→、b→满足||||||a→=2||||||b→，且(a→-b→)⊥b→，求a→、b→的夹角.解：设a→、b→之间的夹角为θ，因为（a→-b→）⊥b→，所以（a→-b→）∙b→=a→∙b→-b→2=0，可得a→∙b→=b→2，所以cosθ=a→∙b→||||||a→||||||b→=||||||b→22||||||b→2=12，由于a→、b→夹角的取值范围为[0，π]，所以a→、b→的夹角为π3.首先从已知条件出发，将（a→-b→）⊥b→转化为向量a→、b→的关系式；然后根据已知关系式||||||a→=2||||||b→以及向量的夹角公式，求得向量夹角的余弦值；最后根据夹角的范围求得夹角的值.二、坐标法运用坐标法解题，先要仔细观察几何图形的特点，寻找或构造两条互相垂直的直线，并将其视为坐标轴，建立空间直角坐标系.给各个点赋予坐标后，就能够根据向量坐标的运算法则求得夹角的大小.在计算时，要注意运用平面向量夹角公式的坐标形式.例2.已知正方形ABCD的边长为2，DE=2BC，DF=12（ DC+ DB），求 BE与 DF的夹角.解：建立如图1所示的平面直角坐标系，可得点B(0,0)，E(2,23)，D(2,2)，因为DF=12（ D C+ D B），所以点F为线段BC的中点，所以F为(1,0)，得BE=(2，23)， DF=(-1,-2)，所以cosθ=BE∙DF|| BE| DF=所以BE与DF的夹角为34π.在解题时，要先建立坐标系，根据题目中的几何关系求得各个点的坐标以及所求向量的坐标；然后根据向量夹角公式的坐标形式进行计算.三、利用正余弦定理在求解平面向量的夹角问题时，可根据向量的几何意义来构造三角形，将所求的夹角看作三角形的一个内角，求得三角形的边、角的大小，或建立边角关系，即可根据正弦定理、余弦定理来计算出夹角的大小.例3.如图2所示，已知△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，AD，BE分别为直角边BC,AC的中线，求AD,BE夹角的余弦值.解：设AD，BE的交点为M，所以AD,BE的夹角为∠DME，将△ABC补成正方形ACBF，令AC=1，则AD=BE=，设点G为AF的中点，连接BG,EG，则BG∥AD，所以∠DME=π-∠EBG，在△BEG中，BG=AD=BE=，EG，由余弦定理可得cos∠EBG=45，所以cos∠DME=-cos∠EBG=-45，所以AD,BE所成角的余弦值为-45.深入挖掘向量的几何意义，并据此构造三角形，即可将向量夹角问题转化为解三角形问题.再运用正余弦定理求三角形内角的大小，即可得出AD,BE夹角的余弦值.通过分析可知，解答平面向量夹角问题，可以通过夹角公式、坐标法、正余弦定理，顺利求得夹角或夹角余弦值的大小.相比较而已，公式法最简单、最常用，另两种方法则较为灵活.（作者单位：江苏省如东高级中学）王小梅图2图150。
平面向量的所有公式-向量夹角公式
平面向量的所有公式-向量夹角公式平面向量的所有公式 - 向量夹角公式1. 向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，可以用箭头来表示。
一个平面向量用大写字母加箭头标记，例如A→。
2. 平面向量表示平面向量可以用两个坐标表示，即向量的横向和纵向分量。
设向量A→ 的横向和纵向分量分别为 A_x 和 A_y，则向量A→ 可表示为A→ = A_x i→ + A_y j→。
3. 平行向量两个向量的方向相同或相反时，它们被称为平行向量。
设向量A→ 和向量B→ 为平行向量，则存在一个实数 k，使得A→ = kB→。
