平面向量的模与夹角
龙文教育一对一个性化辅导教案高中的教案平面向量的模与夹角学习要点：1、向量的坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则： （1）向量的加减法运算：12(a b x x ±=±，12)y y ±。
（2）实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==。
（3）若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
（4）平面向量数量积：1212a b x x y y •=+ （5）向量的模：222222||,||a x y a a x y =+==+2、平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b ==，AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量a ，b 的夹角，当θ＝0时，a ，b 同向，当θ＝π时，a ，b 反向，当θ＝2π时，a ，b 垂直。
（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a •b ，即a •b ＝cos a b θ。
规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
（3）向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则：①0a b a b ⊥⇔•=；②当a ，b 同向时，a •b ＝a b ，特别地，222,a a a a a a =•==；当a 与b 反向时，a •b＝－a b ；当θ为锐角时，a •b ＞0，且 a b 、不同向，0a b ⋅>可得θ为锐角；当θ为钝角时，a •b ＜0，且 a b 、不反向，0a b ⋅<不可得θ为钝角；③非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos a b a bθ•=；④||||||a b a b •≤。
（4）乘法公式：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-；()2222a b a a b b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+例题选讲：题型1：向量的坐标运算法则例1：已知MA =(-2，4)，MB =(2，6)，则21AB = ( ) A ．(0，5) B ．(0，1) C ．(2，5) D ．(2，1)例2：若向量a = (1，1)， b = (1，－1)， c =(－1，2)，则c 等于（ ） A ．－21a +23b B ．21a － 23b C ．23a － 21b D ．－23a + 21b例3：已知点()5,1--A 和向量()3,2=a ，若a AB 3=，则点B 的坐标是 ．练习：1、已知：()4,2M 、()3,2-N ，那么=MN ；=NM ．2、已知向量a =(3，-2)，b =(-2，1)，c =(7，-4)，且c =λa +μb ， 则λ= ，μ= ．3、设点A(-1，2)、B(2，3)、C(3，-1)，且AD =2AB -3BC ，则点D 的坐标为 ．4、已知AB =(5，-3)，C(-1，3)，CD =2AB ，则点D 坐标是 ．例4：若A(x ，－1)、B(1，3)、C(2，5)三点共线，则x 的值为（ ） A ． －3 B ． －1 C ． 1 D ． 3练习：1、若A(－1， －1)， B(1，3)， C(x ，5) 三点共线，则x= ．2、若向量a =(－1，x)，b =(－x ，2)，且a 与b 同向，则a －2b = ．例5：已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，AD =(2，5)，AB =(-2，3)，则CD 坐标为 ，DO 坐标为 ，CO 的坐标为 ．练习：已知平行四边形ABCD 的顶点()2,1--A 、()1,3-B 、()6,5C ，求顶点D 的坐标．例6：已知向量a =（1，x ），b =（y ，1），1e =a +2b ，2e =2a -b 且1e =22e ，求x 、y 的值．练习：已知向量a =（1，2），b =（x ，1），1e =a +2b ，2e =2a -b 且1e ∥2e ，求x ．例7：已知A 、B 、C 三点坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)， AE =31AC ，BF =31BC （1）求点E 、F 及向量EF 的坐标； （2）求证：EF ∥AB ．题型2：向量的模与夹角例1．判断下列各命题正确与否：（1）00a ⋅=；（2）00a ⋅=；（3）若0,a a b a c ≠⋅=⋅，则b c =； （4）若a b a c ⋅=⋅，则b c ≠当且仅当0a =时成立； （5）()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅对任意,,a b c 向量都成立； （6）对任意向量a ，有22a a =。
例2：如果)4,1()3,22(++=--=x x b x a 与互相垂直，则实数x 等于（ ）A ．21B ．27C ．21或27 D ．27或－2 练习：已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ）A. －1B. 1C. －2D. 2例3：已知=+⋅-=-=)(),3,2()4,3(b a a b a 则（ ） A ．－13B ．7C ．6D ．26练习：1、已知的夹角为则b a b a ,),3,3(),3,1(-==（ ）A ．6π B ．3π C ．2πD ．π322、已知a ＝(1， 3 )，b ＝( 3 ＋1， 3 －1)，则a 与b 的夹角是多少?例4：若向量a ，b 满足12a b ==，且a 与b 的夹角为3π，则a b += 。
