平面向量夹角的计算方法-含答案
平面向量求夹角的知识点
平面向量求夹角的知识点一、平面向量夹角的定义。
1. 已知两个非零向量→a和→b，作→OA=→a，→OB=→b，则∠ AOB = θ（0≤slantθ≤slantπ）叫做向量→a与→b的夹角。
- 当θ = 0时，→a与→b同向。
- 当θ=π时，→a与→b反向。
- 当θ=(π)/(2)时，→a与→b垂直，记作→a⊥→b。
二、平面向量夹角的计算公式。
1. 向量点积公式。
- 若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a·→b=x_1x_2 + y_1y_2。
2. 向量夹角公式。
- 根据→a·→b=|→a||→b|cosθ，可得cosθ=(→a·→b)/(|→a||→b|)。
- 其中|→a|=√(x_1^2)+y_1^{2}，|→b|=√(x_2^2)+y_2^{2}。
- 例如，已知→a=(1,2)，→b=( - 2,3)。
- 首先计算→a·→b=1×(-2)+2×3 = - 2 + 6=4。
- 然后|→a|=√(1^2)+2^{2}=√(5)，|→b|=√((-2)^2)+3^{2}=√(13)。
- 最后cosθ=(4)/(√(5)×√(13))=(4)/(√(65))，则θ=arccos(4)/(√(65))。
三、平面向量夹角的性质及应用。
1. 性质。
- →a·→b=|→a||→b|cosθ反映了向量的数量积与向量模长和夹角之间的关系。
- 当cosθ = 0（即→a·→b=0）时，→a⊥→b，这是判断两个向量垂直的重要依据。
- 当cosθ = 1（即→a与→b同向）时，→a·→b=|→a||→b|；当cosθ=-1（即→a 与→b反向）时，→a·→b=-|→a||→b|。
2. 应用。
- 在几何问题中，通过计算向量夹角可以判断直线的位置关系（平行、垂直等）。
例如，在三角形中，若已知三边对应的向量→AB、→BC、→CA，可以通过计算向量夹角来判断三角形的内角大小。
利用空间向量求夹角（例、练及答案）
利⽤空间向量求夹⾓（例、练及答案）利⽤空间向量求夹⾓（例、练及答案）1．利⽤⾯⾯垂直建系例1：在如图所⽰的多⾯体中，平⾯平⾯，四边形为边长为2的菱形，为直⾓梯形，四边形为平⾏四边形，且，，．（1）若，分别为，的中点，求证：平⾯；（2）若，与平⾯所成⾓的正弦值为求⼆⾯⾓的余弦值．2．线段上的动点问题例2：如图，在中，，，，沿将翻折到的位置，使平⾯平⾯．（1）求证：平⾯；（2）若在线段上有⼀点满⾜，且⼆⾯⾓的⼤⼩为，求的值．11ABB A ⊥ABCD 11ABB A ABCD 11BCC B AB CD ∥AB BC ⊥1CD =E F 11A C 1BC EF ⊥11AB C 160A AB ∠=?1AC ABCD 11A AC D --ABCD Y 30A ∠=?2AB =BD ABD △A BD '△A BC '⊥A BD 'A D '⊥BCD A C 'M A M A C λ=''uuuu v uuu v M BD C --60?λ3．翻折类问题例3：如图1，在边长为2的正⽅形中，为中点，分别将，沿，所在直线折叠，使点与点重合于点，如图2．在三棱锥中，为中点．（1）求证：；（2）求直线与平⾯所成⾓的正弦值；（3）求⼆⾯⾓的⼤⼩．练习⼀、单选题1．如图，在所有棱长均为的直三棱柱中，，分别为，的中ABCD P CD PAD △PBC △PA PB C D O P OAB -E PB PO AB ⊥BP POA P AO E --a 111ABC A B C -D E 1BB 11A C点，则异⾯直线，所成⾓的余弦值为（）A ．BC ．D ．2．在三棱柱中，底⾯是边长为1的正三⾓形，侧棱底⾯，点在棱上，且，若与平⾯所成的⾓为，则的值是（） ABCD3．如图，圆锥的底⾯直径，⾼，为底⾯圆周上的⼀点，，则空间中两条直线与所成的⾓为（）A ．B ．C ．D ．4．已知四棱锥的底⾯是边长为2的正⽅形，，平⾯平⾯，是的中点，是的中点，则直线与平⾯所成⾓的正弦值是（）AD CE 121545111ABC A B C -1AA ⊥ABC D 1BB 1BD =AD 11AA C C αsin α22AB =OC D 120AOD ∠=?AD BC 30?60?75?90?P ABCD -ABCD PA PD ==ABCD ⊥PAD M PC O AD BM PCOABCD5．如图，在直三棱柱中，，，点与分别是和的中点，点与分别是和上的动点．若，则线段长度的最⼩值为（）ABCD ．6．如图，点分别在空间直⾓坐标系的三条坐标轴上，，平⾯的法向量为，设⼆⾯⾓的⼤⼩为，则（）A ．BC ．D ． 7．如图所⽰，五⾯体中，正的边长为1，平⾯，，且．