4. 垂直向量两个向量的夹角为 90 度时，它们被称为垂直向量。
设向量A→ 和向量B→ 为垂直向量，则A→ · B→ = 0。
（其中，·表示向量的数量积）5. 向量夹角公式两个非零向量A→ 和B→ 的夹角θ 可以通过向量的数量积求得。
设向量A→ 和向量B→ 的数量积为A→ · B→，则cosθ = (A→ · B→) / (|A→| |B→|)其中，|A→| 表示向量A→ 的模长，|B→| 表示向量B→ 的模长。
6. 其他重要公式- 两个向量的和：C→ = A→ + B→- 两个向量的差：D→ = A→ - B→- 向量的数量积：E = A→ · B→ = |A→| |B→| cosθ- 向量的模长：|A→| = sqrt(A_x^2 + A_y^2)以上是平面向量的公式及其应用，掌握这些公式将帮助你更好地理解和计算平面向量的性质和运算。
技能高考中平面向量的夹角的计算问题
平面向量夹角的计算问题（湖北省红安县职教中心 金哲 438400）摘要：“《平面向量》是中等职业教育课程改革国家规划新教材配套教学用书基础模块中的新增内容之一，是近几年技能高考（新教材）中的必考内容，已成为高三复习备考中的热点．从前几年高职统考以及这两年技能高考来看，除了对向量的基本概念的考查外，还要求学生掌握平面向量的坐标运算、内积、夹角的计算、模的计算。
本文将对平面向量夹角的计算问题进行一个归纳和整理，希望可以给将要技能高考的学生一点帮助。
【关键词】 平面向量的夹角定义，范围，夹角公式一、引言：1、平面向量的夹角定义：设两个非零a 与b ，作b OB a OA ==,,由射线OA 与OB 所形成的角叫做a 与b 的夹角，记作b a ,。
2、平面向量的夹角范围为[] 180,0 注:①若两向量方向相同，则夹角为0°②若两向量方向相反，则夹角为180°③若两向量垂直，则夹角为90°3、平面向量夹角公式： ba b a b a ∙∙=,cos 二、平面向量夹角的计算方法：在对2015年湖北省技能高考文化综合试卷数学部分进行分析，以及对2016年湖北省技能高考考试大纲和多套模拟试卷进行研究后，笔者总结归纳了中职生技能高考中平面向量的夹角计算方法。
欲求两向量a 与b 的夹角。
第一步，计算两向量的内积b a ∙ 和a ，b第二步，直接代入夹角公式ba b a b a ∙∙=,cos ，求出a 与b 的夹角的余弦值。
第三步，结合平面向量的夹角范围[] 180,0以及特殊角三 角函数值，确定a 与b 的夹角的大小。
三、经典例题例1、（2010年高职统考第16题）已知(1,3)a =- ,(1,2)b = ,(,6)c k = ,若向量b 和c 平行.求：（Ⅰ）实数k 的值；（Ⅱ）向量a 与c 的夹角.()()()c b k c b //,6,,2,1且由于Ⅰ解：== 02-61=⨯⨯k 因此，，3=k 故， ()()()6,3,3,1=-=c a 由于Ⅱ， ()5363,10312222=+==-+=c a 因此，, ()156331-=⨯-+⨯=∙c a 所以，由夹角公式有： 22531015,cos -=⨯-=∙∙=c a c a c a[]π，又两向量夹角范围为0 43,π=c a 所以， 例2、（2012年高职统考第17题第三问）已知点A(3+1,1)、B(1,1)和C(1,2)，且向量a =CB→、b =AB →和c =CA →．求： a 与c 之间的夹角<a ,c >．