练习：1、已知平面向量(24)=，a ，(12)=-，b ，若()=-c a a b b ，则=c ．2、已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么b a •的值为3、已知a ＝（－4，3），b ＝(5，6），则3|a |2－4a ·b 为 （ ） A.63 B.83 C.23 D.574、已知a ＝（－2，1），b ＝（－2，－3），求2a b +。
例5：已知两单位向量a 与b 的夹角为0120，若2,3c a b d b a =-=-，试求c 与d 的夹角。
例6：已知向量a 与b 的夹角为120o，3,13,a a b =+=则b 等于（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．1 练习：1、平面向量a 与b 的夹角为060，a ＝(2,0), | b |＝1，则 | a ＋2b |等于（ ）C.4D.122、若非零向量,a b 满足32a b a b ==+,则,a b 夹角的余弦值为_______.例7：若a ＝（λ，2），b ＝(－3，5），a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围为 （ ）A.（103 ，+∞）B.［103 ，+∞）C.（－∞，103 ）D.（－∞，103］例8：在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AC BE =, 则AB 的长为______.练习：在四边形ABCD 中,)2,4(),2,1(-==BD AC ,则该四边形的面积为（ ）A ．5B ．52C ．5D ．10题型3：平面向量的简单应用例1：已知||2||0a b =≠,且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=有实根,则a 与b 的夹角的取值范围是( ) A.[0,6π] B.[,]3ππ C.2[,]33ππ D.[,]6ππ例2：已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2．（1）若a ⊥b ，求θ；（2）求｜a ＋b ｜的最大值．平面向量的模与夹角作业1．CO BO OC OA +++等于 （ ）A ．ABB ．BAC ．ACD ．DO2.若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a a a b ⋅+⋅=______； 3．已知的夹角为则b a b a ,),3,3(),3,1(-==（ ）A ．6π B ．3π C ．2πD ．π324.已知向量a 与b 的夹角为120o，3,13,a a b =+=则b 等于（ ）（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）15.已知向量(3,1)a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b =，则b =（ ）A ．12）B ．（12 C ．（14） D ．（1,0） 6.已知非零向量a 、b ，若a ＋2b 与a －2b 互相垂直，则=ba （ ）A. 41B. 4C. 21D. 2 7.设向量a 与b的夹角为θ，且)3,3(=a ，)1,1(2-=-a b ，则=θcos _______。
8.已知向量(1sin )a θ=，，(1cos )b θ=，，则a b -的最大值为_______。
9.已知向量||).,5(),2,2(b a k b a +=-=若不超过5，则k 的取值范围是_______。
10、已知两点A(4，－2)，B(－4，4)，C(1，1)， (1)求方向与→AB 一致的单位向量；（2）过点C 作向量→CD 与→AB 共线，且4=→CD ，求D 点坐标； （3）若A 、B 、C 都是某个平行四边形的顶点，求另一个顶点D 的坐标．。
利用向量的模和夹角求解平面几何问题
利用向量的模和夹角求解平面几何问题平面几何作为数学的一个重要分支，研究平面内的点、线、面以及它们之间的关系和性质。
在解决平面几何问题时，向量的模和夹角是非常有用的工具。
本文将通过几个具体例子，介绍如何利用向量的模和夹角来解决平面几何问题。
一、利用向量模解决平面几何问题1. 平行线段判定在平面几何中，有时需要判定两条线段是否平行。
若给定线段的两个端点的坐标，可以利用向量的模来解决此问题。
假设有线段AB和线段CD，其坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)和C(x3, y3)、D(x4, y4)。
可以求得向量AB = (x2-x1, y2-y1)和向量CD = (x4-x3, y4-y3)，然后比较两个向量的模是否相等，若相等，则可以判定两条线段平行。
2. 判断三角形形状对于给定的三个点A、B、C，用向量的模可以判断出三角形的形状。
假设三个点的坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)。
可以求得向量AB = (x2-x1, y2-y1)和向量AC = (x3-x1, y3-y1)，然后比较两个向量的模，若模相等，则可以判定三角形为等边三角形；若模不相等，还需比较两个向量的夹角，若夹角等于90度，则可以判定三角形为直角三角形；否则为一般三角形。
二、利用向量夹角解决平面几何问题1. 判断点是否在直线上在平面几何中，判断一个点是否在直线上是一个常见的问题。
给定直线上两点的坐标A(x1, y1)和B(x2, y2)，以及待判断的点C(x3, y3)，可以利用向量的夹角来解决此问题。
求得向量AB = (x2-x1, y2-y1)和向量AC = (x3-x1, y3-y1)的夹角，若夹角等于0度或180度，则可判定点C在直线AB上。
2. 判断两条直线的夹角给定两条直线的方程，可以利用向量的夹角来判断两条直线的夹角。
以直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，根据向量的性质，可以求得直线L1的方向向量为(1, k1)，直线L2的方向向量为(1, k2)。
