平面向量垂直以及夹角的坐标表示
第二节向量基本定理及坐标表示
2. 平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 不共线 向量,那么对于这一 定理:如果e1,e2是同一平面内的两个 平面内的任意向量a, 有且只有 一对实数λ1、λ2,使 a=λ1e1+λ2e2 .其中, 不共线的向量e1,e2 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底. (2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直 的向量,叫做把向量正交分解. (3)平面向量的坐标表示 ①在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位 向量i,j作为基底.对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x、 y,使a=xi+yj.把有序数 (x,y) 对叫做向量a的坐标,记作a= , (x,y) 叫a在x轴上的坐标, y x 其中 叫a在y轴上的坐标. ②设OA=xi+yj,则 向量OA的坐标(x,y) 就是终点A的坐标,即若 (x,y) ,反之亦成立(O是坐标原点). OA=(x,y),则A点坐标为
1 ）b, 3
）=
1 9
,
∴
1 (m+n)=mn,即 3
1 1 m n
=3.
题型二 平面向量的坐标运算
【例2】已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及OP=OA+tAB,试 问: (1)当t为何值时,P在x轴上?P在第二象限? (2)四边形OABP能否构成平行四边形?若能,求出相应的t 值;若不能,请说明理由.
第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
基础梳理
1. 两个向量的夹角 (1)定义 非零 向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ叫做 已知两个 向量a与b的夹角. (2)范围 向量夹角θ的范围是 0°≤θ≤180° ,a与b同向时, 夹角θ= 0° ;a与b反向时,夹角θ= 180° . (3)向量垂直 如果向量a与b的夹角是 90°,则a与b垂直,记作 a⊥b .
平面向量基本定理及坐标表示
5.已知向量a=（8, 1 x），b=(x,1)，其中x＞0，若(a-
2
2b)∥(2a+b)，则x的值为 4 .
解析 a-2b=（8-2x, 1 x-2），2a+b=(16+x,x+1),
2
由已知(a-2b)∥(2a+b),显然2a+b≠0，故有（8-2x,
1 x-2）= (16+x,x+1)
2
8-2x= (16+x)
A.m≠-2 C.m≠1
B.m≠ 1
2
D.m≠-1
解析 若点A、B、C不能构成三角形，则只能共线.
∵ABOBOA(2，-1)-（1，-3）=(1，2)， ACOC OA （ m+1 ， m-2 ） - （ 1 ， -3 ） =
（m，m+1）.
假设A、B、C三点共线，
则1×(m+1)-2m=0,即m=1.
知能迁移3 已知点O（0，0），A（1，2），B（4，
5）且 OPOAtAB,
（1）求点P在第二象限时，实数t的取值范围；
（2）四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出
相应的实数t;若不能，请说明理由.
解 ∵O（0，0），A（1，2），B（4，5），
∴ OA =（1，2），AB =（4-1，5-2）=（3，3）. （1）设P（x，y），则 OP =（x，y），若点P在第二
同理 NO1a(11)b
2 2n
由MO ∥NO 得MO = NO
即
1 1 2m (1 1 2n
)
1 2 1
2
① ②
①×②整理得m+n=2.
答案 2
题型二 向量的坐标运算 【例2】已知点A（1，0）、B（0，2）、C（-1，
平面向量基本定理及坐标表示讲义
专题3:平面向量基本定理及坐标表示核心知识点1：平面向量基本定理1．平面向量基本定理(1)由平面向量基本定理可知，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝λ1e 1＋λ2e 2，且λ1＝λ2＝0．(2)对于固定的e 1，e 2(向量e 1与e 2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．(3)这个定理可推广为：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一．核心知识点2：平面向量的正交分解及坐标表示1．平面向量的正交分解把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解．2．平面向量的坐标表示(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．(2)坐标：对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a ＝x i ＋y j ，我们把有序实数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做向量a 在x 轴上的坐标，y 叫做向量a 在y 轴上的坐标．(3)坐标表示：a ＝(x ，y )就叫做向量的坐标表示．(4)特殊向量的坐标：i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)．3．向量与坐标的关系设OA →＝x i ＋y i ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标就是向量OA →的坐标(x ，y )．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．【知识微点评】点的坐标与向量的坐标的联系与区别点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向，向量仅由大小和方向决定，与位置无关．1．联系：(1)当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标．(2)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同．即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＝b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2. 注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同．2．区别：(1)书写不同，如a ＝(1,2)，A (1,2)．(2)给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一个有序实数对，由于向量可以平移，故以这个有序实数对为坐标的向量有无穷多个．因此，符号(x ，y )在平面直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，常说点(x ，y )或向量(x ，y )．4．平面向量的坐标运算设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，λ∈R ，则有下表：核心知识点3：平面向量的垂直与平行1．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，当且仅当x 1y 2＝x 2y 1时，a ∥b ．【知识微点评】两个向量共线条件的三种表示方法已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．(1)当b ≠0时，a ＝λb ．这是几何运算，体现了向量a 与b 的长度及方向之间的关系．(2)x 1y 2－x 2y 1＝0．这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和，程序化的特征．(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2． 即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．2．平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2). 数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 两个向量垂直 a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0知识微点评】1.公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >与a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解．2．已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 与a ⊥b 的坐标表示如下：a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0．两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．3．