复变函数与积分变换3-5
复变函数与积分变换公式
复变函数与积分变换公式复变函数是指定义在复数域上的函数。
复变函数与实变函数有很多相似之处，但也有着一些独特的性质和应用。
在实际问题中，经常会遇到求解复变函数的积分问题。
积分变换是一种通过对函数进行积分计算来求得更简单或者更易求解的函数的方法。
本文将介绍复变函数以及积分变换公式。
一、复变函数的定义和性质复变函数的定义：复变函数通常可以表示为 f(z) = u(x,y) +iv(x,y)，其中 u(x,y) 和 v(x,y) 是实变量 x 和 y 的实函数，i 是虚数单位。
复变函数可以看作二元实函数的推广。
在复变函数的定义中，x 和 y 是自变量，而 u 和 v 是因变量。
复变函数的性质：复变函数具有以下性质：1.可微性：类似于实变函数中的导数，复变函数也有导数的概念，称为复导数。
如果复变函数f(z)在一些点z0处可导，则称f(z)在z0处可导。
2.全纯性：如果复变函数在一些区域上都可导，则称该函数在该区域上是全纯的。
3.古典解析性：如果复变函数在整个复平面上都可导，则称该函数是古典解析的。
4. 共轭性：对于复变函数 f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，可以定义其共轭函数 f*(z) = u(x,-y) - iv(x,-y)。
共轭函数与原函数在实部上相等，虚部上相反。
5.奇函数和偶函数：如果复变函数f(z)满足f(-z)=-f(z)，则称f(z)是奇函数；如果f(-z)=f(z)，则称f(z)是偶函数。
积分变换通常是求解复变函数积分的一种方法。
常见的积分变换公式有：1.单连通域中的柯西定理：设f(z)在单连通域D上是全纯的，则对于D的任意闭合曲线C，有∫[C] f(z)dz = 0这个公式是复变函数积分计算的基础。
2. 柯西-Goursat 定理：设 f(z) 在连通域 D 上是全纯的，则对于D 的任意简单闭合曲线 C，有∫[C] f(z)dz = 0这个公式是柯西定理的推广形式，适用于连通域D。
复变函数积分变换
复变函数积分变换
复变函数积分变换是数学中的一个重要分支，它将复变函数的积分与一些特定的函数族（如幂级数、指数函数、三角函数等）联系起来，通过积分变换的方法将复杂的函数化简或求解。
复变函数积分变换的核心思想是将一个复杂的函数通过积分的形式转化为另一个简单的函数，这个简单的函数通常具有更好的性质或更易于计算。
常见的复变函数积分变换包括傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换等。
傅里叶变换是复变函数积分变换中最重要的一种，它将一个函数在时域中的表示转化为频域中的表示。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、物理学等领域有广泛的应用，例如在信号处理中，傅里叶变换可以用于滤波、频谱分析等。
拉普拉斯变换是另一种常见的复变函数积分变换，它将一个函数在时域中的表示转化为复频域中的表示。
拉普拉斯变换在控制工程、电路分析等领域有广泛的应用，例如在控制工程中，拉普拉斯变换可以用于系统建模、控制器设计等。
Z 变换是离散信号处理中的一种重要工具，它将离散时间信号转化为复频域中的表示。
Z 变换在数字信号处理、通信工程等领域有广泛的应用，例如在数字信号处理中，Z 变换可以用于数字滤波器设计、信号编码等。
总之，复变函数积分变换是数学中一个非常重要的分支，它在许多领域都有广泛的应用。
通过积分变换的方法，我们可以将复杂的函数化简或求解，从而更好地理解和处理各种问题。
(完整版)复变函数与积分变换课程教学大纲
《复变函数与积分变换》课程教学大纲课程名称：复变函数与积分变换课程代码：ELEA3035英文名称：Function of Complex Variable and Integral Transformation课程性质：专业必修课程学分/学时：2学分/36学时开课学期：第3学期适用专业：电气工程及其自动化先修课程：高等数学后续课程：自动控制原理、信号与系统、检测技术与仪表开课单位：机电工程学院课程负责人：杨歆豪大纲执笔人：周纯大纲审核人：余雷一、课程性质和教学目标（在人才培养中的地位与性质及主要内容，指明学生需掌握知识与能力及其应达到的水平）课程性质：《复变函数与积分变换》的理论和方法广泛应用于电气工程、通讯工程、自动化等相关学科，并且已经成为解决众多理论和实际问题的强有力工具，成为了电气工程及其自动化专业一门重要的基础理论课程，而高等数学的是它的必须的先修课程。
对于本专业而言，是学习《自动控制原理》、《现代控制理论》、《线性系统理论》、《信号与系统》等许多相关课程的必须先修课程之一。
教学目标：通过本课程的讲授和学习，使学生在学习高等数学的基础上，系统的掌握《复变函数与积分变换》中必要的基础理论和常用的计算方法，培养学生比较熟练的运算能力，能比较熟练运用复变函数、积分变换的方法来有效地比较系统地解决一些问题。
并且逐步培养能够建立比较复杂系统数学模型的能力，在此基础上，进一步地提升分析问题、解决问题的水平和能力。
并为后续的专业基础课程、专业课程的学习，以及将来从事教学、科研及其它实际工作打下必要相当水准的理论知识基础。
本课程的具体教学目标如下：1.熟练掌握复数与复变函数、解析函数、复变函数积分、复级数、留数、傅里叶变换和拉普拉斯变换的基本概念、基本理论、基本方法和某些相关的应用，为进一步学习打下坚实的理论基础。
2.大致了解理想典型电子线性器件的时域和频域的数学模型，为后续课程比较复杂的线性电气系统或者比较复杂的线性力学系统的数学模型的建立、分析和控制做好理论、学识上准备。