()()()2111113，，，，，解：C B A + ()()()1,3,0,3,1,0-==-==-==∴CA c AB b CB a ()()11130=-⨯-+⨯=∙∴c a ()()()213,1102222=-+==-+=c a 代入夹角公式有： 21211,cos =⨯=∙∙=c a c a c a[]π，又两向量夹角范围为0 3,π=c a 所以， 例3、（2015年文化综合29题第2问）已知向量()()()3,5,1,3,5,4=-==c b a ，求c a -与b 的夹角.θ解：由()()3,5,5,4==c a 有()2,1-=-c a又()1,3-=b ，则()()()51231=⨯+-⨯-=∙-b c a ()()1013,5212222=+-==+-=-b c a代入夹角公式中有： ()221055cos =⨯=∙-∙-=b c a b c a θ又[]πθ,0∈，所以4πθ= 注：对于两向量之间的夹角的求解，第一选择就是夹角公式，先求出夹角的余弦值，再结合两向量之间夹角的范围确定夹角的大小。
平面向量的角度和方向余弦
平面向量的角度和方向余弦平面向量是指在同一平面内有大小和方向的箭头，通常用字母加箭头表示，如向量a用符号a→表示。
平面向量的重要性在于它们能够用于描述力、速度和位移等物理量，并且有许多运算性质和几何意义。
在平面向量的研究中，角度和方向余弦是两个重要的概念。
角度是指平面向量之间的夹角，而方向余弦则表示每个向量在坐标轴上的投影。
一、平面向量的角度平面向量的角度可以通过点乘来求解。
设有两个非零向量a→和b→，它们之间的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (a→·b→)/(|a→||b→|)其中，·表示点乘，|a→|和|b→|分别表示向量a→和b→的模（长度）。
根据这个公式，我们可以推导出一些关于平面向量角度的重要性质。
1. 如果夹角θ等于0度，则a→和b→平行且同向。
当两个向量之间的夹角为0度时，表示它们的方向完全相同，即平行且同向。
此时，根据公式cos0° = 1，我们可以得出a→·b→ =|a→||b→|。
换句话说，两个平行向量的点乘等于它们的模的乘积。
2. 如果夹角θ等于180度，则a→和b→平行但方向相反。
当两个向量之间的夹角为180度时，表示它们的方向完全相反，即平行但方向相反。
此时，根据公式cos180° = -1，我们可以得出a→·b→ = -|a→||b→|。
换句话说，两个反向平行向量的点乘等于它们的模的乘积的相反数。
3. 如果夹角θ等于90度，则a→和b→垂直且长度无关。
当两个向量之间的夹角为90度时，表示它们垂直，即互相正交。
此时，根据公式cos90° = 0，我们可以得出a→·b→ = 0。
换句话说，两个垂直向量的点乘等于0，与它们的模的乘积无关。
通过这些性质，我们可以进一步探索平面向量的几何意义和运算性质。
二、平面向量的方向余弦方向余弦是指一个向量在坐标轴上的投影，它反映了向量在各个坐标轴上的分量大小。
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
a // b x1 y2 x2 y1 0
a· b=0 a⊥b b x1 x2 yx1x22+y0y2=0 a 1y 1
例题讲解 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC的 形状,并给出证明. AB 2 1,3 2 1,1 向量的数量
cos
知三角形函 数值求角时, 应注重角的 范围的确定
又0≤(３,４),b＝(４,３),求x，y的值使 (xa+yb)⊥a,且｜xa+yb｜=1.