平面向量的模长与向量的夹角
平面向量的模长与向量的夹角平面向量是数学中的重要概念，在几何学和物理学等领域都有广泛的应用。
本文将讨论平面向量的模长与向量的夹角之间的关系。
一、平面向量的定义及表示方法平面向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
平面向量常用字母加箭头（如→AB）表示，箭头的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
平面向量还可以使用坐标表示法，其中(x, y)表示向量在坐标轴上的投影长度。
当两个平面向量相等的时候，它们具有相同的大小和方向。
二、平面向量的模长平面向量的模长表示向量的大小。
对于一个平面向量→AB，它的模长表示为|→AB|或者AB。
对于一个平面向量→AB(x, y)，它的模长可以通过勾股定理计算得到：|→AB| = √(x² + y²)。
三、平面向量的夹角平面中的两个非零向量→AB和→CD，它们之间的夹角用符号θ表示。
夹角θ可以通过两向量的点积公式计算得到：cosθ = (→AB·→CD) / (|→AB| * |→CD|)。
在平面中，夹角θ的取值范围为0到π（弧度）之间。
四、模长和夹角的关系在平面向量中，模长和夹角之间有以下关系：1. 如果两个向量的模长相等，即|→AB| = |→CD|，则它们之间的夹角θ可能是0度、180度或其他角度。
当且仅当两个向量的方向相同时，夹角为0度；当且仅当两个向量的方向相反时，夹角为180度。
2. 如果两个向量的夹角为90度，即θ = π/2，那么它们之间的模长可能相等，也可能不相等。
3. 如果两个向量的夹角为0度，即θ = 0，那么它们之间的模长必然相等。
综上所述，平面向量的模长与向量的夹角之间的关系是复杂而多样的，取决于具体的向量和夹角大小。
五、案例分析为了更好地理解平面向量的模长与向量的夹角之间的关系，我们举例进行分析。
假设有两个平面向量→AB(3, 4)和→CD(-1, 2)：1. 计算模长：|→AB| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5|→CD| = √((-1)² + 2²) = √(1 + 4) = √52. 计算夹角：cosθ = (3 * (-1) + 4 * 2) / (5 * √5) = (3 * (-1) + 4 * 2) / (5 * 5) = (6 - 3) / 25 = 3 / 25由于夹角θ的取值范围为0到π之间，无法通过此结果得到夹角的具体值。
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1 / 1 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【知识点的知识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量a →，b →如果以O 为起点，作OA →=a →，OB →=b →，那么射线OA ，OB 的夹角θ叫做向量a →与向量b →
的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量a →，b →的夹角为θ，那么我们把|a →||b →|cos θ叫做a →与b →的数量积，记做a →⋅b → 即：a →⋅b →=|a →||b →|cos θ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：0→•a →=0．
注意：
①a →⋅b → 表示数量而不表示向量，符号由cos θ决定；
②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：b →在a →上的投影是一个数量|b →|cos θ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若a →=（x 1，y 1），b →=（x 2，y 2），则a →⋅b →=x 1x 2+y 1y 2， 3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：a →与b →的数量积a →⋅b →等于a →的长度|a →|与b →在a →的方向上的投影|b →|cos θ的积．。
平面向量的坐标表示、模、夹角
（2） cos 2 a a = a
a b ab
a b a b=0 （a， b是非零向量）
cos =
我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应 的坐标来运算,那么怎样用 a和b的坐标表示a b呢？
探究（一）平面两向量数量积的坐标表示
思考1：已知 i 是x轴上的单位向量， j 是y轴上的单位向量，那么 a， b 用 i， j怎么表示？
a x1i y1 j ，b x2i y2 j
探究（一）平面两向量数量积的坐标表示
思考2：已知 i 是x轴上的单位向量， j 是y轴上的单位向量，那么
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ,
4. cos
x1 x2 y1 y2 x1 y1
2 2
x2 y2
2
2
5. a / / b x 1 y2 =x2 y1
6. a b x1 x2 y1 y2 0
练习 （1）已知 a=（4，3），向量
探究（四）两向量夹角公式的坐标运算
设a （x1 , y1 ), b=( x2 , y2 ), 且a与b夹角为， (0 180 )则 cos ？
思考：
向量夹角公式的坐标式：
cos
x1 x2 y1 y2 x y x y
2 1 2 1 2 2 2 2
2 i 1
2 j 1
i j j i
0
探究（一）平面两向量数量积的坐标表示
思考3：若向量
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的 和。
那么 a b 如何表示？ a b x1 x2 y1 y2 .