设与平⾯所成的⾓为，，若，则当取最⼤值时，平111ABC A B C -90BAC ∠=?12AB AC AA ===G E 11A B 1CC D F AC AB GD EF ⊥DF A B C 、、O xyz -()0,0,2OC =uuu v ABC ()2,1,2=n C AB O --θcos θ=432323-ABCDE ABC △AE ⊥ABC CD AE ∥12CD AE =CE ABE α(0)AE k k =>ππ,64α??∈k⾯与平⾯所成⾓的正切值为（）AB ．1 CD8．已知三棱柱的侧棱与底⾯边长都相等，在底⾯内的射影为的中⼼，则与底⾯所成⾓的正弦值等于（） ABCD9．如图，四棱锥中，平⾯，底⾯为直⾓梯形，，，，点在棱上，且，则平⾯与平⾯的夹⾓的余弦值为（）ABC10．在正⽅体中，直线与平⾯所成⾓的余弦值为（） ABCD11．已知四边形，，沿折起，使⼆⾯⾓的⼤⼩在内，则直线与所成⾓的余弦值取值范围是（）BDE ABC 111ABC A B C -1A ABC ABC △1AB ABC P ABCD -PB ⊥ABCD ABCD AD BC ∥AB BC ⊥3AB AD PB ===E PA 2PE EA =ABE BED1111ABCD A B C D -1BC 1A BD ABCD 2AB BD DA ===BC CD =ABD △BD A BD C --5,66π?π?AB CDA ．B ．D ． 12．正⽅体中，点在上运动（包括端点），则与AD 1所成⾓的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．⼆、填空题13．如图，在直三棱柱中，，是的中点，则异⾯直线与所成⾓的余弦值为________．14．已知四棱锥的底⾯是菱形，，平⾯，且，点是棱的中点，在棱上，若，则直线与平⾯所成⾓的正弦值为__________．15．设，是直线，，是平⾯，，，向量在上，向量在上，，，则，所成⼆⾯⾓中较⼩的⼀个的余弦值为________．16．在四棱锥中，底⾯为平⾏四边形，平⾯，，，，，则当变化时，直线与平⾯所成⾓的取值范围是__________．三、解答题17．如图所⽰：四棱锥，底⾯为四边形，，，，平⾯平⾯，，，01??U ??1111ABCD A B C D -P 1A C BP ππ,43??ππ,42ππ,62ππ,63111ABC A B C -12AB BC CC ===AC =m AC 1CB 1C M P ABCD -60BAD ∠=?PD ⊥ABCD PD AB =E AD F PC :1:2PF FC =EF ABCD a b αβa α⊥b β⊥1a a 1b b ()11,1,1=a 13,(0)4,=-b αβP ABCD -ABCD PA ⊥ABCD 2AB =120BAD ∠=?PA x =x PD PBC P ABCD -ABCD AC BD ⊥BC CD =PB PD =PAC ⊥PBD AC =30PCA ∠=?4PC =（1）求证：平⾯；（2）若四边形中，，是否在上存在⼀点，使得直线与平⾯的值，若不存在，请说明理由．18．如图，在斜三棱柱中，底⾯是边长为2的正三⾓形，，．（1）求证：平⾯平⾯；（2）求⼆⾯⾓的正弦值．PA ⊥ABCD ABCD 120BAD ∠=?AB BC ⊥PC M BM PBD PM MC111ABC A B C -ABC 13BB =1AB =160CBB ∠=?ABC ⊥11BCC B 1B AB C --参考答案1．【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）连接，∵四边形为菱形，∴．∵平⾯平⾯，平⾯平⾯，平⾯，，∴平⾯．⼜平⾯，∴．∵，∴．∵，∴平⾯．∵分别为，的中点，∴，∴平⾯．（2）设，由（1）得平⾯，由，，得过点作，与的延长线交于点，取的中点，连接，，如图所⽰，⼜，∴为等边三⾓形，∴，⼜平⾯平⾯，平⾯平⾯，平⾯，故平⾯．∵为平⾏四边形，∴，∴平⾯．⼜∵，∴平⾯．∵，∴平⾯平⾯．由（1），得平⾯，∴平⾯，∴．∵，∴平⾯，∴是与平⾯所成⾓．1A B 11ABB A 11A B AB ⊥11ABB A ⊥ABCD 11ABB BA I ABCD AB =BC ?ABCD AB BC ⊥BC ⊥11ABB A 1A B ?11ABB A 1A B BC ⊥11BC B C ∥111A B B C ⊥1111B C AB B =I 1A B ⊥11AB C ,E F 11A C 1BC 1EF A B ∥EF ⊥11AB C 11B C a=11B C ⊥11ABB A 160A AB ∠=?2BA =1C 1C M DC ⊥DC M AB H 1A H AM 160A AB ∠=?1ABA △1A H AB ⊥11ABB A⊥ABCD 11ABB A I ABCD AB =1A H ?11ABB A 1A H ⊥ABCD 11BCC B 11CC BB ∥1CC ∥11AA BB CD AB ∥CD ∥11AA BB 1CC CD C =I 11AA BB ∥1DC M BC ⊥11AA BB BC ⊥1DC M 1BC C M ⊥BC DC C =I 1C M ⊥ABCD 1C AM ∠1AC ABCD ∵，，∴平⾯，平⾯，∵，∴平⾯平⾯．