24 24 x 35 x 35 和 y 5 y 5 7 7
积是否为零, 是判断相应 AC 2 1,3 2 1,1 的两条线段 或直线是否 AB AC 1 3 1 3 0 垂直的重要 方法之一 AB AC
∴ △ABC是直角三角形
a、b都是非零向量，a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是 a与b的夹角
向量的长度(模)
设a =(x，y),则 |a|2=
x2 y 2
或|a |=
x2 y2 _______
x2 x1 2 y2 y1 2 若设A(x1,y1)、B(x2,y2),则 |AB|=_____________
平面内两点间的距离公式
向量平行和垂直的坐标表示式
设a、b为两个向量,且a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，
b
a 52 7 2 74 ,
1.6rad 92
2 cos 0.03 74 52
6 4
2
2
52
练习
已知i=(1,0),j=(0,1),与2i+j垂直的向量是[ B ]
平面向量的坐标与向量的夹角
平面向量的坐标与向量的夹角平面向量是数学中的重要概念，用来表示有大小和方向的量。
在二维平面内，我们可以使用坐标系来表示平面向量的坐标，同时还可以通过计算得出向量之间的夹角。
本文将介绍平面向量的坐标表示方法以及向量之间的夹角计算公式。
一、平面向量的坐标表示方法平面向量可以用一个有序数对来表示。
在二维直角坐标系中，我们通常使用两个实数表示一个平面向量的坐标。
假设有一个平面向量v，它的x轴坐标为x，y轴坐标为y，则可以表示为v=(x, y)。
对于平面向量的坐标表示，我们可以通过底边和高边的坐标差来计算。
假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则向量AB的坐标表示为v=(x2-x1, y2-y1)。
二、向量的夹角向量的夹角是描述向量之间夹角大小的概念。
对于平面中的两个向量v1=(x1, y1)和v2=(x2, y2)，它们的夹角可以通过以下公式计算得出：cosθ = (x1*x2 + y1*y2) / (|v1| * |v2|)其中θ表示向量v1和向量v2之间的夹角，|v1|和|v2|表示向量v1和v2的模（长度）。
通过夹角的计算公式，我们可以得知向量之间的夹角大小。
若夹角大于90度，则表示两个向量之间为钝角；若夹角等于90度，则表示两个向量之间为直角；若夹角小于90度，则表示两个向量之间为锐角。
三、示例问题为了更好地理解平面向量的坐标和向量的夹角，我们来看一个示例问题。
问题：已知向量u=(3, 4)和向量v=(2, -1)，求两个向量之间的夹角。
解析：首先计算向量u和向量v的模（长度）：|u| = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5|v| = √(2^2 + (-1)^2) = √(4 + 1) = √5然后计算向量u和向量v的点积：u*v = (3*2 + 4*(-1)) = 6 - 4 = 2将计算结果代入夹角的计算公式：cosθ = (2) / (5 * √5)通过计算可得cosθ的值为2 / (5 * √5)。
平面向量夹角的计算方法-含答案
【知识要点】一、两个非零向量的夹角的概念已知非零向量a 与b ，作,,OA a OB b ==，则(0)A O B θθπ∠=≤≤叫与的夹角.当0θ=时a 与b 同向；当θπ=时，a 与b 反向；当2πθ=时，a 与b 垂直，记a b ⊥.（1）对于0,不谈它与其它向量的夹角问题.（2）a 与b 的夹角，记作,a b <>,确定向量a 与b 的夹角时，必须把两个向量平移到同一个起点.如：A ∠>=<, 但是B ∠>≠<, B ∠->=<π,二、求两个向量的夹角一般有两种方法方法一：cos ,a b a b a b<>=方法二：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则cos θ=【方法讲评】 b a b求解.一般没有坐标背景.b ，||,|a b b a b求解.【例1】已知,2,x a b y a b =+=+且||||1,.a b a b ==⊥ （1）求||||x y 和；（2）求,x y 夹角的余弦值.【点评】（1）222||||a a a a ==和是平面向量求模非常重要的两个公式，要注意灵活运用.（2）利用公式cos ,a b a b a b<>=求解时，要先求a b ，||,||a b 这些基本量，再代入公式.【反馈检测1】已知,a b 都是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a 与b 的夹角.