利用向量的数量积和向量积求解向量的模和夹角
利用向量的数量积和向量积求解向量的模和夹角向量是数学中非常重要的概念，它在物理学、几何学和工程学等领域发挥着重要的作用。
利用向量的数量积和向量积，我们可以求解向量的模和夹角，下面将详细介绍这两个概念及其应用。
一、向量的数量积向量的数量积也被称为点积或内积，用符号"·"表示。
给定两个向量a和b，它们的数量积可以通过以下公式计算：a·b = |a| |b| cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模的大小，θ表示向量a和b之间的夹角。
从公式中可以看出，向量的数量积可以帮助我们求解向量的模和夹角。
二、向量的模向量的模表示向量的长度或大小，并且始终为非负数。
根据向量的数量积公式，我们可以得到以下计算向量模的公式：|a| = √(a·a)这个公式表示，向量a的模等于向量a与自身的数量积的平方根。
通过这个公式，我们可以求解任意向量的模。
三、向量的夹角向量的夹角表示两个向量之间的夹角大小。
根据向量的数量积公式，我们可以得到以下计算夹角的公式：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)根据这个公式，我们可以通过求解向量的数量积来计算向量之间的夹角。
进一步地，通过取反余弦函数，我们可以得到夹角的具体数值。
四、向量的向量积另一方面，向量的向量积也被称为叉积或外积，用符号"×"表示。
给定两个向量a和b，它们的向量积可以通过以下公式计算：a×b = |a| |b| sinθ n其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模的大小，θ表示向量a和b之间的夹角，n表示一个垂直于a和b所在平面的单位向量。
从公式中可以看出，向量的向量积可以帮助我们求解向量所在平面的法向量。
五、应用举例下面通过一个例子来演示如何利用向量的数量积和向量积求解向量的模和夹角。
假设有两个向量a = (3, 4)和b = (2, 6)，我们要求解它们的模和夹角。
平面向量的模与夹角
平面向量的模与夹角平面向量是学习高中数学中的一个重要内容，它的模和夹角是基本概念之一。
在这篇文章中，我们将详细讨论平面向量的模与夹角。
一、平面向量的模平面向量的模表示向量的大小，也可以看作是从原点到向量终点的距离。
对于平面上的向量v = (a, b)，其模记作|v|，可以通过勾股定理计算得到：|v| = √(a² + b²)例如，对于向量v = (3, 4)，可以计算得到|v| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5。
在计算向量模的过程中，我们需要注意向量的方向，并且模是非负的。
二、平面向量的夹角平面向量的夹角表示两个向量之间的夹角大小。
夹角可以使用点积或坐标法来进行计算。
1. 点积法设有两个非零向量u = (x₁, y₁)和v = (x₂, y₂)。
根据点积的公式，可以得到两个向量的夹角θ的余弦值为：cosθ = (x₁*x₂ + y₁*y₂) / (|u| * |v|)2. 坐标法设有两个非零向量u = (x₁, y₁)和v = (x₂, y₂)。
可以使用向量的内积公式，计算两个向量的夹角θ的余弦值为：cosθ = ((x₁, y₁)·(x₂, y₂)) / (|u| * |v|)这两种方法在计算时都需要注意向量的方向，并且返回的结果是夹角的余弦值，如果需要获得夹角的度数，可以使用反余弦函数进行进一步计算。
三、平面向量的相关性质除了模和夹角，平面向量还具有一些相关性质，如平移、伸缩和旋转等。
1. 平移对于平面上的向量u = (x, y)，如果将其起点平移至新的位置(α, β)，则得到的新向量v的坐标为v = (x-α, y-β)。
平移后向量的模和夹角不变。
2. 伸缩对于平面上的向量u = (x, y)和实数k，将向量u的长度伸缩k倍，则得到的新向量v的坐标为v = (kx, ky)。
伸缩后向量的模变为原来的k 倍，夹角不变。
数学计算平面向量的模长和夹角
数学计算平面向量的模长和夹角教案：数学计算平面向量的模长和夹角1. 概述数学中，平面向量是一个有大小和方向的量。
为了计算平面向量的性质和应用，我们需要掌握计算平面向量的模长和夹角的方法。
2. 模长的计算2.1 定义平面向量的模长，也称为矢量的长度，表示该向量的大小。
2.2 计算方法对于平面向量【AB】，其模长计算公式为：|【AB】| = √(x2 - x1)² + (y2 - y1)²2.3 示例例：计算向量【AB】的模长，其中A(3, 4)和B(7, 9)。
解：|【AB】| = √(7 - 3)² + (9 - 4)²= √16 + 25= √413. 夹角的计算3.1 定义平面向量的夹角，表示两个向量之间的角度。
3.2 计算方法对于平面向量【AB】和【CD】，其夹角计算公式为：cosθ = (【AB】·【CD】) / (|【AB】| × |【CD】|)3.3 弧度和角度转换夹角的计算结果一般以弧度表示，我们可以使用弧度和角度之间的转换公式进行转换。
3.4 示例例：计算向量【AB】和【CD】的夹角，其中A(3, 4)、B(7, 9)、C(-1, 2)和D(5, -3)。
解：|【AB】| = √41|【CD】| = √65【AB】·【CD】 = (7 - 3)(5 + 3) + (9 - 4)(-3 - 2) = 16 - 25 = -9cosθ = -9 / (√41 × √65)θ ≈ acos(cosθ)4. 总结本教案介绍了平面向量的模长和夹角的计算方法。
通过掌握这些方法，我们能够更准确地计算平面向量的性质和应用。
在实际应用中，我们可以将这些方法应用于各种数学问题和实际生活中的应用场景。
5. 扩展任务5.1 提供更多向量的计算示例，帮助学生进一步巩固。
5.2 引导学生应用向量的模长和夹角的概念解决一些实际问题，提高学生的实践能力。
平面向量的模长与夹角
平面向量的模长与夹角一、引言平面向量是数学中的一个重要概念，它可以描述平面上的位移、力的作用方向等。
在平面向量的运算中，模长和夹角是两个基本概念。
本文将讨论平面向量的模长和夹角的性质及其计算方法。
二、平面向量的模长在平面直角坐标系中，给定一个平面向量\[ \vec{a}=(a_x, a_y) \]，其中\( a_x \)和\( a_y \)分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
则该向量的模长可以通过勾股定理计算得到：\[ |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} \]三、平面向量的夹角平面向量的夹角指的是两个向量之间的夹角。
对于两个非零向量\[ \vec{a} \]和\[ \vec{b} \]，它们的夹角可以通过如下公式计算：\[ \cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \]其中，\( \theta \)表示向量的夹角，\( \vec{a} \cdot \vec{b} \)表示两个向量的数量积，也称为点积。
四、平面向量模长的性质1. 非负性：向量的模长永远大于等于0，即\( |\vec{a}| \geq 0 \)，且只有当向量为零向量时，模长为0。