平面向量的模与夹角的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则有下表：坐标表示模 |a |2＝x 21＋y 21或|a |＝x 21＋y 21 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2夹角cos θ＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22(a ，b 为非零向量) 【知识微点评】向量的模的坐标运算的实质向量的模即向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a ＝(x ，y )，则在平面直角坐标系中，一定存在点A (x ，y )，使得OA →＝a ＝(x ，y )，∴|OA →|＝|a |＝x 2＋y 2，即|a |为点A 到原点的距离．同样，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，即平面直角坐标系中任意两点间的距离．由此可知，向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算． 必考必会题型1：用基底表示向量【典型例题】在平行四边形ABCD 中，，且，则λ+μ＝ ．【题型强化】1.如图，在△ABC 中，，P 是BN 上的一点，若m ，则实数m 的值为 ．2.如图，已知，与的夹角为60°，与的夹角为30°，，用，表示，则．【名师点睛】用基底表示向量的两种基本方法：用基底表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基底表示向量的唯一性求解.必考必会题型2：平面向量基本定理在平面几何中的应用【典型例题】如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设．（Ⅰ）试用基底{，}，表示；（Ⅱ）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线．【题型强化】1.如图所示，在△ABO中，，，AD与BC相交于点M．设，．（1）试用向量表示；（2）在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M．设，其中λ，μ∈R．当EF与AD重合时，λ＝1，μ，此时5；当EF与BC重合时，λ，μ＝1，此时5；能否由此得出一般结论：不论E，F在线段AC，BD上如何变动，等式5恒成立，请说明理由．2.如图，M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交AB，AC两边于点P，Q，设，请求出x、y的关系式，并记y＝f（x）（1）求函数y＝f（x）的表达式；（2）设△APQ的面积为S1，△ABC的面积为S2，且S1＝kS2，求实数k的取值范围．（参考：三角形的面积等于两边长与这两边夹角正弦乘积的一半．）必考必会题型3：平面向量坐标运算【典型例题】已知向量，．那么向量的坐标是．【题型强化】1.已知A（﹣4，6），B（2，4），点P在线段AB的延长线上，且||||，则点P的坐标为．2.如图所示，在平面直角坐标系中，（2，﹣3），则点D的坐标为．【名师点睛】利用向量线性运算的坐标表示解决有关问题的基本思路：1.向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用.2.利用向量线性运算的坐标表示解题，主要根据相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解.3.利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出相应系数.必考必会题型4：向量共线、垂直的坐标表示的应用【典型例题】已知向量（1，3），（2，），若单位向量与2平行，则．【题型强化】1.已知向量（1，3），（﹣2，1），（3，2）．若向量与向量k共线，则实数k＝．2.已知2，2，与的夹角为45°，且λ与垂直，则实数λ＝．【名师点睛】根据向量共线、垂直求参数的值的基本思路：借助两向量平行和垂直的条件求解某参数的值，是向量坐标运算的重要应用之一，具体做法就是先借助或(其中，)，列关于某参数的方程(或方程组)，然后解之即可.必考必会题型5：向量坐标运算与平面几何的交汇【典型例题】如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若△ABC的面积为．（1）求m的值；（2）求的最小值．【题型强化】1.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若，．（1）试以，为基底表示，；（2）求证：A，G，C三点共线．2.如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，BC＝7，O为△ABC的外心，，求x，y的值．【名师点睛】利用向量解决平面几何问题的基本思路：利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.常用方法是建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算转化为代数问题来解决.必考必会题型6：向量坐标运算与三角函数的交汇【典型例题】设向量．（1）当时，求的值；（2）若，且，求的值．【题型强化】1.已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量（cos A，a﹣2b），（2c，1）且．（1）求角C；（2）若c＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．2.已知A，B，C为△ABC的三个内角，向量（2﹣2sin A，sin A+cos A）与向量（sin A﹣cos A，1+sin A）共线，且角A 为锐角．（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求函数的值域． 【名师点睛】解决数量积的坐标表示与三角函数交汇问题的基本思路： 先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识(平面向量数量积的坐标表示、平面向量模与夹角的坐标表示、平面向量平行与垂直的坐标表示等)将问题转化为与三角函数有关的问题(如化简、求值、证明等)，再利用三角函数的相关知识求解即可.解决这类问题时应注意充分挖掘题目中的隐含条件，使问题得到快速解决，注意到，可以简化运算. 【课后巩固】 1．已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅=A ．-3B ．-2C ．2D ．32．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC 3．已知向量(sin ,2),(1,cos )a b θθ=-=，且a b ⊥，则2sin 2cos θθ+的值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．34．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =（ ） A ．1233AD AB - B ．2133AD AB + C ．2133AD AB - D ．1233AD AB + 5．在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是 A ．9 B ．10 C ．11 D ．126．已知向量a,b 满足a 1=，a b 1⋅=-，则a (2a b)⋅-=A ．4B ．3C ．2D ．07．设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()a ma b ⊥-，则m =_________.8．已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________. 9．已知()2,1a =--，(),1b λ=，若a 与b 的夹角α为钝角，则实数λ的取值范围为______. 10．已知向量a =（﹣1，2），b =（m ，1），若()a b a +⊥，则m=_________．11．在平面直角坐标系xoy 中，已知向量2(,2m =，(sin ,cos )n x x =，(0,)2x π∈． （1）若m n ⊥，求tan x 的值；（2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值． 12．已知平面向量()3,4a =，()9,b x =，()4,c y =，且//a b ，a c ⊥.（1）求b 和c ； （2）若2m a b =-，n a c =+，求向量m 与向量n 的夹角的大小.13．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，(,),(,)p a c b q b a c a =+=--，若//p q ， （1）求角C 的大小；（2）若()cos 23ab C c =，求11tan tan A B +的值．。
平面向量的坐标运算
→ (3)求M、N的坐标及向量MN的坐标．
题型三 平行向量的坐标运算 例 3 平面内给定三个向量 a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)， 请解答下列问题： (1)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数 k； (3)若 d 满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝ 5，求 d.