在梯形中，易证，分别以，，的正⽅向为轴，轴，轴的正⽅向建⽴空间直⾓坐标系．则，，，及设平⾯的⼀个法向量为，由令，得设平⾯的⼀个法向量为，由得令，得⼜∵⼆⾯⾓是钝⾓，∴⼆⾯⾓的余弦值是2．【答案】（1）见解析；（2．【解析】（1）中，由余弦定理，可得．∴，∴，∴．作于点，∵平⾯平⾯，平⾯平⾯，∴平⾯．∵平⾯，∴．⼜∵，，∴平⾯．⼜∵平⾯，∴．11A B AB∥11C B CB∥11A B∥ABCD11B C∥ABCD11111A B C B B=I ABCD∥111A B CABCD DE AB⊥HAuu u vHDuuu v1HAuuu vx y z()1,0,0A()1,0,0B-BB CC=uuu v uuu v 1ADC() 111,,x y z=m1ACAD==uuu vuuu vmm11y=()3,1,2=m11AA C() 222,,x y z=ACAA==uuu vuuu vnn21z=11A AC D--11A AC D--ABD△1BD=222 BD AD AB +=90ADB∠=?90 DBC∠=?DF A B ⊥'FA BC'⊥A BD'I A BD A B'='DF⊥A BC'CB?A BC'DF BC⊥CB BD⊥BD DF D=I CB⊥A DB'A D'?A DB'CB A D⊥'⼜，，∴平⾯．（2）由（1）知，，两两垂直，以为原点，以⽅向为轴正⽅向建⽴如图所⽰空间直⾓坐标系，则，．设，设平⾯的⼀个法向量为，取．平⾯的⼀个法向量可取∵3．【答案】（1）见解析；（2；（3【解析】（1）在正⽅形中，为中点，，，∴在三棱锥中，，．∵，∴平⾯．∵平⾯，∴．A D BD '⊥BD CB B =I A D '⊥BCD DA DB DA 'D DA uu u vx D xyz -()0,1,0B (),,M x y z MDB (),,a b c =m ()11,0,a c λλλλ=-?=?=-m CBD []0,1λ∈ABCD P CD PD AD ⊥PC BC ⊥P OAB -PO OA ⊥PO OB ⊥OA OB O =I PO ⊥OAB AB ?OAB PO AB ⊥（2）取中点，连接，取中点，连接．过点作的平⾏线．∵平⾯，∴，．∵，为的中点，∴．∴．如图所⽰，建⽴空间直⾓坐标系．，，，．∵，为的中点，∴．∵平⾯，平⾯，∴平⾯平⾯．∵平⾯平⾯，平⾯，∴平⾯∴平⾯的法向量设直线与平⾯所成⾓为∴直线与平⾯AB F OF AO M BM O AB OG PO ⊥OAB PO OF ⊥PO OG ⊥OA OB =F AB OF AB ⊥OF OG ⊥O xyz -()A ()B -()0,0,1P 12M ??BO BA =M OA BM OA ⊥PO ⊥OAB PO ?POA POA ⊥OAB POA I OAB OA =BM ?OAB BM ⊥POA POA )1,0= -m BP POA αBP POA设平⾯的法向量为，则有令由题知⼆⾯⾓练习答案⼀、单选题 1．【答案】C【解析】设的中点，以，，为，，轴建⽴坐标系，则，，，，则，，设与成的⾓为，则，故选C ． 2．【答案】D【解析】如图，建⽴空间直⾓坐标系，易求点．平⾯的⼀个法向量是，∴，则．故选D ． 3．【答案】B【解析】取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建⽴空间直⾓OAE n 0 0OA OE =??=??uu v uu u v n n1y =-P AOE --AC O OB uu u v OC uuu v OE uu uvx y z 0,,02a A ??,0,2a D ?0,,02a C ?? ???()0,0,E a ,,22a a AD ?=uuu v 0,,2a CE a ??=- uu u v AD CE θ01cos 5a a aaθ-?+?=1,12D ?11AA C C ()1,0,0=n cos ,AD ===uuu v n sin α=AB E O OE x OB y OC z 坐标系，如图所⽰，∵圆锥的底⾯直径，⾼，为底⾯圆周上的⼀点，，∴可得，，，，则，，设空间两条直线与所成的⾓为，∴，∴，即直线与所成的⾓为，故选B ． 4．【答案】D【解析】由题可知，，，，则，，∵是的中点，∴，设平⾯的法向量，直线与平⾯所成⾓为，则可取，，故选D ．