2. 线性：向量的模长与其放缩成一个倍数后的模长成正比，即对于任意实数\( k \)，有\( |k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}| \)。
3. 三角不等式：对于任意两个向量\( \vec{a} \)和\( \vec{b} \)，有\( |\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}| \)。
五、平面向量夹角的性质1. 夹角的范围：向量的夹角的范围在0到180度之间。
2. 平行向量：如果两个向量的夹角为0度或180度，则它们是平行向量。
当且仅当两个向量的数量积等于零时，它们是互相垂直的。
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一平面向量数量积的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.知识点二平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式知识点三平面向量夹角的坐标表示cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.思考若两个非零向量的夹角满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角吗？答案不一定，当cos θ<0时，两向量的夹角θ可能是钝角，也可能是180°.1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1y2－x2y1＝0.(×)2．若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角．(×)提示当两向量同向共线时，cos θ＝1>0，但夹角θ＝0，不是锐角．3．两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a与b的夹角为0°.(×)题型一数量积的坐标运算例1(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于()A．10 B．－10C．3 D．－3考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算答案 B解析 a ＋2b ＝(4，－3)，a －3b ＝(－1,2)，所以(a ＋2b )·(a －3b )＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. (2)如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 在边CD 上，且DE →＝2EC →，则AE →·BE →的值是________．考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 坐标形式下的数量积运算 答案329解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴、AD 所在直线为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．∵AB ＝2，BC ＝2，∴A (0,0)，B (2，0)，C (2，2)，D (0,2)， ∵点E 在边CD 上，且DE →＝2EC →，∴E ⎝⎛⎭⎫223，2.∴AE →＝⎝⎛⎭⎫223，2，BE →＝⎝⎛⎭⎫－23，2， ∴AE →·BE →＝－49＋4＝329.反思感悟 数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系： ①|a |2＝a ·a .②(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2. ③(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，可先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．跟踪训练1 向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 坐标形式下的数量积运算 答案 C解析 因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，所以2a ＋b ＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，则(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C. 题型二 平面向量的模例2 已知平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)． (1)求a －2b 及其模的大小； (2)若c ＝a －(a ·b )b ，求|c |.考点 平面向量模的坐标表示与应用 题点 利用坐标求向量的模 解 (1)∵a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，∴a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)， ∴|a －2b |＝72＋32＝58.(2)∵a ·b ＝－6＋5＝－1， ∴c ＝a ＋b ＝(1,6)， ∴|c |＝12＋62＝37.反思感悟 求向量a ＝(x ，y )的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式a 2＝|a|2＝x 2＋y 2，求模时，勿忘记开方． (2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2＝x 2＋y 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．跟踪训练2 已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( ) A. 5 B.10 C ．5 D ．25 考点 平面向量模的坐标表示与应用 题点 利用坐标求向量的模 答案 C解析 ∵a ＝(2,1)，∴a 2＝5， 又|a ＋b |＝52，∴(a ＋b )2＝50， 即a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，∴5＋2×10＋b 2＝50，∴b 2＝25，∴|b |＝5.题型三 平面向量的夹角与垂直问题命题角度1 向量的夹角例3 已知点A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，O (0,0)，若|OA →＋OC →|＝13，α∈(0，π)，则OB →，OC →的夹角为( ) A.π2 B.π4 C.π3 D.π6考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 求坐标形式下的向量的夹角 答案 D解析 因为|OA →＋OC →|2＝(OA →＋OC →)2＝OA →2＋2OA →·OC →＋OC →2＝9＋6cos α＋1＝13， 所以cos α＝12，因为α∈(0，π)，所以α＝π3，所以C ⎝⎛⎭⎫12，32，所以cos 〈OB →，OC →〉＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝3×323×1＝32，因为0≤〈OB →，OC →〉≤π，所以〈OB →，OC →〉＝π6，所以OB →，OC →的夹角为π6，故选D.