题型分类 深度剖析
题型一 平面向量基本定理的应用 例 1 如图，在平行四边形 ABCD 中， M，N 分别为 DC，BC 的中点，已 → → 知AM＝c，AN＝d，试用 c，d 表示 → → AB，AD.
题型二 向量坐标的基本运算 → 例2 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a， → → → → BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b， (1)求3a＋b－3c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
变式训练 3 已知 a＝(1,0)，b＝(2,1)． (1)求|a＋3b|； 是同向还是反向？
(2)当 k 为何实数时，ka－b 与 a＋3b 平行，平行时它们
失误与防范 1．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们 完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有 大小的信息． 2．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件不能表 x1 y1 示成 ＝ ， 因为 x2， 2 有可能等于 0， y 所以应表示为 x1y2 x2 y2 －x2y1＝0.同时，∥b 的充要条件也不能错记为 x1x2－y1y2 a ＝0，x1y1－x2y2＝0 等．
x1y2－x2y1＝0 .
x2＋y2 . 1 1
[难点正本
疑点清源]
1．基底的不唯一性 只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基 底的选取不唯一，平面内任意向量 a 都可被这个平面的一 组基底 e1，e2 线性表示，且在基底确定后，这样的表示是 唯一的． 2．向量坐标与点的坐标的区别 → 在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA＝a，点 A 的位置被向量 a 唯一确定，此时点 A 的坐标与 a 的坐标统 一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点 A(x，y)， → 向量 a＝OA＝(x，y)． → → → → 当平面向量OA平行移动到O1A1时，向量不变即O1A1＝OA → ＝(x， y),但O A 的起点 O 和终点 A 的坐标都发生了变化．
平面向量的坐标表示和几何意义
平面向量的坐标表示和几何意义平面向量是研究平面上的运动和力学性质的重要工具。
为了描述和计算平面向量，我们需要掌握坐标表示和几何意义。
一、平面向量的坐标表示平面向量可以通过坐标表示来描述。
假设平面上有一个点P(x, y)，我们可以将其与原点O(0, 0)之间的有向线段表示为向量OP。
在直角坐标系中，向量OP的坐标表示为OP = <x, y>，其中x为横坐标分量，y为纵坐标分量。
二、平面向量的几何意义平面向量的几何意义主要包括长度和方向两个方面。
1. 长度：平面向量OP的长度可以用勾股定理计算，即|OP| = √(x² + y²)。
2. 方向：平面向量OP的方向可以通过与坐标轴的夹角来确定。
- 当x > 0且y = 0时，向量OP与x轴正向平行。
- 当x < 0且y = 0时，向量OP与x轴负向平行。
- 当x = 0且y > 0时，向量OP与y轴正向平行。
- 当x = 0且y < 0时，向量OP与y轴负向平行。
- 当x > 0且y > 0时，向量OP位于第一象限。
- 当x < 0且y > 0时，向量OP位于第二象限。
- 当x < 0且y < 0时，向量OP位于第三象限。
- 当x > 0且y < 0时，向量OP位于第四象限。
三、平面向量的运算平面向量还可以进行加法、减法和数量乘法等运算。
1. 加法：设有向线段A和有向线段B分别对应平面向量OA和平面向量OB，则两个向量的和为平面向量OC，记作OC = OA + OB。
向量OC的坐标表示为OC = <x₁ + x₂, y₁ + y₂>，即将对应分量分别相加。
2. 减法：设有向线段A和有向线段B分别对应平面向量OA和平面向量OB，则两个向量的差为平面向量OD，记作OD = OA - OB。
向量OD的坐标表示为OD = <x₁ - x₂, y₁ - y₂>，即将对应分量分别相减。
平面向量的坐标与向量的夹角
平面向量的坐标与向量的夹角平面向量是数学中的重要概念，用来表示有大小和方向的量。
在二维平面内，我们可以使用坐标系来表示平面向量的坐标，同时还可以通过计算得出向量之间的夹角。
本文将介绍平面向量的坐标表示方法以及向量之间的夹角计算公式。
一、平面向量的坐标表示方法平面向量可以用一个有序数对来表示。
在二维直角坐标系中，我们通常使用两个实数表示一个平面向量的坐标。
假设有一个平面向量v，它的x轴坐标为x，y轴坐标为y，则可以表示为v=(x, y)。
对于平面向量的坐标表示，我们可以通过底边和高边的坐标差来计算。
假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则向量AB的坐标表示为v=(x2-x1, y2-y1)。
二、向量的夹角向量的夹角是描述向量之间夹角大小的概念。
对于平面中的两个向量v1=(x1, y1)和v2=(x2, y2)，它们的夹角可以通过以下公式计算得出：cosθ = (x1*x2 + y1*y2) / (|v1| * |v2|)其中θ表示向量v1和向量v2之间的夹角，|v1|和|v2|表示向量v1和v2的模（长度）。
通过夹角的计算公式，我们可以得知向量之间的夹角大小。
若夹角大于90度，则表示两个向量之间为钝角；若夹角等于90度，则表示两个向量之间为直角；若夹角小于90度，则表示两个向量之间为锐角。
三、示例问题为了更好地理解平面向量的坐标和向量的夹角，我们来看一个示例问题。
问题：已知向量u=(3, 4)和向量v=(2, -1)，求两个向量之间的夹角。
解析：首先计算向量u和向量v的模（长度）：|u| = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5|v| = √(2^2 + (-1)^2) = √(4 + 1) = √5然后计算向量u和向量v的点积：u*v = (3*2 + 4*(-1)) = 6 - 4 = 2将计算结果代入夹角的计算公式：cosθ = (2) / (5 * √5)通过计算可得cosθ的值为2 / (5 * √5)。
2.3平面向量基本定理
当向量的始点在坐标原点时， 向量的坐标就是向量终点的坐标．
[思考尝试· 夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)与 x 轴平行的向量的纵坐标为 0；与 y 轴平行的向量的横坐 标为 0.( √ )
(2)两个向量的终点不同， 则这两个向量的坐标一定不同． (× ) (3)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐 标．( √ )
练习：P53步步高，例 2，跟踪训练3 例题讲解：P53 跟踪训练1.