复变函数与积分变换公式汇总
复变函数与积分变换公式汇总一、复变函数的基本概念和性质1. 复数集的定义：复数集是由实数和虚数构成的集合，形式为a + bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i² = -12. 复变函数的定义：设有一个定义在平面上的函数f(z)，其中z = x + yi是平面上的点，x和y是实数。
如果对任意给定的z都有唯一确定的复数w与之对应，那么称函数f(z)是复数域上的一个函数。
3.复变函数的连续性：如果在z0处存在一个复数A，使得当z趋于z0时，函数f(z)趋于复数A，则称函数f(z)在点z0处连续。
4.复变函数的可导性：如果函数f(z)在z0处连续，并且当z趋于z0时，函数f(z)的导数存在有一个有限的极限L，则称函数f(z)在z0处可导，并记为f'(z0)=L。
二、复变函数的常用公式1. 欧拉公式：e^(iθ) = cosθ + isinθ2. 增补公式：sinh(x + iy) = sinh(x)cos(y) + isin(y)cosh(x)3.多项式的根公式：设P(z)=aₙzⁿ+aₙ₋₁zⁿ⁻¹+…+a₀是一个非常数多项式，aₙ≠0，则P(z)=0在复数域存在n个根。
4.共轭根公式：如果z是复数P(z)=0的根，则z^*也是复数P(z)=0的根。
5. 辐角公式：对于复数z = x + yi，其中x和y是实数，辐角θ = arctan(y/x)，其中-π < θ ≤ π。
6. 复数的模公式：对于复数z = x + yi，其中x和y是实数，模，z，= √(x² + y²)。
7. 三角和指数函数的关系：sinθ = (e^(iθ) - e^(-iθ))/(2i)，cosθ = (e^(iθ) + e^(-iθ))/28. 三角函数和指数函数的关系：sin(ix) = i sinh(x)，cos(ix) = cosh(x)。
三、复变函数的常用积分变换公式1.度量积分变换：对于复变函数f(z)，定义如下的度量积分变换公式：∫(f(z)dz) = ∫(f(z₁)dz₁ + f(z₂)dz₂ + … + f(zₙ)dzₙ)，(z₁,z₂,…,zₙ)为路径连续的点。
复变函数与积分变换习题解(包革军)
(4 3i ) 7 p 25.1.(3)解 : 原式 (2 5i ) 13i 2 2
7 7 5 26 Re( z ) ; Im( z ) 13; z 13i; z 29 ; arg z arctg ( ) . 2 2 2 7
p25.6.(1)解 : z 3 8(cos i sin )
zk 2(cos
2k
3 3 z0 1 3i, z1 2, z2 1 3i.
i sin
2k
) (k 0,1,2)
(2)特征方程为3 8 0,由上式可知特征根为 1 2, 2,3 1 3i
因此一般解为y c1e2t et c2 cos 3t c3 sin 3t , 其中c1, c2 , c3 为任意常数 。
题设f ( z )在D内解析, 则满足C R方程 : u v u v , x y y x v u u x v x 0 u v 即 仅将 , 看成线性方程组中的 x1 , x2 , u, v看成系数 u v x y v u 0 x x
复数的模不变, 辐角减小 . 2
Байду номын сангаас
p 26.14(1)解 : 3 i 2 cos( ) i sin( ) 6 6
5 5 3 i 2 cos( ) i sin( ) 6 6
复变函数与积分变换复习提纲
复变函数复习提纲(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：两个复数不能比较大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下：当0,x >arg arctan yz x =；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z xx y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩；4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二)复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z eθθ==,则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n nnin z z n i n z eθθθ=+=。
2）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则122cos sin (0,1,21)nk k z i k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭ （有n 个相异的值）（三）复变函数1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射.2．复初等函数1）指数函数：()cos sin zxe ey i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()z z e e '=。
复变函数与积分变换 第三章第四节原函数与不定积分_复变函数论
z1 z0
1 2
(
z12
z02 ).
例2 求 i z cos z2dz 的值. 0
解
i z cos z2dz 1 i cos z2dz2
0
20
1 sin z2 i 1 sin( 2 ) 1 sin 2 .