2AB=OC D 120AOD ∠=?()0,1,0A -()0,1,0B (C 1,02D3,02AD ?=uuuv (0,BC =-u u u vAD BCθ31cos 2AD BC AD BC θ?===?u uuu v uu u u v v u uu u v 60θ=?AD BC 60?()0,0,0O ()0,0,2P ()1,2,0B ()1,2,0C -()0,0,2OP =uu u v ()1,2,0OC =-uuu vM PC 1,1,12M ??- 3,1,12BM ??=--uuu v PCO (),,x y z =n BM PCO θ20 20OP z OC x y ?==?=-=?+uu u vuuu vn n ()2,1,0=n sin cos BM BM BM θ?===?uuu v uuu v uuu v ，n n n5．【答案】A【解析】建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系，则，，，，，则，，由于，∴，∴，故，∴当时，线段A ． 6．【答案】C【解析】由题意可知，平⾯的⼀个法向量为：，由空间向量的结论可得：．故选C ． 7．【答案】C【解析】如图所⽰，建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系，()0,0,0A ()0,2,1E ()1,0,2G 0(),0,F x 0(0,),D y ()1,,2GD y =--uuu v (),2,1EF x =--uu u v GD EF ⊥220GD EF x y =--+=?uuu v uu u v22x y =-DF =45y =DF ABO ()0,0,2OC =uuu v42cos 233OC OC θ?===??uuu vuuu vn n O xyz -则，，，，取的中点，则，则平⾯的⼀个法向量为，由题意⼜由，∴∴当的法向量为，则，取，由平⾯的法向量为，设平⾯和平⾯所成的⾓为，则，∴，∴C ． 8．【答案】B【解析】如图，设在平⾯内的射影为，以为坐标原点，、分别为轴、轴建⽴空间直⾓坐标系如图．，，ABE 3,04CM ?=uuu v sin CE CM CE CM α?==uu u v u uu u u vv uu v uu ππ,64α??∈1sin 2α≤=≤k ≤k k BDE (),,x y z =n 0 1022DE y z BE y z==?++=?uuu v uu u v n n (=-n ABC ()0,0,1=m BDE ABC θcos θ?= =n m n m sin θ=tan θ=1A ABC O O OA 1OA x z设边长为1，的法向量为．设与底⾯所成⾓为故直线与底⾯B ．9．【解析】以为坐标原点，以、、所在直线为、、轴，建⽴空间直⾓坐标系，设平⾯的⼀个法向量为，则，取的法向量为，与平⾯B ．10．【答案】C【解析】分别以，，为，，轴建⽴如图所⽰空间直⾓坐标系：ABC △112B ? ??ABC ()0,0,1=n 1AB ABC α1AB ABC B BC BA BP x y z ()0,0,0B ()0,3,0A ()0,0,3P ()3,3,0D ()0,2,1E ()0,2,1BE =uu u v ()3,3,0BD =uu u vBED (),,x y z =n 20330BE y z BD x y =+=?=+=?uu u v uu u vn n 1z =ABE ()1,0,0=m ABE BED DA DC 1DD x y z设正⽅体的棱长为1，可得，，，，∴，，，设是平⾯的⼀个法向量，∴，即，取，得，∴平⾯的⼀个法向量为，设直线与平⾯所成⾓为，∴，即直线与平⾯所成⾓的余弦值是C ． 11．【答案】A【解析】取中点，连结，，∵．，，且，∴是⼆⾯⾓的平⾯⾓，以为原点，为轴，为轴，过点作平⾯的垂线为轴，建⽴空间直⾓坐标系，，，，()0,0,0D ()1,1,0B()10,1,1C ()11,0,1A ()11,0,1BC =-uuu r ()11,0,1A D =--uuu r ()1,1,0BD =--uu u r(),,x y z =n 1A BD 100A D BD =?=uuu v uu u vn n 0 0x z x y =+=+1x =1y z ==-1A BD ()1,1,1=--n 1BC 1A BD θ1BC 1A BD BD O AO CO 2AB BD DA ===BC CD ==CO BD ⊥AO BD ⊥1CO =AO AOC ∠A BD C --O OC x OD y O BCD z ()0,1,0B -()1,0,0C ()0,1,0D设⼆⾯⾓的平⾯⾓为，则，连、，则，，∴，，设、的夹⾓为，则∵，∴，故，∴．故选A ．12．