练习：P54 当堂检测3，5
2．3.4 平面向量共线的坐标表示
[知识提炼· 梳理]
1．平面向量共线的条件 向量 a(a≠0)与 b 共线， 当且仅当有唯一一个 实数 λ，使 b＝λ_a．
2.平面向量共线的坐标表示： 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，则 a，b 共 线⇔x1y2－x2y1＝0．
[常规解答] 设 AC，BD 交于点 O， 1→ 1 → → 1→ 1 → → 则有AO＝OC＝ AC＝ a，BO＝OD＝ BD＝ b. 2 2 2 2 1 1 → → → → → 所以AB＝AO＋OB＝AO－BO＝ a－ b， 2 2 1 1 → → → BC＝BO＋OC＝ a＋ b. 2 2
练习：步步高P51例3，跟踪训练3
2． 3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．3.1 平面向量基本定理
[知识提炼· 梳理] 1．平面向量基本定理
条件 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任意向量 a，有且只 有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2 不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面 内所有向量的一组基底
→ ＝－OC → ，故 O 为 CM 的中点， 所以OM 1 1 1 所以 S△AOC＝ S△CAM＝ S△ABC＝ ×4＝1. 2 4 4
平面向量的基本定理及坐标表示(教案)
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示教案 A第1课时教学目标一、知识与技能1．通过探究活动，理解平面向量基本定理．2．掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达．3．了解向量的夹角与垂直的概念，并能应用于平面向量的正交分解中，会把向量的正交分解用于坐标表示，会用坐标表示向量．二、过程与方法1．首先通过“思考”，让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点，反过来，对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示．2．通过教师提出问题，多让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题．3．如果条件允许，借助多媒体进行教学会有意想不到的效果．整节课的教学主线应以学生练习为主，教师给予引导和提示．充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生经历的这种实践活动越多，解决实际问题的方法就越恰当而简捷．三、情感、态度与价值观1．在探究过程中，让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，培养学生对“化归”、“数形结合”等数学思想的应用．2．在让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程中，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.教学重点、难点教学重点：平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示．教学难点：平面向量基本定理的理解与应用．教学关键：平面向量基本定理的理解.教学突破方法：通过问题设置，让学生充分练习，发现规律方法，体现学生的主体地位．教法与学法导航教学方法：启发诱导.学习方法：在老师问题的引导下，学生要充分作图，与小组成员合作探究，发现规律．教学准备.教师准备：多媒体、尺规.学生准备：练习本、尺规.教学过程一、创设情境，导入新课在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？二、主题探究，合作交流提出问题①给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量3e1+2e2、e1-2e2．平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢?②如上左图，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系．师生互动：如上右图，在平面内任取一点O，作=e1，=e2，=a．过点C 作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N．由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM=λ1e1，ON=λ2e2．由于OM+=，所以a=λ1e1+λ2e2．也就是说，任一向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式．由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来．当e1、e2确定后，任意一个向量都可以由这两个向量量化，这为我们研究问题带来极大的方便．由此可得：平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2．定理说明：（1）我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;（2）基底不唯一，关键是不共线;（3）由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解;（4）基底给定时，分解形式唯一．提出问题:①平面内的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？②对平面内的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？师生互动：引导学生结合向量的定义和性质，思考平面内的任意两个向量之间的关系是什么样的，结合图形来总结规律．教师通过提问来了解学生总结的情况，对回答正确的学生进行表扬，对回答不全面的学生给予提示和鼓励．然后教师给出总结性的结论：不共线向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：已知两个非零向量a和b（如图），作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角．显然，当θ=0°时，a与b同向;当θ=180°时，a与b反向．因此，两非零向量的夹角在区间[0°，180°]内．如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b．由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2，使a=λ1a1+λ2a2．在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．如上，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解是向量分解中常见的一种情形．在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便．提出问题①我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示．对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢?②在平面直角坐标系中，一个向量和坐标是否是一一对应的？师生互动：如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x 、y ，使得a =x i +y j ①这样，平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定，我们把有序数对（x ，y ）叫做向量a 的坐标，记作a =（x ，y ） ②其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示．