反思感悟 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积． (2)利用|a |＝x 2＋y 2求两向量的模．(3)代入夹角公式求cos θ，并根据θ的范围确定θ的值．跟踪训练3 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围． 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数 解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1.又∵a ，b 的夹角α为钝角，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－1<0，2·1＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0.∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)． 命题角度2 向量的垂直例4 在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值． 考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用 题点 已知向量垂直求参数 解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )， ∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0，∴k ＝113；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.故所求k 的值为－23或113或3±132.反思感悟 利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．跟踪训练4 已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，若向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A.17 B ．－17 C.16 D ．－16考点 向量平行与垂直的坐标表示与应用 题点 已知向量垂直求参数 答案 B解析 由向量λa ＋b 与a －2b 垂直，得 (λa ＋b )·(a －2b )＝0.因为a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)， 所以(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0， 即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－17.向量的坐标在解三角形中的应用典例 如图，已知△ABC 的面积为32，AB ＝2，AB →·BC →＝1，求边AC 的长．解 以点A 为坐标原点，AB →为x 轴正方向建立平面直角坐标系，设点C 的坐标为(x ，y )(y >0)， ∵AB ＝2，∴点B 的坐标是(2,0)， ∴AB →＝(2,0)，BC →＝(x －2，y )． ∵AB →·BC →＝1，∴2(x －2)＝1，解得x ＝52.又S △ABC ＝32，∴12·|AB |·y ＝32，∴y ＝32，∴C 点坐标为⎝⎛⎭⎫52，32，则AC →＝⎝⎛⎭⎫52，32， ∴|AC →|＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322＝342， 故边AC 的长为342. [素养评析] 本题通过建立直角坐标系，从而建立形与数的联系．利用平面向量的坐标解决线段的长度问题，提升了学生数形结合的能力，培养了学生数学运算及直观想象的数学核心素养．1．已知a ＝(3,4)，b ＝(5,12)，则a 与b 夹角的余弦值为( ) A.6365 B.65 C.135D.13 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 求坐标形式下的向量的夹角 答案 A 解析 |a |＝32＋42＝5，|b |＝52＋122＝13.a·b ＝3×5＋4×12＝63.设a ，b 夹角为θ，所以cos θ＝635×13＝6365.2．若向量a ＝(x ,2)，b ＝(－1,3)，a·b ＝3，则x 等于( ) A ．3 B ．－3 C.53 D ．－53考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 已知数量积求参数答案 A解析 a·b ＝－x ＋6＝3，故x ＝3.3．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 已知向量垂直求参数答案 B解析 因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.4．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于( )A ．(－3,6)B ．(3，－6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 平面向量模与夹角的坐标表示的综合应用答案 A解析 由题意设b ＝λa ＝(λ，－2λ)(λ<0)，则|b |＝λ2＋(－2λ)2＝5|λ|＝35，又λ<0，∴λ＝－3，故b ＝(－3,6)．5．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．求证：AB ⊥AD .证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)．又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .6．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 的夹角的余弦值；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 已知向量垂直求参数解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝529.1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”而忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.一、选择题1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 求坐标形式下的向量的夹角答案 B解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝510×5＝22.