2
02
2
(使用了微积分学中的“凑微分”法)
例3 求 i z cos zdz 的值. 0
第四节 原函数与不定积分
一、主要定理和定义 二、典型例题 三、小结与思考
一、主要定理和定义
1. 两个主要定理: 定理一
如果函数 f (z) 在单连通域 B内处处解析,
那末积分 C f (z)dz 与连结起点及终点的路线
C 无关.
由定理一可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点
和终点有关, (如下页图)
f (z)z,
z
z
所以 F (z z) F (z) f (z) z
1 zz f ( )d f (z)
z z
1
z z
[ f ( ) f (z)]d
z z
B
z0 •
z z z
K
因为 f (z) 在 B内解析, 所以 f (z) 在 B内连续,
故 0, 0, 使得满足 z 的一切 都在 K 内, 即 z 时, 总有 f ( ) f (z) ,
或
z1 z0
f
( z)dz
G( z1
)
G(
z0
).
[证毕]
说明: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用
跟微积分学中类似的方法去计算.
二、典型例题
例1 求 z1zdz 的值. z0
解 因为 z 是解析函数, 它的原函数是 1 z2 , 2
复变函数及积分变换重点公式归纳
复变函数及积分变换重点公式归纳复变函数是指定义在复数域上的函数，其自变量和函数值都是复数。
复变函数可以表示为两个实变量的函数，即f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)是实变量的函数。
复变函数的积分变换是指对复变函数进行积分变换，得到新的复变函数。
在复变函数的积分变换中，有一些重要的公式需要归纳，包括：1.度量公式：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其微分形式为dz=dx+idy。
根据度量公式，有dx=\frac{1}{2}(dz+d\bar{z})，dy=\frac{1}{2i}(dz-d\bar{z})。
2.柯西-黎曼方程：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，满足柯西-黎曼方程的充要条件是u_x=v_y和u_y=-v_x。
3.柯西-黎曼积分定理：对于一个闭合曲线C，如果复变函数f(z)在C内解析（即在C内柯西-黎曼方程成立），那么有\oint_C f(z)dz=0。
4.柯西积分公式：对于一个有界区域D和在D内解析的复变函数f(z)，柯西积分公式为\oint_C \frac{f(z)}{z-a} dz=2\pi i f(a)，其中C是D内包围点a 的闭合曲线。
5.柯西积分公式的推广：对于一个有界区域D和在D内解析的复变函数f(z)，柯西积分公式的推广形式为\oint_C \frac{f(z)}{(z-a)^n} dz=2\pi i \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}，其中C是D内包围点a的闭合曲线。
6.柯西积分公式的应用：柯西积分公式可以用于计算复变函数的积分，如计算围道上的积分或者在无穷远处的积分等。
7.柯西主值公式：对于一个有界区域D和在D内解析的复变函数f(z)，柯西主值公式为\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-a} dz=PV\frac{1}{2\pii}\int_C \frac{f(z)}{z-a} dz=PVf(a)+\frac{1}{2}f(a)，其中PV表示柯西主值。
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f (z 0 ) C z z 0 dz
f (z ) f (z 0 ) 1 dz 2 i C z z 0 2 i
1
f (z ) f (z 0 ) K z z 0 dz
3
而
K
f ( z ) f ( z0 ) f ( z ) f ( z0 ) ds dz K z z0 z z0
2
当 z z0 时,
f ( z ) f ( z0 ) .
设以 z0 为中心, 半径为 R ( R ) 的正向圆周K : z z0 R全在 C 的内部,
f (z ) dz f (z 0 ) C 2 i z z0
1
则
f (z ) 1 dz C 2 i z z0 2 i
第五节 柯西积分公式
柯西积分公式 设 C 为正向简单闭曲线，函数 f ( z )在 C
处处解析， 在
上
C
的内部处处解析，
z0 为 C
D
内一点，则 1 f (z) f ( z0 ) dz 2i C z z0 证 因为 f ( z ) 在 z0 连续,
C
z0
则 0,
0,
从而若两个解析函数在简单闭曲线C上相等，
则这两个解析函数在C 的内部也相等。
5
(2)柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数 沿闭路积分的一种方法, 而且给出了解析函数的 一个积分表达式. (这是研究解析函数的有力工具)
(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上 的平均值： 如果 C 是圆周 z z0 R e i ,
R K
ds 2π .
由于可以任意小ห้องสมุดไป่ตู้ 左端积分的模就可以任意小, 故
f (z ) f (z 0 ) dz 0 2 i K z z 0
1
1 f (z) f ( z0 ) dz 2i C z z0
[证毕]
4
从而
关于柯西积分公式的说明: (1)柯西积分公式的说明解析函数在简单闭曲线 C内部任一点的值可用它在边界C上的值表示.
1 2π i f (z 0 ) f ( z Re )d . 0 2π 0
6
例
e 计算积分 dz . z 1 z 2
z
解
因为 f ( z ) e z 在复平面内解析 ,
z 1 位于 z 2内,
由柯西积分公式
e z d z 2 i e 2ei . z 1 z 1 z 2
z
7