显然，i =（1，0），j =（0，1），0=（0，0）．教师应引导学生特别注意以下几点：（1）向量a 与有序实数对（x ，y ）一一对应．（2）向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．如图所示，11B A 是表示a 的有向线段，A 1、B 1的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），则向量a 的坐标为x =x 2-x 1，y =y 2-y 1，即a 的坐标为（x 2-x 1，y 2-y 1）．（3）为简化处理问题的过程，把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点，这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定了，即点A 的坐标就是向量a 的坐标，流程表示如下：三、拓展创新，应用提高例1 已知向量e 1、e 2（如右图），求作向量-2.5e 1+3e 2．作法：（1）如图，任取一点O ，作OA =-2．5e 1，OB =3e 2．（2）作OAC B ．故OC 就是求作的向量．例2 如下图，分别用基底ｉ、j 表示向量a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标． 活动：本例要求用基底i 、j 表示a 、b 、c 、d ，其关键是把a 、b 、c 、d 表示为基底i 、j 的线性组合．一种方法是把a 正交分解，看a 在x 轴、y 轴上的分向量的大小．把向量a 用i 、j 表示出来，进而得到向量a 的坐标．另一种方法是把向量a 移到坐标原点，则向量a 终点的坐标就是向量a 的坐标．同样的方法，可以得到向量b 、c 、d的坐标．另外，本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系：a 与b 关于y 轴对称，a 与c 关于坐标原点中心对称，a 与d 关于x 轴对称等．由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标．解：由图可知，a =1AA +2AA =2i +3j ，∴a =（2，3）．同理，b =-2i +3j =（-2，3）；c =-2i -3j =（-2，-3）；d =2i -3j =（2，-3）．点评：本例还可以得到启示，要充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标．四、小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，向量的夹角与垂直的定义，平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法、定义法、归纳与类比、数形结合．五、课堂作业1．如图所示，已知AP =34AB ，AQ =31AB ，用OA 、OB 表示OP ，则OP 等于（ ） A ．31OA +34OB B ．31-OA +34OB C ．31-OA -34OB D ．31OA -34OB 2．已知e 1，e 2是两非零向量，且|e 1|=m ，|e 2|=n ，若c =λ1e 1+λ2e 2（λ1，λ2∈R ），则|c |的最大值为（ ）A ．λ1m +λ2nB ．λ1n +λ2mC ．|λ1|m +|λ2|nD ．|λ1|n +|λ2|m3．已知G 1、G 2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的重心，且12A A =e 1，12B B =e 2，12C C =e 3，则12G G 等于（ ）A ．21（e 1+e 2+e 3） B ．31（e 1+e 2+e 3） C ．32（e 1+e 2+e 3） D ．31-（e 1+e 2+e 3） 4．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λ)||||(AC AC AB AB +，λ∈［0，+∞），则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心5．已知向量a 、b 且AB =a +2b ，BC =-5a +6b ，CD =7a -2b ，则一定共线的三点是（ ）A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．C 、B 、D D ．A 、C 、D6．如右图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中与OA 与OB 的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|=|OB|=1，|OC|=23，若OC=λOA+μOB（λ，μ∈R），则λ+μ的值为________．参考答案：1．B 2．C 3．B 4．B 5．A 6．6第2课时教学目标一、知识与技能1．理解平面向量的坐标的概念；2．掌握平面向量的坐标运算；3．会根据向量的坐标，判断向量是否共线．二、过程与方法教师在引导学生探究时，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点．让学生在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律，能熟练向量代数化的重要作用和实际生活中的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．三、情感、态度与价值观在解决问题过程中使学生形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识．教学重点、难点教学重点：平面向量的坐标运算．教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解．教学关键：平面向量坐标运算的探究.教学突破方法：结合向量坐标表示的定义及运算律，引导学生探究发现，最终得到结论．教法与学法导航教学方法：问题式教学，启发诱导学习方法：在熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律的基础上，在老师的引导下，通过与同学合作探究，得到结论．教学准备教师准备：多媒体、尺规．学生准备：练习本、尺规．教学过程一、创设情境，导入新课前一节课我们学习了向量的坐标表示，引入向量的坐标表示后，可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，那么向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？二、主题探究，合作交流提出问题：①我们研究了平面向量的坐标表示，现在已知a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），你能得出a +b ，a -b ，λa 的坐标表示吗？②如图，已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），怎样表示AB 的坐标？你能在图中标出坐标为（x 2-x 1，y 2-y 1）的P 点吗？标出点P 后，你能总结出什么结论？师生互动：教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算，教师可以让学生到黑板去板书步骤．可得：a +b =（x 1i +y 1j ）+（x 2i +y 2j ）=（x 1+x 2）i +（y 1+y 2）j ，即a +b =（x 1+x 2，y 1+y 2）．同理a -b =（x 1-x 2，y 1-y 2）．又 λa =λ（x 1i +y 1j ）=λx 1i +λy 1j ．∴ λa =（λx 1，λy 1）．