【答案】D【解析】以点为原点，、、所在直线分别为轴建⽴空间直⾓坐标系，设正⽅体棱长为1，点坐标为，则，，设、的夹⾓为，则∴当时，，．当时，取最⼩值，．∵，∴与所成⾓的取值范围是．故选D ．⼆、填空题 13．【解析】在直三棱柱中，，是的中点，A BD C --θ5,66θπ??∈πAO BO AOC θ∠=)A θθ)BA θθ=uu r ()1,1,0CD =-uu u rAB CD αcos AB CD AB CD α?=?uu u r uu u r uu u r uu u r 5,66θπ??∈πcos θ?∈510,2θ??-∈cos α?∈D DA DC 1DD x y z 、、P (),1,x x x -()1,,BP x x x =--uu v ()11,0,1BC =-uuu vBP uu v 1BC uuu vα11cos BP BC BP BC α?==uu v uu uu u v v uuu v 13x =cos απ6α=1x =cos α12π3α=11BC AD ∥BP 1AD ππ,63??111ABC A B C -12AB BC CC ===AC =M AC∴，．以为原点，为轴，为轴，过作的垂线为轴，建⽴空间直⾓坐标系，则，，，，∴，，设异⾯直线与所成⾓为，则．∴异⾯直线与． 14．【解析】以点建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系，设菱形的边长为2，则，，，平⾯的⼀个法向量为，BM AC ⊥1BM =M MA x MB y M AC z ()C ()10,1,2B ()1C ()0,0,0M )1CB =uuu v ()1MC =uuuu v1CB 1C M θ1111cos CB CB MC MC θ?===?uuu v uuu v uuuu v uuuu v 1CB 1C M D D xyz -ABCD ()0,0,0D 1,02E ?-240,,33F ?? ABCD ()0,0,1=n。
平面向量的夹角和方向角
平面向量的夹角和方向角在平面几何中，向量是一种有大小和方向的量。
当涉及到平面向量时，我们经常需要计算夹角和方向角。
本文将详细解释平面向量的夹角和方向角的概念及计算方法。
夹角是指两个向量之间的夹角，用于描述向量之间的关系。
设有两个向量A和A，它们的夹角可以通过向量积的性质来计算。
具体而言，如果将向量A和向量A的向量积表示为A×A，则夹角A的余弦可以通过以下公式计算：cos A = (A×A) / (|A| × |A|)其中，|A|和|A|分别表示向量A和向量A的模长。
利用反余弦函数，我们可以得到夹角A的值。
需要注意的是，夹角的范围通常为0到180度。
方向角是指一个向量相对于某个正轴的角度，用来描述向量在平面上的位置。
在平面直角坐标系中，我们通常以A轴的正向为参考轴。
对于一个向量A(x, y)，方向角A可以通过以下公式计算：tan A = A / A其中，A表示向量A在A轴上的分量，A表示向量A在A轴上的分量。
利用反正切函数，我们可以得到方向角A的值。
需要注意的是，方向角的范围通常为0到360度。
通过夹角和方向角，我们可以更好地理解平面向量的性质和关系。
在实际应用中，夹角和方向角在物理、工程和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
总结起来，平面向量的夹角和方向角是描述向量之间关系和位置的重要概念。
通过合适的计算方法，我们可以准确地计算出夹角和方向角的值，从而更好地理解向量在平面上的性质和应用。
本文介绍了计算平面向量夹角和方向角的基本原理和方法，希望能对读者对该知识点的理解和应用有所帮助。
通过学习夹角和方向角的相关概念和计算方法，读者可以更好地掌握平面向量的性质和应用，进而提高自己在几何学和相关领域中的解题能力。
经过本文的介绍和讲解，读者对平面向量夹角和方向角的概念和计算方法应该有了更深入的理解。
在实际问题中，学会运用夹角和方向角的计算方法，能够更好地分析和解决平面几何中的相关问题。
平面向量夹角计算公式
平面向量夹角计算公式在平面几何中，两个向量的夹角是指这两个向量之间的角度。
计算平面向量夹角的常用方法是使用向量的点乘公式。