又∵a ，b 的夹角范围为[0，π]．∴a 与b 的夹角为π4.2．设向量a ＝(2,0)，b ＝(1,1)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a·b ＝0C ．a ∥bD ．(a －b )⊥b考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 向量垂直的坐标表示的综合应用答案 D解析 a －b ＝(1，－1)，所以(a －b )·b ＝1－1＝0，所以(a －b )⊥b .3．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为() A. 3 B ．3 C ．－ 3 D ．－3考点 平面向量投影的坐标表示与应用题点 平面向量投影的坐标表示与应用答案 D解析 向量a 在b 方向上的投影为a·b |b|＝－62＝－3.故选D. 4．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．4考点 平面向量模与夹角的坐标表示与应用题点 利用坐标求向量的模答案 C解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0，∴n 2＝3，∴|a |＝12＋n 2＝2.5．若a ＝(2，－3)，则与向量a 垂直的单位向量的坐标为() A ．(3,2)B.⎝⎛⎭⎫31313，21313C.⎝⎛⎭⎫31313，21313或⎝⎛⎭⎫－31313，－21313D ．以上都不对考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 向量垂直的坐标表示的综合应用答案 C解析 设与a 垂直单位向量的坐标为(x ，y )，∵(x ，y )是单位向量的坐标形式，∴x 2＋y 2＝1，即x 2＋y 2＝1，①又∵(x ，y )表示的向量垂直于a ，∴2x －3y ＝0，②由①②得⎩⎨⎧ x ＝31313，y ＝21313或⎩⎨⎧ x ＝－31313，y ＝－21313.6．已知a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)，且k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，则k 等于( )A ．－1＋ 3B ．－2C ．－1±3D ．1考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数答案 C解析 ∵|k a －b |＝k 2＋(k ＋2)2， |a ＋b |＝12＋(－1)2＝2，∴(k a －b )·(a ＋b )＝(k ，k ＋2)·(1，－1)＝k －k －2＝－2，又k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，∴cos 120°＝(k a －b )·(a ＋b )|k a －b ||a ＋b |， 即－12＝－22×k 2＋(k ＋2)2，化简并整理，得k 2＋2k －2＝0，解得k ＝－1±3.7．已知OA →＝(－2,1)，OB →＝(0,2)且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是( )A ．(2,6)B ．(－2，－6)C ．(2，－6)D ．(－2,6)考点 向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用答案 D解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2,1)，∵AC →∥OB →，∴2(x ＋2)＝0，①∵BC →⊥AB →，∴2x ＋y －2＝0，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6，∴C (－2,6)． 8．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，m )，其中m 为实数，则当a 与b 的夹角在⎝⎛⎭⎫0，π12内变动时，实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝⎛⎭⎫33，3C.⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3) D ．(1，3)考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数答案 C解析 如图，作OA →＝a ，则A (1,1)．作OB 1→，OB 2→，使∠AOB 1＝∠AOB 2＝π12， 则∠B 1Ox ＝π4－π12＝π6， ∠B 2Ox ＝π4＋π12＝π3， 故B 1⎝⎛⎭⎫1，33，B 2(1，3)． 又a 与b 的夹角不为0，故m ≠1.由图可知实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)． 二、填空题9．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 坐标形式下的数量积运算答案 1解析 a －2b ＝(1，3)，(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.10．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.考点 平面向量模的坐标表示与应用题点 利用坐标求向量的模答案 8 2解析 由题意可得a·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2.11．设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定两向量m ，n 之间的一个运算“⊗”为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )，若已知p ＝(1,2)，p ⊗q ＝(－4，－3)，则q 的坐标为________．考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 已知数量积求向量的坐标答案 (－2,1)解析 设q ＝(x ，y )，则p ⊗q ＝(x －2y ，y ＋2x )＝(－4，－3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－4，y ＋2x ＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴q ＝(－2,1)． 12．已知向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)(O 为坐标原点)，设M 为直线y ＝12x 上的一点，那么MA →·MB →的最小值是________．考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 坐标形式下的数量积运算答案 －8解析 设M ⎝⎛⎭⎫x ，12x ， 则MA →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，7－12x ，MB →＝⎝⎛⎭⎫5－x ，1－12x ， MA →·MB →＝(1－x )(5－x )＋⎝⎛⎭⎫7－12x ⎝⎛⎭⎫1－12x ＝54(x －4)2－8. 