教师和学生一起总结，把上述结论用文字叙述分别为：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．教师再引导学生找出点与向量的关系：将向量平移，使得点A 与坐标原点O 重合，则平移后的B 点位置就是P 点．向量的坐标与以原点为始点，点P 为终点的向量坐标是相同的，这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系． 学生通过平移也可以发现：向量的模与向量的模是相等的．由此，我们可以得出平面内两点间的距离公式：|AB |=||=221221)()(y y x x -+-．教师对总结完全的同学进行表扬，并鼓励学生，只要善于开动脑筋，勇于创新，展开思维的翅膀，就一定能获得意想不到的收获．讨论结果：①能． ②=-=（x 2，y 2）-（x 1，y 1）=（x 2-x 1，y 2-y 1）．结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标． 提出问题①如何用坐标表示两个共线向量？②若a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），那么2211x y x y =是向量a 、b 共线的什么条件？ 师生互动：教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系．此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨：设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），其中b ≠0．我们知道，a 、b 共线，当且仅当存在实数λ，使a =λb ．如果用坐标表示，可写为（x 1，y 1）=λ（x 2，y 2），即⎪⎩⎪⎨⎧==.,2121y y x x λλ消去λ后得x 1y 2-x 2y 1=0． 这就是说，当且仅当x 1y 2-x 2y 1=0时向量a 、b （b ≠0）共线．我们知道x 1y 2-x 2y 1=0与x 1y 2=x 2y 1是等价的，但这与2211x y x y =是不等价的．因为当x 1=x 2=0时，x 1y 2-x 2y 1=0成立，但2211x y x y =均无意义．因此2211x y x y =是向量a 、b 共线的充分不必要条件．由此也看出向量的应用更具一般性，更简捷、实用，让学生仔细体会这点．讨论结果：①x 1y 2-x 2y 1=0时，向量a 、b （b ≠0）共线．②充分不必要条件．提出问题：a 与非零向量b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a =λb ，那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？师生互动：教师引导推证：设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），其中b ≠a ，由a =λb ，（x 1，y 1）=λ（x 2，y 2）⎪⎩⎪⎨⎧==⇒.,2121y y x x λλ消去λ，得x 1y 2-x 2y 1=0． 讨论结果：a ∥b （b ≠0）的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0．教师应向学生特别提醒感悟：1. 消去λ时不能两式相除，∵y 1、y 2有可能为0，而b ≠0，∴x 2、y 2中至少有一个不为0．2. 充要条件不能写成2211x y x y =（∵x 1、x 2有可能为0）．3. 从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b （b ≠0）{1221.a λb x y x y =⇔= 三、拓展创新，应用提高例1 已知a =（2，1），b =（-3，4），求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标．活动：本例是向量代数运算的简单应用，让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算，再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出结论．若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标，那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标，从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化．可由学生自己完成．解：a +b =（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；a -b =（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；3a +4b =3（2，1）+4（-3，4）=（6，3）+（-12，16）=（-6，19）．点评：本例是平面向量坐标运算的常规题，目的是熟悉平面向量的坐标运算公式． 例2 如图．已知ABC D 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D 的坐标．活动：本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．这里给出了两种解法：解法一利用“两个向量相等，则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想；解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量的坐标，进而得到点D 的坐标．解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系（主要是平行关系），数形结合地思考，将顶点D 的坐标表示为已知点的坐标．解：方法一：如上图，设顶点D 的坐标为（x ，y ）．∵=（-1-（-2），3-1）=（1，2），=（3-x ，4-y ）．由=，得（1，2）=（3-x ，4-y ）．∴⎩⎨⎧-=-=.42,31x x ，⎩⎨⎧==.2,2y x ∴顶点D 的坐标为（2，2）．方法二：如上图，由向量加法的平行四边形法则，可知BC BA AD BA BD +=+= =（-2-（-1），1-3）+（3-（-1），4-3）=（3，-1），而OD =OB +BD =（-1，3）+（3，-1）=（2，2），∴顶点D 的坐标为（2，2）．点评：本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．例3 已知a =（4，2），b =（6，y ），且a ∥b ，求y ．解：∵a ∥b ，∴4y -2×6=0．∴y =3．例4 已知A （-1，-1），B （1，3），C （2，5），试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系．活动：教师引导学生利用向量的共线来判断．首先要探究三个点组合成两个向量，然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线．教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系．让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式．解：在平面直角坐标系中作出A 、B 、C 三点，观察图形，我们猜想A 、B 、C 三点共线．下面给出证明．∵AB =（1-（-1），3-（-1））=（2，4），AC =（2-（-1），5-（-1））=（3，6），又2×6-3×4=0，∴AB ∥AC ，且直线AB 、直线AC 有公共点A ，∴A 、B 、C 三点共线．点评：本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法，其实质是从同一点出发的两个向量共线，则这两个向量的三个顶点共线．这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的．