假设有两个平面向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，它们分别可以表示为：$$\mathbf{a} = (a_1, a_2)$$$$\mathbf{b} = (b_1, b_2)$$两个向量的点乘公式为：$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$$如果 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的长度都不为零，则它们之间的夹角 $\theta$ 可以通过以下公式计算：$$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|}$$其中，$\|\mathbf{a}\|$ 表示向量 $\mathbf{a}$ 的长度，也可以表示为 $\sqrt{a_1^2 + a_2^2}$，$\|\mathbf{b}\|$ 表示向量$\mathbf{b}$ 的长度，也可以表示为 $\sqrt{b_1^2 + b_2^2}$。
然后，使用反余弦函数可以计算出夹角 $\theta$ 的值。
计算平面向量夹角的步骤如下：1. 获取向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的坐标表示。
2. 计算向量的点乘，使用公式 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} =a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$。
3. 计算向量的长度，使用公式 $\|\mathbf{a}\| = \sqrt{a_1^2 +a_2^2}$ 和 $\|\mathbf{b}\| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2}$。
4. 使用公式 $\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|}$ 计算夹角的余弦值。
技能高考中平面向量的夹角的计算问题
平面向量夹角的计算问题（湖北省红安县职教中心 金哲 438400）摘要：“《平面向量》是中等职业教育课程改革国家规划新教材配套教学用书基础模块中的新增内容之一，是近几年技能高考（新教材）中的必考内容，已成为高三复习备考中的热点．从前几年高职统考以及这两年技能高考来看，除了对向量的基本概念的考查外，还要求学生掌握平面向量的坐标运算、内积、夹角的计算、模的计算。
本文将对平面向量夹角的计算问题进行一个归纳和整理，希望可以给将要技能高考的学生一点帮助。
【关键词】 平面向量的夹角定义，范围，夹角公式一、引言：1、平面向量的夹角定义：设两个非零a 与b ，作b OB a OA ==,,由射线OA 与OB 所形成的角叫做a 与b 的夹角，记作b a ,。
2、平面向量的夹角范围为[] 180,0 注:①若两向量方向相同，则夹角为0°②若两向量方向相反，则夹角为180°③若两向量垂直，则夹角为90°3、平面向量夹角公式： ba b a b a ∙∙=,cos 二、平面向量夹角的计算方法：在对2015年湖北省技能高考文化综合试卷数学部分进行分析，以及对2016年湖北省技能高考考试大纲和多套模拟试卷进行研究后，笔者总结归纳了中职生技能高考中平面向量的夹角计算方法。
欲求两向量a 与b 的夹角。
第一步，计算两向量的内积b a ∙ 和a ，b第二步，直接代入夹角公式ba b a b a ∙∙=,cos ，求出a 与b 的夹角的余弦值。
第三步，结合平面向量的夹角范围[] 180,0以及特殊角三 角函数值，确定a 与b 的夹角的大小。
三、经典例题例1、（2010年高职统考第16题）已知(1,3)a =- ,(1,2)b = ,(,6)c k = ,若向量b 和c 平行.求：（Ⅰ）实数k 的值；（Ⅱ）向量a 与c 的夹角.()()()c b k c b //,6,,2,1且由于Ⅰ解：== 02-61=⨯⨯k 因此，，3=k 故， ()()()6,3,3,1=-=c a 由于Ⅱ， ()5363,10312222=+==-+=c a 因此，, ()156331-=⨯-+⨯=∙c a 所以，由夹角公式有： 22531015,cos -=⨯-=∙∙=c a c a c a[]π，又两向量夹角范围为0 43,π=c a 所以， 例2、（2012年高职统考第17题第三问）已知点A(3+1,1)、B(1,1)和C(1,2)，且向量a =CB→、b =AB →和c =CA →．求： a 与c 之间的夹角<a ,c >．()()()2111113，，，，，解：C B A + ()()()1,3,0,3,1,0-==-==-==∴CA c AB b CB a ()()11130=-⨯-+⨯=∙∴c a ()()()213,1102222=-+==-+=c a 代入夹角公式有： 21211,cos =⨯=∙∙=c a c a c a[]π，又两向量夹角范围为0 3,π=c a 所以， 例3、（2015年文化综合29题第2问）已知向量()()()3,5,1,3,5,4=-==c b a ，求c a -与b 的夹角.θ解：由()()3,5,5,4==c a 有()2,1-=-c a又()1,3-=b ，则()()()51231=⨯+-⨯-=∙-b c a ()()1013,5212222=+-==+-=-b c a代入夹角公式中有： ()221055cos =⨯=∙-∙-=b c a b c a θ又[]πθ,0∈，所以4πθ= 注：对于两向量之间的夹角的求解，第一选择就是夹角公式，先求出夹角的余弦值，再结合两向量之间夹角的范围确定夹角的大小。