【例2】 如图，函数2sin(),y x x R πϕ=+∈（其中02ϕ≤≤）的图像与y 轴交于点(0,1).（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与PN 的夹角的余弦.【解析】（I ）因为函数图像过点(0,1)， 所以2sin 1,ϕ=即1sin .2ϕ= 因为02πϕ≤≤，所以6πϕ=.【点评】 此类问题的一般步骤是：先求,a b 的坐标，再cos θ=求解. 学科@网【反馈检测2】||1,||3,(3,1a b a b ==+=已知）， ||a b a b a b -+-（1）试求；（2）与的夹角.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第44讲:平面向量夹角的计算方法参考答案【反馈检测1答案】3a b π与的夹角为【反馈检测2答案】（1）2；（2）23π. 【反馈检测2详细解析】222||()242a b a b a a b b a b -=-=-+=-(1)22||224424a b a a b b a b +=∴++=∴+=20||42a b a b ∴=∴-==(2)设两个向量的夹角为α，22()()131442||||a b a b a b a b a b α+---∴===--+cos =203απαπ<<∴=。
平面向量的模长与向量的夹角
平面向量的模长与向量的夹角平面向量是数学中的重要概念，在几何学和物理学等领域都有广泛的应用。
本文将讨论平面向量的模长与向量的夹角之间的关系。
一、平面向量的定义及表示方法平面向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
平面向量常用字母加箭头（如→AB）表示，箭头的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
平面向量还可以使用坐标表示法，其中(x, y)表示向量在坐标轴上的投影长度。
当两个平面向量相等的时候，它们具有相同的大小和方向。
二、平面向量的模长平面向量的模长表示向量的大小。
对于一个平面向量→AB，它的模长表示为|→AB|或者AB。
对于一个平面向量→AB(x, y)，它的模长可以通过勾股定理计算得到：|→AB| = √(x² + y²)。
三、平面向量的夹角平面中的两个非零向量→AB和→CD，它们之间的夹角用符号θ表示。
夹角θ可以通过两向量的点积公式计算得到：cosθ = (→AB·→CD) / (|→AB| * |→CD|)。
在平面中，夹角θ的取值范围为0到π（弧度）之间。
四、模长和夹角的关系在平面向量中，模长和夹角之间有以下关系：1. 如果两个向量的模长相等，即|→AB| = |→CD|，则它们之间的夹角θ可能是0度、180度或其他角度。
当且仅当两个向量的方向相同时，夹角为0度；当且仅当两个向量的方向相反时，夹角为180度。
2. 如果两个向量的夹角为90度，即θ = π/2，那么它们之间的模长可能相等，也可能不相等。
3. 如果两个向量的夹角为0度，即θ = 0，那么它们之间的模长必然相等。
综上所述，平面向量的模长与向量的夹角之间的关系是复杂而多样的，取决于具体的向量和夹角大小。
五、案例分析为了更好地理解平面向量的模长与向量的夹角之间的关系，我们举例进行分析。
假设有两个平面向量→AB(3, 4)和→CD(-1, 2)：1. 计算模长：|→AB| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5|→CD| = √((-1)² + 2²) = √(1 + 4) = √52. 计算夹角：cosθ = (3 * (-1) + 4 * 2) / (5 * √5) = (3 * (-1) + 4 * 2) / (5 * 5) = (6 - 3) / 25 = 3 / 25由于夹角θ的取值范围为0到π之间，无法通过此结果得到夹角的具体值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2、向量的模和两点间的距离公式
2
(1)a a a 或 a a a；
(1)向量的模
2
设a (x, y), 则 a x2 y2 ,或 a x2 y2；
（2）两点间的距离公式
设A（x1, y1)、B(x2 , y2 ),
则
AB （x1 x2 )2 （y1 y2 )2
(1).设a x, y ,则 a x2 y2 用于计算向量的模
(1) 2；（2）17；（3）－3.
例题讲解
例1已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断 △ABC的形状,并给出证明.