例5 设点P 是线段P 1P 2上的一点，P 1、P 2的坐标分别是（x 1，y 1）、（x 2，y 2）．（1）当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标；（2）当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标．活动：教师充分让学生思考，并提出这一结论可以推广吗？即当21PP P P =λ时，点P 的坐标是什么？师生共同讨论，一起探究，可按照求中点坐标的解题思路类比推广，有学生可能提出如下推理方法：由P P 1=λ2PP ，知（x -x 1，y -y 1）=λ（x 2-x ，y 2-y ），即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-.1,1)()(21212121λλλλλλy y y x x x y y y y x x x x 这就是线段的定比分点公式，教师要给予充分肯定，鼓励学生的这种积极探索，这是学习数学的重要品质．时间允许的话，可以探索λ的取值符号对P 点位置的影响，也可鼓励学生课后探索．解：（1）如图，由向量的线性运算可知OP =21 （OP 1+OP 2）=（.2,22121y y x x ++）． 所以点P 的坐标是（.2,22121y y x x ++） （2）如图（1）、（2），当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，有两种情况，即21PP P P =21或21PP P P =2． 如果21PP P P =21，如图（1），那么 OP =1OP +P P 1=1OP +3121P P =1OP +31（2OP -1OP ）=321OP +312OP =（32,322121y y x x ++）． 即点P 的坐标是（32,322121y y x x ++）．同理，如果21PP P P =2图（2），那么点P 的坐标是121222(,).33x x y y ++ 点评：本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式．四、小结1．先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识：平面向量的和、差、数乘的坐标运算，两个向量共线的坐标表示．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，定义法、归纳、整理、概括的思想，强调在今后的学习中，要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好基础．五、课堂作业1．已知a =（3，-1），b =（-1，2），则-3a -2b 等于（ ）A ．（7，1）B ．（-7，-1）C ．（-7，1）D ．（7，-1）2．已知A （1，1），B （-1，0），C （0，1），D （x ，y ），若AB 和是相反向量，则D 点的坐标是（ ）A ．（-2，0）B ．（2，2）C ．（2，0）D ．（-2，-2）3．若点A （-1，-1），B （1，3），C （x ，5）共线，则使=λ的实数λ的值为（ ）A ．1B ．-2C ．0D ．24．设a =（23，sin α），b =（cos α，31），且a ∥b ，则α的值是（ ） A ．α=2k π+π4（k ∈Z ） B ．α=2k π-π4（k ∈Z ） C ．α=k π+π4（k ∈Z ） D ．α=k π-π4（k ∈Z ） 5．向量=（k ，12），=（4，5），=（10，k ），当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？参考答案：1．B 2．B 3．D 4．C5．∵=（k ，12）， =（4，5），=（10，k ）， ∴=-=（4-k ，-7）， =-=（6，k -5）． ∵∥，∴（4-k ）（k -5）+7×6=0．∴k 2-9k -22=0．解得k =11或k =-2．教案 B第1课时教学目标一、知识与技能1．理解平面向量基本定理，明确任何一个平面向量都可以用两个不共线的向量来表示，在具体问题中能够适当选取基底．2．了解向量的夹角与垂直的概念，以及向量正交分解的含义，理解用坐标表示向量的理论依据，知道向量的坐标的几何意义．二、过程与方法领会数形结合的数学思想，感受探索与创造的学习过程，培养逻辑推理能力，优化理性思维．三、情感、态度与价值观通过类比物理学中的相关问题，培养学生善于思考、勇于探索的科研精神，以及坚忍不拔的意志．教学重点平面向量基本定理和向量的坐标表示.教学难点平面向量的合成与分解.教学设想一、情境设置1．向量加法与减法有哪几种几何运算法则？2．怎样理解向量的数乘运算λa？（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时，λa与a方向相同；λ<0时，λa与a方向相反；λ=0时，λa=0．3．平面向量共线定理是什么？非零向量a与向量b 共线存在唯一实数λ，使b＝λa．4．如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？5．在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论．二、新知探究探究（一）平面向量基本定理 思考1．给定平面内任意两个向量e 1，e 2，如何求作向量3e 1＋2e 2和e 1-2e 2？2．如图，设OA 、OB 、OC 为三条共点射线，P 为OC 上一点，能否在OA 、OB 上分别找一点M 、N ，使四边形OMP N 为平行四边形？3．在下列两图中，向量OA 、OB 、OC 不共线，能否在直线OA 、OB 上分别找一点M 、N ，使OM +ON =？4．在上图中，设OA =e 1，OB = e 2，OC = a ，则向量OM 、ON 分别与e 1、e 2的关系如何？从而向量a 与e 1、e 2的关系如何？OM =λ1e 1，ON =λ2e 2，a ＝λ1e 1＋λ2e 2．5． 若上述向量e 1、e 2、a 都为定向量，且e 1、e 2不共线，则实数λ1、λ2是否存在？是否唯一？6．若向量a 与e 1或e 2共线，a 还能用λ1e 1＋λ2e 2表示吗？7．根据上述分析，平面内任一向量a 都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来，从而可形成一个定理．你能完整地描述这个定理的内容吗？如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2．8．上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a e 1 e 2OB CC的表示式是否相同？9． 两个向量和与差的坐标等于两个向量坐标的和与差；数乘向量的坐标等于该数与向量相应坐标的乘积．即：如果 a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），那么a ±b =（x 1±x 2，y 1±y 2），λa =（λx 1，λy 1） a ∥b 的充要条件是x 1y 2=x 2y 1（需要证明）10． 任意给定平面中两个不平行的向量e 1、e 2，那么平面中所有向量a 都可以用这两个向量表示．即a =x e 1+y e 2．这里x 、y 是唯一确定的一对有序实数．｛e 1，e 2｝叫做这一平面内所有向量的一组基底；x e 1+y e 2叫做a 关于基底｛e 1，e 2｝的分解式．探究（二）平面向量的正交分解及坐标表示思考1．不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量a 和b ，作=a ，= b ，如图．为了反映这两个向量的位置关系，称∠AOB 为向量a 与b 的夹角．你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？[0°，180°]2．如果向量a 与b 的夹角是90°，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ． 