平面向量的夹角及其余弦定理
平面向量的夹角及其余弦定理在平面几何学中，平面向量是研究对象之一。
本文将重点关注平面向量的夹角以及与之相关的余弦定理。
1. 夹角的概念夹角是指由两个向量构成的角度。
两个向量的夹角可以通过向量的数量积来计算。
设两个向量A和B，在二维平面上，它们的夹角θ定义如下：cosθ = (A·B) / (|A|·|B|)其中，·表示向量的数量积，|A|和|B|分别表示向量A和B的模长。
这个公式利用了余弦函数的性质，可以通过向量的数量积直接计算夹角的余弦值。
2. 余弦定理余弦定理是三角学中的重要定理，它也可以在平面几何中应用到向量上。
对于平面向量A和B，以及它们的夹角θ，余弦定理可表达为：|A - B|^2 = |A|^2 + |B|^2 - 2|A||B|cosθ其中，|A - B|表示向量A和B之间的距离（模长），|A - B|^2表示其平方。
这个定理的表达式与传统的三角形的余弦定理非常类似，只是将边长的概念替换成了向量的模长。
3. 应用举例现在我们通过一个具体的例子来说明夹角以及余弦定理的应用。
假设有两个向量A = (3, 4)和B = (1, 2)，我们想要计算它们的夹角θ。
首先，我们需要计算向量A和B的数量积，即A·B = 3*1 + 4*2 = 11。
接下来，我们计算向量A和B的模长，即|A| = √(3^2 + 4^2) = 5，|B| = √(1^2 + 2^2) = √5。
带入夹角公式，我们可以得到cosθ = 11 / (5 * √5) = 11 / (5√5)。
因此，我们可以求得夹角θ的余弦值，进而计算出夹角的具体数值。
同时，我们也可以应用余弦定理来计算向量A和B之间的距离。
根据余弦定理的表达式，我们有：|A - B|^2 = |A|^2 + |B|^2 - 2|A||B|cosθ= 3^2 + 4^2 + 1^2 + 2^2 - 2*5*√5*cosθ= 10 - 22cosθ因此，我们可以通过上述公式计算出向量A和B之间的距离。
平面向量夹角
平面向量夹角平面向量夹角是向量学中的一个重要概念，在解决许多向量问题时起着重要作用。
理解和掌握平面向量夹角的概念和相关性质，对于学习向量运算和解决相关数学问题具有重要意义。
本文将介绍平面向量夹角的概念及其性质，并通过一些实例展示如何应用和解决相关问题。
一、平面向量夹角的概念平面向量夹角是指两个非零平面向量之间的夹角。
设有两个平面向量a和b，它们的夹角记作∠a，b（或∠b，a），夹角的大小为0到180度之间。
平面向量夹角的大小可以通过余弦定理进行计算，即：cos(∠a，b) = a·b / (|a|·|b|)其中，a·b表示向量a和向量b的数量积，|a|和|b|分别代表向量a和向量b的模长。
二、平面向量夹角的性质1. 平面向量a和b的夹角∠a，b满足余弦定理，即0 ≤ ∠a，b ≤ 180度；2. 当且仅当a与b的数量积a·b等于0时，向量a和向量b垂直，夹角为90度；3. 当且仅当a与b的数量积a·b大于0时，夹角∠a，b为锐角；4. 当且仅当a与b的数量积a·b小于0时，夹角∠a，b为钝角。
三、平面向量夹角的应用平面向量夹角的应用非常广泛，主要包括以下几个方面：1. 向量的运算在向量的加法和减法运算中，经常需要计算向量之间的夹角。
通过计算夹角，可以判断两个向量是否互相垂直、平行或具有一定的夹角关系，从而进一步分析和解决向量运算问题。
2. 平面几何问题在平面几何问题中，平面向量夹角经常用于计算两条直线的夹角、判断两条直线是否平行或垂直等。
通过计算夹角，可以进一步分析和解决平面几何问题，如证明两个三角形相似、判断四边形是否是矩形等。
3. 物理问题在物理学中，平面向量夹角有着广泛的应用。
例如，在力学中，通过计算平面向量夹角可以求解物体受力情况、分析物体的运动轨迹等。
在电磁学中，通过计算平面向量夹角可以判断电磁场的方向、计算电场和磁场的合力等。
平面向量的夹角与投影
平面向量的夹角与投影平面向量是在平面内进行运算和描述的一种数学工具。
在平面向量的求和、减法以及乘法等运算中，夹角和投影是两个重要的概念。
本文将详细阐述平面向量的夹角和投影的相关知识，并且给出一些具体的例子，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