所以当x ＝4时，MA →·MB →取得最小值－8.三、解答题13．(2018·安徽芜湖质检)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)．(1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a ；(2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值．考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用解 (1)∵c ＝4(1,2)＋(2，－2)＝(6,6)，∴b ·c ＝(2，－2)·(6,6)＝2×6－2×6＝0，∴(b ·c )a ＝0·a ＝0.(2)∵a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(1＋2λ，2－2λ)，(a ＋λb )⊥a ，∴(1＋2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝52.14．已知OA →＝(4,0)，OB →＝(2,23)，OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →(λ2≠λ)． (1)求OA →·OB →及OA →在OB →上的投影；(2)证明A ，B ，C 三点共线，且当AB →＝BC →时，求λ的值；(3)求|OC →|的最小值．考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 平面向量模的坐标表示的综合应用解 (1)OA →·OB →＝8，设OA →与OB →的夹角为θ，则cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝84×4＝12， ∴OA →在OB →上的投影为|OA →|cos θ＝4×12＝2. (2)AB →＝OB →－OA →＝(－2,23)，BC →＝OC →－OB →＝(1－λ)OA →－(1－λ)OB →＝(λ－1)AB →，又因为BC →与AB →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线． 当AB →＝BC →时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)|OC →|2＝(1－λ)2OA →2＋2λ(1－λ)OA →·OB →＋λ2OB →2＝16λ2－16λ＋16＝16⎝⎛⎭⎫λ－122＋12， ∴当λ＝12时，|OC →|取最小值2 3.。
平面向量数量积的坐标表示、模和夹角
目标要求1.掌握向量数量积的坐标表达式，会进行向量数量积的坐标运算．2．能运用数量积表示两个向量的夹角、计算向量的长度，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.热点提示向量的数量积是高考命题的热点，主要考查数量积的运算、化简、证明，向量平行、垂直的充要条件的应用以及利用向量解决平面几何问题．本节单独命题时，一般以选择、填空题的形式出现，属容易题；本节还可以与平面几何、解析几何、三角等内容交叉出现，一般以解答题形式出现，综合性较强，难度也较大，学习本节时应熟练掌握运算律，记准公式.1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.知识要点3．三个重要公式(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.重要公式观察思考若向量a＝(x，y)，你可知与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标吗？设与a 共线的单位向量为a 0，则a 0＝±1|a |a ＝±(x |a |，y |a |)＝±(x x 2＋y 2，y x 2＋y 2)，其中正号，负号分别表示与a 同向和反向， 易知b ＝(－y ，x )和a ＝(x ，y )垂直， ∴与a 垂直的单位向量b 0的坐标为±(－y x 2＋y 2，x x 2＋y 2)，其中正，负号表示不同的方向．温馨提示自我测评1．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b()A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向解析：已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，a·b＝－30＋30＝0，则a与b垂直，选A.答案：A2．设向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b和a垂直，那么λ＝()A．2 B．1 C．－2 D．－1答案：D3．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为()A.13B.135 C.655 D.65答案：C4．已知向量a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，设向量a 与b 的夹角为θ，且，则cos θ＝________.分析：设向量b ＝(x ，y )，则有2b －a ＝(2x,2y )－(3,3)解得x ＝1，y ＝2，∴b ＝(1,2)，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝(3，3)·(1，2)32×5＝31010.所求为 答案：310105．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，求a·b，|3a－b|，(a＋b)·(2a－b)．解：a·b＝1×2＋3×5＝17.∵3a＝3(1,3)＝(3,9)，b＝(2,5)，∴3a－b＝(1,4)，∴|3a－b|＝12＋42＝17.∵a＋b＝(3,8)，2a＝(2,6)，∴2a－b＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，∴(a＋b)·(2a－b)＝3×0＋8×1＝8.温馨提示过标实现问题数应与(1)通向量的坐表示向量代化，注意方程、函等知的系数识联.(2)向量的理有思路：一是向量式，另一问题处两种种纯种标两补.是坐式，者互相充总结规律我们在进行向量的数量积运算时，要牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再由已知计算．三是如果涉及图形的数量积运算，只需把握图形特点，求出相关点的坐标，利用向量的三角形减法由终点坐标与起点坐标的差得到向量的坐标即可．1若向量a＝(2，－1)，向量b＝(3，－2)，求向量(3a －b)·(a－2b)．=？解：由已知得a·b＝＝8，a2＝＝5，b2＝＝13，所以(3a－b)·(a－2b)＝-15.所求为b a b a b a a b ⋅=⋅==求求：已知例,43)2(;,//)1(1,21πθ，分两种情况：）由解：（b a //1;2,=⋅b a b a 同向，当。