AB 2 1,3 2 1,1
向量的数量 积是否为零,
AC 2 1,3 2 1,1 是判断相应 的两条线段
AB• AC 1313 0 或直线是否 垂直的重要
在坐标平面xoy内，已知 a ＝(x1，y1)，b ＝ (x2，y2)，则
a b x1x2 y1y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
例 1:已知a ＝(1,√3b)， ＝(– 2,2√3 ),求a ·b
解aa：ab((1·b,2)＝c,b)1× (((–_3练21_,)3习＋_,1则_：)√2,6c)3×(2√3,34＝), 4;
_____Y
B(x2，y2)
∵a = x1 i + y1 j ，b = x2 i + y2 j
b
a b x1i y1 jx2i y2 j
j
x1x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j2 O i
x1x2 y1 y2
A（x1,y1）
a
X
1、平面向量数量积的坐标表示
＝1 2
,
∴ θ ＝60º
4、两向量垂直的坐标表示
垂直 a b a b 0
设a （x1, y1), b ( x2 , y2 ), 则 a b x1x2 y1 y2 0
a b与 垂直：a ＝(x1，y1b)， ＝ (x2，y2)，则
a
b
ab
0
x1x2
y1 y2
0
练习：a
(3,4), b a,
解：当A = 90时，ABAC=0,90时， AB BC= 0，
∴2×(1) +3×(k3) = 0 ∴k = 11
3
当C = 90时， AC BC = 0，
∴1 + k(k3) = 0 ∴k = 3 13 2
综上所述 k 3 或 11 或 3 13
a b (3, 3)
| a b | 32 ( 3)2 12 2 3
3、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b的夹角为（0 180），
则 cos a b
ab
设a （x1, y1), b (x2 , y2 ),且a与b夹角为，
(0 180 )则cos
x1x2 y1 y2
.
x12 y12 x22 y22
一.复习引入新课:
r 1.r平面向量r数量r 积的含义:
a •b ___|_a__||_b_|_c_o_s_θ____ .
r r2.平r面r向量数量积的运算率.
(1)a •rb br • a...r......r...交r换率 r (2)(r a)r•b r (ra •rb ) r a •r (b )......"结合率" (3)(a b ) • c a • c b • c ............分配率
证明:AB (2 1,3 2) (1,1)
y
AC (2 1,5 2) (3,3) C(-2,5)
AB AC 1 (3) 1 3 0
B(2,3)
AB AC
三角形ABC 是直角三角形.
A(1,2)
x 0
例3、在ABC中，设AB=(2,3),AC=(1,k),
且ABC是直角三角形，求k的值.
a和b的坐标表示 a b呢？
在直角坐标系中，已知两个非零向量a = （x1，y1），
b = （x2，y2）， 如何用a 与b的坐标表示a b
单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求
① i i __1___ ②i j ___0___ j i 0 ③ j j _____1_ ④
AB AC
方法之一
∴ △ABC是直角三角形
例1 .已知a (1, x),b （-3，1） (1)当x为何值时，2a＋b与a 2b平行？ (2)当x为何值时，2a＋b与a 2b垂直？
（1） 1 3
（2） 3或 3 2
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
终点坐标为b(
且b 起点坐标为( x, （3_x_),1_45则_，15_）_
1,
2)
例 2：已知a＝(5, 0)，b＝(–3.2, 2.4), 求证：(a＋b)⊥b .
证明： ∴
∵(a＋b)·b＝a·b＋b2 ＝5×(–3.2)＋0×2.4＋(–3.2)2＋2.42
＝0 (a＋b)⊥b
尝试：已知向量a＝(4，3),b＝(－1，2), 求: (1) a·b； (2) (a＋2b)·(a－b)； (3) |a|2－4a·b.
rr
设r3a.重r、要b都结是论非: 零向量,则
a b
rr a •(2a) r
_____arar__2•__br__(_1_)0__|__ar_. |_2_
.
| ar |r____a__•_ar___r.
|(a3)•b | ___≤_ | a || b | .
我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应 的坐标来运算,那么怎样用
其中 x12 y12 0，x22 y22 0.
向量夹角公式的坐标式：
a ＝(x1，y1b)， ＝ (x2，y2)，则
cos
x1x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
例 1:已知a＝(1，√3 )，b＝(– 2，2√3 ),
求a与b的夹角θ.
cosθ ＝
a·b ＝ 4 a b 2×4
如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为x1, y1 , x2, y2 , 那么 a x1 x2 2 y1 y2 2 . 即平面内两点间的距离公式．
例 1:已a知 ＝(1,√3b)， ＝(– 2,2√3 ), 求a| |,b| |
a
√ ＝ 12＋(√3 )2＝2,
|ab|
√ b ＝ (– 2)2＋(2√3 )2 ＝4,