1. 夹角的定义和计算方法夹角是两个向量之间的角度，它的大小可以通过向量之间的数量关系来计算。
假设有两个平面向量a和a，它们的夹角可以用如下公式计算：a = arccos(a·a / (|a|*|a|))其中，a·a表示向量a和a的点积，|a|和|a|分别表示向量a和a的模或长度。
通过这个公式，我们可以得到两个向量之间的夹角大小。
2. 夹角的性质与意义夹角的大小可以告诉我们两个向量之间的关系。
若夹角为0度，则表示两个向量完全重合；若夹角为90度，则表示两个向量垂直；若夹角大于90度，则表示两个向量之间的夹角是一个钝角；若夹角小于90度，则表示两个向量之间的夹角是一个锐角。
夹角还可以用来判断两个向量之间的相似性和平行性。
3. 向量投影的定义和计算方法向量投影是将一个向量投影到另一个向量上的过程。
假设有一个向量a和一个非零向量a，我们可以计算出向量a在向量a上的投影，即a在a上的投影aaaa。
投影的计算公式为：aaaa = (a·a) / |a|其中，a·a表示向量a和a的点积，|a|表示向量a的模或长度。
通过这个公式，我们可以得到向量a在向量a上的投影长度。
4. 投影的意义与应用向量投影在几何学和物理学中都有着广泛的应用。
它可以用来求解两个向量之间的夹角，或者求解向量在某个方向上的投影。
在物理学中，投影也被广泛应用于力的分解以及对运动轨迹的描述等方面。
5. 夹角和投影的实际应用示例为了更好地理解夹角和投影的概念，我们举一个实际的应用示例。
假设有一台斜坡，其倾斜角度为30度。
我们可以将斜坡的倾斜角度表示为一个向量a，而一个人在斜坡上行走的路径可以表示为向量a。
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【知识要点】
一、两个非零向量的夹角的概念
已知非零向量a 与b ，作,,OA a OB b ==，则(0)A O B θθπ∠=≤≤叫与的夹角.当0θ=时a 与b 同向；当θπ=时，a 与b 反向；当2
π
θ=
时，a 与b 垂直，记a b ⊥.
（1）对于0,不谈它与其它向量的夹角问题.
（2）a 与b 的夹角，记作,a b <>,确定向量a 与b 的夹角时，必须把两个向量平移到同一个起点.如：
A ∠>=<, 但是
B ∠>≠<, B ∠->=<π,
二、求两个向量的夹角一般有两种方法
方法一：cos ,a b a b a b
<>=
方法二：设a =
11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则cos θ=
【方法讲评】 b a b
求解.
一般没有坐标背景.
b ，||,|a b b a b
求解.
【例1】已知,2,x a b y a b =+=+且||||1,.a b a b ==⊥ （1）求||||x y 和；（2）求,x y 夹角的余弦值.
【点评】（1）2
2
2
||||a a a a ==和是平面向量求模非常重要的两个公式，要注意灵活运用.（2）利用
公式cos ,a b a b a b
<>=
求解时，要先求a b ，||,||a b 这些基本量，再代入公式.
【反馈检测1】已知,a b 都是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a 与b 的夹角.
【例2】 如图，函数2sin(),y x x R πϕ=+∈（其中02
ϕ≤≤）的图像与y 轴交于点(0,1).
（Ⅰ）求ϕ的值；
（Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与PN 的夹角的余弦.
【解析】（I ）因为函数图像过点(0,1)， 所以2sin 1,ϕ=即1
sin .2
ϕ= 因为02
π
ϕ≤≤
，所以6
π
ϕ=
.
【点评】 此类问题的一般步骤是：先求,a b 的坐标，再
cos θ=
求解. 学科@网
【反馈检测2】||1,||3,(3,1a b a b ==+=已知）， ||a b a b a b -+-（1）试求；（2）与的夹角.
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第44讲:
平面向量夹角的计算方法参考答案
【反馈检测1答案】3
a b π
与的夹角为
【反馈检测2答案】（1）2；（2）2
3
π. 【反馈检测2详细解析】22
2||()242a b a b a a b b a b -=
-=-+=-(1)
2
2
||224424
a b a a b b a b +=∴++=∴+=
20||42a b a b ∴=∴-==
(2)设两个向量的夹角为α，
22
()()131
442||||
a b a b a b a b a b α+---∴===--+cos =
2
03
απαπ<<∴=。