互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？ 3． 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．如图，向量i 、j 是两个互相垂直的单位向量，向量a 与i 的夹角是30°，且|a |=4，以向量i 、j 为基底，向量a 如何表示？a＝＋2j 4．在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a ＝x i ＋y j ．我们把有序数对（x ，y ）叫做向量a 的坐标，记作a ＝（x ，y ）．其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示．那么x 、y 的几何意义如何？ 5．相等向量的坐标必然相等，作向量=a ，则= （x ，y ），此时点A 的坐标baAP是什么？三、例题解析例1 已知直角坐标平面内的两个向量a ＝（1，3），b ＝（m ，2m -3），使平面内的任意一个向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb ，则m 的取值范围是________．解：∵c 可唯一表示成c ＝λa ＋μb ，∴a 与b 不共线，即2m -3≠3m ，∴m ≠-3．例2 如图，M 是△ABC 内一点,且满足条件=++CM BM AM 320,延长CM 交AB 于N,令CM =a ,试用a 表示CN . 解:∵,,NM BN BM NM AN AM +=+=∴由CM BM AM 32++=0,得=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(0.∴CM BN NM AN 323+++=0.又∵A 、N 、B 三点共线,C 、M 、N 三点共线,由平行向量基本定理,设,,NM CM BN AN μλ==∴=+++NM BN NM BN μλ3230.∴（λ+2）BN +（3+3μ）NM = 0.由于BN 和NM 不共线,∴⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ∴{2,1.λμ=-=- ∴.MN NM CM =-=∴CM MN CM CN 2=+==2a .例 3 设e 1与e 2是两个不共线向量,a =3e 1+4e 2,b =-2e 1+5e 2,若实数λ、μ满足λa +μb =5e 1-e 2,求λ、μ的值.解:由题设λa +μb =（3λe 1+4λe 2）+（-2μe 1+5μe 2）=（3λ-2μ）e 1+（4λ+5μ）e 2. 又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理，知 325,45 1.u u λλ-=⎧⎨+=-⎩解之,得λ=1,μ=-1.四、小结1．平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点．2．向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是0°或180°，垂直向量的夹角是90°．3．向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义．将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标．第2课时教学目标一、知识与技能1．掌握平面向量的和、差和数乘向量的坐标运算，以及向量共线的坐标表示，会根据这些原理求向量的坐标．2．深化对向量概念的理解，提高对向量运算的认识，优化数形结合的思想意识，培养逻辑思维能力和思维素养．二、过程与方法1.通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；2.通过具体问题的分析解决，渗透数形结合的数学思想，提高学生的化归能力．三、情感与价值在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一．教学重点平面向量的坐标运算和向量共线的坐标表示．教学难点向量的坐标运算原理的构建．教学设想：一、情境设置1．平面向量的基本定理是什么？如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．2．用坐标表示向量的基本原理是什么？设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a＝x i＋y j，则a＝（x，y）．3．用坐标表示向量，使得向量具有代数特征，并且可以将向量的几何运算转化为坐标运算，为向量的运算拓展一条新的途径．我们需要研究的问题是，向量的和、差、数乘运算，如何转化为坐标运算，对于共线向量如何通过坐标来反映等．二、新知探究。
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授课人：王旭刚 高台一中高一数学组
平面向量的数量积
非零向量 a 与 b ,它们的夹角为θ,则
a b a b cos
平面向量的数量积的坐标表示又 是怎样的？
设a 、b 为两个向量,且 a ＝(x1，y1), b ＝(x2，y2)，
则
a b x1x2 y1 y2
x1x2 y1 y2
ab
x12 y12 x22 y22
例3、设 a=（3，4），b=（-5，12），求 a b 及 a、 b夹角的余弦. 解：a b 3(5) 412
15 48 33
设 a、 b夹角为 则
a 32 42 5 b (5)2 (12)2 13
cos a b 33 33
∴AB⊥AC ∴ΔABC是直角三角形
B
A
O
X
注：两个向量的数量积是否为零是判断相应的 两条直线是否垂直的重要方法之一。
练习
已知 i =(1，0)， j =(0，1)，与 2i j
垂直的向量是[ B ]
A. 2i j C. 2i j
B .i 2 j D.i2j
下面我们来研究另外一个问题：如何用坐标表 示向量的夹角？
设a 、b 都是非零向量，a =(x1,y1),b =(x2,y2),θ是 与a 的b夹角
由：a b a b cos
可得：
ab
cos
ab
因为： a b x1x2 y1 y2
又因为： a x12 y12
b x22 y22
由此，我们可以得到向量夹角的坐标表示为：
cos a b
则
a // b x1y2 x2 y1 0 a b x1x2 y1y2 0
例题讲解
例1、已知A（1、2），B（2，3），C（-2，5），求证 ΔABC是直角三角形
证明: Y
∵AB = (2-1，3 - 2）= （1，1） C
AC = （-2-1，5 - 2）= （-3，3）
∴AB AC = 1╳（3）+ 1╳ 3 = 0
a b 513 65
三、评价练习
1、若 a (3,1),b (x,且3) a b
则实数x 1
；
2、若 A(1,4), B(5,2),C(3,4) 则 ABC
的形状是直角三角形 ；
3、已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且
a CB,b CA, 则a与b的夹角为 135.°
四、课堂小结 (1)平面向量垂直的坐标表示
设a 、b 为两个向量,且 a ＝(x1，y1), b ＝(x2，y2)，
则
a b x1x2 y1y2 0
(2)平面向量夹角的坐标表示；
cos a b
ab
x1x2 y1 y2 x12 y12 x2度(模)？
设 a =(x，y),则 |a |2= x2 y2 或|a |= __x_2____y2
平面内两点间的距离公式
若设A(x1,y1)、B(x2,y2),则
x2 x1 2 y2 y1 2
|AB|=_____________
我们知道如果 a 、b 为两个非零向量,则
a b ab 0
那么两个向量垂直又如何用坐标表示呢？
设 a、b都是非零向量，a= (x1,y1),b =(x2,y2),
由于
a b ab 0
并且
a b x1x2 y1 y2
所以，我们可以得到下面的结论
a b x1x2 y1 y2 0
向量平行和垂直的坐标表示
设a 、b 为两个向量,且 a ＝(x1，y1), b ＝(x2，y2)，